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ECUACIONES DIFERENCIALES
Y ÁLGEBRA LINEAL
CAPÍTULO 2
ESPACIOS VECTORIALES REALES
1
2.1 Definición Decimos que conjunto no vacío V , con
operaciones  : V  V  V y  : R V  V , es espacio vectorial
real (o sobre R ) si y sólo si son cumplidas todas propiedades
siguientes:
1) x  y  y  x , x, y V
2) x  y   z  x   y  z , x, y, z V
3) existe un elemento en V , denotado por 0 , tal que x  0  x ,
para todo x V
4) para cada x V existe un elemento en V , denotado por
 x , tal que x   x   0
5) 1 x  x , x V
6)     x      x ,  ,   R, x V
7)   x  y     x    y ,   R, x, y V
8)      x    x    x ,  ,   R, x V .
2
2.2 Notas
1) Propiedades primera hasta octava arriba son llamadas axiomas
de espacios vectoriales; o sea: ninguna de ellas es demostrable
desde aquéllas otras.
2) En general, hablamos de espacio vectorial sobre un campo,
finito o infinito, que no es necesariamente aquél de números
reales. O sea: conjunto no vacío V , con operaciones
 : V V  V y  : K  V  V , es espacio vectorial sobre K ,
si y sólo si son cumplidos todos axiomas de espacios
vectoriales.
3) Elementos de un espacio vectorial sobre R (o sobre cualquier
campo otro) son llamados vectores; elementos de R (o, en
general, de campo subyacente) suelen ser llamados escalares.
4) Propiedades primera y segunda son respectivamente llamadas
conmutativa y asociativa. Propiedad tercera es llamada de
existencia de elemento neutro ( 0 denota elemento neutro de
V ); aquélla cuarta de existencia de elementos inversos (  x es
elemento inverso de x ). Propiedades (7) y (8), que vinculan
ambas operaciones, son llamadas distributivas; primera respecto
vectores, segunda respecto escalares.
5) Un espacio vectorial es llamado trivial si su elemento neutro es
único elemento suyo.
6) Operaciones  y  son respectivamente llamadas adición (de
vectores) y multiplicación (de vectores) por escalares. Ambas
son operaciones cerradas, en sentido que sendas imágenes
genéricas x  y y   x están en V ; o sea: V es universo para
ambas operaciones, pues “no hay escapes” desde V .
7) Símbolo  suele ser suprimido para indicar multiplicación de
escalares por vectores; o sea: salvo ambigüedades,  x denota
en adelante multiplicaciones tales.
8) Símbolo 0 denota indistintamente escalar nulo y vector nulo. En
general hay un cúmulo de abusos notativos en el texto; es de
esperar que contextos cancelen ambigüedades.
9) Es frecuente que hablemos de operación sustracción en un
espacio vectorial; es denotada por  , y es definida así:
x  y  x   y , x, y V
En adelante, salvo mención en contrario, queda subentendido que
todo espacio vectorial es sobre R .
3
2.3 Teorema Sea V espacio vectorial. Luego:
1) elemento neutro de V es único (unicidad de elemento
neutro).
2) x  z  y  x  x  y (ley de cancelación).
3) elementos inversos en V son únicos (unicidad de elementos
inversos).
4) 0 x  0 , x V .
5)  x   1x , x V .
6)  0  0 ,   R .
7)  x  0    0  x  0 .
Demostración
1) Supongamos que z V sea otro elemento neutro; luego
z  z  0  0 , lo que es contradictorio.
 x  z  y  z   x  z    z    y  z    z 

 x  z   z   y  z   z 
2) 

 x0 y0 x  y

3) Dado x V , supongamos que y V sea otro inverso de x ;
luego x   x   0  x  y , lo que implica contradicción
 x  y según ley de cancelación.
4) 0 x  0  0x  0 x  0 x  0  0 x  0 x  0 x  0  0 x .
5) Como x   1x  1x   1x  1   1x  0 x  0 , entonces
 1x es inverso aditivo de x ; luego, por unicidad de
elementos inversos, 1x  x es forzoso.
6)  0   0  0   0   0  0   0   0   0  0   0 .
7) Supongamos x  0 ; debemos demostrar que   0 . Pero: si
fuese   0 , entonces sería contradicción
x  1x   1 x   1 x    1 0  0 .
4
2.4 Ejemplos de espacios vectoriales
1) R es espacio vectorial sobre sí con operaciones usuales de
adición y de multiplicación de números reales. Ello es obvio
porque todos axiomas de espacio vectorial son también axiomas
de números reales.
2) R n , conjunto de todas de números reales, es espacio vectorial
sobre R con operaciones
x  y  x1 ,, xn    y1 ,, yn   x1  y1 ,, xn  yn , x, y  R n
y
x   x1 ,, xn    x1 ,, xn ,   R, x  R n
Estas operaciones son aquéllas usuales en R n ; de hecho, cuando
hablemos de R n , como espacio vectorial, es subentendido que lo
es con estas operaciones. Elemento neutro de R n es n -upla
0,,0; elemento inverso de x1 ,, xn  es  x1 ,, xn  .
3) R mn , conjunto de todas matrices reales de orden m n , es
espacio vectorial con operaciones usuales
A  B  a ij mn  bij mn  a ij  bij mn , A, B  R mn
y
 A   a ij mn   a ij mn ,   R, A  R mn
Elemento neutro de R mn es matriz 0mn ; elemento inverso de
a ij mn es  aij mn .
4) Sean X conjunto no vacío y V espacio vectorial; denotemos
F  X ,V  a conjunto de todas funciones desde X hacia V . O
sea:
F  X ,V   f : X  V f es función 
F  X ,V  es espacio vectorial con operaciones usuales
 f  g x  f x  g x, x  X , f , f  F  X ,V 
y
 f x   f x, x  X ,   R, f  F  X ,V 
Elemento neutro de F  X ,V  es función 0 : x  0 , x  X ;
elemento inverso de f es  f : x   f x , x  X .
¿Qué es F  X ,V  cuando X es
a) 1 ?
b) 1,, n?
c) 1,, m 1,, n?
d)  ?
5
2.5 Definición (subespacio vectorial) Decimos que S ,
subconjunto no vacío de espacio vectorial V , es subespacio
vectorial de V si y sólo si S , con operaciones  SS y  RS es
espacio vectorial (o sea: si y sólo si S es universo para
operaciones en V cuando éstas son restringidas hasta S ).
2.6 Nota Dado cualquier espacio vectorial V , subconjuntos 0 y
V de V son obviamente subespacios vectoriales de V (si no es
obvio, entonces demostrarlo); son llamados subespacios triviales
de V .
En adelante diremos brevemente subespacio en lugar de
subespacio vectorial.
2.7 Teorema S , subconjunto no vacío de espacio vectorial V , es
subespacio de V si y sólo si  SS y  RS son operaciones
cerradas. O sea: si y sólo si son cumplidas dos propiedades
siguientes:
1) x, y  S  x  y  S
2)   K  x  S    x  S .
Demostración
 Es trivial.
 Operaciones  SS y  RS son cerradas. Axiomas (1), (2) y
(5) hasta (8) son obviamente cumplidos. Hace solamente falta
verificar que axiomas (3) y (4) también son cumplidos. De hecho:
0 está en S , pues no vacuidad de S implica que existe x  S , y,
según (2), 0  S , pues 0  0 x . De otro lado, dado cualquier x  S ,
tenemos, también según (2), que  x  S , pues  x   1x .
6
2.8 Ejemplos de subespacios
1) No hay subespacio de R que no sea  0  o R . De hecho:
Sea S subespacio de R tal que S   0 ; demostremos que
S  R es forzoso. Como S   0 , entonces existe x  S que
no es el elemento neutro; luego, porque S es subespacio,
dado cualquier   R , tenemos que  x  S . Pero esto nos
dice que todos números reales están en S ; o sea: S  R .
2) Si S es subespacio no trivial de R 2 , entonces S es recta que
pasa por el origen. De hecho: Como S   0 , entonces
existe x  S que no es el elemento neutro; luego , porque S
es subespacio, dado cualquier   R , tenemos que  x  S .
Esto nos dice que S contiene una recta que pasa por el
origen: aquélla que pasa por el origen y por x . Denotemos
L a esta recta, y supongamos que S contenga a un vector,
digamos y , que no está en L . Como S es subespacio de
R 2 , entonces cualquier vector z   x   y de R 2 está en
S . Pero, dado cualquier z  R 2 , ¿no existen acaso escalares
 y  tales que z   x   y ? Sí. De hecho: Como
z   x   y   z1 , z 2    x1   y1    x1   y1 
 x y1     z1 
 1
     z 
x
y
  2
 2
2 
 x y1 
y matriz  1
 es inversible, pues y  L ; entonces
x
y
 2
2
existen escalares tales.
Concluimos que todo elemento de R 2 está en S ; o sea:
S  R 2 , que es contradictorio porque hemos partido desde
premisa de que S es subespacio no trivial de R 2 . Es pues
forzoso S  L ; o sea: S es recta que pasa por el origen.
¿Cuáles son subespacios no triviales de R 3 ? Son rectas y
planos que contienen al origen; demostración queda como
ejercicio.
7
3) Sea A  R mn ; denotemos CS a conjunto solución de sistema
lineal Ax  0 (de m ecuaciones y n variables). Está claro
que CS  Ø , pues 0  CS . Como
x, y  CS  Ax  y   Ax  Ay  0  0  0  x  y  CS
y
  R  x  CS   A x    Ax   0  0   x  CS
entonces CS es subespacio de R n .
¿Es conjunto solución de sistema lineal no homogéneo
Ax  b (o sea: b  0 ) subespacio de R n ? No; ¿por qué?
4) Denotemos Poli R  a conjunto, no vacío, de todas funciones
polinómicas desde R hacia R cuyos coeficientes son
números reales; o sea: elemento genérico de Poli R  es
f : x  c0  c1 x    cn x n , x  R
donde todos ck  R , y n es número natural (salvo caso
n  0 , cuando función polinómica es constante).
Está claro que Poli R  es subconjunto de F R, R  , conjunto
de todas funciones reales de variable real, que es espacio
vectorial (ver 2.4, ejemplo 4). Demostremos que Poli R  es
no solamente subconjunto de F R, R  , sino también
subespacio de F R, R  . De hecho:
a) adición de dos polinomios, uno de grado m y otro de
grado n , es polinomio nulo (polinomio sin grado) o
polinomio de grado menor o igual que máx m, n  .
b) multiplicación de un escalar por un polinomio de grado n
es polinomio nulo (cuando escalar es 0) o polinomio de
mismo grado.
Concluimos pues que Poli R  es subespacio de F R, R  .
Denotemos ahora Poli n R  a subconjunto de Poli R  , aquél
formado por función nula y por funciones polinómicas de
grado menor o igual que n . Es fácilmente demostrable que
Poli n R  es subespacio de Poli n R , y consecuentemente
también de F R, R  .
Finalmente, conjunto de todas funciones polinómicas de
grado n , ¿es él espacio vectorial?
8
2.9 Teorema Sean S y T subespacios de espacio vectorial V .
Luego:
1) S  T es subespacio de V .
2) S  T  x  y x  S  y  T  es subespacio de V .
Demostración
1) Si x, y  S  T , entonces x, y  S y x, y  T . Como S y T
son subespacios de V , entonces x  y  S y x  y  T ; luego
x  y  S  T . De otro lado: si x  S  T , entonces x  S y
x  T . Como S y T son subespacios de V ; entonces, para
todo   R , tenemos que  x  S y  x  T . Luego
 x  S T .
2) Si u, v  S  T , entonces existen xu , xv  S e yu , yv  T tales
que u  xu  yu y v  xv  yv ; luego
u  v  xu  yu   xv  yv   xu  xv    yu  yv 
Como S y T son subespacios de V , entonces xu  xv  S e
yu  yv  T ; luego u  v  S  T , pues u  v es suma de un
elemento de S y un elemento de T . De otro lado: si
u  S  T , entonces existen x  S e y  T tales que
u  x  y . Como S y T son subespacios de V ; entonces,
para todo   R , tenemos que  x  S y  x  T . Luego
 u  S  T , pues  u   x  y    x   y es suma de un
elemento de S y un elemento de T .
9
2.10 Otros ejemplos de subespacios vectoriales
1) Es fácilmente verificable que
S1  a,0, b a, b  R
y
S2  a, b,2a  b a, b  R
son subespacios de R 3 . A la luz de teorema 2.9, S1  S 2
también es subespacio de R 3 . Calculemos elemento
genérico de esta intersección: Si x  S1  S2 ; entonces
segunda coordenada de x tiene que ser nula, pues x  S1 .
Luego, porque también x  S 2 , tercera coordenada de x
tiene que ser dos veces primera coordenada de x . Como no
hay otras exigencias sobre coordenadas de x , entonces
concluimos que
S1  S2  a,0,2a  a  R
En términos geométricos, ¿qué son estos subespacios de
R 3 ? S1 y S 2 son planos que pasan por el origen; de hecho
S1 : x2  0
y
S2 : 2 x1  x2  x3  0
¿Qué objeto geométrico es, en general, intersección de dos
planos? Es una recta. Aquí es una recta que pasa por el
origen, pues el origen está contenido en ambos planos.
Como S1  S2  a1,0,2 a  R, entonces S1  S 2 es recta
en R 3 , aquélla que pasa por el origen según dirección
1,0,2 .
Verificación de que S1  S2  R 3 queda como ejercicio.
10
2) Es fácilmente verificable que
S1  a,0,2b, b,0 a, b  R
y
S2  a, b,2a  b,a, c  a, b, c  R
son subespacios de R 5 . A la luz de teorema 2.9, S1  S2
también es subespacio de R 5 ; ¿cuál es su elemento
genérico? Este cálculo es más exigente que cálculo en
ejemplo anterior; pongamos
S2  a, b,2a  b,a, c a, b, c  R
Luego: Si x  x1 , x2 , x3 , x4 , x5  es elemento genérico de
S1  S2 , entonces
 x1  a  a
 x  b
 2
 x3  2b  2a  b
 x  b  a
 4
 x5  c
Observemos que x4  x2  x3  / 2 ; luego
x  x1 , x2 , x3 , x2  x3  / 2, x5 
Como no hay otros vínculos entre coordenadas de x como
aquél arriba, entonces
S1  S2  x1 , x2 , x3 , x2  x3  / 2, x5  x1 , x2 , x3 , x5  R
o equivalentemente
S1  S2  a, b, c, b  c  / 2, d  a, b, c, d  R
Como ejemplo, presentemos  2,1,3,1,5  S1  S2 como
suma de un elemento de S1 y un elemento de S 2 . Tomamos
 4,0,2,1,0 S1 y 2,1,5,2,5 S2 ; tenemos
 2,1,3,1,5   4,0,2,1,0  2,1,5,2,5
¿Es ésta única presentación de  2,1,3,1,5 cómo suma de
un elemento de S1 y un elemento de S 2 ? Respuesta es no;
demostrarlo mostrando otra presentación tal de este vector?
Finalmente, ¿cuál es subespacio S1  S 2 ?
11
3) Tomemos R nn , espacio vectorial de matrices cuadradas de
orden n  n (o brevemente de orden n ). Recordemos que,
según definición, una matriz cuadrada, digamos A , es
a) simétrica si y sólo si AT  A (o sea: si y sólo si es igual a
su transpuesta).
b) es antisimétrica si y sólo si AT   A .
Denotemos S n  a conjunto de todas matrices simétricas de
orden n , y An  a conjunto de todas matrices antisimétricas
de orden n . Demostremos que primero es subespacio de
R nn . De hecho: si A, B  S n , entonces
 A  BT  AT  BT  A  B  A  B  S n
De otro lado: si   R y A S n , entonces
 AT   AT   A   A  S n
Es análogamente demostrable que An  también es
subespacio de R nn .
1
Dada cualquier matriz A  R nn , tenemos que  A  AT  es
2
1
matriz simétrica y que
 A  AT  es matriz antisimétrica
2
(verificar ambos enunciados). Luego cualquier matriz
A  R nn puede ser presentada como suma de una matriz
simétrica y una antisimétrica, pues
1
1
A   A  AT    A  AT 
2
2
nn
lo que nos dice que R  S n  An . ¿Es ésta única
presentación de A como suma de una matriz simétrica y una
matriz antisimétrica?
Dicho sea de paso, ¿cuál es subespacio S n  An ?
12
2.11 Definición Sea A  x1 ,, x m  subconjunto de espacio
vectorial V . Decimos que x V es combinación lineal de
elementos de A si y sólo si existen escalares 1 ,,  m tales que
x  1 x1     m x m
Conjunto de todas combinaciones lineales de elementos de A es
llamado generado por A , y es denotado por Gen  A . O sea:
Gen  A  1 x1     m x m 1 ,, m  R
2.12 Teorema Sea A subconjunto finito, no vacío, de espacio
vectorial V . Luego Gen  A es subespacio de V , y es aquél “más
pequeño” en que A está incluido (o sea: si S es subespacio de V
y A  S , entonces Gen  A  S ).
Demostración Pongamos A  x1 ,, x m . Tenemos:
1) Si x, y  Gen  A; entonces existen escalares 1 ,,  m tales
que x  1 x1     m x m , y existen escalares 1 ,,  m tales
que y  1 x1     m x m . Luego
x  y  1 x1     m x m   1 x1     m x m 
 1  1 x1     m   m x m
lo que nos dice x  y  Gen  A .
2) Si x  Gen  A, entonces existen escalares 1 ,,  m tales
que x  1 x1     m x m . Luego, cualquiera sea   R ,
tenemos
 x   1 x1     m x m   1 x1    m x m
lo que nos dice  x  Gen  A.
Hemos demostrado que Gen  A es subespacio de V ;
demostremos ahora que es aquél “más pequeño” en que A está
incluido. De hecho: Si S es subespacio de V y A  S , entonces
cualquier suma finita de elementos de A , o equivalentemente
cualquier combinación lineal de elementos de A está en S . Esto
nos dice que cualquier elemento de Gen  A es también elemento
de S ; o sea: Gen  A  S .
13
2.13 Ejemplos de subespacios generados por
1) Sea A  1,1,0, 0,1,1; ¿cuál es subconjunto de R 3 , aquél
generado por A ? Tenemos que
Gen  A   1,1,0   0,1,1  ,   R
  ,    ,    ,   R
Pongamos
 x1  

 x2    
x  
 3
luego x1 , x2 , x3  Gen  A  x2  x1  x3 . Podemos pues
decir que Gen  A es descrito por ecuación x1  x2  x3  0 ; o
sea: Gen  A es plano que pasa por el origen cuyo vector
normal (en verdad uno de una infinidad de vectores
paralelos) es 1,1,1.
Tomemos conjunto A  1,1,0, 0,1,1, 1,0,1 en que A está
propiamente incluido (o sea: A es superconjunto propio de
A ); calculemos Gen  A. Es razonable suponer que A  A
implique Gen  A  Gen  A ; pero no es así. Lo cierto es
A  A  Gen  A  Gen  A; precisamente caso en estudio
es ejemplo de ello. De hecho:
Gen  A   1,1,0   0,1,1   1,0,1  ,  ,   R
    ,    ,      ,  ,   R
Como x1 , x2 , x3   Gen  A  x2  x1  x3 ; entonces plano
generado por A es aquél generado por A .
Tomemos ahora conjunto A  1,1,0, 0,1,1, 1,0,1, que
también es superconjunto propio de A . Pero, a diferencia de
A , conjunto A genera un superconjunto propio de
Gen  A ; de hecho Gen  A  R 3 . ¿Qué es lo que hace la
diferencia? Observemos que vector añadido en A es
combinación lineal de elementos de A ; pero vector añadido
en A no lo es. ¿Es ello lo que hace la diferencia?
14
2) Retomemos espacio vectorial Poli R  , visto en 2.8, ejemplo
cuarto. Este espacio vectorial es generado por
A  1, I n n  
pues
f  c01  c1 I    cn I n
función polinómica de grado n , es elemento genérico de
Poli R .
Observemos que hace falta infinidad de generadores para
generar Poli R  . De hecho: Supongamos Poli R  sea
generado por conjunto finito A ; o sea: A contiene número
finito de funciones polinómicas, digamos f1 ,, f p .
Denotemos nk a grado de f k ; como conjunto n1 ,, n p  es
finito, entonces existe n  máx n1 ,, n p . Esto nos dice que
no hay funciones polinómicas de grado n  1 en Gen  A ; o
sea: Gen  A  Poli R , que es contradicción.
¿Hace falta infinidad de generadores para generar Poli n R ?
15
2.14 Definición Decimos que A  x1 ,, x m  subconjunto de
espacio vectorial V es
1) linealmente independiente, o brevemente l.i., si y sólo si
1 x1     m x m  0  1     m  0
2) linealmente dependiente, o brevemente l.d., si y sólo si A
no es l.i.
2.15 Nota Si A , subconjunto finito de espacio vectorial V , tiene
único elemento, digamos A  x; entonces A es l.d. si y sólo si x
es elemento neutro de V .
Si esto no es obvio, entonces demostrarlo.
2.16 Nota Si A , subconjunto finito de espacio vectorial V , tiene
dos elementos, digamos A  x, y; entonces A es l.d. si y sólo si
uno de sus elementos es múltiplo escalar de aquél otro. O sea: si y
sólo si existe escalar  tal que x   y  y   x .
Si esto no es obvio, entonces demostrarlo.
2.17 Teorema Sea A subconjunto finito de espacio vectorial V
tal que #  A  2 . Luego A es l.d. si y sólo si existe un elemento
de A que es combinación lineal de elementos de A \ x.
Demostración Pongamos A  x1 ,, x m .
 Como A es l.d.; entonces cuanto menos uno de escalares en
m
ecuación   i x i  0 es no nulo, digamos  j  0 . Luego
i 1
i i
x , lo que nos dice que
i 1
 j ii1j

j
i j
combinación lineal de elementos otros de A .
 Queda como ejercicio.
xj  
1
m
m
 i xi   
xj
es
2.18 Corolario Si A , subconjunto finito de espacio vectorial V ,
contiene a elemento neutro de V ; entonces A es l.d.
Demostración Queda como ejercicio.
16
2.19 Ejemplo Retomemos 2.13, ejemplo primero. Conjunto
A  1,1,0, 0,1,1
es l.i., pues ninguno de sus elementos es múltiplo (subentendido
escalar) de aquél otro.
Conjunto
A  1,1,0, 0,1,1, 1,0,1
es l.d., pues 1,0,1, vector añadido a conjunto A para formar
conjunto A , es combinación lineal de elementos de A . De hecho
1,0,1  11,1,0   10,1,1
o simplemente
1,0,1  1,1,0  0,1,1
Conjunto
A  1,1,0, 0,1,1, 1,0,1
es l.i., pues 1,0,1 , vector añadido a conjunto A para formar
conjunto A , no es combinación lineal de elementos de A . De
hecho:
    0

 1,1,0   0,1,1   1,0,1  0,0,0      0
    0

Como matriz de sistema lineal (homogéneo) de ecuaciones
obtenido es inversible, pues
1 0 1
1 1 0 20
0 1 1 33
entonces única solución está dada por       0 .
Observemos que columnas de determinante arriba no son otras
que vectores de conjunto A , lo que no ha sido fortuito. Esto da
pie a teorema abajo.
17
2.20 Teorema Sean A conjunto formado por m vectores de R n , y
M A matriz cuyos vectores-columna son los vectores de A (puestos
en cualquier orden). Luego A es l.i. si y sólo si m  n y rango de
M A es m .
Demostración Es consecuencia inmediata de teoremas sobre
sistemas lineales homogéneos de ecuaciones.
2.21 Nota Matriz M A es cuadrada solamente cuando m  n . En
tal caso A es l.i. si y sólo si det M A   0 .
2.22 Ejercicios Sea A subconjunto finito, no vacío, de R n .
Demostrar que:
1) si A es l.i., entonces cualquier subconjunto no vacío de A
también es subconjunto l.i. de R n .
2) si A es l.d., entonces cualquier superconjunto de A también
es subconjunto l.d. de R n .
3) si x  R n , entonces
Gen  A  x  Gen  A  x  Gen  A
18
2.23 Definición Decimos que B , subconjunto finito, no vacío, de
espacio vectorial V , es base de V si y sólo si B es l.i. y
Gen B   V .
2.24 Nota Si V es espacio vectorial trivial, entonces no existe
base de V (¿por qué?).
2.25 Nota Si hay una base de espacio vectorial V , entonces hay
infinidad de bases en V . Ello es consecuencia de que hay
infinidad de números reales.
2.26 Ejemplos de bases de espacios vectoriales
1) Sea a cualquier número real no nulo; luego conjunto a es
base de R , lo que es fácilmente verificable. ¿Hay alguna
base de R que tenga dos o más elementos? No. De hecho:
Supongamos que a y b estén en una base de R , digamos
B . Como ninguno de ellos es 0, entonces existe escalar 
tal que b   a , lo que nos dice contradictoriamente que B
es l.d. Dicho sea de paso, base de R , aquélla llamada
canónica, es 1.
2) Base canónica de R n es  1 ,,  n , donde  k es aquél
vector cuya coordenada k –ésima es 1 y todas coordenadas
otras son nulas. Como ejemplos, 1,0, 0,1 es base
canónica de R 2 , y 1,0,0, 0,1,0, 0,0,1 es base canónica de
R3.
Subconjunto b1 ,, b n  de R n , donde b k    j , para cada
k
j 1
k  1,, n , ¿es él base de R ?
3) Dados i  1,, m y j  1,, n, denotemos Aij a matriz de
orden m n , aquélla cuya casilla i, j  es 1 y todas casillas
otras son nulas. Es fácilmente demostrable que
Aij i 1,, m, j 1,, n es base de R mn ; tengamos en
cuenta que hay mn matrices en ella.
n
19
2.27 Definición Sean B  b1 ,, b n  base de espacio vectorial V ,
y x elemento de V . Una representación de x en B es cualquier
combinación lineal de elementos de B que dé x . O sea: si
x  1b1     nb n
entonces 1b1    nb n es representación de x en base B .
2.28 Ejemplo Demostremos que B0  1,0, 0,1 es base de R 2 .
Tenemos:
1 0
1) B0 es l.i., pues
1  0.
0 1
2) B0 genera R 2 , pues, para cada x1 , x2   R 2 , tenemos
x1 , x2   x1 1,0  x2 0,1
que nos dice x1 , x2  Gen B0  .
Como ejemplo,
 51,0  40,1
es representación de  5,4 en base B0 , pues
 51,0  40,1   5,4
¿Hay otra representación de  5,4 en esta base? Respuesta es no
(verificarlo).
Dicho sea de paso, B0 es llamada base canónica de R 2 .
2.29 Teorema Sean B  b1 ,, b n  base de espacio vectorial V , y
x elemento de V . Luego existe única representación de x en base
B.
Demostración Supongamos existan representaciones diversas
de x en base B , sean 1b1    nb n y 1b1     nb n dos
cualesquiera de ellas. Luego
1b1     nb n  1b1     nb n
 1  1b1   n   n b n  0
Como B  b1 ,, b n  es base de V ; entonces  j   j  0 , para
todo j  1,, n , lo que nos dice contradictoriamente que ambas
representaciones son iguales. Concluimos pues que existe única
representación de x en base B .
20
2.30 Nota En adelante, avalados por teorema arriba, hablaremos
de la representación de un elemento, digamos x , de un espacio
vectorial V en base B de V . Pero hay que tener en cuenta que: si
B es otra base de V y x  0 , entonces sendas representaciones de
x no son iguales (es obvio que representación de elemento neutro
de V es igual en todas bases de V ).
2.31 Definición Sean B  b1 ,, b n  base de espacio vectorial V ,
x elemento de V , y 1b1    nb n la representación de x en
base B . Decimos por ello que 1 ,, n , en este orden, son las
coordenadas de x en base B , y escribimos x  1 ,,  n B .
2.32 Nota Si x  R n y escribimos x  x1 ,, xn  , sin especificar
base; entonces es subentendido que hemos escrito las coordenadas
de x en base canónica de R n .
2.33 Nota Bases de un espacio vectorial son conjuntos digamos
ordenados. Como ejemplo, B0  1,0, 0,1 y B1  0,1, 1,0,
bases de R 2 , son iguales como conjuntos (pues tienen mismos
elementos), pero no como bases. Para darse cuenta de ello
observemos que  51,0  40,1 es la representación de
x   5,4 en primera de bases, y 40,1   51,0 en segunda;
luego x   5,4B y x  4,5B . Si estas bases fuesen iguales,
entonces coordenadas de x serían iguales en cada una de ellas.
0
1
21
2.34 Ejemplo Sean B  u, v base de espacio vectorial V , y
a, b, c, d números reales. ¿Cuándo B  au  bv, cu  dv es base
de V ?
Hace falta que B sea l.i. Tenemos
 au  bv    cu  dv   0  a  c u  b  d v  0
Como B es l.i., pues es base de V ; entonces
a  c  0

b  d  0
Como existencia de única solución de este sistema, dada por
    0 , se da solamente cuando ad  bc  0 ; entonces B es l.i.
si y sólo si ad  bc  0 .
Hace también falta que B genere V . Basta pues demostrar que
V  Gen B (inclusión otra es obvia). De hecho: Tomemos
cualquier x  R 2 ; luego x  x1 , x2 B . Supongamos que B genere
V ; luego existen escalares  y  tales que
 au  bv    cu  dv   x1u  x2 v
 a  c  x1 u  b  d  x2 v  0
Como B es l.i., pues es base de V ; entonces
a  c  x1

b  d  x2
Como ad  bc  0 , pues B es l.i.; entonces existen sendos valores
(únicos) de  y de  que resuelven sistema arriba. O sea: está en
Gen B , lo que da término a demostración.
22
2.35 Ejemplo Sea B base de espacio vectorial V tal que
# B   2 . ¿Existe base de V que tenga tres o más elementos?
Supongamos que sí. Sean B una base tal y u, v, w  B . Luego
u  u1 , u2 B , v  v1 , v2 B y w  w1 , w2 B ; pero
u1 , u2 , v1 , v2 , w1 , w2 
es conjunto de tres vectores de R 2 , y como tal es l.d. según
teorema 2.20. Esto es contradicción, pues u, v, w es subconjunto
de un conjunto l.i, y como tal es l.i.
Conclusión: no hay base de V que tenga tres o más elementos.
La pregunta es ahora: ¿existe base de V que contenga único
elemento? Pongamos B  u, v, y supongamos que B  w
también sea base de V . Luego existen escalares  y  tales que
u   w y v   w ; pero esto contraviene independencia lineal de
B.
Conclusión: Si una base de espacio vectorial V tiene dos
elementos, entonces toda base de V tiene dos elementos.
Esto es en general válido cuando una base de un espacio vectorial
tiene n elementos; pero todo espacio vectorial, no trivial, ¿tiene él
una base?
23
2.36 Teorema Todo espacio vectorial, no trivial, tiene una base.
Demostración Excede alcance de este texto.
2.37 Dimensión de un espacio vectorial Teorema 2.36 es válido
para cualquier espacio vectorial. De momento decimos que un
espacio vectorial es:
1) de dimensión infinita si y sólo si cualquier conjunto que lo
genere tiene infinidad de elementos (lo que implica que
cualquier base de él tiene infinidad de elementos).
2) de dimensión finita si y sólo si no es de dimensión infinita
(lo que implica que cualquier base de él tiene número finito
de elementos).
Espacio vectorial Poli R  es de dimensión infinita (ver 2.13,
segundo ejemplo). De otro lado, ejemplo típico de espacio
vectorial de dimensión finita es R n .
2.38 Teorema Si B y B son bases de mismo espacio vectorial,
entonces # B   # B.
Demostración Excede alcance de este texto.
2.39 Nota Símbolo # B  en teorema 2.38 es leído “cardinalidad
de conjunto B ”. Cardinalidad de un conjunto finito es su número
de elementos; cardinalidad de un conjunto infinito es noción más
elaborada.
2.40 Definición Decimos que es espacio vectorial V es
1) de dimensión finita si y sólo si cualquier base de él es
finita. En tal caso escribimos dim V   n , donde número
natural n es cardinalidad de cualquiera de sus bases.
2) de dimensión infinita si y sólo si V no es de dimensión
finita.
24
2.41 Dimensión de algunos espacios vectoriales
1) Dimensión de cualquier espacio vectorial trivial es 0; ello
porque en tales espacios no hay conjuntos l.i.
2) Dimensión de espacio vectorial R es 1 (ver 2.26, ejemplo
primero).
3) Dimensión de espacio vectorial R n es n (ver 2.26, ejemplo
segundo). De hecho cualquier subconjunto l.i. de R n , de n
elementos, es base de R n (demostración queda como
ejercicio).
4) ¿Cómo calculamos dimensión de un subespacio de R n ?
Sean S subespacio de R n y x su elemento genérico. Nos
preguntamos ¿cuántas coordenadas de x basta conocer para
conocer cabalmente a x ? Respuesta es dimensión de S .
Como ejemplo, sea S  r , r  s,0, s, t  r , s, t  R. Está claro
que S es subespacio de R 5 ; ¿cuál es su dimensión? Como
su elemento genérico r , r  s,0, s, t  queda cabalmente
conocido cuando conocidas sus coordenadas primera, cuarta
y quinta; entonces dim S   3 .
5) Dimensión de espacio vectorial R mn es mn (ver 2.26,
ejemplo tercero)
6) Dimensión de Poli n R  (ver 2.8, ejemplo cuarto) es n  1,
pues su base canónica es 1, I ,, I n .
7) Hemos también visto espacios de dimensión infinita, como
Poli R , cuya base canónica 1, I n n   tiene infinidad de
elementos, como cualquier base otra de este espacio
vectorial; de hecho cualquier base de Poli R  es conjunto
infinito contable. De otro lado, espacio vectorial F R, R 
(ver 2.4, ejemplo cuarto) de todas funciones reales de
variable real, cuyo dominio es R , también es de dimensión
infinita, pues contiene (propiamente) a Poli R  ; pero
cualquier base de F R, R  es conjunto infinito no contable
(conjunto “enorme”). En general, en caso que espacio
vectorial V sea de dimensión infinita podemos escribir
dim V    ; pero tengamos en cuenta que ello es impreciso
a la luz de dos ejemplos arriba de espacios vectoriales de
dimensión infinita.
25
2.42 Ejercicios
1) Sean v vector no nulo de R n , y  número real; pongamos
H v,   x  R n v  x   
H v,  es llamado hiperplano en R n cuyo vector normal
es v y su nivel es  . Observemos que hiperplanos en R 2
son rectas y que hiperplanos en R 3 son planos.
Demostrar que H v,  es subespacio de R n si y sólo si
  0 (o equivalentemente, si y sólo si H v,  contiene al
origen de R n ). ¿Cuál es dimensión de H v,0 ?
2) Sabemos que S n , conjunto de todas matrices simétricas de
orden n , y An , conjunto de todas matrices antisimétricas
de orden n , son subespacios de R nn (ver 2.10, ejemplo
tercero). ¿Cuáles son dim S n y dim  An?
3) Sea S subespacio de Poli n R , aquél formado por todas
funciones polinómicas f  x  que cumplen f 0  f 1  0 .
¿Cuál es dim S  ?
26