Download Contratos Gerenciales y Competencia en Precios o Cantidades

CONTRATOS GERENCIALES Y COMPETENCIA EN PRECIOS O
CANTIDADES COMO HERRAMIENTAS ESTRATÉGICAS EN UN
DUOPOLIO DIFERENCIADO
Monique Lucy Castillo Velosa
Facultad de Economía
Ponti…cia Universidad Javeriana
Flavio Jácome Liévano
Departamento de Economía
Ponti…cia Universidad Javeriana
Resumen
En el contexto de mercados imperfectos, las empresas pueden hacer uso de
diferentes herramientas para competir estratégicamente con sus rivales. Tal
es el caso de los modelos clásicos de competencia de Cournot y Stackelberg
en los que las empresas compiten eligiendo cantidades, o Bertrand en el que
las empresas compiten eligiendo precios. En el presente trabajo se analiza un
duopolio diferenciado en el que las empresas utilizan dos posibles herramientas
estratégicas: los contratos de incentivos gerenciales y la elección de precios o
cantidades. Los principales resultados del trabajo son: i) cuando las empresas
no contratan gerentes y pueden acordar contratos de cantidades o precios con
los consumidores, en equilibrio cuando los bienes son sustitutos, los contratos
de cantidades son una estrategia dominante y cuando son complementarios los
contratos de precios son una estrategia dominante. ii) Cuando las empresas
contratan gerentes y pueden acordar contratos de cantidades o precios con los
consumidores, en equilibrio se obtiene que tanto para bienes sustitutos como
complementarios, los contratos de precios son una estrategia dominante. iii)
Cuando las empresas pueden elegir si contratan o no gerentes y pueden acordar
contratos de precios o cantidades con los consumidores, en equilibrio cuando los
bienes son sustitutos una de las empresas contrata gerente y elige cantidades
y la otra empresa no contrata gerente y elige cantidades o precios; cuando los
bienes son complementarios ambas empresas contratan gerente y eligen precios.
iv) En términos de bienestar social, el resultado óptimo se lograría cuando las
empresas compiten a la Bertrand y no contratan gerentes. Sin embargo, el
bienestar social asociado a los anteriores resultados de equilibrio es en todos los
casos inferior al óptimo.
Código JEL: C72, D43, D60, L13
Palabras Clave: Contratos de Incentivos Gerenciales, Competencia en Precios o
Cantidades, Duopolio Diferenciado, Bienes Sustitutos, Bienes Complementarios,
Equilibrio de Nash Perfecto en Subjuegos
1
Managerial contracts and price or quantity competition as strategic tools in a
di¤erentiated duopoly
Monique Lucy Castillo Velosa
Facultad de Economía
Ponti…cia Universidad Javeriana
Flavio Jácome Liévano
Departamento de Economía
Ponti…cia Universidad Javeriana
Abstract
In the context of imperfect markets, …rms can use di¤erent strategic tools to
compete with other …rms. This is the case of Cournot and Stackelberg competition in which …rms choose quantities, or Bertrand competition in which …rms
choose prices. In this paper we consider a di¤erentiated duopoly in which …rms
can use two di¤erent strategic tools: managerial incentive contracts and price or
quantity contracts with consumers. Our main results are: i) If …rms do not hire
managers and can agree price or quantity contracts with consumers, in equilibrium, quantity contracts are a dominant strategy when goods are substitutes
but price contracts are a dominant strategy when goods are complements; ii) If
…rms hire managers and can agree price or quantity contracts with consumers,
in equilibrium, price contracts are a dominant strategy both for substitutes and
complement goods; iii) If …rms are allowed to choose whether or not to hire
managers and they can agree price or quantity contracts with consummers, in
equilibrium, one of them hires a manager and chooses quantity contract and
the other …rm does not hire a manager and chooses quantitie or price contracts,
when goods are substitutes; however, …rms hire managers and agree price contracts, when goods are complements; iv) From a social welfare point of view,
e¢ ciency is achieved when …rms do not hire managers and agree price contracts
with consumers. However, social welfare associated with equilibrium results, is
in all cases lower than this e¢ cient state of a¤airs.
Key words: Managerial incentive contracts, Price and Quantity Competition,
Di¤erentiated Duopoly, Substitute goods, Complement Goods, Subgame-Perfect
Nash Equilibrium
2
INTRODUCCION
En los modelos tradicionales para el análisis de mercados de competencia
imperfecta como Cournot (1838), Bertrand (1883) y Stackelberg (1934), se considera que las empresas compiten eligiendo la misma variable estratégica de
mercado: cantidades producidas en el caso de Cournot o Stackelberg y precios, en el caso de Bertrand. En cada uno de estos modelos, la decisión sobre
cuál debe ser la variable estratégica para competir con los rivales, es exógena.
Un trabajo de Singh y Vives (1984) plantea la posibilidad de que las empresas
puedan decidir endógenamente la variable estratégica con la que desean competir (cantidades o precios), agregando para tal efecto una etapa previa a los
modelos mencionados. De esta manera, las empresas pueden elegir la variable
de mercado que más convenga a sus intereses, cuando los bienes producidos son
sustitutos o complementarios.
Un aspecto adicional que generalmente no hace parte del análisis del comportamiento estratégico en el contexto de mercados imperfectos, consiste en que
no se considera una separación entre la propiedad y el control de las empresas
y por tanto las decisiones sobre las variables del mercado son tomadas por sus
dueños. En la realidad, sin embargo, frecuentemente los dueños contratan a
un gerente para para que tome las decisiones sobre aspectos tales como cuánto
producir, a qué precio ó cuál deber ser el nivel de inventarios de insumos y de
productos, entre muchas otras.
Desde la óptica de la administración de empresas, el enfoque clásico considera al gerente como un ejecutor de acciones de planeación, organización y
control de los procesos internos de la empresa, buscando el objetivo de e…ciencia en el uso de los recursos de la organización. Por su parte, la administración
moderna considera que la actividad del gerente no se circunscribe a los aspectos
puramente operativos y de organización interna, sino que su objetivo central es
la e…ciencia productiva entendida como las acciones dirigidas al posicionamiento
estratégico de las organizaciones en el ámbito de su entorno competitivo, haciendo énfasis en el objetivo de satisfacer las necesidades de los consumidores
expresadas en la demanda del mercado.
Algunos autores de la teoría moderna de la administración como Coase
(1937), consideran importante el mecanismo de mercado en donde el sistema de
precios es el que orienta las necesidades y las oportunidades para la asignación
de recursos; sin embargo, al interior de la empresa el principio de organización
es diferente, ya que a través de la jerarquía, la autoridad de la misma efectúa la
reasignación de recursos. Para Coase la empresa y el mercado son medios alternativos de organización económica de las mismas transacciones y la empresa es
la que determina qué actividades debe organizar internamente (jerárquicamente)
y cuáles debe encargar a otras empresas (a través del mercado).
3
Para Williamson (1975) este conjunto de elementos da lugar a que los precios
sean señales insu…cientes para la toma de decisiones e…ciente, por lo que la
organización interna de las empresas puede ser un elemento importante para el
intercambio mediado por el mercado.
En la medida en que las relaciones entre proveedores y usuarios transcurren en un ambiente de incertidumbre, oportunismo y racionalidad limitada, el
intercambio de información cuantitativa y cualitativa se veri…ca por medio de
relaciones contractuales, ya que la existencia de fallas de mercado genera condiciones para el surgimiento de comportamientos estratégicos no cooperativos por
parte de los agentes económicos y la recreación de un contexto de incertidumbre
para la toma de decisiones.
Aunque las teorías modernas de la administración incluyen análisis sobre la
empresa y los mercados, tales teorías generalmente no tienen en cuenta la "estructura de mercado" en la cual los gerentes deben tomar decisiones estratégicas.
Los trabajos pioneros de Fershtman y Judd (1989) y Sklivas (1989), han hecho
aportes importantes desde la óptica de la economía, para el análisis de la delegación del control de las empresas como herramienta estratégica, para competir
con los rivales en el contexto de mercados imperfectos.
El presente trabajo tiene como objetivo analizar los efectos sobre el mercado
del uso de dos herramientas estratégicas que las empresas tienen disponibles para
competir con los rivales en un contexto de competencia imperfecta: la elección
de precios o cantidades y la delegación del control en un gerente, mediante
contratos de incentivos.
En la sección 1 se presenta el modelo de competencia en precios o cantidades
en un duopolio diferenciado, propuesto por Singh y Vives (1984); en la sección
2 se presenta el modelo de competencia imperfecta propuesto por Fershtman
y Judd (1989), que incluye como variable estratégica los contratos gerenciales;
en la sección 3 se presenta un modelo de duopolio con bienes diferenciados
que combina la elección estratégica de precios o cantidades y los contratos de
incentivos gerenciales; en la sección 4 se analiza el efecto de las herramientas
estratégicas, consideradas en la sección 3, sobre el bienestar social y en la sección
5 se presentan las conclusiones.
4
1. ELECCION ESTRATEGICA DE PRECIOS O CANTIDADES EN UN
DUOPOLIO DIFERENCIADO
En esta sección de presenta el trabajo de Singh y Vives (1984) que servirá
como base para el análisis presentado en la sección 3. El modelo considera dos
empresas, cada una de las cuales produce un bien diferenciado. Se supone que
el consumidor representativo tiene una función de utilidad lineal y separable en
el bien numerario1 . Todos los agentes económicos involucrados son neutrales al
riesgo2 . El problema que resuelve el consumidor representativo es
2
X
M ax U (q1 ; q2 )
q1 ;q2
pi q i
I=1
donde qi es la cantidad del bien i y pi es el precio del bien i. Se asume que
U (q1 ; q2 ) es cuadrática y estrictamente cóncava:
U (q1 ; q2 ) =
i;
i
> 0;
i j
2
1 q1
>0y
+
2 q2
i j
(
j
2
1 q1
+ 2 q 1 q2 +
2
2 q2 )=2
> 0 para i; j = 1; 2 y i 6= j
La anterior función de utilidad genera una estructura de demanda lineal
cuyas funciones inversas son:
p1 =
1
1 q1
q2
p2 =
2
2 q2
q1
Las funciones directas de demanda correspondientes son
q1 = a1
b1 p1 + dp2
q2 = a2
b2 p2 + dp1
donde
1 El
bien numerario se produce en un mercado perfectamente competitivo
supuesto de neutralidad al riesgo se mantendrá en esta sección y en las secciones
posteriores
2 El
5
ai = (
d= =
= 1
i j
)= ; bi =
j
j=
; i; j = 1; 2; i 6= j
2
2
Los bienes son sustitutos, independientes o complementarios, cuando > 0;
= 0 ó
< 0, respectivamente. En términos de las funciones directas de
demanda, los bienes son sustitutos, independientes o complementarios, cuando
d > 0, d = 0 ó d < 0, respectivamente.
Los autores desarrollan un juego en dos etapas. En la etapa 1, las empresas pueden elegir entre dos tipos de contratos con los consumidores: contrato
de precios o contrato de cantidades. Si una de las empresas elige contrato de
precios, se compromete a ofrecer la cantidad que los consumidores demanden al
precio acordado, independientemente del tipo de contrato que la otra empresa
haya acordado con los consumidores. Igualmente, si una de las empresas elige
contrato de cantidades, está obligada a ofrecer la cantidad acordada, independientemente del contrato elegido por la otra empresa. En la etapa 2, las empresas
compiten de acuerdo con el tipo de contrato elegido en la etapa 1. Suponiendo
que las empresas producen con costo marginal constante c = 0, a continuación
se presenta la solución del juego por inducción hacia atrás, para cada posible
contrato con los consumidores elegido por las empresas en la etapa 1.
1.1 Las dos empresas eligen contratos de precios3
El problema que resuelve cada una de las empresas es:
M ax
pi
i
= pi qi = pi (ai
bi pi + dpj ); i; j = 1; 2; i 6= j
de las condiciones de primer orden se obtiene:
pi =
(ai + dpj )
; i; j = 1; 2; i 6= j
2bi
(1)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (1), se obtienen los precios, las cantidades y los bene…cios de equilibrio:
pi =
(daj + 2ai bj )
; i; j = 1; 2; i 6= j
4bi bj d2
3 En este problema se utilizan las funciones directas de demanda q = (a
i
i
i; j = 1; 2; i 6= j:
6
bi pi + dpj );
qi =
bi (daj + 2ai bj )
; i; j = 1; 2; i 6= j
4bi bj d2
2
i
=
bi (daj + 2ai bj )
(d2
2
4bi bj )
; i; j = 1; 2; i 6= j
1.2 Las dos empresas eligen contratos de cantidades4
El problema que resuelve cada una de las empresas es:
M ax
qi
i
= pi q i =
qi (daj
dqj + ai bj
b i bj d 2
bj q i )
; i; j = 1; 2; i 6= j
de las condiciones de primer orden se obtiene:
qi =
daj
dqj + ai bj
; i; j = 1; 2; i 6= j
2bj
(2)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (2), se obtienen las cantidades, los
precios y los bene…cios de equilibrio:
qi =
pi =
i
=
2ai bi bj d2 ai + daj bi
; i; j = 1; 2; i 6= j
4bi bj d2
2ai bi b2j ai d2 bj + aj bi dbj
; i; j = 1; 2; i 6= j
d4 5d2 bi bj + 4b2i b2j
bj 2ai bi bj
(d2
ai d2 + aj bi d
2
d2 )
4bi bj ) (bi bj
2
; i; j = 1; 2; i 6= j
1.3 La empresa i elige contrato de precios y la empresa j elige contrato de
cantidades5
4 En
este caso se utilizan las funciones inversas de demanda pi =
i; j = 1; 2; i 6= j
5 En
y pj =
este problema se utilizan las funciones de demanda qi =
(aj
qj +dpi )
bj
7
(daj
(daj
dqj +ai bj
bi bj d2
dqj +ai bj +d2 pi
bj
bj qi )
;
bi bj pi )
El problema que resuelve la empresa i es:
M ax
pi
i
= pi q i =
pi daj
dqj + ai bj + d2 pi
bj
b i bj p i
; i; j = 1; 2; i 6= j
De las condiciones de primer orden se obtiene
(daj dqj + ai bj )
; i; j = 1; 2; i 6= j
2bi bj 2d2
pi =
(3)
El problema que resuelve la empresa j es:
M ax
qj
j
= pj q j =
qj (aj
qj + dpi )
; i; j = 1; 2; i 6= j
bj
De las condiciones de primer orden se obtiene
qj =
aj + dpi
; i; j = 1; 2; i 6= j
2
(4)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (3) y (4) se obtiene el precio pi y la
cantidad qj de equilibrio:
pi =
qj =
daj + 2ai bj
; i; j = 1; 2; i 6= j
4bi bj 3d2
2aj bi bj d2 aj + dai bj
; i; j = 1; 2; i 6= j
4bi bj 3d2
El precio pj , la cantidad qi y los bene…cios de equilibrio, son:
pj =
qi =
2aj bi bj aj d2 + ai bj d
; i; j = 1; 2; i 6= j
4bi b2j 3d2 bj
(daj + 2ai bj ) bi bj
4bi b2j 3d2 bj
8
d2
; i; j = 1; 2; i 6= j
i
=
j
=
bi bj
2
d2 (daj + 2ai bj )
bj (3d2
2aj bi bj
aj d2 + ai bj d
bj (3d2
; i; j = 1; 2; i 6= j
2
4bi bj )
2
4bi bj )
2
; i; j = 1; 2; i 6= j
Sea C
i el bene…cio de la empresa i cuando ambas eligen contratos de cantidades (competencia a la Cournot); B
i el bene…cio de la empresa i cuando
el bene…cio
ambas eligen contratos de precios (competencia a la Bertrand); q;p
i
de la empresa i cuando la empresa i elige contratos de cantidades y la empresa
j elige contratos de precios y p;q
el bene…cio de la empresa i cuando la emi
presa i elige contratos de precios y la empresa j elige contratos de cantidades.
Con base en los resultados anteriores, los autores encuentran que cuando los
q;p
p;q
bienes son sustitutos, C
> B
i > i
i > i . Sin embargo, cuando los bienes
p;q
q;p
son complementarios, B
> C
i > i
i > i . Esto implica que cuando los
bienes son sustitutos, los contratos de cantidades son una estrategia dominante
para ambas empresas (lo mejor que cada empresa puede hacer es elegir el contrato de cantidades, independientemente del contrato que la otra empresa haya
acordado con los consumidores). Sin embargo, cuando los bienes son complementarios, los contratos de precios son una estrategia dominante para ambas
empresas (lo mejor que cada empresa puede hacer es elegir el contrato de precios, independientemente del contrato que la otra empresa haya acordado con
los consumidores).
Desde el punto de vista del bienestar social, cuando los bienes son sustitutos,
el resultado anterior no es el mejor, debido a que el excedente del consumidor
y el excedente total son más altos con competencia en precios. Sin embargo,
desde el punto de vista de las empresas es favorable, porque el bene…cio con
competencia a la Cournot es mayor que el que se obtiene con competencia a
la Bertrand. En el caso de bienes complementarios, la elección de contratos
de precios aumenta los bene…cios y el excedente del consumidor y por tanto el
bienestar social.
9
2. DELEGACION ESTRATEGICA EN UN MODELO DE COMPETENCIA
IMPERFECTA
La teoría económica clásica tradicionalmente ha considerado que las empresas actúan con el único objetivo de maximizar bene…cios. Sin embargo, en la
práctica los dueños de muchas empresas delegan el control en un gerente cuyos
intereses pueden estar en con‡icto con los intereses de los dueños. Esto puede
ocurrir porque los dueños no tienen su…ciente conocimiento sobre las variables
del mercado tales como la demanda, los precios de los insumos, el mercado laboral, o el entorno del negocio propio de la empresa, entre otras varias razones.
Debido principalmente a estas asimetrías de información, el objetivo de un gerente no necesariamente consiste en maximizar bene…cios. Un gerente podría
tener como objetivo, por ejemplo, maximizar la ventas. La relación dueño gerente se puede analizar como un problema agente - principal, en el que el
principal es el dueño de la empresa y el agente es el gerente, a quien el dueño
le ofrece un contrato de incentivos para lograr ciertos resultados en el mercado.
Cuando el mercado es oligopólico, los contratos de incentivos que los dueños
…rman con sus gerentes no pueden ser ajenos a las interacciones propias de la
competencia entre empresas rivales. Los trabajos de Fershtman y Judd (1989)
y Sklivas (1989), analizan los contratos de incentivos con los gerentes como
una herramienta estratégica para competir con los rivales y presentan una aplicación en el contexto de mercados imperfectos, encontrando que los contratos
de equilibrio no proveen incentivos para que los gerentes tengan como objetivo
la maximización de bene…cios. A continuación se expone la idea desarrollada
por los autores mencionados.
El modelo considera dos empresas, cada una con un dueño (cuyo objetivo es
maximizar bene…cios) y un gerente. Las empresas producen un bien homogéneo
con costo marginal constante c 6= 0 y se enfrentan a una curva lineal de demanda
p = a bQ con a; b > 0; a > c. El juego se desarrolla en dos etapas. En la etapa
1 el dueño de cada empresa …rma un contrato de incentivos con el gerente. En
la etapa 2, los gerentes de las empresas observan el contrato …rmado con cada
uno de los dueños en la etapa 1 y eligen la cantidad que deben producir, en un
contexto de competencia a la Cournot.
Se asume que el dueño de la empresa i remunera al gerente (quien se supone
neutral al riesgo) en proporción a una combinación lineal entre bene…cios y
ventas de la empresa, de la siguiente manera:
wi = gi + hi ui
donde:
wi es el salario del gerente, acordado con el dueño mediante un contrato
cuyo cumplimiento tiene efectos legales.
10
gi es una constante y representa el costo de oportunidad del gerente (el
salario que ganaría en la mejor alternativa posible)
hi es una constante que representa la proporcíón de ui (una combinación
lineal entre bene…cios ( i ) y ventas (si ) de la empresa i), que se le paga al
gerente como parte de su salario
ui = i i + (1
i )si
Si el parámetro de incentivos i = 1, el contrato compromete al gerente a estar en consonancia con los objetivos del dueño; es decir, a maximizar bene…cios.
En este caso el resultado del mercado es equivalente a aquel en el que la empresa
es gestionada directamente por el dueño. Si i < 1, el contrato compromete
al gerente a ser más agresivo en ventas6 . Si i > 1, el contrato compromete
al gerente a ser menos agresivo en ventas. No se impone ninguna restricción
al valor del parámetro i y se permite que incluso tome valores negativos. A
continuación se presenta la solución del juego por inducción hacia atrás.
Etapa 2: elección simultánea de cantidades
Suponiendo que hi = hj = h, el gerente de la empresa i resuelve el siguiente
problema:
M ax ui =
qi
i i
+ (1
i )si ;
i = 1; 2
donde
c)qi = (a c qi qj )qi ; i; j = 1; 2; i 6= j
i = (p
si = pqi = (a qi qj )qi ; i; j = 1; 2; i 6= j
de las condiciones de primer orden se obtiene
qi =
(a
qj c i )
; i; j = 1; 2; i 6= j
2
(5)
Si i < 1, las funciones de mejor respuesta se desplazarían hacia afuera7
(…gura 1) hasta q1 (q2 ) y q2 (q1 ), generando un aumento de las cantidades de
equilibrio qi ; una disminución del precio de mercado y una disminución de los
bene…cios de las empresas.
6 Respecto
7 En
al caso en el que ninguna de las empresas contrata gerente.
relación con el caso en que i = 1
11
Figura 1
q2
6
5
q*1(q2)
4
q1(q2)
3
C
2
A
1
q*2(q1)
B
q2(q1)
0
0
1
2
3
Funciones de reacción qi (qj ) con
4
i
5
6
q1
= 1 y qi (qj ) con
i
<1
Resolviendo el sistema de ecuaciones (5), se obtienen las cantidades de equilibrio:
qi =
a
2c
i
+c
3
j
; i; j = 1; 2; i 6= j
Etapa 1
El dueño de la empresa i resuelve el problema
M ax
i
= (p
c)qi =
(a
2c
i
+c
j ) (a
3c + c
i
+c
9
i
j)
; i; j = 1; 2; i 6= j
de las condiciones de primer orden se obtiene:
i
=
a
6c + c
4c
j
; i; j = 1; 2; i 6= j
Resolviendo el sistema de ecuaciones (6) se obtiene:
12
(6)
i
=
6c a
c a
=1+
; i = 1; 2
5c
5c
dado que a > c, entonces i < 1. Esto signi…ca que en equilibrio, el dueño
de cada empresa …rma con el gerente un contrato de incentivos que lo obliga a
ser más agresivo en ventas, que en el caso en que no hay contratos de incentivos.
Las cantidades, el precio y los bene…cios de equilibrio son:
qi =
2(a
c)
5
p=
; i = 1; 2
a + 4c
5
2
i
=
2 (a c)
; i = 1; 2
25
En equilibrio, la cantidad total es mayor y el precio y los bene…cios son
menores que en el caso de competencia a la Cournot sin contratos de incentivos.
Fershtman y Judd (1989) explican intuitivamente este resultado, de la siguiente
manera: si el gerente de la empresa i elige i < 1, su curva de reacción se
desplaza hacia la derecha (pasando del punto A al punto B, en el caso de la
empresa 1, como se muestra en la …gura 1). Dado que el gerente de la empresa
j es informado sobre el valor de i , signi…ca que el dueño de la empresa i actúa
como un líder de Stackelberg en relación con el gerente de la empresa j. De
esta manera, el dueño de cada empresa actúa como un líder de Stackelberg en
relación con el gerente de la otra empresa, por lo cual terminan en el punto C.
Los autores también presentan el análisis de la delegación del control en
el contexto de dos empresas que producen bienes diferenciados y compiten en
precios (a la Bertrand). Las funciones de demanda de cada uno de los bienes
son lineales y están dadas por las ecuaciones qi = (a bpi + dpj ) ; i; j = 1; 2;
i 6= j; 0
d
1. La secuencia del juego es similar a la presentada en el
juego anterior de competencia a la Cournot. En la etapa 1 los dueños de las
empresas determinan el parámetro de incentivos i y en la etapa 2 los gerentes
determinan el precio pi , habiendo observado previamente sus contratos. Si las
empresas producen con costo marginal constante c, la solución del juego por
inducción hacia atrás es:
Etapa 2: Elección del precio pi
El gerente de la empresa i resuelve el siguiente problema:
13
M ax ui =
pi
i i
+ (1
i )si
= (pi
c i ) (a
bpi + dpj ) ; i; j = 1; 2; i 6= j
donde
cqi = (pi c) (a bpi + dpj ) ; i; j = 1; 2; i 6= j
i = pi q i
si = pi qi = pi (a bpi + dpj ) ; i; j = 1; 2; i 6= j
de las condiciones de primer orden se obtiene
pi =
(a + dpj + cb i )
; i; j = 1; 2; i 6= j
2b
(7)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (7), los precios de equilibrio en la etapa
2 son
pi =
2ab + ad + 2b2 c i + cbd
4b2 d2
j
; i; j = 1; 2; i 6= j
Etapa 1: El dueño de cada empresa …rma el contrato de incentivos con el
gerente
El dueño de la empresa i resuelve el siguiente problema:
M ax
i
=
i; j
=
b ad
2c i b2 + c
j bd
+ 2ab + c i d2
cd2
(4b2
i
4b2 c + 2ab + ad + 2b2 c
2
d2 )
1; 2; i 6= j
de las condiciones de primer orden se obtiene:
i
=
ad3 + 8b4 c + cd4 + 2abd2 6b2 cd2 + bcd3
8b4 c 4b2 cd2
14
j
; i; j = 1; 2; i 6= j
(8)
i
+ bcd
j
Resolviendo el sistema de ecuaciones (8), se obtienen los valores de equilibrio
de los parámetros de incentivos:
i
=
ad2 + 4b3 c + cd3 2bcd2 2b2 cd
; i = 1; 2
4b3 c bcd2 2b2 cd
Este resultado se puede expresar como:
i
=1+
d2 (a
cb(4b2
bc + cd)
; i = 1; 2
2bd d2 )
El segundo término de la expresión anterior es positivo, por lo que i >
1. Esto signi…ca que en equilibrio, el contrato compromete al gerente a ser
menos agresivo en ventas (respecto al caso en el cual ninguna empresa contrata
gerente). Este valor de i hace que las funciones de mejor respuesta de los
gerentes p1 (p2 ) y p2 (p1 ) (ecuaciones (7)) se desplacen hasta p1 (p2 ) y p2 (p1 ) tal
como se muestra en la …gura 2, generando en equilibrio unos precios más altos
que en el caso sin gerentes.
Figura 2
p2
3
p1(p2)
p1*(p2)
2
p2*(p1)
1
p2(p1)
0
0
1
2
Funciones de reacción pi (pj ) con
i
3
p1
= 1 y pi (pj ) con
Las cantidades, los precios y los bene…cios de equilibrio son:
15
i
>1
pi =
qi =
i
= 2b
2cb2 + 2ab
4b2 2bd
cd2
; i = 1; 2
d2
2b2 d2
(a
4b2 2bd d2
2b2
(4b2
2bd
d2
2
d2 )
bc + cd) ; i = 1; 2
(a
2
bc + cd) ; i = 1; 2
En equilibrio, los precios son mayores, las cantidades son menores y los bene…cios son mayores que en el caso de competencia a la Bertrand sin contratos de
incentivos. Según los autores, este resultado se puede interpretar de la siguiente
manera: el dueño de cada empresa sabe que cualquier incremento creíble en su
propio precio será seguido por un incremento en el precio de su rival, lo cual
motiva a su gerente a ser menos agresivo en ventas y a asignar un precio por
encima del precio que resultaría si este maximizara bene…cios.
16
3. ELECCION DE CANTIDADES O PRECIOS Y DELEGACIÓN
ESTRATÉGICA EN UN MERCADO DE COMPETENCIA IMPERFECTA
CON PRODUCTOS DIFERENCIADOS
El análisis desarrollado en esta sección se basa en los trabajos de Singh
y Vives (1984) y Fershtman y Judd (1989) presentados en las secciones 1 y
2. Se consideran dos empresas que producen bienes diferenciados y pueden
elegir estratégicamente contratos de precios o cantidades con los consumidores.
Se permite que los bienes sean sustitutos o complementarios y a diferencia del
modelo propuesto por Singh y Vives (1984), se asume que cada empresa produce
con costo marginal constante c 6= 0. La empresa que produce el bien i se enfrenta
a una función de demanda lineal de la forma
qi = ai
bi pi + dpj ; a; b > 0; i; j = 1; 2; i 6= j
El parámetro d indica el grado de sustituibilidad (cuando 0 < d
bi ) o
complementariedad (cuando bi
d < 0) de los bienes. Si d = 0, los bienes
son independientes. En adelante, sin pérdida de generalidad se supondrá que
a1 = a2 = a y b1 = b2 = 1, lo cual implica8 que j d j 1.
Esta sección se divide en tres partes: en la primera se desarrolla el modelo
suponiendo que las decisiones estratégicas del mercado (elección de precios o
cantidades) son tomadas directamente por los dueños; en la segunda se presenta
el modelo permitiendo ahora que el dueño de cada empresa delegue las decisiones
estratégicas del mercado en un gerente y en la tercera se analiza si las empresas
deben utilizar o no incentivos gerenciales.
3.1 COMPETENCIA EN PRECIOS O CANTIDADES CON PRODUCTOS
DIFERENCIADOS, SIN DELEGACIÓN ESTRATÉGICA
En esta sección se presenta un modelo de competencia entre empresas que
producen bienes diferenciados, asumiendo que las decisiones sobre las variables
del mercado son tomadas directamente por los dueños. Esta situación equivale
a vincular gerentes cuyos contratos no tienen carácter estratégico, dado que sus
intereses están en consonancia con los intereses de los dueños9 . El modelo se
plantea como un juego en dos etapas; en la primera etapa, el dueño de cada
empresa elige el tipo de contrato que desea establecer con los consumidores
(contrato de precios o contrato de cantidades) y en la segunda etapa, una vez
observado el contrato acordado con los consumidores, el dueño de cada empresa
determina el precio o la cantidad (de acuerdo con el contrato acordado en la
etapa 1). A continuación se presenta la solución del juego por el método usual
8 Teóricamente se considera que el parámetro d no puede ser mayor que el parámetro b en
términos absolutos, porque el efecto del precio cruzado sobre la cantidad demandada de un
bien, no puede ser mayor que el efecto del propio precio sobre tal cantidad.
9
1 = 2 =1
17
de inducción hacia atrás, para cada uno de los posibles contratos que pueden
ser acordados con los consumidores en la etapa 1.
3.1.1 Las empresas eligen contratos de precios (competencia a la Bertrand)
Si las dos empresas deciden en la etapa 1 acordar contratos de precios con
los consumidores, cada una de ellas resuelve el siguiente problema10 :
M ax
pi
i
= pi q i
cqi = (pi
c) (a
pi + dpj ) ; i; j = 1; 2; i 6= j
De las condiciones de primer orden se obtiene:
pi =
(a + c + dpj )
; i; j = 1; 2; i 6= j
2
(9)
Las ecuaciones (9) son las funciones de mejor respuesta de la empresa i y de
la empresa j, las cuales se presentan en las …guras 3 y 4 para bienes sustitutos
(d > 0) y complementarios (d < 0), respectivamente.
Figura 3
p2
3
p1(p2)
2
p2(p1)
1
0
0
1
2
3
p1
Funciones de mejor respuesta para d > 0
1 0 En este caso se utilizan las funciones directas de demanda q = (a
i
i 6= j
18
pi + dpj ); i; j = 1; 2;
Figura 4
p2
3
p1(p2)
2
1
p2(p1)
0
0
1
2
3
p1
Funciones de mejor respuesta para d < 0
En el punto de intersección de las funciones de mejor respuesta de las dos
empresas, se obtienen los precios pi de equilibrio.
Resolviendo el sistema de ecuaciones (9), se obtienen los precios, las cantidades y los bene…cios en equilibrio:
pi =
qi =
i
=
a+c
; i = 1; 2
2 d
a
2
(a
c + cd
; i = 1; 2
d
c + cd)
(d
2
2)
2
; i = 1; 2
Con el …n de garantizar que las dos empresas estén activas en el mercado,
las cantidades, los precios y los bene…cios deben ser positivos, para lo cual los
parámetros del problema deben cumplir la restricción a c + cd > 0, es decir,
a > c(1 d).
3.1.2. Las empresas eligen contratos de cantidades (competencia a la Cournot)
19
Si las dos empresas deciden en la etapa 1 acordar contratos de cantidades
con los consumidores, cada una de ellas resuelve el siguiente problema11 :
M ax
qi
i
= pi q i
cqi =
qi (a
c + ad qi
1 d2
dqj )
; i; j = 1; 2; i 6= j
El modelo tiene solución únicamente cuando j d j< 1. Este supuesto se
mantendrá en adelante, con el …n de poder establecer comparaciones entre los
diferentes resultados obtenidos en esta sección y en las secciones subsiguientes.
De las condiciones de primer orden se obtiene
cd2 + a + ad
2
qi =
c
dqj
; i; j = 1; 2; i 6= j
(10)
Las ecuaciones (10) son las funciones de mejor respuesta de la empresa i y
de la empresa j, las cuales se presentan para d > 0 en la …gura 5 y para d < 0
en la …gura 6.
Figura 5
q2
3
q1(q2)
2
1
q2(q1)
0
0
1
2
3
q1
Funciones de mejor respuesta para d > 0
1 1 En
este caso se utilizan las funciones inversas de demanda
pi =
ad qi dqj +a
;
1 d2
i; j = 1; 2; i 6= j
20
Figura 6
q2
3
q1(q2)
2
q2(q1)
1
0
0
1
2
3
q1
Funciones de mejor respuesta para d < 0
En el punto de intersección de las funciones de mejor respuesta de las dos
empresas, se obtienen las cantidades qi de equilibrio.
Resolviendo el sistema de ecuaciones (10) se obtienen los precios, las cantidades y los bene…cios en equilibrio:
qi =
cd2 + ad + a
d+2
pi =
i
=
c
; i = 1; 2
a + c cd2
; i = 1; 2
2 d2 d
(d + 1) (a
(1
c + cd)
2
d) (d + 2)
2
; i = 1; 2
3.1.3. La empresa i elige contrato de precios y la empresa j elige contrato
de cantidades; i; j = 1; 2; i 6= j
Si en la etapa 1 la empresa i decide acordar contrato de precios y la empresa j decide acordar contrato de cantidades, la empresa i resuelve el siguiente
problema12 :
1 2 En este cálculo se utilizan las funciones de demanda q = (ad
i
la empresa i y pj = (a qj + dpi ) para la empresa j.
21
dqj + a
pi + d2 pi ) para
M ax
i
pi
= pi q i
c) d2 pi
cqi = (pi
pi
dqj + a + ad
De las condiciones de primer orden se obtiene:
pi =
c
cd2 + a + ad
2 2d2
dqj
(11)
La empresa j resuelve el problema:
M ax
qj
j
= pj q j
cqj = qj (a
qj + dpi
c)
de las condiciones de primer orden se obtiene:
qj =
a
c + dpi
2
(12)
En las …guras 7 y 8 se presentan las funciones de mejor respuesta de las
empresas i y j, cuando los bienes son sustitutos (d > 0) y cuando son complementarios (d < 0), respectivamente.
Figura 7
qj
8
qj(pi)
6
4
pi(qj)
2
0
0
1
2
3
Funciones de mejor respuesta para d > 0
22
pi
Figura 8
qj
8
qj(pi)
6
pi(qj)
4
2
0
0
1
2
3
pi
Funciones de mejor respuesta para d < 0
Cuando los bienes son sustitutos (…gura 7), para la empresa i las variables pi
y qj son sustitutos estratégicos mientras que para la empresa j, tales variables
son complementos estratégicos. Sin embargo, cuando los bienes son complementarios (…gura 8), para la empresa i las variables pi y qj son complementos
estratégicos mientras que para la empresa j, tales variables son sustitutos estratégicos.
Resolviendo el sistema de ecuaciones (11) y (12) se obtienen los precios, las
cantidades y los bene…cios de equilibrio:
2a + 2c
pj =
(a
qi =
qj =
2a
i
j
=
ad2
cd2 cd3 + ad + cd
4 3d2
d3
c + cd) d + 2
4 3d2
2c
=
2cd2 + ad + cd
4 3d2
2a + 2c
pi =
1
ad2 + 2cd2 cd3 + ad + cd
4 3d2
2
d2 (d + 2) (a
c + cd)
2
2
(3d2
23
c + cd)
3d2 )
(4
(a
2d2
d2 + d
2
2
4)
2
2
En la etapa 1, las dos empresas eligen de forma simultánea el tipo de contrato
que desean …rmar con los consumidores. Sea C
i el bene…cio de la empresa i
cuando ambas empresas eligen en la etapa 1 contratos de cantidades (competencia a la Cournot); B
i el bene…cio de la empresa i cuando ambas empresas eligen
el bene…cio
en la etapa 1 contratos de precios (competencia a la Bertrand); q;p
i
de la empresa i cuando en la etapa 1 la empresa i elige contrato de cantidades y
le empresa j elige contrato de precios y p;q
el bene…cio de la empresa i cuando
i
en la etapa 1 la empresa i elige contrato de precios y la empresa j elige contrato
de cantidades. La elección de cada empresa en la etapa 1 se puede representar
mediante la siguiente matriz de pagos:
precio
precio
cantidad
B
1 ;
q;p
1 ;
B
2
q;p
2
cantidad
p;q
p;q
1 ; 2
C
C
1;
2
Con base en los resultados anteriores, cuando los bienes son sustitutos, se
obtiene (apéndice 1):
C
i
>
q;p
i
>
B
i
>
p;q
i ;i
= 1; 2
(13)
Cuando los bienes son complementarios, se obtiene (apéndice 1):
B
i
>
p;q
i
>
C
i
>
q;p
i ;i
= 1; 2
(14)
Con base en (13) y (14), se deduce de la matriz de pagos anterior que en un
duopolio con productos diferenciados en el que las empresas pueden escoger el
tipo de contrato con los consumidores (cantidades o precios), cuando los bienes
son sustitutos, los contratos de cantidades son una estrategia dominante para
las dos empresas y por tanto tales contratos constituyen un equilibrio de Nash.
Por el contrario, cuando los bienes son complementarios, los contratos de precios
con los consumidores son una estrategia dominante para las dos empresas y por
tanto dichos contratos son un equilibrio de Nash. En el primer caso el equilibrio
de Nash corresponde al resultado de Cournot y en el segundo caso corresponde
al resultado de Bertrand. Estos resultados son los encontrados por Singh y
Vives (1984).
3.2 COMPETENCIA EN PRECIOS O CANTIDADES CON PRODUCTOS
DIFERENCIADOS Y DELEGACION ESTRATEGICA
En esta sección se presenta un modelo de competencia entre empresas que
producen bienes diferenciados. En constraste con el modelo presentado en la
24
sección 3.1, las decisiones estratégicas de la empresa sobre las variables del
mercado las determina un gerente que ha …rmado previamente un contrato de
incentivos con el dueño. Tal como se mencionó en la sección 2, los objetivos de los
gerentes pueden estar en con‡icto con los objetivos de los dueños y este con‡icto
se resuelve mediante la determinación endógena del contrato (parámetro de
incentivos ). El modelo se plantea como un juego en tres etapas; en la primera
etapa, el dueño de cada empresa …rma el contrato con el gerente; en la segunda
etapa, el gerente de cada empresa observa el contrato de incentivos …rmado con
el dueño y elige el tipo de contrato que desea establecer con los consumidores
(precios o cantidades); en la tercera etapa el gerente de cada empresa determina
el precio o la cantidad, de acuerdo con el contrato acordado con los consumidores
en la etapa 2. A continuación se presenta la solución del juego por inducción
hacia atrás, para cada uno de los posibles contratos que pueden ser acordados
con los consumidores en la etapa 2.
3.2.1. Los gerentes de las dos empresas eligen en la etapa 2 contratos de
precios (competencia a la Bertrand)
Etapa 3
El gerente de la empresa i resuelve el siguiente problema:
M ax ui =
pi
i i
+ (1
i )si
= (pi
c i ) (a
pi + dpj ) ; i; j = 1; 2; i 6= j
donde
cqi = (pi c) (a pi + dpj ) ; i; j = 1; 2; i 6= j
i = pi q i
si = pi qi = pi (a pi + dpj ) ; i; j = 1; 2; i 6= j
de las condiciones de primer orden se obtiene
pi = (a + dpj + c i ) ; i; j = 1; 2; i 6= j
(15)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (15), los precios de equilibrio en la
etapa 3 son
25
2a + ad + 2c i + cd
4 d2
pi =
j
; i; j = 1; 2; i 6= j
Etapa 1: El dueño de cada empresa …rma el contrato de incentivos con el
gerente
El dueño de la empresa i resuelve el siguiente problema:
M ax
i
=
2a
2c
i
+ ad + cd
i
j
+ cd2 i (2a
(4 d2 )2
c + 2c
i
+ ad + cd
j)
; i; j = 1; 2; i 6= j
de las condiciones de primer orden se obtiene:
i
=
8c + 2ad2 + ad3
8c
6cd2 + cd4 + cd3
4cd2
j
; i; j = 1; 2; i 6= j
(16)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (16), se obtiene el valor de equilibrio
del parámetro de incentivos:
i
=
4c + ad2
4c
2cd2 + cd3
cd2 2cd
2cd
; i = 1; 2
Este resultado permite establecer13 que 1 = 2 = > 1, lo que signi…ca
que el dueño de cada empresa obliga al gerente, mediante el contrato, a ser
menos agresivo en ventas (en relación con el caso en el que no se contratan
gerentes).
Lo anterior se puede interpretar de la siguiente manera: tanto en el caso de
bienes sustitutos como en el caso de bienes complementarios, las funciones de
mejor respuesta de las empresas 1 y 2 se desplazan hacia afuera, tal como se
muestra en las …guras 9 y 10. Este desplazamiento ocurre porque el valor de
equilibrio del parámetro de incentivos de las dos empresas ( i > 1), hace que
13
2
i > 1 si se cumple que d (a c + cd) > 0. Esta condición es cierta, tal como se estableció
en la sección 3.1.1, dado que (a c + cd) > 0 con el …n de mantener todas las empresas activas
en el mercado.
26
cada uno de los gerentes "perciba" un costo unitario mayor14 que en el caso
sin gerentes, obligándolos a responder estratégicamente con un precio más alto,
para cada uno de los precios que pudiera elegir la empresa rival. Estos incentivos
gerenciales hacen que tanto para bienes sustitutos como complementarios el
punto de equilibrio se desplace de A a B en las …guras mencionadas, generando
en ambos casos un precio mayor15 para cada empresa, que en el caso sin gerentes.
Figura 9
p2
3
p1(p2)
2
B
1
p2(p1)
A
0
0
1
2
3
p1
Funciones de mejor respuesta para d > 0
1 4 La
utilidad del gerente de la empresa i es
ui = i i + (1
c i qi
i )si = pi qi
El costo unitario de producción que "percibe" el gerente es c i . Si
obliga al gerente a actuar como si el costo unitario fuera mayor que c.
1 5 pG
i
G =
pN
i
d2 (a c+cd)
8+d3 8d
> 0 para
1<d<1
27
i
> 1, el contrato
Figura 10
p2
6
5
4
p1(p2)
3
B
2
A
1
p2(p1)
0
0
1
2
3
4
5
6
p1
Funciones de mejor respuesta para d < 0
Las cantidades, los precios y los bene…cios en equilibrio, son:
i
=
2 2
d2 (a
(d2 + 2d
pi =
qi =
2
c + cd)
2
4)
2
; i = 1; 2
cd2
; i = 1; 2
2d
2a + 2c
4 d2
d2 (a
4 d2
c + cd)
; i = 1; 2
2d
3.2.2 Los gerentes de las dos empresas eligen en la etapa 2, contratos de
cantidades16 (competencia a la Cournot)
Etapa 3:
1 6 En
pi =
pj =
este problema se utilizan las funciones inversas de demanda:
ab+ad bqi dqj
b2 d2
ab+ad bqj dqi
b2 d2
28
El gerente de la empresa i resuelve el problema:
M ax ui =
i i +(1
qi
i )si
qi qi + dqj
=
a ad + c
d2 1
cd2
i
i
; i; j = 1; 2; i 6= j
donde
i
= pi q i
qi (ad bqi dqj c+cd2 +ab)
; i; j
1 d2
q1 (ad qi dqj +a)
; i; j = 1; 2; i 6= j
1 d2
cqi =
si = pi qi =
= 1; 2; i 6= j
de las condiciones de primer orden se obtiene:
qi =
a + ad
c
+ cd2
2
i
i
dqj
; i; j = 1; 2; i 6= j
(17)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (17), las cantidades de equilibrio en
esta etapa son:
qi =
2a
ad2
2c
i
cd3
4
+ ad + 2cd2
d2
j
i
+ cd
j
; i; j = 1; 2; i 6= j
Etapa 1
El problema que resuelve el dueño de la empresa i es:
M ax
i
=
(2a+2c
i
ad2 +ad+cd
i
2a
ad2
2c
i
3cd2 i cd3 j +cd4 i c(1 d2 )(4 d2 ))
X
(1 d2 )(4 d2 )2
3
2
cd j + ad + 2cd i + cd j ; i; j = 1; 2; i
j
6= j
de las condiciones de primer orden se obtiene:
i
=
8c
2ad2 + ad3 2cd2 + 2cd3 8cd cd3
8c 4cd2 + 4cd3 8cd
j
+ cd4
Resolviendo el sistema de ecuaciones (18), se obtiene:
29
j
; i; j = 1; 2; i 6= j (18)
i
=
4c ad2 2cd2 2cd
; i = 1; 2
cd3 3cd2 2cd + 4c
Este resultado permite establecer que17 1 = 2 = < 1, lo que signi…ca
que el dueño de cada empresa obliga al gerente, mediante el contrato, a ser más
agresivo en ventas (en relación con el caso en el que no se contratan gerentes).
Lo anterior se puede interpretar como sigue: tanto en el caso de bienes
sustitutos como en el caso de bienes complementarios, las funciones de mejor
respuesta de las dos empresas se desplazan hacia afuera tal como se muestra en
las …guras 11 y 12, respectivamente. El desplazamiento se debe a que el valor
de equilibrio del parámetro de incentivos de las dos empresas ( i < 1), hace
que cada uno de los gerentes "perciba" un costo unitario menor18 que en el caso
sin gerentes, lo que los obliga a responder estratégicamente con una cantidad
más alta, para cada una de las cantidades que pudiera producir la empresa
rival. Estos incentivos gerenciales hacen que tanto para bienes sustitutos como
para bienes complementarios el punto de equilibrio se desplace de A a B en
las …guras mencionadas, generando en ambos casos una cantidad mayor19 para
cada empresa, que en el caso sin gerentes.
17
2
i < 1 si se cumple que d (c a cd) < 0. Esta condición es cierta, tal como se estableció
en la sección 3.1.1, dado que (a c + cd) > 0 con el …n de mantener todas las empresas activas
en el mercado.
1 8 La utilidad del gerente de la empresa i es
ui = i i + (1
c i qi
i )si = pi qi
El costo unitario de producción que "percibe" el gerente es c i . Si i < 1, el contrato
obliga al gerente a actuar como si el costo unitario fuera menor que c.
1 9 qG
i
qiN G =
d2 (d+1)(a c+cd)
8 d3 +8d
> 0 para
1<d<1
30
Figura 11
q2
6
5
4
q1(q2)
3
B
2
A
1
q2(q1)
0
0
1
2
3
4
5
6
q1
Funciones de mejor respuesta para d > 0
Figura 12
q2
3
q1(q2)
2
B
1
q2(q1)
A
0
0
1
2
3
q1
Funciones de mejor respuesta para d < 0
Las cantidades, los precios y los bene…cios en equilibrio, son:
31
i
=
qi =
2(d + 1) (a
2d + 4
pi =
ad2 2c 2a + 2cd2
; i = 1; 2
3d2 d3 + 2d 4
2 (a
c + cd)
(1
2
c + cd)
; i = 1; 2
d2
2d
d3
d2 + 2
; i = 1; 2
2
d) ( d2 + 2d + 4)
3.2.3 En la etapa 2, el gerente de la empresa i elige contrato de precios y el
gerente de la empresa j elige contrato de cantidades20
Etapa 3
El gerente de la empresa i resuelve el problema
M ax ui =
pi
i i +(1
i )si
c i ) d 2 pi
= (pi
pi
dqj + a + ad ; i; j = 1; 2; i 6= j
donde
= pi qi cqi = (c
si = pi qi = p1 d2 p1
i
pi ) pi d2 pi + dqj a ad ; i; j = 1; 2; i 6= j
p1 dq2 + a + ad ; i; j = 1; 2; i =
6 j
de las condiciones de primer orden se obtiene
pi =
a
dqj + ad + c
2 2d2
i
cd2
i
; i; j = 1; 2; i 6= j
(19)
El gerente de la Empresa j resuelve el problema
M ax uj =
qj
j j
+ (1
j )sj
= qj (a
qj + dpi
2 0 En este caso se usan las funciones de demanda q = (ad
i
empresa i y pj = (a qj + dpi ) para la empresa j.
32
c
j) ;
i; j = 1; 2; i 6= j
dqj + a
pi + d2 pi ) para la
donde
cqj = qj (a c qj + dpi )
j = pj q j
sj = pj qj = qj (a qj + dpi )
de las condiciones de primer orden se obtiene
(a + dpi
2
qj =
c
j)
; i; j = 1; 2; i 6= j
(20)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (19) y (20) se obtienen los precios y
cantidades de equilibrio en esta etapa:
pi =
pj =
2c
qi =
qj =
j
1
2a + ad + 2c
4
+ c i d + 2a
d2
2c
2cd2
3d2
+ cd
i
c j d2 + ad
4 3d2
j
c i d3
ad2
2c i + c j d + 2a + c i d2
4 3d2
ad
ad2
2a
i
j
cd3 i + ad + cd
4 3d2
i
+ 2cd2
j
2a + 2c
i
Etapa 1
El dueño de la empresa i resuelve el problema:
M ax
i
=
(1
d2 ) 2a
i
2c
+ ad + cd
4 3d2
i
j
+ cd2
i
+ ad + cd
(4 3d2 )
El dueño de la empresa j resuelve el problema:
M ax
j
=
2a
2c
j
j
2a + 2c
j
ad2 + ad + cd i + 2cd2
4 3d2
2
ad + ad + cd i cd2
4 3d2
33
j
j
cd3
cd3
i
i
X
+c
j
2cd2
i
!
+c
de las condiciones de primer orden se obtiene
i
j
ad3
=
=
ad3
8c
8c
3cd4 + 2ad2 + 10cd2 + cd3
12cd2 8c 4cd4
j
(21)
2ad2 6cd3 + 8cd + cd4 i + 6cd2
8cd 8c 4cd3 + 4cd2
cd3
i
(22)
resolviendo el sistema de ecuaciones (21) y (22), se obtiene
i
=
16c
j
=
4ad2 + 2ad3 + ad4 16cd2 + 14cd3 + 6cd4 4cd5
16c 5cd5 + 5cd4 + 20cd3 20cd2 16cd
16c + 4ad2 + 2ad3 ad4 24cd2 + 2cd3 + 8cd4
5cd4 20cd2 + 16c
El análisis anterior permite establecer21 que
dos se presentan en la siguiente proposición.
i
<1y
j
16cd
cd5
> 1. Estos resulta-
P roposicion 1: En un equilibrio de Nash Perfecto en Subjuegos, cuando la
empresa i elige contratos de precios y la empresa j elige contratos de cantidades,
el dueño de la empresa i obliga al gerente a ser más agresivo en ventas y el dueño
de la empresa j obliga al gerente a ser menos agresivo en ventas, independientemente de si los bienes son sustitutos o complementarios. Estos resultados son
contrarios a los usualmente hallados en la literatura en el caso de competencia
en precios ( i > 1) y en el caso de competencia en cantidades ( i < 1).
Los resultados de la proposición 1 se pueden interpretar de la siguiente manera: En el caso de bienes sustitutos, las funciones de mejor respuesta de las
empresas i y j se desplazan hacia abajo (…gura 13) y en el caso de bienes
21
c + cd) > 0. Tal como se estableció en la sección
i < 1 y j > 1 si se cumple que (a
3.1.1, esta condición debe cumplirse con el …n de mantener todas las empresas activas en el
mercado.
34
complementarios, la función de mejor respuesta de la empresa i se desplaza hacia arriba y la función de mejor respuesta de la empresa j se desplaza hacia
abajo (…gura 14). En ambos casos, esto sucede porque el valor de equilibrio del
parámetro de incentivos de la empresa i ( i < 1), hace que el gerente de dicha
empresa "perciba" un costo unitario menor22 que en el caso sin gerentes, lo que
le permite responder estratégicamente con un precio más bajo, para cada una
de las cantidades que la empresa j pudiera producir. De igual manera, debido
al valor de equilibrio del parámetro de incentivos de la empresa j ( j > 1), el
gerente de dicha empresa percibe un costo unitario más alto que en el caso sin
gerentes, lo que lo obliga a responder estratégicamente con una cantidad menor,
para cada precio que la empresa i pudiera elegir. Estos incentivos gerenciales
hacen que cuando los bienes son sustitutos o complementarios el punto de equilibrio se desplace de A a B en las …guras mencionadas, generando en ambos
casos una cantidad qj menor y un precio pi menor23 que en el caso sin gerentes.
Figura 13
qj
qj(pi)
8
6
A
4
pi(qj)
B
2
0
0
1
2
3
pi
Funciones de mejor respuesta para d > 0
2 2 La
utilidad de los gerentes de las empresas i y j es
ui = i i + (1
c i qi
i )si = pi qi
uj = j j + (1
c j qj
j )sj = pj qj
El costo unitario de producción que "perciben" los gerentes es c i y c j . Cuando i < 1, el
contrato obliga a actuar al gerente como si el costo unitario fuera menor que c. Sin embargo,
Cuando j > 1, el contrato obliga al gerente a actuar como si el costo unitario fuera mayor
que c.
d2 (a c+cd)(d4 7d3 8d2 +8d+8)
2 3 qG
< 0 para 1 < d < 1
qjN G =
j
15d6 80d4 +128d2 64
2
3
2
d
d
+8d
8
(a
c+cd)
(
)
G =
< 0 para 1 < d < 1
pG
pN
i
i
64 15d6 +80d4 128d2
pi =
qj =
2a+2c 2cd2 +ad+cd
4 3d2
2a 2c ad2 +2cd2 cd3 +ad+cd
4 3d2
35
Figura 14
qj
8
qj(pi)
6
4
pi(qj)
2
A
B
0
0
1
2
3
pi
Funciones de mejor respuesta para d < 0
Los precios, las cantidades y los bene…cios de equilibrio, son:
pi =
pj =
8a + 8c
6ad2
6ad2
8a + 8c
qi =
i
j
=
=
2ad3 + ad4 10cd2 4cd3 + 2cd4 + cd5 + 4ad + 4cd
5d4 20d2 + 16
c + cd) d5 + 3d4 4d3 10d2 + 4d + 8
5d4 20d2 + 16
(a
qj =
2ad3 10cd2 4cd3 + 3cd4 + 4ad + 4cd
5d4 20d2 + 16
2 (a
2 2
c + cd) d4 2d3 5d2 + 2d + 4
5d4 20d2 + 16
d2 (a
c + cd)
d2 + 2d
2
(5d4
d3 + 3d2
2d
4
2
2
(5d4
2 4
2
20d2 + 16)
d4
3d2 + 2 (a
c + cd)
2
2
20d2 + 16)
3.2.4 Elección estratégica de precios o cantidades
Dados los incentivos ( ) de equilibrio establecidos en la etapa 1, la elección
estratégica de precios o cantidades que hacen los gerentes en la etapa 2, se puede
analizar mediante el juego en forma normal representado por la siguiente matriz
de pagos:
36
precio
cantidad
precio
B
uB
1 ; u2
q;p
q;p
u1 ; u2
cantidad
p;q
up;q
1 ; u2
C
C
u1 ; u2
donde uB
i es la utilidad del gerente de la empresa i cuando las dos empresas
eligen precios (competencia a la Bertrand); uC
i es la utilidad del gerente de la
empresa i cuando las dos empresas eligen cantidades (competencia a la Cournot);
es la utilidad del gerente de la empresa i cuando la empresa i elige precios
up;q
i
y la empresa j elige cantidades y uq;p
es la utilidad del gerente de la empresa i
i
cuando la empresa i elige cantidades y la empresa j elige precios.
Del análisis anterior se deduce (apéndice 2) que cuando los bienes son tanto
sustitutos como complementarios:
q;p
B
up;q
> uC
i > ui > ui
i
(23)
Con base en las desigualdades (23), se obtienen los resultados que se resumen
en la siguiente proposición.
P roposicion 2: En un duopolio con productos diferenciados en el que los
gerentes de las empresas pueden escoger el tipo de contrato con los consumidores (cantidades o precios) y se usan contratos de incentivos como herramienta
estratégica, los contratos de precios son una estrategia dominante, independientemente de si los bienes son sustitutos o complementarios. Este resultado
implica que el único equilibrio de Nash del juego representado por la matriz anterior consiste en que los gerentes de las dos empresas compiten a la Bertrand.
Aunque los gerentes obtienen mayor utilidad eligiendo contratos de cantidades
que contratos de precios, en equilibrio eligen estos últimos porque si el gerente
de la empresa i cree que el gerente de la empresa j va a elegir contratos de cantidades, la mejor respuesta del primero es elegir contratos de precios, en cuyo
caso el gerente de la empresa i obtiene la mayor utilidad posible en la matriz y
el gerente de la empresa j obtiene el menor bene…cio posible en la matriz. Este
comportamiento es idéntico al que se obtiene en el dilema del prisionero.
Es importante resaltar que este resultado di…ere diametralmente del hallado
en la sección 3.2 para el caso de bienes sustitutos cuando no se usan contratos
de incentivos, en el que los dueños de las empresas, en equilibrio, compiten a
la Cournot; sin embargo, cuando se contratan gerentes y se permite que estos
elijan el tipo de contrato que desean acordar con los consumidores, lo mejor que
pueden hacer los gerentes en equilibrio, es competir a la Bertrand. En el caso
de bienes complementarios, el resultado es el mismo con contratos de incentivos
y sin contratos de incentivos: en equilibrio, los gerentes compiten a la Bertrand.
3.3 Deben los dueños de las empresas contratar gerentes?
37
En la sección 3.1 se desarrolló el modelo de elección de precios o cantidades,
suponiendo que las empresas no contrataban gerentes. En la sección 3.2 se
desarrolló dicho modelo, suponiendo que las dos empresas contrataban gerentes
y elegían endógenamente el esquema de incentivos gerenciales. Sin embargo,
para poder determinar si los dueños de las empresas deben contratar gerentes
o no, se formula en esta sección un modelo en cuatro etapas, de la siguiente
manera: en la etapa 1 los dueños de las empresas pueden elegir si contratan un
gerente o no lo contratan; en la etapa 2, si alguno de los dueños ha decidido
contratar un gerente, …rma con él un contrato de incentivos. En la etapa 3, los
gerentes que hayan sido contratados y los dueños de las empresas que no han
contratado gerente, deciden simultáneamente si acuerdan contrato de precios
o contrato de cantidades con los consumidores. Por último, en la etapa 4,
los gerentes que hayan sido contratados y los dueños de las empresas que no
han contratado gerente, determinan el precio o la cantidad, de acuerdo con el
contrato acordado con los consumidores en la etapa 3.
La solución de la etapa 1 del juego anterior implica considerar tres escenarios: uno en el que las dos empresas no contratan gerentes y deben elegir
contratos de cantidades o precios con los consumidores, otro en el que las dos
empresas contratan gerentes y deben elegir contratos de precios o cantidades
con los consumidores y …nalmente otro en el que una de las empresas contrata
gerente y la otra no lo contrata y deben elegir contratos de precios o cantidades. Los dos primeros escenarios fueron desarrollados en las secciones 3.1 y
3.2, respectivamente. El tercer escenario se presenta a continuación.
3.3.1 Elección de cantidades o precios cuando la empresa i contrata gerente
y la empresa j no contrata gerente
En esta sección se presenta un modelo de duopolio con productos diferenciados, en el que las empresas pueden elegir contratos de cantidades o precios con
los consumidores, pero solo una de ellas utiliza incentivos gerenciales. El modelo
se desarrolla en tres etapas. En la etapa 1 el dueño de la empresa i que utiliza
incentivos gerenciales de…ne el contrato con el gerente; en la etapa 2 el gerente
de la empresa i y el dueño de la empresa j eligen contratos de cantidades o
precios con los consumidores y en la etapa 3 las empresas compiten de acuerdo
con el tipo de contrato elegido en la etapa 2. A continuación se presentan los
resultados del juego por inducción hacia atrás, para cada tipo de contrato con
los consumidores elegido en la etapa 2.
3.3.1.1 Las dos empresas eligen contratos de cantidades con los consumidores24
Etapa 3
2 4 Las
pi =
funciones de demanda son:
(a + ad qi dqj ) ; i; j = 1; 2; i 6= j
1
1 d2
38
El gerente de la empresa i resuelve el problema:
M ax ui =
i i
qi
+ (1
i )si ;
i; j = 1; 2; i 6= j
donde
= pi qi cqi = 1 qid2 (a + ad qi dqj )
si = pi qi = 1 qid2 (a + ad qi dqj )
i
cqi
El dueño de la empresa j resuelve el problema:
M ax
qi
j
= pj q j
cqj =
q2
(a + ad
1 d2
qj
dqi )
cqj ; i; j = 1; 2; i 6= j
de las condiciones de primer orden se obtiene
1
a + ad
2
qi =
qj =
dqj
1
a + ad
2
c
dqi
i
+ cd2
c + cd2
(24)
i
(25)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (24) y (25) se obtiene:
qi =
qj =
pi =
d2
1
4
d2
1
d3 + d2
4d
pj =
1
4
4d
1
d3 + d2
4
2a
2c
2a
2c
cd2
4
cd2
2c
ad2
i
cd3 + ad + cd + 2cd2
ad2 + 2cd2 + ad + cd
i
2c
2a + ad
2a
cd3
i
cd + 2cd
cd3 + ad + 2cd
i
i
i
+ cd2
cd
i
i
+ cd2
Etapa 1: El dueño de la empresa i resuelve el siguiente problema:
39
cd3
i
i
M ax
i
= pi q i
cqi
i
de las condiciones de primer orden se obtiene:
i
2ad2 + ad3 2cd2 + cd3 + cd4
4cd3 4cd2 8cd + 8c
8c
=
8cd
Las cantidades, los precios y los bene…cios en equilibrio son:
qi =
qj =
ad2
pj =
c + cd) d3 + 3d2
4d2 8
(a
pi =
c + cd) 2 d2 + d
4 2d2
(a
cd2
4c
2c
i
j
=
4
2a + ad + cd
4d 4
4a + 5cd2 3cd3 + 2ad + 2cd
4d2 + 8d 8 4d3
2
=
2d
(d + 1) (d 2) (a
8 (2 + d3 d2
(d + 1) (a
c + cd)
16 (d2
2
2
c + cd)
2d)
d2 + 2d
2) (1
2
4
2
d)
3.3.1.2 Las dos empresas eligen contratos de precios25
Etapa 3
El gerente de la empresa i resuelve el siguiente problema:
2 5 Las
funciones de demanda son
qi = a
pi + dpj ; i; j = 1; 2; i 6= j
40
M ax ui =
i i
pi
+ (1
i )si
donde
cqi = pi (a pi + dpj )
i = pi q i
si = pi qi = pi (a pi + dpj )
c (a
pi + dpj )
El dueño de la empresa j resuelve el siguiente problema:
M ax
pj
j
= pj q j
cqj = (pj
c) (a
pj + dpi )
de las condiciones de primer orden se obtiene
pi =
1
(a + dpj + c i )
2
pj =
(26)
1
(a + dpi + c)
2
(27)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (26) y (27) se obtiene:
pi =
pj =
1
d2
4
1
4
d2
(2a + ad + 2c
i
+ cd)
(2c + 2a + ad + cd i )
Etapa 1
El dueño de la empresa i resuelve el siguiente problema
M ax
i
= pi q i
i
41
cqi
de las condiciones de primer orden se obtiene
i
=
ad3 + 8c + cd4 + 2ad2 + cd3
8c 4cd2
6cd2
Las cantidades, los precios y los bene…cios de equilibrio son
2a + 2c
pi =
pj =
4a + 4c
qi =
4
qj =
ad2
cd2 + ad + cd
4 2d2
cd2 cd3 + 2ad + 2cd
8 4d2
1
(d + 2) (a
4
c + cd)
d2 + 2d (a c + cd)
4 (2 d2 )
2
i
j
=
=
4
(d + 2) (a c + cd)
8 (2 d2 )
d2 + 2d
2
16 (d2
(a
2
c + cd)
2
2
2)
3.3.1.3 La empresa i elige contrato de precios y la empresa j elige contrato
de cantidades26
Etapa 3
El gerente de la empresa i resuelve el siguiente problema:
M ax ui =
pi
i i
donde
2 6 Las
funciones de demanda son:
qi = a pi + d (a qj + dpi )
pj = (a q2 + dpi )
42
+ (1
i )si
cqi = pi (a pi + d (a qj + dpi ))
i = pi q i
si = pi qi = pi (a pi + d (a qj + dpi ))
c (a
pi + d (a
El dueño de la empresa j resuelve el siguiente problema:
M ax
qj
j
= pj q j
cqj = qj (a
qj + dpi )
cqj
de las condiciones de primer orden se obtiene
pi =
a + ad
qj =
dqj + c
2 2d2
(a + dpi
2
cd2
i
c)
i
(28)
(29)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (28) y (29) se obtiene
pi =
qj =
2a
2a + ad + 2c
4
ad2
2cd2
i
i
+ cd
3d2
2c + 2cd2 cd3
4 3d2
i
+ ad + cd
Etapa 1
El dueño de la empresa i resuelve el siguiente problema
M ax
i
= pi q i
cqi
i
de las condiciones de primer orden se obtiene
43
i
qj + dpi ))
i
=
ad3
8c
3cd4 + 2ad2 + cd3 + 10cd2
12cd2 8c 4cd4
Los precios, las cantidades y los bene…cios de equilibrio son
2a + 2c
pi =
pj =
4a + 4c
qi =
4
qj =
ad2
cd2 + ad + cd
4 2d2
cd2 cd3 + 2ad + 2cd
4 (2 d2 )
(d + 2) (a c + cd)
4
d2 + 2d (a
8 4d2
c + cd)
2
i
j
=
=
(2 + d) (a c + cd)
8 (2 d2 )
d2
4 + 2d
2
(a
2
c + cd)
2
2
d2 )
16 (2
3.3.1.4 La empresa i elige contrato de cantidades y la empresa j elige contrato
de precios27
Etapa 3
El gerente de la empresa i resuelve el siguiente problema
M ax ui =
qi
i i
+ (1
donde
cqi = qi (a qi + dpj )
i = pi q i
si = pi qi = qi (a qi + dpj )
cqi
2 7 Las
funciones de demanda son:
pi = (a qi + dpj )
qj = a pj + d (a qi + dpj )
44
i )si
El dueño de la empresa j resuelve el siguiente problema
M ax
pj
j
= pj q j
cqj = (pj
c) (a
pj + d (a
qi + dpj ))
de las condiciones de primer orden se obtiene
1
(a + dpj
2
qi =
pj =
a + ad
c i)
dqi + c
2 2d2
(30)
cd2
(31)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (30) y (31) se obtiene
qi =
2a
ad2
pj =
cd3 + cd 2c
4 3d2
i
+ ad + 2cd2
2cd2 + 2a + ad + cd
4 3d2
2c
i
i
Etapa 1
El dueño de las empresa i resuelve el problema
M ax
i
= pi q i
cqi
i
de las condiciones de primer orden se obtiene
i
=
ad3
8c + cd4
4cd2
2ad2 7cd3 + 8cd + 6cd2
8c 4cd3 + 8cd
Los precios, las cantidades y los bene…cios de equilibrio son:
pi =
cd2
2c 2a + ad + cd
4 (d 1)
45
pj =
ad2
(a
qi =
qj =
i
j
=
4a + 5cd2 3cd3 + 2ad + 2cd
8d 4d3 + 4d2 8
4c
(a
=
d2 + d + 2
4
c + cd)
2d2
c + cd) d3 + 3d2
4 (d2 2)
2d
2
(d
2) (1 + d) (a c + cd)
8 (2 2d d2 + d3 )
4 + d2
(1 + d) 2d
16 (1
2
(a
4
2
c + cd)
2
2
d2 )
d) (2
3.3.1.5 Elección de cantidades o precios cuando la empresa i contrata gerente
y la empresa j no contrata gerente
La elección simultánea de precios o cantidades cuando la empresa i contrata
gerente y la empresa j no contrata gerente, se puede representar mediante la
siguiente matriz de pagos:
precio
B
1 ;
q;p
1 ;
precio
cantidad
cantidad
p;q
p;q
1 ; 2
C
C
2
1;
B
2
q;p
2
Con base en los resultados de las secciones 3.3.1.1 a 3.3.1.4, se obtiene:
Cuando los bienes son sustitutos:
q;p
i
=
C
i
>
B
i
=
p;q
i
q;p
j
y
C
j
=
B
j
>
=
p;q
j
El contrato de cantidades es una estrategia dominante para la empresa i y
q;p
C
C
en este caso el juego tiene dos equilibrios de Nash: ( q;p
i ; j ) y ( i ; j ) con
q;p
q;p
C
= C
i y j = j .
i
Cuando los bienes son complementarios:
B
i
=
p;q
i
>
q;p
i
=
C
i
y
B
j
=
p;q
j
>
46
q;p
j
=
C
j
>
El contrato de precios es una estrategia dominante para la empresa i y el
p;q
p;q
B
B
juego tiene dos equilibrios de Nash: ( p;q
= B
i y
i ; j ) y ( i ; j ) con i
p;q
B
j = j .
3.3.2 Decisión sobre contratar o no contratar gerentes
Los resultados del primer escenario presentados en la sección 3.1 sugieren
que cuando no se utilizan incentivos gerenciales, la mejor predicción que pueden
hacer las empresas es competir en cantidades (a la Cournot) cuando los bienes
son sustitutos y competir en precios (a la Bertrand) cuando los bienes son complementarios. Los resultados del segundo escenario, presentados en la sección
3.2, en el que las dos empresas usan incentivos gerenciales, sugieren que la mejor
predicción que pueden hacer los gerentes es competir en precios (a la Bertrand)
independientemente de si los bienes son sustitutos o complementarios. los resultados del tercer escenario en el que una de las empresas contrata gerente y
la otra no lo contrata (sección 3.3.1), sugieren que la mejor predicción cuando
los bienes son sustitutos consiste en que la empresa que contrata gerente elige
contrato de cantidades y la que no contrata gerente elige contrato de cantidades
o de precios; cuando los bienes son complementarios, la mejor predicción es que
la empresa que contrata gerente elige contrato de precios y la que no contrata
gerente elige contrato de precios o cantidades. A continuación se presentan la
solución de la etapa 1 del juego en 4 etapas planteado en la sección 3.3, tanto
para bienes sustitutos como para bienes complementarios
3.3.2.1 Bienes sustitutos
La decisión de las dos empresas sobre usar o no incentivos gerenciales en
el caso de bienes sustitutos, se puede analizar mediante el planteamiento de la
siguiente matriz correspondiente a un juego estático, cuyos pagos son las mejores
predicciones (los equilibrios de Nash) de los tres escenarios mencionados anteriormente, cuando las empresas pueden decidir simultáneamente si contratan un
gerente (G) o no lo contratan (NG).
G
G
NG
NG
B;(G;G)
B;(G;G)
; 2
1
(q ó p);q;(N G;G)
(q ó p);q;(N G;G)
; 2
1
B;(G;G)
q;(q ó p);(G;N G)
q;(q ó p);(G;N G)
; 2
1
C;(N G;N G)
C;(N G;N G)
; 2
1
Sea i
el bene…cio de la empresa i cuando ambas contratan gerente y
compiten a la Bertrand (este es el equilibrio de Nash hallado para este caso en la
C;(N G;N G)
sección 3.2.1); i
el bene…cio de la empresa i cuando ninguna contrata
gerente y compiten a la Cournot (este es el equilibrio de Nash hallado para este
q;(q ó p);(G;N G)
caso en la sección 3.1.2); i
el bene…cio de la empresa i cuando
la empresa i contrata gerente y la empresa j no contrata gerente (en este caso,
47
en equilibrio la empresa i elige cantidades y la empresa j es indiferente entre
elegir cantidades o precios en equilibrio, tal como se muestra en la sección 3.3.1)
(q ó p);q;(N G;G)
y i
el bene…cio de la empresa i cuando la empresa i no contrata
gerente y la empresa j si contrata gerente (en este caso, en equilibrio la empresa
i es indiferente entre elegir cantidades o precios y la empresa j elige cantidades
en equilibrio, tal como se muestra en la sección 3.3.1).
Se puede demostrar para la empresa i (apéndice 3) que:
q;(q ó p);(G;N G)
i
>
C;(N G;N G)
i
>
(q ó p);q;(N G;G)
i
>
B;(G;G)
;
i
i = 1; 2; i 6= j
Con base en las desigualdades anteriores, se deduce que la matriz de pagos
anterior tiene dos equilibrios de Nash: en cada uno de ellos, una de las empresas
contrata gerente y elige cantidades y la otra empresa no contrata gerente y elige
cantidades o precios.
3.3.2.2 Bienes complementarios
De manera similar al caso anterior, la decisión de las dos empresas sobre
usar o no incentivos gerenciales en el caso de bienes complementarios, se puede
analizar mediante la siguiente matriz de un juego estático cuyos pagos son las
mejores predicciones (el equilibrio de Nash) cuando las empresas pueden decidir
simultáneamente si contratan un gerente (G) o no lo contratan (NG).
G
G
NG
NG
B;(G;G)
B;(G;G)
; 2
1
(q ó p);p;(N G;G)
(q ó p);p;(N G;G)
; 2
1
p;(q ó p);(GN G)
p;(q ó p);(G;N G)
; 2
1
B;(N G;N G)
B;(N G;N G)
; 2
1
B;(G;G)
Sea i
el bene…cio de la empresa i cuando ambas contratan gerente
y compiten a la Bertrand (este es el equilibrio de Nash hallado para este caso
B;(N G;N G)
en la sección 3.2.1); i
el bene…cio de la empresa i cuando ninguna
contrata gerente y compiten a la Bertrand (este es el equilibrio de Nash hallado
p;(q ó p);(G;N G)
para este caso en la sección 3.1.1); i
el bene…cio de la empresa
i cuando la empresa i contrata gerente y la empresa j no contrata gerente (en
este caso, la empresa i elige precios y la empresa j es indiferente entre elegir
cantidades o precios en equilibrio, tal como se muestra en la sección 3.3.1) y
(q ó p);p;(N G;G)
el bene…cio de la empresa i cuando la empresa i no contrata
i
gerente y la empresa j si contrata gerente (en este caso, la empresa i es indiferente entre elegir cantidades o precios y la empresa j elige precios en equilibrio,
tal como se muestra en la sección 3.3.1).
Se puede demostrar para la empresa i (apéndice 3) que:
48
p;(q ó p);(GN G)
i
>
B;(N G;N G)
i
>
B;(G;G)
i
>
(q ó p);p;(N G;G)
;
i
i = 1; 2; i 6= j
De acuerdo con las desigualdades anteriores, para ambas empresas contratar
gerentes y elegir contrato de precios es una estrategia dominante y es también
un equilibrio de Nash del juego propuesto en la matriz anterior.
Los resultados de las secciones 3.3.2.1 y 3.3.2.2 se resumen en la siguiente
proposición:
P roposicion 3. En un modelo de duopolio con productos diferenciados en el
que cada una de las empresas puede decidir si contrata gerente o no y si acuerda
contrato de precios o cantidades con los consumidores, en un Equilibrio de Nash
Perfecto en Subjuegos se obtiene: i) cuando los bienes son sustitutos, una de
las empresas contrata gerente y elige cantidades y la otra empresa no contrata
gerente y elige cantidades o precios. ii) Cuando los bienes son complementarios,
ambas empresas contratan gerentes y eligen contratos de precios. En este caso
las empresas obtendrían mayor bene…cio si no contrataran gerente. Sin embargo,
este resultado no es un equilibrio porque el juego correspondiente presenta el
mismo comportamiento del dilema del prisionero.
49
4. EFECTOS DE LOS CONTRATOS DE PRECIOS O CANTIDADES Y DE
LA DELEGACIÓN ESTRATÉGICA SOBRE EL BIENESTAR SOCIAL
El análisis presentado en la sección 3 se llevó a cabo fundamentalmente desde
la óptica de las decisiones de las empresas. Sin embargo, es de gran interés
analizar el impacto de esas decisiones sobre el bienestar social. En esta sección
se efectúa dicho análisis, con base en los resultados obtenidos en la sección 3. El
bienestar social (BS) se mide como la suma del excedente de los consumidores
(EC) y el excedente de los productores (EP ):
BS = EC + EP
donde
EP =
2
X
i
i=1
EC = u p1 q1 p2 q2
u = 2(1 1 d2 ) 2aq1 + 2aq2
q12
q22 + 2adq1 + 2adq2
2dq1 q2
A continuación se presenta un análisis de los resultados (apéndice 4) del
excedente de los consumidores, el excedente de los productores y el bienestar
social obtenidos en cada escenario de elección de contratos de las empresas con
los consumidores (cantidades o precios), tanto para el caso en que ninguna de las
empresas utiliza incentivos gerenciales, como para el caso en que tales incentivos
son utilizados por ambas empresas o por una sola de ellas.
4.1 Excedente de los consumidores (EC)
Cuando ninguna de las empresas utiliza incentivos gerenciales se obtiene:
EC B;(N G;N G) > EC (p:q);(N G;N G) = EC (q:p);(N G;N G) > EC C;(N G;N G)
Cuando las dos empresas utilizan incentivos gerenciales, se obtiene:
EC B;(G;G) > EC (p:q);(G;G) = EC (q:p);(G;G) > EC C;(G;G)
Cuando la empresa i utiliza incentivos gerenciales y la empresa j no los
utiliza, se obtiene:
50
EC B;(G;N G) = EC (p:q);(G;N G) > EC (q:p);(G;N G) = EC C;(G;N G)
Los resultados anteriores se cumplen tanto para bienes sustitutos como para
bienes complementarios. Al comparar los resultados del excedente del consumidor en los tres escenarios analizados, se obtiene:
EC B;(N G;N G) > EC B;(G;N G) > EC B;(G;G) > EC (p;q);(N G;N G) > EC (p;q);(G;G) >
EC C;(G;G) > EC C;(G;N G) > EC C;(N G;N G)
con EC B;(G;N G) = EC (p;q);(G;N G) y EC C;(G;N G) = EC (q;p);(G;N G)
En términos del excedente de los consumidores, el mejor resultado se obtiene
cuando las dos empresas eligen contratos de precios (compiten a la Bertrand) y
no utilizan incentivos gerenciales y el peor resultado se obtiene cuando las dos
empresas eligen contratos de cantidades (compiten a la cournot) y no utilizan
incentivos gerenciales.
4.2 Excedente de los productores (EP)
Cuando no se utilizan incentivos gerenciales, se obtienen los siguientes resultados
Si los bienes son sustitutos:
EP C;(N G;N G) > EP (p;q);(N G;N G) = EP (q;p);(N G;N G) > EP B;(N G;N G)
Para bienes complementarios:
EP B;(N G;N G) > EP (p;q);(N G;N G) = EP (q;p);(N G;N G) > EP C;(N G;N G)
Cuando se utilizan incentivos gerenciales, se obtiene:
Para bienes sustitutos:
EP C;(G;G) > EP (p;q);(G;G) = EP (q;p);(G;G) > EP B;(G;G)
Para bienes complementarios:
51
EP B;(G;G) > EP (p;q);(G;G) = EP (q;p);(G;G) > EP C;(G;G)
Cuando la empresa i utiliza incentivos gerenciales y la empresa j no los
utiliza, se obtiene:
Para bienes sustitutos:
EP C;(G;N G) = EP (q;p);(G;N G) > EP (p;q);(G;N G) = EP B;(G;N G)
Para bienes complementarios:
EP B;(G;N G) = EP (p;q);(G;N G) > EP (q;p);(G;N G) = EP C;(G;N G)
Cuando se comparan los anteriores resultados del Excedente del Productor,
se obtiene:
Para bienes sustitutos:
EP C;(N G;N G) > EP C;(G;N G) > EP C;(G;G) > EP (p;q);(G;G) > EP B;(G;G) >
EP (p;q);(N G;N G) > EP B;(G;N G) > EP B;(N G;N G)
con EP C;(G;N G) = EP (q;p);(G;N G) y EP B;(G;N G) = EP (p;q);(G;N G)
Cuando los bienes son sustitutos, el mejor resultado se obtiene cuando las dos
empresas eligen contratos de cantidades (compiten a la Cournot) y no utilizan
incentivos gerenciales y el peor resultado se obtiene cuando las dos empresas
eligen contratos de precios (compiten a la Bertrand) y no utilizan incentivos
gerenciales.
Para bienes complementarios:
EP B;(N G;N G) > EP B;(G;N G) > EP B;(G;G) > EP (p;q);(G;G) > EP C;(G;G) >
EP (p;q);(N G;N G) > EP C;(G;N G) > EP C;(N G;N G)
con EP B;(G;N G) = EP (p;q);(G;N G) y EP C;(G;N G) = EP (q;p);(G;N G)
Cuando los bienes son complementarios, el mejor resultado se obtiene cuando
las dos empresas eligen contratos de precios (compiten a la Bertrand) y no
utilizan incentivos gerenciales y el peor resultado se obtiene cuando las dos
empresas eligen contratos de cantidades (compiten a la Cournot) y no utilizan
incentivos gerenciales.
52
4.3 Bienestar Social (BS)
Cuando ninguna de las empresas utiliza incentivos gerenciales:
BS B;(N G;N G) > BS (p:q);(N G;N G) = BS (q:p);(N G;N G) > BS C;(N G;N G)
Cuando las dos empresas utilizan incentivos gerenciales:
BS B;(G;G) > BS (p:q);(G;G) = BS (q:p);(G;G) > BS C;(G;G)
Cuando la empresa i utiliza incentivos gerenciales y la empresa j no los
utiliza:
BS B;(G;N G) = BS (p:q);(G;N G) > BS (q:p);(G;N G) = BS C;(G;N G)
Cuando se comparan los resultados anteriores del bienestar social, se obtiene:
BS B;(N G;N G) > BS B;(G;N G) > BS B;(G;G) > BS (p;q);(G;G) > BS (p;q);(N G;N G) >
BS
> BS C;(G;N G) > BS C;(N G;N G)
C;(G;G)
con BS B;(G;N G) = BS (p;q);(G;N G) y BS C;(G;N G) = BS (q;p);(G;N G)
De todos los escenarios analizados, el más conveniente para la sociedad es
cuando las dos empresas eligen contratos de precios con los consumidores (compiten a la Bertrand) y no utilizan incentivos gerenciales como herramienta estratégica. El peor resultado en términos de bienestar social ocurre cuando las
dos empresas eligen contratos de cantidades con los consumidores (competencia
a la Cournot) y no utilizan incentivos gerenciales. Sin embargo, en ausencia
de acciones regulatorias, son las empresas las que determinan el resultado del
mercado. En este escenario, de acuerdo con el análisis efectuado en la sección
3, cuando los bienes son sustitutos, en equilibrio las empresas competirán a la
Cournot28 y solo una de ellas utilizará incentivos gerenciales, generando uno
de los niveles más bajos de bienestar social, tal como se observa en el análisis
anterior. Sin embargo, cuando los bienes son complementarios, en equilibrio las
empresas compiten en precios y utilizan incentivos gerenciales, en cuyo caso el
nivel de bienestar social es uno de los más altos. Un hecho importante que se
deriva del análisis efectuado en la sección 3, es que en ningún caso es posible
predecir que la sociedad obtenga en equilibrio el mayor nivel posible de bienestar
social, que se logra cuando las dos empresas compiten en precios y no utilizan
incentivos gerenciales.
2 8 De acuerdo con los resultados de la sección 3, en este caso una de las empresas también podría elegir contrato de cantidades y usar incentivos gerenciales, y la otra podría elegir contrato
C;(G;N G)
(q;p);(G;N G)
de precios y no usar incentivos gerenciales debido a que i
= i
. AdicionalC;(G;N
G)
mente, de cauerdo con los resultados de la sección 4.3, BS
= BS (q;p);(G;N G) .
53
5. CONCLUSIONES
A continuación se presentan los principales resultados obtenidos en un mercado de competencia imperfecta con productos diferenciados, en relación con la
elección estratégica de contratos de incentivos gerenciales, en un contexto en que
las empresas pueden elegir precios o cantidades para competir con sus rivales:
1. En un duopolio con productos diferenciados en el que los dueños de las
empresas no utilizan incentivos gerenciales y pueden elegir endógenamente el
tipo de contrato que desean acordar con los consumidores (cantidades o precios),
en equilibrio, cuando los bienes son sustitutos las empresas acuerdan contratos
de cantidades; sin embargo, cuando los bienes son complementarios, las empresas
acuerdan contratos de precios.
2. En un duopolio con productos diferenciados en el que los dueños de las
empresas pueden elegir endógenamente los incentivos gerenciales y después de
haber observado tales incentivos, los gerentes pueden elegir endógenamente el
tipo de contrato que desean acordar con los consumidores (cantidades o precios),
se encuentra en equilibrio que: i) los gerentes son incentivados a ser menos
agresivos en ventas ( i > 1) y ii) Los gerentes eligen contratos de precios,
independientemente de si los bienes son sustitutos o complementarios. En el
caso de bienes sustitutos, este resultado es contrario al encontrado cuando las
empresas no utilizan incentivos gerenciales, en cuyo caso las empresas eligen en
equilibrio contratos de cantidades.
3. Si el dueño de cada empresa pudieran elegir si contrata un gerente o no,
se obtiene en equilibrio que cuando los bienes son sustitutos, una de las empresas compite en cantidades y contrata gerente y la otra compite en precios o
cantidades y no contrata gerente; sin embargo, cuando los bienes son complementarios, en equilibrio ambas empresas compiten en precios (a la Bertrand) y
contratan gerentes.
4. En términos del Bienestar Social, el resultado más favorable ocurre cuando
las dos empresas eligen contratos de precios con los consumidores (compiten a
la Bertrand) y no utilizan incentivos gerenciales como herramienta estratégica.
El resultado más desfavorable ocurre cuando las dos empresas eligen contratos
de cantidades con los consumidores (competencia a la Cournot) y no utilizan
incentivos gerenciales. Sin embargo, si se analiza el Bienestar Social teniendo
en cuenta únicamente las decisiones de las empresas, se obtiene que cuando los
bienes son sustitutos se genera uno de los niveles más bajos de bienestar social;
sin embargo, cuando los bienes son complementarios el nivel de bienestar social
es uno de los más altos. En ningún caso es posible predecir que la sociedad
pueda obtener en equilibrio el mayor nivel posible de bienestar social, que se
logra cuando las dos empresas compiten en precios y no utilizan incentivos
gerenciales.
54
Se sugiere para futuras investigaciones contrastar los resultados obtenidos
en este trabajo, con los que resultarían si la decisión sobre cantidades o precios
se hiciera de manera secuencial (a la stackelberg). Igualmente sería interesante
analizar las decisiones sobre utilización de contratos gerenciales y las decisiones
sobre precios y cantidades, suponiento que no todos los agentes económicos son
neutrales al riesgo. Por último, podría analizarse si los resultados obtenidos
son robustos a formas funcionales diferentes a la lineal, para los costos de las
empresas y para las demandas de mercado de cada uno de los bienes.
55
BIBLIOGRAFÍA
Bertrand, J.(1883) "Theorie Mathematique de la Richesse Sociale" Journal
des Savantes, 67.
Cheng, L. (1985) “Comparing Bertrand and Cournot Equilibria: A Geometric Approach”. The RAND Journal of Economics, Vol. 16, 1, pp. 146-152
Coase, Ronald. (1937) "The nature of the …rm". Economica New Series,
Vol. 4, No.16, Noviembre, pp.386-405.
Cournot, Augustin. (1897) "Recherches sur les Principes Mathematiques de
la Theorie des Richesses París: Hachette, 1838. Traducida al inglés por N.T.
Bacon publicada en Economic Classics- Macmillan.
Eichberger, J. (1952) Game Theory for Economists. Academic Press, 1952.
Fershtman, C. (1985) "Internal Organizations and Managerial Incentives
as Strategic Variables in Competitive Environment". International Journal of
Industrial Organization, Vol. 3, pp. 245-253.
Fershtman, C. y Judd, K. (1987). "Strategic Incentive Manipulation in
Rivalrous Agency". Hoover Institution Working Papers in Economics E-87-11.
Fershtman, C. y Judd, K. (1987). “Equlibrium Incentives in Oligopoly”.
The American Economic Review, December, Vol. 77, 5, pp. 927-940
Friedman, J.W. (1977). "Oligopoly and the Theory of Games". Amsterdam:
North Holland.
Jensen, M. C. and Meckling, W. H. (1976). " Theory of the Firm: Managerial Behavior, Agency Costs and Ownership Structure," Journal of Financial
Economics, October, 1976 Vol. 3, pp. 305-360
Nicholson, W. (2004). "Teoría Microeconómica". 8a. edición. Editorial
Thompson
Singh, N. y Vives, X. (1984) “Price and Quantity Competition in a Di¤erentiated Duopoly”. The RAND Journal of Economics, Vol. 15, 4, pp. 546-554.
Ross, S. (1973). "The Economic Theory of Agency: The Principal’s Problem" American Economic Review, May, Vol. 63, pp. 134-139.
Sklivas, S. (1987). "The Strategic Choice of Managerial Incentives" Rand
Journal of Economics, Vol. 18, 3, pp. 452-458.
Torres, Sergio y Mejía Andrés. (2006). "Una visión contemporánea del
concepto de administración: revisión del contexto colombiano. Cuadernos de
administración. Vol. 19 No.32
Vives, X. (1984). "Duopoly Information Equilibrium: Cournot and Bertrand."
Journal of Economic Theory, Vol. 34, pp. 71-94.(julio-diciembre).berg
von Stackelberg, H. (1934). "Marktform und Gleichgewicht (Market structure aand equilibrium). Vienna: Springer: Springer-Verlag.
Williamson, O. (1991) “Comparative economic organization: The analysis
of discrete structural alternatives” Administrative Science Quarterly . No.36.
pp.269-296.
56
APÉNDICE 1
ELECCIÓN DE PRECIOS O CANTIDADES SIN INCENTIVOS
GERENCIALES
BENEFICIOS DE LAS EMPRESAS
En este apéndice se presenta una comparación de los bene…cios de las empresas cuando éstas pueden elegir contratos de precios o cantidades con los
consumidores y no usan incentivos gerenciales
1
(a c+cd)2
(d 2)2
(d+1)(a c+cd)2
(1 d)(d+2)2
1
( d2 )(d+2)2 (a c+cd)2
(3d2 4)2
Competencia en precios (Bertrand)
Competencia en cantidades (Cournot)
Empresa i precios, empresa j cantidades
2
(a c+cd)2
(d 2)2
(d+1)(a c+cd)2
(1 d)(d+2)2
2
(a c+cd)2 ( d2 +d+2)
2
2
(3d 4)
Cuando los bienes son sustitutos:
q;p
i
= (a
c + cd)
q;p
i
B
i
= (a
c + cd)
B
i
p;q
i
C
i
d<1
2
2
1
= (a
c + cd)
h
h
2
1
(3d2 4)2
1
d+1
1 d (d+2)2
1
(3d2 4)
h
1
(d 2)2
2
2+d
1 d2
(3d2 4)2
d2
2
d2
2+d
1
(d 2)2
2
(d + 2)
i
i
2
i
> 0 para 0 <
> 0 para 0 < d <
> 0 para 0 < d < 1
Con base en estos resultados se obtiene:
C
i
>
q;p
i
>
B
i
>
p;q
i ;
i = 1; 2
Cuando los bienes son complementarios:
i
h
2
2
p;q
1 d2
B
(d + 2) > 0 para 1 < d < 0
= (a c + cd) (d 12)2
i
i
(3d2 4)2
h
i
2
2
p;q
1 d2
1
d+1
C
=
(a
c
+
cd)
(d
+
2)
> 0 para 1 <
2
2
i
i
1 d (d+2)
(3d2 4)
d<0
h
i
2
q;p
d+1
1
C
2 2
= (a c + cd) 1 1 d (d+2)
2
+
d
d
> 0 para
2
2
2
i
i
(3d 4)
1<d<0
Con base en estos resultados se obtiene
B
i
>
p;q
i
>
C
i
>
q;p
i ;
i = 1; 2
57
APÉNDICE 2
ELECCIÓN DE PRECIOS O CANTIDADES CON INCENTIVOS
GERENCIALES
UTILIDAD DE LOS GERENTES
En este apéndice se presenta una comparación de las utilidades de los gerentes cuando las empresas pueden elegir contratos de precios o cantidades con
los consumidores
Bertrand
Cournot
i precios, j cantidades
up;q
i
para
uC
i
uC
i = (a
u1
2
2) (a c+cd)2
(d2 +2d 4)2
4(d+1)(a c+cd)2
(1 d)( d2 +2d+4)2
2
(d+1)(a c+cd)2 (d4 +2d3 6d2 4d+8)
(1 d)(5d4 20d2 +16)2
(d2
c + cd)
2
(d+1)(d4 +2d3 6d2 4d+8)
(1 d)(5d4 20d2 +16)2
2
4(d+1)
(1 d)( d2 +2d+4)2
>0
1<d<1
uB
i = (a
c + cd)
2
4(d+1)
(1 d)( d2 +2d+4)2
d<1
uB
i
u2
2 (a c+cd)2
d
2 (d2 +2d 4)2
4(d+1)(a c+cd)2
(1 d)( d2 +2d+4)2
2
4(a c+cd)2 (d4 2d3 5d2 +2d+4)
(5d4 20d2 +16)2
2
uq;p
= (a
i
c + cd)
2
2
(d2 2)
(d2 +2d 4)2
(d2
2
2)
4)2
(d2 +2d
>0
para
1<
> 0
para
2
4(d4 2d3 5d2 +2d+4)
(5d4 20d2 +16)2
1<d<1
Con base en los cálculos anteriores, se obtiene tanto para bienes sustitutos
como para bienes complementarios:
q;p
B
up;q
> uC
i > ui > ui
i
58
APÉNDICE 3
DECISIÓN DE LAS EMPRESAS SOBRE CONTRATAR O NO
CONTRATAR GERENTES
Bienes sustitutos
G
G
NG
NG
q;(q ó p);(G;N G)
q;(q ó p);(G;N G)
; 2
1
C;(N G;N G)
C;(N G;N G)
; 2
1
B;(G;G)
B;(G;G)
; 2
1
(q ó p);q;(N G;G)
(q ó p);q;(N G;G)
; 2
1
2(2 d2 )(a c+cd)2
B;(G;G)
=
1
(d2 +2d 4)2
C;(N G;N G)
c+cd)2
= (d+1)(a
1
(1 d)(d+2)2
2
(q ó p);q;(N G;G)
1
(q ó p);q;(N G;G)
2
q;(q ó p);(G;N G)
1
=
q;(q ó p);(G;N G)
2
=
=
=
q;(q ó p);(G;N G)
i
(d+1)(a c+cd)2 (d2 +2d 4)
16(d2 2)2 (1 d)
(d+1)(d 2)2 (a c+cd)2
8(2+d3 d2 2d)
(d+1)(d 2)2 (a c+cd)2
(2+d3 d2 2d)
2
(d+1)(a c+cd)2 (d2 +2d 4)
16(d2 2)2 (1 d)
C;(N G;N G)
i
= (a
c + cd)
2
(q ó p);q;(N G;G)
i
= (a
c + cd)
2
0 para 0 < d < 1
C;(N G;N G)
i
h
(d+1)(d 2)2
(2+d3 d2 2d)
(d+1)
(1 d)(d+2)2
i
>
2
(d+1)(d2 +2d 4)
16(d2 2)2 (1 d)
(d+1)
(1 d)(d+2)2
0 para 0 < d < 1
(q ó p);q;(N G;G)
i
B;(G;G)
i
= (a
c + cd)
2
2
(d+1)(d2 +2d 4)
16(d2 2)2 (1 d)
2(2 d2 )
(d2 +2d 4)2
>
0 para 0 < d < 1
q;(q ó p);(G;N G)
i
>
C;(N G;N G)
i
>
(q ó p);q;(N G;G)
i
>
B;(G;G)
i
Con base en los anteriores resultados, se deduce que la matriz de pagos
anterior tiene dos equilibrios de Nash: en cada uno de ellos, una de las empresas
contrata gerente y elige cantidades y la otra empresa no contrata gerente y elige
cantidades o precios.
Bienes complementarios
G
G
NG
NG
B;(G;G)
B;(G;G)
; 2
1
(q ó p);p;(N G;G)
(q ó p);p;(N G;G)
; 2
1
59
p;(q ó p);(GN G)
p;(q ó p);(G;N G)
; 2
1
B;(N G;N G)
B;(N G;N G)
; 2
1
>
2(2 d2 )(a c+cd)2
B;(G;G)
=
1
(d2 +2d 4)2
2
B;(N G;N G)
= (a(dc+cd)
1
2)2
(q ó p);p;(N G;G)
1
(q ó p);p;(N G;G)
2
p;(q ó p);(G;N G)
1
=
p;(q ó p);(G;N G)
2
=
p;(q ó p);(GN G)
i
=
=
2
d2 +2d) (a c+cd)2
16(d2 2)2
(d+2)2 (a c+cd)2
8(2 d2 )
(d+2)2 (a c+cd)2
8(2 d2 )
2
(4 d2 +2d) (a c+cd)2
16(d2 2)2
(4
B;(N G;N G)
i
= (a
c + cd)
1<d<0
B;(N G;N G)
i
B;(G;G)
i
= (a
c + cd)
2
2
h
(d+2)2
8(2 d2 )
1
(d 2)2
2(2 d2 )
(d2 +2d 4)2
1
(d 2)2
i
>0
> 0
para
para
1<d<0
B;(G;G)
i
para
(q ó p);p;(N G;G)
i
= (a
c + cd)
2
2(2 d2 )
(d2 +2d 4)2
2
d2 +2d)
16(d2 2)2
(4
> 0
1<d<0
p;(q ó p);(GN G)
i
>
B;(N G;N G)
i
>
B;(G;G)
i
>
(q ó p);p;(N G;G)
i
De acuerdo con estos resultados, para ambas empresas contratar gerentes y
elegir contrato de precios es una estrategia dominante y es también un equilibrio
de Nash del juego propuesto en la matriz anterior.
60
APÉNDICE 4
EXCEDENTE DE LOS CONSUMIDORES, EXCEDENTE DE LOS
PRODUCTORES Y BIENESTAR SOCIAL
En las tablas que se presentan en este apéndice, todos los resultados están
2
multiplicados por el factor (a c + cd)
A5.1 Excedente de los consumidores
Excedente de los consumidores (EC)
i, j con gerente
i con gerente, j sin gerente
2
(d2 2)
(3d5 +d4 20d3 16d2 +32d+32)
i, j sin gerente
Bertrand
Cournot
i precio, j cantidad
i cantidad, j precio
1
(1 d)(d 2)2
(d+1)2
(1 d)(d+2)2
(2 d3 d2 +2d)
2(3d3 3d2 4d+4)
(2 d3 d2 +2d)
2(3d3 3d2 4d+4)
(1 d)(d2 +2d 4)2
4(d+1)2
(1 d)(4 d2 +2d)2
(d5 +d4 8d3 8d2 +8d+8)
2(16 5d5 +5d4 +20d3 20d2 16d)
(d5 +d4 8d3 8d2 +8d+8)
2(16 5d5 +5d4 +20d3 20d2 16d)
32(d2 2)2 (1 d)
28d3 32d2 +32d+32)
32(d2 2)2 (1 d)
(3d5 +d4 20d3 16d2 +32d+32)
32(d2 2)2 (1 d)
(5d5 +9d4 28d3 32d2 +32d+32)
32(d2 2)2 (1 d)
(5d5 +9d4
Cuando ninguna de las empresas utiliza incentivos gerenciales se obtiene:
EC B;(N G;N G) EC (p:q);(N G;N G) =
1<d<1
EC (q:p);(N G;N G) EC C;(N G;N G) =
1<d<1
1
(1 d)(d 2)2
(2
2(3d3
(2 d3 d2 +2d)
2(3d3 3d2 4d+4)
d3 d2 +2d)
3d2 4d+4)
(d+1)2
(1 d)(d+2)2
> 0 para
> 0 para
Con base en estos resultados:
EC B;(N G;N G) > EC (p:q);(N G;N G) = EC (q:p);(N G;N G) > EC C;(N G;N G)
Cuando las dos empresas utilizan incentivos gerenciales, se obtiene:
2
EC B;(G;G) EC (p:q);(G;G) =
0 para 1 < d < 1
(d2 2)
(1 d)(d2 +2d 4)2
EC (q:p);(G;G) EC C;(G;G) =
0 para 1 < d < 1
(d5 +d4 8d3 8d2 +8d+8)
2(16 5d5 +5d4 +20d3 20d2 16d)
Con base en estos resultados:
61
(d5 +d4 8d3 8d2 +8d+8)
2(16 5d5 +5d4 +20d3 20d2 16d)
4(d+1)2
(1 d)(4 d2 +2d)2
>
>
EC B;(G;G) > EC (p:q);(G;G) = EC (q:p);(G;G) > EC C;(G;G)
Cuando la empresa i utiliza incentivos gerenciales y la empresa j no los
utiliza, se obtiene:
EC B;(G;N G) EC C;(G;N G) =
0 para 1 < d < 1
(3d5 +d4
20d3 16d2 +32d+32)
32(d2 2)2 (1 d)
(5d5 +9d4
28d3 32d2 +32d+32)
32(d2 2)2 (1 d)
EC B;(G;N G) = EC (p:q);(G;N G) > EC (q:p);(G;N G) = EC C;(G;N G)
Al comparar todos los resultados del excedente del consumidor, se obtiene:
(3d5 +d4 20d3 16d2 +32d+32)
1
EC B;(N G;N G) > EC B;(G;N G) = (1 d)(d
>0
2)2
32(d2 2)2 (1 d)
para 1 < d < 1
2
(3d5 +d4 20d3 16d2 +32d+32)
(d2 2)
EC B;(G;N G) > EC B;(G;G) =
>
2
2
2
32(d 2) (1 d)
(1 d)(d +2d 4)2
0 para 1 < d < 1
2
(d2 2)
(2 d3 d2 +2d)
EC B;(G;G) > EC (p;q);(N G;N G) = (1 d)(d2 +2d 4)2
2(3d3 3d2 4d+4) > 0 para
1<d<1
(2 d3 d2 +2d)
(d5 +d4 8d3 8d2 +8d+8)
EC (p;q);(N G;N G) > EC (p;q);(G;G) = 2(3d3 3d2 4d+4) 2(16 5d5 +5d4 +20d3 20d2 16d) >
0 para 1 < d < 1
(d5 +d4 8d3 8d2 +8d+8)
4(d+1)2
EC (p;q);(G;G) > EC C;(G;G) 2(16 5d5 +5d4 +20d3 20d2 16d) (1 d)(4
>0
d2 +2d)2
para 1 < d < 1
(5d5 +9d4 28d3 32d2 +32d+32)
4(d+1)2
EC C;(G;G) > EC C;(G;N G) = (1 d)(4
>
d2 +2d)2
32(d2 2)2 (1 d)
0 para 1 < d < 1
(5d5 +9d4 28d3 32d2 +32d+32)
(d+1)2
EC C;(G;N G) > EC C;(N G;N G) =
>
32(d2 2)2 (1 d)
(1 d)(d+2)2
0 para 1 < d < 1
Por tanto:
EC B;(N G;N G) > EC B;(G;N G) > EC B;(G;G) > EC (p;q);(N G;N G) > EC (p;q);(G;G) >
EC C;(G;G) > EC C;(G;N G) > EC C;(N G;N G)
con EC (p;q);(G;N G) = EC B;(G;N G) y EC (q;p);(G;N G) = EC C;(G;N G)
A5.2 Excedente de los productores
62
>
Excedente de los productores (EP )
i, j sin gerente i, j con gerente i con gerente, j sin gerente
4(2 d2 )
(32d+32 d4 12d3 8d2 )
2
Bertrand
i precios, j cantidades
(d 2)2
2(d+1)
(1 d)(d+2)2
2(d+1)
4 3d2
i cantidad, j precio
2(d+1)
4 3d2
Cournot
(d2 +2d 4)2
4(2d d3 d2 +2)
(1 d)( d2 +2d+4)2
4(2d+2 d3 d2 )
5d4 20d2 +16
4(2d+2 d3 d2 )
5d4 20d2 +16
16(d2 2)2
d5 +11d4 +4d3 40d2 )
16(d2 2)2 (1 d)
(32d+32 d4 12d3 8d2 )
16(d2 2)2
(32 40d2 +4d3 +11d4 d5 )
16b(1 d)(2 d2 )2
(32
Cuando no se utilizan incentivos gerenciales, se obtienen los siguientes resultados
Si los bienes son sustitutos:
EP C;(N G;N G)
EP (p;q);(N G;N G)
EP (p;q);(N G;N G) =
EP B;(N G;N G) =
2(d+1)
2(d+1)
4 3d2
(1 d)(d+2)2
2(d+1)
2
>0
4 3d2
(d 2)2
> 0 para 0 < d < 1
para 0 < d < 1
Con base en estos resultados:
EP C;(N G;N G) > EP (p;q);(N G;N G) = EP (q;p);(N G;N G) > EP B;(N G;N G)
Para bienes complementarios:
EP B;(N G;N G)
EP
(p;q);(N G;N G)
EP (p;q);(N G;N G) =
EP
C;(N G;N G)
=
2
(d 2)2
2(d+1)
4 3d2
2(d+1)
1
4 3d2 > 0 para
2(d+1)
> 0 para
(1 d)(d+2)2
<d<0
1<d<0
Con base en estos resultados:
EP B;(N G;N G) > EP (p;q);(N G;N G) = EP (q;p);(N G;N G) > EP C;(N G;N G)
Cuando se utilizan incentivos gerenciales, se obtiene:
Para bienes sustitutos:
4(2d+2 d3 d2 )
4(2d d3 d2 +2)
> 0 para
EP C;(G;G) EP (p;q);(G;G) = (1 d)( d2 +2d+4)2
5d4 20d2 +16
0<d<1
4(2d+2 d3 d2 )
4(2 d2 )
EP (p;q);(G;G) EP B;(G;G) = 5d4 20d2 +16
> 0 para 0 < d < 1
(d2 +2d 4)2
63
Con base en estos resultados:
EP C;(G;G) > EP (p;q);(G;G) = EP (q;p);(G;G) > EP B;(G;G)
Para bienes complementarios:
4(2 d2 )
4(2d+2 d3 d2 )
5d4 20d2 +16 > 0 para
(d2 +2d 4)2
3
4(2d d3 d2 +2)
4(2d+2 d d2 )
EP C;(G;G) = 5d4 20d2 +16
(1 d)( d2 +2d+4)2
EP B;(G;G) EP (p;q);(G;G) =
1<d<0
EP (p;q);(G;G)
1<d<0
EP (p;q);(G;G) = EP (q;p);(G;G)
> 0 para
Con base en estos resultados:
EP B;(G;G) > EP (p;q);(G;G) = EP (q;p);(G;G) > EP C;(G;G)
Cuando la empresa i utiliza incentivos gerenciales y la empresa j no los
utiliza, se obtiene:
Para bienes sustitutos:
(32
EP C;(G;N G) EP B;(G;N G) =
0 para 0 < d < 1
EP C;(G;N G) = EP (q;p);(G;N G)
EP B;(G;N G) = EP (p;q);(G;N G)
d5 +11d4 +4d3 40d2 )
16(d2 2)2 (1 d)
d4 12d3 8d2 )
16(d2 2)2
(32d+32
>
Con base en estos resultados:
EP C;(G;N G) = EP (q;p);(G;N G) > EP (p;q);(G;N G) = EP B;(G;N G)
Para bienes complementarios:
(32d+32 d4
EP B;(G;N G) EP C;(G;N G) =
16(d2
0 para 1 < d < 0
EP B;(G;N G) = EP (p;q);(G;N G)
EP C;(G;N G) = EP (q;p);(G;N G)
12d3 8d2 )
2)2
(32
d5 +11d4 +4d3 40d2 )
16(d2 2)2 (1 d)
Con base en estos resultados:
EP B;(G;N G) = EP (p;q);(G;N G) > EP (q;p);(G;N G) = EP C;(G;N G)
64
>
Cuando se comparan los anteriores resultados del Excedente del Productor,
se obtiene:
Para bienes sustitutos:
(32 d5 +11d4 +4d3 40d2 )
> 0 para
EP C;(N G;N G) EP C;(G;N G) = (1 2(d+1)
d)(d+2)2
16(d2 2)2 (1 d)
0<d<1
4(2d d3 d2 +2)
(32 d5 +11d4 +4d3 40d2 )
EP C;(G;N G) EP C;(G;G) =
> 0
16(d2 2)2 (1 d)
(1 d)( d2 +2d+4)2
para 0 < d < 1
4(2d+2 d3 d2 )
4(2d d3 d2 +2)
EP C;(G;G) EP (p;q);(G;G) = (1 d)( d2 +2d+4)2
> 0 para
5d4 20d2 +16
0<d<1
4(2 d2 )
4(2d+2 d3 d2 )
> 0 para 0 < d < 1
EP (p;q);(G;G) EP B;(G;G) = 5d4 20d2 +16
(d2 +2d 4)2
2
4
2
d
(
)
2(d+1)
EP B;(G;G) EP (p;q);(N G;N G) = (d2 +2d 4)2
4 3d2 > 0 para 0 < d < 1
32d+32
d4 12d3 8d2 )
(
EP (p;q);(N G;N G) EP B;(G;N G) = 2(d+1)
> 0 para
4 3d2
16(d2 2)2
0<d<1
(32d+32 d4 12d3 8d2 )
2
EP B;(G;N G) EP B;(N G;N G) =
> 0 para 0 <
16(d2 2)2
(d 2)2
d<1
EP C;(G;N G) = EP (q;p);(G;N G) para 0 < d < 1
EP B;(G;N G) = EP (p;q);(G;N G) para 0 < d < 1
Con base en estos resultados:
EP C;(N G;N G) > EP C;(G;N G) > EP C;(G;G) > EP (p;q);(G;G) > EP B;(G;G) >
EP (p;q);(N G;N G) > EP B;(G;N G) > EP B;(N G;N G)
Para bienes complementarios:
(32d+32 d4 12d3 8d2 )
EP B;(N G;N G) EP B;(G;N G) = (d 22)2
> 0 para 1 <
16(d2 2)2
d<0
4(2 d2 )
(32d+32 d4 12d3 8d2 )
EP B;(G;N G) EP B;(G;G) =
> 0 para
2
2
16(d 2)
(d2 +2d 4)2
1<d<0
4(2 d2 )
4(2d+2 d3 d2 )
EP B;(G;G) EP (p;q);(G;G) = (d2 +2d 4)2
5d4 20d2 +16 > 0 para 1 < d < 0
3
2
4
2d+2
d
d
4(2d d3 d2 +2)
(
)
EP (p;q);(G;G) EP C;(G;G) = 5d4 20d2 +16
> 0 para
(1 d)( d2 +2d+4)2
1<d<0
4(2d d3 d2 +2)
2(d+1)
EP C;(G;G) EP (p;q);(N G;N G) = (1 d)( d2 +2d+4)2
1<
4 3d2 > 0 para
d<0
(32 d5 +11d4 +4d3 40d2 )
EP (p;q);(N G;N G) EP C;(G;N G) = 2(d+1)
> 0 para
4 3d2
16(d2 2)2 (1 d)
1<d<0
(32 d5 +11d4 +4d3 40d2 )
2(d+1)
EP C;(G;N G) EP C;(N G;N G) =
> 0 para
16(d2 2)2 (1 d)
(1 d)(d+2)2
1<d<0
65
EP B;(G;N G) = EP (p;q);(G;N G) para
EP C;(G;N G) = EP (q;p);(G;N G) para
1<d<0
1<d<0
Con base en estos resultados:
EP B;(N G;N G) > EP B;(G;N G) > EP B;(G;G) > EP (p;q);(G;G) > EP C;(G;G) >
EP (p;q);(N G;N G) > EP C;(G;N G) > EP C;(N G;N G)
A5.3 Bienestar Social
i, j sin gerente
Bertrand
Cournot
i precio, j cantidad
i cantidad, j precio
(2d 3)
(d 1)(d 2)2
(d2 +4d+3)
(1 d)(d+2)2
(d3 +5d2 2d
2(3d2 +4d 3d3
(d3 +5d2 2d
2(3d2 +4d 3d3
6)
4)
6)
4)
Bienestar Social
i, j con gerente
i con gerente, j sin gerente
(d4 +4d3 8d2 8d+12)
(5d5 +23d4 28d3 96d2 +32d+96)
(1 d)(d2 +2d 4)2
4(3 d3 +4d)
(1 d)(4 d2 +2d)2
(d5 +9d4 8d3 32d2 +8d+24)
2(16 5d5 +5d4 +20d3 20d2 16d)
(d5 +9d4 8d3 32d2 +8d+24)
2(16 5d5 +5d4 +20d3 20d2 16d)
32(d2 2)2 (1 d)
20d3 112d2 +32d+96)
32(d2 2)2 (1 d)
(5d5 +23d4 28d3 96d2 +32d+96)
32(d2 2)2 (1 d)
(3d5 +31d4 20d3 112d2 +32d+96)
32(d2 2)2 (1 d)
(3d5 +31d4
Cuando ninguna de las empresas utiliza incentivos gerenciales:
(d3 +5d2 2d 6)
3)
BS B;(N G;N G) BS (p:q);(N G;N G) = (d (2d
2
2(3d2 +4d 3d3 4) > 0 para
1)(d 2)
1<d<1
(d3 +5d2 2d 6)
(d2 +4d+3)
BS (p:q);(N G;N G) BS C;(N G;N G) = 2(3d2 +4d 3d3 4)
> 0 para
(1 d)(d+2)2
1<d<1
BS (p:q);(N G;N G) = BS (q:p);(N G;N G) para 1 < d < 1
Con base en estos resultados:
BS B;(N G;N G) > BS (p:q);(N G;N G) = BS (q:p);(N G;N G) > BS C;(N G;N G)
Cuando las dos empresas utilizan incentivos gerenciales:
BS B;(G;G) BS (p:q);(G;G) =
0 para 1 < d < 1
(d4 +4d3
8d2 8d+12)
(1 d)(d2 +2d 4)2
(d5 +9d4 8d3 32d2 +8d+24)
2(16 5d5 +5d4 +20d3 20d2 16d)
(d5 +9d4 8d3 32d2 +8d+24)
BS (p:q);(G;G) BS C;(G;G) = 2(16 5d5 +5d4 +20d3 20d2 16d)
0 para 1 < d < 1
BS (p:q);(G;G) = BS (q:p);(G;G) para 1 < d < 1
66
4(3 d3 +4d)
(1 d)(4 d2 +2d)2
>
>
BS B;(G;G) > BS (p:q);(G;G) = BS (q:p);(G;G) > BS C;(G;G)
Cuando la empresa i utiliza incentivos gerenciales y la empresa j no los
utiliza:
(5d5 +23d4 28d3 96d2 +32d+96)
BS B;(G;N G) BS C;(G;N G) =
32(d2 2)2 (1 d)
0 para 1 < d < 1
BS B;(G;N G) = BS (p:q);(G;N G) para 1 < d < 1
BS C;(G;N G) = BS (q:p);(G;N G) para 1 < d < 1
(3d5 +31d4
20d3 112d2 +32d+96)
32(d2 2)2 (1 d)
Con base en estos resultados:
BS B;(G;N G) = BS (p:q);(G;N G) > BS (q:p);(G;N G) = BS C;(G;N G)
Cuando se comparan los resultados anteriores del bienestar social, se obtiene:
(5d5 +23d4 28d3 96d2 +32d+96)
3)
>0
BS B;(N G;N G) BS B;(G;N G) = (d (2d
1)(d 2)2
32(d2 2)2 (1 d)
para 1 < d < 1
(5d5 +23d4 28d3 96d2 +32d+96) (d4 +4d3 8d2 8d+12)
BS B;(G;N G) BS B;(G;G) =
>
32(d2 2)2 (1 d)
(1 d)(d2 +2d 4)2
0 para 1 < d < 1
(d4 +4d3 8d2 8d+12)
(d5 +9d4 8d3 32d2 +8d+24)
BS B;(G;G) BS (p;q);(G;G) = (1 d)(d2 +2d 4)2
2(16 5d5 +5d4 +20d3 20d2 16d) >
0 para 1 < d < 1
(d5 +9d4 8d3 32d2 +8d+24)
(d3 +5d2 2d 6)
BS (p;q);(G;G) BS (p;q);(N G;N G) = 2(16 5d5 +5d4 +20d3 20d2 16d) 2(3d2 +4d 3d3 4) >
0 para 1 < d < 1
4(3 d3 +4d)
(d3 +5d2 2d 6)
BS (p;q);(N G;N G) BS C;(G;G) = 2(3d2 +4d 3d3 4)
> 0 para
(1 d)(4 d2 +2d)2
1<d<1
4(3 d3 +4d)
(3d5 +31d4 20d3 112d2 +32d+96)
BS C;(G;G) BS C;(G;N G) = (1 d)(4 d2 +2d)2
>
32(d2 2)2 (1 d)
0 para 1 < d < 1
(d2 +4d+3)
(3d5 +31d4 20d3 112d2 +32d+96)
>
BS C;(G;N G) BS C;(N G;N G) =
32(d2 2)2 (1 d)
(1 d)(d+2)2
0 para 1 < d < 1
BS B;(G;N G) = BS (p;q);(G;N G) para 1 < d < 1
BS C;(G;N G) = BS (q;p);(G;N G) para 1 < d < 1
Con base en estos resultados:
BS B;(N G;N G) > BS B;(G;N G) > BS B;(G;G) > BS (p;q);(G;G) > BS (p;q);(N G;N G) >
BS C;(G;G) > BS C;(G;N G) > BS C;(N G;N G)
con BS B;(G;N G) = BS (p;q);(G;N G) y BS C;(G;N G) = BS (q;p);(G;N G)
67
>