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Libro para el estudiante
Matemáticas 1 (Álgebra)
Nivel Medio Superior del
Instituto Politécnico Nacional
Academia Institucional de Matemáticas del Nivel Medio Superior
del Instituto Politécnico Nacional
Libro para el estudiante
Introducción
1. Secuencia de Aprendizaje (Contenido y referencia de su
ubicación)
Unidad 1 ‘De la Aritmética al Álgebra’
Unidad 2 ‘Polinomios’
Unidad 3 ‘Ecuaciones y funciones lineales’
Unidad 4 ‘Ecuaciones y funciones cuadráticas’
Unidad 5 ‘Sistemas de ecuaciones’
Unidad 6 ‘Funciones polinomiales y racionales’
2. MAPOA
3. Problemas
I. Problemas
II. Problemas con guía
III. Proyectos
4. Ejercicios
5. Lecturas
6. Autoevaluaciones
7. Bibliografía
Introducción
El marco institucional
En el Simposio ‘La Prospectiva del IPN y los Desafíos para el Siglo XXI’, que tuvo lugar a
fines del siglo pasado, se destacó que el quehacer institucional se debe orientar hacia la
creación de un sistema educativo capaz de colocar a todo individuo en la posibilidad de
adquirir, actualizar y usar adecuadamente el conocimiento pertinente con un sentido de
solidaridad. En particular, al IPN le corresponde atender a las necesidades del país para
sustentar su desarrollo científico y tecnológico, por lo que deberá convertirse en un espacio
de socialización que integre en sus propuestas formativas la ciencia, la tecnología y el
conocimiento con una ética de responsabilidad profesional, en donde el currículo, la
pedagogía, la organización, el diseño y la aplicación de las políticas ins titucionales, tengan
la capacidad para actuar consistentemente frente a los escenarios del siglo que comienza.
Para lograr estas metas, el IPN debe mantener un esquema dinámico de acción que lo haga
un espacio de formación, aprendizaje, actualización e investigación de alta calidad; un
espacio y una comunidad en los que la permanencia y el apoyo se hagan posibles en
función del mérito intelectual, la competencia demostrada y el potencial de contribución
social, a donde la sociedad y sus instituciones puedan dirigirse para obtener respuestas
confiables a sus cuestionamientos.
Las nuevas exigencias de acreditación de carreras y de certificación de egresados, imponen
una sistematización del desarrollo curricular que obliga a que la reforma académica se
constituya en un ejercicio permanente que garantice a los egresados el perfil profesional
requerido para los tiempos por venir.
Así, la educación que el IPN ofrezca tendrá que superar la imagen tradicional de la
adquisición de conocimientos como un fin en sí, para insistir en el desarrollo de aptitudes
en el nivel de métodos, de procedimientos y de estrategias de intervención; por lo que habrá
que mejorar los programas educativos y de investigación, adecuar las instalaciones, los
recursos humanos y la infraestructura, y fomentar el desarrollo tecnológico.
En atención a las demandas que la sociedad le plantea, el IPN tiene como eje de su
transformación un nuevo perfil profesional que orienta el diseño y la instrumentación de
nuevos modelos educativos que proponen una relación adecuada entre los conocimientos,
las habilidades práctico-productivas y las actitudes que dotarán a los estudiantes de
capacidad emprendedora, responsabilidad, creatividad y flexibilidad en su desempeño
profesional.
En su prospectiva 2000-2015 hacia el nuevo Modelo Educativo Politécnico se señala que el
reto no considera cambios radicales pero sí contundentes en:
♦ la reorientación del enfoque y los contenidos de tal manera que el IPN eduque para
o vivir,
o aprender,
o emprender,
o crear
o y saber ser;
♦ la presencia de un esquema cultural que amplíe los horizontes de la ciencia y la
tecnología nacionales;
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 3
♦ dar un valor social, económico y ético a los conocimientos resultantes, para estar
presente en los circuitos de la distribución mundial de los saberes;
♦ proveer de servicios y haberes a la población del país;
♦ y de contribuir a mantener la equidad, la unidad y el bienestar nacionales.
Estos son los desafíos que, en palabras de la propia institución, el IPN reconoce para el
presente y el futuro inmediatos.
¿Qué entendemos por enseñar y aprender en el área de matemáticas?
Cuando una persona adopta el papel de estudiante y se encuentra con sus profesores y con
sus compañeras en el salón de clases hay un acuerdo implícito, el estudiante está ahí para
aprender y el profesor para enseñar. Tu experiencia en la escuela te ha formado una noción
intuitiva de lo que estas dos ideas y prácticas significan y de lo que puedes esperar de una
clase. Sin embargo, el sistema educativo que hemos heredado no se diseñó para que
aprendieras a actuar en forma adaptativa en un ambiente complejo inundado por la
tecnología. Sus objetivos no consideraron que fuera necesario, o siquiera posible, que
pudieras aprender a interpretar textos no familiares con propósitos variables, construir
argumentos convincentes atendiendo varios niveles, comprender sistemas complejos,
desarrollar diversos enfoques a los problemas o llevar a buen fin la solución de un
problema trabajando en grupo. Pero la sociedad requiere cada vez más una educación que
se centre en las llamadas habilidades intelectuales de orden superior. Estas habilidades, de
nombre tan elegante, son las que aplicas cuando tomas decisiones, resuelves problemas,
organizas tu propio aprendizaje o haces aportaciones creativas en tus trabajos y
actividades. Pero si quieres aprender a resolver problemas tienes que enfrentarte a
verdaderos problemas, si quieres aprender a tomar decisiones, tienes que tomarlas y asumir
las consecuencias... Todo esto es complicado, pero es lo que haces, y vas a seguir haciendo
cada vez más, dentro y, sobre todo, fuera de la escuela. Resnick, conocida investigadora en
educación matemática, quien ha estudiado este pensamiento de orden superior, lo
caracteriza señalando que
♦ no es algorítmico, porque las vías por las que circula no están bien definidas
previamente,
♦ es complejo, porque no basta una perspectiva,
♦ da lugar a soluciones diversas, cada una con sus costos y beneficios,
♦ requiere de la aplicación de criterios múltiples, en ocasiones contradictorios, que
al aplicarse producen juicios matizados,
♦ va acompañado de una fuerte carga de incertidumbre, no se suele conocer todo
lo que se necesita,
♦ debe auto -regularse,
♦ comprende la asignación de un significado, encontrando la estructura que
subyace al desorden aparente
♦ y exige un esfuerzo considerable, un trabajo intelectual con propósitos definidos
en diversos niveles.
De la Prospectiva del IPN podemos retomar la orientación que se debe dar al quehacer
institucional hacia la creación de un sistema educativo capaz de colocar a todo individuo
en la posibilidad de adquirir, actualizar y usar adecuadamente el conocimiento pertinente
con un sentido de solidaridad. Esto es una invitación para contribuir a una reforma
educativa imaginativa y muy exigente, que requiere una reconceptualización de lo que
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 4
significa «tener clase». Para nosotros, tus profesoras, «enseñar matemáticas» significará
crear las condiciones que, con tu indispensable participación protagónica, producirán la
apropiación del conocimiento, el desarrollo de las habilidades y la formación de las
actitudes. «Aprender matemáticas» significará involucrarse en una actividad intelectual
exigente, cuya consecuencia final será la disponibilidad de un conocimiento dual: como
instrumento y como objeto. Así, «saber matemáticas» significará el desarrollo de estos dos
aspectos del conocimiento:
♦ Como instrumento, el conocimiento matemático está inscrito en un contexto. En este
caso es necesario usar las nociones y teoremas matemáticos que considera el programa
de la materia para resolver problemas e interpretar situaciones nuevas.
♦ Como objeto, el conocimiento está descontextualizado y es atemporal. Debes ser capaz
de formular definiciones, enunciar y demostrar teoremas e identificarlos como elementos
de una disciplina: la matemática.
Los tres pensamientos siguientes nos señalan aspectos que debemos considerar en nuestro
aprendizaje:
Oigo y olvido,
veo y recuerdo,
hago y comprendo.
(Un viejo proverbio chino)
Hacer . . . y reflexionar acerca de lo que se hace.
(Seymour Papert)
No hay conocimiento verdadero si no se es capaz de comunicarlo
(Así decían los griegos)
Es decir, oyendo, viendo, haciendo... pero además reflexionando y comunicando.
Así nuestro modelo se puede sintetizar, de manera esquemática, en la tríada
Hacer
Comunicar
Reflexionar
Hacer – Reflexionar - Comunicar
El desarrollo de la clase ya no puede ser responsabilidad exclusiva del profesor, sino que
debe contar con una nueva actitud del estudiante, que también se responsabiliza y se
compromete con su aprendizaje. Juntos podrán discutir y definir las distintas maneras de
desarrollar las actividades de aprendizaje, con sus razones, sus ventajas, sus desventajas y
sus riesgos.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 5
Las Competencias Básicas y su dimensión matemática
Nuestro marco de referencia lo establece la SEP en sus competencias básicas del estudiante
de bachillerato. Las competencias básicas se refieren al dominio, por parte del estudiante,
de los conocimientos, habilidades, valores y actitudes que son indispensables tanto para la
comprensión del discurso de las ciencias, las humanidades y la tecnología, como para su
aplicación en la solución de los problemas de su vida escolar, laboral o cotidiana, por lo que
se considera que deben ser comunes a todos los bachilleratos del país.
Se considera que las competencias básicas que se deben desarrollar durante el paso del
educando por el bachillerato son:
♦ Expresarse correcta y eficientemente en español, tanto en forma oral como escrita, así
como interpretar los mensajes en ambas formas.
♦ Manejar la información formulada en distintos lenguajes y discursos (gráficos,
matemáticos, simbólicos, de cómputo, etc.).
♦ Utilizar los instrumentos culturales, científicos, metodológicos y técnicos, básicos para
la resolución de problemas en su dimensión individual y social, con actitud creativa y
trabajando individualmente o en grupos.
♦ Comprender, criticar y participar racional y científicamente, a partir de los
conocimientos asimilados, en los problemas ecológicos, socioeconómicos y políticos
de su comunidad, región y del país.
♦ Aprender por sí mismo, poniendo en práctica métodos y técnicas eficientes para
propiciar su progreso intelectual.
♦ Evaluar y resolver las situaciones inherentes a su edad y desarrollo, incluso en lo que se
refiere al conocimiento de sí mismo, su autoestima y autocrítica, salud física y
formación cultural y estética, a efecto de tomar decisiones que lo beneficien en lo
individual y en lo social.
♦ Desempeñarse individual o grupalmente de manera independiente en su vida escolar y
cotidiana.
♦ Integrar los conocimientos de los diferentes campos, en una visión global del medio
natural y social, como paso normativo hacia la inter y multidisciplinariedad.
En cada una de las competencias anteriores hay una componente matemática, por lo que en
el área de matemáticas se trata de lograr los conocimientos, las habilidades y las actitudes
que al articularse con los de las otras áreas te permitan desarrollar significativamente estas
competencias. Estos objetivos, que sin duda quieres lograr tanto como nosotros, exigen
nuevas modalidades de trabajo, a las que quizás no estás acostumbrado, y pueden causarte
conflictos, cierta desesperación, algo de presión, pero, según afirman los expertos como
Resnick, los aprendizajes complejos no se logran aislando las componentes visibles,
desarrollándolas e integrándolas posteriormente, sino mediante experiencias que ponen en
juego, simultáneamente, tanto las habilidades de índole general, como los conocimientos
específicos, junto con tu disposición para embarcarte en situaciones con una fuerte carga de
riesgo e incertidumbre. Estos ‘buenos propósitos’ son más complejos, lograrlos es una tarea
más difícil pero también, creemos, más atractiva e interesante.
La experiencia básica en nuestras clases se definirá por nuestra relación con los problemas.
La resolución de un problema en la clase es un proceso muy complejo cuando los
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 6
problemas que enfrentas son verdaderos problemas. Debido a esta complejidad, los factores
que intervienen para que logremos resolver exitosamente un problema, y comprender algo
significativo como resultado de la interacción con el problema, son muchos y de distintos
niveles. La desatención de uno, o varios, de estos factores puede entorpecer y a veces hacer
imposible la solución de un problema o la comprensión que se deriva de la interacción
fecunda con el problema. Una componente que influye de manera determinante
corresponde a la forma en que las personas interactúan durante la resolución de un
problema. Piensa en un laboratorio en el que se realizan algunos procesos complejos, los
factores que intervienen en los procesos se administran, se registran continuamente y
algunos de ellos se controlan. Así, si queremos crear un ambiente propicio para el
desarrollo de las habilidades intelectuales de orden superior es necesario que aprendamos a
participar en cada modalidad de trabajo: individual, equipo y grupo completo.
El desarrollo de la tecnología, verdaderamente impresionante en la actualidad, ha perfilado
el mundo en que vivimos. Nuestra cultura cuenta ya con una componente matemática que
no sólo atañe al especialista sino al ciudadano. Las matemáticas están tan inevitablemente
incorporadas a nuestra vida cotidiana que, si hemos sobrevivido, es porque, de alguna
manera, hacemos un buen uso de las pocas o muchas matemáticas que sabemos.
La herramienta tecnológica por excelencia es la matemática, pero la matemática es una
herramienta dinámica porque para cada problema nuevo hay que diseñar una herramienta
nueva; basta revisar la gran cantidad de matemáticas nuevas que se han hecho,
especialmente en la segunda mitad del siglo pasado, y el papel que han desempeñado en la
solución de los problemas importantes de todas las áreas.
Anteriormente, los objetivos que perseguía una sociedad, o una institución, cambiaban cada
dos o tres generaciones. Actualmente, los objetivos se revisan constantemente y el cambio
forma parte de nuestra realidad cotidiana. Los conocimientos que hace veinte años estaban
vigentes en la electrónica, por poner un ejemplo, hoy son casi totalmente obsoletos. Más
que conocimientos específicos, que, por supuesto, en cierta medida siguen siendo
necesarios, lo que se trata de lograr en la educación de hoy es la capacidad para ser
autosuficiente cuando se organiza el aprendizaje que nos exige la profesión.
Para organizar uno mismo su aprendizaje es necesario desarrollar:
♦ las habilidades para usar el conocimiento y articular los conocimientos en pos de un
propósito más complejo;
♦ las actitudes que nos permiten enfrentar situaciones con una compone nte importante de
incertidumbre;
♦ la capacidad para transferir, es decir, aplicar en una situación distinta a aquélla en la que
aprendimos, los conocimientos que adquirimos.
El conocimiento debe ser uno de los principales elementos que determinen la relación entre
un profesor y sus alumnos. Pero la clase también es un sitio de interacción de costumbres y
creencias de cada uno de sus participantes, es conveniente contar con un lenguaje común
que nos permita tener un ambiente que propicie la enseñanza y el aprendizaje desde la
perspectiva descrita. Así, cada una de nuestras experiencias de aprendizaje dentro del salón
de clases tendrá un doble propósito: aprender a crear un ambiente de trabajo y aprender
matemáticas.
El ambiente estará dirigido a promover la independencia del estudiante y la responsabilidad
que debe tener en su aprendizaje, a través de:
♦ El trabajo individual y en equipo.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 7
♦ La realización de actividades matemáticas.
♦ La discusión matemática.
♦ La evaluación de tu trabajo y del trabajo de tus compañe ros en el equipo y en el
grupo.
Cuando se lee sobre el pensamiento de orden superior, sobre tener una actitud participativa,
crítica y creativa, se suele decir, “sí, parece deseable y necesario, quiero lograrlo, pero
¿cómo lo hago?”. En la Academia de Matemáticas hemos reconocido la gran dificultad que
hay para lograr estos objetivos y, junto con los Clubes de Matemáticas de varias escuelas,
hemos diseñado y adaptado una serie de materiales auxiliares para la organización del
aprendizaje, que te servirán para traducir en acciones cotidianas este importante propósito.
Estos auxiliares sirven como marcos de referencia compartidos que se usan y comentan
constantemente durante las experiencias de aprendizaje. En la medida en que, tanto el
profesor como los alumnos, se familiaricen con ellos pueden llegar a constituir un lenguaje
común, en el que se pueden expresar algunas de las dimensiones de aprendizaje más
importantes. En una sección de este Libro se tiene un comentario un poco más amplio de
estos ‘Materiales Auxiliares para la Organización del Aprendizaje (MAPOA)’. En términos
generales, estos auxiliares concretan la expresión «responsabilizarse de su aprendizaje» y
contribuyen al logro de la autonomía de los alumnos en la organización de sus propios
aprendizajes.
El curso de Álgebra
El IPN tiene fama de ser uno de los mejores bachilleratos en matemáticas de México. La
gran mayoría de ustedes seguramente se enorgullece de tener cierta facilidad para las
matemáticas. El primer curso del área de matemáticas se llama Álgebra. Al escuchar el
título, lo que viene a nuestra mente es, quizás, un conjunto de operaciones con letras y unas
ecuaciones, a veces con puras letras. Sin embargo, conforme realices las actividades que te
propondremos te darás cuenta de la clase de conocimiento que queremos que logres, un
conocimiento que se asocia con la calidad de su uso. Esto quiere decir que no se trata de
padecer cursos, para aprobarlos, que nos exigen realizar operaciones para las que no
tenemos ningún significado inmediato, con la promesa de que en un futuro indeterminado
acabaremos por aplicarlas. No se trata entonces de que ingenieros titulados no sean capaces
de resolver los problemas que se les presenten si no tienen una receta, o alguien que los
dirija, para hacerlo. Nadie contrata hoy a un profesional para que resuelva un problema que
ya está resuelto. Queremos que el criterio básico para juzgar la calidad de nuestro
aprendizaje, sea la medida en que somos capaces de darle sentido a las conclusiones que
obtenemos al aplicar nuestros conocimientos a la resolución de un problema, ya sea
familiar o nuevo; que seamos capaces de descubrir los patrones que relacionan las
características de un proceso, de imponer un modelo matemático, si es necesario; y de
evaluar los resultados de su aplicación en función de criterios propios de la situación en la
que se originó nuestro problema.
Por supuesto que este tipo de aprendizaje es más difícil. Así como el espacio de nuestra
experiencia básica tiene varias dimensiones, una longitud, una anchura, una profundidad y
un tiempo, el aprendizaje que queremos lograr tiene varias dimensiones: los conocimientos,
las habilidades, las actitudes y la transferencia. Necesitamos aprender a identificar y lograr
objetivos en varias dimensiones, a vivir este aprendizaje multidimensional en la escuela,
particularmente en nuestras clases de matemáticas.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 8
El objetivo del curso, según lo estipula tu programa, es “Al término del curso el alumno
generará modelos algebraicos de situaciones problemáticas que se le presenten, en donde,
para sus soluciones, haga uso de polinomios, transformaciones elementales de expresiones
algebraicas, planteamiento y resolución de ecuaciones, sus representaciones gráficas y
una primera aproximación a las funciones lineales y cuadráticas, lo que le permitirá
analizar situaciones y problemas surgidos en su entorno, así como tener el fundamento
para el desarrollo posterior de conceptos y métodos matemáticos.”
El método de trabajo se basa en la problematización continua, la formulació n de conjeturas
y la revisión sistemática de los conocimientos adquiridos, utilizando técnicas grupales para
el análisis y la discusión, así como técnicas expositivas y de indagación, apoyadas con
recursos audiovisuales y tecnológicos (computadora, calculadora, etc.), procurando que la
relación entre el alumno y el objeto sea constructiva.
Durante todo el desarrollo del curso, se promoverán el análisis, la solución y la discusión de
problemas en clase, en un ambiente que favorezca en los alumnos la apreciación de su
propio trabajo personal, el de sus compañeros y el de su docente.
Deberá tenerse presente que la resolución de problemas es la que permite generar e integrar
conocimiento, favorece su asimilación y ayuda a distinguir lo esencial de lo menos
impor tante. En este proceso el docente es el organizador de las experiencias de aprendizaje
que problematiza, proporciona información y crea códigos de instrucción, de manera que
sus alumnos puedan interactuar con los problemas planteados y, mediante esta interacción,
avanzar hacia nuevos conocimientos. Es importante que, a lo largo de las actividades, los
alumnos desarrollen su capacidad para comunicar su pensamiento y se acostumbren
gradualmente a los diversos medios de expresión matemática: lenguajes natural, simbólico
y gráfico, así como al uso de tablas y diagramas.
En términos generales, la enseñanza de los temas no debe seguir la exposición magistral,
sino fomentar el trabajo en equipos y la exposición de las experiencias logradas por parte
de sus integrantes a través de una adecuada planeación de las actividades de aprendizaje.
El Álgebra que aquí estudiaremos debe ser algo más que la manipulación de expresiones
simbólicas. Se debe convertir en una herramienta de modelación en el estudio de
situaciones reales, generalmente con el objeto de predecir y de controlar, cuando es
éticamente aceptable, algunas de sus características pero, primordialmente, con el objeto de
contribuir a explicarnos mejor los fenómenos del mundo en que vivimos.
La organización de l ‘Libro para el Estudiante’
En este Libro se incluyen varios tipos de actividades de aprendizaje. Cada actividad tiene
un objetivo dentro de toda la red de experiencias consideradas en el curso y se presenta
como un apartado en este Libro:
♦ Problemas
o Problemas
o Problemas con guía
o Proyectos
♦ Lecturas
♦ Ejercicios
♦ Tareas
♦ Autoevaluaciones
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 9
El Libro va acompañado de un disco compacto que incluye algunos paquetes y actividades
que contribuirán a tu aprendizaje del Álgebra. Las actividades se desarrollan en un
ambiente que favorece el autoaprendizaje, la autoevaluación, el trabajo en equipo, el
manejo de la incertidumbre, la apropiación de estrategias personales para el manejo de
situaciones no familiares, el empleo de formas de pensamiento lógico y el uso de tecnología
como una herramienta.
Las actividades están planeadas para que estudiantes y profesores interactúen con diferentes
elementos (los problemas, los problemas con guía, los algoritmos, los ejercicios, las
lecturas y las exposiciones) que brindan las experie ncias complementarias que son
necesarias para el logro de los objetivos del programa.
La cátedra, o exposición magistral del profesor, merece un comentario aparte. El profesor
sólo hará matemáticas frente a ti en ocasiones bien planeadas, cuando estás preparado para
beneficiarte de sus explicaciones y participar con preguntas y comentarios, pero en general
serás tú quien haga matemáticas con tus compañeros al realizar las actividades de
aprendizaje. Las explicaciones del profesor, en general, tendrán como punto de partida el
trabajo del grupo. En algunos casos resolverás completamente un problema (es un decir, un
problema nunca termina, siempre engendra otros) pero en otras, quizás lo que obtengas de
tus afanes sean preguntas bien formuladas, que no es algo desdeñable, sino, por el
contrario, algo indispensable para lograr un aprendizaje profundo y duradero, porque le da
un sentido personal a una situación que, en principio, nos puede resultar ajena.
Una descripción del tipo de actividades que se desarrollarán durante el curso de Álgebra se
resume en el cuadro siguiente:
Actividad de
aprendizaje
Resolución de
problemas
Desarrollo de
Proyectos
Resolución de
ejercicios
¿En qué consiste?
Una actividad e la que se vinculan las herramientas matemáticas
con algunos conceptos utilizando un contexto. Se trata de propiciar
la interacción del estudiante con una situación, familiar o no, en la
que se usan las matemáticas y se formulan o responden preguntas
que contribuyen a la conceptualización de los objetos matemáticos.
En la clase, se propone a los estudiantes un problema, que puede
contener un cuestionario guía o no, para resolverlo, generalmente,
en equipo. El profesor orienta a los estudiantes en la solución del
problema. Los alumnos presentan y validan la solución.
Es una tarea extraclase de varias etapas que requiere de un esfuerzo
coordinado durante varios días o semanas, de la consulta a fuentes
de información actualizada como periódicos, revistas o entrevistas
a personas vinculadas con alguna situación problemática propicia
para un análisis matemático.
Los estudiantes investigan, buscan y organizan su trabajo.
Consultan con su profesor, quien los orienta y retroalimenta en
cada una de las etapas del proyecto. Se produce un informe que se
presenta y discute en el grupo.
Se trata de profundizar en el conocimiento de los algoritmos, de
comprender por qué funcionan y practicarlos, de ser posible con el
auxilio de herramientas tecnológicas, de ser capaces de generarlos,
a partir de la solución de los problemas, de explorarlos y
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 10
generalizarlos.
Los estudiantes trabajan, generalmente, en forma individual
exponen y validan la solución. El profesor dirige y orienta,
reformula e introduce las convenciones de la disciplina.
Lecturas
Se trata de que el alumno interactúe con un texto con el objeto de
generar una interpretación global, de identificar la estructura del
texto, de reformular sus ideas principales, de comentarlo y
conectarlo con el curso, de formular y resolver dudas, todo desde la
perspectiva del desarrollo de una cultura matemática.
Se realiza generalmente fuera de la clase, dejando sólo la discusión
para la clase y, de ser posible, su prolongación en un foro de
discusión en la red.
Cátedra
Consiste en retomar o conducir el trabajo de los estudiantes
mediante anotaciones pertinentes. Formula nuevos problemas,
comenta definiciones, teoremas o demostraciones y su papel en la
organización del conocimiento matemático.
El profesor retoma las soluciones de sus estudiantes para presentar
y discutir nuevos temas así como para formalizar el conocimiento.
Autoevaluación
Es un cuestionario diseñado para que el alumno pueda evaluar sus
avances con respecto a un objetivo bien definido. Aquí se
encuentran organizadas por unidad. El alumno mismo puede
contrastar sus respuestas con las que se incluyen para medir sus
logros.
Las secciones están organizadas según el tipo de actividad de aprendizaje. En la primera
sección encontrarás la secuencia que corresponde a cada unidad del programa de Álgebra.
La organización de las actividades que aquí se presenta constituye una propuesta flexible y
fundamentada que puede ser modificada por el profesor.
En cuanto al uso de las herramientas tecnológicas en las actividades de aprendizaje, hay
que destacar que, en el área de Matemáticas, se reconoce como un aspecto natural de
nuestra sociedad y, por consiguiente, debe estar presente, en la medida de lo posible, con el
doble propósito de contribuir a fortalecer la comprensión de los alumnos y de permitir que
se familiaricen con la interacción mediada por estos dispositivos que caracteriza el ejercicio
de las profesiones en la actualidad. Así, en particular, se considera el uso responsable, pero
cotidiano, de las calculadoras con poder de graficación y con sistemas de cálculo algebraico
y los programas de computadora diseñados para el aprendizaje y el uso del Álgebra.
Los programas vigentes de matemáticas en el IPN reconocen que un examen escrito no
permite evaluar todos los tipos de aprendizajes señalados antes, por ello incorpora la
llamada “evaluación continua”, en la cual se ponderan habilidades y actitudes que se van
desarrollando paulatinamente.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 11
Programa de Álgebra
Versión del alumno
Objetivo general
Al término del curso el alumno generará modelos algebraicos de situaciones
problemáticas que se le presenten, en donde, para sus soluciones, haga uso de
polinomios, transformaciones elementales de expresiones algebraicas, planteamiento y
resolución de ecuaciones, sus representaciones gráficas y una primera aproximación a
las funciones lineales y cuadráticas, lo que le permitirá analizar situaciones y problemas
surgidos en su entorno, así como tener el fundamento para el desarrollo posterior de
conceptos y métodos matemáticos.
Las cuatro líneas indispensables que se desarrollan en el curso de álgebra:
Este programa de álgebra contempla cuatro grandes líneas de desarrollo, que se
deberán ir tratando y desplegando a lo largo de todo el curso:
• Lenguaje algebraico.
• Modelación.
• Ecuaciones.
• Funciones.
Es importante hacer notar que no es conveniente que haya largos períodos dedicados
exclusivamente a la ejercitación de la operatividad, sino que a medida que los alumnos
hayan aprendido nuevos procedimientos algebraicos, los utilicen en la resolución de
problemas y aplicaciones.
El programa deberá cumplirse hasta sus últimas unidades, pues éstas preparan a los
alumnos para los siguientes cursos. Lo anterior será posible si el docente distingue siempre
lo esencial de lo accesorio y no insiste en la ejercitación excesiva de temas de poca
importancia para lo s cuales bastará resolver uno o dos ejemplos en el salón de clases y dejar
otros como tarea. También deberán evitarse aquellos tratamientos teóricos superfluos o
innecesarios, o tratar de agotar un tema desde el principio, pues el programa ha sido
diseñado de tal manera que los conocimientos esenciales puedan utilizarse a lo largo de
todo el curso.
Unidad 1. De la Aritmética al Álgebra
Al término de la unidad el alumno resolverá diferentes problemas incorporando de manera
paulatina la notación literal y la s reglas de escritura algebraica, lo que le permitirá
reafirmar sus conocimientos sobre las fracciones y sus diferentes significados, así como el
uso de exponentes y su aplicación en la notación científica. Esto le permitirá desarrollar
habilidades para abordar el estudio de los polinomios, las ecuaciones y las expresiones
racionales.
1. Problemas para revisar la noción de fracción y sus distintas interpretaciones:
- como parte de un todo,
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 12
- como razón (comparación de dos cantidades),
- como representación de porcentajes,
- como equivalencia de fracciones decimales.
2. Revisión de razones y proporciones a través de problemas.
3. Problemas que den lugar al uso de potencias con exponentes enteros y notación
científica.
Unidad 2. Polinomios
Al término de la unidad el alumno manejará la notación algebraica y realizará las
operaciones de adición y multiplicación de polinomios, a partir del planteamiento de
problemas matemáticos aplicados a situaciones cotidianas, desarrollando además sus
habilidades para traducir el lenguaje coloquial al lenguaje simbólico-abstracto y para la
elaboración de modelos con polinomios.
1. Problemas que den lugar al uso y significado del lenguaje algebraico, así como a la
traducción del lenguaje coloquial al algebraico.
2. Adición de polinomios.
3. Multiplicación de polinomios.
Unidad 3. Ecuaciones y funciones lineales
Al término de la unidad el alumno resolverá problemas de contextos matemáticos y
extramatemáticos -de lo cotidiano y de otras áreas del conocimiento-, que conduzcan a una
ecuación lineal y para lo cual hará uso del método tabular como medio para explorar y
establecer la expresión analítica de la función, obtendrá la ecuación, la resolverá por el
método algebraico y/o gráfico e interpretará el resultado.
1. Problemas que den lugar a ecuaciones de primer grado con una incógnita.
- Solución algebraica.
2. Noción de función lineal y su gráfica.
- Solución gráfica de ecuaciones lineales de una incógnita.
3. Problemas que den lugar a variación directamente proporcional:
- representación gráfica.
Unidad 4. Ecuaciones y funciones cuadráticas
Al término de la unidad el alumno planteará y resolverá problemas de contextos
matemáticos y extramatemáticos -de lo cotidiano y de otras áreas del conocimiento-, que
conduzcan a la formulación de ecuaciones de segundo grado, las resolverá por el método
algebraico y/o gráfico -asociado con funciones cuadráticas- e interpretará los resultados.
1. Problemas generales que den lugar a ecuaciones de segundo grado con una incógnita:
- Métodos de solución algebraica.
- Factorizaciones simples.
2. Noción de función cuadrática y su gráfica.
-Método de solución gráfica de ecuaciones cuadráticas.
Unidad 5. Sistemas de ecuaciones
Al término de la unidad el alumno construirá modelos matemáticos que incluyan sistemas
de ecuaciones lineales y cuadráticas provenientes de contextos matemáticos y
extramatemáticos de lo cotidiano y de otros campos del conocimiento, además resolverá
correctamente los sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas utilizando los métodos
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 13
tabular, algebraico y gráfico y comprobará su solución. Así mismo construirá, interpretará
y vinculará las representaciones tabular, algebraica y gráfica mediante el uso de
calculadoras con poder de graficación y software matemático.
1. Problemas que generen sistemas de ecuaciones lineales:
- revisión de los métodos básicos de resolución de sistemas lineales.
2. Problemas que generen sistemas de ecuaciones cuadráticas:
- una cuadrática y una lineal,
- solución gráfica del caso parábola y recta.
Unidad 6. Funciones polinomiales y racionales
Al término de la unidad el alumno resolverá problemas de variación proporcional inversa
entre dos variables y aquellos que den lugar a ecuaciones fraccionarias reducibles a
lineales o cuadráticas para que se familiarice con las propiedades básicas de fracciones
algebraicas racionales y con algunas funciones racionales simples. Así mismo, analizará
cualitativamente el comportamiento de la gráfica de funciones polinomiales simples.
1. Funciones polinomiales:
- raíces o ceros de un polinomio,
- teorema del residuo,
- teorema del factor,
- división sintética.
2. Problemas que den lugar a variación inversamente proporcional:
- representación gráfica.
3. Problemas que den lugar a ecuaciones fraccionarias reducibles a lineales o
cuadráticas y a funciones racionales:
- fracciones algebraicas equivalentes y sus propiedades
Bibliografía
Autor
Título
Phillips, Elizabeth et Álgebra con
al
aplicaciones
Editorial
Editorial Harla
Fecha
México, 1988.
Gustafson R. David
Álgebra intermedia
Thomson Editores
México, 1996
Smith, Stanley A. et
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EE. UU., 1997
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Iberoamericana
EE. UU., 1997
Calter, Paul
Fundamentos de
matemáticas I y II
Mc Graw-Hill
México, 1996
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 14
ASPECTO A
EVALUAR
Potencia
matemática
DEFINICIÓN OPERATIVA
− Exámenes escritos
− Exposición y resolución
de problemas
− Trabajos extraclases
Capacidad para resolver problemas y plantearlos, −
Exámenes escritos
considerando diversas alternativas para resolver −
Exposición y resolución
problemas, un plan para resolver el problema, interpretar y
de problemas
comprobar resultados, y generalizar soluciones.
−
Trabajos extraclases
Habilidad y capacidad de usar la matemática para resolver
problemas en diferentes áreas de estudio
Resolución de
Problemas
Razonamiento
Capacidad de reconocer patrones, estructuras comunes y
formular conjeturas
Comunicación
Capacidad del alumno para expresar ideas matemáticas
en diversas formas: hablada, escrita y gráfica.
Actitud
Matemática
PERIODO
1
2
3
FORMA DE EVALUACIÓN
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Exámenes escritos
Exposición
Interrogatorios
Entrevistas
Exámenes escritos
Interrogatorios
Trabajos extraclases
Exámenes escritos
Observación
Entrevistas
Interrogatorios
Trabajo en equipo
EVALUACIÓN
INDIRECTA
DIRECTA
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Confianza en el uso de las matemáticas para resolver
X
problemas; comunicar ideas y razonar, probar métodos
alternativos para la resolución de problemas; la
perseverancia de llegar hasta el fin de la tarea
matemática; el interés, la curiosidad, la inventiva de los
X
alumnos para hacer matemáticas; el reconocer el valor
que tienen las matemáticas en nuestra cultura, como
herramienta y como lenguaje.
UNIDADES
PLAN DE EVALUACIÓN
TEMÁTICAS
Examen departamental 60%
El examen departamental estará conformado por problemas que se
1y2
Evaluación continua 40%
evaluarán tomando en cuenta:
1. la comprensión del problema
Examen departamental 60%
3y4
2. la planeación de una solución
Evaluación continua 40%
3. la obtención de una respuesta
Examen departamental 60%
En la evaluación continua se tomará en cuenta el modelo PER para
5y6
Evaluación continua 40%
propiciar que los alumnos se responsabilicen de su propio aprendizaje
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 15
1. Secuencias de
Actividades de Aprendizaje
del Curso de Álgebra
Unidad 1. De la aritmética al álgebra
Al término de la unidad el alumno resolverá diferentes problemas incorporando de manera paulatina la notación literal y las reglas de
escritura algebraica, lo que le permitirá reafirmar sus conocimientos sobre las fracciones y sus diferentes significados, así como el uso
de exponentes y su aplicación en la notación científica. Esto le permitirá desarrollar habilidades para abordar el estudio de los
polinomios, las ecuaciones y las expresiones racionales.
Horas
Problemas
Problemas con guía
1-2
Las caritas de don
Cubo
La zorra y el perro
3- 4
Y el hermoso
Nireo, el más
hermoso ...
Las ballenas de
Alaska
5-7
La tribu y los
tribunos
Sucesiones
8-9
Gastroenteritis
Los ubicuos
porcentajes
9-12
El vendedor de
enciclopedias
Actividades
Internet
Una introducción a
las representaciones
gráficas
Ejercicios
Lecturas
Lee haciendo pp. 10-22
Resuelve los ejercicios
pares del 48-60 de las
pp.23-25 de ‘Álgebra
con aplicaciones’ de
Phillips et al
Ética y
matemáticas
La función de
proporcionalidad
Proyectos
Calendario del siglo
XXI
Lee haciendo pp. 71-79.
Resuelve los ejercicios
de la forma 5n de las pp.
79-82
Los peluqueros
atribulados
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 17
Unidad 2. Polinomios
Al término de la unidad el alumno manejará la notación algebraica y realizará las operaciones de adición y multiplicación de
polinomios, a partir del planteamiento de problemas matemáticos aplicados a situaciones cotidianas, desarrollando además sus
habilidades para traducir el lenguaje coloquial al lenguaje simbólico-abstracto y para la elaboración de modelos con polinomios.
Horas
Problemas
1-3
Las caritas de don
Cubo*
4-6
Astucias aritmétic as
7-8
Problemas con
guía
Identidades
Algebraicas
Actividades
Internet
Potencias
Cursos de
actualización
Ejercicios
La cajita perenne
Departamento con
Incógnita
Hamfast
11 -12
Yo, ¿típico?
Que diferencias,
¡ay! tan finitas
Proyectos
Lee haciendo pp. 82-88 Variables y pronombres
Resuelve los ejercicios
de la forma 7n+1 de las
pp. 88-93
Polinomios para
describir
El empresario
9-10
Lecturas
Polinomios
Lee haciendo pp. 93-99
Resuelve los ejercicios
de la forma 6n+5 de las
pp. 99-102
Lee haciendo pp. 103109
Resuelve los ejercicios
de la forma 5n+4 de las
pp. 109-113
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 18
Unidad 3. Ecuaciones y Funciones Lineales
Al término de la unidad el alumno resolverá problemas de contextos matemáticos y extramatemáticos -de lo cotidiano y de otras áreas
del conocimiento-, que conduzcan a una ecuación lineal y para lo cual hará uso del método tabular como medio para explorar y
establecer la expresión analítica de la función, obtendrá la ecuación, la resolverá por el método algebraico y/o gráfico e interpretará el
resultado.
Horas
Problemas
Problemas con
guía
Rectas y sus
ecuaciones
Actividades
Internet
Ejercicios
Lecturas
1-3
El vendedor de
enciclopedias*
4-6
Moira y Eris
Ecuaciones de
primer grado.
Resolución de
problemas
Lee haciendo pp. 146160
Resuelve los ejercicios
de la forma 5n+3 de las
pp. 161-165
Funciones
7-8
Viajes y viajeros
9-10
Epifanía
Telmex y ATT
11 -12
El esfuerzo
Las velas
Proyectos
Renta de
automóviles
El lenguaje de las
funciones
Lee haciendo pp. 213225
Resuelve los ejercicios
de la forma 8n+3 de las
pp. 225-230
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 19
Unidad 4. Ecuaciones y Funciones Cuadráticas
Al término de la unidad el alumno planteará y resolverá problemas de contextos matemáticos y extramatemáticos -de lo cotidiano y de
otras áreas del conocimiento -, que conduzcan a la formulación de ecuaciones de segundo grado, las resolverá por el método algebraico
y/o gráfico -asociado con funciones cuadráticas- e interpretará los resultados.
Horas
Problemas
1-2
3- 4
Los peluqueros
atribulados*
Ejercicios
Lecturas
Voi che sapete
Lee haciendo pp. 275-289
Resuelve los ejercicios de
la forma 13n+3 de las pp.
289-293
El dulce chupado
La razón áurea
Dos conjuntos de
puntos
La gris acera*
Proyectos
Un pato
Identidades
Algebraicas*
9-10
11-12
Actividades
Internet
Ecuación de segundo
grado
La gris acera
5-7
8-9
Problemas con guía
Lee haciendo pp. 349-357 Cómo resolverlo
y pp. 362-367
Resuelve los ejercicios de
la forma 3n del 2-20 de
las pp. 357-358 y los de la
forma 5n+1 de la p. 368
Teorema de
Pitágoras
Lee haciendo pp. 371-388
Resuelve los ejercicios de
la forma 8n+3 de las pp.
388-395
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 20
Unidad 5. Sistemas de ecuaciones
Al término de la unidad el alumno construirá modelos matemáticos que incluyan sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas
provenientes de contextos matemáticos y extramatemáticos de lo cotidiano y de otros campos del conocimiento, además resolverá
correctamente los sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas utilizando los métodos tabular, algebraico y gráfico y comprobará su
solución. Así mismo construirá, interpretará y vinculará las representaciones tabular, algebraica y gráfica mediante el uso de
calculadoras con poder de graficación y software matemático.
Horas
Problemas
Problemas con guía
1-2
La madre Gea se
sacude
Figaro qua, Figaro
lá, Figaro su,
Figaro giú
Moira y Eris *
3- 4
5-7
Las Velas*
Las misceláneas: La zorra y el perro* Dédalo y Calipso
Mejor muerto que
siervo
8-9
10-12
Actividades
Internet
Sistemas de
ecuaciones lineales
Galletitas
El asta reincidente
Ifigenia Cruel
Ejercicios
Lecturas
Lee haciendo pp. 245262
Resuelve los ejercicios
de la forma 5n+2 de las
pp. 263-268
Lee el resumen pp. 268269
Resuelve los ejercicios
de la forma 8n+7 de las
pp. 269-273
Ecuaciones
simultáneas
Programación Lineal
Un problema de
programación lineal
Programación
lineal
Lee haciendo pp. 433444
Resuelve los ejercicios
de la forma 7n+4 de las
pp. 444-449
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 21
Proyectos
Unidad 6. Funciones polinomiales y racionales
Al término de la unidad el alumno resolverá problemas de variación proporcional inversa entre dos variables y aquellos que den lugar a
ecuaciones fraccionarias reducibles a lineales o cuadráticas para que se familiarice con las propiedades básicas de fracciones
algebraicas racionales y con algunas funciones racionales simples. Así mismo, analizará cualitativamente el comportamiento de la
gráfica de funciones polinomiales simples.
Horas
Problemas
1-3
4-6
Voi che sapete *
Tarjetitas
7-8
Los tinacos: El
negrito que no se
raja
La organización de
conciertos y las
matemáticas
9
10
11 -12
Pintores –
Labores escolares
Tiestes y Atreo en
festines horrendos
Las escaleras
cruzadas
Problemas con
guía
La cajita perenne*
Que diferencias,
¡ay! tan finitas*
Actividades
Internet
Ejercicios
Lecturas
Proyectos
Midiendo belleza
Mis propios datos
Función de
proporcionalidad
inversa
Dos conjuntos de
puntos*
Operaciones con
funciones
Lee haciendo pp. 566579
Resuelve los ejercicios
de la forma 6n+2 de las
pp. 580-584
Lee haciendo pp. 409426
Resuelve los ejercicios
de la forma 8n+3 de las
pp. 426-433
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 22
2. Materiales Auxiliares para
la Organización del
Aprendizaje
2. Materiales Auxiliares para la
Organización del Aprendizaje
Introducción
Materiales Auxiliares para la Organización del Aprendizaje (MAPOA)
Para lograr el aprendizaje integral y multidimensional que aquí proponemos es necesario
que todos nos hagamos corresponsables. Esta responsabilidad compartida apunta al
fortalecimiento de nue stra autonomía. A lo largo de las sesiones discutiremos
explícitamente algunos de los materiales para la organización del aprendizaje y
procuraremos convencernos de la importancia de su uso cotidiano.
Estos materiales se encuentran en la Academia de Matemáticas de tu CECyT, además de en
el disco compacto que acompaña a este Libro, y sirven como un marco de referencia
compartido al que recurriremos constantemente durante el curso. En la medida en que nos
familiaricemos con ellos pueden llegar a constituir un lenguaje común, con el que podemos
hablar acerca de algunos aspectos importantes de tu aprendizaje.
En términos generales, estos materiales auxiliares concretan la expresión «responsabilizarse
de su aprendizaje» y contribuyen al logro de nuestra autonomía en la organización de
nuestros propios aprendizajes.
Los auxiliares para la organización del aprendizaje son los siguientes:
En este breve texto se discute el aprendizaje de la resolución
de problemas en el contexto de las habilidades intelectuales
de alto nivel y se propone un modelo de aprendizaje
esquemático, «hacer, reflexionar y comunicar», que contrasta con el tradicional «oír, ver y
reproducir».
Aquí se presenta por primera vez la idea del problema como el mejor medio de establecer
una relación fecunda con una disciplina. Esta idea se discute más detalladamente en «La
Heurística».
P ara ent rar en mat eria.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 24
En el modelo de organización del aprendizaje PER (Propósito,
Estrategia, Resultado) de Selmes, investigador especializado en las
habilidades de estudio, se presenta un marco de referencia para
estructurar las actividades de aprendizaje. Se invita a administrar los dos enfoques que se
proponen, el superficial y el profundo, con el objeto de formarse un estilo independiente.
E l model o PER .
En este documento de Schoenfeld, investigador especializado en la
resolución de problemas matemáticos, se presenta una estrategia de
resolución de problemas, acompañada de un diagrama de flujo y de una
tabla que incluye las heurísticas de uso más frecuente.
El material consta de tres partes:
5. «La estrategia».
6. «Algunas heurísticas de uso frecuente».
7. «Una síntesis esquemática de la estrategia de resolución de problemas».
L a Heuríst i ca.
El portafolio, que es un recipiente en el que se acumula, organiza y
reorganiza todo lo que se produce en las actividades, en forma individual o
en equipo, así como los comentarios y extensiones de estos productos.
El portafolio aporta información sobre:
8. el pensamiento del alumno,
9. su crecimiento en el tiempo,
10. las conexiones que establece,
11. el punto de vista del alumno acerca de su quehacer matemático,
12. el proceso de resolución de problemas.
La mejor manera de convencernos de la utilidad del portafolio, de conocer su potencial y
advertir sus limitaciones, es usarlo para recopilar todos los reportes de resolución de
problemas, los planes, los reportes de las experiencias, los comentarios de las lecturas,
etcétera.
E l port afoli o
Algunos comentarios y sugerencias sobre la elaboración del reporte, el
trabajo en equipo, la discusión matemática, el control durante la resolución
de problemas en el salón de clases y la elaboración de controles de lectura
se presentan en forma de fichas.
A partir de los resultados de las investigaciones de algunos educadores se proponen una
serie de comentarios, para su discusión, sobre diversos aspectos de las sesiones de
resolución de problemas.
L as fi chas
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 25
La evaluación de nuestro aprendizaje debe estar basada en las
objetivos educativos a corto, mediano y largo plazos y, por supuesto,
L os format os de
en los objetivos de nuestro curso, así mismo debe apuntar a mejorar
evaluación
nuestro método de aprendizaje y a reforzar nuestro conocimiento de
nosotros mismos. Estos formatos establecen criterios que nos
permitirán evaluar de una forma más integral nuestro propio trabajo y el de nuestros
compañeros.
Algunos materiales auxiliares para la organización del aprendizaje que puedes consultar
con provecho son:
Propósitos y Competencias Básicas del Estudiante de Bachillerato
Para entrar en materia
El Modelo PER
El enfoque profundo y sus características
El enfoque superficial y sus características
Cuestionario de autoevaluación
Algunos enunciados sobre la organización
La Heurística
Heurísticas de uso frecuente.
Síntesis esquemática de la estrategia de resolución de problemas
El Portafolio
Un diagrama del portafolio
Especificaciones adicionales sobre el contenido del portafolio como escaparate
Las Fichas
Recomendaciones para el trabajo individual
Recomendaciones para la discusión general
Recomendaciones para el trabajo en equipo
Recomendaciones para la elaboración del reporte de la actividad
¿Qué es un problema?
¿Qué es un ejercicio?
Antes de entregar tu reporte, ¡revísalo!
Cómo se construye un mapa conceptual
Las actividades de comprensión de Perkins
Guía para la elaboración de informes de lectura
Los Formatos de Evaluación
Evaluación de presentaciones
Autoevaluación de reportes
Las tres preguntas reveladoras de Mosteller
Autoevaluación del curso
Autoevaluación de habilidades, actitudes y valores
A continuación te presentamos un plan para revisar e incorporar estos materiales en tus
actividades de aprendizaje de matemáticas (y otras materias). En este plan se incluyen
algunas cápsulas que puedes discutir con tus compañeros y profesores. Además te hacemos
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 26
algunos comentarios adicionales y te sugerimos algunas formas para trabajarlos con
provecho.
Programación de algunas actividades que permiten discutir el uso de los MAPOA
Unidad
MAPOA
1
Introducción.
Portafolio.
Modelo PER.
2
La Heurística.
Portafolio.
Las fichas.
Profesor, ¿Estoy bien?
3
Engendra problemas.
Profesor, ¡No entiendo!
Portafolio como escaparate.
¿Qué es el portafolio?, ¿Qué debes tener en tu portafolio?
El portafolio es un instrumento en el que se pretende evaluar una diversidad de registros
que reflejan aspectos distintos del aprendizaje de los alumnos, que parece muy adecuado
para hacer una evaluación continua y además para hacer cortes de evaluaciones
acumulativas e integradoras tantas veces como se requiera, recuperando el propósito
original de la evaluación que es partir de elementos confiables para mejorar tanto el
aprendizaje del alumno como la enseñanza del profesor. (Consulta el diagrama de tus
materiales auxiliares para la organización del aprendizaje)
Presentación del documento: «El modelo PER».
Entre los materiales auxiliares hay una introducción al modelo de organización y
evaluación del aprendizaje propio llamado PER (Propósito, Estrategia, Resultado). Recorta
y enmica las fichas que incluye.
La aplicación cotidiana del modelo PER te ayudará a desarrollar una actitud más reflexiva
en tus actividades de aprendizaje y a que, gradualmente, logres formar un estilo propio e
independiente de organización de tus aprendizajes.
Aplica el modelo PER a las actividades que has realizado consideradas globalmente,
especificando lo que aprendiste y lo que te falta por aprender, lo que entendiste ya y lo que
aún no acabas de comprender. Usa las fichas.
Presentación del documento: «La Heurística».
Entre los materiales auxiliares (MAPOA) hay una sección que se llama ‘La Heurística’, que
incluye los documentos:
Una breve introducción que trata de la importancia de las heurísticas en la
resolución de problemas y de la forma en que puedes usar con provecho los otros
dos documentos.
La tabla «Heurísticas de uso frecuente».
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 27
El diagrama de flujo «Síntesis esquemática de la estrategia de resolución de
problemas».
Lee atentamente los documentos y discute con tus compañeros sobre la mejor forma de
usarlos para resolver mejor problemas cada vez más difíciles.
Sobre tu portafolio.
Abre en tu portafolio una sección de «Heurísticas».
Revisa los problemas que has resuelto, en forma individual o en equipo, y analiza cuál fue
la estrategia que aplicaste para lograr resolverlo.
Descríbelas, dales un nombre y explica la forma en que la aplicaste en cada caso. Anota
tanto las características comunes como las diferencias.
Recuerda las indicaciones relativas al enfoque profundo para este importante capítulo de tu
portafolio.
No subestimes las dificultades que implica este aprendizaje tan complejo y ambicioso:
Saber escoger y aplicar eficientemente la estrategia que resulta adecuada para resolver un
problema.
Repaso, evaluación y autoevaluación.
Revisa tus exámenes, haz un registro sistemático de lo que has aprendido (Conocimientos,
Habilidades, Actitudes, Transferencia) y de lo que no has logrado aprender
satisfactoriamente. Haz un plan para superar tus dificultades de aprendizaje.
El objetivo del curso de Álgebra es que el estudiante desarrolle las habilidades del
pensamiento: razonamiento, análisis, reflexión, comunicación y valoración, con una actitud
participativa, crítica y creativa que le permita relacionar los conocimientos de la aritmética
y el álgebra para resolver problemas de situacione s cotidianas, sociales, de la naturaleza y
la tecnología.
Recuerda que tus objetivos de aprendizaje incluyen la resolución de problemas, la
comprensión personal de las matemáticas, el razonamiento, la comunicación, la valoración
de las matemáticas como una parte importante de tu cultura y la confianza que tienes en tu
capacidad de hacer matemáticas cotidianamente.
Toma en cuenta también las características del enfoque profundo de aprendizaje.
Incluye en tu portafolio el resultado de esta autoevaluación.
Sobre tu portafolio.
El catálogo de gráficas.
Abre en tu portafolio una sección que se llame «Catálogo de Gráficas» e incluye las
correspondientes a los modelos lineal y cuadrático. Relaciona las características de la
gráfica con las características de la ecuación y describe las partes en donde la gráfica corta
a los ejes, es creciente, es decreciente, es máxima, es mínima, etcétera.
Puedes consultar en Internet ‘Cómo dibujar gráficas’ de Mario García González en la
dirección: http://www.xtec.es/~mgarc127/
Las fichas.
En los materiales auxiliares encontrarás un conjunto de fichas que, una vez enmicadas,
podrás consultar cuando lo juzgues pertinente.
Las fichas que se incluyen son:
¿Qué es un problema?
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 28
¿Qué es un ejercicio?
Recomendaciones para el trabajo individual.
Recomendaciones para el trabajo en equipo.
Recomendaciones para la discusión general.
Algunas sugerencias para la elaboración del reporte de la actividad.
¡Penalti!
No hace mucho tiempo se habló en la televisión, la radio y los periódicos de la maldición
que es para los jugadores mexicanos tirar penaltis. ¿En qué radica la dificultad?
¿Acaso los jugadores no saben cómo deben pegarle a la pelota para no fallar un penalti? Es
decir, ¿no tienen el CONOCIMIENTO de cómo tirar un penalti?
¿O es más bien que son torpes y no son capaces de pegarle al balón en forma apropiada? Es
decir, ¿carecen de la HABILIDAD para anotar un penalti?
¿O será que no pueden hacer a un lado la presión que provoca el rival, el lugar, el público
que quiere goles y la importancia de anotarlo o fallarlo? Es decir, ¿el problema de los
jugadores es de ACTITUD?
¿Qué piensas tú? Justifica tus respuestas.
Profesor, ¿estoy bien?
¿Cómo sabemos si un resultado o procedimiento es correcto? En este curso es una pregunta
que una y otra vez nos hemos hecho. Si lo que tuviéramos que hacer fuese una suma,
después de calcular el resultado, ¿necesitaríamos que alguien nos dijese si está bien para
asegurarnos de haber procedido correctamente? Seguramente no, porque conocemos bien el
procedimiento que se debe seguir y, si aun así nos asaltaran las dudas, bastaría revisar con
cuidado la aplicación de nuestro algoritmo para detectar si hubo alguna equivocación. Para
tareas más complejas, si no estamos seguros de lo que hemos hecho, debemos revisarlo
cuidadosamente, buscando entender el significado tanto del procedimiento particular como
de la idea general. Es decir que no basta con hacer cálculos, operaciones, dibujos, etcétera.
Debe haber una explicación que les dé sentido. En muchas ocasiones dejamos esas
explicaciones sobreentendidas, pues suponemos que quien nos escucha o lee sabe
perfectamente lo que estamos haciendo y por qué lo hacemos. Pero esta costumbre nos
lleva a ser descuidados en la justificación de nuestros cálculos, procedimientos y resultados.
Pecamos por omisión. Nos olvidamos de dos aspectos fundamentales: dar una explicación
clara de lo que hicimos y por qué lo hicimos y poner atención e intentar entender lo que
hicieron los demás. Estamos desatendiendo la comunicación, que es uno de los eslabones
básicos de nuestro esquema de aprendizaje: Hacer, Reflexionar, Comunicar.
Estos dos aspectos son fundamentales para decidir cuándo un procedimiento y su resultado
son correctos. Así, si lo que se nos dice está equivocado, estaremos en condiciones de
detectarlo y señalarlo. No será un simple «está mal», sino que irá acompañado de nuestras
razones. Para que estas razones tengan peso deberán enfocarse hacia el asunto y no a la
persona que lo dice. Si, por otro lado, es a nosotros a quienes se nos señala un error,
también pediremos argumentos y si son razonables aprovecharemos el señalamiento para
corregir nuestro trabajo.
Esta actitud, de cuidar los argumentos que damos y de escuchar con atención lo que dicen
los otros, es la que permite una auténtica comunicación de nuestras ideas.
El examen como aprendizaje.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 29
El examen es un medio de evaluación y de autoevaluación que te permite darte cuenta tanto
de los progresos que vas logrando como de las dificultades que tienes que superar en tu
aprendizaje. Pero no podemos ignorar la función social del examen. Necesitamos
testimoniar ante los demás que estás preparado para esfuerzos mayores, que mereces
reconocimiento por los conocimientos, las habilidades y las actitudes que has incorporado.
Parece muy razonable, pero ¿qué nos ocurre cuando escuchamos las palabras «Hay
examen»?
«Aquí entre nos» Algunas preguntas.
¿Crees que se vale copiar en los exámenes? ¿Y dejar copiar? Justifica tu respuesta.
¿Piensas que ha y alguna relación entre el desempeño escolar y la práctica profesional de
una persona actualmente en México? Explica lo más detalladamente que puedas.
¿Conoces algunas estadísticas al respecto? ¿Qué piensan tus amigos, tus familiares?
Escribe un comentario sobre la forma de evaluación de este curso. Incluye en tu comentario
algunas sugerencias viables.
Engendra problemas.
Un problema nunca termina. Cuando llegamos a un resultado siempre hay manera de
plantear nuevas preguntas, de que el problema sea fuente de problemas nuevos. Dos
estrategias gemelas de formulación de problemas son las llamadas ‘¿Qué pasaría si ...?’ y
‘¿Qué pasaría si no ...?’ Ambas son estrategias muy potentes para generar problemas,
¿cómo las aplicarías?
Sobre tu portafolio.
El catálogo de algoritmos.
De las exposiciones que se han presentado en el grupo sobre las operaciones con
polinomios y fracciones algebraicas, escribe los algoritmos y represéntalos mediante
diagramas de flujo.
Pruébalos e inclúyelos en tu portafolio en una sección nueva.
Una cita pertinente: Come tú mismo la fruta
En cierta ocasión se quejaba un discípulo a su Maestro:
«Siempre nos cuentas historias, pero nunca nos revelas su significado»
El Maestro le replicó:
«¿Te gustaría que alguien te ofreciera fruta y la masticara antes de dártela?»
Nadie puede descubrir tu propio significado en tu lugar. Ni siquiera el Maestro.
Profesor, ¡no entiendo!
El primero de los ‘Auxiliares para la organización del aprendizaje contiene las ocho
competencias básicas que deben estar presentes en el alumno de bachillerato. En estas
competencias están implícitos aprendizajes multidimensionales (conocimientos,
habilidades, actitudes), y se hace referencia explícita a la transferencia de estos
aprendizajes, ya que se habla del uso y articulación de estos aprendizajes en los distintos
aspectos de la vida. Seguramente estás de acuerdo con ellas, puesto que estás estudiando el
bachillerato. Hoy queremos comentar contigo dos de ellas, las que dicen
«Aprender por sí mismo, poniendo en práctica métodos y técnicas eficientes para propiciar
su progreso intelectual» y
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 30
«Desempeñarse individual o grupalmente de manera independiente en su vida escolar y
cotidiana»
Pero estar de acuerdo con algo no quiere decir que sepamos cómo conseguirlo. Un factor
importante para que una persona realice un esfuerzo es que pueda palpar el provecho que le
reporta el esfuerzo. Pero para que este provecho sea perceptible necesitamos tener «ojos»
para verlo. Detengámonos un rato a reflexionar y a discutirlo en nuestro equip o.
¿Qué estamos haciendo para avanzar en el logro de estos objetivos?
¿Cómo podemos saber, y medir si es posible, qué tanto progresamos?
Escribe un reporte con las conclusiones de tu equipo.
El non plus ultra y los hábitos de estudio. Mis actividades cotidianas y las
matemáticas.
Enumera las diez actividades más importantes de tu vida cotidiana, asígnales un tiempo, en
horas por cada semana, y ordénalas de mayor a menor.
¿En qué lugar se encuentran las matemáticas?
¿Estás satisfecho con tu aprendizaje de las matemáticas? ¿y con tu calificación?
Describe lo que haces actualmente para aprender matemáticas.
¿Vale la pena hacer un esfuerzo para mejorar sustancialmente tu aprendizaje en
matemáticas?
Para que un plan tenga alguna probabilidad de funcionar necesitas definir
unos propósitos asequibles,
una estrategia clara y
una forma de evaluar el logro de tus objetivos.
Escríbelos de la manera más detallada posible.
Reflexionar: ¿Qué he logrado?
Revisa tus exámenes, haz un registro sistemático de lo que has aprendido (Conocimientos,
Habilidades, Actitudes, Transferencia) y de lo que no has logrado aprender
satisfactoriamente. Haz un plan para superar tus dificultades de aprendizaje.
Recuerda que tus objetivos de aprendizaje incluyen la resolución de problemas, la
comprensión personal de las matemáticas, el razonamiento, la comunicación, la valoración
de las matemáticas como una parte importante de tu cultura y la confianza que tienes en tu
capacidad de hacer matemáticas cotidianamente.
Toma en cuenta también las características del enfoque profundo de aprendizaje.
Incluye en tu portafolio el resultado de esta autoevaluación.
Reescribe las soluciones de los problemas de las semanas anteriores y haz un resumen de
las características comunes que hayas advertido en las situaciones, en las fórmulas, en las
gráficas, en los procedimientos, en los errores y en las estrategias de solución. Relaciona
los problemas con las lecturas y elabora un apunte personal que incluya los problemas que
inventaste.
Revisa tu apunte personal y extrae los conceptos y procedimientos importantes para
actualizar tu glosario.
Organiza tu portafolio por secciones, actualízalas y escribe un índice. Así tendrás un
registro personal de tu paso por el curso de álgebra.
El portafolio como escaparate
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 31
Coloca al frente de tu portafolio los cinco trabajos de los que te sientas más orgulloso y
acompáñalos de una nota en la que expliques por qué te sientes orgulloso de ellos.
Muestra tu portafolio a un adulto y a una amiga de tu edad y pídele a cada uno que escriba
un comentario. Incluye el comentario, con PER, en tu portafolio.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 32
3. Problemas
3. Problemas
Introducción
La habilidad para resolver problemas constituye un excelente indicador del nivel de
desarrollo matemático que has alcanzado. En este libro la actividad de resolución de
problemas es la parte más importante, ya que te permitirá vincular las herramientas
matemáticas con una dimensión de uso, se introducen conceptos matemáticos utilizando
contextos, y se formulan y responden preguntas que contribuyen a la conceptualización de
los objetos matemáticos.
¿Qué es un problema?
Por problema se entiende una situación matemática o extramatemática que no tiene
solución inmediata, admite varias vías de aproximación y posiblemente varias soluciones,
puede consumir mucho tiempo, quizás varias clases, o hasta varios cursos y exige esfuerzo
mental, imaginación y creatividad. Un problema no se trabaja una vez y ya nos olvidamos
de él, tanto profesor como alumnos, sino que puede retomarse en distintos momentos para
mejorar su solución o profundizar en alguna cuestión que haya suscitado.
A través de la actividad de resolución de problemas queremos que tú:
? hagas uso de las matemáticas con las que cuentas para dar respuesta a
las preguntas planteadas en el contexto de la situación,
? busques conexiones entre diferentes representaciones,
? logres diferentes vías de acceso trabajando varios enfoques,
? generalices tus soluciones y reformules, ampliándolo, el problema en
otros campos,
? generes criterios para validar las interpretaciones y los modelos
matemáticos,
? construyas y hagas evolucionar los conceptos matemáticos como
respuesta a tus propias preguntas, y
? desarrolles actitudes que te permitan enfrentar y manejar situaciones
complejas con un alto grado de incertidumbre.
La resolución de problemas es un proceso que no se puede encerrar en una receta paso a
paso, es en esencia un viaje, una aventura, no un destino, que a ratos sufrimos y a ratos
disfrutamos, para el que no tenemos un mapa de antemano, necesitamos aprender a
descubrir o construir caminos. Sin embargo, se pueden destacar algunas etapas de esta
aventura: hay un deseo de acercarse al problema, de aceptar el desafío, de correr un riesgo,
de encontrar la respuesta, de comprender una pregunta, de descubrir nuevos conocimientos
o de crear una solución. Alguien ha dicho que en la resolución de un problema, como en la
vida, lo que importa es el camino. Si tomas esto en cuenta, podrás aprender a adoptar una
actitud que te permita disfrutar y aprovechar la resolución de un problema. No pongas la
mira en el éxito o en el fracaso, sino en el proceso. Es el proceso el que te enseña. Un
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 34
problema resuelto es un problema muerto, mientras no está resuelto vive en ti como
problema.
En este libro se habla de problemas, problemas con guía y proyectos. Todos ellos
comparten la misma idea de problema que acabamos de mencionar en los párrafos
anteriores. Expliquemos la diferencia que hay entre ellos.
I. Problema: Consta de un enunciado en el que se describe la situación y lo que
se quiere que hagas y respondas. El tiempo estimado para discutirlo
provechosamente es después de una o dos horas de haberlo trabajado.
II. Problema con guía: Además del enunciado contiene un cuestionario o una
secuencia de pasos que te permiten seguir avanzar en el problema usualmente
de situaciones sencillas a otras más complejas. También el tiempo estimado
para discutirlo provechosamente es después de una a dos horas de haberlo
trabajado.
III. Proyecto: Es un problema, o problema con guía, que requiere más de dos
horas de trabajo antes de discutirlo provechosamente. Es posible que tengas
que generar tú mismo los datos y una parte importante del trabajo la tengas
que hacer fuera del salón de clases.
Es muy recomendable que uses los paquetes que se incluyen en el disco compacto mientras
resuelves los problemas. Una muy buena herramienta para la comprensión es una hoja de
cálculo, hay varias comerciales que puedes utilizar. Si tienes dudas en su manejo tu
profesor te puede orientar.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 35
I.
Problemas
1. Las caritas de don Cubo
Un cubo de madera que mide 20 cm de lado se pinta de amarillo. Una vez seca la
pintura, se corta en cubos de 2 cm de lado. ¿Cuántos de estos cubos chicos no están
pintados en ninguna de sus caritas?
2. Y el hermoso Nireo, el más hermoso...
En una fábrica de envases para vino hay dos máquinas que producen la totalidad de
botellas. La máquina «Áyax» produce el 70% de las botellas, en tanto que la
máquina «Nireo» produce el resto de las botellas. El 5% de las botellas que produce
la máquina «Áyax» y el 8% de las de la máquina «Nireo» resultan defectuosas.
(a) ¿Qué porcentaje de las botellas que produce la fábrica resulta defectuoso?
(b) ¿Qué porcentaje de las botellas defectuosas proviene de la máquina «Nireo»?
3. La tribu y los tribunos
En mi tribu, cuando se colocan de dos en fondo sobra uno, cuando se colocan de tres
en fondo sobra uno, cuando se colocan de cuatro en fondo sobra uno, cuando se
colocan de cinco en fondo sobra uno, cuando se colocan de seis den fondo sobra
uno, y, por fin, cuando se colocan de siete en fondo quedan distribuidos
exactamente.
(a) ¿Cuántos tribunos hay en mi tribu?
(b) Escribe una explicación detallada de todo lo que hiciste para obtener tu
respuesta.
4. Gastroenteritis
En un centro universitario se produjo un brote de gastroenteritis que se detectó
cuando 47 estudiantes solicitaron atención médica entre las 22:30 del 17 de enero y
las 20:00 horas del día siguiente. Una investigación permitió darse cuenta de que el
alimento causante de la infección se había servido durante el almuerzo del 17 de
enero en la cafetería del internado, donde habían tomado sus alimentos 251
estudiantes. Para localizar el alimento responsable del brote, se preparó el cuadro
siguiente (donde, de manera intencional, algunos lugares aparecen vacíos).
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 36
personas que ingirieron el
alimento especificado
ALIMENTO
atún y tallarines
enfer. sanos
12
estofado de res
tarta de frutas
32
gelatina
leche
91
café
23
personas que no tomaron el
alimento especificado
total
%enfer.
57
69
17.4
92
80
76
171
55.5
7
72
39
71
45.1
63
29
48
41.7
9
42
enfer. sanos
total
%enfer.
53.5
79
8.9
145
80
102
182
44
12
13
25
48
54.8
114
40.6
Nota: La suma de las personas que ingirieron un alimento más aquellas que no lo
tomaron no resulta 251 en todos los caos, ya que algunas personas no pudieron
recordar si habían tomado, o no, el alimento.
(a) Llena en el cuadro los lugares que aparecen vacíos,
(b) ¿Qué criterio utilizarías para localizar el alimento responsable del brote de
gastroenteritis?
(c) ¿Cuál fue este alimento?
5. El vendedor de enciclopedias
Un vendedor de enciclopedias tiene un salario base de 700 pesos mensuales más una
comisión del 8% de las ventas que realiza por encima de 4000 pesos. En cada uno
de los meses pasados vendió las cantidades anotadas en la tabla.
MES
VENTAS
abril
3476
mayo
4142
junio
5276
julio
3962
agosto
6199
(a) Calcula los ingresos que le corresponden al vendedor de enciclopedias cada mes.
(b) Diseña un método gráfico para pagarle a un vendedor que trabaje con el mismo
contrato.
(c) Haz un diagrama de flujo con el algoritmo que se usa para pagarle a un vendedor
que trabaje con el mismo contrato.
(d) Con base en el punto anterior haz un programa de computadora o de calculadora
y pruébalo con los datos de la tabla.
(e) Inventa un problema inspirado en el problema anterior.
6. Las caritas de don Cubo * (1)
Un cubo de arista n se divide en cubitos de arista uno, ¿cuántos cubitos tienen 0, 1,
2, 3 caritas pintadas?
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 37
7. Astucias Aritméticas
(cinco números y las operaciones básicas)
Usa una sola vez cada uno de los números y combínalos para formar el número
señalado, utiliza sólo las cuatro operaciones básicas y los símbolos de agrupación.
Ejemplo: 1, 7, 8, 9, 9; total: 16. (9/9)(7+8+1)=16
1, 5, 3, 6, 10; total: 5 _____________________________________
8, 11, 9, 1, 8; total: 2 _____________________________________
11, 10, 15, 20, 3; total: 6 __________________________________
12, 18, 3, 11, 12; total: 8 __________________________________
4, 16, 10, 24, 25; total: 1 __________________________________
17, 14, 7, 17, 13; total: 7 __________________________________
2, 9, 5, 9, 4; total: 22 ____________________________________
3, 6, 10, 5, 7; total: 2 ____________________________________
8, 6, 11, 5, 21; total: 7 ____________________________________
6, 1, 2, 2, 17; total: 8 ______________________________________
10, 4, 1, 11, 9; total: 5 ____________________________________
Con los números 11, 14, 3, 19, 9 y las cuatro operaciones básicas forma los números
del 1 al 13.
Ejemplos: (11+14-19+3)/9=1; 11-[(19+9)/14+3]=6; [9-(19-14)-3]11=11
2=_______________________ 3=____________________________________
4=_______________________ 5=____________________________________
7=_______________________ 8=____________________________________
9=_______________________ 10=____________________________________
12=______________________ 13=____________________________________
Con los primeros cinco números primos (2, 3, 5, 7, 11) y las cuatro operaciones
básicas forma los números siguientes (recuerda que cada número sólo lo puedes usar
una vez y un reto adiciona l sería que cada operación la usaras exactamente una vez):
El entero mayor _________________________________________
El primo impar menor ____________________________________
El impar menor _________________________________________
El primo menor _________________________________________
El compuesto menor ______________________________________
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 38
El compuesto mayor ______________________________________
El impar mayor __________________________________________
El par mayor ____________________________________________
El primo mayor __________________________________________
Un natural usando sólo la resta _______________________________
8. El empresario
Un hombre de negocios separa al principio de cada año $1,0000,000.00 para los
gastos del año y aumenta su capital en un tercio. Al cabo de tres años tiene el doble
de su capital. ¿Cuál era su capital al empezar el primer año? ¿Cuándo triplicará su
capital?
9. Departamento con incógnita
En el plano de un departamento, la cocina es cuadrada y mide (x + 6) de lado, la
recámara tiene el mismo ancho que la cocina y su largo excede en 2x unidades su
ancho. El otro lado del baño mide un tercio del largo de la recámara y su ancho es
igual al de los cuartos anteriores como se puede advertir en el plano. Finalmente, el
área de la sala es (x 2 + 14x + 48) y su ancho es también (x + 6).
Determina:
El área de la cocina.
El área del comedor.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 39
Si el valor de x es de 2 metros, calcula las dimensiones del departamento y
comprueba las expresiones que obtuviste.
10. Yo, ¿típico?
Uno de los grandes objetivos de tu educación es la autodidaxia (capacidad de
aprender y organizar tu aprendizaje por ti mismo). En la autodidaxia concurren
conocimientos, habilidades, actitudes, valores y una muy importante capacidad de
transferencia (capacidad de aplicar los aprendizajes en situaciones distintas de
aquéllas en las que ocurrieron esos aprendizajes). Aquí te sugerimos algunas formas
de modificar los ejercicios típicos que encuentras en tu vida escolar en otros
ejercicios que te permitan averiguar, por ti mismo, qué tanto has comprendido, más
allá de la aplicación de un algoritmo conocido.
Todos salimos ganando si tu educación es de la mejor calidad.
Algunos ejercicios típicos
Factoriza x2 -3x-4
Ejercicios modificados
Encuentra un término independiente que haga que
x2 -3x-[ ] sea factorizable
Simplifica la fracción
Encuentra los términos independientes que hagan
2
x 2 − 5x − [ ]
x − 5x − 6
que la fracción 2
se pueda
x − 3x − [ ]
x 2 − 3x − 4
simplificar
Encuentra el punto de Encuentra las ecuaciones de dos rectas que se
intersección de las gráficas
corten en el punto (3,1).
de
y = 3x - 8 & y = -2x + 7.
Encuentra las
intercepciones- x de la
parábola: y = x2 - 7x + 10.
Encuentra el vértice de la
parábola
3x2 -12x+11
Bosqueja la gráfica de la
función y=x2 +x
Encuentra la función
inversa de
f(x) = 2x + 1
¿Cuántos puntos de
intersección tienen la
parábola y = x2 - 4x + 5
y la recta y = 2x + 5 ?
Encuentra la ecuación de una parábola que pase
por los puntos (2,0) y (3,-2).
Encuentra la ecuación de una parábola cuyo
vértice sea el punto (2,-1).
Da un ejemplo de una función real cuya
concavidad sea siempre hacia arriba en todo su
dominio.
Da un ejemplo de una función que sea igual a su
inversa.
Encuentra la ecuación de una recta que tenga dos
puntos de intersección con la parábola
y = x2 - 4x + 5.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 40
11. El vendedor de enciclopedias * (5)
Retomemos este problema para mirarlo con nuestros ojos de hoy. Ahora nuestras
tareas son:
• Mejorar las respuestas que obtuvimos en la primera ocasión.
• Responder las preguntas que quedaron sin respuesta.
• Hacer una generalización a partir de alguno de los aspectos matemáticos
de los problemas inspirado en el trabajo que realizamos con este
problema y resolverlo.
• Recordemos que desde que resolvimos este problema por primera vez
hemos aprendido nuevas técnicas que podemos emplear en su solución.
12. Epifanía
Valentina llegó temprano a su clase de música. A punto estaba de sentarse cuando
advirtió, disgustada, que había olvidado su cuaderno en su refugio predilecto: la
siempre cómoda y acogedora biblioteca. No podía perderse el comienzo de la clase,
así que corrió a la biblioteca, cogió su cuaderno y, corriendo también, regresó a su
asiento, a tiempo para comenzar su, muy probablemente dis frutable, clase de
música. Pero en el camino se encontró a su bienamado Juan y se detuvo a
intercambiar algunas muestras de su muy auténtico cariño, lo que le llevó 4 minutos,
pero de los largos. La biblioteca está en un punto diametralmente opuesto del salón
de clases de Valentina en el patio circular, que tiene 500 metros de diámetro, de la
escuela. Valentina tardó, en total, 9 minutos.
Construye una gráfica que describa los cambios de posición de Valentina en su
trayecto de ida y vuelta con respecto al tiempo.
Todos hemos escuchado, o hecho, descripciones de objetos en movimiento, que
incluyen expresiones como «detenido», «rápido», «lento», «más rápido»,
«disminuyó su velocidad», «más alejado», «aceleró más» y muchas otras que
seguramente te han asaltado la memoria. Identifica en la gráfica algunas partes con
estas expresiones y describe las características de la gráfica que les corresponden.
Ahora convengamos en que la velocidad de Valentina es positiva cuando se dirige a
la biblioteca y negativa en sentido contrario. Identifica en la gráfica intervalos en los
que la velocidad sea positiva, negativa o nula, y describe las características de la
gráfica. Al igual que en el párrafo anterior, introduce matices en la descripción de la
velocidad y anota las características correspondientes de la gráfica.
13. El esfuerzo
Cuatro jóvenes quieren ir al concierto de Back Street Boys, el costo del boleto es de
1800.00 pesos y como no tienen dinero salen a buscar trabajo, una persona les
ofrece un trabajo, que consiste en transportar de la bodega al tráiler de las 7:30
horas, que sale a Aguascalientes, 138 Kg. de mercancía, pero el dueño les dice que
lo tienen que hacer en un solo evento, por lo cual les pagará $7.50 el kilo
transportado, empiezan a trabajar y de primera intención los cuatro cargaron con
pesos iguales, pero se dieron cuenta que sobraba mercancía, entonces, los tres
mayores se sintieron capaces de cargar más y aumentaron su carga con la mitad de
lo que habían tomado. Todavía sobraba mercancía y los dos mayores aumentaron
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 41
su carga en un tercio de la que ya llevaban y así lo hicieron, pero todavía sobraba
mercancía, el mayor aumentó su carga en una quinta parte más de lo que llevaba.
(a) ¿ Cuántos kilogramos cargó cada uno?
(b) ¿Les alcanzó lo que les pagaron, a cada uno de ellos, para completar el costo del
boleto?
(c) ¿Cuántos días tendrán que realizar el mismo trabajo para alcanzar el costo del
boleto cada uno de ellos?
(d) Escribe la ecuación que te permite resolver este problema para cualquier monto
de mercancía.
14. La gris acera
Érase que se era un crudelísimo profesor de matemáticas, de cuyo nombre no quiero
acordarme (pero si tú lo recuerdas, anótalo aquí ___________________) que,
acosado por insoportables remordimientos, decide dejarse caer desde el techo de un
edificio para librar a las generaciones venideras de muchos momentos de tedio y
rutina sin sentido. Sus posiciones 2, 3, 4 y 5 segundos después de haber iniciado su
descenso eran 220.5, 196, 161.7 y 117.6 metros, respectivamente, con respecto al
nivel de la banqueta.
¿Cuál es la altura del edificio?
Escribe la fórmula que relaciona el tiempo de descenso y la posición.
¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo?
¿Qué posición ocupa 10 segundos después de haber iniciado su descenso?
¿Cuánto tiempo después de dejarse caer habrá recorrido la mitad de la altura del
edificio?
¿Con qué velocidad tocará la gris acera el desventurado mentor?
15. Voi che sapete
Una compañía de discos estima que podrá vender siete mil álbumes de una nueva
versión de "Le nozze di Figaro" de Mozart-Da Ponte a $290 cada álbum. Por cada
reducción de $5 en el precio por álbum, calcula que venderá 300 álbumes más. A la
compañía cada álbum le cuesta $95 y sus costos fijos son de $100000 en el período
de producción.
Encuentra el número de álbumes que darán a la compañía la ganancia máxima.
Encuentra el número de álbumes que darán a la compañía la ganancia máxima por
cada peso invertido.
Escribe un problema inspirado en éste, con un cuestionario detallado, y resuélvelo.
16. La gris ace ra * (14)
Una vez que obtuviste la relación que hay entre la posición del profesor y el tiempo
transcurrido desde que se dejó caer queda sólo una pregunta sin respuesta ¿Con qué
velocidad tocará la gris acera el desventurado mentor? Este contacto ocurre en un
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 42
instante (¿cuánto dura un instante?), así que para calcular su velocidad (¿es
constante su velocidad durante su descenso?, es decir, ¿desciende con la misma
velocidad en cada instante de su recorrido? Explica con un argumento cuantitativo)
en ese instante tendríamos que saber la distancia que recorre y el tiempo que
transcurre. Vamos a llenar la tabla siguiente para explorar estas cuestiones:
En el intervalo
que va
de
a
x1
x2
El profesor
recorre
(en metros)
El
intervalo
dura
(en
segundos)
La velocidad
promedio del
profesor es
(en metros por
cada segundo)
La pendiente
del segmento
que une los dos
puntos
considerados es
0
7
3
7
5
7
6
7
6.9
7
6.99
7
6.999
7
6,9999
7
Da un tratamiento similar a cada uno de los instantes enteros del descenso del
profesor e identifica el patrón que tiene la velocidad en cada instante. Encuentra la
fórmula que relaciona la velocidad instantánea del profesor durante su descenso con
el tiempo que ha transcurrido desde que comenzó a caer.
y
200
150
100
50
x
1
2
3
4
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 43
5
6
7
8
17. La madre Gea se sacude
Un terremoto emite una onda primaria y una secundaria. La onda primaria viaja
aproximadamente a 8 kilómetros por segundo y la secundaria a 5 kilómetros por
segundo. En una estación sísmica se registra una diferencia de 12 segundos entre la
llegada de las dos ondas. ¿A que distancia de la estación ocurrió el terremoto?
18. Figaro qua, Figaro lá, Figaro su, Figaro giú
En la peluquería del Incógnito Señor Figaro, el corte de pelo cuesta $75 para
caballero, $ 67.5 para niño y $ 90 para dama. Toma 20 minutos hacer el corte de
pelo de caballero, 15 minutos a un niño y 30 minutos a una dama y tiene el
quíntuplo de clientes hombres que de mujeres. La peluquería estuvo abierta desde
las 8:00 am ha sta las 6:00 pm y empleó 45 minutos para el almuerzo. Recogió un
total de $ 2 137.5 ¿Cuántos hombres, mujeres y niños se cortaron el pelo ese día?
19. Las misceláneas: Dédalo y Calipso
En una ciudad chica hay dos misceláneas, «La gruta de Calipso» y «El laberinto de
Dédalo» que compiten por 1000 clientes potenciales. Cada mes, el 80% de los
clientes de Calipso queda satisfecho y regresa a comprar ahí mismo, mientras que el
20% restante prefiere irse con Dédalo. En cambio, de los clientes de Dédalo, sólo el
70% queda satisfecho, el otro 30% se va con Calipso. El número de clientes en cada
miscelánea se estabiliza cuando el número de los que dejan de comprar en una
miscelánea es igual a los que vienen a comprar de la otra, ¿cuántos clientes habrá en
cada tienda en ese momento?
Resuelve el mismo problema suponiendo que al principio hay 500 clientes en cada
tienda y observando cómo evoluciona la situación mes por mes. ¿Qué ocurre si se
suponen otros datos iniciales, por ejemplo, 700 clientes en una miscelánea y 300 en
la otra, etcétera?
20. El asta reincidente
Un asta de metal se rompió en un punto, quedó con la parte superior doblada en
forma de gozne y la punta tocando el suelo en un punto localizado a 20 metros. Se
reparó, pero volvió a romperse. En esta ocasión en un punto 5 metros más abajo que
la vez anterior y la punta tocando el suelo a 30 metros de la base. ¿Qué longitud
tiene esta astota?
21. Voi che sapete * (15)
22. Tarjetitas
Hipodamía y Pélope se entretienen enviando postales a sus amigos. Hipodamía
puede llenar y doblar todos los sobres que tienen en seis horas, en tanto que Pélope,
más lerdo, requiere de ocho horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en llenar y doblar todos
los sobres si lo hacen juntos?
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 44
23. Tinacos: El negrito que no se raja
Dos tinacos con idénticas capacidades son alimentados por sendas bombas. Una
bomba llena uno de los tinacos en cinco minutos menos que la otra. Si las dos
bombas abastecieran al mismo tinaco lo llenarían en cinco minutos. ¿Cuánto tiempo
tarda cada una de estas bombas en llenar un tinaco?
24. La organización de conciertos y las matemáticas
Por problemas con las autoridades delegacionales se tiene que cambiar el escenario
de un concierto de rock. Se debe acondicionar en menos de 8 horas. Una empresa
puede instalar los asientos en 12 horas y cobra $20 000, Otra se tarda 18 horas y
cobra $15 000 por hacer el mismo trabajo.
¿Se podrá realizar el concierto si se contrata a las dos empresas?
¿En qué términos se debe establecer el contrato para que los organizadores paguen
lo menos posible?
25. Pintores
Un hombre puede pintar una cerca en ocho horas; su hijo mayor puede hacerlo en
diez horas y su hijo meno en doce horas. El trabajo lo iniciaron conjuntamente, pero
después de dos horas, el menor de los hijos se retiró y cosa igual hizo el mayor una
hora después.
¿Cuánto tiempo tardó el padre en completar el trabajo?
26. Labores escolares
Andrea y Citlali trabajaron juntas cinco horas, logrando realizar en ese tiempo la
mitad del trabajo que pensaban presentar en una exposición.
La tarde siguiente Andrea trabajó sola durante dos horas, luego se incorporó Citlali
y juntas terminaron en cuatro horas más.
¿Cuánto tiempo le hubiera tomado a cada una hacer sola todo el trabajo?
27. Tiestes y Atreo en festines horrendos
Tiestes y Atreo, dos hermanos, lavaron las paredes de su cuarto en tres horas.
Calcula el tiempo que requerirá cada uno de ellos para lavar solo las paredes de otro
cuarto igual, si Tiestes necesita dos horas y media más que su hermano para hacer el
trabajo.
28. Las escaleras cruzadas
Dos escaleras, de 1.8 y 1.2 metros de largo, respectivamente, se apoyan en los lados
opuestos de un pasillo que está entre dos edificios, con los pies de las escaleras en
las bases de los edificios. Las escaleras se cruzan a una distancia de 0.3 metros por
encima del pasillo. ¿Cuál es la anchura del pasillo?
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 45
II.
Problemas con guía
1. La zorra y el perro
Una zorra da 2 y 1/3 saltos por cada segundo. Cuando ha avanzado 30 y 1/4 saltos,
se suelta un perro para que la persiga. El perro da 4 y 1/2 saltos por cada segundo.
¿Cuánto tardará el perro en alcanzar a la zorra?
Cuestionario
(1) Expresa en forma de fracción común impropia el número de saltos que lleva de
ventaja la zorra.
(2) Después de un segundo de la salida del perro, imagina que tomas una foto
instantánea y descríbela cuantitativamente.
(3) Haz una tabla que describa las posiciones de los animales en cada segundo.
(4) ¿Qué significa que las posiciones de los animales sean la misma?
(5) Haz otra tabla en la que aparezcan los mismos renglones y columnas que en la
anterior, pero escribe las cantidades indicando las operaciones que realizaste,
sin efectuarlas.
(6) Identifica la estructura de cada una de las cantidades que relaciona tu tabla y
expresa la relación mediante una ecuación.
(7) ¿Cómo verificas que tu solución es correcta? Explica.
(8) ¿Qué aprendizajes utilizaste para resolver el problema?
(9) En caso de no haberlo resuelto, escribe tus conclusiones, con una reflexión sobre
las causas de que no lo hayas podido resolver.
(10) ¿Qué caminos o estrategias seguiste para tratar de resolver el problema?
(11) Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado).
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 46
2. Las ballenas de Alaska
En un estudio reciente se afirma que la población actual de ballenas en Alaska está
entre 5700 y 10600 y que la diferencia entre los nacimientos y las muertes naturales
da lugar a un crecimiento de aproximadamente 3% anual. Los esquimales de Alaska
tienen permiso para cazar 50 ballenas cada año para su supervivencia.
Cuestionario
(1)Supongamos que en 2000 la población de ballenas era de 5700.
(a) ¿Cuál es el cambio en un año en esta población debido a la diferencia
entre los nacimientos y las muertes naturales?
(b) ¿Cuál es el cambio en un año debido a la cacería de los esquimales?
(c) ¿Cuál sería la población de ballenas en 2001?
(2)
Escribe las instrucciones para calcular a partir de la población de un año
dado la población del año siguiente. De ser posible hazlo en tu calculadora.
(d) Haz una tabla con tus estimaciones hasta el año 2010. Traza una gráfica.
(e) Haz otra tabla pero supón ahora que la población en 2000 era de 10600.
Traza una gráfica.
(3)
Aplica la estrategia ‘¿Qué pasaría si . . .?’ con respecto al volumen de caza
permitido. Escribe tus conclusiones.
(4)
En este estudio hiciste estimaciones para varios años futuros, basándote en
las tendencias de crecimiento del pasado.
(f) ¿Qué cálculos tuviste que hacer para estimar el cambio en el número de
ballenas de un año al siguiente? Aplica la estrategia de ‘indicar sin
efectuar’ para identificar la expresión algebraica que relaciona el tiempo y
la población.
(g)¿Cómo puedes predecir la población de ballenas dentro de muchos años?
(h)¿Qué semejanzas y qué diferencias adviertes entre el patrón de cambio de
la población de las ballenas y el de los seres humanos?
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 47
3. Sucesiones
Escaleras
Con ocho palillos puedes hacer una escalera de dos peldaños.
Con once palillos puedes hacer una escalera de tres peldaños.
¿Cuántos palillos necesitas para hacer una escalera de 20 peldaños?
¿Y para hacer una escalera de 1000 peldaños?
Una sucesión numérica
Llena los espacios de la sucesión numérica que continúa con el mismo patrón: 4, 10,
16, 22, 28, , , , , , , ,
¿Cuál es el 10º término de la sucesión? ¿Y el 100º? ¿Y el n-ésimo?
Los pininos
Puedes dibujar pinos de diferentes tamaños pero siempre con el mismo diseño. Aquí
tienes tres ejemplos. Por sus brochazos distintivos de pintura fosforescente se
llaman pininos.
tamaño 1
3 brochazos
tamaño 2
7 brochazos
tamaño 3
11 brochazos
¿Cuántos brochazos hay en un pinino de tamaño 20?
Explica cómo llegaste a la respuesta.
¿Cuántos brochazos hay en un pinino de tamaño 100?
¿Cuántos brochazos hay en un pinino de tamaño n?
Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) con respecto al aprendizaje
que lograste en es ta actividad.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 48
4. Los ubicuos porcentajes
(1)En una tienda puedes conseguir un descuento del 20%, pero al mismo tiempo,
tienes que pagar un impuesto del 15%.
¿Qué preferirías que calcularan primero, el descuento o el impuesto?
Elabora una justificación general de tu respuesta.
(2) Elabora un algoritmo para que un empleado no muy «ducho» en aritmética lo
aplique y pueda resolver los siguientes asuntos:
a) Cobrar un producto incluyendo el 15 % de impuesto.
b) Cobrar un producto con el 30 % de descuento.
c) Cuánto debe incrementar el costo de un producto para obtener una ganancia
del 40 %.
d) Cuál es el porcentaje que debe incrementar el costo de un producto para que
cuando lo ponga a la venta con un descuento de 30 %, tenga una ganancia del 40
%.
e) Qué porcentaje de incremento en el precio de un producto representan $100.00
(3) Justifica tus respuestas a las preguntas siguientes:
a) ¿Es igual el efecto de un aumento de x % seguido de otro aumento de y % que
el de un aumento de (x+y) %?
b) ¿Es equivalente el efecto de un aumento de x % seguido de una disminución
de x % a un aumento neto de 0 %?
c) ¿Es igual el efecto de un aumento de x % seguido de una disminución de y %
que el de una disminución de y % seguida de un aumento de x %?
d) Al colocar los azulejos que compro se desperdicia un x %. ¿Cuántos azulejos
debo comprar si necesito colocar 1000 en mi baño?
e) Un artículo cuesta $ p con el 10 % de IVA incluido. ¿Cuánto debo pagar por el
artículo si el IVA sube a 15 %?
(4) Pretextato quiere comprarse dentro de un año una computadora que cuesta
actualmente $8000, más IVA. Sus papás ofrecen pagar dos quintas partes del precio
de la computadora si él reúne el resto.
a) Si se espera una inflación del 2.8 % mensual, ¿cuánto necesita ahorrar cada
semana?
b) Si quiere comprar dentro de m meses un objeto que actualmente cuesta $ p, y
sus papás ofrecen aportar dos quintas partes del costo, ¿cuánto deberá ahorrar
Pretextato cada mes? Y si se espera una inflación de j % mensual ¿qué cantidad
deberá ahorrar cada mes?
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 49
5. Los peluqueros atribulados
Un peluquero atiende un promedio de 72 clientes por semana y cobra $18 por cada
corte. Quiere aumentar sus ingresos y piensa que puede lograrlo subiendo los
precios, pero estima que por cada incremento de $2 en el precio por corte perderá 5
clientes.
Cuestionario
(1) Haz una tabla que contenga las columnas de número de incrementos de $2,
de precio por corte, de número de clientes, de ingresos, de primeras
diferencias de ingresos y de segundas diferencias de ingreso. Explica el
significado de los valores que obtuviste en las dos últimas columnas.
(2) Traza la gráfica de número de clientes versus ingresos.
(3) Traza la gráfica de precio por corte versus ingresos.
(4) Traza la gráfica de número de incrementos de $2 versus ingresos.
(5) ¿Cuáles son los precios que puede cobrar para tener ingresos mayores a los
actuales?
(6) ¿En qué condiciones tiene ingresos nulos?
(7) ¿En qué conjuntos de valores las gráficas son crecientes? Explica lo que
significa cada caso.
(8) ¿En qué conjunto de valores las gráficas son decrecientes? Exp lica lo que
significa cada caso.
(9) Interpreta la pendiente del segmento entre dos valores consecutivos en cada
una de las gráficas.
(10) ¿Qué precios debe cobrar si quiere tener ingresos superiores a $1000
semanales?
(11) ¿Cuánto debe cobrar por corte de pelo para obtener los mayores ingresos
semanales?
(12) Escribe tres preguntas sobre el caso del peluquero, y respóndelas.
(13) Inventa un problema inspirado en las tribulaciones del peluquero,
incorporando otros factores que lo hagan más real. De ser posible consulta
con un peluquero.
(14) ¿Otro peluquero?
Otro peluquero atiende un promedio de 72 clientes por semana y cobra $18
por cada corte. Quiere aumentar sus ingresos y piensa que puede lograrlo
subiendo los precios, pero estima que por cada incremento de $1 en el precio
por corte perderá 6 clientes.
Elabora un cuestionario similar al del problema del otro peluquero y
determina el precio que debe cobrar para obtener los mayores ingresos
semanales.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 50
6. Identidades algebraicas
Observa cuidadosamente las siguientes figuras y establece la relación que hay entre
cada figura y la identidad algebraica correspondiente. Redacta un párrafo para cada
figura y destaca en tu descripción los elementos que te ayudaron a establecer la
relación.
a
x
2
a
1
b
ax
x
c
bx
cx
3
x2
ax
b
bx
ab
(x+a)(x+b) = x2 + ax + bx + ab
x(a+b+c) = xa + xb + xc
a
x
b
a
b
4
a
a(a+b)
a
a2
ab
b
b(a+b)
b
ab
b2
(a+b)2 = a(a+b) + (a+b)b
(a+b)2 = a 2 + 2ab +b 2
b
b
5
b
ab
(a-b)
a
6
2
b
a
a-b
b2
a
b
ab
a-b
a
(a-b) = a -2ab + b2
2
2
a
2
2
a - b = (a+b)(a-b)
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 51
b
a
7 b
b
ab
a
ab
2
(a-b)
a
ab
ab
b
b
a
(a+b)2 - (a-b)2 = 4ab
(8) Establece las identidades algebraicas que son ilustradas por las siguientes
figuras.
b
a
k
a
b
ka
kb
a
d
a-b
b
k
x
2x
x
1
c
x
x
x
2x
x
e
1
1
a
b
c-d
d
(9) Representa por medio de figuras las siguientes identidades algebraicas:
a) (x+3)(x-2) = x2 + x - 6
b) (a-b)(2a-b) = 2a 2 - 3ab + b2
c) (a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
d) (a+b)(x+y+z) = ax + ay + az + bx + by + bz
(10) AB es un segmento de recta con punto medio en C, que se prolonga por B hasta
D. Dado que AD = 2AB, representa por medio de una figura la relación AD*BD =
8AC 2 . Establece la identidad algebraica correspondiente, con AC=x.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 52
(11) A, B, C, D son cuatro puntos colocados en orden sobre una línea recta.
Representa por medio de una figura la relación AC*BD = AB*CD + AD*BC. Te
ayudará rebautizar a los segmentos AB, BC, CD como x, y, z, respectivamente.
Establece la identidad algebraica correspondiente.
(12) El segmento AB, con punto medio en C, se prolonga por B hasta un punto
cualquiera D. Representa por medio de una figura AC*AD = CB*BD + 2AC2 .
Establece la identidad algebraica correspondiente.
7. Cursos de actualización
Una empresa de consultores profesionales prepara el lanzamiento de un paquete de
cursos de actualización y necesita determinar cuál es el precio óptimo del paquete.
Encargó una encuesta que se aplicó a los clientes potenciales para averiguar cuánto
estaban dispuestos a pagar por los cursos. Los datos que se obtuvieron de la
encuesta se resumen en la tabla siguiente:
Número de
participantes
50
100
150
250
270
300
350
Precio del
paquete de
cursos
9625
9000
8125
5625
5000
4000
2125
(1) Con base en los datos anteriores, encuentra una relación que describa el precio de
un paquete en función del número de participantes.
(2) Determina el número de participantes que maximiza los ingresos. ¿Cuáles serían los
ingresos máximos?
(3) Supón que los costos fijos del paquete de cursos ascienden a 200000 pesos sin
importar cuántos participantes se inscriban. Además por cada participante la
empresa gasta 230 pesos. ¿Cuántos participantes se deben inscribir para maximizar
la ganancia? ¿Qué precio maximiza la ganancia?
(4) Si se logran bajar los costos fijos a 150000 pesos, ¿qué ocurre con la ganancia
máxima?
(5) Si se supone que los costos fijos ascienden a 200000 pesos, ¿cómo afecta un
incremento en los costos variables a 300 pesos por cada paquete en la ganancia
máxima? ¿Y en el precio óptimo?
(6) En las condiciones de los puntos 3, 4 y 5, ¿cuál sería la ganancia máxima por cada
peso invertido?
(7) ¿Cuál de las dos ganancias resulta un mejor indicador del beneficio que obtiene la
empresa?
(8) Aplica el Modelo PER.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 53
8. La cajita perenne
Se puede hacer una caja abierta de un pedazo rectangular de cartulina, recortando un
cuadrado de lado x en cada esquina y doblando las pestañas que resultan hacia
arriba.
Si, por ejemplo, la cartulina mide 30 cm por 40 cm, encuentra las dimensiones de la
caja que tiene el volumen máximo.
Cuestionario
(1 ) Haz un esquema o dibujo que represente la situación del problema.
(2)
Relaciona las características de la figura plana y las correspondientes de la
caja,
(3)
Escribe la fórmula que te permite calcular el volumen de la caja identificando
lo que representa cada letra y sus unidades. Identifica las dimensiones de la
base de la caja y la altura,
(4)
Haz una tabla que contenga el lado del cuadrado que cortas en cada esquina y
el volumen correspondiente.
(5)
Aplica la estrategia de la lupa en la región que parece contener el volumen
máximo.
(6)
Repítela hasta que obtengas un valor del lado y que sea del orden de
milésimos.
(7)
Traza una gráfica con x en el eje horizontal y el volumen en el eje vertical.
(8)
¿Cómo verificas que el volumen que obtuviste es el máximo? Explica.
(9)
¿Qué aprendizajes utilizaste para resolver el problemas?
(10) En caso de no haberlo resuelto, escribe tus conclusiones, con una reflexión
sobre ¡as causas de que no lo hayas podido resolver.
(11) ¿Qué caminos o estrategias seguiste para tratar de resolver el problema?
(12) Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado).
9. Hamfast
El maestro Hamfast del pueblo de los Hobbits gozaba de reconocimiento gracias a
las mercancías que tenía en su tienda y que vendía por peso -sólo en kilogramos
enteros- hasta un máximo de 40 kg.
Era un deleite observar cómo atendía a sus clientes, pues le bastaban cuatro únicas
pesas para equilibrar la balanza en todo tipo de pedidos.
¿Sabrías deducir cuáles eran las medidas de esas cuatro pesas?
¿Qué hacía el maestro para pesar 4 kg?, ¿y 5 kg?, ¿y 6 kg?, ¿y 13 kg.?, ¿y 16 kg?,
¿y 38 kg?
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 54
Justifica todas tus respuestas.
Cuestionario
¿Le pedirías al maestro Hamfast que te vendiese tres cuartos o kilo y medio de algo?
¿Cuántos tipos de bolsas deberá tener el maestro para envolver las mercancías?
Para pesar cierta cantidad de mercancía en una balanza ¿siempre se pone ésta en
uno de los platillos y las pesas en otro? Haz un dibujo aclaratorio.
Recuerda la descomposición polinómica de un número, por ejemplo: 4702 = cuatro
mil sete-cientos dos = 2*100 + 0*101 + 7*102 +4*103 , y, en general,
N = q... dcba = a*x0 + b*x1 + c*x2 + d*x3 + ... + q*xp
¿Qué representa la x? ¿Qué es cada una de las letras: a, b, c, ..., q?
Justifica ahora por qué NO PUEDEN SER cuatro pesas del tipo:
1 kg, 2 kg, 4 kg, 8 kg, 16 kg, 32 kg, ... etc.
Comprueba que, de ningún modo, las cuatro pesas son del tipo:
1 kg, 4 kg,16 kg, 64 kg, ... etc.
Demuestra que no pueden ser cada una de ellas del tipo: ax con a = 4.
¿De qué tipo son las pesas?
Contesta ahora a la segunda pregunta del enunciado del texto.
Escribe ahora las medidas de cada una de las cuatro pesas del maestro.
¿Cómo titularías este texto?
Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) con respecto al aprendizaje
que lograste en esta actividad.
10. Qué diferencias, ¡ay! tan finitas
¿Cuál es la regla?
Para cada una de las siguientes sucesiones escribe los siguientes tres términos y el
n-ésimo término
(1) 3, 12, 27, 48, 75,
,
,
, … ,
(2) 2, 7, 16, 29, 46,
,
,
, … ,
¿Cuál es la suma?
¿Cuántas sumas puedes encontrar para las siguientes series? Expresa tu respuesta
como una regla general. Prueba tu regla cuando n = 1, n = 2 , etc
(3) 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + … + (n + 2) =
(4) 1 + 5 + 9 + 13 + 17 + … + (4n - 3) =
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 55
Diagonales de un polígono
Una diagonal de un polígono es un segmento de recta que une cualesquier dos
vértices no adyacentes. Aquí, n representa el número de lados del polígono.
(5) Encuentra la regla general para hallar el número de diagonales de un polígono
de n lados.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
n =3
n=4
n=5
n=6
Sugerencia: Haz una tabla de dos columnas, en la primera coloca el número de lados
del polígono y en la otra el número de diagonales del polígono dado. Completa la
tabla hasta un polígono de nueve lados. ¿Cómo encontraste el patrón?
¿Cuál es la fórmula?
(6) ¿Cuál es la fórmula que expresa la relación que hay entre p y t, tal como se
muestra en la tabla siguiente?, ¿qué valor le corresponde a p cuando t es 6?
t
0
1
2
3
4
p
100
90
70
40
0
Regiones de un círculo
Una cuerda es un segmento de recta que une dos puntos de una circunferencia.
Aquí, n es el número de cuerdas.
(7) Encuentra la regla general que da el número de regiones formadas por n
cuerdas.
n =0
n =1
n =2
Utiliza la sugerencia del problema anterior.
Cuadrados de un cuadrado
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 56
n =3
Un cuadrado grande puede dividirse en muchos cuadrados más pequeños. En este
problema, asegúrate de contar todos los cuadrados, pero no cuentes rectángulos que
no sean cuadrados. Aquí, n representa el número de unidades en un lado del
cuadrado grande.
(8) Expresa como regla general el número de cuadrados que hay en un cuadrado de
n x n.
Si n = 1, hay 1 cuadrado.
Si n = 2, hay 5 cuadrados
Si n = 3 , hay 14 cuadrados.
... etcétera
n =1
n =2
n =3
n =4
Utiliza la sugerencia dada para el problema de las diagonales.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 57
11. Rectas y sus ecuaciones
(1) ¿Cuál es de cuál?
Relaciona las siguientes ecuaciones con su gráfica correspondiente y traza la gráfica
de las restantes.
a)y = x
y=
l)
y=−
b) y = -x
c) y = x + 2
1
x
2
k)
d) y = -2x + 2
1
x
2
e)y = 2x – 2
m) y = -x +2
f) y = 2x
n)
y = -2x –2
g)y = -x – 2
o)
y = -2x - 3
h) y = 2x + 2
p)
y= x–2
1
i) y = − x + 2
2
j) y = -2x
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 58
[ ]
[ ]
[ ]
(2) Encuentra la ecuación de las siguientes rectas:
20
65
15
60
10
55
5
-4
50
0
-2
2
4
x
-5
45
-10
40
-15
-4
-2
0
2
4
x
2000
2000
1800
1000
20
40
x
60
80
1600
100
0
1400
-1000
1200
-2000
1000
800
-3000
0
10
20
x
30
40
50
2
1
-10
-5
0
5
-1
-2
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 59
10
x
15
20
(3) Al revés
Representa gráficamente las siguientes rectas:
4x – 3y + 10 = 0
4x – 6y – 3 = 0
2x – 3y – 10 = 0
3x – 2y + 5 = 0
2x – 3y – 3 = 0
5y – 7 = 0
2x + 4 = 0
¿Hay gráficas paralelas o perpendiculares? ¿Cuáles son?
(4) En medio de l as paralelas
Encuentra la ecuación de la recta que es paralela a las rectas:
2x + 3y – 9 = 0
4x + 6y + 36 = 0
y que pasa por en medio de ellas. Es recomendable que grafiques las ecuaciones.
(5) La intersección
La recta L es perpendicular a la recta: 2x + 3y – 6 = 0 y pasa por el punto (-3,1),
¿dónde corta la recta L al eje y?
(6) La otra incógnita
Encuentra el valor de k de la ecuación kx – y – 3k = - 6 sabiendo que su ordenada al
origen es 5.
(7) ¿Existe la distancia a una recta?
¿Cuál es la distancia que separa a las dos rectas paralelas:
2x – 5y + 10 = 0
15y – 6x + 45 = 0
entre sí?
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 60
(8) Un sencillo baile
Los alumnos del último semestre están organizando un baile de bienvenida a los
alumnos de nuevo ingreso. Decidieron contratar a dos grupos de rock y las
condiciones de pago que imponen los grupos son:
El primer grupo cobra 3 000 pesos más el 40% de lo recaudado por las entradas
mientras que el segundo grupo cobra 6 450 pesos más el 10% de lo recaudado por
las entradas.
Pero no hay acuerdo entre los organizadores: se establece una ardua discusión entre
ellos porque algunos piensan que el segundo grupo cobrará más que el primero,
otros (partidarios del primer grupo) le piden que argumenten irrefutablemente su
posición (es decir, usando matemáticas).
Los partidarios del primer grupo piensan que lo que deben hacer es manipular el
precio de las entradas de tal forma que el primer grupo gane más que el segundo.
¿Cuánto es lo menos que tienen que cobrar por persona para que eso se cumpla si
estiman que habrá 500 personas que paguen su entrada?
Por otro lado, independientemente de quién gane más que quién, también se
enfrentan a otra cuestión: deben poder pagarle a los dos grupos con el dinero que se
recaude de las entradas ¿Cuánto es lo menos que deben cobrar por persona para que
con las entradas alcancen a pagarle a los dos grupos? ¿Cuál es el grupo que cobraría
más, finalmente?
12. Moira y Eris
Moira salió de Acapulco en su automóvil hacia el DF, que está a 434 Km por la
carretera libre a las 6:00 AM de ayer, con una velocidad promedio de 80 kilómetros
por hora. Al mismo tiempo que Moira salía de Acapulco, Eris salió por la misma
carretera en su automóvil del DF hacia Acapulco, su velocidad promedio fue de 60
kilómetros por hora. Ambas viajaron por la carretera libre y mantuvieron sus
velocidades constantes.
Una hora después de haber salido, a las 7:00 AM, ¿a qué distancia estaba Moira de
Acapulco?, ¿y del DF?, ¿qué distancia se hallaban separadas Eris y Moira en la
carretera?
(Sugerencia 1: Haz una tabla con los datos que obtengas de “tomar instantáneas”
a distintas horas y describir las posiciones de las dichosas jóvenes. Para obtener
los datos de la tabla hiciste varias operaciones, escríbelas nuevamente, dejándolas
indicadas, sin efectuarlas, observa su forma y trata de usar esta estructura para
responder las preguntas siguientes).
t horas después de haber salido, ¿a qué distancia estaba Moira de Acapulco?, ¿y del
DF?, ¿a qué distancia estaba Eris del DF?, ¿y de Acapulco?, ¿qué distancia separaba
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 61
a Eris y a Moira en la carretera?, ¿qué valores puede tomar t para que estas
expresiones tengan sentido?
¿A qué hora se cruzaron Eris y Moira en la carretera?, ¿a qué distancia de Acapulco
ocurrió su encuentro?
(Sugerencia 2: Si no puedes manejar la variable t, responde las dos últimas
preguntas usando la tabla que hiciste. Localiza aproximadamente la hora en que
ocurrió el encuentro y mejora la aproximación ampliando la tabla, como con el
zoom de la graficadora, tomando instantáneas a intervalos de diez, cinco o un
minuto. Después intenta otra vez la sugerencia 1).
Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) con respecto al aprendizaje
que lograste en esta actividad.
13. Viajes y viajeros
Los cuatro trenes
La gráfica representa los viajes de cuatro trenes, tres de ellos van de A a B,
separados por una distancia de 120 kilómetros y el otro va de B a A.
140
120
100
(2)
80
60
40
(1)
(3)
20
(4)
1 pm
3 pm
2 pm
tiempo, t, en horas
4 pm
5 pm
a) ¿Qué trenes viajan a la misma velocidad? ¿Cuál es esta velocidad?
b) ¿Cuál es el tren que viaja más lentamente? ¿Con qué velocidad viaja?
c) El tren (2) debería viajar a 50 km/h, ¿con cuantos minutos de retraso llegó a A?
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 62
14. Telmex y AT&T
En un internado de estudiantes, cada estudiante puede contratar una de dos
compañías. Telmex cobra $87.5 por mes, más 80 centavos por llamada. AT&T
cobra $82 por mes, más 90 centavos por llamada.
(1) Cuántas llamadas hace aproximadamente por mes?
(2) Escribe, para cada compañía, la ecuación que representa el costo de un mes dado
en función del número de llamadas.
(3) Grafica cada una de las ecuaciones que escr ibiste en el inciso (b). Asegúrate de
identificarlas (ya sea con colores distintos o con un letrero).
(4) Discute cómo se relacionan tus dos graficas con la solución del problema.
¿Cuándo cobran lo mismo ambas compañías? ¿Cuándo conviene más Telmex?
¿Cuándo AT&T?
(5) ¿Cuántas llamadas piensas que hace el estudiante promedio de tu clase?
(6) ¿Cómo puedes averiguar la respuesta al inciso (e)?
(7) Lleva a cabo el plan que hiciste en el inciso (f).
(8) Decide cuáles estudiantes de tu grupo contratarían cada compañía y explica por
qué.
(9) Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado).
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 63
15. Las velas
Dos velas del mismo largo están hechas de materiales distintos, tales que una de
ellas se consume uniformemente hasta terminarse en cuatro horas en tanto que la
otra se consume en seis horas.
140
120
100
80
60
vela Ω
vela Γ
40
20
2
4
tiempo, t, en horas
6
Cuestionario
(1) ¿Cuál es la ecuación de la recta correspondiente a cada vela? Da una explicación
con palabras de lo que representa cada una de ellas.
(2) ¿Cuál es la pendiente de cada una? Explica el significado de cada pendiente en
términos de la situación.
(3) ¿A qué hora se deben encender ambas velas simultáneamente para que a las 5:00
PM un cabo de vela mida el doble que el otro?
(4) Considera ahora la longitud de la vela consumida en lugar de su altura. Traza las
gráficas, haz una comparación con las anteriores y explica cómo pueden ambos
pares de gráficas representar la misma situación.
(5) ¿A qué hora se deben encender ambas velas simultáneamente para que a las 5:00
PM un cabo de vela mida el triple que el otro?
(6) ¿A qué hora se deben encender ambas velas simultáneamente para que a las 5:00
PM un cabo de vela mida n veces el otro? ¿Puede n tomar cualquier valor?
(7) Inventa, redacta y resuelve un problema que se pueda representar con el mismo
modelo matemático.
(8) Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) con respecto al
aprendizaje que lograste en esta actividad.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 64
16. Los peluqueros atribulados * (5)
Retomemos este problema para mirarlo con nuestros ojos de hoy. Ahora nuestras
tareas son:
• Mejorar las respuestas que obtuvimos en la primera ocasión.
• Responder las preguntas que quedaron sin respuesta.
• Hacer una generalización a partir de alguno de los aspectos matemáticos
de los problemas inspirado en el trabajo que realizamos con este
problema y resolverlo.
Recordemos que desde que resolvimos este problema por primera vez hemos
aprendido nuevas técnicas que podemos emplear en su solución.
17. Identidades Algebraicas * (6)
Retomemos este problema para mirarlo con nuestros ojos de hoy. Ahora nuestras
tareas son:
• Mejorar las respuestas que obtuvimos en la primera ocasión.
• Responder las preguntas que quedaron sin respuesta.
• Hacer una generalización a partir de alguno de los aspectos matemáticos
de los problemas inspirado en el trabajo que realizamos con este
problema y resolverlo.
Recordemos que desde que resolvimos este problema por primera vez hemos
aprendido nuevas técnicas que podemos emplear en su solución.
18. La razón áurea
1
Cuando los griegos se plantearon la pregunta
¿Cuál es la forma ideal, la más armoniosa, en el arte?,
pensaron que la respuesta debían darla las matemáticas. Para responderla
apropiadamente la transformaron en otra pregunta
¿Cuál deberá ser la razón de la base con respecto a la altura de un rectángulo, de tal
forma que si se recorta un cuadrado del rectángulo original, el rectángulo restante
tenga la misma forma que el rectángulo original?
Tú, como los griegos, seguramente podrás hallar la respuesta.
2
La forma ideal de un rectángulo en el arte es el rectángulo áureo inventado (¿o
descubierto?) por los griegos. Si se recorta un cuadrado de un rectángulo áureo se
obtiene un rectángulo menor que conserva la misma razón de largo a ancho que el
rectángulo original. Por lo tanto esta razón de largo a ancho es
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 65
1+
5
2
(Como seguramente ya averiguaste en la primera parte).
Ahora:
1. Construye un rectángulo áureo.(Sugerencia: construye un segmento, cuya
longitud sea la altura del rectángulo que vas a cons truir, y después construye otro
segmento que esté en razón áurea con el primero, este último segmento será la base
de tu rectángulo).
2. Divídelo en un cuadrado, cuyo lado sea igual al ancho del rectángulo original, y
en un rectángulo.
3. Construye un arco de circunferencia con centro en un vértice del cuadrado
adyacente al rectángulo.
4. Prosigue subdividiendo este último rectángulo en un cuadrado y un rectángulo, y
construye otro arco de circunferencia en el cuadrado que continúe el primer arco.
5. Repite esta operación tres veces más.
a) Calcula la longitud del primer arco de circunferencia.
b) Calcula la longitud de la curva formada por los cinco arcos de circunferencia.
c) Si se continúa repitiendo la construcción calcula la longitud de la curva fo rmada
por los k arcos de circunferencia.
19. Dos conjuntos de puntos
I. En un plano formado por dos ejes graduados, perpendiculares,
* Nos interesan los puntos del plano con coordenadas (x, y) definidas por la
relación
1)
2)
3)
4)
5)
x
y = ( x + 4)( 7 − )
2
Llamemos A al conjunto formado por estos puntos.
Propón 5 parees de coordenadas correspondientes a puntos de A y 5 pares
de coordenadas correspondientes a puntos que no pertenezcan a A.
Representa gráficamente la mayor cantidad posible de puntos de A.
¿Hay puntos de A sobre el eje de las abscisas? ¿Y sobre el eje de las
ordenadas? Si es así, da las coordenadas de estos puntos. Si no explica por
qué.
¿Hay puntos de A que tengan la misma abscisa? ¿Y otros que tengan la
misma ordenada? Si es así, da ejemplos; si no, explica por qué.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 66
* Ahora nos interesa el conjunto de puntos del plano cuyas coordenadas (x, y) están
definidas por la relación
y = x 2 − 16
II.
Llamemos B al conjunto formado por estos puntos (Responde a las mismas
preguntas que se formularon en el punto 1).
* ¿Hay puntos comunes entre A y B? Si es así, da las coordenadas de estos puntos.
20. Moira y Eris *(12)
Retomemos este problema para mirarlo con nuestros ojos de hoy. Ahora nuestras
tareas son:
• Mejorar las respuestas que obtuvimos en la primera ocasión.
• Responder las preguntas que quedaron sin respuesta.
• Hacer una generalización a partir de alguno de los aspectos matemáticos
de los problemas inspirado en el trabajo que realizamos con este
problema y resolverlo.
Recordemos que desde que resolvimos este problema por primera vez hemos
aprendido nuevas técnicas que podemos emplear en su solución.
21. Las velas * (15)
Retomemos este problema para mirarlo con nuestros ojos de hoy. Ahora nuestras
tareas son:
• Mejorar las respuestas que obtuvimos en la primera ocasión.
• Responder las preguntas que quedaron sin respuesta.
• Hacer una generalización a partir de alguno de los aspectos matemáticos
de los problemas inspirado en el trabajo que realizamos con este
problema y resolverlo.
Recordemos que desde que resolvimos este problema por primera vez hemos
aprendido nuevas técnicas que podemos emplear en su solución.
22. La zorra y el perro * (1)
Retomemos este problema para mirarlo con nuestros ojos de hoy. Ahora nuestras
tareas son:
• Mejorar las respuestas que obtuvimos en la primera ocasión.
• Responder las preguntas que quedaron sin respuesta.
• Hacer una generalización a partir de alguno de los aspectos matemáticos
de los problemas inspirado en el trabajo que realizamos con este
problema y resolverlo.
Recordemos que desde que resolvimos este problema por primera vez hemos
aprendido nuevas técnicas que podemos emplear en su solución.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 67
23. Mejor muerto que siervo
Perseguía un caballo vengativo
a un ciervo que le hizo leve ofensa;
Consiente el hombre, y el caballo airado
mas hallaba segura la defensa
sale con su jinete a la campaña;
en su veloz carrera el fugitivo.
corre con dirección, sigue con maña,
y queda al fin del ofensor vengado.
El vengador, perdida su esperanza
de alcanzarlo, y lograr así su intento,
Muéstrase al bienhechor agradecido
al hombre le pidió su valimiento
quiere marcharse libre de su peso:
para tomar del ofensor venganza.
más desde entonces mismo quedó preso,
y eternamente al hombre sometido.
(Félix Mª de Samaniego. Fábulas)
En estos cuatro cuartetos se describe la persecución de un caballo a un ciervo.
Consideremos que la situación ocurrió de la siguiente manera:
El caballo vengativo persigue al ciervo. En el momento de iniciar la persecución, los
dos animales estaban separados por una distancia de 62 m. Tanto la velocidad del
ciervo como la del caballo eran constantes e iguales a 15 m/s. Después de 6
segundos de persecución, el caballo desesperanzado pide ayuda al hombre, pierde
un segundo en hacerlo, pero al ser conducido por él su velocidad se incrementa a 20
m/s. Continúa persiguiendo al ciervo que conserva su misma velocidad.
¿A qué distancia se encontraba el caballo del ciervo tres segundos después de
haberse iniciado la persecución? ¿y a los seis segundos? ¿y a los ocho?
Durante los primeros 6 segundos, ¿cuál es la expresión algebraica que relaciona la
distancia, d, a la que se encuentra el caballo del ciervo con el tiempo, t, que tiene de
haberse iniciado la persecución? Entre los seis y siete segundos de persecución,
¿cuál es la expresión algebraica que representa la distancia a la que se encuentra el
caballo del ciervo en función del tiempo? Después de los siete segundos de
persecución, ¿cuál es la expresión algebraica de la distancia a la que se encuentra el
caballo del ciervo?
Sugerencia 1: Haz una tabla con los datos que obtengas de "congelar el
movimiento" a distintos segundos y describir las posiciones de los infelices
animales. Para obtener los datos de la tabla hiciste varias operaciones, escríbelas
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 68
nuevamente, dejándolas indicadas, sin efectuarlas, observa su forma y trata de usar
esta estructura para responder las preguntas anteriores.
¿En que momento alcanza el caballo al ciervo? ¿Qué valores puede tomar t para las
que expresiones algebraicas tengan sentido?
Sugerencia 2: Si no puedes manejar la variable t, responde las dos últimas
preguntas usando la tabla que hiciste. Localiza aproximadamente la hora en que
ocurrió el encuentro y mejora la aproximación ampliando la tabla, congelando el
movimiento a intervalos de diez, cinco o una décimas de segundo
¿Era motivada la desesperanza del caballo? De no haber pedido ayuda al hombre,
¿hubiera alcanzado al ciervo? Justifica tu respuesta. Inventa un problema inspirado
en el problema anterior en el que modifiques las condiciones iniciales,
particularmente las relativas a las velocidades.
Aplica el Modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado).
24. Galletitas
Dos hermanos tienen una panadería chica cuya especialidad son las galletas.
Ellos hacen sólo dos tipos de galletitas- galletitas simples y galletitas nevadas (con
una capa azucarada). Necesitan decidir cuántas docenas harán de cada tipo para
mañana.
Una docena de sus galletitas simples requiere una libra de masa de galletita (y nada
de alcorza, pasta para la capa azucarada de las nevadas), mientras que una docena de
las nevadas requiere de 0.7 de libra de masa de galletita y de 0.4 de libra de pasta de
alcorza.
Los hermanos saben por experiencia que cada docena de las galletitas simples
requiere alrededor de 0.1 de hora de preparación y cada docena de las galletitas
nevadas requiere de 0.15 horas de preparación. También saben que no importa
cuántas hagan de cada tipo serán capaces de venderlas todas.
Su decisión está limitada por los hechos siguientes:
•
Los ingredientes que tienen a la mano: cuentan con 110 libras de masa de
galletita y 32 libras de pasta de alcorza.
•
El espacio disponible en el horno: tienen espacio para hornear un total de 140
docenas de galletitas para mañana.
•
El tiempo de preparación disponible: juntos cuentan con 15 horas de preparación
para las galletitas.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 69
.
¿Por qué deberían preocuparse por cuántas galletitas de cada tipo harán? Pues,
sinceramente, porque quieren ganar tanto dinero como puedan. Venden las galletitas
simples a $6.00 la docena y a ellos les cuesta $4.50 hacerla. Las galletitas nevadas
las venden a $7.00 la docena y les cuesta $5.00 hacerla.
La Pregunta:
¿Cuántas docenas de cada tipo de galletita deberían hacer los hermanos
para obtener una ganancia tan grande como sea posible?
Para responder esta pregunta, puedes seguir los siguientes puntos:
1. Encuentra una combinación de galletitas simples y nevadas que satisfaga todas
las condiciones del problema y averigua que ganancia obtendrían los hermanos
con esa combinación de galletitas.
2. Ahora encuentra una combinación distinta de galletitas que cumpla las
condiciones del problema pero que proporcione una ganancia mayor.
Al graficar las relaciones, podemos convertir las relaciones simbólicas en relaciones
geométricas. Puesto que las relaciones geométricas son tan visuales, a menudo
resulta más fácil pensar acerca de ellas.
Usa la restricción de la mezcla de galletitas, x + 0.7y ≤ 110, y escoge un color, que
usará tu equipo para las combinaciones de galletitas simples y nevadas que sí
satisfacen la desigualdad, y otro color para las combinaciones que no satisfacen la
desigualdad.
Por ejemplo, 20 docenas de galletitas simples y 50 docenas de galletitas nevadas es
una combinació n que satisface la restricción. Pero 100 docenas de cada tipo no
satisfacen la restricción. Grafica cada punto con un color diferente.
Entonces:
1. Cada persona del equipo debe ensayar muchos pares de números para las
variables, ver si satisfacen o no la desigualdad y registrarlos. Cada persona debe
marcar sus pares de números usando el color adecuado sobre unos ejes
coordenados compartidos por todos los miembros del equipo.
2. Asegúrate de que tu grupo tenga puntos de ambos colores. Después de
experimentar un poco, puede ser necesario que cambies la escala de tus ejes para
que se puedan mostrar ambos tipos de puntos.
3. Continúa con las partes 1 y 2, agregando puntos de cada tipo con el color
adecuado, hasta que pienses que has conseguido un ”buen dibujo” de la gráfica
de tu restricción. Explica cómo piensas que será la gráfica completa y por qué.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 70
4. Repite el proceso que usaste en las partes 1 y 2 o usa el “buen dibujo” para
graficar las restantes restricciones, cada una en sus propios ejes coordenados.
Al resolver problemas como el de las galletitas, es útil saber cómo encontrar el
punto donde se intersecan dos rectas.
El objetivo de tu equipo en esta parte de la actividad es descubrir un método para
hacer esto, además de tantear o usar las gráficas, trabajando con las ecuaciones de
las dos rectas.
Tu reporte escrito de la actividad debe incluir lo siguiente:
-
Las soluciones a las preguntas 1a-1e.
-
Dos de los problemas planteados individualmente por los miembros del equipo
en la pregunta 2, con soluciones.
-
Las instrucciones de tu equipo para la pregunta 3 por escrito.
Cada equipo hará también una presentación oral de sus resultados para la pregunta
2.
1. Encuentra el punto de intersección de las gráficas de cada uno de los pares de
ecuaciones siguientes usando algún método distinto de la graficación y del
tanteo. Cuando pienses que tienes las soluciones, verifícalas por graficación o
por sustitución de los valores en las ecuaciones.
a.
y = x; 3x = y + 4
b.
y = 3x+5;y = 2x - 9
c.
4x + 3y = 17;y = 2x + 11
d.
5x – 3y= 23;y – 15= 3x
e.
5x + 2y =17;3y + 9 = 2x
2. Cada persona del equipo deberá inventar un par de ecuaciones lineales y
encontrar el punto de intersección. Los miembros del equipo deberán plantear e
intercambiar problemas (sin dar las soluciones) y resolver los problemas de los
otros, tratando de encontrar el punto de intersección sin tantear ni graficar.
3. Como equipo, desarrollarán y escribirán instrucciones generales para encontrar
las coordenadas del punto de intersección de dos ecuaciones de líneas rectas sin
tantear ni graficar.
4. Haz tus instrucciones fáciles de seguir, como para que un alumno de secundaria
pueda seguirlas y “encontrar el punto”.
Una dieta
Una dieta, planeada para robustecer a una persona, exige por lo menos 45 unidades
de proteína, 30 de grasa y 60 de carbohidratos. Cada 100 gramos del complemento
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 71
alimenticio P brinda 9 unidades de proteína, 12 de grasa y 15 de carbohidratos.
Cada 100 gramos del complemento alimenticio La Q proporciona 6 unidades de
proteína, 3 de grasa y 6 de carbohidratos. El complemento P cuesta 450 pesos por
cada kilogramo y el complemento Q 300 pesos por cada kilogramo. ¿Cuál debe ser
el consumo diario de cada complemento para que el costo sea mínimo?
25. “Ifigenia Cruel” de Alfonso Reyes
En la gráfica se muestran los costos de edición y los ingresos por la venta de una
edición facsimilar del poema dramático de Alfonso Reyes, ‘Ifigenia Cruel’.
Eje vertical: Costos e Ingresos (en pesos). Eje horizontal: Número de ejemplares.
y
90000
80000
costos
70000
ingresos
60000
50000
40000
30000
20000
10000
100
200
300
400
500
-10000
CUESTIONARIO
(1) ¿Cuáles son los costos, los ingresos y la ganancia por producir y vender 0, 100,
200, 350, 550 y 600 ejemplares?
(2) ¿Dentro de qué límites se debe mantener la oferta para obtener ganancias?
(3) ¿Cuál debe ser la oferta para obtener el mayor ingreso?
(4) ¿A cuánto ascienden los costos fijos de producció n?
(5) ¿Cuánto cuesta producir cada libro si no se consideran los costos fijos?
(6) ¿Hay una ganancia máxima? Justifica tu respuesta. Si hay una ganancia máxima,
calcúlala.
(7) ¿Cuál es la ecuación de los costos?
(8) ¿Cuál es la ecuación de los ingresos?
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 72
x
600
(9) ¿Cuál es la ecuación de la ganancia?
(10) Traza la gráfica de la ganancia en los mismos ejes.
(11) Plantea tres preguntas sobre esta misma situación y respóndelas.
(12) Si se reducen los costos, tanto los de producción da cada libro como los fijos, a
$8500 y $120, respectivamente, ¿cuál es la ganancia máxima?
26. La Cajita Perenne * (8)
Retomemos este problema para mirarlo con nuestros ojos de hoy. Ahora nuestras
tareas son:
• Mejorar las respuestas que obtuvimos en la primera ocasión.
• Responder las preguntas que quedaron sin respuesta.
• Hacer una generalización a partir de alguno de los aspectos matemáticos
de los problemas inspirado en el trabajo que realizamos con este
problema y resolverlo.
Recordemos que desde que resolvimos este problema por primera vez hemos
aprendido nuevas técnicas que podemos emplear en su solución.
27. Qué diferencias, ay, tan finitas * (10)
Retomemos este problema para mirarlo con nuestros ojos de hoy. Ahora nuestras
tareas son:
• Mejorar las respuestas que obtuvimos en la primera ocasión.
• Responder las preguntas que quedaron sin respuesta.
• Hacer una generalización a partir de alguno de los aspectos matemáticos
de los problemas inspirado en el trabajo que realizamos con este
problema y resolverlo.
Recordemos que desde que resolvimos este problema por primera vez hemos
aprendido nuevas técnicas que podemos emplear en su solución.
28. Dos Conjuntos De Puntos * (19)
Retome mos este problema para mirarlo con nuestros ojos de hoy. Ahora nuestras
tareas son:
• Mejorar las respuestas que obtuvimos en la primera ocasión.
• Responder las preguntas que quedaron sin respuesta.
• Hacer una generalización a partir de alguno de los aspectos matemáticos
de los problemas inspirado en el trabajo que realizamos con este
problema y resolverlo.
Recordemos que desde que resolvimos este problema por primera vez hemos
aprendido nuevas técnicas que podemos emplear en su solución.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 73
III.
Proyectos
1. Calendario del siglo XXI
Construye un algoritmo que permita saber qué día de la semana le corresponde a
una fecha cualquiera del siglo XXI.
2. Polinomios para describir
La garantía
La duración de las llantas producidas por la empresa ‘Fénix, S. A.’ registradas con
una precisión de hasta una semana es:
Duración en
semanas
1 a 26
27 a 52
53 a 78
79 a 104
105 a 130
131 a 156
157 a 182
183 a 208
Número de
llantas
29
56
137
251
288
203
154
82
Formula algunas preguntas acerca del número, o porcentaje, y la duración de las
llantas. Utiliza una calculadora o un paquete de computadora para obtener una
función que se ajuste a tus datos.
El fabricante garantiza la devolución del dinero, o la sustitución de la llanta, si la
llanta se poncha antes de año y medio. Estima la probabilidad de que el fabricante
devuelva el dinero. Estima también el número de piezas que tendrá que reponer en
un lote de 6500 llantas.
El clima de la ciudad de México
Consulta en la dirección http://paidoteca.dgsca.unam.mx/estadistica/prac2.html los
datos de la temperatura de un día en la ciudad de México. Utiliza una calculadora o
un paquete de computadora para obtener una función que se ajuste a tus datos.
Formula algunas preguntas acerca de las variaciones de la temperatura y
respóndelas utilizando la función que encontraste.
Con los datos de la página http://paidoteca.dgsca.unam.mx/estadistica/prac4.html
estudia la relación entre la humedad relativa y la temperatura del aire.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 74
3. Renta de automóviles
Las gráficas siguientes representan la renta de un auto en una ciudad al
norte de la ciudad de México a la ciudad de México de dos compañías, de
acuerdo a los kilómetros recorridos. A una de esas compañías la
llamaremos "A" y a la otra "B".
a) ¿Cuál es la cuota inicial por el uso del auto en cada compañía?,
¿qué cantidad cobran por kilómetro recorrido?
b) Si solicitas este servicio desde dicha ciudad, ¿cuál compañía te
conviene contratar? Para que tu respuesta sea realmente útil
necesita ser precisa.
c) Formula por lo menos tres preguntas relacionadas con el problema
(hay al menos una que sería muy interesante, esperamos que la
propongas). Contéstalas.
Compañía A
C
o
s
t
o
Compañía B
kilómetros
d) He aquí otra pregunta interesante: un estudio de mercado hecho con
1000 personas muestra, en la gráfica siguiente, la distribución de la
distancia que normalmente recorren los usuarios de estas
compañías. Con base en la información proporcionada y en esta
gráfica haz una estimación de los ingresos de cada compañía
suponiendo que los usuarios preferirán el servicio más económico.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 75
P
e
r
s
o
n
a
s
Promedio de kilómetros del viaje
que realizaron
e) Otra pregunta de interés sería: ¿qué compañía gana más? ¿Qué otra
información requerirías para conocerla?. Suponiendo que se trata
de automóviles medios, obtén la información necesaria y estima las
ganancias de cada compañía.
f) Cambia de posición: si quisieras establecer una compañía
alternativa, ¿qué criterios considerarías para decidir el precio que
cobrarías de acuerdo a la información que ya conoces?
4. El dulce chupado
Consigue un caramelo esférico sólido grande. Investiga cuál es el radio, la
superficie y el volumen del dulce t minutos después de haberlo
introducido en la boca. Estima, además, la esperanza de vida del dulce a
partir de sus dimensiones originales.
Elabora un reporte que incluya los datos, los supuestos, el método que
seguiste, los procedimientos matemáticos que usaste y las conclusiones
que obtuviste. Consulta la ficha de Autoevaluación del PER para
asegurarte que tu reporte refleja un enfoque profundo en la realización de
tu trabajo. Formula tres preguntas que permitan hacer una generalización
de los resultados.
Aplica el Modelo PER.
5. Un problema de programación lineal
Se trata de plantear un problema de programación lineal. Los ingredientes básicos
que necesitas tener en tu problema son:
♦ Dos variables
♦ Algo para maximizar o minimizar que sea una función lineal de estas
variables
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 76
♦ Tres o cuatro restricciones lineales
Una vez que has descrito tu problema, debes resolverlo y preparar un informe que
incluya:
♦ Una explicación del problema;
♦ Una solución del problema y
♦ Un argumento que pruebe que no hay una solución mejor.
6. Mis propios datos
Sube a un automóvil y siéntate junto al conductor provisto de lápiz, papel (o de una
grabadora portátil) y un cronómetro. Haz dos columnas, una para el tiempo y otra
para la velocidad. Registra al principio y al final el contenido de gasolina. Anota
cada diez segundos la velocidad del automóvil en un recorrido que dure por lo
menos quince minutos.
Calcula con esta información la distancia que recorrió el automóvil en el trayecto.
Explica y justifica detalladamente el procedimiento que seguiste.
Traza una gráfica que nos permita leer la distancia recorrida por el automóvil en un
instante cualquiera del trayecto.
Discute las características de los métodos de solución de este problema si, en
principio, nuestros datos se hubieran representado gráfica o algebraicamente en vez
de tabularmente.
Plantea dos preguntas sobre la misma situación y respóndelas.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 77
4. Ejercicios
4. Ejercicios
Introducción
En matemáticas es usual que se hable de ejercicio y problema y de que en muchos
momentos se tomen como sinónimos. En este Libro son cosas diferentes. En la
introducción al capítulo que contiene los problemas se habla de lo que consideramos un
problema, aquí comentamos la idea que en este Libro utilizamos para ejercicio.
Una característica del ejercicio es que con él se pretende que adquieras soltura e n el manejo
de ciertos procedimientos o en el tratamiento de ciertas situaciones que son útiles cuando te
enfrentes a problemas.
Cuando te enfrentas a un ejercicio ya sabes lo que tienes qué hacer y hay que hacerlo.
Puede tratarse, por ejemplo, de un algoritmo, como la aplicación de la fórmula general para
resolver una ecuación de segundo grado. Si ya dominas la aplicación de este algoritmo,
cada vez que te encuentres una ecuación que tú reconoces de segundo grado, ya sabes que
puedes resolverla y lo harás. En cambio, si tienes dificultades para aplicar la fórmula
general, cada vez que necesites resolver una ecuación de segundo grado tendrás un
problema.
También puede ser algo más laborioso como la aplicación del método de diferencias finitas
para la obtención de la ecuación de una función polinomial a partir del conocimiento de
ciertos valores que se conocen de la función.
Incluso puede tratarse de modelos algebraicos de problemas como la altura en función del
tiempo que adquiere un cuerpo que es lanzado de alguna forma.
Cuando se te pide hacer un ejercicio, es porque cuentas con la información necesaria para
ello. Usualmente consiste en una explicación de los pasos que tienes que seguir y estos son
ejemplificados con un ejercicio resuelto, en el que se explican los pasos que se siguen. Esta
explicación se puede realizar en el salón de clases (en este caso no sólo debes anotar lo que
se te presenta en el pizarrón o algún otro medio, sino tomar las notas adicionales necesarias
para que no se te olviden detalles) o puede estar escrita en un libro. No debes preocuparte
sólo por reconocer los pasos que tienes que seguir para resolver el ejercicio, sino también
busca entender el porqué de estos pasos. De esta forma estás en condiciones de darte cuenta
si puedes aplicar algunos de los pasos del ejercicio en una situación parecida al ejercicio
que ya sabes resolver.
Hay algo más. Dominas por completo un ejercicio cuando eres capaz de resolverlo sin
consultar tus apuntes o la información que tienes del mismo. Por ejemplo, sabes resolver
una ecuación de segundo grado por la fórmula general cuando, sin necesidad de consultar
en tus apuntes, aplicas la fórmula general. Desde luego, para esto es necesario que tengas
aprendida la fórmula de memoria. Pero la memorización se logra al aplicar varias veces la
fórmula en ecuaciones de segundo grado.
En cambio, dominas a secas un ejercicio cuando puedes resolverlo consultando parte de la
información de la que dispones (usualmente algunas fórmulas).
Si necesitas preguntar algo a un compañero o un profesor para resolver un ejercicio,
entonces todavía no dominas el ejercicio y te hace falta más práctica.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 79
Lo ideal es que domines por completo los ejercicios; de esta manera dispondrás de más
tiempo para dedicarte a trabajar en los aspectos nuevos o desconocidos del problema al que
te enfrentes.
En este Libro se te señalan ejercicios para que los trabajes y en dónde puedes obtener la
información que necesitas. En algunos casos los ejercicios señalados son suficientes para
que llegues a dominarlos, pero en otros no y tú debes buscar o crear otros ejercicios para
que sigas practicando. Hacerlo es parte de tu responsabilidad como estudiante.
Por cierto, tú mismo eres capaz de crear ejercicios cuando resuelves un problema y luego
detallas los pasos que deben seguirse para resolver la situación del problema. Es decir,
cuando elaboras una información similar a la que tu consultaste para resolver los ejercicios
propuestos.
Aquí hay algo más sobre las características de un ejercicio:
¿Qué es un ejercicio?
Un ejercicio está fuertemente relacionado con un algoritmo o rutina, no necesariamente
sencillos. Los más complejos pueden requerir la combinación de varios procedimientos con
destrezas específicas. En un ejercicio puede requerirse una articulación de registros de
representación, pero esta articulación suele estar ya incluida en el algoritmo, en la rutina o
en el esquema. La administración de los conocimientos y procedimientos no es compleja,
se reduce a organizar las llamadas a una serie de procedimientos ya hechos, generalmente
hace poco tiempo. No busca una reconceptualización de los conocimientos sino la
frecuentación de una vía ya abierta, la adquisición de una destreza. Su esquema metafórico
es la suma no la integración. Puede ser laborioso, raramente difícil.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 80
Tareas del libro
Las tareas se refieren a ‘Álgebra con aplicaciones’ de Phillips, Butts y Shaughnessy.
Editorial Harla.
Unidad 1
De la aritmética al álgebra.
♦ Lee haciendo las pp. 10-22.
♦ Resuelve los ejercicios pares del 48-60 de las pp.23-25.
♦ Lee haciendo pp. 71-79.
♦ Resuelve los ejercicios de la forma 5n de las pp. 79-82.
Unidad 2
Polinomios
♦ Lee haciendo pp. 82-88.
♦ Resuelve los ejercicios de la forma 7n+1 de las pp. 88-93.
♦ Lee haciendo pp. 93-99.
♦ Resuelve los ejercicios de la forma 6n+5 de las pp. 99-102.
♦ Lee haciendo pp. 103-109.
♦ Resuelve los ejercicios de la forma 5n+4 de las pp. 109-113.
Unidad 3
Ecuaciones y funciones lineales
♦ Lee haciendo pp. 146-160.
♦ Resuelve los ejercicios de la forma 5n+3 de las pp. 161-165.
♦ Lee haciendo pp. 213-225.
♦ Resuelve los ejercicios de la forma 8n+3 de las pp. 225-230.
Unidad 4
Ecuaciones y funciones cuadráticas
♦ Lee haciendo pp. 275-289.
♦ Resuelve los ejercicios de la forma 13n+3 de las pp. 289-293.
♦ Lee haciendo pp. 349-357 y pp. 362-367.
♦ Resuelve lo s ejercicios de la forma 3n del 2-20 de las pp. 357-358 y los de la forma
5n+1 de la p. 368.
♦ Lee haciendo pp. 371-388.
♦ Resuelve los ejercicios de la forma 8n+3 de las pp. 388-395.
Unidad 5
Sistemas de ecuaciones
♦ Lee haciendo pp. 245-262.
♦ Resuelve los ejercicios de la forma 5n+2 de las pp. 263-268.
♦ Lee el resumen pp. 268-269.
♦ Resuelve los ejercicios de la forma 8n+7 de las pp. 269-273.
♦ Lee haciendo pp. 433-444.
♦ Resuelve los ejercicios de la forma 7n+4 de las pp. 444-449.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 81
Unidad 6
Funciones polinomiales y racionales
♦ Lee haciendo pp. 566-579.
♦ Resuelve los ejercicios de la forma 6n+2 de las pp. 580-584.
♦ Lee haciendo pp. 409-426.
♦ Resuelve los ejercicios de la forma 8n+3 de las pp. 426-433.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 82
Ejercicios Complementarios
Unidad 1.
De la aritmética al álgebra.
(1)
Un electricista compró 75 metros de alambre de calibre 14. Usó las dos
quintas partes en una instalación; del resto, guardó el 20% y la cantidad
restante la dividió en trozos de 80 cm de longitud. ¿Cuántos trozos son?
¿Para qué otras longitudes del alambre se obtienen trozos completos?
(2)
Calcula el número de alumnos de una clase sabiendo que la octava parte de
ellos no asistió a la clase, que las tres quintas partes de ellos están
presentando un examen y los once restantes están estudiando. ¿Cuántos no
asistieron?
(3)
Juan gana dos tercios de lo que percibe Pedro, quién gana 4/5 de lo que
percibe Tadeo. Si Tadeo gana $1,150.00, ¿cuánto perciben Juan y Pedro?.
(4)
Yolanda está a cargo de una tortillería y ha decidido establecer el precio de
$4.50 el kilogramo. Algunos de sus clientes compran por pesos (es decir,
compran $1, $1.50, $2, ..., $29.5 ó $30) y otros por kilos (1, 1.5, 2, ..., 15
Kg). Necesita dos tablas para saber cuánto les debe dar de tortillas a los
primeros y cuánto les debe cobrar a los segundos. ¿Puedes ayudarle a
Yolanda en la elaboración de estas dos tablas?
(5)
Una anciana decrépita y desdentada fue a vender una canasta de huevos al
mercado.
Al primer cliente le vendió la mitad de los huevos que llevaba, más medio
huevo; al segundo cliente le vende la tercera parte de los huevos que le
quedaban más un tercio de huevo; el tercer cliente le compra la cuarta parte
de los huevos restantes, más un cuarto de huevo.
Después de sus ventas, la anciana aún tenía en la canasta, 8 huevos. Si no se
rompió ningún huevo , ¿cuántos huevos tenía inicialmente en la canasta?
(6)
La razón entre los gastos y las entradas en el negocio de los Romano´s es de
5 a 8. ¿Cuáles fueron sus gastos en un mes en el que la ganancia fue de
$3,675?
(7)
Un nanosegundo es 10-9 segundos. ¿Cuántos nanosegundos requiere la luz
para darle la vuelta a la Tierra?
(8)
Supongamos que una máquina copiadora amplifica una copia de papel
alrededor de 1.1 veces el original. Si usted sacara copias de copias y una
hoja original fuese de 10 cm por 16 cm, ¿Cuáles serían las dimensiones de la
segunda, tercera y octava copia? ¿Cuántas amplificaciones se requieren para
lograr una amplificación del triple del original?
(9)
Una hoja de papel se dobla a la mitad, y luego nuevamente a la mitad. Si
este procedimiento de doblar a la mitad continúa y el papel se desdobla,
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 83
¿cuántos espacios habrá después de un doblez? ¿dos dobleces? ¿tres
dobleces? ¿cinco dobleces? ¿diez? ¿cien?
(10) Hay que tender un cable desde una central eléctrica a un lado de un río de
900 metros de ancho a una fábrica en el otro lado 3 kilómetros abajo. El
costo de tender el cable bajo el agua es de $400 por cada metro, mientras
que el costo por tierra es de $320 por cada metro. ¿Cuál es la ruta más
económica para tender el cable?
(11) Un viajero recorre ¼ de la distancia entre dos ciudades a pie, 1/5 a caballo,
1/8 del resto en auto y los 55 km restantes en tren. ¿Cuál es la distancia
entre las dos ciudades?
(12) Una cuadrilla de 15 hombres se compromete a terminar en 14 días cierta
obra. Al cabo de 9 días sólo han hecho los 8/17 de la obra. ¿Con cuántos
hombres tendrán que reforzar la cuadrilla para terminar la obra en el tiempo
fijado?
(13) Carlos consigue un préstamo de $100,000 para comprarse un automóvil.
Conviene en pagar su deuda de la siguiente forma: cada año pagará $10,000
más el 12% de interés de su deuda al principio de año. ¿Cuánto pagará al
final por el préstamo?
(14) Al inicio de un viaje el odómetro de un automóvil (con tanque lleno) registra
43,219,5 km. Después del viaje, que tardó seis horas, el odómetro registra
43, 480,2 km y el conductor utilizó 39.5 litros de gasolina para volver a
llenar el tanque.
¿Cuántos kilómetros por litro rindió el automóvil?
¿Cuál fue la velocidad promedio en el viaje?
(15) A la edad de dos años, un niño promedio mide unos 86 cm y pesa 13 kg.
Emplea la fórmula de DuBois y DuBois.
S = (0.007184 )w 0 .425 h 0.725
(donde w es el peso y h la estatura) para hallar la superficie S del cuerpo del
niño (en metros cuadrados).
(16) De un número N, de dos dígitos, se sustrae un número que tiene los mismos
dígitos de N pero invertidos. El resultado es el cubo de otro número positivo.
¿Cuáles son los valores posibles de N?
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 84
Unidad 2.
Polinomios
(17)
Una ventana con un perímetro de 8 m tiene la forma de un rectángulo con un
semicírculo sobrepuesto.
(a) ¿Cuál es el perímetro total de la ventana?
(b) ¿Cuál es el área total de la ventana?
(c) ¿Cuál es el área máxima que puede tener la ventana?
(d) Escribe un polinomio para representar el perímetro de la figura en
términos de la variable r o de la variable x, solamente.
(e) Escribe un polinomio para representar el área de la figura en términos de
la variable r o de la variable x, solamente.
(f) Grafica la función del área.
(18)
Dados dos círculos con el mismo centro, halla una expresión algebraica para
el área de la parte sombreada. Simplifica la expresión tanto como sea
posible:
4
x
Utiliza la expresión para obtener el área de la parte sombreada si x = 10.125
(19)
Encuentra una expresión para la cantidad de concreto que se necesita para
hacer una tubería de concreto que tiene L metros de largo, un radio interior
B y un radio exterior A.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 85
Si L=1000 m, B=65 cm y A=70 cm, ¿qué volumen de concreto se requiere?
(20)
Un avión pequeño puede cargar 950 Kg de equipaje distribuidos en dos
compartimentos de carga. En un vuelo, el avión va totalmente cargado con
150 Kg más en un compartimento que en el otro. ¿Cuánto equipaje hay en
cada compartimento?
(21)
En un triángulo rectángulo, uno de sus ángulos agudos mide 15º más que dos
veces el otro ángulo agudo. Calcula el valor de cada ángulo.
(22)
Un automóvil recorre 50 Km en el mismo tiempo en que un avión viaja 180
Km. La velocidad del avión es de 143 Km/h mayor que la del automóvil.
Calcula la velocidad del automóvil.
(23)
Un automóvil y un camión salen de un mismo punto de partida al mismo
tiempo y en direcciones opuestas. Cuando están a 350 Km de distancia, el
automóvil ha recorrido 70 Km más que el camión. Calcula la distancia que
recorrió el automóvil.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 86
Unidad 3.
Ecuaciones y funciones lineales
(24)La suma de las edades de mis tres hijos es 22. Sí el mayor tiene tres años
más que el segundo y el doble de la edad del tercero ¿Cuál es la edad de
cada uno de ellos?
(25)Un cajero contó 248 billetes. Sólo tiene billetes de $200.00 y $50.00 y en
total hay $22150.00 ¿Cuántos billetes de $200.00 y de $50.00 hay?.
(26)Dos monedas raras tienen un valor de $90.00 Sí el valor de una de ellas es
una y media veces el valor de la otra ¿Cuánto vale cada moneda?
(27)Un parque de diversiones cobra $60.00 por persona, pero tiene boletos de
promoción a mitad de precio. Si en un día se obtuvieron ingresos de $29,
220.00 al vender 549 boletos ¿Cuántos boletos de cada tipo fueron
vendidos?.
(28)La fórmula para convertir grados Celsius a Fahrenheit es de ºF = 9/5 ºC + 32
donde ºC son los grados Celsius y ºF los grados Fahrenheit ¿A cuántos
grados Celsius corresponden 32º, 70º y 212º grados Fahrenheit?.
(29)En una ciudad el costo de la electricidad está expresado por la fórmula C =
0.07 n + 6.5, siendo C el costo y n la cantidad de kilowatt-horas consumidos.
Calcula la cantidad de kilowatt- horas que corresponde a costos de $50.00,
$76.50 y $125.00 .
(30)Un señor invirtió $14,000.00, parte al 7% y parte al 12% de interés anual. El
ingreso anual debido a esas inversiones fue de $1,430.00. ¿Cuánto invirtió
en cada una de las tasas?
(31)¿Cuánta agua se debe evaporar por ebullición para aumentar la
concentración de 300 litros de sal, del 2 al 3%?
(32)Varias personas avanzan por la carretera a razón de 5 Km/h y forman una
columna de 3 Km de largo. Una de ellas, Antonio, va hasta el final de la
misma. De repente se acuerda que tiene que darle un recado a su compadre
Ricardo, que se encuentra al principio de la marcha. Se sube a una bicicleta
y avanza a una velocidad de 25 Km/h. ¿Cuánto tiempo le llevará a Antonio
llegar hasta donde se encuentra su compadre, entregarle el recado y regresar
hasta el final de la marcha?Un alumno obtuvo un total de 435 puntos en 5
exámenes de álgebra.
(33)Un televisor tiene un costo de $3,250.00, incluyendo el IVA del 15%. ¿Cuál
es el precio del televisor sin IVA?
(34)El dueño de un negocio paga diariamente a sus tres empleados $135.00.
Determina lo que gana cada uno, sabiendo que el primero gana $10.00 más
que el segundo, y éste el doble que el tercero.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 87
Unidad 4.
Ecuaciones y funciones cuadráticas
(35)¿Cuál es la altura del árbol más alto que puedes asegurar con un cable de
250 m? El cable debe fijarse al suelo a una distancia de la base del árbol que
sea al menos 10 m abajo de su copa.
(36)¿Cuáles son las dimensiones de un rectángulo si su área es 1500 m2 y su
longitud es 20 m más que su anchura?
(37)Calcula la altura h del triángulo si su área es 162 cm2 y su base es (2h+3)
cm.
(38)Calcula el perímetro del rectángulo de base w+4, altura w y área de 96 m2.
(39)La longitud de una pista rectangular de patinaje sobre hielo es 20 m mayor
que el doble de su ancho. Calcula las dimensiones de la pista si se sabe que
su área es de 6000 m2.
(40)En la figura se muestra la sección del terraplén de una autopista. La altura
del terraplén es de x metros y su anchura en su parte alta es de 100 m.
100m
α
tg α = 1
x
α
Obtén
(a) Una fórmula para el volumen de tierra que se requerirá para
construir una sección recta de 100 m de la autopista, en metros
cúbicos.
(b) ¿Cuál es la altura del terraplén si el área de su sección es de 525
m2 ?
(c) ¿Qué cantidad de viajes se requerirá hacer para construir el tramo
de 100 m, si cada camión transporta 10 m3 de tierra?
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 88
(41)Rodolfo acostumbra subir corriendo dos escaleras eléctricas de 20 m de
longitud cada una, desplazándose la primera hacia arriba y la segunda hacia
abajo, en 15 segundos. Si se mantuviese quieto en una de las escaleras, en 20
segundos se encontraría en el otro extremo de ella. Cuando las escaleras no
funcionan, ¿en cuánto tiempo subirá por ellas?
(42)El siguiente problema fue descubierto en los escritos del matemático hindú
Mahavira (c. 850):
(43)La cuarta parte de un hato de camellos fue vista en el bosque, el doble de la
raíz cuadrada del total de camellos del hato se fue a las laderas de la
montaña, y tres veces cinco camellos fueron vistos en la orilla de un río.
¿Cuál es la medida numérica del hato de camellos?
(44)Una escalera de 13 metros de longitud, está recostada contra una pared. La
base de la escalera se encuentra a 5 metros del muro. ¿Cuánto habría que
desplazar la base de la escalera para que la punta superior de la misma se
desplazase hacia abajo la misma distancia?
(45)El ingenioso Heberto ha diseñado su bicicleta con ruedas de distinto
diámetro, de forma que la delantera mide 40 cm menos que la trasera en su
circunferencia exterior. Al dar un paseo en bici se da cuenta que por cada 12
m de recorrido, la rueda delantera da 5 vueltas más que la trasera. ¿Cuáles
son los diámetros de cada rueda?
(46)Un rectángulo con un área de 12 cm2 se inscribe en un triángulo rectángulo,
como se muestra en la figura. ¿Cuáles son sus dimensiones?
6c m
x
y
8c m
(47)El peso de un objeto varía inversamente con el cuadrado de la distancia al
centro de la Tierra. Al nivel del mar (6400 km del centro de la Tierra) un
astronauta pesa 100 Kg. Calcula el peso del astronauta en un vehículo
espacial a 200 km de la superficie terrestre.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 89
(48)Un cultivador de naranjas se da cuenta de que obtiene una producción
promedio de 40 costales por árbol cuando planta 200 de ellos en una
hectárea de terreno. Cada vez que añade diez árboles a la hectárea, la
producción por árbol desciende en un costal, a causa del congestionamiento.
¿Cuántos árboles por hectárea debería plantar para optimizar la producción?
(49)Un consejo municipal utiliza 200 m de valla para cercar un parque destinado
a los ciudadanos minusválidos. El parque será adyacente a un centro
comunitario y tendrá dos áreas rectangulares conectadas por un puente que
atraviesa a un arroyo que se encuentra a 10 m del edificio. El área adyacente
al centro comunitario puede tener una longitud no mayor que la del edificio.
El área adyacente al centro comunitario puede tener una longitud no mayor a
la del edificio, que es de 75 m, pero el área a lo largo del arroyo puede tener
cualquier dimensión. Junto al río no se pondrá ninguna valla. ¿Cuál es el
área máxima que pueden cercar?
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 90
Unidad 5.
Sistemas de ecuaciones
(50) Entre 1993 y 1997 el número de reproductores de discos compactos
vendidos cada año en cierto país fue creciendo, y el número de tornamesas
fue decreciendo. Dos modelos para calcular las ventas son los siguientes:
(a) Reproductores de discos compactos: S d = −1700 + 496 t
(b) Tornamesas: St = 1972 − 8t
en donde Sd y St representan las ventas anuales, en miles de unidades, de
reproductores de discos compactos y tornamesas, respectivamente, y t
representa el año calendario, con t = 3 correspondiente a 1993. Según estos
modelos, ¿cuándo se esperaría que las ventas de reproductores de discos
compactos rebasarán a las de tornamesas?
(51) En 10 Kg de una aleación hay 3 Kg de zinc, 2 Kg de cobre y 5 Kg de
plomo. En 20 Kg de una segunda aleación hay 12 Kg de zinc, 5Kg de cobre
y 3 Kg de plomo, mientras que en 10 Kg de una tercera aleación hay 8 Kg de
zinc, 6 Kg de cobre y 6 Kg de plomo. ¿Cuántos kilogramos de cada aleación
tendrán que combinarse para obtener una aleación que por cada 34 Kg de
zinc, contenga 17 Kg de cobre y 19 Kg de plomo?
(52) Supongamos que te ofrecen dos trabajos diferentes para vender material a
dentistas. Una compañía te ofrece una comisión simple del 6% sobre ventas;
la otra compañía te ofrece un salario de $250 por semana más 3% sobre
ventas. ¿Cuánto tendrías qué vender en una semana para que la comisión
simple sea mejor?
(53) Un avión que vuela con viento de frente recorre los 1800 kilómetros entre
dos ciudades, en 3 horas 36 minutos; en el vuelo de regreso, recorre la
misma distancia en 3 horas. Halla la velocidad del avión y la velocidad del
viento, suponiendo que ambas permanecen constantes.
(54) Se obtienen 10 litros de una solución ácida al 30%, al mezclar una solución
al 20% con otra al 50%. ¿Cuánto se usó de cada una?
(55) Un rectángulo tiene 92 cm de perímetro y su diagonal mide 34 cm. Halla
sus lados.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 91
(56) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 19.5 m. Si la longitud de
cada cateto aumentara 4.5 m, la hipotenusa aumentaría 6 m. Halla los catetos
del triángulo primitivo.
(57) Un jardín de flores rectangular tiene 504 cm2 de área y está rodeado por un
camino de 3 m de ancho. El área del camino es 312 m2. Halla las
dimensiones (longitud y anchura) del jardín.
(58) Una pieza rectangular de cartón tiene 120 cm2 de área. Al cortar un
cuadrado de 2 cm de lado en cada una de las esquinas y doblar los lados
hacia arriba se forma una caja abierta de 96 cm3 de volumen. Halla las
dimensiones (largo y ancho) del cartón inicial.
(59) Un alambre de 120 cm de largo se dobla en forma de triángulo rectángulo
cuya hipotenusa mide 51 cm. Encuentra la longitud de cada cateto del
triángulo.
(60) Dos hombre parten de un punto y caminan formando un ángulo recto. La
velocidad de uno es 1 Km por hora mayor que la del otro. Después de una
hora, la distancia entre ellos es de 5 Km. Encuentra la velocidad de cada
hombre.
(61) Encuentra el valor de k para que la gráfica de y = 2x + k toque, pero no
cruce (sea tangente) a la gráfica de la parábola y=x 2 +1.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 92
Unidad 6
Funciones polinomiales y racionales
(62)Encuentra el valor de k para el cual x - 3 es un factor de k x 3 - 6x2 +2k x 12.
(63)Encuentra el valor de k tal que -2 es una raíz de 3 x 3 +5x2 +k x - 10 = 0.
(64)De un cubo se recorta una rebanada de 1 cm de grosor de uno de sus lados.
¿Cuál será la longitud del lado del cubo original si el volumen del cuerpo
restante es de 180 cm3 ?
(65)Demuestra que el binomio x-c es un factor de p(x) y resuelve la ecuación
p(x) = 0.
p(x) = x4 + 4x3 + 3x2 - 4x - 4; x + 2.
p(x) = x4 - 8x3 + 7x2 + 72x - 144; x - 4.
(66)Encuentra un polinomio p(x), de gr ado 3, cuyos ceros son -2, 2 y 3, y,
además, p(1)=18.
(67)Cuando x2 + 5x - 2 se divide entre x + n el residuo es - 8. Determina todos
los valores posibles de n (utiliza la división sintética).
(68)Determina d tal que x + 6 sea un factor de x4 + 4x3 - 21x2 + dx + 108 (utiliza
la división sintética).
(69)Obtén el valor de k tal que x+2 sea un factor de x3 - kx2 + 2x + 7k.
(70)Un silo tiene la forma de un cilindro circular recto con una semiesfera unida
en la parte superior. Si la altura total de la estructura es de 30 unidades de
longitud, encuentra el radio del cilindro que resulte en un volumen total de
1008π unidades cúbicas.
(71)Según la Ley de Gravitación de Newton, ¿cómo varía la fuerza de atracción
entre dos objetos si cada una de sus masas se reduce a la mitad, pero se
duplica la distancia entre ellos?
(72)La ley del gas ideal señala que el volumen V que ocupa un gas es
directamente proporcional al producto del número n de moles de gas y la
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 93
temperatura absoluta T, e inversamente proporcional a la presión P, medida
en atmósferas.
Expresa V en términos de n, T, P y una constante de proporcionalidad.
¿Cuál es el efecto en el volumen si la cantidad de moles se duplica y tanto la
temperatura como la presión se reducen a la mitad?
(73)La distancia entre dos poblaciones P y Q es de x kilómetros. Si tú conduces
un automóvil en dirección de P a Q a velocidad media de V1 Km/h, y regresa
de Q a P a velocidad media de V2 Km/h. ¿Cuál es tu velocidad promedio
durante el viaje redondo?
(74)Diseña un problema que pueda resolverse con la ecuació n
1
1
1
+
=
x x +1 3
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 94
Otros ejercicios
(1) Si el aire presiona sobre cada centímetro cuadrado de superficie terrestre con
la fuerza de un kilogramo aproximadamente, ¿cuánto pesa el aire de toda la
atmósfera?
(2) La vida de Diofanto . La historia ha conservado pocos rasgos biográficos de
Diofanto, notable matemático de la antigüedad. Todo lo que se conoce
acerca de él ha sido tomado de la dedicatoria que figura en su sepulcro,
inscripción compuesta en forma de ejercicio matemático. Reproducimos esta
inscripción:
¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números
pueden mostrar, ¡oh, milagro!, cuán larga fue su vida cuya sexta parte
constituyó su hermosa infancia. Había transcurrido además una duodécima
parte de su vida, cuando de vello cubrióse su barbilla Y la séptima parte de
su existencia transcurrió en un matrimonio estéril Pasó un quinquenio más y
le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito que entregó su
cuerpo, su hermosa existencia, a la tierra, que duró tan sólo la mitad de la de
su padre Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo
sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo Dime cuántos años había vivido
Diofanto c uando le llegó la muerte.
(3) He aquí un antiguo ejercicio muy sencillo y fácil de traducir al idioma del
álgebra.
"Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados
sacos. Lamentábase el jamelgo de su enojosa carga, a lo que el mulo le dijo:
"¿De qué te quejas? Si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble que la
tuya. En cambio, si te doy un saco, tu carga se igualará a la mía". ¿Decidme,
doctos matemáticos, cuántos sacos llevaba el caballo, y cuántos el mulo?".
(4) Cuatro hermanos tienen 45 pesos. Si el dinero del primero es aumentado en
2 pesos, el del segundo reducido en 2 pesos, se duplica el del tercero y el del
cuarto se reduce a la mitad, todos los hermanos tendrán la misma cantidad
de pesos. ¿Cuánto dinero tenía cada uno?
(5) En las obras de un matemático árabe del siglo XI hallamos el siguiente
problema:
A ambas orillas de un río crecen dos palmeras, la una frente a la otra. La
altura de una es de 30 codos, y la de la otra, de 20. La distancia entre sus
troncos, 50 codos. En la copa de cada palmera hay un pájaro. De súbito los
dos pájaros descubren un pez que aparece en la superficie del agua, entre las
dos palmeras. Los pájaros se lanzaron y alcanzaron el pez al mismo tiempo.
¿A qué distancia del tronco de la palmera mayor apareció el pez?
(6) Pase usted mañana por mi casa - dijo el viejo doctor a un conocido.
Muy agradecido. Saldré mañana a las tres. Quizá desee usted dar también un
paseo. En este caso salga a la misma hora y nos encontraremos a la mitad del
camino.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 95
Usted olvida que soy ya viejo y ando tan sólo tres kilómetros por hora, en
tanto que usted, jovenzuelo, cuando más despacio va, hace 4 kilómetros por
hora. No sería ningún delito que me concediera alguna ventaja. Tiene razón contestó el joven - . Comoquiera que yo recorro un kilómetro a la hora más
que usted, le doy este kilómetro de ventaja, es decir, saldré de casa un cuarto
de hora antes ¿le será suficiente? Es usted muy amable - aprobó al instante el
anciano. El joven cumplió lo prometido y salió de su casa a las tres menos
cuarto, marchando a 4 kilómetros por hora. El doctor salió a la calle a las tres
en punto y anduvo a tres kilómetros por hora. Cuando se encontraron, el
anciano dio la vuelta, yendo juntos a su domicilio. Tan sólo cuando el joven
regresó a su casa comprendió que debido a la ventaja concedida tuvo que
caminar, no el doble, sino el cuádruplo de lo que anduvo el doctor. ¿A qué
distancia de la casa del doctor estaba la de su joven conocido?
(7) Cuando marchaba a lo largo de la línea del tranvía observé que cada 12
minutos me alcanzaba uno de esos vehículos, y cada 4 minutos otro de ellos
pasaba en dirección contraria. Tanto los vehículos como yo nos
desplazábamos con velocidad constante ¿Cada cuántos minutos salían los
tranvías de las estaciones terminales?
(8) Dos botes llenos de café tienen la misma forma y están hechos de la misma
hojalata. El primero pesa 2 kg y tiene 12 cm de altura; el segundo pesa 1 kg
y mide 9,5 cm de altura. ¿Cuál es el peso neto del café en los dos botes?
(9) A una velada asistieron 20 personas. María bailó con siete muchachos; Olga,
con ocho; Vera, con nueve, y así hasta llegar a Nina, que bailó con todos
ellos. ¿Cuántos muchachos había en la velada?
(10)Dos ciclistas corren por el velódromo a velocidades constantes. Al llevar
direcciones opuestas se encuentran cada 10 segundos; cuando van en la
misma dirección, un ciclista alcanza al otro cada 170 segundos, ¿cuál es la
velocidad que desarrolla cada ciclista si la longitud de la pista es de 170 m?
(11)En una carrera de motocicletas, tres máquinas salieron simultáneamente. La
segunda hace 15 km por hora menos que la primera, y 3 km más que la
tercera y llega a la meta 12 minutos después que la primera y 3 minutos
antes que la tercera. Durante el recorrido no se registraron paradas. Hay que
determinar:
a. La distancia de la carrera,
b. La velocidad de cada motocicleta y
c. El tiempo empleado por cada máquina
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 96
(12)Un automóvil cubrió la distancia entre dos ciudades a 60 km por hora e hizo
el viaje de regreso a 40 km por hora. ¿Cuál fue la velocidad media de su
recorrido?
(13)Un hortelano vendió al primero de sus compradores la mitad de las
manzanas de su jardín más media manzana; al segundo, la mitad de las
restantes más media; al tercero, la mitad de cuantas quedaron más media,
etc. El séptimo comprador adquirió la mitad de las manzanas que quedaban
más media, agotando con ello la mercancía ¿Cuántas manzanas tenía el
jardinero?
(14)Dos líneas férreas se cruzan formando un ángulo recto. Los trenes se
acercan a gran velocidad hacia el cruce. Uno parte de cierta estació n situada
a 40 km del cruce; el otro, de una estación que dista 50 km del cruce. El
primero marcha a una velocidad de 800 m por minuto, el segundo a 600 m
¿Cuántos minutos transcurrirán desde el momento de la partida para que las
locomotoras se hallen a la menor distancia entre sí, y cuál será esa distancia?
(15)Hállense tres números consecutivos en los que el cuadrado del número del
medio sea mayor en una unidad al producto de los dos restantes.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 97
5. Lecturas
5. Lecturas
Introducción
En este material se cuenta con algunas lecturas sobre temas de matemáticas. No se trata de
un material de relleno, simplemente para introducir o motivar el estudio de ciertos temas.
La comprensión de la matemática no se limita al conocimiento y adquisición de soltura en
el uso de ciertos procedimientos, principalmente algebraicos. También incluye la discusión
de ideas y conceptos.
La lectura te exige un esfuerzo que debes realizar si quieres lograr comprender su
significado. Por ejemplo, la expresió n “yo sólo sé que no sé nada” es atribuida a Sócrates.
Sin embargo, en la Apología de Sócrates lo que se dice es “yo sólo sé que lo que sé es
nada”. ¿Son equivalentes ambas expresiones? ¿Puedes explicar sus diferencias de
significado?
Es posible que tengas compañeros que digan que ya entendieron algún tema de
matemáticas, digamos ecuaciones de segundo grado, de manera que si les dan una ecuación
no tienen dificultad para resolverla, pero que si de lo que se trata es leer un texto y a partir
de él plantear una ecuación que deben resolver para responder lo que se les pregunta,
entonces no pueden hacerlo, pues no entienden cómo se puede saber la ecuación que sirve
para lo que dice el texto. Aquí se tiene un problema de comprensión de lectura y no porque
el alu mno no pueda darse una idea de lo que dice el texto, sino porque él mismo se bloquea
y no sabe leer. En este libro un problema se inicia con un texto y lo primero que debes
hacer cuando te enfrentes a uno es leer el enunciado y buscar darle un sentido y significado
coherente a la situación planteada.
No se trata de hacer complicada una lectura. Pero es que la comprensión de la lectura no es
una actividad sencilla. Cuando decimos que una lectura nos permite descansar, hacer una
pausa de nuestras actividades o deberes cotidianos, relajarnos, no es porque la lectura sea
una actividad sin chiste y que aprende cualquier niño en los primeros años de primaria al
reconocer las letras del alfabeto y cómo deben pronunciarse. Si nos sentimos bien luego de
leer es porque nos interesa el tema que estamos leyendo y ya sabes que cuando realizamos
alguna actividad que nos gusta, no nos pesa tanto el trabajo que debemos hacer para ello.
Para leer un libro de matemáticas necesitas al menos de lápiz y papel a un lado para
realizar anotaciones, cálculos, dibujar figuras, o representaciones de lo que se está
estudiando en el libro. Para leer un artículo o ensayo, es recomendable tener a la mano un
diccionario para consultar con facilidad las palabras de las que se desconoce su significado.
Ser un buen lector es una habilidad que desarrollamos poco a poco.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 99
Cuando has leído un artículo y dices que lo has comprendido, es porque eres capaz de
señalar sus ideas principales sin recurrir a la simple cita textual y cuando puedes identificar
tus acuerdos y desacuerdos con el autor del texto.
Discutir una lectura también permite desarrollar nuestra capacidad de comunicación y
argumentación. No basta decir que ya entendimos algo; si no somos capaces de expresar y
comunicar a otros esta comprensión no logramos el principio básico de una discusión: se
logra convencer a los otros a partir de la elaboración y exposición de argumentos
coherentes y no por hablar más tiempo, más fuerte o por ocupar un puesto más alto que los
otros.
Debemos saber comunicar nuestras ideas, pero también escuchar cuidadosamente los
argumentos de otros, tratando de entender lo que nos están diciendo, reflexionar en los
argumentos que nos presentan y aceptarlos si nos parecen convincentes.
La lectura de un artículo y luego la discusión del mismo nos permite reflexionar el tema
tratado y enriquecer la comprensión del mismo. La lectura es una actividad que realizamos
constantemente, en los periódicos, en el cine, en la televisión, en Internet y en los mensajes
que recibimos de estos medios tan diversos siempre hay una dimensión matemática que no
podemos ignorar. Si algo de lo que lees llama tu atención por la importancia que las
matemáticas tienen en su interpretación, ya sea un fragmento de película o de novela, una
noticia o un reportaje, puedes elaborar un guión y organizar y conducir una discusión en la
clase.
Hay otra lectura en la que debes ser particularmente cuidadoso. Se trata de la lectura de un
video. Sí, un video también se lee. Como las demás actividades que te proponemos, el
objetivo de que veas un video no es con fines puramente recreativos o de motivación. Es
para que aprendas algo más de matemáticas, especialmente su uso. De cada video hay
preguntas que puedes responder después de verlos. Estas preguntas pueden aparecer en el
propio video, ser planteadas por tu profesor o por ti mismo.
Una ventaja tecnológica es que si dispones del video como archivo de un disco compacto,
tienes la oportunidad de poder verlo junto con todos con tus compañeros del gr upo o sólo
con tu equipo y puedes detenerlo para tomar notas, volver a ver una parte particularmente
interesante y, desde luego, responder las preguntas.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 100
Lecturas
1. Ética y matemáticas
por John Allen Paulos
Desde Platón a los filósofos contemporáneos, como John Rawls, pasando por Kant,
los moralistas han sostenido la necesidad de unos principios impersonales de la
moralidad. La matemática es a veces objeto de mofa por ser una materia impersonal,
pero bien entendida, esta impersonalidad es un parte lo que la hace tan útil, incluso
en la ética, donde su invocación ha podido parecer rara en principio. Entre otros, el
gran filósofo judío-holandés del siglo XVII Spinoza nos dio un ejemplo de esto al
escribir su obra clásica Ética “al estilo geométrico” de los Elementos de Euclides.
Para empezar, un ejemplo deprimente muy alejado de los principios racionalistas y
“teoremas” estoicos de Spinoza. Según un informe del UNICEF de 1990,
anualmente mueren millones de niños de cosas tan poco graves como sarampión,
tétanos, infecciones respiratorias o diarrea. Estas enfermedades se podrían evitar
con una vacuna de 1.50 dólares, 1 dólar de antibióticos o 10 centavos de sales
hidratantes por vía oral. El UNICEF estima que bastarían 2 500 millones de dólares
para salvar las vida de la mayoría de esos niños y mejorar la salud de muchísimos
más. Esta cantidad equivale al presupuesto anual de publicidad de las compañías
tabaqueras norteamericanas (cuyos productos, por cierto, matan casi 400 000
norteamericanos cada año, mas que los que murieron en toda la segunda guerra
mundial), al gasto mensual de los soviéticos en vodka o, más grave aún, a casi el 2%
del gasto anual en armamento del propio Tercer Mundo. Además, si se
proporcionaran medios para el control de la natalidad a aquellas mujeres que lo
desearan –una estimación conservadora da aproximadamente 500 millones- haría
disminuir el crecimiento de la población en un 30% con lo que la carga financiera
que representan los anteriores cambios presupuestarios sería más llevadera. La
planificación familiar junto con la garantía de supervivencia de sus hijos
comportaría un nuevo recorte de la tasa de crecimiento de la población, pues ésta es
mayor en aquellos países con una gran tasa de mortalidad infantil. La aritmética no
es comp licada, pero resulta esencial para ver la situación desde una buena
perspectiva.
La gente siente a menudo aversión a asignar valores numéricos a las vidas humanas
o a explicitar determinadas transacciones. Sopesar el coste de la sanidad o el precio
del impacto sobre el medio ambiente es siempre una tarea desagradable. A veces,
sin embargo, no ser cuantitativo es un modo de falsa piedad que no puede sino
oscurecer, y por tanto complicar, las decisiones que nos vemos obligados a tomar.
Es ahí donde pueden jugar un papel importante la teoría de la probabilidad y la
investigación operacional. Otras veces, me atrevería a añadir, la aritmética
económica apropiada es más cantoriana (tanto en el sentido bíblico como en el de la
teoría de conjuntos infinitos); esto es, cuando cada vida tiene un valor infinito y es,
por tanto, tan valiosa como la suma de cualquier conjunto de vidas también
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 101
infinitamente valiosas, exactamente igual que ℵ0 , el primer número cardinal
transfinito de Cantor, que es igual a ℵ0 + ℵ0 + … + ℵ0 .
La necesidad de compromiso no siempre se aprecia en toda su importancia, a pesar
de que es algo bastante corriente. En vez de seguir discutiendo sobre ello pondré un
par de “aplicaciones” no estándar de la matemática en el campo de la ética. El
primero es de naturaleza matemática sólo en un sentido amplio, pero uno de mis
propósitos es ampliar la concepción popular de la matemática.
Supongamos que una sociedad ha de tomar una decisión política importante y que
decidirse positivamente implica asumir un gran riego en el futuro. Si se adopta, esa
política implicará inicialmente cierto trastorno –gente que cambia de residencia,
mucha inversión en construcción, formación de nuevas organizaciones, …- pero
comportará un aumento del nivel de vida durante 200 o 300 años por lo menos.
En un cierto momento posterior hay, sin embargo, una gran catástrofe, directamente
atribuible a la adopción de la política de riesgo, en la que mueren 50 millones de
personas. (La decisión podría estar relacionada con el almacenamiento de residuos
radiactivos.) Ahora bien, como ha indicado el filósofo inglés Derk Parfit, se podría
decir que la decisión de adoptar la política de riesgo no fue mala para nadie. La
decisión no fue mala, en efecto, para las personas que vieron incrementado su nivel
de vida en los siglos anteriores a la catástrofe.
Es más, tampoco fue mala para las personas que murieron en la catástrofe, pues
ellos, esos mismos que murieron, no hubieran nacido de no haberse tomado la
decisión de seguir la política de ries go. Esta, recordémoslo, provocó inicialmente
cierto trastorno y la consiguiente alteración del momento en que las parejas
existentes concibieron a sus hijos (y a ello deben éstos su ser) y también, debido a
que se reunió a diferentes personas que se aparejaron y fueron padres (y de ahí el ser
de sus hijos). Con el paso de los siglos, estas diferencias se multiplicaron y es
razonable suponer que nadie que vivió el día de la catástrofe habría nacido si no se
hubiera adoptado la política de riesgo en cuestión. Las personas que mueran,
repitámoslo, deberán su existencia a la toma de esa decisión.
Tenemos pues un ejemplo de decisión, tomar el camino del riesgo, que parece ser
claramente mala –conduce a la muerta de 50 millones de personas- y sin embargo,
no es mala (discutiblemente) para nadie. Lo que nos hace falta es algún o algunos
principios morales a cuya luz se pueda rechazar la política de riesgo.
Un candidato a esta categoría es el principio utilitarista del filósofo del siglo XIX
Jeremy Bentham: “El mayor bien para el mayor número”. Sin embargo, el principio
sólo es esquemático y una interpretación precisa del mismo, que permitiera crear
una especie de “cálculo moral” es algo que gracias a Dios, los filósofos morales no
han logrado todavía. Kant y otros pensaban que cualquier principio moral debería
ser universal, algo que fuera útil en abstracto, pero que no sirviera demasiado al
pasar a los detalles. En vez de entretenerme con la inmensa literatura relativa a estos
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 102
y otros enfoque de la ética, introduciré aquí un fragmento cuasimatemático que
resultará ilustrativo independientemente de cuál sea nuestro enfoque de los
principios éticos.
Formulado originalmente en términos de presos, el dilema del preso es de una
generalidad difícilmente sobreestimable. Supongamos que dos hombres son
sospechosos de un delito importante son detenidos mientras comenten una falta
menos. Son separados en interrogados, y a cada uno se le da la posibilidad de
confesar el delito importante, implicando con ello a su cómplice, o permanecer
callado. Si ambos permanecen en silencio, les caerá un año de prisión a cada uno. Si
uno confiesa y el otro no, el que confiesa será recompensado con la libertad,
mientras que al otro le caerá una condena de cinco años. Si ambos confiesan, puede
esperar que les caigan tres años de cárcel. La opción cooperativa es permanecer
callado, mientras que la individual es confesar.
El dilema consiste en saber qué es lo mejor para ambos en conjunto. Dado que
permanecer callados y pasar un año en prisión deja a cada uno de ellos en manos de
la peor de las posibilidades, pecar de incauto y que le caiga una condena de cinco
años, lo más probable es que ambos confieses y que cada uno pase tres años en la
cárcel.
La gracia del dilema no es, naturalmente, el interés que podamos tener en mejorar el
sistema jurídico-penal, sino helecho de presentar el mismo esqueleto lógico que
muchas situaciones que hemos de afrontar en nuestra vida cotidiana. Tanto si somos
ejecutivos en un mercado competitivo, cónyuges en un matrimonio o superpotencia
en una carrera armamentista, nuestras opciones pueden formularse en términos
similares a los del dilema del preso. Aunque no siempre haya una respuesta
correcta, generalmente las partes implicadas salen mejor paradas en conjunto si cada
una resiste la tentación de traicionar a la otra y coopera con ella o le es leal. Si
ambas partes persiguen exclusivamente su propio interés, el resultado es peor para
ambas que si cooperan. La mano invisible de Adam Smith, encargada de que la
búsqueda del provecho particular comporte el bienestar colectivo, está, al menos en
estas situaciones, totalmente artrítica.
Las dos parte del dilema del preso pueden generalizar a circunstancias en las que
participa mucha gente, donde cada individuo tiene la opción de hacer una
contribución minúscula al bien común u otra mucho mayor en beneficio propio.
Este dilema del preso a muchas bandas es útil para modelizar situaciones en las que
está en juego el valor económico de “intangibles” como el agua limpia, el aire o el
espacio. Como en buena medida casi todas las transacciones sociales tienen en sí
algún elemento del dilema del preso, el carácter de una sociedad queda reflejado en
cuáles son las transacciones que llevan a la cooperación entre las partes y cuáles no.
Si los miembros de una “sociedad” concreta nunca se comporta cooperativamente,
sus vidas serán probablemente, en palabras del filósofo inglés Thomas Hobbes,
“solitarias, pobres, repugnantes, brutales y cortas”
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 103
¿Es consecuencia de alguna teoría moral que uno elige la opción cooperativa en
situaciones del tipo del dilema del preso? Por lo que yo sé no. De hecho, se puede
hacer una sólida defensa de la opción individualista, al menos algunas veces. No es
irracional ni inmoral defenderse a uno mismo. No hay ninguna teoría ética
establecida que obligue ni prohíba adoptar la opción cooperativa, y lo mismo ocurre
con muchas otras acciones, y esto me lleva a mi última observación.
Cualquier teoría moral, convenientemente formalizada y cuantificada, está sujeta a
las limitaciones impuestas por el primer teorema de incompletitud de Gödel, según
la cual todo sistema formal que sea lo suficientemente complejo, ha de contener
forzosamente enunciados de los que no se puede probar ni la verdad ni la falsedad.
De acuerdo con esto, tenemos una base teórica para la observación racional de que
siempre hará actos que ni están prohibidos ni estamos obligados a ellos por nuestros
principios, independientemente de cuáles sean éstos o de que estén reforzados por
nuestros propios temores, valores y compromisos idiosincrásicos. Esto podría
tomarse como un argumento matemático en pro de la necesidad de la “ética de la
situación” y demuestra la insuficiencia de una aproximación a la ética
exclusivamente axiomática.
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2. Variables y pronombres
por John Allen Paulos
Una variable es una cantidad que puede tomar distintos valores, pero cuyo valor en
una situación dada es a menudo desconocido. Es lo contrario de una cantidad
constante. El número de padres biológicos de una persona es una cantidad
constante. El número de sus retoños en una variable.
Sorprendentemente, no fue hasta finales del siglo XVI cuando al matemático
francés François Viète se le ocurrió la idea, que retrospectivamente parece obvia, de
usar letras para representar las variables (normalmente x, y y z para los números
reales y n para los enteros). A pesar de las protestas de generaciones de estudiantes
principiantes en álgebra por la introducción de las variables, su uno no es más
abstracto que el de los pronombres, con los que guardan un fuerte parecido
conceptual. (Los nombres, por el contrario, son los análogos de las constantes). Y al
igual que los pronombres hacen la comunicación más fácil y más flexible, las
variables nos permiten trabajar con una mayor generalidad que si limitamos nuestro
discurso matemático a las constantes.
Consideremos la grase siguiente. “En cierta ocasión alguien dio a su mujer algo que
ella encontró tan desagradable que lo tiró al cubo de basura más próximo y nunca
volvió a mencionarlo de buena gana a pesar de quede vez en cuando él le
preguntaba por su paradero”. Sin pronombre la misma frase sería muy farragosa:
“En cierta ocasión esta persona dio a la mujer de esta misma persona una cosa, y la
mujer de esta persona encontró esta cosas tan desagradable que la mujer de esta
persona tiró esta cosa al cubo de basura más próximo y nunca volvió a mencionar de
buena gana esta cosa a esta persona, a pesar de que esta persona preguntaba de vez
en cuando por el paradero de esta cosa a la mujer de esta persona”. Si introducimos
variables la frase recupera un poco su manejabilidad: x dio a y, mujer de x, un z e y
encontró z tan desagradable que tiró z al cubo de basura más próximo y nunca
volvió a mencionar de buena gana z a x, aunque x de vez en cuando preguntaba a y
por el paradero de z”.
Tenemos un ejemplo breve en el mandato a Oscar: “Ayuda a quien te ayude”. Sin
pronombres debería decir: “Ayuda a Jorge, si Jorge ayuda a Oscar, ayuda a Pedro si
Pedro ayuda a Oscar, ayuda a Marta si Marta ayuda a Oscar, ayuda a Juana si Juana
ayuda a Oscar, etc.”.
Dado que el uso de pronombres y todo lo relacionado con ellos no representa un
problema para casi nadie, parece pues que poca gente habría de tener dificultades
con las variables. Sin embargo, en matemáticas se imponen condiciones a las
variables que frecuentemente nos permiten determinar su valor. Si x – y + 2(1 + 3x)
= 31 e y = 3, podemos encontrar x. Son las técnicas que se emplean para resolver
estas ecuaciones y otras más complicadas lo que a menudo resulta un enigma. En
nuestro discurso cotidiano con los pronombres no hay ninguna situación cuya
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analogía con el caso matemático sea obvia, pero las novelas de misterio no son tan
distintas del mismo como pudiera pensarse. Consideremos el siguiente ejemplo:
quienquiera (el señor x o la señora x) que anulara las reservas de hotel de los
invitados sabía que venían a la celebración, que llegarían tarde y que si no tenían
una reserva a su nombre les causaría molestias, a ellos y a sus huéspedes. Si
conocemos los principales personajes implicados en ello, ¿podemos descubrir quien
anuló las reservas (esto es, quién es igual a x)? Estoy convencido de que las técnicas
y aproximaciones que se emplean para aclarar y resolver pequeños dramas humanos
como estos son por lo menos tan complejos como las que se usan en matemáticas.
Un último comentario editorial: algunos han argumentado que la naturaleza retórica
de las matemáticas nos aleja de nuestra humanidad y es, en cierto modo,
incompatible con el espíritu de compasión. Sin embargo, como ya he sugerido en
esta entrada y en otros lugares, el lenguaje que empleamos corrientemente contiene
toda la abstracción de la matemática. El “problema” de ésta no es que sea abstracta,
sino que demasiado a menudo su abstracción está poco fundamentada, sin una base
lógica humana. En cuestiones de política social o toma de decisiones personales las
matemáticas pueden servir para determinar las consecuencias de nuestras hipótesis y
valores, pero el origen de éstos y aquéllas está en nosotros (nosotros x), y no en
divinidades matemáticas.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 106
3. Funciones
por John Allen Paulos
El concepto de función es muy importante en matemáticas, pues representa de una
manera formal la idea de poner en correspondencia una cantidad con otra. El mundo
está lleno de cosas que dependen de, son función de o están asociadas a otras cosas
(de hecho, se podría argumentar que el mundo consiste sólo en tales relaciones), y
nos enfrentamos al problema de establecer una notación útil. Para esta dependencia
matemática. Los siguientes ejemplos sirven para ilustrar una notación corriente. Las
gráficas y las tablas nos proporcionan otras maneras de indicar estas relaciones.
Consideremos un pequeño taller que se dedica a fabricar sillas. Sus costos son
80000 ptas. (para gastos de equipos, pongamos por caso) y 3000 ptas. Por silla
fabricada. Así la relación entre el costo total, T, y el número de sillas fabricadas, x,
viene dada por fórmula T = 3000x + 80000. Si queremos recalcar que T depende de
x, decimos que T es función de x y denotamos simbólicamente esta asociación por
T = f(x). Si se fabrican 10 sillas, el costo es 110 000 ptas; si se fabrican 22, el costo
sube hasta 146 000 ptas. La función f es la regla que asocia 110 000 a 10 y 146 000
a 22, lo cual se indica escribiendo f( 10) = 110 000 y f(22) = 146 000. ¿Cuánto es
f(37)?
La temperatura Celsius C se puede obtener a partir de la temperatura Fahrenheit F
restando 32 a ésta y multiplicando la diferencia por 5/9. En forma de ecuación
tenemos C =
5
9
( F − 32 ) .
Así, unos fríos 41° Fahrenheit se convierten en unos
igualmente fríos 5° Celsius, mientras que unos suaves 86° Fahrenheit se traducen en
otros igualmente suaves 30° Centígrados. Si sustituimos la temperatura Fahrenheit
en esta fórmula podemos encontrar siempre la temperatura Celsius correspondiente.
Como antes, si lo que queremos es recalcar que C depende de F, diremos que C es
función de F y denotaremos esta relación por C = h(F). (Las gráficas de esta función
y la anterior son líneas rectas). La función h es la regla que asocia 5 a 41 y 30 a 86,
y esta correspondencia se expresa simbólicamente escribiendo h(41) = 5 y
h(86) = 30. ¿Cuánto es h(59)?
O imagine que usted es un usurero que presta 100 ptas. a alguien y le dice que la
cantidad que le adeuda aumentará en un 50% cada semana. Revisando las cuentas
con sus socios, usted entiende que la cantidad, D, que le debe su amigo al cabo de n
semanas es igual a 100 * (1,5) n , esto es, D = 100 (1,5) n . Está claro que D es una
función de n, cosa que indicamos por D = g(n) (o mediante la gráfica de la función,
una curva que crece exponencialmente). Está claro que g(1) = 150, g(2) = 225 y
g(3) = 337.50. (Si usted es benévolo y sólo añade los intereses a intervalos
semanales, la gráfica consistirá en una sucesión de escalones crecientes
exponencialmente).
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 107
Gráfica de la cantidad debida, D, como
función exponencial del tiempo de
préstamo, n, D.
Gráfica de cantidad debida si entre dos
incrementos semanales los intereses
permanecen constantes.
(4,506.25)
(4,506.25)
(3,337.50)
(3,337.50)
(2,225)
(2,225)
(1,150)
(1,150)
(0,100)
(0,100)
O considere el siguiente ejemplo extraído de la física. Desde un tejado de 80 metros
de altura sobre el suelo, se lanza una bola verticalmente hacia arriba con una
velocidad inicial de 20 metros por segundo. Confíe en la palabra de Newton y
acepte que la altura A de la bola sobre el nivel del suelo viene dada por la fórmula
A = −5t 2 + 20t + 80, donde t es el número de segundos transcurridos desde el
instante en que se lanzó la bola. Como la altura depende del tiempo, A es función de
t y se escribe A = s(t). Si sustituimos t = 0 en la fórmula, confirmamos que en el
instante inicial A = 80. Dos segundos más tarde, t = 2, encontramos por sustitución
en la misma fórmula que A = 100. Por tanto s(0) = 80 y s(2)=100. ¿Cuánto es s(5)?
¿Por qué es menor que s(2)?
Las funciones h, g y s anteriores son funciones lineal, exponencial y cuadrática,
respectivamente, mientras que p(x) = 3tan(2 x) y r(x)= 7 x 5 − 4 x 3 + 2 x 2 + 11 se
llaman, respectivamente, trigonométrica y polinómica. Aunque las funciones no
siempre están definidas por fórmulas y ecuaciones, ni tienen por qué indicar
necesariamente relaciones entre números. Por ejemplo, si m(Elena) = rojo,
m(Rebeca) = amarillo, m(Marta) = moreno, m(Jorge) = negro, m(Dorita) = dorado y
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 108
m(Pedro) no está definido, no es difícil adivinar que m es la regla que a cada
persona le asigna el color de su cabello y que Pedro es calvo. Así pues, m(x) denota
simplemente el color de cabello de x. Análogamente, p(x) se podría definir como el
autor de x y q(x) podría ser la capital de estado más próxima a x. En tal caso,
p(Guerra y paz)=Tolstoi y q(Filadelfia) = Trenton, N. J.
En los ejemplos expuestos, el número de sillas fabricadas, la temperatura
Fahrenheit, el número de semanas hasta que se salda la deuda, el número de
segundo s transcurridos desde que se lanza la bola y el nombre de la persona son lo
que se llama la variable independiente. El costo total, la temperatura Celsius, la
cantidad adeudada, la altura de la bola y el color del cabello de la persona son lo que
se llama la variable dependiente. Una vez se ha fijado el valor de la variable
independiente, el de la variable dependiente queda totalmente determinado y se dice
que ésta es función de aquélla.
Cuando tenemos cantidades que dependen de más de una cantidad –esto es, cuando
tratamos con funciones de más de una variable- se usan variantes de la misma
notación. Si por ejemplo z = x 2 + y 2 , entonces cuando x = 2 y y = 3 tenemos z = 13,
y si queremos resaltar la dependencia de z con respecto a x y y, escribimos z = f(x,y)
y 13 = f(2,3).
La notación de la dependencia funcional es como una contabilidad, pero una
contabilidad imprescindible. Nos permite expresar relaciones en forma abreviada.
Gracias a ella podemos disponer fácilmente de una buena parte de la flexibilidad y
potencia del análisis matemático.
[Respuestas a las preguntas: f(37) = 191 000; h(59) = 15; s(5) = 55 y s(2) = 100; en
t = 2 la bola está subiendo y en t = 5, bajando]
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 109
4. Un pato
(1) Haz un informe de tu lectura de ‘El pato Donald en el País Mágico de las
Matemáticas’ aplicando el enfoque profundo que se describe en el Modelo
PER.
Puedes aplicar algunas técnicas de lectura crítica al mensaje.
Te conviene realizar algunas actividades de comprensión de Perkins.
(2) Escribe cinco aplicaciones de las matemáticas en tu vida.
(3) ¿Qué es la razón áurea?
(4) ¿Cuáles son las condiciones para jugar a las matemáticas?
(5) ¿En qué se usan las cónicas?
(6) ¿Qué es el infinito?
(7) ¿Qué son las matemáticas?
(8) Escribe un párrafo con el episodio más memorable de tu vida en tus
(¿tormentosas?, ¿apacibles?) relaciones con las matemáticas.
(9) Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) con respecto al
aprendizaje que lograste en esta actividad.
5. Midiendo belleza
Programa de video de la serie Mathsphere de la Encyclopædia Británica.
(1) Haz un informe del video ‘Midiendo belleza’ aplicando el enfoque profundo que
se describe en el Modelo PER.
Puedes aplicar algunas técnicas de lectura crítica al mensaje.
Te conviene realizar algunas actividades de comprensión de Perkins.
(2) Responde las preguntas que se plantean a lo largo del video.
(3) Señala la relación que hay entre las situaciones que se presentan en el video y
algunos de los problemas que has resuelto en el curso.
(4) Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) con respecto al
aprendizaje que lograste en esta actividad.
6. Ecuaciones simultáneas
Programa de video de la Dirección General de Televisión Educativa.
http://ute.sep.gob.mx/vne/sep_tve/guias/emsad/mate_08.htm
Guía de lectura audiovisual
(1) Antes de ver el programa:
Explica o define los conceptos siguientes a partir del conocimiento que
tengas sobre el tema.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 110
¿Qué es una incógnita y qué es una constante?
¿Cuáles son los métodos de resolución para los problemas algebraicos?
(2) Durante la observación del programa:
¿Qué imagen del programa te explica mejor la utilización de las ecuaciones
simultáneas en la resolución de los problemas? Descríbela.
Localiza el segmento que va de 00:22:40 a 00:33:59 y explica el
procedimiento para determinar qué método es el más adecuado para al
solución de ecuaciones simultáneas.
(3) Después de ver el programa:
Enumera por pasos lógicos el método para la resolución de un problema.
Reflexiona sobre los problemas reales que pueden ser resueltos por la
aplicación de las ecuaciones simultáneas. ¿En qué otras áreas de
conocimiento puedes aplicar estos métodos? Menciona ejemplos.
(4) Complemento de la Guía de lectura audiovisual:
¿Cómo se relacionan los casos que se presentan y resuelven en el programa
con los problemas que se han resuelto en el curso?
¿Qué diferencias y semejanzas hay en los tratamientos que se dan a los
problemas relacionados con las dietas?
(5) Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) con respecto al
aprendizaje que lograste en esta actividad.
7. Cómo resolverlo
por George Polya
Planteamiento de ecuaciones.
El planteo de ecuaciones es como la traducción de un lenguaje a otro. Esta
comparación, usada por Newton en su Arithmetica Universalis, puede ayudar a
aclarar la naturaleza de ciertas dificultades con que a menudo se encuentran tanto
los estudiantes como los profesores.
1.Plantear una ecuación significa expresar en símbolo matemáticos una condición
formulada con palabras; es una traducción de un lenguaje corriente al lenguaje de
las fórmulas matemáticas. Las dificultades que podemos tener al plantear
ecuaciones son dificultades de traducción.
Para traducir una frase de inglés al francés se necesitan dos cosas. Tenemos que
comprender primero totalmente la frase inglesa. Segundo, hemos de estar
familiarizados con las formas de expresión peculiares de la lengua francesa. La
situación es muy semejante cuando tratamos de expresar en símbo los matemáticos
una condición propuesta en palabras. En primer lugar, hemos de comprender
totalmente la condición. En segundo lugar, hemos de estar familiarizados con las
formas de expresión matemática.
Es relativamente fácil traducir una frase inglesa en francés si puede traducirse
palabra por palabra. Pero hay modismos ingleses que no pueden traducirse palabra
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 111
por palabra en francés. Si nuestra frase contiene estos modismos, la traducción
resulta difícil; hemos de prestar menos atención a las palabras ind ividuales, y más
atención al significado total; antes de traducir la frase hemos de reordenarla.
Sucede de una forma muy parecida en el planteo de ecuaciones. En los casos fáciles,
la expresión verbal se divide casi automáticamente en parte sucesivas, cada una de
las cuales puede escribirse en seguida con símbolos matemáticos. En los casos más
difíciles, la condición tiene partes que no pueden traducirse inmediatamente en
símbolos matemáticos. En este caso hemos de prestar menos atención a la
afirmación verbal, y concentrarnos más sobre su significado. Antes de empezar a
escribir fórmulas, hemos de volver a ordenar la condición, teniendo a la vista
mientras lo hacemos los recursos de la notación matemática.
En todos los casos, fáciles o difíciles, hemos de comprender la condición, separar
las diversas partes de la condición, y preguntarnos: ¿Puedes transcribirlas? En los
casos fáciles, logramos sin vacilación dividir la condición en partes que pueden
escribirse mediante símbolos matemáticos; en los casos difíciles, la división
apropiado de la condición es menos obvia.
La explicación anterior se tendría que volver a leer después del estudio de las
ejemplos siguientes.
2.Encontrar dos cantidades cuya suma sea 78 y cuyo producto será 1296
Dividamos la página mediante una línea vertical. Escribamos a un lado la expresión
verbal dividida en partes adecuadas. Al otro lado, escribamos los signos algebraicos,
enfrente de la parte correspondiente a la expresión verbal. El original está a la
izquierda; la traducción, en símbolos, a la derecha.
EXPRESIÓN DEL PROBLEMA.
en castellano
Encontrar dos cantidades
cuya suma sea 78 y cuyo
producto sea 1296
en lenguaje algebraico
x, y
x+y=78
xy=1296
En este caso la expresión verbal se divide casi automáticamente en partes sucesivas,
cada una de las cuales puede escribirse inmediatamente con símbolos matemáticos.
3.Encontrar la anchura y altura de un prisma recto de base cuadrada, siendo su
volumen 63 centímetros cúbicos y el área de su superficie 102 centímetros
cuadrados.
¿Cuáles son las incógnitas? El lado de la base, x, y la altura del prisma, y
¿Cuáles son los datos? El volumen 63 y el área 102.
¿Cuál es la condición? El prisma cuya base es un cuadrado de lado x y cuya altura
es y ha de tener el volumen 63 y el área 102.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 112
Separemos las diversas partes de la condición. Hay dos partes, una que se refiere al
volumen y la otra al área.
Apenas dudamos en dividir la condición precisamente en estas dos partes; pero no
podemos escribir estas partes “inmediatamente”. Tenemos que saber cómo calcular
el volumen y las diversas partes del área. Sin embargo, si conocemos toda esta
geometría, podemos fácilmente replantear las dos partes de la condición de modo
que la traducción en ecuaciones sea factible. Escribimos en la parte izquierda de la
página una expresión del problema reordenada y ampliada esencialmente, a punto
para traducirla en lenguaje algebraico.
Encontrar el lado de la base
y la altura
de un prisma
1. El volumen viene dado.
El área de la base, que es una cuadrado
de lado x
y l a altura
determina el volumen, que es su producto.
2. El área de la superficie viene dada.
La superficie consiste en dos cuadrados
de lado x
y en cuatro rectángulos, cada uno de
base x y alturay,
la suma de los cuales es el área.
x
y
63
x2
y
x 2y=63
102
2x 2
4xy
2x2+4xy=102
Trabajando hacia atrás.
Si queremos comprender la conducta humana hemos de compararla con la conducta
animal. Los animales también “tienen problemas” y “resuelven problemas”. La
psicología experimental ha hecho progresos esenciales en las últimas décadas al
explorar las maneras de “resolver problemas” de varios animales. No podemos
discutir aquí estas investigaciones, pero vamos a describir sucintamente un
experimento simple e instructivo, y nuestra descripción nos servirá a modo de
comentario sobre el método de análisis, o método de “volver atrás”…3
1.Tratemos de hallar la respuesta a la siguiente pregunta: ¿Cómo podríamos coger
de un río exactamente 6 cuartos de agua, si sólo disponemos de dos recipientes, uno
de 9 cuartos y otro de 4?
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 113
9
4
Figura 2
Observemos claramente las herramientas dadas con que hemos de trabajar los dos
recipientes.(¿Qué es dadas?) Imaginemos dos recipientes cilíndricos que tiene igual
base y cuyas alturas son como 9 es a 4, como en la figura 2. Si a lo largo de la
superficie lateral de cada recipiente hubiese una escala de líneas horizontales con la
misma separación, a partir de las cuales pudiéramos decir la altura del nivel del
agua, nuestro problema sería sencillo. Sin embargo, esta escala no existe y, por lo
tanto, estamos aún muy lejos de la solución.
No sabemos aún cómo medir exactamente 6 cuartos; pero ¿podríamos medir alguna
otra cosa? (Si no puede resolver el problema, trata de resolver primero algún
problema relacionado). Hagamos algo; demos unas pequeñas vueltas. Podríamos
llenar el recipiente en toda su capacidad y vaciar lo que pudiéramos dentro del
recipiente pequeño; entonces obtendríamos 5 cuartos. ¿Podríamos obtener también 6
cuartos? He aquí de nuevo los dos recipientes vacíos. Podríamos también ...
6
Figura 3
Estamos actuando como la hace la mayoría de la gente al enfrentarse con este
rompecabezas. Partimos de los dos recipientes vacíos, intentamos esto y aquello,
vaciamos y llenamos, y aunque no tengamos éxito, volvemos a empezar e
intentamos alguna otra cosa. Vamos hacia adelante, partiendo de la situación inicial
dada la situación final deseada, de los datos a lo desconocido. Accidentalmente,
después de muchos intentos podemos tener éxito.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 114
9
1
Figura 4
2.Pero la gente extraordinariamente capaz, o los que han tenido la suerte de
aprender en sus clases de matemáticas algo más que simples operaciones de rutina,
no gastan mucho tiempo en tales intentos, sino que dan media vuelta y empiezan a
trabajar hacia atrás.
¿Qué se nos pide que hagamos? (¿Cuál es la incógnita?) Analicemos la situación
final hacia la cual tendemos, tan claramente como sea posible. Imaginemos que
tenemos delante de nosotros el recipiente mayor, con exactamente los 6 cuartos
dentro de él, y el recipiente pequeño vacío, como en la figura 3. (Partamos de lo que
se nos pide y supongamos que hemos encontrado ya lo que buscamos, dice Pappus).
¿A partir de qué situación precedente podríamos obtener la situación final deseada
de la figura 3? (Investiguemos a partir de qué antecedentes podría derivarse el
resultado deseado, dice Pappus.) Podríamos llenar, por supuesto, el recipiente
mayor a plena capacidad, es decir, hasta 9 cuartos. Pero entonces tendríamos que ser
capaces de verter en él exactamente 3 cuartos. Para ello... ¡debemos tener
justamente un cuarto en el recipiente pequeño! Ésta es la idea (ver figura 4).
(El paso que hemos dado no es nada fácil. Pocas personas son capaces de realizarlo
sin muchas vacilaciones. De hecho, al reconocer la importancia de este paso,
prevemos un esquema de la solución siguiente.)
1
Figura 5
Pero ¿cómo podemos alcanzar la situación que acabamos de encontrar, ilustrada por
la figura 4? (Busquemos de nuevo cuál podría ser el antecedente de este
antecedente). Como la cantidad de agua en el río es, para nuestro propósito,
ilimitada, la situación de la figura 4 viene a ser lo mismo que la siguiente, de la
figura 5, o la siguiente, de la figura 6.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 115
1
Figura 6
Es fácil reconocer que si se obtiene cualquiera de las situaciones de la figuras 4, 5,
6, puede obtenerse igualmente bien cualquiera otra, pero no es fácil acertar con la
figura 6 , a no ser que la hayamos visto antes, por azar, en alguno de nuestros
intentos iniciales. Al jugar con nuestros dos recipientes, podemos haber hecho algo
similar, y recordar ahora, en el mome nto adecuado, que la situación de la figura 6
puede surgir tal como lo sugiere la figura 7: llenamos del todo el recipiente mayor y
vertemos cuatro cuartos en el recipiente menor y luego en el río, dos veces
consecutivas. Llegamos eventualmente sobre algo que ya conocíamos (éstas son las
palabras de Pappus) y, siguiendo el método del análisis, trabajando hacia atrás,
hemos descubierto la sucesión apropiada de las operaciones.
9
5
1
Figura 7
Es cierto, hemos descubierto la sucesión apropiada en orden inverso, pero todo lo
que nos falta hacer es invertir el proceso y partir del punto que hemos alcanzado en
último lugar en el análisis (como dice Pappus). Realizamos primero las operaciones
sugeridas por la figura 7 y obtenemos la figura 6; entonces pasamos a la figura 5,
luego a la figura 4 y, finalmente, a la figura 3. Siguiendo nuestros casos, logramos
finalmente derivar lo que se nos pedía.
3.La tradición griega atribuye a Platón el descubrimiento del método de análisis.
Puede ser que la tradición no sea del todo digna de confianza, pero, en cualquier
caso, si el método no fue inventado por Platón, algún letrado griego creyó necesario
atribuir su invención al genio filosófico.
Hay ciertamente en el método algo que no es superficial. Hay una cierta dificultad
psicológica en dar media vuelta, en alejarse de la meta, trabajar hacia atrás, en
seguir el camino directo hacia el fin deseado. Cuando descubrimos la sucesión de
las operaciones apropiadas, nuestra mente ha de proceder según un orden que es
exactamente el inverso de la realización en sí. Hay una cierta clase de repugnancia
psicológica en esta inversión del orden, que puede impedir a un estudiante
totalmente capaz comprender el método si no se le presenta cuidadosamente.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 116
Sin embargo, no se necesita un genio para resolver un problema concreto trabajando
hacia atrás; podemos hacerlo todo con un poco de sentido común. Nos
concentramos sobre el fin deseado, analizamos la posición final, en la que nos
gustaría encontrarnos. ¿A partir de qué posición precedente podríamos cons eguir
ésta? Es natural que nos hagamos esta pregunta, y al preguntarnos esto vamos
trabajando hacia atrás. Problemas muy primitivos pueden conducir naturalmente al
trabajo hacia atrás.
Trabajar hacia atrás es un procedimiento de sentido común, al alcance de cualquiera,
y apenas podemos dudar que no fuera practicado por algunos matemáticos y no
matemáticos antes de Platón. Lo que algún letrado griego puede haber considerado
como un logro digno del genio de Platón, es la formulación del procedimiento de
términos generales, y calificarla como una operación típicamente útil en la
resolución de problemas matemáticos y no matemáticos.
4.Volvamos ahora al experimento psicológico, si la transición desde Platón a perros,
gallos y chimpancés no es demasiado abrupta. Una valla forma tres lados de un
rectángulo, pero deja un cuarto lado abierto, como en la figura 8. Ponemos un perro
a un lado de la valla, en el punto D, y algo de comida en el otro, en el punto F. El
problema es muy fácil para el perro. Al principio puede esbozar el gesto de saltar
directamente sobre la comida, pero entonces da rápidamente media vuelta, se lanza
por el lado abierto de la valla y, corriendo sin vacilación, alcanza la comida
siguiendo una curva fácil. A veces, sin embargo, y especialmente cuando los puntos
D y F están cerca el uno del otro, la solución no es tan cómoda; el perro puede
algún tiempo ladrando, rascando o saltando contra la valla, antes de “tener la
brillante idea” (como diríamos) de dar la vuelta. Es interesante comparar la
conducta de varios animales, puestos en lugar del perro. El problema es muy fácil
para el chimpancé y un niño de cuatro años (para el cual un juguete puede ser un
señuelo más atractivo que la comida). El problema, sin embargo, resulta
sorprendentemente difícil para un gallo, que corre excitado arriba y abajo de la valla
y puede pasar mucho tiempo antes de conseguir la comida, si es que la consigue.
Pero, después de mucho correr, puede lograrlo accidentalmente.
F
D
Figura 8
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 117
5.No tendríamos que construir una gran teoría sobre un experimento tan simple
como el que acabamos de describir esquemáticamente. No obstante, sería indicado
notar algunas analogías obvias, siempre que estemos preparados para volverlas a
comprobar y evaluar.
Lo que hacemos al resolver cualquier tipo de problema, es dar la vuelta a un
obstáculo; el experimento tiene una especie de valor simbólico. El gallo actuó como
las personas que resuelven su problema por chiripa, intentándolo una y otra vez y
teniendo éxito eventualmente, gracias a algún feliz accidente, sin una visión de las
razones de su éxito. El perro que rascaba y saltaba y ladraba antes de dar la vuelta,
resolvió su problema tan bien como hicimos nosotros con los dos recipientes.
Imaginar una escala que mostrara el nivel de agua en nuestros recipientes, fue una
especie de rascado casi inútil, que mostró solamente que lo que buscábamos estaba a
más profundidad bajo la superficie. Primero intentamos también trabajar hacia
adelante, y llegamos después a la idea de volver atrás. El perro, que después de una
breve inspección de la situación, dio media vuelta y se lanzó fuera, nos da, de una
manera cierta o equivocada, la impresión de una visión superior.
No; no tenemos por qué criticar al gallo por su zafiedad. Hay un cierta dificultad en
dar la vuelta, en alejarnos de nuestra meta, en seguir sin ver continuamente nuestro
objetivo, en no adoptar el camino directo hacia el fin deseado. Hay una analogía
obvia entre sus dificultades y nuestras dificultades.
8. Programación lineal
por John Allen Paulos
La programación lineal es un método para maximizar (o minimizar) una cierta
cantidad asegurando al mismo tiempo que se cumplen ciertas condiciones sobre
otras cantidades. Generalmente estas condiciones son lineales (sus gráficas son
líneas rectas), de ahí el nombre de la disciplina: programación lineal. Es una de las
técnicas más útiles de la investigación de operaciones, que es como se conoce el
conjunto de instrumentos matemáticos desarrollados después de la segunda guerra
mundial para mejorar el rendimiento de los sistemas económicos, industriales y
militares, y desde entonces se ha convertido en un ingrediente habitual de los cursos
de matemáticas de las escuelas de formación empresarial.
En vez de seguir invocando inexpresivos términos matemáticos para aclarar su
significado, lo ilustraremos reflexionando sobre un simple cálculo del punto muerto.
Un pequeño taller fabrica sillas metálicas (o artefactos si prefiere las formulaciones
genéricas). Sus costos son 5000 pesos (en bienes de equipo, por ejemplo) y 187.5
pesos por cada silla producida. Así pues, el costo total t que tiene el taller viene
dado por la fórmula t = 187.5x + 5000, donde x es el número de sillas producidas. Si
suponemos además que el precio de venta de estas sillas es de 312.5 pesos la pieza,
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 118
los ingresos totales R del taller vienen dados por la ecuación R = 312.5x, donde x es
el número de sillas vendidas.
Representando ambas ecuaciones sobre el mismo par de ejes coordenados,
encontramos que se cortan en un punto en el cual los costes y los ingresos son
iguales. El punto muerto, o de beneficio cero, es el (40, 12500 pesos), de modo que
si se venden menos de 40 sillas, los costos superan los ingresos; si se venden más,
los ingresos superan los costos; y si se ve nden exactamente 40 sillas, tanto los
ingresos como los costos son 12500 pesos. Maximizar los beneficios en este caso se
reduce a vender tantas sillas como sea posible. (Para obtener algebraicamente el
punto de beneficio cero, 40, se resta la ecuación y = 187.5x + 5000 de la y = 312.5x.
La ecuación resultante, 0 = 125x - 5000, se resuelve fácilmente y da x = 40.)
yalmohadas baratas
(0,500)
(0,300)
(50,250)
(142.86,157.14)
(50,50)
(187.5,50)
(300,0)
x
(208.33,0
almohadas caras
La región sombreada satisface todas las desigualdades
Después de este preliminar, consideremos el siguiente problema, que es un caso
auténtico de programación lineal. Sin dejar las aplicaciones de la economía,
supondremos que una empresa fabrica dos tipos de colchones. Producir un colchón
caro cuesta 1200 pesos y se vende a 3000 pesos, mientras que uno barato cuesta 500
pesos y se vende a 1800 pesos. La compañía no puede fabricar más de 300
colchones al mes y no puede gastar más de 250000 pesos al mes en su producción.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 119
Si la compañía ha de fabricar al menos 50 colchones de cada tipo ¿cuántos ha de
fabricar de cada clase para maximizar sus beneficios?
Si llamamos x al número de colchones caros que la compañía fabrica cada mes y y
al de colchones caros, podemos convertir las condiciones sobre x y y al de colchones
caros, podemos convertir las condiciones sobre x e y del problema en:
x + y = 300;
x = 50;
y = 50; y
1200X + 500 y = 250000.
La última desigualdad se debe a que si fabricar un colchón caro cuesta 1200 pesos,
producir x costará 12000x pesos; y análogamente, hacer y colchones baratos costará
500y pesos. Obsérvese que estas condiciones se expresan como desigualdades
lineales, cuyas gráficas son regiones del plano delimitadas por líneas rectas (o, en
problemas más complicados, por sus análogos en espacios de más dimensiones).
La cantidad que hay que maximizar es el beneficio, que en términos de x y y vale
P = 1800 x + 1300 y. Esto es así porque el beneficio que se tiene por cada colchón
caro es de 1800 pesos (3000 pesos –1200 pesos), y por cada colchón barato 1300
pesos (1800 pesos –500 pesos), con lo que x de las primeras dan un beneficio de
1800 x pesos, y y de los segundos dan 1300 y pesos. Una vez que tenemos el
problema planteado así, hay varias técnicas para hallar la solución. Una es gráfica y
consiste en encontrar los vértices y los lados de la región permitida –la parte del
plano en la que son válidas todas las desigualdades– y luego probarlas para
encontrar en cuál de ellas se tiene el máximo beneficio. Con este método, y un poco
de geometría analítica, descubrimos que la compañía de colchones debería fabricar
143 colchones caros y 157 baratos al mes si quiere obtener el máximo beneficio.
Otra técnica, llamada método simplex debida al matemático estadounidense George
Danzig, desarrolla y formaliza esta estrategia geométrica de modo que una
computadora pueda examinar rápidamente estos puntos en el caso de que haya más
de dos variables. El método simplex se ha usado durante más de cuarenta años y ha
ahorrado una cantidad enorme de tiempo y dinero. Sin embargo, si el problema de
optimación tiene varios miles de variables y desigualdades lineales, como ocurre por
ejemplo al establecer el horario de unas líneas aéreas o las trayectorias de las
llamadas telefónicas, la comprobación puede ser un poco lenta, incluso para una
computadora. Para estos casos existe un algoritmo, inventado por Narenda
Karmarkar, investigador de los AT&T Bell Laboratories, que a menudo es más
rápido en la determinación del horario más eficaz o la trayectoria más corta.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 120
Cuando las condiciones no son lineales, los problemas son mucho más difíciles de
tratar. Me es grato informarles que los problemas de programación no lineal
frecuentemente colapsan las computadoras más potentes.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 121
6. Autoevaluaciones
6. Autoevaluaciones
Introducción
Ya sabemos de qué se trata la autoevaluación: Comprobar uno mismo su avance en la
adquisición de conocimiento y habilidades. Y esto de la evaluación no podía faltar en este
material.
La autoevaluación no es algo que desconozcamos. Cuando aprendimos a andar en bicicleta o
en patines no fue necesario que alguien nos dijera que ya lo habíamos logrado. Cuando
todavía nos caíamos y sufríamos uno que otro raspón, sabíamos dos cosas: una, todavía no
lográbamos dominar el arte de andar sobre ruedas y, la segunda, para lograrlo debíamos
seguir practicando.
Hay ocasiones en que nuestra autoevaluación es complaciente. Encontramos motivos para
justificar nuestras deficiencias y en lugar de trabajar para superarlas, nos paralizamos con la
justificación que damos.
También llega a ocurrir que en la escuela la autoevaluación queda casi olvidada. Tal vez el
saber que periódicamente debemos ser evaluados por nuestros profesores nos lleva a
olvidarnos de la evaluación propia. Pero si lo que aprendemos en la escuela nos va a ser útil
para nuestras diversas actividades dentro y fuera de ella, la autoevaluación es necesaria, pues
de otra forma siempre estaremos esperando hasta que alguien nos diga que ya somos
competentes en algo para atrevernos a usarlo. Lamentablemente esto pasa con cierta
frecuencia en matemáticas. Esperamos que el profesor nos diga no sólo que ya dominamos un
tema sino además cuándo podemos usarlo.
En este material te proporcionamos por cada unidad un cuestionario para que te sirva como
autoevaluación. No es, desde luego, la única forma de autoevaluarte, tú mismo puedes diseñar
otras. De este cuestionario se dan las respuestas para que las compares con las tuyas.
Unas observaciones finales sobre estos cuestionarios:
• No los desperdicies intentando trabajarlos antes de que hayas concluido el estudio de una
unidad.
• No resuelvas por partes cada cuestionario. Cuando decidas resolver uno de ellos es porque
dispones del tiempo y condiciones necesarias para resolverlo completo.
• No consultes la respuesta una por una, justo cuando acabas de resolver o responder lo que
se te pide, termina el cuestionario y luego compara los resultados.
• Trata de no ser complaciente cuando encuentras errores en tus respuestas. No basta que
digas que ya te diste cuenta de tus errores. Es necesario que sigas trabajando y confirmar
al hacerlo o practicarlo que ya lograste adquirir los conocimientos o habilidades
requeridas.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 123
Autoevaluación de la Unidad 1
1. Escribe una explicación acerca del orden en que deben realizarse las operaciones para
alguien que lo ignora.
2. Un microsegundo es una millonésima de segundo.
Un nanosegundo es 10-9 segundo = 0.000000001 de segundo.
¿Cuántos nanosegundos tiene un microsegundo?
Un micromicrosegundo es 10-12 segundo.
¿Cuántos micromicrosegundos tiene un nanosegundo? ¿y un microsegundo?.
3. Representa las operaciones que se indican. Simplifica sólo cuando se te pide.
1.Toma el número 6
2.Elévalo al cuadrado
3.Toma el número –1
4.Elévalo al cubo
5.Multiplica las potencias (2) y (4)
6.Toma el número 3
7.Elévalo a la cuarta potencia
8.Multiplica el resultado por –1
9.Resta al producto (5) el producto (8)
10.Simplifica, expresando el resultado como un
número entero
4. Expresa algebraicamente las siguientes proposiciones:
1.Toma un número no determinado
2.Multiplícalo por –1
3.Toma otro número no determinado
4.Multiplícalo por –2
5.Multiplica los productos (2) y (4)
6.Multiplica el producto obtenido (5) por el cuadrado
de un tercer número
7.Ordena los factores, en caso necesario, y expresa el
resultado en la forma más compacta posible
8. Eleva todo el término al cubo
5. Escribe las expresiones siguientes usando sólo exponentes positivos.
6q 2
=
p −3
w −3 z 2 =
14a −6
=
3b −3
1
=
3 z − 2n
(3x )
5m −3
=
(2 n) −4
−5 3
=
6. Efectúa las operaciones y simplifica los resultados.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 124
(− 3z )5
(− 10x )
=
4 2
(− m n p )(− m n )
3
2
5
3
2 3
=
(− 3x )(10 xy )(− 7 y ) =
=
2
(− 3z w)
(− 2 z w )
3
(2 pq )6 (3 p −2 q −1 )2 =
− 8m n
=
16m 3n 5
6
3
2
2 3
=
7. Un grupo musical firmó un contrato para grabar un disco por 1.2 millones de pesos y el
15% de los ingresos brutos por la venta de discos, casetes y dvd con los videoclips. El
grupo lo integran seis jóvenes y sus ingresos se distribuyen en partes iguales. Los precios
al público son disco: $135, casete: $69 y dvd: $247.
En el primer mes se vendieron 23251 discos, 33892 casetes y 5179 dvd, el grupo recibirá
un total de:
Si se venden p discos, q casetes y r dvd, la fórmula que da las ganancias del grupo es:
En el caso del inciso a) a cada integrante le corresponde
En el caso del inciso b) a cada integrante le corresponde
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 125
Autoevaluación de la Unidad 2
1. Escribe un ensayo breve sobre los algoritmos algebraicos.
2. Lo único que sabe de dos cantidades A y B es que :
-A está entre 13.5 y 13.7
-B está entre 7.9 y 8.1
¿Entre que valores se encuentran los siguientes resultados ?:
a) A+B
b) AB
c) A/B
d) (A+B)/(A-B)
3. Escribe en el paréntesis el término que hace que cada proposición sea verdadera.
a) (a-7) (a+7) = a2 - (
b) (m2 -3n) (m2 +3n) = (
)
c) (y+3) (y+7) = y2 + (
) – 9n2
d) (3p-1) (3p+7) = 9p2 + (
) +21
)+(
4. Dados dos círculos con el mismo centro, halla una expresión algebraica
para el área de la parte sombreada.
Simplifica la expresión tanto como sea posible
Utiliza la expresión para obtener el área de la parte sombreada si
x = 10.125
)
4
x
5. La expresión x2 – y2 representa la diferencia del cuadrado de dos números. Describe las
expresiones siguientes de manera similar:
a) La expresión (x - y)2 representa:
b) La expresión x3 + y2 representa:
c) La expresión (2x-3y)2 representa:
6. Efectúa las operaciones y simplifica las expresiones siguientes:
(
a) (2 pq )7 3 p −2 q −1
)
3
=
b)
− 7m 5 n
=
14m 2 n 6
(− 2 z w)
(− 3zw )
3
c)
2
2 3
7. Representa por medio de figuras las siguientes identidades algebraicas:
a) (x+3)(x-2) = x2 + x – 6
b) (a-b)(2a-b) = 2a2 - 3ab + b2
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 126
=
8. Si tenemos un cuadrado de lado 3x, su área es igual a (3x) 2 , es decir 9x2 . Si se duplica su
lado el área será:
9. Si tenemos un cubo de arista 2x, su volumen es igual a (2x) 3 , es decir 8x3 . Si se duplica su
arista el volumen será:
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 127
Autoevaluación de la Unidad 3
1. Escribe un ensayo breve sobre el modelo lineal. Incluye por lo menos un mapa conceptual.
2. ¿Cuál es la diferencia entre una identidad y una igualdad?
3. Escribe en el paréntesis el término que hace que cada proposición sea verdadera.
a) (a - 7) ( a + 7 ) = a2 - (
)
b) (m2 - 3n) (m2 + 3n) = (
c) (y + 3) (y + 7) = y2 + (
) + 21
d) (3p - 1) (3p + 7) = 9p2 + (
e) 3p + 18 = 3((
g) 9 - p2 = (3 + (
)+(
))
)) ((
f) 15yz + 5y2 z2 = (
) - p)
h) 49m6 - 64n4 = ((
))
) – 9n2
)+( )
) (3 + yz)
) + 8n2 ) ((
)-(
4. Para cada una de los siguientes incisos, redacta un problema cuyo planteamiento conduzca
a la ecuación indicada.
a) 127.50x + 235 =1000
b) 2(x − 35) = 330
c) 5 x +125 = 3x +395
5. Valentina pasó por el Auditorio Nacional de la Ciudad de México, cuando los hombres
salían del espectáculo, les grito a éstos. ¡Adiós esos cien galantes mancebos!, ellos le
contestaron, no somos cien, pues el doble de nosotros, más la cuarta parte de nosotros,
más tú, Valentina, somos ese número. Valentina se preguntó ¿Cuántas mancebos habrá a
la salida del espectáculo?
6. Un hombre de negocios separa al principio de cada año $1,000,000.00 para los gastos del
año y aumenta su capital en un tercio. Al cabo de tres años tiene el doble de su capital:
¿Cuál era su capital inicial al empezar el primer año?
7. Representa algebraicamente las expresiones siguientes:
a) Un número no determinado disminuido en 17:
b) La diferencia de tres veces el cuadrado de un número no determinado y
5 es once:
c) Si m es un entero impar, el entero impar que le sigue es:
8. Dos tinacos del mismo volumen se vacían uniformemente, mediante llaves de diferente
tamaño, de tal manera que uno de ellos queda vacío en 5 horas en tanto que el otro
requiere de 8 horas.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 128
y
Volumen en litros
500
x
1
2
3
4
5
6
7
8
Tiempo en horas
a) ¿Cuál es la gráfica y la ecuación que corresponde a cada tinaco? Explica con
palabras lo que representa cada una de ellas.
b) ¿Cuál es la pendiente de cada una? Explica el significado de la pendiente en
términos de la situación.
c) ¿En qué instante tiene uno de los tinacos el doble del agua que el otro?
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 129
Autoevaluación de la Unidad 4
1. Escribe un ensayo breve sobre el modelo cuadrático. Incluye por lo menos un mapa
conceptual.
2. Calcula la altura h de un triángulo cuya área es 162 cm2 y su base es (2h+3) cm.
3. Un cultivador de naranjas se da cuenta de que obtiene una producción promedio de 40
fanegas por árbol cuando planta 200 de ellos en una hectárea de terreno. Cada vez que
añade diez árboles a la hectárea, la producción por árbol desciende en una fanega, a causa
del congestionamiento. ¿Cuántos árboles por hectárea deberá plantar para optimizar la
producción?
4. Escribe en el paréntesis el término que hace que cada proposición sea verdadera
a) (a - 5b) (a + 5b) = a2 - (
)
c) (z - 8) (z + 9) = z2 + (
) - 72
e) 14p + 49 = 7 ((
))
)+(
g) 8az + a2 z3 = (
) (8 + az2 )
b) (2m3 - n) (2m3 + n) = (
) – n2
d) (3p - 5) (3p + 8) = 9p2 + (
f) 4 - p2 = (2 + (
)+(
)) ((
h) 81m8 - 25n6 = ((
))
)
) - p)
) + 5n3 ) ((
)-(
5. Escribe las soluciones de cada ecuación. Comprueba tus resultados.
(x + 8) (x - 5) = 0
w2 + 3w –18 = 0
2x2 - 3x – 14 = 0
6. El círculo A tiene 16 cm de diámetro y el círculo B tiene 24 cm de diámetro.
La razón del radio del círculo B al radio del círculo A es:
La razón del perímetro del círculo B al perímetro del círculo A es:
La razón del área del círculo B al área del círculo A es:
7. El Subcomandante Rodolfo acostumbra subir y bajar corriendo dos escaleras eléctricas de
20 m de longitud cada una, desplazándose una hacia arriba y otra hacia abajo, en 15
segundos. Si se mantuviese quieto en una de las escaleras, en 20 segundos se encontraría
en el otro extremo de ella. Cuando las escaleras no funcionan, ¿en cuánto tiempo subirá y
bajará por ellas?
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 130
8. La curva siguiente es una parábola:
y
-5
5
x
-10000
a) ¿Cuál es la ecuación que corresponde a esta gráfica?
b) Escribe un algoritmo que sirva para resolver el problema ‘Dada la gráfica de una
parábola encuentra su ecuación’.
c) Escribe un algoritmo que sirva para resolver el problema ‘Dada la ecuación de una
parábola encuentra su vértice’
d) Traza sobre los mismos ejes la gráfica de y = -1500x - 4000.
e) Encuentra los puntos de intersección de ambas gráficas.
f) Traza sobre los mismos ejes la gráfica de y = 200(x2 -3x-40).
g) Encuentra los puntos de intersección de la recta y esta parábola.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 131
Autoevaluación de la Unidad 5
1. Describe prolijamente dos estrategias de resolución de problemas que hayas usado con
provecho.
2. Supongamos que estás iniciando un pequeño negocio con una inversión inicial de $500. El
costo unitario del producto es de $21.60 y el precio de venta es de $34.10. ¿Cuántas
unidades debes vender para alcanzar el equilibrio?
3. Un industrial necesita obtener una mezcla de un ácido al 50%. Tiene 10 litros de una
solución al 70%, ¿cuántos litros necesita de una solución al 40% para cons eguir la mezcla
que necesita?
4. Encuentra el valor de k para que la gráfica de y = 2x + k sea tangente a la circunferencia
x2 + y2 = 25.
5. Encuentra el valor de k para que la gráfica de y = 2x + k toque, pero no cruce (sea
tangente) a la gráfica de la parábola y=x 2 +1.
6. Escribe en el paréntesis el término que hace que cada proposición sea verdadera.
a) 8q + 18 = 2((
c) 75xyz + 5y2 z2 = (
)+(
))
)(15x + yz)
b) 169 - p2 = (3 + (
d) 121m8 -9n6 =((
))((
)+3n3 )((
)-p)
)-(
))
7. Escribe las soluciones de cada sistema de ecuaciones. Comprueba tus resultados y grafica
y = 3x2 +6
1
a)
y+ = 7
b)
x
y+x=1
2 y + 3x = 4
0.2x2 –0.3x= y+7
c)
xy = 6
d)
0.7x – 0.03x2 =2y
5x – 6y = 3
8. Yago, un carpintero, hace y vende ‘x’ sillas en una semana, el costo de la madera que
emplea en la fabricación de cada silla es de 130 pesos, además gasta en la renta del local y
otros costos fijos 1500 pesos semanales. El precio de venta de cada silla es de 700 pesos
semanales. Escribe una expresión algebraica que dé, en función del número de sillas
fabricadas y vendidas:
a) Los costos totales ‘yc’ de la semana
b) Los ingresos ‘yi’ de la semana.
c) La ganancia ‘yg ’ de la semana
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 132
d) Calcula el número de sillas que debe producir y vender para obtener una ganancia de
$20000 o más en una semana
e) Calcula su ganancia por cada peso invertido cuando produce y vende 12 sillas en una
semana.
9. Las curvas siguientes son parábolas:
y
60
y2
50
40
y1
30
20
10
y3
x
-5
5
-10
-20
-30
a)
b)
c)
d)
e)
-40
¿Cuál es la ecuación que corresponde a cada gráfica?
Encuentra los puntos de intersección de cada par de gráficas.
Traza sobre los mismos ejes la gráfica de y = -4x+20.
Encuentra los puntos de intersección de esta recta con cada parábola.
Escribe un algoritmo que sirva para resolver el problema ‘Dadas las gráficas de una
parábola y una recta encuentra exactamente sus puntos comunes’.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 133
10
Autoevaluación de la Unidad 6
1. ¿Para qué sirven los teoremas del factor y del residuo?
2. Grafica y = x 3 - 3x2 - x + 3.
3. La fórmula para obtener la resistencia equivalente a dos resistencias en paralelo es
1
1
1
=
+
R t R1 R 2
a) despeja R1
b) Si Rt =50 y R2 =100, determina R1
4. Si un objeto se encuentra por encima de la superficie de la tierra, su peso varía
inversamente con el cuadrado de la distancia del cuerpo al centro de la tierra. Si una
persona pesa 80 kg. en la superficie terrestre, ¿cuál será su peso 2000 km arriba de la
superficie? Suponga que el radio de la tierra es de 6500 km.
5. Escribe las soluciones de cada uno de los siguientes problemas
a) Comprueba que x 2 + 1 es un factor de f(x) = x3 - 2x2 + x -2, ¿Se puede deducir de
ahí que f(-1) = 0 ?
b) La velocidad del tren X es 14 Km/h más rápida que la del tren Y. El tren X recorre
400 Km en el mismo tren que el tren Y recorre 330 Km. Calcula la velocidad de
cada uno de los trenes.
6. Lewis Carroll, autor del libro "Alicia en el País de las Maravillas", propone un problema
cuyo enunciado es:
Una limonada, tres sandwiches y siete bizcochos cuestan un chelín y dos peniques,
mientras que una limonada, cuatro sandwiches y diez bizcochos valen 1 chelín y 5
peniques. Sabiendo que un chelín equivale a 12 peniques, hallar el precio de:
a) una limonada, un sandwich y un bizcocho,
b) dos limonadas, tres sandwiches y cinco bizcochos
7. Tres máquinas limpiadoras A, B y C, trabajando juntas, realizan la limpieza de unos
grandes almacenes en 8 horas. Si se estropea A, entonces B y C realizan el trabajo en 12
horas; pero si se estropean A y B, la máquina C realiza el trabajo en 18 horas.
a) ¿Cuánto tiempo tardan, por separado, en realizar el trabajo las máquinas A y B?
b) Sabiendo que en una hora, la máquina A limpia 72 m2 de superficie, ¿cuál es la
superficie total de los grandes almacenes?
c) ¿Cuántos m2 limpia por hora cada una de las máquinas B y C?
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 134
8. Una compañía de discos estima que podrá vender siete mil álbumes de una nueva versión
de “Don Giovanni” de Mozart-Da Ponte a $450 cada álbum. Por cada reducción de $10
en el precio por álbum, calcula que venderá 200 álbumes más. A la compañía cada
álbum le cuesta $150 y sus costos fijos son de $200000.
a) Calcula los costos, ingresos, ganancia y ganancia por peso invertido en los casos
siguientes
Número de
Costos
Ingresos
Ganancia
Ganancia por cada
incrementos
peso invertido
de $10 en el
precio por
álbum
0
1
2
3
4
b) Grafica la ganancia versus el número de incrementos de $10 en el precio por álbum.
c) Establece la fórmula que da la ganancia por cada peso invertido en función del
número de incrementos.
d) Traza la gráfica de la ganancia por cada peso invertido
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 135
Autoevaluación de la Unidad 1 (Respuestas)
2. Un microsegundo tiene mil nanosegundos, es decir, 1*10-6 = 1000*10-9
Un nanosegundo tiene mil micromicrosegundos, es decir, 1*10 -9 = 1000*10-12
Un microsegundo tiene un millón de micromicrosegundos, es decir, 1*10 -6 =
1000000*10-12
3. Representa las operaciones que se indican. Simplifica sólo cuando se te pide.
1.Toma el número 6
2.Elévalo al cuadrado
3.Toma el número –1
4.Elévalo al cubo
5.Multiplica las potencias (2) y (4)
6.Toma el número 3
7.Elévalo a la cuarta potencia
8.Multiplica el resultado por –1
9.Resta al producto (5) el producto (8)
10.Simplifica, expresando el resultado como un
número entero
6
62
–1
(–1)3
62 *(–1)3
3
34
(–1)* 34
62 *(–1)3 – (–1)* 34
–36 – (–81) = 45
4. Expresa algebraicamente las siguientes proposiciones:
1.Toma un número no determinado
2.Multiplícalo por –1
3.Toma otro número no determinado
4.Multiplícalo por –2
5.Multiplica los productos (2) y (4)
6.Multiplica el producto obtenido (5) por el cuadrado
de un tercer número
7.Ordena los factores, en caso necesario, y expresa el
resultado en la forma más compacta posible
8. Eleva todo el término al cubo
x
(–1)*x
y
(–2)*y
((–1)*x)( (–2)*y)
((–1)*x)( (–2)*y)*z2
2xyz2
(2xyz2 )3
5. Escribe las expresiones siguientes usando sólo exponentes positivos.
6q 2
2 3
= 6q p
−3
p
w −3 z 2 =
1
z 2n
=
3
3z − 2 n
(3x )
−5 3
=
z2
w3
27
x15
14 a −6 14b 3
=
3b −3
3a 6
5 m −3
80n 4
=
(2n )−4 m 3
6. Efectúa las operaciones y simplifica los resultados.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 136
(− 10x )
(− 3z )5 = -243z5
4 2
(− m n p )(− m n )
3
2
5
2 3
3
= 100x
8
(− 3 x )(10 xy )(− 7 y ) = 210x3 y2
12 8 5
=m n p
2
(− 3z w )
(− 2 z w )
3
(2 pq)
6
(3 p
−2
q
)
−1 2
− 8m n
m
=− 4
3 5
2n
16m n
6
= 576p q
2 4
3
3
2
2 3
=−
9
8 z 3 w4
7.
a) En el primer mes se vendieron 23251 discos, 33892 casetes y 5179 dvd, por lo
que el grupo recibirá 1.2 millones de pesos más 1013496.9 pesos, que
corresponde al 15% de los ingresos brutos, es decir un total de 2213496.9 pesos.
b) Los ingresos que obtiene el grupo son yg = 1200000 + 0.15(135p + 69q + 247r)
c) Los ingresos que obtiene cada integrante del grupo son
1200000 + 0.15(135p + 69q + 247r)
yi =
6
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 137
Autoevaluación de la Unidad 2 (Respuestas)
2.
a)A+B estará entre 21.4 y 21.8
b) AB estará entre 106.65 y 110.97
c) A/B estará entre 1.67 y 1.73
d) (A+B)/(A-B) estará entre 3.69 y 4.04
3. Escribe en el paréntesis el término que hace que cada proposición sea verdadera.
a) (a-7) (a+7) = a2 - ( 49 )
b) (m2 -3n) (m2 +3n) = ( m4 ) – 9n2
c) (y+3) (y+7) = y2 + ( 10y ) +21
d) (3p-1) (3p+7) = 9p 2 + (18p ) + ( -7 )
4. El área de la parte sombreada es p[x2 – (x-4)2 ]= (8x-16) p.
Si x=10.125, el área es 65 p.
5.
a) La expresión (x - y)2 representa el cuadrado de la diferencia de dos números.
b) La expresión x3 + y2 representa la suma del cubo de un número y el cuadrado de
otro.
c)
6.
La expresión (2x-3y) 2 representa el cuadrado de la diferencia del doble de un
número y el triple de otro.
Efectúa las operaciones y simplifica las expresiones siguientes:
7
a) (2 pq) (3 p −2 q −1 ) = 3456pq 4 b)
3
− 7 m5 n
m3
=
−
14 m 2 n 6
2n 5
(− 2 z w)
c)
(− 3zw )
3
2
2 3
7. Representa por medio de figuras las siguientes identidades algebraicas:
a) (x+3)(x-2) = x2 + x – 6
b) (a-b)(2a-b) = 2a2 - 3ab + b2
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 138
=−
4z3
27 w 4
A x2 se le suma 3x y se le restan 2x y 3*2,
es decir x2 +x-6:
A 2a*a se le restan a*b y 2a*b y se le suma
b*b, es decir, 2a2 -3ab+b 2
8. Si tenemos un cuadrado de lado 3x, su área es igual a (3x) 2, es decir 9x2 . Si se duplica
su lado el área será (2*3x) 2 =36x2
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 139
9. Si tenemos un cubo de arista 2x, su volumen es igual a (2x) 3, es decir 8x3 . Si se duplica
su arista el volumen será (2*2x) 3 =64x3 .
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 140
Autoevaluación de la Unidad 3 (Respuestas)
2. ¿Cuál es la diferencia entre una identidad y una igualdad?
Una identidad es una igualdad que se verifica para todos los valores de las variables,
otro tipo de igualdad es la ecuación que no se verifica para todos los valores de las
variables. Un ejemplo de identidad es 2x+3x=5x, que se verifica para cualquier valor de
x. Un ejemplo de ecuación es 2x+3=5, que sólo se verifica cuando x=1.
3. Escribe en el paréntesis el término que hace que cada proposición sea verdadera.
a) (a - 7) ( a + 7 ) = a2 - ( 49 )
b) (m2 - 3n) (m2 + 3n) = ( m4 ) – 9n2
c) (y + 3) (y + 7) = y2 + ( 10y ) + 21
d) (3p - 1) (3p + 7) = 9p2 + ( 18p ) + ( -7 )
e) 3p + 18 = 3(( p ) + ( 6 ))
f) 15yz + 5y2 z2 = ( 5yz ) (3 + yz)
g) 9 - p2 = (3 + ( p )) (( 3
) - p)
h) 49m6 - 64n4 = (( 7m3 ) + 8n2 ) (( 7m3 ) - ( 8n2
))
x
+1=100, hay entonces 44 jóvenes.
4
6. Su capital inicial, al empezar el primer año, era de 11100000 pesos. Así, al final
del primer año tenía 13800000, de l segundo 17400000 y del tercero 22200000, que es el
doble de su capital original.
5. 2x+
7. Representa algebraicamente las expresiones siguientes:
a) x-17
b) 3x2 -5=11
c) m+2
8. Dos tinacos del mismo volumen se vacían uniformemente, mediante llaves de diferente
tamaño, de tal manera que uno de ellos queda vacío en 5 horas en tanto que el otro
requiere de 8 horas.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 141
a)
Al tinaco que se vacía en 5 horas le corresponde la gráfica que contiene el punto
(5,0) y la ecuación y= -100x+500. La gráfica representa el proceso de vaciado
del tinaco, cada punto del segmento de recta informa del tiempo transcurrido
desde que comenzó el proceso y el volumen de agua que hay en el tinaco en ese
instante. El proceso comienza con (0,500), es decir, cuando el tinaco contiene
500 litros y concluye con (5,0), es decir 5 horas después, cuando el tinaco está
vacío. Las parejas de números (x,-100x+500) satisfacen la ecuación y
representan el tiempo x y el volumen de agua correspondiente durante el
proceso de vaciado.
Al tinaco que se vacía en 8 horas le corresponde la gráfica que contiene el
125
punto (8,0) y la ecuación y= x+500.
2
b)
Las pendientes son –100 y –62.5 y representan el volumen de agua que sale de
cada tinaco en una hora.
c)
40
horas en el tinaco que se vacía en 8 horas hay
11
3000
1500
litros y en el otro hay
litros.
11
11
Cuando han transcurrido
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 142
Autoevaluación de la Unidad 4 (Respuestas)
2. La altura del triángulo es h=12 cm.
3. Debe plantar 30 árboles por hectárea para que la producción sea óptima. Así se
producirían 9000 fanegas.
4. Escribe en el paréntesis el término que hace que cada proposición sea verdadera
a) (a - 5b) (a + 5b) = a2 - ( 25b2 )
c) (z - 8) (z + 9) = z2 + (
z
) - 72
b) (2m3 - n) (2m3 + n) = ( 4m6 ) – n2
d) (3p - 5) (3p + 8) = 9p2 + ( 9p ) + (-40 )
e) 14p + 49 = 7 (( 2p ) + ( 7 ))
f) 4 - p2 = (2 + ( p )) (( 2 ) - p)
g) 8az + a2 z3 = ( az ) (8 + az2 )
h) 81m8 - 25n6 = (( 9m4 ) + 5n3 ) (( 9m4 )-( 5n3 ))
5. Escribe las soluciones de cada ecuación. Comprueba tus resultados.
2x2 - 3x – 14 = 0
(x + 8) (x - 5) = 0
w2 + 3w –18 = 0
x1 = -2
x1= 5
w1 = 3
7
x2= -8
w2 = -6
x2 =
2
6.
La razón del radio del círculo B al radio del círculo A es 3 a 2.
La razón del perímetro del círculo B al perímetro del círculo A es 3 a 2.
La razón del área del círculo B al área del círculo A es 9 a 4.
7.
Si se supone que Rodolfo sube por las escaleras que suben y baja por las que bajan,
entonces tarda 24 segundos en subirlas y bajarlas cuando las escaleras no funcionan.
Si se supone que Rodolfo baja por las escaleras que suben y sube por las que bajan,
entonces tarda 10.9 segundos en subirlas y bajarlas cuando las escaleras no funcionan.
8.
a) La ecuación que corresponde a la gráfica es y = 300x2 + 900x – 12000.
b) Un algoritmo para resolver el problema ‘Dada la gráfica de una parábola encuentra
su ecuación’:
(1) Lee las coordenadas de tres puntos que pertenezcan a la gráfica.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 143
(2) Sustituye cada pareja de coordenadas en la ecuación y = ax2 + bx + c, de tal
manera que obtengas tres ecuaciones con tres incógnitas, a, b, y c.
(3) Resuelve el sistema formado por las tres ecuaciones del punto (2).
(4) Sustituye los valores de a, b y c que obtuviste en la ecuación y = ax2 + bx +
c.
c) Un algoritmo para resolver el problema ‘Dada la ecuación de una parábola encuentra
su vértice’:
(1) Escribe la ecuación en la forma y = ax2 + bx + c.
(2) Encuentra las abscisas de los puntos de intersección de la parábola con la
recta y = c.
(3) Calcula la abscisa del punto medio de las abscisas que obtuviste en el punto
(2).
(4) Sustituye la abscisa en y = ax2 + bx + c para obtener la ordenada del vértice
de la parábola.
d) y f) Las gráficas de y = -1500x – 4000, y = 200(x2 -3x-40).
12000.0
9000.0
6000.0
3000.0
-11.0 -10.0 -9.0
-8.0
-7.0
-6.0
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
-3000.0
-6000.0
-9000.0
-12000.0
e) Las coordenadas de los puntos de intersección de la parábola y la recta son
aproximadamente (-10.5, 11798) y (2.5, -7798).
g) Las coordenadas de los puntos de intersección de la recta y la segunda parábola
son aproximadamente (-7.3, 6884) y (2.8, -8134).
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 144
8.0
9.0
10.0
Autoevaluación de la Unidad 5 (Respuestas)
2. Se deben vender 40 unidades para alcanzar el equilibrio.
3. El industrial necesita 20 litros de la solución de ácido al 40%.
4. Hay dos valores de k, 5 5 y − 5 5 , que hacen la gráfica de y = 2x + k tangente a la
circunferencia x 2 + y2 = 25.
5. El valor de k =0 hace que la gráfica de y = 2x + k toque, pero no cruce (sea tangente) a
la gráfica de la parábola y=x 2 +1.
6. Escribe en el paréntesis el término que hace que cada proposición sea verdadera.
a) 8q + 18 = 2(( 4q ) + ( 9 ))
b) 169 - p2 = (13 + ( p ))(( 13 )-p)
c) 75xyz + 5y2 z2 = ( 5yz )(15x + yz)
d) 121m8 -9n6 =((11 m4 )+3n3 )((11 m4) - (3n3 ))
7.
a)
b)
x=
− 1 ± i 59
6
− 5 − 31 9 + 31
,
)
3
2
− 5 + 31 9 − 31
(
,
)
3
2
(
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 145
c)
Aproximadamente
(7.41 , 1.75)
(-4.39 , -1.82)
d)
(3,2)
( -2.4 , -2.5)
8.
a) Los costos totales ‘yc’ de la semana: yc = 130x +1500
b) Los ingresos ‘yi’ de la semana: yi = 700x
c) La ganancia ‘yg’ de la semana: yg = 570x –1500
d) Para obtener una ganancia de $20000 o más en una semana debe producir y vender
por lo menos 38 sillas.
e) Cuando produce y vende 12 sillas en una semana su ganancia por cada peso invertido
es de 1.75 pesos.
9.
a) La ecuación que corresponde a cada gráfica es:
y1 = -(x+7)(x-9); y2 = 3x2 +14x-5; y3 = (x+9)(x-2)
b) Los puntos de intersección de cada par de gráficas son:
Entre y1 y y2 (3,60.1) y (-5.9,16.2)
Entre y1 y y3 (5.2, 46) y (-7.7, -12.2)
Entre y2 y y3 no hay intersección.
c) Traza sobre los mismos ejes la gráfica de y = -4x+20.
d) Encuentra los puntos de intersección de esta recta con cada parábola.
Intersecciones con y1 (10.2, -20.8) y (-4.2, 36.8)
Intersecciones con y2 (1.2, 15.2) y (-7.3, 49)
Intersecciones con y3 (2.8,9) y (-13.8,74)
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 146
Autoevaluación de la Unidad 6 (Respuestas)
2. Grafica y = x 3 - 3x2 - x + 3.
3.
a) Por lo tanto
RT R2
R1 =
R 2 − RT
b) Cuando Rt vale 50 y R2 100, entonces R1 = 100.
4. El peso de la persona a 2000 km de la superficie es de 46.78 kg
5.
b) Las velocidades de los trenes son y=66; x=80
6.
a) una limonada, un sándwich y un bizcocho cuestan 8 peniques
b) dos limonadas, tres sándwiches y cinco bizcochos cuestan 1 chelín y 7 peniques.
7.
a) La máquina A tarda 24 horas y la máquina B tarda 36 horas.
b) La superficie total de los grandes almacenes es 1728 m2
c) La máquina B limpia 48 m2 por hora y la máquina C limpia 96m2 por hora.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 147
8.
a) Los costos, ingresos, ganancia y ganancia por peso invertido en los casos siguientes
son:
Número de Costos
Ingresos
Ganancia Ganancia
incrementos
por cada
de $10 en el
peso
precio por
invertido
álbum
0
7000*150+200000
7000*450
1900000 1.52
1250000
3150000
1
(7000+200)*150+200000 (7000+200)*(450-10)
1888000 1.475
1280000
3168000
2
(7000+200(2))*150+2000 (7000+200(2))*(4501872000 1.429
00
10(2))
1310000
3182000
3
(7000+200(3))*150+2000 (7000+200(3))*(4501852000 1.382
00
10(3))
1340000
3192000
4
(7000+200(4))*150+2000 (7000+200(4))*(4501828000 1.286
00
10(4))
1370000
3198000
b) La gráfica de la ganancia versus el número de incrementos de $10 en el precio por
álbum es
y = -2000x2-10000x+1900000
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 148
y
-2000(x^2+5x-950)
1500000.0
1000000.0
500000.0
-10.0
-5.0
5.0
10.0
a) La fórmula que da la ganancia por cada peso invertido en función del número de
incrementos es:
− ( x 2 + 5x − 950)
y=
5(3x + 125)
b) La gráfica de la ganancia por cada peso invertido:
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 149
x
15.0
y
-2000(x^2+5x-950)
2.0
-2000(x^2+5x-950)/((7000+200x)*150+200000)
1.0
-20.0
-15.0
-10.0
-5.0
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 150
5.0
10.0
x
15.0
Algunas muestras de exámenes ordinarios y extraordinarios
Primer Examen Ordinario
Ejemplo 1
Instrucciones:
Resolver todos los temas
Todas las operaciones deberán estar contenidas en las hojas del examen
No se calificaran procedimientos en las hojas de preguntas
Está permitido el uso de la calculadora no programable
Firmar todas las hojas del examen
El resultado debe estar en tinta.
1.- Si el ciclo lunar tarda en completarse 27.32 días terrestres y la distancia de la tierra al centro de
la luna es de 384,392 Km.
a) ¿Qué distancia en metros recorrerá nuestro satélite al cabo de 40 días?
b) ¿Qué distancia recorrerá en m al cabo de un año?
2.- Para fabricar un concreto con una resistencia de 250 Kg/cm2 se requiere mezclar
cemento, arena y grava a razón de 1:3:5 respectivamente, si se requieren 105 m3 de
concreto ¿Cuánto volumen de cada material se requiere?
3.- Debo $550 pago la 4/5 partes, luego pago las 3/11 partes de lo que resta y
posteriormente $52.50 ¿Cuánto me falta por pagar?
4.- Tres galgos arrancan juntos en una carrera en un galgódromo de forma circular. El
primero tarda 10 segundos en dar la vuelta a la pista, el segundo 11 segundos y el tercero
en 12 segundos.
a) ¿Al cabo se cuántos segundos volverán a pasar juntos por la línea de salida?
b) ¿Cuántas vueltas habrá dado cada uno en ese tiempo?
5.- Simplifica la siguiente fracción
 3 2  5  5 5 
 2 + 3  −  4 ÷  6 − 3  


1 1 5
− + •
5 4 6
6.- Jorge, Juan y José estaban poniéndose de acuerdo para comprar un videojuego. Jorge contaba
con 0.142857 del importe, mientras que José contaba con 45 centésimos del costo total. ¿Qué
fracción debe poner Jorge para completar el video juego?
7.- Filogonio desea comprar para navidad una autopista que en abril costaba $850 mas el
IVA. Si la tasa de inflación es del 1.5% mensual. ¿Cuánto deberá tener en diciembre al
momento de la compra?
8.- Una pelota de hule cae de una altura de 20m y rebota ascendiendo cada vez tres cuartas
partes del ascenso anterior.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 151
a) Calcula la altura de la pelota en el cuarto ascenso.
b) Calcula la distancia recorrida por la pelota cuando pega en el suelo por cuarta
vez.
Ejemplo 2
Instrucciones:
Resolver todos los temas
Todas las operaciones deberán estar contenidas en las hojas del examen
No se calificaran procedimientos en las hojas de preguntas
Está permitido el uso de la calculadora no programable
Firmar todas las hojas del examen
El resultado debe estar en tinta
1.- Resolver y expresar el resultado como fracción común:
1
+ 0.83
2
3
1
[0.75 − 0.6]
4
2.- Una bomba llena un tanque de agua en 4
1
1
horas y otra lo hace en 4 horas. Si la primera trabaja
2
1
horas y la segunda 2 horas, ¿qué fracción del tanque queda vacío?
2
3.- Mi hermano compró un modular y lo trató de vender 20% más caro. A este precio le aplicó un
20% de descuento para poder venderlo y al final perdió $ 136.00. ¿Cuánto le costó el modular?
4.- Tres secretarias se reparten un total de hojas para mecanografiar. A una le corresponde
total, a la segunda
2
del
5
3
de lo que resta y a la tercera 18 hojas. ¿De cuántas hojas es el trabajo?
4
5.- Realiza las operaciones y simplifica. Expresa el resultado como fracción con exponentes
positivos.
 m − 3 n5 


 m− 2 n 3 


−2


 4m n 2 
 1

 m n0 


‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 152
1
minutos. Si la luz viaja a 3 x 105
6
km/s, calcula la distancia, en metros, de la Tierra al Sol (utilizar notación científica).
6.- Los rayos solares llegan a la Tierra aproximadamente en 8
7.- Tres hermanos deben $ 15, 600. El pago lo hacen en razón 3:2 del mayor al mediano y 4:3 del
mediano al menor. ¿Qué cantidad le corresponde pagar a cada uno?
8.- Las edades de 3 personas suman 31 años. Manuel tiene 7 años menos que el doble de Raúl y
Alfredo tiene la tercera parte de la edad de Manuel. ¿Qué edad tiene cada uno?
Ejemplo 3
Instrucciones:
Resolver todos los temas
Todas las operaciones deberán estar contenidas en las hojas del examen
No se calificaran procedimientos en las hojas de preguntas
Está permitido el uso de la calculadora no programable
Firmar todas las hojas del examen
El resultado debe estar en tinta
1.- Para llegar al andén de una estación del metro se deben bajar tres tramos de escaleras, el primer
tramo tiene 288 cm., el segundo tramo tiene 336 cm., y el tercero 304 cm. Si todos los escalones
son de la misma altura, ¿cuántos escalones tiene cada tramo de la escalera?
2.- Al pagar en la caja, el precio de unos tenis resulta ser de $260. Calcula cuánto dinero te
ahorraste, si tenían un descuento del 35%.
3.- Los números pentagonales son aquellos números que se pueden representar por puntos en un
arreglo pentagonal. En la figura se muestran los primeros cuatro números pentagonales.
¿Cuál es el séptimo número pentagonal?
Encuentra una fórmula para el número pentagonal ‘n’.
4.- La luz viaja aproximadamente a 3 x 105 kilómetros por segundo; ésta tarda cerca de 500
segundos en llegar desde la tierra hasta el sol. ¿Cuál es la distancia aproximada del sol a la
tierra?
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 153
5.- En un C. E. C. y T., hay una población de 2,100 alumnos que ingresan en este ciclo escolar, y se
sabe que la razón profesor – alumno es de 1 a 35. Los padres de familia consideran que deben
contratarse más profesores para que la razón anterior sea de 1 es a 30. ¿Cuántos profesores má s
se necesitan para cubrir ésta necesidad?
6.- Considerando que el tamaño de los saltos de un tigre y de una gacela es idéntico, ¿en cuánto
tiempo el tigre alcanzará a la gacela, si ésta lleva una ventaja de 18 y 2/3 saltos, y las
velocidades del tigre y de la gacela son de 3 y 1/2 saltos y 2 y 1/3 saltos por segundo,
respectivamente?
7.- En un laboratorio se utilizo la tercera parte del contenido de un frasco de cierta solución, para
prácticas con alumnos de quinto semestre; el 25% del contenido inicial del mismo frasco para
prácticas con alumnos de tercer semestre y dos séptimas partes del total, para prácticas con
alumnos de primer semestre. ¿Cuántos mililitros sobraron en el frasco, sí en el frasco había 168
mililitros de la solución?
8.- Un político invirtió las tres décimas partes de su capital en la compra de una mansión, con las
dos séptimas partes de lo que quedo, compro un yate y el resto lo destina para comprar terrenos.
¿Cuál era el capital inicial si en la compra de terrenos gastó 9 millones de pesos?
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 154
Segundo Examen Ordinario
Ejemplo 1
Instrucciones:
Resolver todos los temas
Todas las operaciones deberán estar contenidas en las hojas del examen
No se calificaran procedimientos en las hojas de preguntas
Está permitido el uso de la calculadora no programable
Firmar todas las hojas del examen
El resultado debe estar en tinta
1.- El tiempo que tarda una piedra en caer al suelo está dada por la siguiente expresión, simplifícala.
1 2
3 1 
x2  2  2 3 
4  
x − 5 b − x 2 −   b −
 − x −  b − x 2 
4
2 3 
3  9
4
5  
[
(
)]
2.- Se requiere hacer un ángulo de aluminio a partir de una barra de este material. Se sabe
que la barra tiene en su sección un ancho W = (3x+2p–5)4 cm, y una H = (4x–p+1)3
cm. Para dejar la pieza exacta hay que retirar la sección “ab” que mide: a = (x+p)2 cm,
mientras que b = (2x+3p)2 cm.
A partir de los datos anteriores indic a ¿cuál es el
área de la sección transversal del ángulo en
cuestión? (ver figura)
b
H
a
W
3.- Los dígitos de un número comenzando por la izquierda son a, b y c. Escribe la expresión
algebraica que represente dicho número.
4.- Un bodeguero de la merced compró media tonelada de naranjas. Incrementó su precio
en un 60% y logró vender 490 Kg. Si su ganancia fue de $1420.00, ¿cuál es el costo y el
precio de venta por kilogramo de naranja?
5.- La fórmula de área del cilindro es la siguiente: A = 2πrh + 2πr2 . Si el radio de la base mide un
cuarto de la altura y esta tiene una longitud de 25 cm. ¿Cuál es el área total del cilindro?
6.- En la figura los segmentos AB, CD y EF son paralelos entre sí y cortan a las rectas PQ y
RS, por lo que geométricamente es válido establecer la siguiente proporción:
5x − 5 2x − 2
=
1
20 m
9m −
2
¿Cuál es la expresión que determina “m”?
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 155
9mP
A
1
2x-2
2 C
Q
E
20m
R
B
5x-5
D
F
S
7.- Resuelve la ecuación siguiente:
2x − 5  1
5

x −  3x −
 = (2 x − 57 ) −
10  6
3

8.- ¿En cuánto tiempo un auto recorre
x 2 7 xy y 2
2y
+
−
metros a una velocidad de x −
10
3
3
5
m/s?
Ejemplo 2
Instrucciones:
Resolver todos los temas
Todas las operaciones deberán estar contenidas en las hojas del examen
No se calificaran procedimientos en las hojas de preguntas
Está permitido el uso de la calculadora no programable
Firmar todas las hojas del examen
El resultado debe esta r en tinta
1.- Representa por medio de una figura la siguiente identidad:
( x + y + z )2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz
2.- Si a un rectángulo se le disminuye su altura en un 40% y la base se aumenta en una
quinta parte, ¿en qué porcentaje un área es menor a la otra?
3.- Se cuenta con 56 metros de malla de alambre para hacer un corral rectangular, éste
corral debe tener de largo, el triple de lo que mide el ancho. ¿Calcula las medidas y la
superficie de dicho corral?
4.- Expresa el área “A” de un cuadrado, en función de:
a) El lado “y”.
b) El perímetro “P”.
c) La diagonal “d”.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 156
5.- ¿Cuántos litros de una solución ácida al 15% se deben mezclar con 6 litros de otra
solución ácida al 60%, para obtener una solución ácida al 30%?
6.- La siguiente gráfica representa la altura de dos velas después de haberse encendido al
mismo tiempo:
cm.
30
Vela B
20
10
Vela A
horas
1
2
3
4
5
6
Auxiliándote de la gráfica determina:
a) ¿Cuál vela se consume totalmente primero?
b) ¿Qué altura tenia la vela B después de 2 horas?
c) ¿Cómo cambia la altura dependiendo del tiempo en cada una de ellas (exprésalo
numéricamente)?
d) Si una vela se enciende a las 6:00, ¿a qué hora se debe encender la otra para que
las dos se consuma n totalmente al mismo tiempo? Explica.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 157
Tercer Examen Ordinario
Ejemplo 1
Instrucciones:
Resolver todos los temas
Todas las operaciones deberán estar contenidas en las hojas del examen
No se calificaran procedimientos en las hojas de preguntas
Está permitido el uso de la calculadora no programable
Firmar todas las hojas del examen
El resultado debe estar en tinta
1.- Las gráficas siguientes representan el costo para los pasajes de un viaje en los taxis del
aeropuerto, en una ciudad, de dos compañías, de acuerdo a los kilómetros recorridos. A
una de esas compañías la llamaremos “A” y a la otra “B”.
1150 y
1100
1050
B
1000
950
900
850
800
750
700
650
600
550
500
450
A
400
350
300
250
200
150
100
50
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
x
a) ¿Cuál es la cuota inicial por el uso del taxi en cada compañía? ¿Qué cantidad cobran
por kilómetro recorrido?
b) ¿Escribe para cada compañía la ecuación que da el costo de un viaje en función de
los kilómetros recorridos.
c) Calcula el costo de un viaje con los recorridos siguientes y señala que compañía
conviene
Recorrido en
kilómetros
12
Compañía “A”
Costos en pesos
Compañía “B”
Costos en pesos
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 158
Compañía que conviene
27
41
63
98
¿En general en qué compañía conviene contratar un taxi?
d) Formula dos preguntas relacionadas con el problema y respóndelas con un
argumento basado en la información que obtuviste.
2.- Una compañía de discos estima que podrá vender siete mil álbumes de una nueva
versión de “Don Giovanni” de Mozart-Da Ponte a $450 cada álbum. Por cada reducción
de $10 en el precio por álbum, calcula que venderá 200 álbumes más. A la compañía
cada álbum le cuesta $150 y sus costos fijos son de $200000.
e) Calcula los costos, ingresos, ganancia y ganancia por peso inver tido en los casos
siguientes
Número de
Costos
Ingresos
Ganancia
Ganancia por cada
incrementos
peso invertido
de $10 en el
precio por
álbum
0
1
2
3
4
f) Grafica la ganancia versus el número de incrementos de $10 en el precio por álbum.
g) Establece la fórmula que da la ganancia por cada peso invertido en función del
número de incrementos.
3.- En la gráfica se representan la ganancia y los ingresos de un fabricante de mochilas en
función del número de piezas producidas y vendidas.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 159
400000 y
350000
y=(4000-x)x/10
ingresos
300000
250000
200000
150000
ganancia
100000
50000
500
1000
1500
2000
x
2500
-50000
a) Encuentra la ecuación de la ganancia.
b) Dado que la ganancia es la diferencia de los ingresos y los costos determina la
ecuación de los costos a partir de la que obtuviste del inciso anterior y traza su
gráfica.
c) Encuentra el número de piezas donde la ganancia es nula.
d) Encuentre el número de piezas donde la ganancia es máxima.
4.- Por problemas con las autoridades delegacionales se tiene que cambiar el escenario de
un concierto de rock. Se debe acondicionar en menos de 8 horas. Una empresa puede
instalar los asientos en 12 horas y cobra $20000. Otra se tarda 18 horas y cobra $15000
por hacer el mismo trabajo.
a) ¿Se podría realizar el concierto si se contrata a las dos empresas? ¿Cómo? Explica
detalladamente.
b) ¿En qué términos se debe establecer el contrato para que los organizadores paguen lo
menos posible?
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 160
Examen Extraordinario
Ejemplo 1
Instrucciones:
Resolver todos los temas
Todas las operaciones deberán estar contenidas en las hojas del examen
No se calificaran procedimientos en las hojas de preguntas
Está permitido el uso de la calculadora no programable
Firmar todas las hojas del examen
El resultado debe estar en tinta
1) Después de centrifugar una serie de muestras sanguíneas en un laboratorio, la cuarta
parte de ellas se guardó en el refrigerador a y las tres quintas partes en el refrigerador
b, quedando tres muestras en la centrifugadora.
a) ¿Cuántas muestras hay en total?
b) ¿Cuántas muestras hay en cada refrigerador?
2) Inicialmente la base de un rectángulo mide b unidades y la altura a unidades, si la
altura se reduce a la tercera parte y la base aumenta en un 32%:
a) Calcula el área del rectángulo modificado.
b) Obtén en qué tanto por ciento varió el área del rectángulo con respecto al rectángulo
original.
3) ¿Cuántos centímetros cúbicos de agua destilada se deben añadir a 105 centímetros
cúbicos de una solución ácida concentrada al 60 %, para obtener una solución ácida
concentrada al 35 %?
4) Un jardín rectangular mide 40 por 30 metros. Se desea pavimentar un pasillo
alrededor del jardín que tenga anchura uniforme. ¿Qué tan ancho debe ser el pasillo si
cubrirá un área de 296 metros cuadrados?
5) Al preparar una dieta para algunos animales que se utilizarán en un experimento, una
bióloga determina que los animales necesitan 20 gramos de proteínas y 6 gramos de
grasa. ella compra dos tipos de alimento, el tipo a contiene 20 % de proteínas y 2 %
de grasa, el tipo b contiene 10 % de proteínas y 6 % de gr asa, entre otros
componentes. ¿Cuántos gramos de cada uno de esos dos alimentos deberá mezclar para
proporcionar las cantidades correctas de proteínas y grasa a los animales?
6) Arturo trabaja como vendedor en una mueblería y recibe un salario base mensual de $3
000, más un 6 % de comisión por el monto de las ventas que realiza.
a) Establece una función que exprese el salario mensual de Arturo dependiendo del
monto de las ventas que haga y traza su gráfica.
b) Si a fin de mes Arturo quiere ganar $7 800, ¿cuál deberá ser el monto de sus ventas?
Ejemplo 2
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 161
Instruccio nes:
Resolver todos los temas
Todas las operaciones deberán estar contenidas en las hojas del examen
No se calificaran procedimientos en las hojas de preguntas
Está permitido el uso de la calculadora no programable
Firmar todas las hojas del examen
El resultado debe estar en tinta
1) Un profesionista realizó cierto trabajo y recibió $ 8 840 como pago. Esta cantid ad ya
incluye un incremento del 15 % de IVA y un descuento del 10 % correspondiente al
impuesto sobre la renta, ambos aplicados sobre sus hono rarios. ¿C uál es el monto de
dichos honorarios?
2) La razón de los gastos a los ingresos en un restaurante es de 5 a 8. ¿A cuánto ascienden
sus gastos en una semana en que la ganancia fue de $3 675? Recuerda que la ganancia
es la diferencia entre los ingresos y los gastos.
3) Calcula cuántos litros de una solución que contiene el 74 % de alcohol deben ser
combinados con 5 litros de otra solución con el 90% de alcohol, para obtener otra
solución concentrada al 84%?
4) Un jardín de forma rectangular está rodeado por un camino de grava que tiene ancho
uniforme de 2 metros. El área cubierta por el jardín es de 80 metros cuadrados y el área
cubierta por el camino mide 200 metros cuadrados. Calcula las dimensiones que tiene el
jardín.
5) Un comerciante desea invertir $ 12 000, una parte al 10 % de interés anual y el resto al
15 %, ¿cuánto deberá invertir a cada tasa para obtener el 12 % sobre el total de la
cantidad depositada?
6) Puedes suponer con aproximación que la temperatura T del aire, medida en grados
Fahrenheit (°F), es una función lineal que depende de la altitud h, medida en pies, sobre
el nivel del mar. Considerando que la temperatura al nivel del mar es de 60 °F y que a
una altitud de 5 000 pies la temperatura del aire decrece unos 18 °F:
a) Expresa la variable T como una función de la variable h.
b) ¿Cuál es la temperatura del aire a una altitud de 15 000 pies?
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 162
7. Bibliografía
8. Bibliografía
Los materiales que se utilizaron en la elaboración de este trabajo son:
Alarcón, J. et al (1995) Libro para el maestro. Matemáticas. SEP.
De Prada, D. et al (1991). El comentario de textos matemáticos. Editorial Ágora
Fridman, L. (1989). Metodología para Resolver Problemas de Matemáticas. Grupo
Editorial Iberoamérica.
Grupo Editorial Iberoamérica. Revista Educación Matemática
Heid K. et al (1996). Algebra in a technological world. NCTM.
López de Medrano, S. (1972). Modelos matemáticos. ANUIES.
Kasner, E. & Newman, J. (1985). Matemáticas e imaginación. Biblioteca personal Jorge
Luis Borges. Hyspamérica.
NCTM. Revista Mathematics Teacher.
Novak, J. y Gowin D. (1984). Aprendiendo a aprender. Martínez Roca
Novak, J. (1998). Conocimiento y aprendizaje. Alianza Editorial
Paulos, J. (1990). El hombre anumérico. Tusquets Editores
Paulos, J. (1990). Más allá de los números. Tusquets Editores
Polya, G. (1965). Cómo plantear y resolver problemas. Editorial Trillas.
Rojano, T. & Ursini, S. (1997). Álgebra con hojas electrónicas de cálculo. Grupo Editorial
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Ruiz, B. (1999) Curso rediseñado de matemáticas remediales. México: ITESM Campus
Estado de México. En la plataforma LearningSpace: RZSRZSH1/RZS/ITESM,
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Selmes, I. (1992). La mejora de las habilidades de estudio. Paidos.
Seymour, D. & Shedd, M. (1981) Diferencias finitas. CECSA
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 164
Socas, M. et al (1992) Iniciación al álgebra. Síntesis
Steen, L. (1990) On the shoulders of giants. The National Academy of Sciences.
‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 165