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CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR CUN
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS: MATEMATICAS
ACTIVIDAD ACADEMICA: FUNDAMENTOS MATEMATICOS
DOCENTE: LIC- ING: ROSMIRO FUENTES ROCHA
UNIDAD N°1: LOGICA
Propósitos:
Manejar correctamente las proposiciones y conectivos lógicos
compuestas
Identificar las proposiciones simples y las
LA LÓGICA
La palabra lógica viene del griego logo y significa, razón, tratado o ciencia. Puede ser considerada como la
ciencia que estudia la forma de razonar correctamente, la que indica la forma correcta de obtener
conclusiones y los métodos conocidos para lograrlo.
PROPOSIC IONES LOGICAS
Una proposición lógica es un enunciado con sentido, del que se puede decir que es verdadero o falso, pero no
las dos cosas al tiem po. Toda proposición consta de tres partes: un sujeto, un verbo y un complemento
referido al verbo. Algunos ejemplos de proposiciones lógicas son los siguientes:
a. 3 × 4 = 12
b. Cartagena es la capital de Cesar
c. Las empresas de servicios temporales (EST) contratan la prestación de servicios con terceros beneficiarios
d. 1 kilobytes tiene 1024 bytes
e. 2+1 = 2
Proposiciones abiertas. Son aquellas que no tienen determinado el sujeto, o también u na expresión
matemática que contiene una o más variables y al sustituir las variables por valores específicos se
obtiene una proposición lógica. Algunas proposiciones en las que no puede determinarse plenamente el
valor de verdad (su valor es relativo ya sea al tiempo, al lugar u otra) también se les considera
proposiciones abiertas. Ejemplos
X-1 =4
El precio del dólar caerá al final del año
Bogotá es la capital de x
Las proposiciones no incluyen frases o sentencias como: Preguntas, exclamaciones y opiniones
Frases. Todas las expresiones que no cumplen alguna de las dos definiciones anteriores.
Hoy es lunes
¡Observa la cámara!
¿Que estás haciendo?
Esta frase que usted está leyendo es falsa
13 es un número de mala suerte
Brahms escribió mejor música que Bach
Las proposiciones se pueden representar por las letras minúsculas p, q, r, s, t,... Estas letras reciben el
nombre de variables proposicionales. Se pueden definir las siguientes proposiciones:
p : Gabriel García Márquez escribió cien años de soledad
q : Colombia es un estado social de derecho
r:7 - 4 =3
s: 2x+1 = 0
t: La inflación refleja la disminución del poder adquisitivo de la moneda
PROPOSIC IONES SIMPLES O ATÓMICAS. Se puede decir que una proposición simple es el menor
enunciado con carácter verdadero o falso, pero no las dos cosas al mismo tiempo. También se puede decir
que es una proposición que consta de una única variable o constante proposicional o en la que se identifica
una sola acción (verbo).
Compilado por Rosmiro Fuentes Rocha, docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos
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PROPOSIC IONES COMPUESTAS O MOLECULARES
Las proposiciones compuestas son aquellas que están constituidas por dos o
más proposiciones simples, unidas por partículas de enlaces llamadas conectivos
lógicos. En una proposición compuesta se observan dos acciones (ver bos)
Los conectivos lógicos son: y, o, si…entonces,…si y solo si…, no
Conectiv o lógico
sím bolo
y
o
Si…entonces
…si y solo si…
no
~
EJEMPLOS:
Brasil es un país exportador de Caucho (Proposición simple, una sola acción)
Colombia firma el TLC con estados unidos o se asocia a la Mercosur (proposición compuesta)
Se observan las dos proposiciones simples:
p: Colom bia firma el TLC con estados unidos
q. Colombia se asocia con la mercosur
OPERADORES LOG ICOS
1.
NEGACION DE UNA PROPOSIC ION
La negación es la conexión lógica más sencilla. Toda proposición se puede negar anteponiendo a su
enunciado “es falso que”, “no es cierto que” o “no es el caso que” o insertando dentro de la proposición la
palabra “no”. Simbólicamente, la negación de la proposición p sería ~p, que se lee “no p”, “no es cierto que
p”, “es falso que p” o “no es el caso que p”.
La negación es el conectivo lógico que permite cambiar el valor de verdad de una proposición. Así si la
proposición p tiene un valor de verdad verdadero, entonces la proposición ~ p tiene valor de verdad falso.
Tabla de v erdad de la negación
p
V
F
~p
F
V
Ejem plo: negar las siguientes proposiciones y escribir el valor de verdad de la negación
p: El índice de precios es una medida frecuente de la inflación
q: Plutón es un planeta
r: Los bancos centrales no controlan el tamaño de la emisión monetaria
s: El número real x es negativo
t: La inflación baja se atribuye a las fluctuaciones de la demanda de bienes y servicios
Solución
~ p: El índice de precios no es una medida frecuente de la inflación ( falso)
~ q: no es cierto que Plutón es un planeta (verdadero)
~ r: Los bancos centrales controlan el tamaño de la emisión monetaria (verdadero)
~ s: El número real x no es negativo o tam bién El número real x es positivo ó cero (abierta
~ t: Es falso que la inflación baja se atribuye a las fluctuaciones de la demanda de bienes y servicios (falso)
2. CONJUNCION
Al enlazar una dos o más proposiciones simples mediante el conectivo y se obtiene una tercera proposición
compuesta llamada conjunción. La conjunción sirve para indicar que se cumplen dos condiciones
simultáneamente. Se puede utilizar cuando se quiere expresar el hecho de que dos proposiciones son
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verdaderas. El conectivo lógico que se usa en la conjunción es
proposiciones, p
q se llama conjunción de p y q.
Ejem plo 1: 5 es un número impar
y
, el cual se lee como “y”. Si p y q son dos
6 es un número par
p
q
Se observa que está compuesta de dos proposiciones simples que se denotaran p y q,
p: 5 es un número impar
q: 6 es un número par
Por ser ambas verdaderas, la conjunción de ellas (que no es sino la declaración) es verdadera.
Ejem plo 2: Colombia produce text iles y exporta café
Se observan las dos proposiciones simples
p: Colom bia produce textiles
q: Colom bia exporta café
Tabla de v erdad de la conjunción
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p
q
V
F
F
F
Obsérvese que para la conjunción p ^ q sea verdadera las dos expresiones que intervienen deben ser
verdaderas y sólo en ese caso como se indica por su tabla de verdad.
La palabra “y “no siempre denota conjunción como en el caso de: “Santa Marta y Cartagena son destinos
turísticos”.
Se pueden utilizar otras palabras para denotar conjunción como por ejemplo: “pero”, además”, “más
aún”.
3. DISYUNCION.
La disyunción es una proposición compuesta formada por dos o más proposiciones simples relacionadas con
el conectivo o. La disyunción se da en el caso de que al menos una de las proposiciones sea verdadera.
Las oraciones que contienen una “o” se pueden traducir como disyunciones. El conectivo lógico que se usa en
la disyunción es “
”, el cual se lee como “o”. Si p y q son dos proposiciones, p
q se llama disyunción de
p y q.
Ejem plo: “Colombia firma el TLC con estados unidos o se afilia al grupo de Mercosur”. Se observan las dos
proposiciones simples
p: Colom bia firma el TLC con estados unidos
q: Colom bia o se afilia al gru po de Mercosur
p
q
Ejem plo: En la oración “El programa de computadora tiene un error, o la entrada es errónea”, no excluye
ninguna de las dos posibilidades. La disyunción se puede decir que es incluyente por lo tanto p
q se puede
leer como “p o q o ambas
A esta disyunción se le conoce también como bancaria, lógica o matemática, que es la misma y se utiliza en
computación como el operador OR
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p
q
V
V
V
F
Tabla de verdad de la disyunción
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Con la disyunción a diferencia de la conjunción, se representan dos expresiones y que afirman que
una de las dos es verdadera, por lo que basta con que una de ellas sea verdadera para que la
expresión p
q sea verdadera.
La disyunción sólo es falsa cuando ambas proposiciones son falsas.
4. IMPLICACION O CONDICIONAL
Una proposición compuesta es condicional cuando las proposiciones que la forman están relacionadas con el
conectivo lógico si…entonces…, llamado implicación. Recibe también el nombre de implicación. El conectivo
lógico que se usa en la con dicional es →. Si p y q son dos proposiciones, p → q se llama con dicional de p y q,
y se lee como “si p entonces q” o “p implica q”. La afirmación p se llama antecedente y q el consecuente .
Ejem plo: Si la tierra es un planeta, entonces carece de luz propia
Ejem plo: “Si aumenta el precio de un artículo entonces disminuye la cantidad demandada”
Tabla de v erdad de la im plicación
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p
q
V
F
V
V
Con respecto a este operador binario, lo primero que hay que destacar es que no es conmutativo, a
diferencia de los dos anteriores la conjunción y la disyunción. El único caso que resulta falso es cuando el
primero es verdadero y el segundo falso. También cabe señalar que este viene a ser el operador más
importante en el proceso deductivo y que la mayoría de las leyes de inferencia y las propiedades en
matemáticas se pueden enunciar utilizando este operador
1.4.1 Otras form as del condicional
Hay varias maneras de expresar el condicional, algunas son: “si p, entonces q”, “siempre que p, entonces q”,
“p es suficiente para q”, “p sólo si q”, “p implica q”.
También se puede invertir el orden del antecedente y el consecuente; entre las diferentes formas de decir “si
p entonces q” invirtiendo el orden del antecedente y el consecuente se tienen: “q si p”, “q siempre que p”, “q
es necesario para p”, “q es im plicada por p”; En este caso se puede representar simbólicamente como q ¬ p.
Un ejemplo sería: “El frasco lleva una etiqueta de advertencia si contiene veneno”, la cual se puede expresar
como “Es necesaria una etiqueta de advertencia para los frascos que contienen veneno”.
Ejem plo. Supóngase la im plicación “Si apruebo el examen, entonces te presto el libro”
La implicación está com puesta de las proposiciones
p: apruebo el examen
q: te presto el libro
P→q
Interesa conocer la verdad o falsedad de la implicación, en relación a la verdad o falsedad de las
proposiciones p y q. El enunciado puede pensarse como un compromiso, condicionado por p, y se puede
asociar su verdad al cumplimiento del compromiso. Es evidente que si p es F, es decir si no apruebo el
examen, quedo liberado del compromiso y preste o no el apunte la implicación es verdadera. Si p es
verdadera, es decir si apruebo el examen, y no presto el libro, e l compromiso no se cumple y la proposición
i) es falsa. Si p y q son verdaderas, entonces la proposición i) es verdadera pues el compromiso se cumple.
1.4.2 Elem entos de un condicional.
Hipótesis o Antecedente: Es la parte del condicional que sigue a la partícula “si”
Conclusión, tesis o consecuente: Es la parte del con dicional que sigue a la palabra entonces
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Ejem plo: En la expresión: Si el caudal del río Manzanares aumenta, entonces se inundaran los barrios que
se encuentran en su cauce.
La proposición “aumenta el cauce del río Manzanares” es la hipótesis
Y la proposición “se inundaran los barrios que se encuentran en su cauce” es la conclusión
1.4.3. Contraria, Recíproca y contra recíproca de un condicional
Dado el condicional p
q , llamada para el caso condicional directa, entonces se denominan
Contraria: es la condicional ~ p
~q
Recíproca: es la condicional q
p
Contrarecíproca: Es la condicional ~ q
~p
5. EQUIVALENCIA O BICONDIC IONAL
Una proposición com puesta es bicondicional cuando cada proposición simple im plica a la otra. Dichas
proposiciones están relacionadas con el conectivo lógico…si y solo si…
Recibe también el nom bre de equivalencia o doble implicación. El conectivo lóg ico que se usa en la
bicondicional es
. Si p y q son dos proposiciones, p
q se llama bicondicional de p y q, y se lee como “p si
y sólo si q”. Se puede utilizar “si” como una abreviatura para “si y sólo si”.
Ejem plo: Las células vegetales poseen cloroplastos si, y solo si contienen clorofila
Ejem plo: Se reducen los accidentes laborales si, y solo si se tiene un adecuado programa de prevención de
riesgos.
Tabla de v erdad de la equiv alencia
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p
q
V
F
F
V
La equivalencia o bicondicional es verdadera cuando una y solo cuando, las dos proposiciones que la forman
tienen el mismo valor de verdad
TABLAS DE VERDAD DE PROPOSIC IONES COMPUESTAS
Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor de verdad de una
proposición compuesta, para cada combinación de val ores de verdad que se pueda asignar a sus
componentes. Las tablas de verdad se usan para encontrar el valor de verdad de las proposiciones
compuestas de naturaleza extensa.
CONSTRUCCIÓN DE UNA TABLA DE VERDAD
A partir de una fórmula cualesquiera en lógica de enunciados se va a poder construir su tabla de verdad
siguiendo los cuatro pasos siguientes
1. Hay que especificar qué proposiciones simples aparecen en la fórmula dada. estas deberán colocarse
individualmente al principio de la tabla de verdad y justo debajo de ellas se deberán construir todas las
combinaciones posibles de valores de verdad entre estas, por medio de una serie de filas , cuyo número
n
deberá ser igual a 2 elevado al número de proposiciones simples diferentes, es decir 2 donde n
representa el número de proposiciones simple
2. En segundo lugar, se deben rellenar ese número de filas especificado asegurándose que están presentes
todas las combinaciones entre los valores de verdad
3. A partir de estas líneas iniciales y siguiendo las tablas de verdad de los conectivos lógicos se deben
construir las columnas intermedias
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4. Por último, a partir de las columnas intermedias se debe llegar hasta la columna final, siguiendo siempre
el mismo procedimiento, es decir, teniendo en cuenta los conectores implicados en cada caso y los
valores de verdad y las fórmulas a las que afectan.
Miremos un ejemplo:
Hallar el v alor de v erdad de ( p
q)
~ (p
q)
Solución: se construye una tabla en la que aparezcan las proposiciones compuestas, siguiendo el orden de
los signos de agrupación
p
q
V
V
F
F
V
F
V
F
(p
q)
V
F
V
V
(p
q)
V
F
F
F
~ (p
q)
(p
F
V
V
V
q)
~ (p
q)
V
V
V
V
TAUTOLOGIAS Y CONTRADICCIONES
Una tautología es una expresión lógica que es verdadera para todos los posibles valores de verdad de sus
componentes atómicos. En lógica se entiende por tautología aquella proposición cuya tabla de verdad da
siempre el valor de verdad V en todos los casos posibles de los valores de verdad (V, F) de cada una de las
proposiciones que la integran. En todos los casos la forma del argumento ofrece un resultado verdadero, por
lo que el argumento es válido
Una contradicción es una expresión lógica que es falsa para todos sus valores.
ACTIVIDAD DE AUTOAPRENDIZAJE N° 1
I. Clasifique las siguientes expresiones del idioma en proposiciones lógicas, proposiciones abiertas o
expresiones indeterminadas.
a. Colón descubrió América en miércoles
b. 2 + 2 = 5
c. Espérame un momento
d. Estudien mucho
e. x + 1 < 4
f. Estoy mintiendo
g. Todos los pericos son verdes
h. Un ángulo recto mide 90 grados
II. Niegue las expresiones siguientes.
p: Algunos peces pueden nadar
q: El agua es transparente
r: México no está en América
s: La mesa es azul
t: Todos los días hace calor
w:. Ningún oso polar tiene frío
y: Algún sabio no toma café
III: Escriba las siguientes expresiones en forma simbólica
1.. Hoy es lunes o mañana será sábado
2. Un número distinto de cero es positivo o negativo
3. Si no llueve iremos de día de campo
4. Se pueden estacionar alumnos y maestros
5. Si encuentra un producto mejor, cómprelo
6. El no es rico ni feliz
7. Ser pobre es ser feliz
8. Hay que saber matemáticas para ser feliz
IV. Escriba con palabras las siguientes expresiones simbólicas
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1. p v q
p: llueve q: hay nubes
2. p → (q v r)
p: mi carro falla q: me iré en taxi r: me iré en camión
3. (p ^ q) ↔ r
p: compraré un cuaderno q: compraré un libro r: el maestro dicta la lección
4. (p v q) ↔ r
p: encuentro un cuaderno azul q: encuentro un cuaderno rojo r: com pro un cuaderno
5. ( p ^ q ) → (r v s)
p: paso el examen q: me dejan tarea r: voy al cine s: voy de paseo
V. Com pletar las siguientes tablas de verdad
p
V
V
V
V
F
F
F
F
p
q
V
V
F
F
V
F
V
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
(p
q)
~ (p
q)
~(p
F
q)
q
~ p
q
q
p
((p
q)
V
V
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
(p
q)
(q
r)
(p
r)
(p
q)
(q
r)
(q
r))
(p
r)
VI. Construya una tabla de verdad
1. p
q
r
2. (p ^ ~q) → p
3. (p
q) ↔ (p → r)
4. ((p → q) ^ p)→ q
5. (p
r) → (q → p)
VII. Compruebe que las siguientes fórmulas son tautologías
1 . ((p → q) ^ p) → q
2. p Λ ~ p
3. (¬p ^ (~q
p)) → ~q
4. ((p → q) ^ ~q) → ~p
5. (p ^ (p → q) ^ (~q
r)) → r
6. ((p → q) ^ (q → r)) → (p → r)
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