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Seminario Universitario – Matemática
EJERCICIOS – MÓDULO 1
Un poco de Lógica...
1) Indicar cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones, y en aquellas
que lo sean identificar cuáles son proposiciones son simples y cuáles son
compuestas, y simbolizarlas:
a) Ángela y Fiorella son hermanas.
b) ¡Qué calor!
c) Hace calor.
d) Es sábado.
e) No es cierto que Juan habla francés e inglés.
f) Llueve.
g) Hace calor y tengo ganas de ir a la playa.
h) Tengo hambre, frío y no consigo un taxi.
i) Los alumnos de este curso son inteligentes o estudian mucho.
j) Si un número es divisible por 2 y por 3, es divisible por 6.
k) 5 es un número primo.
l) El príncipe se casará con Blancanieves o con Cenicienta.
m) Si llueve, entonces las calles están mojadas.
n) Si un alumno realiza correctamente el 70% del examen, está aprobado.
o) Para aprobar el examen se debe contestar correctamente los ítems 1 ó 2.
p) Victoria irá al estadio si, y sólo si, juega su amigo Adrián.
q) Los números 2 y 7 son primos.
r) Los estudiantes Diego y Fernando son primos.
s) En el restaurante pido como postre helado o flan.
t) ¿Qué hora es?
u) Si la sequía persiste no sólo se secarán los pastos sino que aumentarán
los incendios forestales.
v) ¡Bravo! ¡Excelente!
2) Sea p : “llueve”, q : “hace frío”, r : “voy a la playa”. Expresar en lenguaje
coloquial las siguientes proposiciones:
a) (p ⇒ q) ⇒ –r ;
b) (p ∧ q) ⇒ –r ;
c) –p ∧ –q ;
d) – (p ⇒ q) ∧ r .
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Módulo 1: Introducción a la Lógica y a Conjuntos
3) Confeccionar las tablas de verdad de las siguientes proposiciones:
a) – (p ∧ q) ;
b) –p ∧ q ;
c) (–p ⇔ q) ∨ –q ;
d) (p ⇔ q) ∧ –q ;
e) (p ⇒ q) ∨ (q ∧ –p) ;
f) (q ⇔ p) ∨ (p ⇒ q) ;
g) (p ∨ q) ∧ –p ;
h) – (p ∧ –q) ⇔ – (p ∨ q).
4) Demostrar que el valor de verdad de las siguientes proposiciones es
verdadero:
a) – (p ∨ q) ⇔ (–p ∧ –q);
b) – (p ∧ q) ⇔ (–p ∨ –q);
c) (p ∨ q) ⇔ (–p ⇒ q);
d) (p ⇒ q) ⇔ (–p ∨ q);
e) – (p ⇒ q) ⇔ (p ∧ –q);
f) p ∨ (–p ∧ q) ⇔ (p ∨ q).
5) Si se sabe que p ∨ – q es falso, usar esto para proporcionar los valores de
verdad de:
a) –p ∧ q ;
b) p ⇒ q ;
c) q ⇒ p ;
d) p ∨ q .
6) Completar la frase según corresponda:
a) Si p ⇒ q es falso, el valor de p es ……………… y el de q es ………………
b) Si p ∨ q es verdadero, el valor de p es falso y el de q es ………………
c) Si p ⇔ –q es falso, el valor de verdad de p es ……………… y el de q es falso.
7) Sea p : “Marta es prima de Pedro”, q : “Julián es primo de Marta”, r : “María
es la novia de Pedro” y s : “Julián está enamorado de Lucía”. Suponiendo
que: p es V , q es F , r es F y s es V, averiguar el valor de verdad de los
siguientes enunciados:
a) Marta es prima de Pedro y Julián está enamorado de Lucía.
b) Si María es la novia de Pedro y Marta es prima de Pedro, Julián es primo
de Marta.
c) Si Julián es primo de Marta, María es la novia de Pedro y Marta es prima
de Pedro.
(
)
(
)


8) Determinar el valor de verdad de A :  p ∧ p ∨ q  ⇒  q ⇒ p ⇔ p  , sabiendo




que: q ⇒ p es verdadera.
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Seminario Universitario – Matemática
9) Determinar los valores de verdad de verdad de p, q y r si la proposición
 q ∨ p ⇒ r  ∧  q ⇒ q ∨ r  es verdadera y q ∨ r es falsa.

 

(
)
(
)
(
)
10) Usando los datos proporcionados en cada caso, obtener el valor de verdad
pedido:
a) Si se sabe que: p ∧ q es V y que r ∧ p es F, determinar el valor de
verdad de: (r ∨ q) ⇒ (r ∧ q).
b) Sabiendo que p ⇒ q es F, r ∧ p es F, determinar al valor de verdad de:
i) p ⇔ r ;
ii) – [p ∧ (–r)].
11) Si la proposición – [(q ⇒ s) ⇒ (p ⇒ r)] es verdadera, y teniendo en cuenta
la equivalencia entre la implicación y la disyunción: p ⇒ q ≡ –p ∨ q; hallar el
valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a) (–s ⇒ –q) ∨ (r ⇒ p)];
b) (p ∧ q ∧ r ∧ s) ∨ (p ⇔ r).
12) Si la proposición [(– p ⇒ q) ∨ – (r ∨ q)] ⇔ [(r ∨ s) ⇒ t] es falsa, y siendo
t ≡ V; hallar el valor de verdad de las proposiciones p, q y r.
13) Identificar las 4 proposiciones simples y escribir en símbolos la siguiente
proposición compuesta: "Si un dragón se enoja entonces te quedas
paralizado del miedo. Y si te quedas paralizado de miedo, el dragón te come;
pero si apelas a su bondad no te come. Por lo tanto, si un dragón se enoja
debes apelar a su bondad"
14) Identificar las proposiciones simples, asignarles un nombre y escribir en
símbolos la siguiente proposición compuesta: “Si ahorro podré comprar un
coche o no, pero si no ahorro seguro que no podré comprarlo”.
15) Identificar las proposiciones simples, asignarles un nombre y escribir en
símbolos la siguiente proposición compuesta: "Si no pago la luz, entonces
me cortarán el servicio eléctrico. Pero si pago la luz, entonces me quedaré
sin dinero o pediré prestado. Aunque si me quedo sin dinero y pido prestado,
entonces no podré pagar la deuda, si y sólo si soy desorganizado".
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Módulo 1: Introducción a la Lógica y a Conjuntos
Un poco de Conjuntos...
16) Expresar por comprensión los siguientes conjuntos:
C: los números enteros comprendidos entre –3 y 5.
D: los números reales que sumados a 5 dan por resultado 8.
E: los números fraccionarios que elevados al cuadrado son menores a 3.
F: las rectas paralelas a la recta r.
G: las vocales.
17) Expresar por extensión los siguientes conjuntos:
A = {x ∈  / 3 ≤ x ≤ 8}
B = {x ∈  / –3 ≤ x ≤ 3}
C= {x ∈  / x 2 = 4}
D = {x ∈  / x 2 = –1}
18) Sea A = {x ∈  / x + 1 ≤ 7}, completar las siguientes afirmaciones con ∈,
∉, ⊂ o ⊄ según corresponda:
2...... A
7 ...... A
{3;4;5} ...... A
∅ ...... A
{3;4} ...... A
{∅} .......A
{3;0} ...... A
x ...... A
19) Resolver las siguientes operaciones y realizar los diagramas de Venn, con los
conjuntos A = {x ∈  / x + 1 ≤ 7} y B = {2; 4; 6; 8}
A ∪B
A ∩B
A −B
AB
20) Resolver las siguientes operaciones y realizar los diagramas de Venn, con los
conjuntos C = {x/x es una consonante de la lengua española}; D = {a, m,
n, ñ, r} y E = {x/x es una vocal de la lengua española}, considerando
como conjunto universal el abecedario.
E ∪D
C ∩E
20
C ∩D
D −C
E
C D
D −E
E −D
E −C
E ∩D
Seminario Universitario – Matemática
Ejercicios de refuerzo...
Para los que ya estudiaron …
… Conjuntos:
21) Dados los conjuntos: A = {x ∈  / x < 7} y B = {x ∈  / –2 ≤ x ≤ 3} y sean
las proposiciones: p: “A – B = B – A” y q: “A  B = {–2; –1; 0;4; 5; 6; 7}”.
a) Establecer el valor de verdad de las proposiciones p y q. Justificar.
b) Confeccionar la tabla de verdad de las siguientes proposiciones compuestas:
i) p si y sólo si no q; ii) q o bien p. Señalar en ellas el valor el valor de
verdad correspondiente a las proposiciones dadas.
… Números reales:
22) Dados los siguientes conjuntos cuyos elementos pertenecen a los números
reales:
=
A { x / x ≥ −2=
y C { x / −1 < x ≤ 5} .
} ; B { x / x < 4}=
a) Establecer el valor de verdad de las proposiciones: p: B ∩ C = −1;4  ;
q : A ∆ B = ( −∞;2 ) ∪  4, ∞ ) y r : A − C =  −2; −1 ) ∪ 5; ∞ ) .
(
) (
)
b) ¿El valor de verdad de la proposición compuesta  r ∨ q ⇒ p ∧ r  ∨ q es


falso?
23) Dadas las proposiciones:
p: a m . a n = a m·n ; q: (a : b) n = a n : b n ; r: (a + b) n = a n + b n.
a) Indicar el valor de verdad de cada una de ellas, justificando enunciando la
propiedad o mostrando un contraejemplo.
b) Expresar simbólicamente y hallar construyendo la tabla de verdad
completa la siguiente proposición: i) no p o bien q; ii) Si q entonces r.
24) Dadas las proposiciones:
p: “ logb (x 2 − 4) = logb (x 2 ) − logb (4) ” ;
q: “ logb (x) = - log1/b (x ) ” ;
r: “ logb (x − y ) = logb (x ) / logb (y ) ” .
a) Indicar el valor de verdad de cada proposición con V (verdadero) o F (falso)
justificando la respuesta.
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Módulo 1: Introducción a la Lógica y a Conjuntos
b) Confeccionar la tabla de verdad de las siguientes proposiciones compuestas:
i) no p si y sólo si q; ii) q y no r. Señalar en ellas el valor el valor de verdad
correspondiente a las proposiciones dadas.
25) Dados los siguientes conjuntos: A = {x ∈  / x ≥ –2}, B = {x ∈  / x < 4}
y C = {x ∈  / –1 < x ≤ 5}; hallar: a) B ∪ C; b) B ∩ C; c) A ∩ C; d) A ∩
B. Expresar la solución en notación de conjunto y como intervalos.
… Expresiones Algebraicas:
26) Asignar un nombre a cada proposición simple componente, escribir
simbólicamente la proposición compuesta y determinar su valor de verdad:
n
a+b =
n
a + n b si y sólo si 2 x3 – 5 x2 – x – 2 es divisible por x + 2 o bien
1
log81   = 4 .
3
27) Dadas las siguientes proposiciones: p: El cociente y el resto de la división
1
entre 2 x5 + 4 x 4 − x 3 − x 2 + 7 y 2 x 2 − 1 son respectivamente x 3 + 2 x 2 + , y
2
1
1
−
2
15
1
; q: a + h a =
; y r: dcmgr  x 4 − 81, ( x + 3 )  =x 2 + 9 . ¿Cuál es



2
h
a ( a + h)
el valor de verdad de cada una de ellas?
28) Sean las siguientes proposiciones simples: p:
q:
3 2
3− 2
−
(
6 +2
)
2
x 2 − x − 12
2
x −9
.
3+ x
4−x
=
x +3
x −3
y
)
(
=
− 4+ 6 .
Determinar el valor de verdad de cada una de ellas y hallar el valor de
verdad de la siguiente proposición compuesta:  ( q ⇒ p ) ∨ p  ∧ q .


29) Sea A = {x / x ∈  ∧
2
x −2
≥
1
5
}
a) Hallar A ∩ .
b) Se sabe que la proposición compuesta “s ∈ A ∨
2 ∈ ” es falsa. Indicar
el valor de verdad de las proposiciones simples componentes. Concluir a
cuál conjunto pertenece el elemento s, y expresar a éste en términos del
conjunto A.
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Seminario Universitario – Matemática
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
Un poco de Lógica...
1) No son proposiciones los ítems: b); t) y v).
Son proposiciones simples los ítems: a); c); d); f); k); y r). Los restantes
son proposiciones compuestas y se deja a cargo del estudiante su
simbolización.
2) a) Si llueve, entonces hace frío, entonces no voy a la playa.
b) Si llueve y hace frío, no voy a la playa. c) No llueve ni hace frío.
d) No es cierto si llueve entonces haga frío, y voy a la playa.
3) A cargo del estudiante.
4) Se debe confeccionar la tabla de verdad correspondiente.
5) p ≡ F, q ≡ V a) V; b) V; c) F; d) V.
6) Se deben fijar en la fila correspondiente a la tabla de verdad de cada
operación.
7) y 8) A cargo del estudiante.
9) p ≡ V o p ≡ F; q ≡ V; y r ≡ F.
10) a) p ≡ V; q ≡ V; y r ≡ F ∴ (r ∨ q) ⇒ (r ∧ q) es F ; b) p ≡ V; q ≡ F i) F; ii) F.
11) a) F; b) F.
12) p ≡ F; q ≡ F; y r ≡ V.
13) p: un dragón se enoja; q: te quedas paralizado de miedo; r: el dragón te
s: apelas a su bondad.
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) ∧ (s ⇒ –r) ∴ p ⇒ s.
come;
14) p: ahorro; q: compraré un coche.
(p ⇒ q ∨ –q) ∧ (– p ⇒ –q).
15) p: Pago la luz; q: Me cortarán la corriente eléctrica; r: Me quedaré sin
dinero; s: Pediré prestado; t: Pagar la deuda; w: Soy desorganizado.
(–p ⇒ q) ∧ [p ⇒ (r ∨ s)] ∧ [(r ∧ s) ⇒ –t] ⇔ w.
Un poco de Conjuntos...
16) C =
{x ∈  / −3 ≤ x
≤ 5}
D=
F = {s / s es una recta ∧ s  r
17) A= {3; 4; 5; 6; 7; 8}
18)
}
{x ∈  / x + 5= 8}
E=
7∉A
{3; 4; 5} ⊂ A
∅⊂A
2
}
<3
G = {x / x = a ∨ x = e ∨ x = i ∨ x = o ∨ x = u
B = {–3; –2; –1; 0; 1; 2; 3}
2∈A
{x ∈  / x
{3; 4} ⊂ A
{∅} ⊄ A
C = {–2; 2}
}
D=∅
{3; 0} ⊄ A
x∉A
23
Módulo 1: Introducción a la Lógica y a Conjuntos
19)
A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8}
B
A
1
A ∩ B = {2; 4; 6}
A – B = {1; 3; 5}
A ∆ B = {1; 3; 5; 8}
3
5
2
4
8
6
20)
C ∩ D {m;=
n; ñ; r }
E
; r}
{a; e; i; o; u; m; n; ñ=
D−E =
{m; n; ñ; r } E − C =E C ∩ E =∅ D − C =
{a}
C ∆D =
{a; b; c; d; f ; g; h; j; k; l; ll; p; q; s; t; v; w; x; y; z }
=
E − D {e; i; o;=
u}
E ∩ D { a}
E ∪D
=
Ejercicios de refuerzo...
A cargo del estudiante, consultar con el equipo docente.
24
C