Download cuadernos universitarios

ISSN – 0325 – 6308
CUADERNOS UNIVERSITARIOS
Universidad Nacional del Comahue
Centro Regional Universitario Bariloche
N° 49 – Agosto de 2006
LÓGICA INFORMAL
Mónica de Torres Curth, Carolina Biscayart y Ana María Fernández
Editor Responsable:
Secretaría de Investigación
Centro Regional Universitario Bariloche
Universidad Nacional del Comahue
Unidad Postal UNC
8400 Bariloche
ARGENTINA
TE: ++54-944-26368
FAX: ++54-944-22111
ISSN - 0325 – 6308
Agosto 2006
2
Resumen:
Este trabajo, dirigido a un público no matemático, es una aproximación a la lógica
a través de un análisis del paralelismo entre el razonamiento cotidiano y el razonamiento
formal propio de las ciencias. Distinto tipo de razonamientos impregnan la vida
cotidiana, aunque muchas veces se diferencian sustancialmente del razonamiento lógico
formal. Intentamos usar este hecho como punto de partida para la formalización de
algunos conceptos que dan las bases para la estructura del razonamiento lógico formal.
3
4
Índice
Introducción...................................................................................................................... 6
Lógica formal y Lógica informal...................................................................................... 8
¿Qué saben de lógica los que no saben lógica? ................................................................ 9
Usos de la palabra “lógica” en el lenguaje coloquial ....................................................... 9
Proposiciones.................................................................................................................. 15
Las proposiciones y los conjuntos .................................................................................. 17
Cuantificadores............................................................................................................... 18
Los cuantificadores en el lenguaje coloquial.................................................................. 20
El valor de verdad de las proposiciones categóricas ...................................................... 22
Una breve digresión acerca de la verdad en las ciencias................................................ 22
Operadores lógicos ......................................................................................................... 24
La negación .................................................................................................................... 26
Valor de verdad de la negación ...................................................................................... 26
La negación como relación entre conjuntos: .................................................................. 27
La negación en el lenguaje coloquial ............................................................................. 27
La negación de proposiciones categóricas ..................................................................... 29
Los conectivos ................................................................................................................ 30
El conectivo “∧” ............................................................................................................. 30
Valor de verdad de una conjunción ................................................................................ 32
La conjunción como una operación entre conjuntos ...................................................... 32
El conectivo “∨” ............................................................................................................. 34
Valor de verdad de una disyunción ................................................................................ 34
La disyunción como una operación entre conjuntos ...................................................... 35
El “o” excluyente............................................................................................................ 36
La conjunción y la disyunción en el lenguaje coloquial................................................. 37
Resumen de las relaciones entre operadores lógicos y conjuntos ................................. 39
Algunos ejercicios relativos A los conectivos “∧” y “∨” y la negación......................... 40
La implicación ................................................................................................................ 41
El valor de verdad de la implicación .............................................................................. 43
La implicación en el lenguaje coloquial ......................................................................... 45
La implicación como una relación entre conjuntos ........................................................ 48
Condiciones necesarias y suficientes.............................................................................. 51
Algo más sobre el valor de verdad de las implicaciones................................................ 54
La doble implicación ...................................................................................................... 55
El valor de verdad de la doble implicación .................................................................... 56
La doble implicación como una relación entre conjuntos .............................................. 56
Algo más sobre cuantificadores...................................................................................... 56
Algunos ejemplos de aplicación ..................................................................................... 58
La lógica y las reglas ortográficas de acentuación ......................................................... 58
La lógica y las plantas .................................................................................................... 60
La demostración en matemática ..................................................................................... 63
Agradecimientos............................................................................................................. 65
Bibliografía..................................................................................................................... 65
5
La lógica llena el mundo; los límites del mundo son
también sus límites.
Ludwig Wittgenstein
Tractatus Logico-Philosophicus, 5.61
Introducción
El lenguaje cotidiano tiene una gran riqueza porque ofrece la posibilidad de ser
usado analógicamente. Cuando hablamos hacemos uso de metáforas, de símbolos, de
sinónimos y podemos abundar en matices. Tenemos códigos de comunicación que nos
permiten sobreentender cosas que no están dichas. Podemos ser breves y aún así ser
entendidos. Usamos el lenguaje para transmitir sentimientos o ideas que no pueden
expresarse con exactitud. Más aún, iguales expresiones pueden cambiar de significado
según las circunstancias, nuestro interlocutor, o nuestra intencionalidad. Una misma
palabra puede ser usada con humor, ironía, rabia, ternura...
Esta flexibilidad del lenguaje cotidiano, es la que permite construir expresiones
de gran belleza como un poema.
El lenguaje utilizado para la comunicación en las ciencias, el lenguaje científico,
es un depuración y, en algún sentido, un empobrecimiento del lenguaje ordinario.
El lenguaje científico es un lenguaje carente de ambigüedad, de un alto nivel de
corrección y una marcada sencillez sintáctica, objetividad y universalidad. Es por eso
especialmente cuidadoso con el orden expositivo y la coherencia interna de lo expuesto.
Cada ciencia posee su jerga y su lenguaje propio. En la matemática predomina el
uso de un lenguaje formal que se distancia, en mayor grado que en otras ciencias, del
lenguaje cotidiano. En muchas ciencias, los objetos de los que se ocupan suelen ser
naturales, observables a simple vista o por medio de instrumentos. Sus enunciados no
6
están sometidos a la opinión pero admiten cierto grado de interpretación. La matemática
trabaja con objetos ideales que son creados por el hombre, que existen en su mente. Sus
formulaciones suelen ser muy concisas en cuanto a la forma. El lenguaje matemático
puede ser considerado un “idioma”, ya que dispone de un sistema de escritura complejo,
regido por reglas y sintaxis propias. Otra característica de este lenguaje, reside en el uso
de símbolos sin distinción de los objetos que representan y en la naturaleza abstracta de
esos objetos.
Esta cualidad de “forma compacta” hace que, desde el punto de vista del experto
que conoce “el idioma matemático”, la comunicación sea más sencilla, pero pone en
juego la comprensión de aquellas personas que se aproximan a la esta ciencia.
Desde el lenguaje cotidiano hasta el que utilizan los profesionales matemáticos
en la comunicación de sus resultados hay infinidad de grises. El lenguaje matemático
formal debería ser la culminación de un proceso de construcción personal que permita
separarse paulatinamente del lenguaje cotidiano.
Así como hay un lenguaje matemático, también hay una “forma de pensar
matemática” . La matemática se basa en procesos deductivos, en razonamientos válidos
que permiten inferir con rigurosidad una verdad de la validez de otras. Tanto el
pensamiento como el lenguaje cotidiano, presentan aparentes similitudes con esta forma
de pensar, aunque en el fondo, hay diferencias radicales.
Nos proponemos un análisis de los razonamientos básicos de la matemática y de
sus “aparentes pares” en el la forma de pensar de todos los días, para explotar sus
similitudes, en aras de facilitar el recorrido hacia la comprensión, y clarificar las
diferencias, que muchas veces se convierten en obstáculos “invisibles” en el
aprendizaje.
En este trabajo hablamos de matemática, y hablamos de lógica, que es la forma
de pensar de la matemática.
7
Lógica formal y Lógica informal
El término lógica deriva del griego clásico logos el cual significaba palabra o lo
que se habla, sin embargo, en la época contemporánea, se interpreta como pensamiento
o razonamiento. La lógica se remonta a la antigua China, India y Grecia, entre el siglo
V a.c. y el siglo I a.c.
Hemos denominado a este trabajo “Lógica Informal”. La “lógica informal”
existe como rama de la lógica, y nació como el estudio metódico de los argumentos
(Aristóteles la llamaba “el arte de la argumentación correcta y verdadera”), investigada
principalmente por la retórica, la oratoria y la filosofía, especializándose en la
identificación de falacias y paradojas, así como en la construcción correcta de los
razonamientos. Tradicionalmente esta lógica parte de la base de que el pensamiento
humano es muchas veces falaz. Así, ha tenido como finalidad una búsqueda de la
verdad por lo que se ha dedicado a clasificar los razonamientos en correctos y falaces.
A diferencia de la anterior, la lógica formal se refiere al estudio de argumentos
racionales en forma estrictamente esquematizada y organizada. Se basa en
razonamientos correctos e intenta llegar a niveles superiores de razonamiento. La lógica
matemática o simbólica está inmersa dentro del campo de la lógica formal [1].
Este trabajo no es entonces un apunte de lógica formal ni de lógica informal. No
estamos usando el nombre de “informal” en el sentido que hemos descripto, sino que
pretendemos señalar algunas diferencias entre el razonamiento propio de la matemática
y el razonamiento cotidiano, y en este sentido, nuestro trabajo es más bien un estudio
de una lógica “sin corbata”1. Para una aproximación más formal al estudio de esta
disciplina, puede el lector consultar el texto “Elementos de lógica proposicional” [2] de
esta misma serie o el libro “Elementos de lógica simbólica” [3].
En este trabajo se encontrarán actividades que aparentemente poco tienen que
ver con la matemática (como por ejemplo un análisis de varios fragmentos tomados de
la literatura, los periódicos o libros de texto), pero que aportan elementos de reflexión
acerca de lo que significa el pensamiento lógico deductivo, propio de la matemática.
1
Estamos usando (con permiso) este término que fue acuñado por una querida profesora de la
Universidad Nacional del Comahue, Cristina Ferraris, al referirse a algunas demostraciones “informales”
en geometría.
8
¿Qué saben de lógica los que no saben lógica?
Todos los seres humanos tenemos necesidad de hacer inferencias, de uno u otro
tipo. Dondequiera que hay necesidad de realizar inferencias hay lógica, por tanto, todos
practicamos cotidianamente algún tipo de lógica. Si lo anterior es cierto, entonces es
falso que un estudiante que por vez primera se enfrenta a un curso de lógica, vaya a
aprender, por primera vez en su vida, a realizar inferencias lógicas. En un sentido, se
trata siempre de “falsos principiantes”. En particular, parece un error suponer que la
tarea de un curso de lógica sea “enseñar a pensar”. Los estudiantes ya saben pensar (y
cosas muy interesantes). La tarea del profesor de lógica es, más bien, orientarlos para
pensar mejor. Darles herramientas para un mejor análisis del pensamiento de los otros, y
una mejor articulación del propio. Ayudar al estudiante a “pensar mejor”
primordialmente supone: 1) Hacerle ver la necesidad de discutir y resolver problemas de
manera argumentada, lógica y racional, y crear la disposición a seguir vías racionales y
2) Ayudarle a detectar los modos inadecuados de inferencia y argumentación, presentes
tanto en su propio discurso como en el de los otros [4]. Este cuadernillo, precisamente,
busca abrir las puertas en este sentido.
Usos de la palabra “lógica” en el lenguaje coloquial
Como primera actividad proponemos la lectura de un texto [5] acerca de los
distintos usos y acepciones de la palabra “lógica” en el lenguaje coloquial, de modo de
intentar una reflexión acerca de las diferencias entre el pensamiento y razonamiento
cotidianos, y en las ciencias.
Inmerso en el lenguaje coloquial, el término “lógica”, en su uso como sustantivo,
adjetivo o adverbio adquiere diversos sentidos.
Empleado como sustantivo en el lenguaje cotidiano, la palabra “lógica” adquiere
el sentido de estructura de razonamiento, forma o modo de pensar o razonar, o,
simplemente, razonamiento. Así se habla de “la lógica del escándalo”, para referirse al
modo de pensar de la prensa de nuestro medio, que decide brindar cobertura a un hecho
9
en función del escándalo que éste genere. Asimismo, se emplea el término “lógica”
como sinónimo de sentido común, buen sentido, razón o actitud racional, cuando se
afirma, por ejemplo, que “felizmente prevaleció la lógica”. Se hace uso del sustantivo
“lógica”, también para significar una determinada estructura de ordenamiento o la forma
en que se encuentran dispuestas ciertas partes o ciertos elementos de un conjunto o
ámbito. Así, ese es el sentido que toma en el siguiente texto: “Me he visto obligado dijo - a creer que la lógica de sus acciones estaba desequilibrada” (G. Flaubert, Madame
Bovary). Suele también significar, en otro contexto, coherencia o sentido; así podemos
leer: “Aunque todo es mentira, no deja de tener lógica todo lo que dice” (Shakespeare,
Hamlet).
En su uso como adjetivo, la palabra “lógica” pasa a significar “natural”, en el
sentido de previsible; es decir, hace referencia a un hecho o acción que se esperaba
sucediese como consecuencia necesaria de un evento determinado; y así se dice: “es
lógico que el anciano reaccione de la siguiente manera si le robaste las manzanas” (M.
de Vasconcelos, Mi planta de naranja lima). También suele usarse para significar algo
“obvio” o “evidente”: “no podía haber más que un solo significado lógico tras las
palabras de Luisa Bourget” (A.Chirstie, Poirot en Egipto). Asimismo, pasa a significar,
en otros casos, “necesario”, como en el texto siguiente: “como consecuencia lógica de
su buena actuación en las tablas, comenzó a trabajar en el cine” (M. Paján, Grandes
estrellas del cine). En otras ocasiones, con este término se hace referencia al carácter
coherente que algo posee; en este sentido, por ejemplo, se dice que “los ingenieros
hidráulicos participantes en el proyecto propusieron soluciones lógicas al problema” (El
Comercio, 03-08-02, p. 10). Además, cuando se dice que algo tiene un orden lógico se
hace referencia a aquello que tiene un orden riguroso, sistemático y coherente, aunque
en este caso, tal vez, el uso del término sea redundante, pues todo orden, por definición,
es riguroso, sistemático y coherente. El empleo de la palabra “lógico” también sirve
para caracterizar una actitud como “razonable” o “sensata”, y así se dice, por ejemplo,
de un determinado funcionario que “lo más lógico sería que deje su cargo mientras goza
de cierta aprobación”.
10
En su uso como adverbio, el término “lógica” se convierte en “lógicamente”, y
expresa los mismos sentidos que posee como adjetivo, pero expresando “modo”. De
esta forma podemos decir, por ejemplo, que “la decisión fue tomada, lógicamente,
después de un detenido análisis”.
Por último, el término “ilógico” es usado como sinónimo de “irracional”,
“absurdo”, “incoherente” e “inverosímil” cuando toma la forma de adjetivo. Como
ejemplos de este uso tenemos: “el alcalde de Miraflores inauguró el viernes una obra
inconclusa, aunque suene ilógico” (El Comercio, 18-08-02, p.22); “Lheureux quedó
estupefacto, era algo ilógico para él lo que le estaba pasando” (G. Flaubert, Madame
Bovary).
1) Confeccionar un cuadro o esquema que sintetice los distintos sentidos del término
“lógica” (y derivados) en su uso como sustantivo, adjetivo y adverbio en el lenguaje
coloquial. Poner un ejemplo para cada caso.
2) Señalar de qué modo (como sustantivo, adjetivo o adverbio) es usado el término
“lógica” e indicar su significado en los siguientes textos:
a) “En esos encuentros imaginarios había analizado diferentes posibilidades.
Conozco mi naturaleza y sé que las situaciones imprevistas y repentinas me
hacen perder todo sentido, a fuerza de atolondramiento y timidez. Había
preparado, pues, algunas variantes que eran lógicas, o por lo menos posibles. No
es lógico que un amigo íntimo le mande a uno un anónimo insultante, pero todos
sabemos que es posible.” (E. Sábato, El Túnel)
b) “Yo, con sólo mirarla, me doy cuenta de que el mal está empezando. No es nada
preciso, no hay un síntoma claro, una evidencia objetiva; tampoco una lógica, un
motivo, una causa concreta que lo origine.” (G. Polarollo, Atado de nervios)
c) “Hace poco nos enteramos que en el Congreso se iba a eliminar la Comisión de
Cultura, arrumando ésta en el furgón de cola de otra comisión. Felizmente
prevaleció la lógica, y no se deshizo con una mano lo que se había hecho con la
11
otra. La Comisión de Cultura todavía existe.” (El Dominical del diario El
Comercio, 18-08-02, p.19)
d) “Los resultados estadísticos pueden ser considerados lógicamente válidos...” (La
Razón, 16-07-02, p.13)
e) “La trampa lógica por la cual todo el que se lanza contra Toledo es un amigo de
la oposición democrática, viene avanzando peligrosamente” (La República, 2208-02, p.7)
f) “En la sierra es lógico que el líder decida todo sin pedir opinión de nadie, y
mucho menos a una mujer; si a ello sumamos la ignorancia, tenemos un modelo
de atraso social” (Somos, de El Comercio, año XV, Nº 820, 2002)
g) “Los hombres adoran los razonamientos abstractos y las sistematizaciones bien
elaboradas, a tal punto que no les molesta deformar la verdad, cierran los ojos y
los oídos a todas las pruebas que los contradicen con tal de conservar sus
construcciones lógicas” (F. Dostoievski, Memorias del Subsuelo)
h) “No pretendo afirmar que universos como el nuestro se den de manera frecuente,
simplemente afirmo que la frecuencia esperada no es cero, dijo Tryon. La lógica
de la situación dicta, no obstante, que los observadores siempre se encuentran en
universos capaces de generar vida, y tales universos son impresionantemente
grandes” (J. Gribbin, En busca del gato de Schrödinger)
i) “Le escribió: pero la melancolía me invade con gran fuerza, y cuanto más se
normaliza mi salud, cuanto más puedo pensar con frialdad y lógica, tanto más
demencial me parece que siga fabricando cuadros que nos cuestan tanto y no
aportan nada” (H. Frank, Van Gogh)
j) “Aunque ha encontrado a María por casualidad, atribuye el encuentro a la
causalidad de su capacidad lógica, pero inmediatamente, ante el miedo ilógico
de perderla, se da cuenta de su desorientación...” (S. Sauter, Introducción a El
Túnel)
12
k) “Un piloto de una aerolínea comercial sostuvo a Correo lo siguiente: ´Si hubo
poca visibilidad, el comandante de la nave debió regresar y evitar el aterrizaje.
Lo lógico era no continuar con el vuelo´” (Correo, 12-01-03)
l) “El concepto de etnicidad que opera en la novela presupone una relación de
causalidad entre los orígenes y el estado actual de los comportamientos sociales.
Los ´defectos´ a los cuales alude Abbadon el Exterminador, encuentran ahí su
explicación lógica” (E. Castillo Durante, Los vertederos de la postmodernidad)
m) “No se quiénes tenían que esperar en Jerusalén, quizá un grupo de templarios
supervivientes y disfrazados, o unos cabalistas vinculados con los portugueses,
pero seguro que para llegar a Jerusalén desde Alemania, el camino más lógico es
el de los Balcanes, donde esperaba el quinto grupo, el de los paulicianos”. (H.
Eco, El péndulo de Foucault)
n) “Castell menciona la noticia de una instancia inexplicable lógicamente, pero que
constata la degradación de la conciencia humana contra su propia especie”
(S.Sauter, Introducción a El Túnel)
o) “Una de esas oscuridades, no la más ardua pero no la menos hermosa, es la que
nos impide precisar la dirección del tiempo. Que fluye del pasado hacia el
porvenir es la creencia común, pero no es más ilógica que la contraria, fijada en
verso español por Miguel de Unamuno: Nocturno el río de las horas fluye /
desde su manantial que es la mañana / eterno...” (J.L. Borges, Historia de la
eternidad)
p) “Los conceptos no pueden considerarse jamás como derivados lógicamente de
las impresiones de los sentidos. pero, como finalidad didáctica y también
heurística, es inevitable semejante proceder. Moraleja: si no se peca contra la
razón, no se llega generalmente a nada; o bien no se puede edificar una casa o
construir un puente sin emplear un andamiaje que, a decir verdad, no forma parte
de ellos” (A. Einstein, citado por Kouznetsov,
pensamiento, sus teorías, 1975, p.110)
13
Einstein. Su vida, su
q) El uso del lenguaje para comunicarse por escrito es, quizá, la capacidad que
refleja más fielmente el orden y la madurez del pensamiento del hombre, además
de cumplir la importante función educativa de transmitir en cada mensaje,
conocimientos de una persona a otra. Es lógico, entonces, pensar que los
estudiantes a través de su trayectoria educativa deben ir evolucionando o, mejor
dicho, mejorando, tanto en su contenido de ideas como en la forma de escribir
esas ideas de acuerdo con el desarrollo y la madurez de su pensamiento según se
incrementen sus conocimientos debido a los años de estudio o escolaridad [6].
“El abogado Jorge Oyarzábal defendió su caso con pasión. Cada argumento estaba
lógicamente encadenado con el siguiente, no dejó puntos débiles, lo que dijo en segundo
término fue consecuencia de lo que dijo en primer término, no se contradijo, dio sus
explicaciones sin ambigüedad, y toda su construcción de argumentos fue así sólida.
¿Diríamos que defendió el caso con un rigor lógico admirable? ¿Significa que dijo
siempre la verdad?
Es precisamente esta coherencia interna de los argumentos, esta coordinación
adecuada del pensamiento consigo mismo, y no su adecuación a la realidad, no la
verdad de las afirmaciones que entraron en juego en este caso lo que le interesa a la
lógica como ciencia.
La lógica es una ciencia formal que estudia las técnicas, procedimientos, reglas,
métodos y los principios o leyes usados para distinguir la inferencia “correcta” de la
“incorrecta”; para discriminar la inferencia “válida” de la “no válida”. Es ciencia
formal, porque ella atiende sólo al aspecto estructural de las inferencias sin considerar el
contenido significativo de sus proposiciones componentes.
14
Proposiciones
El lenguaje (cotidiano, científico, de programación u otro) está constituido por
expresiones, que son un conjunto de signos (símbolos, palabras, etc.) que poseen un
sentido.
Por ejemplo, 110011 + 10010 = 1000101 tiene un sentido en el lenguaje binario,
más allá de que sea correcto o no. “If x > 4 then go to 5” tiene un sentido en el lenguaje
de programación. ¿Cómo estás Roberto?, tiene un sentido en el lenguaje social. Las
órdenes, las preguntas, los saludos, las afirmaciones, tienen un sentido en el lenguaje
cotidiano.
En especial, algunas expresiones afirman o niegan cosas. Estas expresiones o
enunciados que afirman o niegan, se llaman proposiciones.
Las proposiciones pueden ser verdaderas o falsas.
Por ejemplo:
ƒ “8 es un número par”, es una proposición, y es verdadera.
ƒ “Todas las aves vuelan”, es una proposición, y es falsa.
ƒ “Existe un alumno de esta universidad menor de 20 años” es una proposición,
y es verdadera.
ƒ “¿Cómo te llamás?” no es una proposición.
ƒ “¡Bajá el volumen de esa música!” no es una proposición.
Lo que hace
que una expresión
sea una proposición es precisamente la
posibilidad (aunque sea teórica) de asignarle un valor de verdad. Por ejemplo “hay vida
en otro lugar del universo” o “Dios existe” son proposiciones, ya que pueden ser
verdaderas o falsas, aunque demostrar que lo son pueda ser difícil o imposible.
Se define como proposición a una oración o enunciado declarativo carente de
ambigüedad, que es verdadera o falsa, pero nunca las dos cosas simultáneamente.
La veracidad o falsedad de un enunciado se llama su valor de verdad. Los
términos verdadero o falso se consideran como atributos de una proposición,
excluyéndose de ellos toda interpretación filosófica.
15
La estructura matemática es precisamente una construcción basada en el
enunciado de proposiciones de las cuales de debe probar su verdad o falsedad.
3) Determinar si las siguientes expresiones son proposiciones y cuáles no lo son.
Explicar por qué.
ƒ El sol es cuadrado.
ƒ ¿Existe la justicia?
ƒ La cuchara sirve para.
ƒ Existe la justicia
ƒ La mamá sirve postre.
ƒ No existe la justicia
ƒ Mi bisabuela se peinó con rodete el
ƒ 2+5=6
16 de julio de 1899.
ƒ 2+5=7
ƒ ¿Qué hora es?
ƒ 2+5
Las proposiciones a las que hemos hecho referencia hasta ahora se llaman
“proposiciones cerradas” en el sentido de que dentro del enunciado de la proposición
no aparece ninguna variable, y por consiguiente tiene un valor de verdad definido (son
verdaderas o falsas).
Una proposición abierta (también llamada función proposicional) es una
expresión que contiene una variable, por lo que no tiene, en principio, un valor de
verdad hasta que la variable sea sustituida por un valor determinado, que hace que la
expresión se convierta en una proposición cerrada, es decir, adopte a partir de la
asignación de un valor fijo a la variable, un valor de verdad.
Por ejemplo p: “x es un número par” es una proposición abierta pues su valor de
verdad depende del valor que adopte el número x. Por ejemplo, si x adopta el valor 2,
esta proposición abierta se transforma en la proposición cerrada “2 es un número par”
que es verdadera. Si x adopta el valor 3, la proposición abierta se transforma en la
proposición cerrada “3 es un número par” que es falsa. Decimos que un determinado
valor para la variable verifica la proposición p cuando la hace verdadera.
16
Las proposiciones y los conjuntos
Dado un conjunto referencial cualquiera U, una proposición abierta p definirá un
subconjunto (eventualmente vacío) de elementos que hacen a la proposición verdadera
y otro subconjunto (complemento del anterior) de elementos que hacen a la proposición
falsa. Es decir, podemos diferenciar los elementos de U en dos conjuntos disjuntos, uno
formado por los elementos que verifican a p y otro por los que no la verifican.
elementos que no
verifican p
U
A
elementos que
verifican p
Por ejemplo, si U tiene por elementos los meses del año y p es la proposición
abierta “el mes x tiene 30 días”, podemos distinguir dentro de U un subconjunto de
elementos que hacen verdadera a la proposición p (abril, junio, septiembre y noviembre)
y un subconjunto de elementos que hacen falsa a la proposición p (enero, febrero,
marzo, mayo, julio, agosto, octubre y diciembre).
En caso de que se trate de dos proposiciones abiertas p y q cada una de ellas
definirá dentro del referencial un subconjunto de elementos que la verifica, definiéndose
así cuatro regiones.
IV: elementos que
no verifican ni p ni q
U
IV A
B
II
I
II: elementos que
verifican sólo p
I: elementos que
verifican tanto p
como q
III
III: elementos que
verifican sólo q
Las regiones I y II reúnen a todos los elementos que verifican p y las regiones I
y III a todos los que verifican q.
17
En adelante usaremos la notación p, q, ... etc. para referirnos indistintamente a
proposiciones abiertas o cerradas, quedando claro su significado en el contexto.
Las proposiciones pueden separarse en simples (o atómicas) y compuestas. Las
proposiciones simples son aquellas que no tienen ninguna otra proposición como parte
constituyente, como por ejemplo “llueve”, o “5 es un número primo”.
Las
proposiciones compuestas son aquellas que están constituidas por dos o más
proposiciones simples, como por ejemplo “hace calor y tengo ganas de ir a la playa”, o
“tengo hambre, frío y no consigo un taxi”, o “ si un número es divisible por 2 y por 3, es
divisible por 6”.
Cuantificadores
Veamos ahora un tipo particular de proposiciones que se llaman categóricas.
Son aquellas en las que está involucrada una referencia a la totalidad de los elementos
de un conjunto (por ejemplo “ todas las plantas son sésiles” ) o a una parte de los
elemento de un conjunto (por ejemplo “ existen gramíneas que no son anuales” )
En el lenguaje común, hay varias expresiones que se utilizan indistintamente
para la misma forma lógica. Por ejemplo:
Usamos las palabras:
• Todo
• Ninguno
• Cualquiera
• No hay
• Nadie
• Los / Las
Usamos las palabras:
• Existe
• Un / unos
• Alguno o algunos
• Hay
Para
referirnos a
TODO
Por ejemplo:
• Todos los insectos alados tienen 6 patas
• Ningún lugar está lejos
• Cualquier múltiplo de 6 puede dividirse por 3
• No hay mamíferos acuáticos
• Nadie es perfecto
• Las cámaras digitales utilizan baterías
Por ejemplo:
Para
• Existen hombres daltónicos
referirnos a
• Unos pancitos tienen queso
que EXISTE
al menos uno • Algunos mamíferos tienen alas
• Hay algunos sitios de acampe donde no se
puede hacer fuego
18
4) Redactar las proposiciones del cuadro en la forma “Todo...” o “Existe...”, por
ejemplo: “Algunos mamíferos tienen alas” se escribirá como “Existe un
mamífero que tiene alas”
Las expresiones todo y existe se denominan cuantificadores.
En resumen:
En el lenguaje matemático, la palabra “todo” (o sus equivalentes) en una
proposición indica que cualquier elemento que se elija dentro del conjunto posee la
propiedad. El símbolo que se utiliza para “todo” es ∀ (se lee “para todo”).
En el lenguaje matemático, la palabra “existe” (o sus equivalentes) en una
proposición indica que hay dentro del conjunto al menos un elemento que posee la
propiedad. Puede ser uno, varios, o incluso todos. El símbolo que se utiliza para
“existe” es ∃ (se lee “existe”).
Por ejemplo, consideremos el conjunto de todos los números pares positivos menores o
iguales que 20: A = {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
∀ x ∈ A, x es par (todo elemento del conjunto A es par)
∃ x ∈ A tal que x es múltiplo de 6 (existe al menos un elemento dentro de A que
es múltiplo de 6)
La utilización de los cuantificadores siempre está asociada a un conjunto de
referencia y se refiere a una propiedad que cumplen (o no) los elementos de ese
conjunto. Y es justamente en relación a los elementos de ese conjunto de referencia que
la afirmación puede ser verdadera o falsa.
19
5) Dadas las siguientes proposiciones,
ƒ
Todos los perros son blancos.
ƒ
Hay mamíferos que vuelan.
ƒ
Existe un león que ruge
ƒ
Ningún metal es líquido
ƒ
Los leones tienen melena
ƒ
Hay plantas que no se
ƒ
Hay gallinas que ponen huevos
verdes
reproducen por semillas
Identificar un conjunto de referencia para cada uno y redactar las proposiciones
anteriores de la forma “Todo...” o “Existe...”
Ejemplo: Todos los perros son blancos
Conjunto de referencia:
El conjunto de todos los perros que existen
Todo perro es blanco.
(¡no es importante si las afirmaciones son verdaderas o falsas!)
6) Proponer algunas proposiciones que incluyan cuantificadores y redactarlas en la
forma “Todo...” o “Existe...”
Cualquier proposición categórica se puede escribir en la forma “Todo...” o “Existe...”
Por ejemplo: “Hay mamíferos acuáticos” se escribe como “Existe un mamífero
que es acuático”.
Los cuantificadores en el lenguaje coloquial
Es importante distinguir el uso de la palabra todo del lenguaje común de su uso
en el lenguaje matemático. “Todo” en matemática, no significa “muchos”, ni “casi
todos” , sino que ningún elemento del conjunto queda excluido de la propiedad. En el
lenguaje común muchas veces se usa la expresión “todo” sin el rigor de precisión que
requiere la matemática. Por ejemplo, “todo el mundo sabe que tomar sol sin protector
solar es peligroso”. ¿Estamos seguros que no hay sobre el planeta un ser que ignore esta
20
premisa?. Otro ejemplo cotidiano: “¿qué querés comer?”, “cualquier cosa está bien”.
¿Estamos seguros?, ¿cualquier cosa? ¡puaj!. Es decir, en matemática para que una
afirmación que contenga la palabra todo sea verdadera, la totalidad de los elementos del
conjunto al que hace referencia la afirmación deben cumplir la propiedad, lo cual no es
necesariamente cierto en el lenguaje común. El todo en matemática, tiene un sentido
absoluto. Por ejemplo, “los ángulos interiores de todos los triángulos suman 180º” hace
referencia a que cualquier triángulo, por más raro que sea, tiene la propiedad. En el
lenguaje común esto no es así. La mayoría de las veces la una afirmación que contiene
la palabra todo se refiere a que en la mayoría de los elementos del conjunto al que se
hace referencia tienen la propiedad. En el lenguaje común “todo” se usa muchas veces
como equivalente de “muchos” o “casi todos”, o “la mayoría”. Por ejemplo la
afirmación “en mi familia todos los 29 almorzamos ñoquis” se refiere a que en la
medida de lo posible, esa familia come ñoquis los 29, casi siempre lo hacen, pero nada
ocurre en esta afirmación si justo un 29 de enero son invitados a la casa de los vecinos a
almorzar un asado. En el mismo asado, la señora invitada podría decir “en mi familia
todos los 29 almorzamos ñoquis” como un comentario (falso desde el punto de vista
matemático) y nadie pensará que está diciendo una falsedad. Si al asado está invitado un
matemático, la misma afirmación “nadie pensará que está diciendo una falsedad” , que
habíamos entendido como una generalidad, sería falsa porque el matemático (que no
puede con su genio) estaría pensando: “el hecho de que esta señora esté masticando un
choripán demuestra que la afirmación en mi familia todos los 29 almorzamos ñoquis es
falsa”
Asimismo, en matemática la afirmación existe hace referencia a que hay al
menos un elemento en el conjunto que cumple la propiedad. Puede ser uno, varios o
incluso todos. En el lenguaje común “existe” se usa como equivalente de “alguno”,
como para señalar una rareza.
21
El valor de verdad de las proposiciones categóricas
Como toda proposición, las proposiciones categóricas (las que contienen
cuantificadores) poseen un valor de verdad (es decir, puede decirse de ellas que son
Verdaderas o Falsas). En algunos casos decir de una proposición que es verdadera o
falsa es sencillo. Para la proposición “Llueve”, basta con mirar por la ventana para
decidir.
¿Cómo podemos demostrar que una afirmación que tiene un cuantificador es
verdadera o falsa?
Por ejemplo: La afirmación “Todo los perros son blancos” es falsa. ¿cómo lo
sabemos? Basta con mostrar un perro que no sea blanco.
La afirmación “Todo número múltiplo de 6 es par” es verdadera. Para mostrar
que esto es cierto, dado que no hay posibilidades de revisar uno por uno todos los
múltiplos de 6, hay que recurrir a una demostración general, a un razonamiento
deductivo que nos permita evidenciar que la afirmación es cierta. En este caso es
sencillo, porque para que un número sea múltiplo de 6, debe ser a la vez múltiplo de 3 y
de 2. Al ser múltiplo de 2 es par. Por lo tanto la afirmación es cierta para cualquier
múltiplo de 6.
7) Explicar cómo demostrarías si las afirmaciones del inciso 5) son verdaderas o
falsas.
Una breve digresión acerca de la verdad en las ciencias
La división más aceptada entre las ciencias es la de ciencias fácticas y ciencias
formales. Las ciencias fácticas trabajan con objetos reales que ocupan un espacio y un
tiempo que a su vez se subdividen en naturales (biología, física, química, etc. ) y
sociales (sociología, economía, psicología, etc.). Las formales trabajan con formas, es
decir, con objetos ideales que son creados por el hombre, que existen en su mente y son
obtenidos por abstracción. La lógica y la matemática son ciencias formales.
22
La verdad de las ciencias fácticas es fáctica porque depende de hechos, y es
provisoria porque nuevas investigaciones pueden presentar elementos para su
refutación.
Las ciencias formales demuestran o prueban. En la matemática y en la lógica hay
verdades absolutas: axiomas o teoremas. Los axiomas son verdades a priori y los
teoremas son verdades que se demuestran por procesos deductivos a partir de axiomas
o de teoremas anteriores. La verdad de las ciencias formales es necesaria y formal. La
demostración es completa y final.
En las ciencias fácticas, las teorías científicas, que pueden considerarse como
“verdades” se constituyen como un conjunto de leyes y teorías que son aceptadas como
tales mientras no exista una observación o experimentación que permita rechazarlas. En
ellas prima un proceso inductivo, de modo que a partir de un cierto número de
observaciones o experimentaciones se permite una generalización que se denomina
“ley”.
En las ciencias formales se demuestran las verdades, mientras que en las ciencias
fácticas se verifican (confirman o refutan) hipótesis. Esta verificación es incompleta y
temporaria.
En matemática y lógica cuando un teorema ha sido demostrado, es una verdad
“para siempre”, que será utilizada para sostener las demostraciones de nuevos teoremas
que se enuncien con posterioridad. En las otras ciencias, esto no es así. Abundan en la
historia de las ciencias ejemplos de teorías que se sostuvieron como verdades hasta que
se comprobó su falsedad. Por ejemplo hasta el año 1759 la teoría de la epigénesis
avalaba entre otras, la teoría de la preformación. Esta sostenía que las células sexuales
contenían individuos diminutos preformados, que sólo necesitaban aumentar de tamaño
durante el desarrollo embrionario. En 1759 C.F. Wolff propuso el concepto de que los
caracteres del nuevo individuo deben desarrollarse a partir del material indiferenciado
del espermatozoide y los óvulos, contrariamente a lo sostenido hasta ese momento. De
esta manera la nueva teoría (que refutaba la anterior) sentó las bases de un nuevo
enfoque para el estudio del desarrollo, y permitió implicaciones en la teoría
evolucionista [7].
23
Operadores lógicos
Consideremos el siguiente conjunto, que llamaremos R, que será nuestro
conjunto referencial en varios de los ejercicios que propondremos realizar2.
Conjunto R
Atributos
Color
Forma
Valores
Convención simbólica
A rayas
a
Blanco
b
Negro
n
Circulo
o
Cuadrado
c
Triangulo
t
Grande
g
Pequeño
p
tamaño
Indicaremos a los elementos de este conjunto R haciendo referencia al valor que
adoptan los tres atributos considerados (forma, color, tamaño). Así por ejemplo (t,n,g)
representa el triángulo negro grande.
Consideremos además, un tipo de diagramas de circulación que denominaremos
red lógica. En las redes lógicas, es posible hacer circular todos los elementos de un
conjunto referencial por sus calles, siguiendo las flechas. Hay flechas que se acompañan
2
Este conjunto de referencia y la noción de redes lógicas, tanto como su uso didáctico para el análisis de
esta temática, fueron tomados de La lógica va a la escuela. Juegos con redes lógicas, de Palacios,
Cerdeyra y Giordano (1985) [6]
24
por carteles indicadores, y otras que son direcciones obligatorias. Los carteles
indicadores exigen o prohíben el paso de los elementos del conjunto según tengan o no
la propiedad que el cartel indica. Las direcciones obligatorias (como en la circulación
del tránsito en las calles) obligan a la circulación en el sentido que indica la flecha. En
toda red lógica, los elementos del conjunto de referencia “circulan” respetando las
indicaciones de las flechas y los carteles indicadores.
Veamos un par de ejemplos:
p
En la figura a la derecha, el cartel
p
indica que todo elemento
del conjunto del referencial que
haga verdadera la proposición p
deberá tomar obligatoriamente el sentido de circulación que indica la flecha hacia arriba
en la bifurcación. Los elementos que no cumplan con la propiedad p deberán tomar
obligatoriamente el sentido de circulación que indica la flecha hacia abajo en la
bifurcación.
En la figura de la derecha,
hay un cruce de caminos y las
flechas indican sólo sentidos de
circulación obligatoria.
Todos los elementos deberán obligatoriamente “cambiar de carril”. Los que
circulen por el camino de arriba, deberán pasar al de abajo y análogamente, los que
circulen por el de abajo deberán cambiar al de arriba.
Las redes lógicas son un recurso que facilitará la comprensión de varias formas
lógicas.
Cualquier red lógica tiene dos regiones terminales: una donde queda formado un
subconjunto S de piezas del referencial que llamamos región terminal, y la otra, donde
queda formado otro subconjunto del referencial que llamamos S , que denominamos
región terminal complementaria. Una vez que los elementos de un conjunto han
25
circulado por la red, deberán estar en la región terminal o en la terminal
complementaria.
8) S y S ¿pueden tener elementos en común? Explicar por qué.
9) La reunión de los elementos de S y S forma el referencial. Explicar por qué.
La negación
Consideremos la siguiente red:
a
S
S
10) ¿Qué elementos encontraremos en la región terminal S si hacemos circular por esta
red los elementos del conjunto referencial R?
Llamemos S1 al conjunto de los elementos que resultan en la terminal S de esta
red. Podemos afirmar que:
El conjunto S1 está formado por todos los elementos de R que no son .........................
El símbolo de la negación es “∼”. Dada una proposición p, su negación será ∼p
Por ejemplo:
si p es la proposición “la figura es un cuadrado”,
∼p es la proposición “la
figura no es un cuadrado”
Valor de verdad de la negación
El valor de verdad de la negación de una proposición p será opuesto al valor de
verdad de la misma. Es decir, si p es Verdadera, entonces ∼p será Falsa, y
análogamente, si p es Falsa, entonces ∼p será Verdadera.
26
La negación como relación entre conjuntos:
Supongamos que el conjunto A es el conjunto de todos los elementos del
referencial que cumplen con la proposición p. Podemos representar esto utilizando
diagramas de Venn. En el gráfico quedan fuera de A todos los elementos del conjunto
referencial que no cumplen con esta propiedad, que se ubican en la zona sombreada.
∼p
R
A
p
Al conjunto de los elementos del referencial que no pertenecen a A, se lo
denomina complemento de A, y se anota A .
La negación en el lenguaje coloquial
Hay que tener en cuenta que de acuerdo a las normas sintácticas propias del
lenguaje ordinario, la negación se expresa de forma distinta a lo que acabamos de ver.
Por ejemplo, no decimos “no a las focas les crece el pelo”, sino que decimos “a las
focas no les crece el pelo”.
Las proposiciones:
ƒ El sol no es cuadrado
ƒ La vaca no es un paquidermo
ƒ No llueve
ƒ No ocurre que hace frío
ƒ No es cierto que la vaca es un paquidermo
ƒ No hace frío
27
y todas aquellas donde una proposición p cualquiera está negada tienen la
misma forma lógica ∼p.
También ocurre, en el lenguaje coloquial, que la palabra “no” no necesariamente
aparece explícita. Por ejemplo, en lugar de decir “este negocio no está abierto”,
podemos decir “este negocio está cerrado”. En este mismo sentido, notemos que en el
ejemplo anterior, para negar la proposición “es a rayas” podemos decir “no es a rayas” o
“es blanco o negro”.
11) Discutir las siguientes expresiones del lenguaje usual:
ƒ
No pasa nada
ƒ
No tengo ninguno
ƒ
No hay nadie
¿Se está usando la negación en la forma lógica que vimos?
12) Una de las siguientes frases es un proverbio chino, la otra es un invento chino:
Todo lo que brilla no es oro
No todo lo que brilla es oro
a) ¿Dicen lo mismo? ¿Qué significa cada una?
b) ¿Alguna de ellas dice que el oro no brilla?
13) Considerar la expresión siguiente
“De ninguna manera iré nunca jamás ni contigo ni con tu padre a Berlín”
Construir otra equivalente con negaciones más simples eliminando el énfasis
retórico. [8]
14) Considerar
“En ninguna oficina de este maldito país, ni en Agosto, ni en ninguna otra época,
nadie está nunca ni dos horas seguidas en su sitio”
Quitar la exageración retórica construyendo una frase equivalente con el mínimo
número de negaciones. [9]
28
15) Considerar
las
siguientes
proposiciones
y
escribir
su
negación
(independientemente de la verdad o falsedad de la afirmación)
Negación: ∼p
Proposición: p
• Este triángulo es rojo
......................................................
• Hoy no es lunes
......................................................
• Tengo frío
......................................................
• La nafta súper vale 2$
......................................................
La negación de proposiciones categóricas
Un punto de particular importancia es la negación de proposiciones categóricas
(las que incluyen cuantificadores).
16) Considerar las siguientes proposiciones y escribir su negación (independientemente
de la verdad o falsedad de la afirmación)
Negación: ∼p
Proposición: p
• Existen planetas con agua en el sistema solar
• Ningún alumno ingresante a la universidad
debe materias de la escuela secundaria.
• Todos los egresados de escuelas secundarias
del país hacen su viaje de estudios a Bariloche
• Hay mamíferos acuáticos
• Cualquier
miembro
de
la
Asociación
Argentina de Ecología tiene descuentos en los
congresos de la misma.
29
17) Dado que toda proposición que posea un cuantificador se puede escribir en la forma
“Todo...” o “Existe...” , escribir las proposiciones del cuadro anterior en la forma
“Todo...” o “Existe...” según corresponda.
18) Analizar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones y justificar:
• La negación de una proposición con el cuantificador “
todo” es una proposición con el cuantificador “existe”
• La negación de una proposición con el cuantificador
“existe” es una proposición con el cuantificador “todo”
Las dos afirmaciones anteriores son verdaderas y ¡son muy importantes!
Los conectivos
Estudiaremos algunas formas lógicas de relacionar proposiciones, que se
denominan conectivos lógicos. Los que estudiaremos en las siguientes secciones son la
conjunción “y”, la disyunción “o” y la implicación, cuyos respectivos símbolos son “∧”,
“∨” e “⇒”.
El conectivo “∧”
Consideremos ahora la siguiente red lógica y el conjunto referencial R antes
definido.
g
n
S
S
30
Cada cartel representa una proposición simple (g: la figura es grande, n: la figura
es negra). Si para un elemento del referencial la proposición es verdadera, la figura
sigue el sentido de circulación propuesto, si es falsa, debe tomar el otro camino.
En esta red, una figura negra debe tomar la bifurcación por la calle de arriba,
mientras que si no lo es, está obligada a tomar la bifurcación por la calle de abajo.
Frente a la segunda bifurcación, la figura podrá continuar su camino por arriba sólo si es
grande, y de lo contrario, deberá tomar la bifurcación hacia abajo.
19) La figura (t,n,g) ¿va a S o a S ? ¿y la figura (t,n,p)?
20) ¿Cuántos caminos distintos conducen a la región terminal S? Proponer ejemplos.
21) Enunciar qué condiciones deben reunir los elementos de R para llegar a S.
22) ¿Cuántos caminos distintos conducen a la región terminal complementaria S ?
Proponer ejemplos
23) ¿Por qué no van a la región terminal S todos los triángulos negros?
24) ¿Por qué van a la región terminal S todos los círculos grandes negros?
25) Enunciar qué condiciones deben reunir los elementos de R para llegar a la
región terminal complementaria S .
26) ¿Cuáles de los cuadrados negros van a la región terminal complementaria?
27) ¿Hay piezas grandes en la región terminal complementaria? ¿cómo son?
Consideremos el conjunto de los elementos que resultan en la terminal S de esta
red (que llamaremos S2). Podemos afirmar que:
El conjunto S2 está formado por todos los elementos de R que son a la vez
...................... y .........................
“y” es un conectivo lógico que se denomina conjunción y su símbolo es ” ∧ ”
31
Valor de verdad de una conjunción
Una conjunción de dos proposiciones simples es una proposición compuesta y
por lo tanto, es posible asignarle un valor de verdad (es decir, de esta proposición es
posible decir si es verdadera o falsa). Para que una afirmación de la forma p ∧ q (donde
p y q son dos proposiciones cualesquiera) sea verdadera, deberán cumplirse p y q
simultáneamente, es decir deberán ser verdaderas tanto p como q. En todos los otros
casos p ∧ q será falsa.
La conjunción como una operación entre conjuntos
Ahora llamemos:
•
A al conjunto de todas las figuras del referencial R que cumplan con la
propiedad n: la figura es negra y
•
B al conjunto de todas las figuras del referencial que cumplan con la
propiedad g: la figura es grande.
Podemos representar gráficamente estos conjuntos mediante un diagrama de Venn:
R
A
B
II
I
III
IV
En esta representación R, el conjunto referencial o universo, abarca la totalidad
de los elementos que se consideran (en este caso, las 18 figuras del conjunto original).
Cada círculo en el gráfico engloba los elementos de los conjuntos A y B. De acuerdo a
esta representación, en la región I (sombreada en el gráfico) se encuentran los elementos
que pertenecen a A y también pertenecen a B, es decir aquellos elementos que son parte
a la vez de ambos conjuntos y que cumplen simultáneamente las proposiciones n y g.
Son los únicos elementos del referencial para los cuales la proposición compuesta n ∧ g
es verdadera. Denominamos a esta región la intersección de A y B, y la notamos como
A ∩ B.
32
La intersección de dos conjuntos es la reunión de los elementos comunes de
ambos conjuntos.
28) Cuáles de las figuras de nuestro referencial R debemos ubicar en la intersección de
A y B.
29) Enunciar la propiedad compuesta que cumplen los elementos de A ∩ B utilizando
el conectivo lógico ∧.
30) ¿Qué elementos se encontrarán en la región II?
31) ¿Qué elementos se encontrarán en la región III?
32) ¿Qué elementos se encontrarán en la región IV?
33) Proponer otro par de conjuntos del referencial R y describir las características
generales de los elementos que se ubican en cada una de las 4 regiones del
diagrama de Venn.
Otro ejemplo: si un conjunto reúne a las mujeres argentinas y otro conjunto
reúne a los docentes argentinos, encontraremos en la intersección de estos dos conjuntos
a las mujeres (esta propiedad se tiene por pertenecer al primer conjunto) docentes (esta
propiedad se tiene por pertenecer al segundo conjunto)
34) Proponer un conjunto referencial para estos dos conjuntos
35) Enunciar las proposiciones simples p y q que los elementos de A y B verifican.
36) Hacer un diagrama de Venn para los conjuntos de este ejemplo.
37) Explicar qué elementos se encuentran en las regiones II, III y IV, suponiendo que el
referencial sean las personas argentinas.
33
El conectivo “∨”
A continuación proponemos otra red lógica:
b
S
t
S
Hacer circular todas las piezas del referencial R por estas calles de esta red,
siguiendo los nuevos carteles indicadores.
38) ¿Qué camino recorre la figura (t,b,g)?, ¿y (t,a,p)?, ¿y (c,n,g)?
39) ¿Hay piezas blancas en la región terminal?. ¿Cuáles son?. ¿Por qué?
Llamemos S3 al conjunto de los elementos que resultan en la terminal S de esta
red. Podemos afirmar que:
El conjunto S3 está formado por todos los elementos de R que son
.................... o .......................
“o” es un conectivo, su símbolo es “ ∨ ”
Valor de verdad de una disyunción
Una disyunción de dos proposiciones simples es una proposición compuesta y
por lo tanto, es posible también asignarle un valor de verdad (es decir, de esta
proposición es posible decir si es verdadera o falsa). Para que una afirmación de la
forma p ∨ q (donde p y q son dos proposiciones cualesquiera) sea verdadera, deberán
cumplirse p, q, o ambas, es decir deberán ser verdaderas al menos o p o q. Será falsa
sólo si son falsas ambas proposiciones simultáneamente.
34
La disyunción como una operación entre conjuntos
Supongamos ahora que:
•
A al conjunto de todas las figuras del referencial R que cumplan con la
propiedad B: la figura es blanca y
•
B al conjunto de todas las figuras del referencial R que cumplan con la
propiedad t: la figura es triángulo.
40) Si representamos gráficamente estos conjuntos mediante un diagrama de Venn (ver
figura), ¿qué propiedades que reúnen las figuras que se ubican en las regiones I, II,
III y IV?
R
A
B
II
I
III
IV
Si sombreamos en el diagrama las regiones donde se ubican las figuras que en la
red aparecen en S3, veremos que están ubicadas en las regiones marcadas como I, II y
III. A la zona sombreada la denominamos la unión de A y B, que se nota como A ∪ B.
La unión de dos conjuntos es la reunión de los elementos comunes y los no
comunes de ambos conjuntos.
41) Cuáles de las figuras de nuestro referencial R debemos ubicar en la unión de A y
B.
42) Enunciar la propiedad compuesta que cumplen los elementos de A ∪ B utilizando
el conectivo lógico ∨.
43) Si una figura no es triángulo pero está en A ∪ B, ¿ qué podemos afirmar de esa
figura?
35
El “o” excluyente
El caso que hemos analizado, es el que se denomina “o” (o también “o
inclusivo”) donde, para que la disyunción sea verdadera, se admite que se cumpla una
propiedad, la otra o ambas. Por ejemplo supongamos que decimos “para la fiesta la los
invitados trajeron algo para tomar o para comer”. Pudo pasar que: José trajo algo para
tomar, Pedro trajo algo para comer y Lucía trajo las dos cosas. En los tres casos la
afirmación inicial es verdadera. Sólo harán falsa la afirmación (y excluidos de nuestras
sonrisas) aquellos invitados que hayan que no hayan traído ni bebida ni comida.
Hay otro conectivo, que es el “o excluyente”, en el cual, dadas dos condiciones
puede darse una o la otra, pero no ambas para que la disyunción sea verdadera. Por
ejemplo, la proposición compuesta “Carlos vino de Neuquén en auto o en avión” tiene
un conectivo “o excluyente” entre las dos proposiciones simples. Si el viaje se concretó
en avión estamos dentro de la verdad de la afirmación, si se concretó en auto también.
Será falsa si no vino ni en auto ni en avión (si lo hizo en bici o a caballo o no vino) y no
es posible la opción de que Carlos haya venido en las dos cosas a la vez.
La notación simbólica para el “o excluyente” es p ∨ q
44) Escribir algunas afirmaciones unidas por el conectivo “o inclusivo” y por el “o
excluyente” y analizar en qué casos serán verdaderas.
45) Para el referencial R, considerar las proposiciones: “es triángulo” y “ es pequeño”.
Idear una red lógica que lleve a la proposición compuesta “es triángulo ∨ es
pequeño”.
46) Analizar en la representación gráfica de conjuntos de Venn, qué región quedará
sombreada para este caso.
47) ¿Cómo podría expresarse esto utilizando notación conjuntista?
En general, y salvo aclaración usaremos el “o inclusivo”.
36
La conjunción y la disyunción en el lenguaje coloquial
Vamos a señalar algunos aspectos relativos al uso de la conjunción y la
disyunción en el lenguaje coloquial. Como vimos, la conjunción de proposiciones está
relacionada con la intersección de conjuntos. Sabemos que los elementos de A ∩ B son
los mismos elementos que los de B ∩ A, es decir, la intersección de conjuntos posee la
propiedad conmutativa. Por lo tanto, la conjunción p ∧ q y la conjunción q ∧ p son
equivalentes. Por ejemplo, en el lenguaje matemático, decir que un número es par y
múltiplo de cinco es lo mismo que decir que un número es múltiplo de cinco y par.
Ambas conjunciones llevan al subconjunto de números enteros terminados en cero.
Sin embargo, en el lenguaje coloquial, el orden en que se expresan las
proposiciones muchas veces nos lleva a distintos significados. Por ejemplo, si digo “yo
llevo agua caliente y yerba” o si digo “yo llevo yerba y agua caliente”, el significado es
el mismo, pero si digo “Iré y lo haré” o “Lo haré e iré”, hay un significado diferente
debido a que en estas dos últimas expresiones, aunque tengan la forma p ∧ q se
encuentra implícito un orden.
48) Pensar ejemplos del lenguaje común donde la conjunción no cambie de significado
con el cambio de orden y ejemplos en los que sí.
En cuanto a la disyunción en el lenguaje coloquial, es interesante ver que en la
mayoría de los casos su uso se restringe casi exclusivamente al “o excluyente”. Vimos
que una afirmación de la forma p ∨ q es verdadera siempre que sea verdadera al menos
una de las dos proposiciones, pero en el lenguaje coloquial esto puede sonar hasta
ridículo. Por ejemplo, supongamos que te llamás Gabriel. ¿Qué te parecería presentarte
del siguiente modo? “me llamo Pedro o Gabriel”. Desde el punto de vista de la
estructura lógica de la afirmación, la proposición es verdadera, pero en el lenguaje
cotidiano es no querer decir cómo te llamás.
49) ¿ En el lenguaje matemático, es correcto decir “3 es menor o igual que 5”? y ¿es
correcto decir “5 es menor o igual que 5”?
37
50) Si a mi pregunta sobre cuándo se marcha, mi amigo me responde “el sábado o el
domingo” y después me entero de que ese mismo día tenía en su bolsillo su billete
para el sábado, ¿qué tengo que pensar de mi amigo?
51) ¿Cómo te suena en el lenguaje ordinario la expresión
“5 es mayor que 7 o
Bariloche tiene más de 5000 habitantes”? ¿Si se trata de lenguaje matemático te
parece que es verdadera o falsa?
52) En una librería aparece escrito “Nuestros clientes en posesión de constancia de
estudiante regular o empleado de la universidad tendrán derecho al 15% de
descuento”. ¿Quiénes obtienen el descuento?.
53) Una nena le pide a su papá que la lleve el domingo a la mañana al parque de
diversiones y a la tarde al cine. El padre le dice “No. Saldremos por la tarde e
iremos al cine o al parque de diversiones”. ¿Qué pudo hacer la nena el domingo?
¿Tiene este “o” el mismo significado que en el ejercicio anterior?
Llamaremos forma proposicional a la expresión simbólica de las proposiciones,
simples o compuestas.
Las formas proposicionales que resultan de conectar dos proposiciones por los
conectivos lógicos “y” y “o” son, respectivamente p ∧ q y p ∨ q.
Por ejemplo, la expresión: Malena canta el tango y en cada verso pone su
corazón, está compuesta de dos proposiciones:
p: “Malena canta el tango” y
q: “Malena pone en cada verso su corazón”.
Su forma proposicional es:
p∧ q
38
Resumen de las relaciones entre operadores lógicos y conjuntos
Llamemos U a un conjunto referencial, A al conjunto de los elementos de U que
hacen verdadera la proposición p y B al conjunto de los elementos de U que hacen
verdadera la proposición q.
p es Verdadera
A
x∈A
U
B
A
p es Falsa (∼p es Verdadera)
x ∉ A (x ∈ A )
U
B
A
q es Verdadera
x∈B
U
B
A
q es Falsa (∼q es Verdadera)
p ∧ q es Verdadera
x ∉ B (x ∈ B )
U
B
A
x∈A∩B
U
B
A
p ∧ q es Falsa
x ∉ A ∩ B (x ∈ A ∩ B )
U
B
A
p ∨ q es Verdadera
x∈A∪B
U
B
A
p ∨ q es Falsa
x ∉ A ∪ B (x ∈ A ∪ B )
39
U
B
54) Completar las dos primeras columnas de la tabla siguiente como en el cuadro
resumen
A
U
B
A
U
B
55) a) Escribir como una disyunción la negación de p ∧ q
b) Escribir como una conjunción la negación de p ∨ q
c) Cómo pueden escribirse los incisos anteriores en términos de unión e
intersección de conjuntos
Algunos ejercicios relativos A los conectivos “∧” y “∨” y la negación.
56) Considerar M el conjunto formado por los meses del año.
•
Cuál sería la red lógica que agrupa en S a los elementos: {enero, abril, agosto,
octubre}?
•
Cuál sería la red lógica que agrupa en S a los elementos: {enero, agosto,
octubre}?
57) Considerar el conjunto T = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16} y
las siguientes proposiciones:
p es la propiedad “es un número par”
q es la propiedad “es un número de una cifra”
r es la propiedad “es un número divisible por 3”
•
Escribir el enunciado y los conjuntos resultantes para las siguientes situaciones:
p ∧q
p∨ q
p∧ q ∧ r
40
q ∧ ∼r
58) Para cada una de las siguientes expresiones, 1) reconocer las proposiciones que la
componen y 2) reconocer los conectivos involucrados escribiéndolas en forma
proposicional (teniendo en cuenta que ciertos términos del lenguaje cotidiano,
pueden traducirse como conectivos).
ƒ
Platón y Aristóteles eran filósofos griegos
ƒ
Yo hablo castellano e inglés
ƒ
Hace mucho calor pero igual vengo a Matemática 1
ƒ
2< 3<4
ƒ
El electrón está cargado positivamente y nieva en Pekín
ƒ
Me pongo zapatillas o sandalias
ƒ
El tiempo atmosférico es la situación de la atmósfera en un momento
particular; el clima es la variación de la situación del tiempo en un
período largo de tiempo.
ƒ
José escucha la música suave o tiene la puerta cerrada
ƒ
Juan se asoma por la ventanilla pero no asoma los brazos.
59) ¿Necesitan ser verdaderas las proposiciones para estar escritas en forma
proposicional?
La implicación
En los razonamientos intervienen frecuentemente proposiciones condicionales.
Una proposición condicional enuncia una condición. Dice que si se cumple cierta
condición, entonces ocurre alguna otra cosa.
41
Por ejemplo:
Si un alumno realiza correctamente el 70% del examen, está aprobado
Si un alumno realiza correctamente el 70% del examen entonces está aprobado
La proposición condicional, se trata de una estructura de la forma
Si (ocurre) p entonces (ocurre) q
En una forma condicional hay pues, una proposición (simple o compuesta) que
denominaremos “antecedente” que es aquella que prosigue a la palabra “Si” (antecede
a la palabra entonces) y una proposición (simple o compuesta) que denominaremos
“consecuente” que es la que prosigue a la palabra “entonces”.
Si
Si
p
q
entonces
(proposición) entonces
(proposición)
implica
el antecedente
el consecuente
se deduce
del antecedente
el consecuente
En símbolos, se escribe p ⇒ q (y se lee p implica q)
Si el número x es divisible por 6, entonces es divisible por 2
El antecedente es p: “el número x es divisible por 6”
El consecuente es q: “el número x es divisible por 2”
Si el número x es divisible por 6, implica que el número x es divisible por 2
Si
p entonces
42
q
Ejemplo:
•
La implicación: “Si llueve, entonces las calles están mojadas”
La implicación tiene la forma p ⇒ q donde p : “llueve” y q : “las calles están
mojadas”
El valor de verdad de la implicación
El valor de verdad de una implicación es una función de los valores de verdad
del antecedente y del consecuente.
Hay cuatro posibles implicaciones (en relación a los valores de verdad de p y q):
•
una proposición verdadera implica una proposición verdadera
V⇒V
•
una proposición verdadera implica una proposición falsa
V⇒F
•
una proposición falsa implica una proposición verdadera
F⇒V
•
una proposición falsa implica una proposición falsa
F⇒F
Veamos un ejemplo: Consideremos la siguiente implicación
Si
apruebo el examen entonces
te presto el apunte
La implicación está compuesta de las proposiciones p y q, de modo que tenemos la
forma lógica:
p (apruebo el examen) ⇒ q (te presto el apunte)
Nos interesa conocer la verdad o falsedad de la implicación, en relación a la
verdad o falsedad de las proposiciones p y q.
43
El enunciado puede pensarse como un compromiso condicionado por p (aprobar
el examen), y podemos asociar la verdad de la implicación al cumplimiento del
compromiso.
Si p es V (apruebo) y q es V (presto el apunte) el compromiso se cumple, la
implicación es verdadera.
Es evidente que si p es F (es decir si no apruebo el examen), quedo liberado del
compromiso y, preste o no el apunte, la implicación es verdadera, es decir son
verdaderas F ⇒ V (no apruebo y aún así presto el apunte) y F ⇒ F (no apruebo y no
presto el apunte).
Si p es verdadera y q es falsa, es decir si apruebo el examen y no presto el
apunte, el compromiso no se cumple y es falsa la implicación (V ⇒ F)
Una implicación es falsa únicamente cuando el
antecedente es verdadero y el
consecuente falso (V ⇒ F).
En los demás casos (V ⇒ V, F ⇒ V y F ⇒ F) es verdadera.
Con respecto a la última afirmación del recuadro anterior, esto es así porque en
una implicación la relación que se establece entre antecedente y consecuente es
suficiente pero puede no ser necesaria.
Analicemos el ejemplo “Si llueve, entonces las calles están mojadas”
Es evidente que la lluvia es condición suficiente para que una calle esté mojada.
Si es verdad que la lluvia es condición suficiente para que una calle se moje,
sería falso que lloviera y las calles no estuvieran mojadas (V ⇒ F)
Ello no quiere decir, que la lluvia sea la única causa (condición necesaria) para
que una calle se moje. (V ⇒ V llueve entonces las calles están mojadas, F ⇒ V no
llueve y las calles están mojadas). Volveremos sobre esta cuestión un poco más
adelante.
44
Es interesante mencionar que existen, desde el punto de vista formal,
implicaciones verdaderas V ⇒ V, carentes de sentido desde el punto de vista de su
sentido, tanto en el lenguaje coloquial como en el lenguaje matemático. Por ejemplo la
implicación “ si 2+2 = 4 entonces el 9 de julio es el día de la independencia argentina”
es, en rigor, verdadera, aunque a nadie le interesa. Como forma, la implicación V ⇒ V
es válida, y tiene sentido sólo en la lógica formal.
El valor de verdad de la implicación tiene un sentido más amplio en la lógica
que en la matemática, ya que a la matemática le interesa no sólo la forma del
razonamiento sino también su contenido. Estas afirmaciones
matemática,
que interesan a la
son las que construyen el “edificio matemático”, y se denominan
Teoremas. Volveremos sobre esto más adelante.
La implicación en el lenguaje coloquial
Una implicación establece una relación condicional entre dos proposiciones.
Hay varios aspectos interesantes para señalar en relación a las implicaciones en el
lenguaje coloquial. Por una parte, no siempre en el lenguaje coloquial las expresiones
condicionales se escriben en la forma lógica p ⇒ q. Por otra, en ocasiones, se usan
implicaciones falsas desde el punto de vista matemático, como verdaderas. Por ejemplo,
la expresión popular “donde hay humo hay asado” (se trataría de la implicación “si hay
humo entonces hay asado”) se considera como una implicación verdadera, es decir, que
la existencia un asado “está condicionada” la existencia de humo, lo cual es falso
(falsedad registrada en el acervo popular con la continuación del dicho, “dijo un loco e
iba corriendo un tren”)
Otra particularidad del uso de la implicación en el lenguaje coloquial proviene
del uso de la palabra “implicación”
en su uso como “repercusión”, es decir,
describiendo una relación de causa-efecto entre dos afirmaciones. En este sentido, la
“implicación” en su uso cotidiano no se refiere a la relación condicional entre dos
afirmaciones sino al valor de verdad necesario de la segunda afirmación como
consecuencia de la validez de la primera, que puede no ser verdadero en rigor desde el
punto de vista del razonamiento lógico o matemático.
45
Concentremos la atención en aquellas implicaciones que aparecen “ocultas” en
el lenguaje coloquial.
Consideremos el siguiente ejemplo publicado en un diario.
“Para cargo gerencial se busca Licenciado en Ciencias Económicas, con
referencias comprobables de al menos dos empresas en el ramo, menor de 40 años, con
posibilidades de radicarse en la ciudad de Neuquén”.
60) Reconocer la proposición (simple o compuesta) que forman el antecedente y el
consecuente. y escribí el aviso en un enunciado de la forma “si... entonces...”
utilizando los conectivos que necesites.
61) Escribir en la forma Si ... entonces, el siguiente aviso publicado en el diario (es un
diario de mentira en el país del Nunca Jamás):
“Becas de ayuda económica para estudiantes del interior.
La Provincia de Río Negro beneficiará con becas de ayuda económica a
estudiantes egresados de colegios secundarios de la provincia que se inscriban en
carreras de más de dos años de duración en Universidades Nacionales, cuyos
padres no superen en conjunto un ingreso de 1500 $ en concepto de salarios y
constituyan un grupo familiar de más de 5 personas”
62) Cuestiones para pensar en relación a estos dos avisos, para el caso en que las
implicaciones sean verdaderas.
a) Para el primer aviso, entre otras, estas dos personas pretenden el trabajo:
Juan Gómez, Licenciado en Ciencias Económicas, casado, de 43 años de edad
con amplia experiencia en empresas del ramo, podría radicarse en Neuquen.
46
Pablo Ramos, Licenciado en Ciencias Económicas y Analista de Sistemas, de
33 años de edad, presenta seis cartas de recomendación de empresas en el
ramo, residente en Neuquen.
ƒ Juan Gómez ¿puede aspirar al cargo? ¿por qué?
ƒ Pablo Ramos ¿puede aspirar al cargo? ¿por qué?
ƒ ¿Pablo Ramos obtendrá el cargo?
ƒ Si le dieron a José Ulloa el cargo, ¿qué sabemos de él?. (Supongamos que no
hay acomodo)
b) Para el segundo aviso:
ƒ
Proponer ejemplos hipotéticos de estudiantes que pueden obtener la beca y
de estudiantes que no podrían. Explicar.
ƒ
Si a Marcela García le dieron la beca, qué sabemos de ella?
ƒ
Si a Rosa González no le dieron la beca, qué sabemos de ella?
63) Escribir en la forma Si ... entonces ...
Para obtener el permiso de conducir, debés cumplimentar los siguientes requisitos:
a) tener 18 años cumplidos
b) presentar certificados de salud psicofísica
c) saber manejar
d) pagar una prima de 35$
e) aprobar un examen de manejo en la municipalidad local
ƒ
No obtuviste tu permiso ¿qué pudo pasar?
ƒ
Lo obtuviste ¿qué pasó necesariamente?
47
La implicación como una relación entre conjuntos
Consideremos ahora la siguiente red:
∼g
S
a
S
Hacer circular por esta red todas las piezas de R.
64) ¿Qué figuras hay en S?
65) Tanto en S como en S hay triángulos. ¿Qué características particulares tienen los
triángulos que están en S y los que están en S ?
Llamemos S4 al conjunto de los elementos que resultan el la terminal S de esta
red. Podemos afirmar que:
“Si un elemento de S4 es grande ..........................................................................”
66) Con el mismo referencial armar una red lógica donde los elementos de la región
terminal S hagan verdadera la implicación siguiente: “si es cuadrado, entonces es a
rayas”. A este conjunto lo llamaremos S5.
Reflexionemos un poco sobre este ejemplo:
ƒ Sabemos que una pieza de la terminal S es a rayas, sabemos algo sobre su
forma?.
ƒ Sabemos que una pieza de la terminal S es cuadrada , sabemos algo sobre su
color?
ƒ En la terminal complementaria ¿puede haber cuadrados?, ¿cuáles?
48
Llamemos:
A al conjunto de todas las figuras del referencial que sean cuadradas y negras
B a todas las figuras del referencial que sean negras.
67) Idear un diagrama de conjuntos para los elementos de S5 que permita ver la
relación entre el conjunto A y el conjunto B recién definidos.
Cuando todos los elementos de un conjunto A pertenecen a su vez a un conjunto
B decimos que A está incluido en B o que B incluye a A.
Simbólicamente escribimos: A ⊂ B.
En este ejemplo, claro está que puede haber en el conjunto B figuras que no sean
cuadradas. En este sentido decimos que la inclusión de A en B es estricta, porque todo
elemento de A está en B pero existen elementos de B que no están en A.
Un caso particular de la inclusión es cuando todo elemento de A está en B
(A ⊂ B) pero no existen en B elementos que no estén en A. Es decir que también se
cumple que B está incluido en A (B ⊂ A). En este caso se tiene la igualdad entre los
conjuntos A y B (A = B).
68) Considerar el conjunto H = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16} y
la siguiente red
S
S
Colocar carteles de modo en S resulte S6 = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}
49
69) Escribir una implicación verdadera para los elementos del conjunto S6 en relación a
los atributos referidos en los carteles.
70) Para las siguientes expresiones, identificar las proposiciones que la componen y
escribir la forma proposicional correspondiente (Si las expresiones son enunciados
condicionales, identificar antecedente y consecuente, y expresarlas en la forma “si...
entonces...Ӭ)
ƒ El cóndor o la nieve parecían inmóviles (Pablo Neruda)
ƒ Para poder morir basta con haber nacido
ƒ Como sigas con esa actitud vas a terminar rompiendo algo
ƒ Estudió pero no aprobó
ƒ Cuando se tiene imaginación, la muerte es demasiado (Sonja Kowalewski)
ƒ Los animales, como las plantas, son seres vivos
ƒ Iremos al cine si dan “Los increíbles”.
ƒ Si estas dos estudiantes tienen la misma dirección deben vivir juntas.
ƒ Quien a hierro mata, a hierro muere.
ƒ Si hoy es lunes, mañana es martes.
ƒ Cuando Randolph Carter cumplió los treinta años perdió la llave de la puerta
de los sueños (Lovecraft)
ƒ De haber tomado medidas en su momento no se hubieran propagado los
incendios forestales
ƒ Bajo condiciones de sequía, viento y temperaturas extremas se esperan grandes
fuegos en los pastizales de estepa
ƒ Si lo sabe, cante (Roberto Galán)
50
Condiciones necesarias y suficientes
En primer lugar analizaremos separadamente qué significa que una condición sea
necesaria para la validez de otra o que sea suficiente.
Consideremos los siguientes ejemplos:
ƒ
Es suficiente que un número sea múltiplo de 8 para que sea divisible por 2.
ƒ
Es suficiente nacer en Argentina para ser sudamericano.
ƒ
Es suficiente cargar 70 litros de nafta para llegar desde Bariloche hasta El
Bolsón (aprox. 120 km).
ƒ
Es suficiente fotosintetizar para ser vegetal.
71) ¿Qué significado tiene que una condición sea suficiente para que se cumpla otra?
72) Reconocer el antecedente y el consecuente y escribirlos como una implicación.
73) Enunciar algunos condicionales donde el antecedente sea una condición suficiente
para que ocurra el consecuente. Escribirlos en lenguaje coloquial y como una
implicación.
Consideremos ahora los siguientes ejemplos:
ƒ
Para ser investigador de Conicet es necesario haber alcanzado el grado de
doctor.
ƒ
Es necesario ser mayor de edad para emitir un voto electoral.
ƒ
Es necesario ser mamífero para ser ballena.
ƒ
Es necesario estar inscripto en la carrera de Biología (Licenciatura o
Profesorado) para cursar Biología General como alumno regular.
74) ¿Qué significado tiene que una condición sea necesaria para que se cumpla otra?
75) Reconocer el antecedente y el consecuente y escribirlos como una implicación.
51
76) Enunciar algunos condicionales donde esté involucrada una condición necesaria
entre el antecedente y el consecuente. Escribirlos en lenguaje coloquial y como una
implicación.
77) ¿Siempre una condición suficiente es necesaria?. Mostrar ejemplos
78) ¿Siempre una condición necesaria es suficiente? . Mostrar ejemplos
79) Analicemos el siguiente ejemplo: “Para ser socio de este club es necesario y
suficiente ser suizo” El club, ¿es Suiza?. ¿Por qué?
80) Considera la afirmación “Para ser un triángulo es necesario y suficiente tener tres
lados” ¿Qué significado tiene que una condición sea necesaria y suficiente para
que se cumpla otra?
81) Enunciar algunos condicionales donde estén involucradas condiciones necesarias y
suficientes.
82) Veamos ahora un ejemplo dentro la geometría. Consideremos el conjunto de todos
los cuadriláteros y las siguientes definiciones
Definición: Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene sus
lados opuestos paralelos.
Definición: Un rectángulo es un paralelogramo que tiene sus ángulos rectos.
Definición: Un cuadrado es un rectángulo que tiene sus lados congruentes
ƒ
¿un rectángulo es un paralelogramo?
ƒ
¿un paralelogramo es un rectángulo?
ƒ
¿un cuadrado es un paralelogramo?
ƒ
¿un rectángulo es un cuadrado?
ƒ
Enumerar el conjunto de condiciones necesarias para ser cuadrado.
ƒ
Si para representar un paralelogramo hubiéramos dibujado un rectángulo,
¿hubiera estado bien?
52
ƒ
Si para representar un rectángulo hubiéramos dibujado un cuadrado,
¿hubiera estado bien?
ƒ
Y si para representar un cuadrado dibujáramos un rectángulo, ¿estaría bien?
¿por qué?
Podemos decir que para que una figura sea un cuadrado son necesarias las
condiciones que se requieren para ser paralelogramo, pero no suficientes, porque
además, la figura debe tener, sus ángulos rectos y deben ser sus lados congruentes.
Entonces sí tenemos un cuadrado. Estas condiciones ahora son necesarias y suficientes.
83) Si definimos el rectángulo de la siguiente manera:
“Un rectángulo es un paralelogramo que tiene un ángulo recto”.
ƒ
¿Es correcto? ¿Por qué? (responder en términos de condiciones necesarias y
suficientes)
84) Si definimos el cuadrado de la siguiente manera:
“Un cuadrado es un rectángulo que tiene un par de lados consecutivos congruentes”.
ƒ
¿Es correcto? ¿Por qué? (responder en términos de condiciones necesarias y
suficientes)
85) Representar usando diagramas de Venn los conjuntos de cuadrados, rectángulos y
paralelogramos.
Analizando estas estructuras de condiciones necesarias y suficientes podemos
afirmar que dada una implicación p ⇒ q, nos dice que es suficiente que p sea
verdadero para que lo sea q, o en otras palabras, p es condición suficiente para q. Si
siempre que ocurre p ocurre q, es necesario que ocurra q para que ocurra p.
Las expresiones
ƒ Si p entonces q
ƒ Todo p es q
ƒ p⇒q
ƒ p es condición suficiente para q
ƒ q es condición necesaria para p
son equivalentes
53
Por ejemplo:
ƒ
Si un animal es una ballena, entonces es un mamífero
ƒ
Toda ballena es mamífero
ƒ
Ser ballena implica ser mamífero
ƒ
Ser ballena es suficiente para ser mamífero
ƒ
Ser mamífero es necesario para ser ballena
86) Enunciar una proposición condicional verdadera y escribirla de las cinco formas
propuestas en el recuadro.
87) Enunciar una proposición condicional verdadera en la que se
utilice el
cuantificador todo y escribirla de las cinco formas propuestas en el recuadro.
Dada una afirmación p ⇒ q, se denomina recíproca a la afirmación q ⇒ p
Algo más sobre el valor de verdad de las implicaciones.
Prestemos atención a un aspecto importante de la implicación. Si bien la única
implicación falsa es V ⇒ F, ciertamente representa real interés sólo el razonamiento
válido V ⇒ V.
Consideremos entonces una implicación V ⇒ V. Como dijimos, p ⇒ q nos dice
que es suficiente que p sea verdadero para que lo sea q y lo que es lo mismo, que es
necesario que q sea verdadero para que lo sea p. Es decir, que la verdad de p
“garantiza” la verdad de q. Sin embargo, no es cierto en general, que en este caso, la
verdad de q ”garantice” la verdad de p.
Volviendo al ejemplo del permiso de conducir, tenemos que, si la conjunción de
las condiciones enunciadas es verdadera (“tener 18 años cumplidos” ∧ “presentar
certificados de salud psicofísica” ∧ “saber manejar” ∧ “pagar una prima de 35$” ∧
“aprobar un examen de manejo en la municipalidad local” ) esto garantiza la obtención
del permiso de conducir. Pensemos en algunos ejemplos de lo que puede ocurrir. Dado
54
que la ley no se cumple “a rajatabla” el hecho de que alguien haya obtenido el permiso
de conducir, ¿garantiza que haya cumplido con todos estos requisitos?.
Es decir, si
tenemos una implicación verdadera p ⇒ q, no necesariamente es verdadera la
afirmación recíproca q ⇒ p.
88) Pensar otros ejemplo de implicaciones p ⇒ q cuyas afirmaciones recíprocas q ⇒ p
sean falsas
Desde el punto de vista conjuntista, vimos que la implicación p ⇒ q se
corresponde con la inclusión de conjuntos A ⊂ B, donde A y B son los conjuntos
inducidos en el referencial por las proposiciones p y q respectivamente. También vimos
que esta inclusión no garantiza que todos los elementos de B estén en A.
Estos son los elementos que hacen que q sea verdadera y p falsa, es decir, hacen
falsa la afirmación q ⇒ p.
La doble implicación
Recordemos la afirmación “para poder morir basta con haber nacido”
89) Pensemos de nuevo el ejemplo del permiso de conducir, pero ahora suponiendo que
se cumpla la ley a rajatabla, ¿sería verdadero el recíproco de la implicación?¿ Por
qué?
Cuando una condición es necesaria y suficiente para que se cumpla otra, se dice que
son equivalentes. La notación es p ⇔ q, que se lee p si y solo si q
p sí y sólo sí q es equivalente a decir que p implica q y que a la vez q implica p, a lo
cual se denomina doble implicación.
En símbolos:
p⇔q
equivale a
55
p⇒q
∧
q⇒p
El valor de verdad de la doble implicación
90)
Estudiar el valor de vedad de la doble implicación p ⇔ q en relación a los
valores de verdad de las proposiciones p y q.
En un sentido general e intuitivo y sin pretender dar una definición, diremos que
entre dos proposiciones p y q hay equivalencia si cada una “se deduce” de la otra, o sea,
si ambas “significan lo mismo”. Sin embargo, hay una equivalencia “formal” (de
forma) entre las proposiciones p: “1+1 = 0” y q: “todos los perros son azules” ya que
como son ambas falsas, la doble implicación es verdadera. Pero, desde el punto de vista
de su contenido, es imposible deducir una de la otra, y en este sentido no son
equivalentes.
Interesan a la matemática aquellas dobles implicaciones donde sean posibles estas
deducciones, y por lo tanto el sentido de la doble implicación es precisamente la
equivalencia entre conceptos.
La doble implicación como una relación entre conjuntos
La doble implicación
se corresponde con una “doble inclusión”
conjuntos: A ⊂ B y B ⊂ A. Es decir,
entre
todo elemento de A pertenece a B y todo
elemento de B pertenece a A, por lo tanto A y B tienen los mismos elementos, A = B.
Algo más sobre cuantificadores
Sean p y q dos proposiciones. La afirmación “Todo p es q” significa que todo
elemento que posee la propiedad p, posee, consecuentemente la propiedad q.
Por ejemplo:
•
Todo cuadrado es un paralelogramo
•
Todo número divisible por 6 es par
En términos de conjuntos, significa que el conjunto de elementos que cumplen la
propiedad p, está incluido (es un subconjunto) del conjunto de elementos que cumplen
la propiedad q.
56
En el segundo ejemplo, si U es el conjunto referencial de los números naturales,
A es el conjunto de los múltiplos de 6 y B es el conjunto de los números pares,
tendremos gráficamente:
U
B
A
elementos que
verifican q
elementos que
verifican p
91) En cada una de las siguientes expresiones proponer ejemplos que hagan verdadera
la afirmación. Luego, interpretarlos en términos de conjuntos
•
algún p es q
Ejemplo: algún número par es número primo.
Existe un número par que es primo (el 2)
El conjunto de los números pares y el de los números
primos tiene una intersección no vacía.
•
ningún p es q
•
todo p no es q
•
algún p no es q
92) Analizar el significado de las siguientes afirmaciones. Proponer ejemplos e
interpretar la afirmación en términos de conjuntos. ( ⇒ significa “no implica”)
•
Si todo p es q ⇒ algún p es q.
•
Si algún p es q ⇒ todo p es q
•
Algún p no es q ⇒ ningún p es q
•
ningún p es q ⇒ todo p no es q
57
Algunos ejemplos de aplicación
A modo de resumen de todo lo visto, daremos a continuación dos secuencias de
actividades donde interviene el razonamiento lógico en el sentido en que lo hemos
analizado en las páginas precedentes, cuyos campo de aplicación están fuera de la
matemática.
La lógica y las reglas ortográficas de acentuación
Consideremos las siguientes definiciones y reglas ortográficas del lenguaje
castellano, donde no tendremos en consideración las excepciones (que siempre existen)
a las mismas:
Definiciones:
Acento: es la mayor intensidad con que se pronuncia una sílaba en la pronunciación de
una palabra.
Acento prosódico: Es el acento que se pronuncia pero no se escribe. Por ejemplo la
palabra “tuberculosis” tiene acento prosódico en la cuarta sílaba
Acento gráfico o tilde: Es el acento que se pronuncia y se escribe. Por ejemplo la
palabra “espíritu” tiene tilde en la segunda sílaba
Palabras agudas: Son las palabras acentuadas en la última sílaba (camión, carril)
Palabras graves: Son las palabras acentuadas en la penúltima sílaba (cabeza, revólver)
Palabras esdrújulas: Son las palabras acentuadas en la antepenúltima sílaba o
anteriores (matemática, últimamente)
Reglas : Palabras que llevan acento gráfico o tilde
Regla 1: Las palabras agudas terminadas en n, s o vocal llevan tilde
Regla 2: Las palabras graves no terminadas en n, s, o vocal llevan tilde
Regla 3: Las palabras esdrújulas siempre llevan tilde sea cual fuera su terminación
Consideremos ahora los siguientes conjuntos:
A el conjunto formado por las palabras con tilde
B el conjunto formado por las palabras sin tilde
58
C el conjunto formado por las palabras agudas
D el conjunto formado por las palabras graves
E el conjunto formado por las palabras esdrújulas
F el conjunto formado por las palabras terminadas en n, s o vocal
1) a) Diseñar un diagrama que muestre la relación entre los conjuntos A, B, C, D y E
b) Ubicar en ese gráfico las palabras maní y dosel
c) ¿Qué reglas cumplen los elementos de B ∩ C? Escribirlo haciendo uso de un
conectivo lógico y dar un ejemplo.
2) ¿Qué reglas cumplen los elementos de D ∩ F? Escribirlo haciendo uso de un
conectivo lógico y dar un ejemplo.
3) Consideremos las proposiciones A, B, C, D, E, y F que son verdaderas para los
elementos de A, B, C, D, E, y F respectivamente. Por ejemplo, la proposición A: “x es
una palabra con tilde” es verdadera si x ∈ A. Escribir con palabras las proposiciones
a) D∨F
b) E∧F
c) ∼E∧F
4) a)Escribir una nueva proposición en este contexto tal que ningún elemento la haga
verdadera.
b) Mencionar dentro de este contexto todos los casos posibles (a partir de las
proposiciones A hasta F) donde tiene sentido conectar las proposiciones con el “o
excluyente”.
5) a) Construir una red lógica donde en la terminal S haya palabras con tilde y sin tilde,
y se verifique la implicación: “Si la palabra tiene tilde entonces es aguda”
b) ¿Qué palabras están en la terminal complementaria S según la red propuesta?
c) ¿Qué relación entre conjuntos induce esta implicación?
5) Escribir ejemplos de proposiciones (simples o compuestas) dentro de este contexto
que satisfagan las afirmaciones siguientes:
a) ............................ es condición necesaria (no suficiente) para ............................
b) ............................ es condición suficiente (no necesaria) para ............................
c) ............................ es condición suficiente y necesaria para .................................
59
6)Responder si estas afirmaciones son verdaderas o falsas y justificar adecuadamente
a) Existen palabras graves sin tilde
b) Ninguna palabra esdrújula tiene tilde
c) Existen palabras con tilde que no terminan en n, s o vocal
d) Toda palabra aguda tiene tilde
7) Escribir con uso de cuantificadores las negaciones de las afirmaciones del inciso 6)
8) Completar a) A∧C⇒ .....
b) ∼C∧∼D∧A⇒ .....
La lógica y las plantas
Consideremos sólo los siguientes argumentos, sin tener en cuenta las excepciones:
•
Angiospermas: plantas con flores y semillas. Pueden ser leñosas (arbustos o
árboles) o herbáceas.
•
Monocotiledóneas: Plantas angiospermas que se caracterizan por tener un solo
cotiledón.
•
Toda angiosperma que no es monocotiledónea, es dicotiledónea.
•
En general podemos considerar sin tener en cuenta las excepciones, que toda
planta monocotiledóneas corresponde a especies herbáceas, con tallos huecos,
hojas alargadas, flores dispuestas en espigas y frutos en cápsula.
•
Muchas especies herbáceas no son monocotiledóneas, por ejemplo,
crucíferas.
•
También en general, las especies leñosas son dicotiledóneas, aunque muchas
dicotiledóneas no son leñosas, por ejemplo algunas hierbas.
•
Gramíneas: Plantas monocotiledóneas que tienen tallos cilíndricos, flores
dispuestas en espigas y frutos secos cubiertos por las escamas de la flor.
•
Heliothis zea: (Isoca del maíz ) es una plaga propia del maíz, muy difundida que,
en su estado de larva, se alimenta de los estigmas o barbas y granos del choclo.
•
Phylophylla heraclei L. (mosca del apio) es una plaga propia del apio
•
Brachycerus algirus (gorgojo del ajo) es una plaga propia del ajo
•
El apio es una hierba dicotiledónea
•
Rhopalosiphum padi es una plaga propia de la avena
•
La avena, la alfalfa, el trigo y el maíz son gramíneas
•
El ajo es una herbácea monocotiledónea (no gramínea)
•
Sirex noctilio es una avispa que parasita la madera de los pinos
60
las
Consideremos ahora los siguientes conjuntos, teniendo en cuenta todas las
especies de plantas angiospermas como conjunto referencial:
A el conjunto de las plantas herbáceas
D el conjunto de todas las especies que
B el conjunto de las plantas leñosas
padecen el ataque de parásitos propios
C el conjunto de las gramíneas
E el conjunto de las monocotiledóneas
1) a) Diseñar un diagrama que muestre la relación entre los conjuntos A, B, C, D y E
b) Ubicar en ese gráfico las especies que padecen el ataque de Heliothis zea,
Phylophylla heraclei, Brachycerus algirus , Rhopalosiphum padi y Sirex noctilio
c) Sombrear en el gráfico, dónde están ubicadas las plantas dicotiledóneas
c) ¿Qué reglas características tienen los elementos de C ∩ D? Escribirlo haciendo
uso de un conectivo lógico y dar un ejemplo.
2) Analizar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justificar:
a) El maíz es una planta monocotiledónea
b) Las plantas herbáceas son gramíneas
c) Las plantas monocotiledóneas poseen flores en espiga
d) Todas las plantas gramíneas poseen hojas alargadas
e) Existen gramíneas no herbáceas
f) Toda gramínea atacada por Heliothis zea es monocotiledónea
g) Toda planta angiosperma es gramínea
h) Las plantas leñosas son dicotiledónea
i) Toda planta dicotiledónea es leñosa
j) Existen gramíneas dicotiledóneas
k) Ninguna planta herbácea es dicotiledónea
3) Consideremos las proposiciones A, B, C, D, E, y F que son verdaderas para los
elementos de A, B, C, D, E, y F respectivamente. Por ejemplo, la proposición A: “x es
una planta herbácea” es verdadera si x ∈ A.
a) A partir de estas proposiciones simples, escribir proposiciones compuestas con
los conectivos “ ∧ ” , “ ∨ ” y “ ∨ ” que sean verdaderas en este contexto.
61
b) Escribir algunas implicaciones posibles (de la forma: “Si...entonces...”) que
pueden efectuarse en relación a las proposiciones A, B, C, D, E y F.
c) ¿En todos los casos esa implicación representa una inclusión?. Mostrar ejemplos
d) Completar
............................ es condición necesaria (no suficiente) para ............................
............................ es condición suficiente (no necesaria) para ............................
............................ es condición suficiente y necesaria para .................................
4) Considerar las afirmaciones de la primera columna de la tabla siguiente. Sin tener en
cuenta el valor de verdad de las mismas, determinar si la afirmación de la segunda
columna es al la negación la proposición de la primera.
p
∼p
a) Ninguna gramínea es leñosa
Toda gramínea es leñosa
b) Algunas plantas leñosas no son
Toda planta leñosa es atacada por una
atacadas por plagas propias
plaga propia.
c) Existen monocotiledóneas que
Toda planta con espigas es
poseen espigas
monocotiledónea
d) Las plantas herbáceas no son
Existen plantas herbáceas que no son
leñosas
leñosas
e) La avena es una gramínea
La avena no es una gramínea
f) Algunas plantas angiospermas
f) Todas las plantas angiospermas
tienen tallos huecos
tienen tallos no huecos
Si- No
5) Escribir en la línea punteada, la negación de la siguiente frase
p: Cualquier gramínea es una planta herbácea
62
∼p: ....................................................
La demostración en matemática
En matemática, frente a una afirmación se puede hacer una y sólo una de dos
cosas:
ƒ demostrar que es válida
ƒ mostrar un contraejemplo, esto es, mostrar un ejemplo que demuestre su
falsedad
Sin abundar en muchos detalles, daremos una idea de lo que significa demostrar
en matemática [10].
Diremos que demostrar es inferir la veracidad de una proposición a partir de la
veracidad de una proposición dada, siguiendo una sucesión coherente de pasos. Con
esto queremos decir que pretendemos evidenciar que una determinada proposición (el
consecuente) es verdadera, sabiendo que son verdaderas las proposiciones de las cuales
se desprende (el antecedente)
Claro está que no se puede demostrar todo,
por ese motivo se establecen
axiomas. Los axiomas son afirmaciones muy simples y elementales que se suponen
verdaderas. No se demuestran, se proponen como válidos, y a partir de ellos se
construye una determinada teoría matemática. Los axiomas válidos para una teoría
pueden no ser válidos para otra.
En matemática una proposición es verdadera si es un axioma o si se puede
demostrar a partir de ellos.
Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada como verdadera dentro
de un marco lógico. Los teoremas constan de tres partes: hipótesis, tesis y demostración.
ƒ
la hipótesis es la conjunción de premisas, es lo que se supone válido
ƒ
la tesis es la conclusión, lo que se debe deducir a partir de las hipótesis, y
ƒ
la demostración es la deducción de la validez de la tesis a partir de la
validez de las premisas
63
La conexión lógica entre la hipótesis y la tesis se denomina implicación.
Hipótesis ⇒ Tesis
H⇒ T
que leemos: “H implica T”, y es equivalente a decir “Si H, entonces T”. Esto es, “T se
deduce de H”.
Los datos que se nos presentan en la o las hipótesis tienen que ser los suficientes
para llegar a buen término con la tesis. Esto quiere decir que si las hipótesis son estas,
necesariamente se cumple la tesis.
Que nosotros no encontremos el camino para
demostrarlo es otra historia. Una afirmación matemática que se cree verdadera pero no
ha sido demostrada se denomina conjetura. Por ejemplo, la conjetura de Goldbach que
es uno de los problemas abiertos más antiguos en matemáticas. Su enunciado es el
siguiente: Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números
primos.
Los siguientes son ejemplos de teoremas:
Teorema: (Teorema de Pitágoras)
En todo triángulo rectángulo, la suma de los
cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la
hipotenusa.
Teorema: Todo número entero distinto de 0, 1 y -1 puede escribirse como producto de
factores primos.
93) Identificar en cada caso hipótesis y tesis y escribir los teoremas como una
implicación.
Para mostrar que una afirmación es falsa, basta con mostrar un ejemplo
donde la afirmación no se cumple.
Para demostrar que una afirmación es verdadera, es necesario deducir su
verdad de la verdad de las premisas, y ese es el trabajo de los matemáticos.
94) Considerar las siguientes afirmaciones y demostrar que es válida o mostrar su
falsedad según corresponda:
* Todo múltiplo de 3 es número primo
64
* Si A ⊂ B y B ⊂ C entonces A ⊂ C
Agradecimientos
Deseamos agradecer al Dr. Claudio Padra por la cuidadosa lectura del
manuscrito de este trabajo y por sus valiosos aportes y comentarios.
Bibliografía
[1] Enciclopedia Libre Wikipedia http://es.wikipedia.org/
[2] Montoro, V. (1997) Elementos de lógica proposicional. Cuaderno Universitario N° 25.
Centro Regional Universitario Bariloche. Universidad Nacional del Comahue.
[3] Barreiro de Nudler, T. y Nudler O. (1973) Elementos de lógica simbólica. Ed. Kapeluz.
Buenos Aires.
[4] Sánchez Graillet, L. (2005) “¿Qué saben de lógica los que no saben lógica? Reflexiones
sobre el aprendizaje -muy- informal de una lógica -muy- informal” Taller de Didáctica
de la Lógica 2005, México, disponible en http://minerva.filosoficas.unam.mx/~Tdl/052/1006SanchezGraillet.ppt.
[5] García Zárate O. A. (2005), Conceptos de Lógica, disponible en
http://sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtualdata/libros/Filosofia/intro_logica/
[6] Fonseca Yerena, M del S. (1999) El uso del lenguaje escrito en las universidades:
¿Evolución o deterioro?, en Transferencia 12(45).
[7] Jessop, N.M. Biosfera: los seres vivos y su ambiente. Ediciones Omega, Barcelona
[8] Palacios A.R, Cerdeyra L.E. y Giordano E.H (1985) La lógica va a la escuela. Juegos con
redes lógicas. Ediciones del 80. La Plata
[9] de Guzmán, M. (1997) Del lenguaje cotidiano al lenguaje matemático. Epsilon 38: 19-36.
[10] de Torres Curth, M. y Montoro, V. (1994). Teoría de Matrices. Aplicaciones a la Biología.
Cuaderno Universitario N° 21. CRUB. Universidad Nacional del Comahue.
65
66
CUADERNOS UNIVERSITARIOS
CRUB
ISSN 0325-6308
01 Nudler, Oscar: Introducción al problema de la fundamentación de la Aritmética. Setiembre 1974
02 Buch, Tomás: Los carbones. Noviembre 1974
03 Buch, Tomás: Uniones químicas: La teoría electrónica de la valencia. Diciembre 1974
04 Barreiro, Telma: Etica, individuo y sociedad. Febrero 1975
05 Hernández, Enrique: Positivismo y cientificismo en la Argentina. Diciembre 1975
06 Porta de Bressan, Ana María: Sistemas y Bases de numeración. Algunas propiedades numéricas
en distintas bases. Febrero 1976
07 Sanchez y Juliá, Enrique: Sociedad indígena y conquista del desierto. Norpatagonia. Etnohistoria.
Abril 1976
08 Guala, Jorge y Bastianciq, Angel: Las cantidades y sus medidas. Abril 1977
09 Daleo, Gustavo Raúl: Mecanismos moleculares en memoria y aprendizaje. Agosto 1977
10 Bressan, Ana y de la Cruz, Monserrat: Piaget y la enseñanza del tiempo en nuestra escuela.
Noviembre 1977
11 de la Cruz, Monserrat; Telma Barreiro y , Ana M.Sorocinschi: Una experiencia del
perfeccionamiento docente universitario centrada en el factor humano y la dinámica grupal.
Octubre 1982
12 Barreiro, Telma: Escuela, aprendizaje y afectividad. Marzo 1983
13 Lopardo, Gabriel: Socioecología del mono aullador negro Alquatta caraya: un diseño para
investigación. Noviembre 1984
14 Grigera, Dora y Sigfrido Rubulis: Aves de la cuenca del Río Manso Superior (Prov. de Río
Negro). Abril 1985
15 Grigera, Dora; Claudio Romero y Adriana Ramassotto:Los problemas ambientales de Bariloche:
su detección por medio de una encuesta a un sector de la comunidad. Enero 1986
16 El ADN: su descubrimiento, organización y manipulación. Conferencia dada por el Dr. James
Watson en el Centro Regional Universitario Bariloche, Universidad Nacional del Comahue. Julio
1986
17 Panorama actual de la Acuicultura en la Argentina. Primera Reunión Argentina de Acuicultura,
Bariloche, 19 al 24 de abril de 1987. Secretaría de Investigación, CRUB - UNC. Abril 1987
18 Bianchi, Elena: Estudio Ecológico de la Pampa de Huenuleo (San Carlos de Bariloche, Prov. Río
Negro) Parte 1: Geomorfología. Octubre 1987
19 de la Cruz, Monserrat y M. Susana Lolich: Confrontación cultural y fracaso escolar. 1987
20 Ferraris, Cristina: Orientación en el plano y en el espacio. 1993
21 de Torres Curth, Mónica y V. Montoro: Teoría de Matrices, aplicación a la Biología. 1993
22 Siñeriz, Liliana: Métodos y heurísticas de resolución de problemas. 1994
23 Ferraris, Cristina: Construcciones con regla y compás. 1995
24 Bello, M. Teresa; Marcelo F. Alonso y Miguel de Lourdes Baiz: Rendimiento en peso de los
ejemplares de tamaño comercial del pejerrey patagónico. Agosto 1996
67
25 Montoro, Virginia: Elementos de lógica proposicional. 1997
26 Ferraris, Cristina y Virginia Montoro: Los primos de Fermat y otros parientes aritméticos (taller).
1997
27 Ferraris, Cristina: Una definición geométrica de ángulos. Ordenamiento - suma - aplicación a
retaciones. 1997
28 Ferraris, Cristina: Espacios vectoriales y transformaciones lineales. 1997
29 Baiz, Miguel de Lourdes y M. Teresa Bello: Desplazamientos de Oncorhynchus mykiss (Walb.) y
de Salmo trutta L.(Pisces, Salmonidae) en el Lago Nahuel Huapi. Dic. 1997
30 Crivelli, Ernesto: Aportes para el conocimiento del comportamiento hídrico de la cuenca del Río
Manso Superior. Mayo 1998
31 Riestra, Dora: La reenseñanza de la escritura como problema multidisciplinario. Sep.1998
32 de Torres Curth, Mónica: Cálculo diferencial: Teoría y aplicaciones. Dic.1998
33 Montoro, Virginia: La teoría de conjuntos. Una mirada histórica y epistemológica. 1999
34 Santinelli, Raquel: Los números reales. Racionales e irracionales. Una mirada histórica y
epistemológica. 1999
35 Di Pasquale, Cristina: Modelos matemáticos en poblaciones dinámicas. Dic.99
36 de Torres Curth, Mónica: El concepto de límite, una mirada histórico – epistemológica. 2000
37 Montoro, Virginia y Juan, María Teresa: Números complejos. 2000
38 Montoro, Virginia: Anillo de Polinomios. 2000
39 Biscayart, Carolina y Ferrero, Marta: Particularidades sobre la estructura algebraica de módulo,
2000.
40 Crivelli, Ernesto: Cálculo del nivel del Lago Nahuel Huapi a partir de datos meteorológicos del
Aeropuerto Bariloche, 2000.
41 Di Pasquale, C. y Biscayart, C.: Un camino a la optimización ; La programación dinámica, 2001.
42 Grigera Dora y Palacio, M.: La percepción de los problemas ambientales de las ciudades de S. C.
de Bariloche y de Neuquén por parte de un sector social de su población, 2002.
43 Bello, María Teresa: Los peces autóctonos de la Patagonia Argentina. Distribución natural, 2002.
44 Núñez , Martín y Quintero, Carolina: ¿Qué hacer con las especies exóticas invasoras? .
Problemática y técnicas de manejo. Algunos ejemplos de especies exóticas en la Patagonia
argentina, 2002.
45 Ferraris, Cristina: Siempre hay un espacio para un problema, 2002.
46 Montoro, Virginia y Juan, María Teresa: Introducción a la teoría de grafos, 2003.
47 Ferraris, Cristina y Ferrero, Martha: Geometría para armar, 2003.
48 Siñeriz, Liliana y Santinelli, Raquel: Transformaciones rígidas con Cabri Géomètre II: una
aproximación a la teoría axiomática, 2003.
68