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Unidad III
FUNCIONES LÓGICAS Y MÉTODOS DE MINIMIZACIÓN Contenido
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Formas Algebraicas de funciones lógicas.
Minitérminos y maxitérminos.
Mapas de Karnauhg.
Implicante primo
Definiciones
• Literal: una variable o su complemento. Ej X.
• Un término de producto: un literal simple o un producto lógico de dos o más literales. Ej
X∙Y.
• Suma de productos: es la suma lógica de términos de producto. Ej. Z+W∙X
• Término de suma: es un literal simple o una suma lógica de dos o más literales. Ej X+Y+Z
Definiciones
• Producto de sumas: Es el producto lógico de términos de suma. Ej (X+Y)∙(X+Z).
• Un término Normal: es un término de producto o suma en el cual una variable aparece una sola vez.
• Minitérmino de n variables: es un término de producto normal con n literales. Ej W´∙X´∙Y´∙Z
• Maxitérmino de n variables: es un término de suma normal con n literales. Ej W´+X´+Y´+Z
Minitérminos, Maxitérminos y TV
Renglón
X
Y
Z
F
Minitérminos
Maxitérminos
0
0
0
0
F(0,0,0)
X´∙Y´∙Z´
X+Y+Z
1
0
0
1
F(0,0,1)
X´∙Y´∙Z
X+Y+Z´
2
0
1
0
F(0,1,0)
X´∙Y∙Z´
X+Y´+Z
3
0
1
1
F(0,1,1)
X´∙Y∙Z
X+Y´+Z´
4
1
0
0
F(1,0,0)
X∙Y´∙Z´
X´+Y+Z
5
1
0
1
F(1,0,1)
X∙Y´∙Z
X´+Y+Z´
6
1
1
0
F(1,1,0)
X∙Y∙Z´
X´+Y´+Z
7
1
1
1
F(1,1,1)
X∙Y∙Z
X´+Y´+Z´
Suma y producto canónica
• La suma canónica de una función lógica es la suma de los minitérminos para los cuales la función produce salida 1.
• La producto canónica de una función lógica es el productos de los maxitérminos para los cuales la función produce salida 0.
Suma y producto canónica
Renglón
0
1
2
3
4
5
6
7
X
0
0
0
0
1
1
1
1
Y
0
0
1
1
0
0
1
1
Z
0
1
0
1
0
1
0
1
F
1
0
0
1
1
0
1
1
Minitérminos
X´∙Y´∙Z´
Maxitérminos
X+Y+Z´
X+Y´+Z
X´∙Y∙Z
X∙Y´∙Z´
X´+Y+Z´
X∙Y∙Z´
X∙Y∙Z
Suma y producto canónica
F(X,Y,Z)=
∑XYZ(0,3,4,6,7)=
X´∙Y´∙Z´+X´∙Y∙Z+X∙Y´∙Z´+X∙Y∙Z´+X∙Y∙Z = ∏XYZ(1,2,5)=
(X+Y+Z´)∙(X+Y´+Z)∙(X´+Y+Z´)
Ejemplo
• Detector de números Primos de 4 bit
• Los numero primos que se pueden escribir con 4 bits son: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13.
• La función se puede escribir de la siguiente manera:
• ∑XYZ(2, 3, 5, 7, 11, 13)=
• N´3∙N´2∙N1∙N´0+N´3∙N´2∙N1∙N0+N´3∙N2∙N´1∙N0+N´3
∙N2∙N1∙N0+N3∙N´2∙N1∙N0+N3∙N2∙N´1∙N0
Otro ejemplo
• La salida alarma es 1 si la entrada pánico es 1 o si la entrada habilitar es 1, la salida salir es cero y la casa no es segura.
• La casa es segura si las entradas ventana,
puerta y garaje son 1.
• alarma=
pánico+habilitar∙salir´∙(ventana∙puerta∙garaje)´
Minimización
• Llevar la función a su mínima expresión
• Esto reduce el número de compuertas lógicas del circuito
• La minimización se realiza buscando términos que tengan la forma de los teoremas X∙Y+X∙Y´=X
(X+Y)∙(X+Y´)=X
Mapas de Karnaugh
W
WX 00
YZ
Y
01
11
10
00
0
4
12
08
01
1
5
13
09
11
3
7
15
11
10
2
6
14
10
X
Mapa de Karnaugh de 4 Variables
Z
Minimización
• En el mapa de Karnaugh las variables se colocan de tal manera que dos celdas (minitérminos) contiguas difieran sólo de un bit, con el fin de aplicar los teoremas.
• La función lógica se simplifica al combinar pares de celdas 1 adyacentes (minitérminos)
• Permite escribir una función como suma de productos o productos de sumas
Ejemplo
X
0
0
0
0
1
1
1
1
Y
0
0
1
1
0
0
1
1
Z
0
1
0
1
0
1
0
1
F
0
1
1
0
0
1
0
1
F=((X+Y’)∙Z)+(X’∙Y∙Z’)
Z
XY
00 01 11 10
0
1
1
1
1
1
F=X´∙Y∙Z´+X´∙Y´∙Z+X∙Z
F=X´∙Y∙Z´+X∙Y∙Z+Y´∙Z
F=X´∙Y∙Z´+X∙Z+Y´∙Z
Suma mínima
• Una suma mínima de una función lógica F(X1…Xn) es una expresión de sumas de productos para F de tal modo que ninguna expresión de sumas de productos para F tiene menos términos de producto y cualquier expresión de suma de productos con el mismo número de términos de producto tiene al menos tantas literales
Implicación
• La función lógica P(X1…Xn) implica una función lógica F(X1…Xn) si para toda combinación de entrada tal que P=1, entonces F=1 también.
• PF
• F incluye P
• F cubre a P
Implicante primo
• El implicante primo de una función lógica F(X1…Xn) es un termino de producto normal P(X1…Xn) que implica F, de tal modo que si cualquier variable es removida de P, entonces término de producto resultante no implica F
Suma Completa
• La suma de todos los implicantes primos de una función lógica se denomina suma completa.
• La suma completa no siempre es mínima