Download Unidad didáctica 4 . Trigonometría plana

Interpretación Gráfica
Unidad didáctica 4. Trigonometría plana
4.1
Medidas de arcos y ángulos
Como en una misma circunferencia a arcos iguales corresponden ángulos iguales, se quiere
encontrar una medida de arcos que sirva para ángulos y arcos a la vez.
En las calculadoras científicas se encuentran dos sistemas de medidas indicados por Deg y Rad.
Además se encuentra una tecla con los símbolos º ‘ “; tenemos así tres tipos de medida que
vamos a estudiar.
4.1.1 Sistema decimal Deg
La circunferencia se divide en 360 partes iguales y cada parte es una unidad de medida llamada
grado. Los submúltiplos del grado siguen el sistema decimal, de tal manera que se tienen décimas,
centésimas de grado.
4.1.2 Sistema sexagesimal º ‘ “
También en este sistema la unidad de medida, llamada grado, se obtiene dividiendo la
circunferencia en 360 partes iguales. Sin embargo, los submúltiplos siguen el sistema sexagesimal, es
decir, un grado se subdivide en 60 minutos y un minuto se divide en 60 segundos.
En la calculadora la tecla º ‘ “ con los signos de grados, minutos y segundos, respectivamente,
sirve para pasar del sistema decimal, en el que se trabaja habitualmente, al sistema sexagesimal.
4.1.3 Sistema natural Rad
Se llama radián a la amplitud de un ángulo central cuyos lados interceptan en la circunferencia
un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia misma. En este sistema:

Un ángulo completo mide 2π rad ó 360º

Un ángulo llano mide π rad ó 180º

Un ángulo recto mide π/2 rad ó 90º
4.1.4 Relaciones entre grados y radianes
Como un ángulo llano mide 180º o π rad, por medio de una regla de tres se puede calcular la
relación entre las dos medidas:
180º   rad
xº  y rad
es decir: y rad 
4.2
xº
y rad 180º
; xº 
según esto, 1 rad equivale a 57,29577951º o a 57º 17’ 44,81”.
180º
 rad
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
La figura adjunta representa un triángulo rectángulo. Los elementos que vamos a considerar en
el son:

El ángulo: B

La hipotenusa: BC, a

El cateto opuesto al ángulo B: AC, b

El cateto contiguo al ángulo B: AB, c
Trigonometría plana 4-1
Representación gráfica
C
Hipotenusa
a
b
B
Cateto
opuesto
c
A
Cateto contiguo
Con estos elementos se van a definir seis razones trigonométricas para el ángulo B. Unas son
directas (seno, coseno, tangente) y otras inversas (cosecante, secante, cotangente)
4.3
senB 
cateto opuesto AC b


hipotenusa
BC a
csc B 
hipotenusa
BC a


cateto opuesto AC b
cos B 
cateto contiguo AB c


hipotenusa
BC a
sec B 
hipotenusa
BC a


cateto contiguo AB c
tan B 
cateto opuesto AC b


cateto contiguo AB c
cot B 
cateto contiguo AB c


cateto opuesto AC b
Empleo de la calculadora en el cálculo de razones trigonométricas
En general, el valor de las razones trigonométricas se puede obtener con las calculadoras
científicas. Se presentan dos problemas:

Dado el ángulo, calcular el valor de la razón. Es el problema directo y para resolverlo se
emplean sen, cos, tan.

Dado el valor de una razón trigonométrica, hallar el ángulo correspondiente. Este problema
inverso se llama búsqueda de los arcos y se suele indicar por arcsen, arcos, arctan. En las
calculadoras aparecen símbolos: sen-1, cos-1, tan-1 que generalmente actúan con SHIFT.
Cuando el ángulo está dado en radianes hay que poner previamente la calculadora en radianes,
lo mismo ocurre si el ángulo está expresado en grados.
4.4
Resolución de triángulos rectángulos
Las razones trigonométricas relacionan las medidas de los ángulos con los lados del triángulo
rectángulo de tal manera que, al conocer dos elementos del mismo (entre los que debe haber un lado
por lo menos), se pueden hallar los demás. A continuación estudiamos el teorema de Pitágoras, los
cuatro casos que se pueden presentar y dos casos particulares más.
4.4.1 Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo se cumple que la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma del
cuadrado de los catetos, de este modo tenemos las siguientes relaciones:
h  c12  c22
c1  h 2  c22
Trigonometría plana 4-2
Interpretación Gráfica
4.4.2 Conocidos la hipotenusa y un cateto
AC = 5 cm y BC = 13 cm

Aplicando el teorema de Pitágoras se determina el otro cateto AB: AB2 = 169–25 = 144;
AB = 12 cm

Se emplea la calculadora para hallar uno de los ángulos: sen B = (5/13); B = sen-1(5/13) =
22,619º

El otro ángulo se calcula al conocer la suma de los ángulos de un triángulo 180º: C = 18090-22,619 = 67,381º
4.4.3 Conocidos dos catetos
AB = 10 cm y AC = 12 cm

Aplicando el teorema de Pitágoras se determina el la hipotenusa BC: BC2 = 100+144 =
244; AB = 15,62 cm

Se emplea la calculadora para hallar uno de los ángulos: tan B = (12/10); B = tan-1(12/10) =
50,194º

El otro ángulo se calcula al conocer la suma de los ángulos de un triángulo 180º: C = 18090-50,194 = 39,806º
4.4.4 Conocidos la hipotenusa y un ángulo agudo
BC = 18 cm y B = 25º

El otro ángulo se calcula al conocer la suma de los ángulos de un triángulo 180º: C = 18090-25 = 65º

Mediante la definición del seno se calcula AC: sen 25 = AC/18; AC = 18 · sen 25 = 7,61

Mediante la definición del coseno se calcula AB: cos 25 = AB/18; AB = 18 · cos 25 =
16,31
4.4.5 Conocidos un cateto y un ángulo agudo
AB = 20 cm y B = 30º

El otro ángulo se calcula al conocer la suma de los ángulos de un triángulo 180º: C = 18090-30 = 60º

Mediante la definición de tangente se calcula AC: tan 30 = AC/20; AC = 20 · tan 30 =
11,54

Mediante la definición del coseno se calcula BC: cos 30 = 20/BC; BC = 20 / cos 30 = 23,09
4.4.6 Resolución de triángulos isósceles
B
Un triángulo isósceles es aquel que tiene dos lados iguales. Su
resolución se reduce a trazar la altura que lo divide en dos triángulos
rectángulos iguales y el problema se reduce al proceder del apartado 4.4.3
28 cm
4.4.7 Aplicación a los polígonos regulares
Queda reducido al caso anterior, trazando los radios y la apotema del
polígono regular, que lo divide en triángulos rectángulos iguales.
C
A'
24 cm
Debemos conocer siempre de qué polígono se trata, pues así sabremos la
medida del ángulo central.
Trigonometría plana 4-3
A
Representación gráfica
O
360
número de lados
B
radio
A'
C
4.5
A
Teoremas del seno y del coseno
Hasta ahora hemos estudiados los triángulos rectángulos, a partir de ahora estudiaremos los
triángulos en general.
C
b
a
c
B
A
4.5.1 Teorema de los senos
El teorema del seno dice que existe proporcionalidad entre los lados de un triángulo y los senos de
los ángulos opuestos.
a
b
c


senA senB senC
4.5.2 Teorema del coseno
El teorema del coseno dice que en todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos menos el doble del producto de estos dos lados por el coseno del ángulo que
forman.
a 2  b 2  c 2  2bc  cos A
b 2  a 2  c 2  2ac  cos B
c 2  a 2  b 2  2ab  cos C
4.6
Resolución de triángulos
Se nos presentan cuatro casos que desarrollaremos, aunque en la práctica, es mejor saber
relacionar las incógnitas con los datos que saber resolver los cuatro casos.
Trigonometría plana 4-4
Interpretación Gráfica
4.6.1 Conocidos un lado y los dos ángulos adyacentes
a = 24 cm; B = 55,25º y C = 68,7º

El otro ángulo se calcula al conocer la suma de los ángulos de un triángulo 180º: A = 18055,25-68,7 = 56,05º

Aplicando el teorema de los senos calculamos b
a
b
a  senB
24  sen55,25

b
b
 b  23,77cm
senA senB
senA
sen56,05

Aplicando, de nuevo, el teorema de los senos calculamos c
24  sen68,7
a
c
a  senC
 c  26,96cm

c
c
senA senC
senA
sen56,05

Para calcular el área tenemos en cuenta sen C = h/b y aplicamos la fórmula del área
Área 
a  h a  b  senC
24  23,77  sen56,05

 Área 
 Área  265,78cm 2
2
2
2
4.6.2 Conocidos dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos
a = 67,2 cm; b = 74 cm; A = 56,2º.

Aplicando el teorema de los senos calculamos B
a
b
b  senA
74  sen56,2

 senB 
 senB 
 0,915  B  sen 1 0,915  66,21º
senA senB
a
67,2

El otro ángulo se calcula al conocer la suma de los ángulos de un triángulo 180º: C = 18056,2-66,21 = 57,59º

Aplicando, de nuevo, el teorema de los senos calculamos c
a
c
a  senC
67,2  sen57,59

c
c
 c  68,27cm
senA senC
senA
sen56,2
4.6.3 Conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos
a = 12 cm; b = 14 cm; C = 56º.

Aplicando el teorema del coseno calculamos c
c 2  a 2  b 2  2ab  cos C  c 2  144  196  2 12 14  cos 56  c 2  152,11  c  12,33

Aplicando el teorema de los senos calculamos A
a
c
a  senC
12  sen56

 senA 
 senA 
 0,807  A  sen 1 0,807  53,80º
senA senC
c
12,33

Aplicando el teorema de los senos calculamos B
a
b
b  senA
14  sen53,8

 senB 
 senB 
 0,941  B  sen 1 0,941  70,30º
senA senB
a
12
4.6.4 Conocidos los tres lados
a = 12 cm; b = 14 cm; c = 16 cm.

Aplicando el teorema del coseno calculamos C
Trigonometría plana 4-5
Representación gráfica
a2  b2  c2
144  196  256
 cos C 
 0,25
2ab
2 12 14
 C  cos 1 0,25  75,52º
c 2  a 2  b 2  2ab  cos C  cos C 

Aplicando el teorema de los senos calculamos A
a
c
a  senC
12  sen75,52

 senA 
 senA 
 0,726  A  sen 1 0,726  46,56º
senA senC
c
16

Aplicando el teorema de los senos calculamos B
a
b
b  senA
14  sen46,56

 senB 
 senB 
 0,847  B  sen 1 0,847  57,90º
senA senB
a
12
4.7
Ejercicios
1. Escribe en radianes las medidas de los siguientes ángulos: 45º, 210º, 315º, 240º.
2. Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos: 3 rad, 2,5 rad, 0,5 rad, 12 rad.
3. Expresa en grados decimales y en radianes cada uno de los ángulos centrales de los
siguientes polígonos regulares: triángulo, cuadrado, hexágono, octógono.
4. Calcula el lado del triángulo equilátero cuya altura vale 12 cm.
5. Hallar las razones trigonométricas de los ángulos B y C de un triángulo rectángulo, cuyo
ángulo recto es A, en los casos siguientes:
a. b = 3 cm, c = 4 cm
b. a = 25 cm, c = 7 cm
c. a = 15 cm, b = 13 cm
6. Resuelve los triángulos rectángulos con ángulo recto en A y cuyos datos son:
a.
a = 5 m, b = 4 m.
b. b = 20 m, c = 16 m.
c. a = 3,15 m, B = 30º
d. c = 4,25 m, C = 60º
7. Un poste de 6 m de altura proyecta una sombra de 8 m. Si se unen el extremo superior del
poste y el extremo de la sombra, calcula los elementos del triángulo formado.
8. ¿Cuánto miden el radio y la apotema de un pentágono regular de 20 cm de lado? ¿Cuánto
vale su área?
9. Resuelve los siguientes triángulos en los que se conocen estos datos:
a. a = 25, B = 36,5º, C = 58,75º
b. a = 90, b = 102, A = 61,3º
c. a = 114, b = 105, C = 54,3º
d. a = 12, b = 20, c = 15
10. Calcula los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 13 y 9 cm.
11. Calcula la altura de una torre situada en un terreno horizontal, sabiendo que con un aparato
de 1,20 m de altura colocado a 20 m de ella, se ha medido el ángulo que forma con la
horizontal la visual dirigida al punto más elevado, y se ha obtenido que mide 48,5º.
Trigonometría plana 4-6
Interpretación Gráfica
12. Halla la altura de un poste, sabiendo que desde cierto punto del suelo se ve bajo un ángulo
de 14º, y si nos acercamos 20 m al pie del poste los vemos bajo un ángulo de 18º
Relación de ejercicios de cálculo de trigonometría
1. Escribe en radianes las medidas de los siguientes ángulos: 30º, 180º, 225º, 330º.
2. Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos: 2 rad, 1,5 rad, 0,25 rad, 6 rad.
3. Expresa en grados decimales y en radianes cada uno de los ángulos centrales de los
siguientes polígonos regulares: pentágono, heptágono, decágono.
4. Calcula el lado del triángulo equilátero cuya altura vale 20 cm.
5. Hallar las razones trigonométricas de los ángulos B y C de un triángulo rectángulo, cuyo
ángulo recto es A, en los casos siguientes:
a. b = 8 cm, c = 15 cm
b. a = 30 cm, c = 24 cm
c. a = 13 cm, b = 5 cm
6. Resuelve los triángulos rectángulos con ángulo recto en A y cuyos datos son:
a. a = 7,25 m, b = 3,41 m.
b. b = 33,4 m, c = 20,8 m.
c. a = 25 m, B = 45º
d. b = 20 m, C = 60º
7. Una escalera de 5 m de longitud tiene su extremo superior apoyado sobre una tapia de 2,5
m de altura. ¿Qué ángulos forma la escalera con la tapia y el suelo?
8. Un poste de 15 m de altura sostiene verticalmente atado a su extremo un cable de 25 m que
se fija al suelo. ¿Qué ángulos forman los cables con el poste?
9. Resuelve los siguientes triángulos en los que se conocen estos datos:
a. a = 12, B = 32º, C = 124º
b. b = 45, c = 50, B = 40,53º
c. c = 0,94, A = 15,57º C = 123,48º
d. a = 3, b = 4, c = 5
10. Halla los ángulos de un trapecio isósceles cuyas bases miden 83 y 51 m y cuya altura mide
61 m.
11. Desde cierto lugar del suelo se ve el punto más alto de una torre, formando la visual un
ángulo de 30º con la horizontal. Si nos acercamos 75 m hacia el pie de la torre, ese ángulo
se hace de 60º, calcula la altura de la torre.
Trigonometría plana 4-7