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MATEMÁTICAS I
Soluciones Hoja 1:Trigonometría Esférica Curso 09-10
1.- Razonar si puede existir al menos un triángulo esférico con los elementos dados. En caso
afirmativo, calcular los elementos restantes:
a) a=60º00’31’’, b=137º20’40’’, c=116º00’32’’
b) A=70º00’25’’, B=131º10’15’’, C=94º50’53’’
c) a=64º24’03’’, b=42º30’10’’, C=58º40’52’’
d) c=116º12’05’’, A=70º51’15’’, B=131º20’26’’
e) a=58º46’22’’, b=137º02’50’’, B=131º52’33’’
f) A=70º, B=119º, b=76º
g) a=90º,c=67º38’, b=48º50’
Solución:
a) Aplicando el teorema del coseno:
cos a − cos b cos c
= 0,2912659729
cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A ⇒ cos A =
senb senc
⇒ A=73º03’58’’. Análogamente:
cos b − cos a cos c
cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B ⇒ cos B =
= -0,6632204119
sena senc
⇒ B=131º32’45’’
cos c − cos a cos b
cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C ⇒ cos C =
= -0,1207886561
sena senb
⇒ C=96º56’15’’
Comprobación: Usando el teorema del seno obtenemos información acerca de la validez
o precisión de los resultados.
sena
senb
senc
= 0,905355;
= 0,905353;
= 0,905354
senA
senB
senC
(5 cifras decimales coincidentes en estas razones asegura aproximadamente un error
menor que 1 segundo)
b) Aplicando el teorema del coseno para ángulos:
cos A + cos Bcos C
= 0,530015814
cos A = − cos Bcos C + senBsenC cos a ⇒ cos a =
senBsenC
⇒ a=57º59’37’’. Análogamente,
cos B + cos A cos C
= −0, 733898576
cos B = − cos A cos C + senAsenC cos b ⇒ cos b =
senAsenC
⇒ b=137º12’51’’
cos C + cos A cos B
= −0, 437657969
cos C = − cos A cos B + senAsenBcos C ⇒ cos c =
senAsenB
c=115º57’16’’
sena
senb
senc
Comprobación:
= 0,902369;
= 0,902369;
= 0,902369
senA
senB
senC
c) Aplicando el teorema del coseno:
cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C = 0,6352607851 ⇒ c = 50º 33’ 38.42”
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Y ahora, con este dato incorporado, aplicamos de nuevo el teorema del coseno para
calcular A y B:
cos a − cos b cos c
cos A =
= -0,06951367 ⇒ A = 93º 59’ 9.8”
senb senc
cos b − cos a cos c
cos B =
= 0,6644274671 ⇒ B = 48º 21’ 41.7”
sena senc
sena
senb
senc
Comprobación:
= 0,904025;
= 0,904025;
= 0,904024
senA
senB
senC
d) Aplicando el teorema del coseno para ángulos:
cos C = − cos A cos B + senAsenBcos c = −0, 0965239 ⇒ C = 95º 32 '21''
Y ahora teorema del coseno para los ángulos de nuevo para calcular a y b:
cos A + cos B cos C
= 0,5242012028 ⇒ a = 58º 23’ 7.86”
cos a =
senB senC
cos B + cos A cos C
= -0,7361569118 ⇒ b = 137º 24’ 18.2”
cos b =
senA senC
sena
senb
senc
Comprobación:
= 0,901456;
= 0,901457;
= 0,901456
senA
senB
senC
e) Por el teorema del seno:
⎧A = 69º 08' 09' ' < B ⇔ a < b
sen a sen b
=
⇒ sen A = 0.934428211 ⇒ ⎨
sen A sen B
⎩A = 110º 51' 51' ' < B ⇔ a < b
Las dos soluciones son válidas pues no contradicen ninguna propiedad, tenemos por tanto dos
soluciones. Resolvemos ahora dos triángulos esféricos:
Uno para A1=69º 08’ 09’’ y otro para A2=110º 51’ 51’’
Datos conocidos del 1º triángulo: A1= 69º08’09’’, a, b, B
Aplicando las analogías de Neper:
A +B
cos 1
c1
2 tg a + b = 1,5370151 ⇒ c1 = 56º 57’ 5.92” ⇒ c = 113º 54’ 12”
tg =
1
A −B
2
2
2
cos 1
2
a−b
cos
C1
C
2
tg
=
= 1,04520437 ⇒ 1 = 46º 15’ 58.25” ⇒ C1= 92º 31’ 57”
a + b A1 + B
2
2
cos
tg
2
2
senc1
sena senb
Comprobación:
=
= 0,9151243;
= 0,9151244
senA senB
senC1
Datos conocidos del 2º triángulo:: A2=110º51’51’’, a, b, B
Aplicando las analogías de Neper:
A +B
cos 2
c
2 tg a + b = 3,810561712 ⇒ c 2 = 75º 17’ 13.2” ⇒ c = 150º 35’ 27.8”
tg 2 =
2
A2 − B
2
2
2
cos
2
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a−b
C
2
= 3,436280124 ⇒ 2 = 73º 46’ 27.66” ⇒ C2= 147º 32’ 55.3”
A
+
B
a+b
2
cos
tg 2
2
2
senc 2
sena senb
Comprobación:
=
= 0,9151243;
= 0,91512439
senA senB
senC 2
C
tg 2 =
2
cos
f) Por el teorema del seno:
senb ⋅ senA sen76º sen70º
sena =
=
= 1.042487067 1>1⇒ ¡IMPOSIBLE!
senB
sen119º
g) Se trata de un triángulo rectilátero en a = 90º luego su polar es rectángulo en Ap = 90º y
los elementos conocidos de dicho polar son:
Ap=180º- a = 90º; Bp =180º- b =131º 10’ ; Cp = 180º- c = 112º 22’
Aplicamos las reglas del pentágono de Neper al triángulo polar:
Cp
ap
ap
Bp
Bp
Ap
cp
cosap= cotgBp cotgCp =
Bp
Ap=90º
90º-cp
Cp
90º-bp
1
=0,3598094492 ⇒ ap = 68º 54’ 41.42”
tg B p tg C p
( ) ( )
cosBp=sen(90º-bp)senCp = cosbp senCp ⇒ cos b p =
cos B p
sen(C p )
= -0,7118022192
⇒ bp= 135º 22’ 54.2”
cosCp=sen(90º-cp)senBp = coscp senBp ⇒ cos c p =
cos C p
sen( B p )
= -0,5054907662.
⇒ cp= 120º 21’ 50.1”
Comprobamos con el teorema del seno la validez de estos datos
sena
senb
senc
= 0,9330258;
= 0,9330260;
= 0,9330259
senA
senB
senC
Y ahora calculamos los datos del triángulo dado que nos faltaban:
A = 180º - ap = 111º 5’ 18.58” (si queremos dar solo hasta los minutos A ≈ 111º 5’)
B = 180º - bp = 44º 37’ 5.8” (si queremos dar solo hasta los minutos B ≈ 44º 37’)
C = 180º - cp = 59º 38’ 9.9” (si queremos dar solo hasta los minutos C ≈ 59º 38’)
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2.- Dado el triángulo esférico de lados a=80º, b=40º y c=100º, hallar la altura esférica sobre el
lado “a” y decir si es interior o exterior al triángulo.
Solución:
Si la altura sobre el lado a es interior (h), al
B
triángulo ABC, entonces h, B y C han de ser
C
todos agudos o todos
obtusos, pues son ángulos
c
b=54º10'
h
a
que se oponen al cateto h, en los triángulos
B
rectángulo en que h),divide al triángulo
ABC.
A=84º30'
b
c=104º22'
Si la altura es exterior (h), entonces han de ser h,
B y (180º- C) agudos u obtusos simultáneamente
C
A
es decir, B y C han de tener distinto carácter.
h
H
Por tanto, hemos de calcular primero los ángulos B y C:
cosB=
cos b − cos a cos c
= 0.820952891⇒ B = 34º 49 ' 11''
sena senc
cos c − cos a cos b
= -0.484454398⇒ C = 118º 58 ' 36 ''
sena senb
Luego al ser B = 34º 49’ 11’’< 90º y C = 118º 58’ 36’’> 90º, deducimos que la altura sobre el
lado a es exterior al triángulo ABC y su valor es un ángulo agudo. Considerando el triángulo
ABH rectángulo en H
cosC=
senh= senBsenc = 0.562321217⇒ h =
34º 12 ' 59 ''
145 º 47' 1'' > 90º
3.- Calcular los arcos de circunferencia máxima
correspondientes a la:
C
a. Altura sobre el lado c.
b=54º10'
b. Mediana sobre el lado.
B
c. Bisectriz del ángulo C.
A=84º30'
c=104º22'
Solución:
a) Se descompone el triángulo en dos triángulos
rectángulos y la altura se obtiene por el teorema del seno:
Podemos, previamente, comprobar que la altura es interior investigando si el ángulo B es
agudo, para lo cuál basta hallar el lado a.
cosa = cosbcosc + senbsenc cosA= -0.069986 07184 ⇒ a = 94º 00’ 47’’
Como b<a ⇒ B<A<90º, luego la altura h es interior.
senh = senb.senA=0.8069909576
⇒h=
53º 48' 11'' < b ⇔ A < H
126 º 11' 49'' > 90º
A agudo, luego su cateto opuesto h ha de ser agudo.
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C
m
b=54º10'
c/2
B
A=84º30'
c=104º22'
b) Puesto que, en el triángulo de la izquierda,
conocemos dos lados y el ángulo comprendido,
utilizamos el teorema del coseno:
cosm = cosbcos(c/2) + senbsen(c/2)cosA =
0,4203330312 (con c/2 = 52º 11’) luego la
mediana es:
m = 65º 08’ 40’’
c) Es necesario calcular el ángulo C en el
triángulo ABC:
C
Previamente hemos de obtener a (obtenido en b=54º10' C/2
z
el apartado a)
B
a = 94º 00’ 47’’.
A=84º30'
Zc=104º22'
Aplicando otra vez el teorema del coseno:
cos c − cos a cos b
cos C =
⇒ C = 104º 50 '30 ''
senasenb
Hallamos ahora el ángulo AZC (que designamos Z) en el triángulo ACZ el teorema del
C
C
coseno para ángulos: cos Z= -cosA cos + senA sen cosb = 0,4033707462 ⇒
2
2
Z = 66º 12’ 39.35”
Aplicamos ahora el teorema del coseno para obtener z:
cos A= -cosZ cos
cos A + cos Z cos C2
C
C
= 0,4713953208 ⇒
+ senZ sen cosz ⇒ cos z =
2
2
senZ sen C2
la bisectriz es z = 61º 52’ 30.33”
4.- Demostrar que en un triángulo esférico rectángulo se verifica:
a. Un cateto y su ángulo opuesto son ambos agudos o ambos obtusos.
b. Si los catetos son ambos agudos o ambos obtusos, entonces la hipotenusa es
aguda; pero si un cateto es agudo y otro es obtuso, entonces la hipotenusa es
obtusa.
Solución:
a) Por el pentágono de Neper:
cosB=sen(90º-b)senC=cosbsenC
⎧b < 90º y B<90º
cos B
⇒ senC =
>0⇒⎨
cos b
⎩b>90º y B>90º
b y B ambos agudos o ambos obusos.
b) Ahora es: cosa=sen(90º-b)sen(90º-c)=cosbcosc
b < 90º ⇒ cos b > 0 ⎫
⎬ ⇒ cos a = cos b cos c > 0 ⇒ a < 90º
c < 90º ⇒ cos c > 0 ⎭
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b > 90º ⇒ cos b < 0 ⎫
⎬ ⇒ cos a = cos b cos c > 0 ⇒ a < 90º
c > 90º ⇒ cos c < 0 ⎭
b < 90º ⇒ cos b > 0 ⎫
⎬ ⇒ cos a = cos b cos c < 0 ⇒ a > 90º
c > 90º ⇒ cos c < 0 ⎭
Recíprocamente:
a < 90º ⇒ cos a = cos b cos c > 0 ⇒ signo(cos b) = signo(cos c) ⇒ b y c son ambos agudos o
ambos obtusos.
a > 90º ⇒ cos a = cos b cos c < 0 ⇒ signo(cos b) ≠ signo(cos c) ⇒ b y c son de distinto
cuadrante.
(Esta demostración se puede ver también en los apuntes de teoría)
5.- Desde un punto M de la Tierra situado sobre el meridiano de Greenwich y con latitud
45ºN parte un avión hacia otro punto P. Este punto P equidista del Polo Norte, del Punto M y
de un punto Q de coordenadas (65º31’48.72”º E, 45º N). El avión se ve obligado a aterrizar en
un punto A, cuando lleva recorridos 2/3 de su camino, al Este de M.
Se considera la Tierra como una esfera 6370 km de radio y que la altitud de vuelo del avión es
despreciable frente a esta magnitud.
Hallar:
a) Las coordenadas geográficas del punto de aterrizaje
b) El tiempo que tardó en efectuar éste si llevó una velocidad constante de 800 km/h
c) El área del triángulo esférico definido por los puntos M, A y el Polo Norte
Solución:
Para obtener las coordenadas geográficas del punto de aterrizaje se procederá como sigue.
1º) Obtener el punto P hacia el que se dirige el avión. Más concretamente interesa la medida
angular del arco de círculo máximo M-P, que se ha denominado d
2º) Obtener el punto de aterrizaje a partir de la magnitud 2/3 d. Esto permitirá obtener las
coordenadas del punto A
3º) A partir de la distancia M-A que corresponde a 2/3 d y conocida la velocidad se obtiene el
tiempo recorrido.
4º) A partir de los ángulos N, M, A se obtiene la superficie del triángulo esférico
N (Polo Norte)
45º
A P
d
M
45º
P
d
N (Polo Norte)
Q
ÆResolución del triángulo NQM
Se conocen los tres lados.
Aplicando el teorema del coseno para lados se obtiene:
lado n = 45º
M=Q=65º31’48.72”
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45º
45º
P
d
M
Q
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Como se observa, se trata de un TRIÁNGULO EQUILÁTERO
N (Polo Norte)
Æ Resolución del triángulo NPM
(denominando con letras minúsculas los lados opuestos a cada ángulo
correspondiente)
45º
En este triángulo M=N= ½ (65º 31’ 48.72”) = 32º45’54.36”
P
(También P es conocido pues P = 120º)
POR SER MNQ EQUILÁTERO
n
Conocidos M,N y p se trata de resolver un triángulo conocidos dos
ángulos y el lado comprendido entre ellos.
M
Aplicando el teorema del coseno para ángulos se obtiene
n=m=26º13’27.12”
Ya tenemos el arco entre M y P, el que denominamos d=26º13’27.12”
N (Polo Norte)
ÆResolución del triángulo NAM
En este caso se conoce a=45º, n=2/3 (26º13’27.12”)= 17º28’58.08” y
M=32º45’54.36” (pues M, A y P están sobre el mismo círculo máximo)
45º
Se trata de resolver un triángulo, conocidos dos lados y el ángulo
comprendido entre ellos.
A
Aplicando el teorema del coseno para lados se obtiene N = 18º09’18,83” y
n
m = 31º27’08.61” y A = 132º 49’ 38.54”
Por lo que las coordenadas de A son
M
Longitud (A) = N = 18º09’18.83” Este
Latitud (A) = 90º-m = 58º32’51.39” Norte
ÆCálculo de la distancia recorrida
Distancia = d(radianes) R
d(radianes) = d π/180 = 17º28’58.08” π/180= 0.305132242267 rad
distancia = 0.305132242267 . 6370 = 1946.69 km
si el avión vuela a 800 km/h el tiempo de vuelo es de
t= 1946.69/800 que adecuadamente convertido en unidades sexagesimales queda
t= 2h 25m 47s
ÆÁrea del triángulo NAM
N = 18º09’18,83”
M = 32º45’54.36”
A = 132º 49’ 38.54”
N + M + A = 183º 44’51.73”
πR 2 ε πR 2 (183º 44'51.73"−180º )
S=
=
= 2654125km 2
180
180º
2
S=2654125 km
6.- Un avión vuela de Madrid a Tokio a una altitud de 10000 m siguiendo un círculo
máximo de la esfera terrestre. Sabiendo que las coordenadas de Madrid y Tokio son:
Madrid latitud: Norte 40º 26’; longitud: Oeste 3º 42’
Tokio latitud: Norte 35º 40’; longitud: Este 139º 45’ :
y que el radio de la tierra es 6370 km, se pide:
a) ¿Qué distancia recorre el avión entre Madrid y Tokio?
b) ¿A qué distancia del Polo Norte pasa aproximadamente?
c) Se denomina Círculo Polar Ártico a una circunferencia menor sobre la tierra tal que
en ella, en el solsticio de verano, el Sol no se pone en todo el día. El Círculo Polar
Ártico se encuentra a una latitud Norte 60º 30’. ¿Sobrevuela el mencionado avión el
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Círculo Polar Ártico?
Solución:
N
Planteamiento:
a) Con las coordenadas geográficas de Madrid y Tokio
h
podemos calcular la distancia entre ellas.
M
P
T
b) La distancia h al Polo Norte se calcula en el triángulo
rectángulo MPN (donde P es el pie del arco
perpendicular a MT por N).
c) El valor obtenido para h nos indicará si la trayectoria
del avión corta al Círculo Polar Ártico o no.
a) Calculamos MT en el triángulo MTN donde:
MN= colatitud de Madrid = 90º- 40º 26’= 49º 34’
TN= colatitud de Tokio =90º-35º 40’= 54º 20’
Ángulo MNT= long. Madrid + long. Tokio = 3º 42’ + 139º45’=143º 27’
Aplicando el teorema del coseno:
cos MT = cosMN cosTN + senMN senTN cos(MNT)= - 0,1186149437 ⇒
distancia de Madrid a Tokio en unidades angulares = MT = 96º 48’ 43.83”.
Ahora bien, para calcular en unidades lineales la distancia recorrida por el avión hemos de
tener en cuenta que vuela a 10 km por encima de la superficie terrestre, luego:
π (6370 + 10)
Distancia recorrida por el avión = d =
96º 48' 43.83" = 10780,230 km
180º
b) Para calcular h usamos el triángulo MPN . En él conocemos P = 90º y MN = colatitud de
Madrid 49º 34’, necesitamos un dato más, por ello calculamos el ángulo M= NMT en el
triángulo utilizado en el apartado anterior:
Aplicando el teorema del coseno:
cos NT − cos MN cos MT
= 0,8732584817 ⇒ M = 29º 09’37,68’’ (rumbo del avión
cos M =
senMN senMT
desde Madrid).
El pentágono de Neper correspondiente al triángulo MPN es:
sen(90-h) = senM. senMN = 0,3708812703 ⇒
MN
⎧21º 46' 11.92"
h=⎨
pero h y su ángulo opuesto M han
⎩180º - 21º 46' 11.92"
de tener el mismo carácter luego h ha de ser agudo. Por tanto:
distancia al Polo N es h = 21º 46’ 11.92”
Vamos a aproximar esta distancia en unidades de longitud
90º-h
(km) por la distancia a la vertical del Polo a 10 km de
90º-MH
altitud:
π (6370 + 10)
21º 46' 11.92"" = 2424,14 km
Distancia desde el avión = h =
180º
c) Al ser h=21º46’11.92 ’’ < (90º-60º30’) =29º30’ (colatitud del Círculo Polar Ártico):
SÍ SE SOBREVUELA EL CÍRCULO POLAR
M
P=90º
N
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