Download ejercicio 1 - Colegio Santa Joaquina de Vedruna

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
BACHILL
FUNDACIÓN VEDRUNA
S E V I L L A
COLEGIO SANTA JOAQUINA DE VEDRUNA
ERATO
MATEMÁTICAS I
TRIGONOMETRÍA I
¿QUÉ ES LA TRIGONOMETRÍA?
La palabra trigonometría deriva de tres vocablos de origen griego (tri = tres,
gono = ángulo, metría = medida) y aparece por primera vez en un título de
Bartholomaeus Pitiscus (1561-1631) que publicó en 1595.
La trigonometría es la rama de las matemáticas que aporta las técnicas para
resolver triángulos «por cálculo», es decir, sin hacer dibujos a escala. Se la define a veces como la ciencia de la medida indirecta, pues permite calcular distancias y ángulos que no pueden ser medidos directamente. La trigonometría, por
tanto, estudia la relación entre las longitudes de los lados de un triángulo y las
amplitudes de sus ángulos. Cuando este triángulo está contenido en un plano, se
habla de trigonometría plana. En cambio, si se define el triángulo como el conjunto de tres puntos pertenecientes a la superficie de dos dimensiones de una
esfera, las relaciones entre sus ángulos y lados se definen por medio de la llamada trigonometría esférica.
Resolver un triángulo quiere decir determinar sus seis elementos (tres lados
y tres ángulos). Un triángulo queda determinado cuando se conocen tres elementos, siempre que al menos uno sea una longitud. Así se trabaja en topografía,
ciencia que describe y representa con detalle la superficie de un terreno, y en
geodesia, ciencia que estudia la forma de la Tierra y la medición de sus dimensiones. Se mide una longitud que sea cómoda de medir y unos ángulos, y, gracias a la trigonometría, sabemos determinar el resto de longitudes y ángulos que
se desean obtener.
UN POCO DE HISTORIA
Ya desde muy antiguo, la mayoría de las culturas avanzadas se plantearon el
problema de determinar la posición de los cuerpos celestes y de predecir sus trayectorias, así como poder medir el paso del tiempo durante la noche, establecer
métodos seguros de navegación, levantar mapas o realizar los cálculos necesarios para la creación de un calendario. Todo esto suponía, entre otras cosas,
cuantificar la astronomía, es decir, convertir en una ciencia matemática lo que
hasta entonces había sido una mera disciplina descriptiva. Se considera a Hiparco de Nicea (180-125 a.C.) como «el padre de la trigonometría», del que sólo se
conserva su Comentario sobre los Phaenomena de Eudoxo y Arato, un tratado
sobre las cuerdas en un círculo. Aplicó la trigonometría a sus cálculos astronómicos y confeccionó las primeras tablas trigonométricas. También hizo un uso
sistemático de la división del círculo en 360º. La mayoría de lo que se conoce de
los trabajos de Hiparco se encuentra en los escritos de Menelao de Alejandría
(70-130), que fue el primero en definir lo que era un triángulo esférico en su tratado Sphaerica, donde se pueden encontrar las demostraciones de gran número
de teoremas de geometría esférica. Pero la gran figura histórica de la Antigüedad
en cuestiones de trigonometría fue sin duda Claudio Ptolomeo (85-165), quien
legó una monumental obra en trece libros, la Sintaxis Matemática, es decir, Colección Matemática, que los matemáticos árabes apreciaron tanto que se referían
a él como Almagesto (La Gran Colección, El Gran Compendio) como signo de
admiración. Ptolomeo, según sus propias palabras, se propuso «fundamentar la
astronomía sobre los caminos incontrovertibles de la aritmética y la geometría».
Los hindúes fueron los primeros en desarrollar la trigonometría helenística; introdujeron el seno y el coseno. En Occidente, la trigonometría no se introdujo
hasta el siglo X, y lo hizo a través de los árabes, entre los que hay que destacar a
Al-Jayyani (989-1079), algebrista hispanoárabe al cual se atribuye la obra Libro
de los arcos desconocidos sobre una esfera. Pero el avance más importante que
se produjo en Occidente tuvo lugar en el siglo XV con la figura de Johann Müller (1436-1476), más conocido como Regiomontano, astrónomo alemán, que
tradujo el Almagesto de Ptolomeo y que creó, en su tratado De Triangulis Omnimodis (1464), una metodología para resolver de forma sistemática los triángulos planos y esféricos. Hay que esperar hasta el siglo XVI en el que François
Viète (1540-1603) elaboró fórmulas de resolución de triángulos rectángulos y
no rectángulos. Es entonces cuando la trigonometría comienza a separarse de la
astronomía y a ser aceptada como rama de las matemáticas. La creación de los
logaritmos por John Napier (1550-1617), la utilización del radio unidad, la sustitución del cálculo de cuerdas por el de las razones trigonométricas, la confección de tablas modernas, el uso del formalismo algebraico, la relación con el
Análisis (desarrollos en serie de las funciones trigonométricas, la confección de
los números complejos, etc.) durante los siglos XVI, XVII y XVIII configuran la
disciplina prácticamente como es hoy.
UNIDADES ANGULARES
Recuerda: ángulo es la porción o región
de plano limitada por dos semirrectas que
tienen un origen común. Las semirrectas se
llaman lados del ángulo, y el origen de éstas, vértice del mismo. Si consideramos los
ángulos como giros, y no como regiones del
plano, cabe tomar en consideración el sentido del giro. Se dice que el ángulo es positivo si el giro es en sentido contrario al
desplazamiento de las agujas del reloj, y
negativo, en caso contrario.
Los tres sistemas de medida de ángulos más utilizados son:
Nota:
- En el Sistema Internacional, SI, la unidad de medida del ángulo plano es el
radián (rad).
- El sistema de medida de ángulos más utilizado es el sexagesimal.
Equivalencias para convertir unas unidades angulares en otras:
1 recto = 90º = 100g =
π
rad
2
2 rectos = 180º = 200g = π rad
0 rectos = 0º = 0g = 0 rad
4 rectos = 360º = 400g = 2π rad
3 rectos = 270º = 300g =
3π
rad
2
Para medir ángulos con gran precisión se requieren dos instrumentos o aparatos esenciales:
-
El goniómetro (del griego gonia = ángulo, metron = medida), es un instrumento para medir ángulos en un plano
horizontal o en el plano vertical.
-
Si montamos el goniómetro vertical sobre el horizontal, se obtiene el teodolito (del griego theao = mirar, hodos =
camino). Recibe también el nombre de instrumento universal por la gran variedad de aplicaciones que pueden obtenerse
con su empleo; puede considerarse como un goniómetro completo capaz de medir ángulos verticales y horizontales con
gran precisión. El teodolito dispone de un soporte de tres patas o trípode que permite estabilizarlo sobre el terreno, de dos
círculos graduados y de un visor giratorio que debe alinear el ojo del observador con un punto determinado. Este aparato
permite medir ángulos horizontales y verticales. Los ángulos verticales pueden ser por elevación o por depresión, según que
el punto observado se encuentre en una posición más alta o más baja que el punto desde el que se realiza la observación.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO
RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE UN MISMO ÁNGULO
Entre las razones trigonométricas de un mismo ángulo existen unas relaciones
que nos serán de gran utilidad, pues nos permitirán, conocida una razón, calcular
las demás.
A la igualdad sen2α + cos2 α = 1 se le conoce con el nombre de relación o
fórmula fundamental de la trigonometría.
Dividiendo en la relación fundamental por sen2α o cos2 α , obtenemos, respectivamente otras relaciones importantes:
1 + cotg2α =
1
= cosec2α
2
sen α
tg2α + 1 =
1
= sec2α
2
cos α
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 30º, 45º Y 60º
RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE DIFERENTES ÁNGULOS
(Reducción al primer cuadrante)
∃
∃