Download Triángulos. Rectas y puntos notables.

PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO
Objetivos de la unidad:

Conceptualizar las rectas notables de un triángulo y trazarlas para cualquier tipo de
triángulo haciendo uso de instrumentos apropiados.

Definir los puntos notables de un triángulo y ubicarlos correctamente a partir del trazo
de las rectas notables correspondientes
Desarrollo de la unidad: Trabajaremos los conceptos mediante actividades individuales,
que se discutirán con el grupo de trabajo, actividades grupales y actividades de refuerzo antes
del examen.
Recuerda imprimir sólo aquellas hojas que vayas a utilizar (actividades
grupales, sólo una por grupo).
Actividades de cara al examen
Para repasar los conceptos teóricos en este tema y su entendimiento, puedes utilizar
el siguiente enlace: http://www.vitutor.com/geo/eso/as_2e.html
Además, puedes practicar dibujando triángulos a partir de tres datos (3 lados, 2 lados
y un ángulo o 1 lado y 2 ángulos).
Actividades individuales
Metodología: realiza las siguientes actividades individualmente, comentando los resultados
con tus compañeros de grupo. El ejercicio 1 deberá corregirse entre los compañeros,
comprobando que las definiciones son correctas. El ejercicio 2 deberá contestarse
individualmente y se discutirá cuando todos los compañeros del grupo hayan terminado. Uno
de los compañeros tendrá el papel de dirigir la discusión para mantener el orden. Cada día
variarán estos papeles. Los ejercicios del 3 al 8 se realizará individualmente, comprobando los
resultados con los compañeros de grupo.
En caso de dificultad o duda, consultad con el profesor.
Recursos: necesitarás papel, lápiz, lápices de colores, compás, escuadra y cartabón, regla
graduada y porta ángulos.
1. Encuentra las 9 palabras escondidas en esta sopa de letras y elabora una lista
de definiciones con ellas.
2. Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, razonando tu
respuesta:
a. La mediatriz de un segmento es otro segmento que divide al primero en dos
partes iguales.
b. La bisectriz de un ángulo puede hallarse sólo con escuadra y cartabón.
c.
Dados dos ángulos y el lado que los une, podemos hallar un triángulo con
dichas medidas, usando sólo una regla y un compás.
d. Dados dos lados de un triángulo sólo podemos dibujar un triángulo que tenga
esas medidas.
e. Un triángulo queda determinado por tres puntos.
f.
Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto, llamado incentro.
g. Las dos medianas de un triángulo se cortan en un punto, llamado baricentro.
h. Para calcular el circuncentro de un triángulo basta con trazar dos de sus
mediatrices.
i.
Para construir un triángulo me basta con dos datos cualesquiera (lados y
ángulos).
j.
La bisectriz de un ángulo divide a éste en 2/3.
k.
El incentro de un triángulo es el centro de la circunferencia inscrita en él.
l.
Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto, llamado ortocentro.
m. Los triángulos obtusángulos son aquellos que poseen un ángulo obtuso.
n. En un triángulo obtusángulo, el ortocentro y el circuncentro siempre están
fuera.
o. El circuncentro, el baricentro, el ortocentro y el incentro están alineados,
formando la recta de Euler.
p. El circuncentro de un triángulo obtusángulo e isósceles se encuentra a la
misma distancia de todos los vértices del triángulo.
q. El incentro se encuentra a la misma distancia de todos los vértices del
triángulo.
3. Practica la construcción de los triángulos que tienen los siguientes datos:
a. Lados de 6, 8 y 10 cm
b. Lados 5 y 7 cm y un ángulo de 40º
c. Lado 7 cm y ángulos de sus vértices 50º y 35º
4. Halla el ortocentro del primer triángulo
5. Halla el circuncentro del segundo triángulo
6. Halla el incentro del tercer triángulo
7. Construye un triángulo rectángulo de cualquier medida y traza sus tres
medianas
8. Dibuja en tu cuaderno los triángulos que se muestran a continuación,
asignándole las medidas que consideres convenientes. Luego realiza los
siguientes trazos.
a. En el triángulo isósceles traza la altura a partir del vértice superior.
b. En el triángulo escaleno traza cualquiera de las tres medianas.
c. En el triángulo rectángulo traza la bisectriz del vértice correspondiente
al ángulo recto.
d. En el triángulo obtusángulo traza una de las tres mediatrices.
Actividades grupales
Metodología: mediante la discusión en grupo, resolver los siguientes problemas. Entre los
miembros del grupo se distribuirán los siguientes papeles: un líder que lleve el control de la
palabra en las discusiones del problema, un compañero que apunte los resultados. Cada día
variarán estos papeles. Todos los ejercicios deben ser entregados resueltos al profesor, uno
por grupo. En la última clase un miembro de cada grupo, seleccionado por el profesor,
presentará los resultados al resto de compañeros de la clase.
Recursos:
Actividad 1: cartulinas, lápices de colores, bolígrafo, papel.
Actividad 2: papel, bolígrafo, regla, compás (a elección libre).
Actividad 3: Ordenador y programa GeoGebra.
Actividades
1. El triángulo y el teorema de la recta de Euler:
“En todo triángulo no equilátero el circuncentro, C, el baricentro, B, y el
ortocentro, O, están alineados. Además se cumple la relación métrica
OB=2BC”.
a. Analiza el significado de este teorema.
b. Con la única ayuda de una cartulina y un bolígrafo, construye un triángulo y
localiza sus puntos notables C, O y B.
c.
Traza la recta de Euler y comprueba que se verifica la relación.
d. ¿Qué ocurre con los triángulos equiláteros?
2. Tres amigas están discutiendo sobre quién va a comprarse la única entrada del
concierto que queda en las taquillas. Deciden dejarlo al azar y para ello cogen
el gato de Mario, quedándose con la entrada aquella que consiga que el gato
vaya a ella. ¿En qué punto deberían colocar al gato para que esté a la misma
distancia de las tres? ¿Cómo podrían calcularlo sin utilizar cintas métricas,
regla o compás? Dibuja y describe cómo lo haríais.
3. Teorema de Napoleón:
Napoleón Bonaparte, uno de los personajes más importantes no sólo de Francia,
sino de la historia mundial, aparte de ser militar invencible, político sobresaliente,
legislador y emperador de Francia, también desarrolló una gran curiosidad por las
matemáticas. Napoleón Bonaparte, desde pequeño, tuvo interés por esta ciencia y
a lo largo de su vida estuvo ligado a numerosos matemáticos: Laplace, Fourier,
Lagrange, Mascheroni y Monge y creó un sistema educativo donde las ciencias
fueran aplicadas en beneficio del Estado. Logró destacar en la academia militar y
convertirse en oficial de artillería, en que las matemáticas tienen un papel
fundamental en el cálculo de las trayectorias y la colocación de los cañones. Con
Gaspard Monge tuvo una especial relación en la campaña de Egipto y era fácil
verlos discutir, junto al químico Claude Berthollet sobre química, matematicas y
religión. Existen dos problemas atribuidos al emperador, aunque no está claro si
los demostró o simplemente los propuso. (Matemáticas Educativas1).
Con la ayuda de Geogebra, realiza los siguientes pasos:
Apartado 1
a. Dibuja un triángulo cualquiera de vértices A, B y C.
b. Traza en cada lado el triángulo equilátero exterior correspondiente.
c.
Halla el centro de cada uno de estos tres triángulos equiláteros y únelos.
d. Mide los lados de este triángulo, ¿qué tipo de triángulo es?
e. ¿Esto ocurre siempre? Mueve los tres puntos iniciales y observa qué ocurre
con el triángulo que une los centros ¿sigue siendo del mismo tipo?
f.
El resultado que has encontrado se conoce como Teorema de Napoleón,
¿cómo lo enunciaríais?
Apartado 2
a. Probad el mismo procedimiento pero formando los triángulos equiláteros
interiores de cada lado. ¿Qué ocurre ahora? ¿ocurre siempre?
b. Enunciad el teorema de Napoleón del triángulo interior .
c.
¿Es posible enunciar estos dos teoremas de una sola vez?
Apartado 3
Halla el área del triángulo ABC, del triángulo del paso 1 y del triángulo del paso 2. ¿Hay
alguna relación entre ellas?
1
http://matematicaseducativas.blogspot.com.es