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TEMA 89: Rectas Notables de un triángulo. Los Cuadriláteros. Pentágono y Hexágono. 1-T89
I.- Planos, puntos, rectas, semirrectas y segmentos:
Antes de ver muchos de los entresijos de las figuras planas, tenemos que conocer una serie de
elementos que nos servirán para desenvolvernos bien en este tema. Nos referimos a:
a) Plano
es una superficie plana ilimitada. Como veis, algo que sea plano y que no tenga ni
principio ni final no existe en la realidad. En matemáticas se habla del “plano” entendiéndolo como algo
figurativo, hipotético, sabiendo que no existe algo así realmente. Se quiere decir con ello que “podemos
hacer los planos todo lo grandes que deseemos”.
A los planos se los suele nombrar con letra
griega, como por ejemplo “alfa, beta, gamma, pí, ...”
b) Punto
se entiende como tal la marca que deja un bolígrafo, lápiz,... al caer de punta sobre
un papel blanco. También es el círculo más pequeño que se puede dibujar. En este sentido, la bandera de
Japón sería un “puntazo”.
A los puntos se los suele nombrar con letra mayúscula: “A, B, T, V,...”
c) Recta
son infinitos puntos alineados, sin comienzo ni final. Claramente, tampoco existe
algo así en la realidad. Al igual que en caso de los planos, se habla también en sentido figurativo.
Se
las nombra con letra minúscula (a, d, g, k,...) o bien con dos puntos por los que pasa una recta y encima
se suele poner el símbolo “
”
d) Semirrecta
es cada una de las partes en que queda dividida una recta al trazar o señalar un
punto sobre ella. Como habéis pensado, una semirrecta también son infinitos puntos alineados, aunque
con un principio pero sin final (o al revés).
Para nombrarlas se utilizan el punto del comienzo
acompañado de otro punto por el que pase, y encima el símbolo “
” apuntando la punta de la flecha
hacia el punto por donde pasará la recta.
e) Segmento
una serie de puntos (finitos) alineados con un principio y un final. Los puntos del
comienzo y el final se llaman “EXTREMOS”.
Para nombrar a los segmentos, se unen las
dos letras de los extremos y se suele poner encima una línea recta (
).
EJERCICIO
1.- Buscar, escribir y dibujar las posiciones en las que nos podemos encontrar 2 rectas en un mismo
plano.
II.- Las Figuras planas:
Una figura plana es aquella que no tiene volumen, compuesta de una serie de segmentos
concatenados (aquellos que están unidos por los extremos), y sin ningún extremo libre (figura cerrada).
Las figuras planas se clasifican en función de los segmentos (lados) que tienen. Por tanto,
podemos hablar de:
-
Triángulos.- cuando tenga la figura 3 lados y 3 ángulos interiores.
Cuadriláteros.- cuando la figura tenga 4 lados y 4 ángulos interiores.
Pentágonos.- cuando esa figura posea 5 lados y 5 ángulos interiores.
Hexágonos.- cuando la figura que nos presentan tiene 6 lados y 6 ángulos interiores.
Heptágonos, Octógonos, Eneágonos, decágonos, ...
EJERCICIOS
2.- ¿Cómo se llaman los polígonos de 11, 12, 13, 14, 15 y 16 lados?
3.- ¿Qué otro nombre reciben los polígonos de 9 lados? Dibuja uno en tu cuaderno.
4.- Busca y escribe sobre el significado de un polígono cóncavo y otro convexo. Posteriormente, dibuja
un heptágono de cada tipo.
III.- Los Triángulos. Rectas notables de un triángulo:
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Cuando una figura plana tiene tres lados, y por tanto 3 ángulos interiores, diremos que es un
triángulo. La suma de los tres ángulos de un triángulo sale siempre 180º, sea cual sea éste. Estos
triángulos se pueden clasificar según midan los lados y ángulos que tengan, obteniéndose éstos:
Según los lados:
a) T. Equilátero. Tienen los 3 lados y ángulos iguales.
b) T. Isósceles. Tienen 2 lados y ángulos iguales y el
tercero diferente.
Se suele poner como base.
c) T. Escaleno. Tienen los 3 lados y ángulos diferentes.
Según los ángulos:
a) T. Acutángulo. Tienen los 3 ángulos agudos.
b) T. Rectángulo. Tienen 2 ángulos agudos y el otro recto.
c) T. Obtusángulo. Tienen 2 ángulos agudos y uno obtuso.
Una vez sabidas estas cosillas, vamos a hablar de las rectas notables que se les pueden trazar a
los triángulos, y las propiedades que éstas poseen:
A) LA MEDIATRIZ.
Es una recta perpendicular que divide a un segmento en dos partes iguales, es decir, que pasa por
su punto medio. La mediatriz se traza con compás y regla. Una vez que tenemos dibujado el segmento se
hace centro con el compás en cada uno de los dos extremos (de forma alternativa) con un radio que sea
más de la mitad del segmento, y se hacen sendos arcos a cada lado del segmento. Los puntos de corte de
los arcos se unirán posteriormente con una regla y ya tendremos trazada la mediatriz.
Todos los puntos de una mediatriz tienen una propiedad y es que equidistan de los 2 extremos
del segmento, es decir, que están a la misma distancia de ellos.
Como los triángulos tienen 3 lados (3 segmentos) se les podrán trazar 3 mediatrices, una por cada
lado, y éstas se cortarán en un mismo punto llamado Circuncentro. Como este punto pertenece a las 3
mediatrices quiere decir que está a la misma distancia de los 3 vértices de cualquier triángulo, lo cual
nos lleva a la conclusión de que, haciendo centro en el circuncentro y radio hasta cualquiera de los
extremos, se podrá trazar una circunferencia que pase por los 3 extremos. A esta circunferencia se la
llama C. Circunscrita (la circ. engloba al triángulo).
EJERCICIO
5.- Dibuja un segmento inclinado y trázale la mediatriz. Después, dibuja un triángulo acutángulo
escaleno y hazle la circunferencia circunscrita. Repite la operación anterior con otro triángulo, pero esta
vez que sea obtusángulo isósceles.
B) LA BISECTRIZ.
Es una semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales. La bisectriz se traza con compás
y regla. Una vez que tenemos dibujado el ángulo se hace centro en el vértice del ángulo y con radio
arbitrario (cualquiera) se traza un arco que corta a los 2 lados del ángulo en los puntos 1 y 2. A
continuación se hace centro de forma alternativa en los puntos 1 y 2, con radio también arbitrario pero el
mismo para los dos, y se hacen sendos arcos interiores que se cortarán. Uniendo con una regla este punto
con el vértice obtendremos la bisectriz deseada.
Todos los puntos de una bisectriz tienen una propiedad y es que equidistan de los lados del
ángulo.
Como los triángulos tienen 3 ángulos se les podrán trazar 3 bisectrices que, curiosamente
también, se cortarán en un mismo punto llamado Incentro. Este punto, por pertenecer a las 3 bisectrices,
estará a la misma distancia de los 3 lados del triángulo por lo que, haciendo centro en el incentro y con
radio hasta cualquiera de los lados, se podrá trazar una circunferencia interior que toque
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a los 3 lados del triángulo. A esta circunferencia se le llama C. Inscrita (el triángulo engloba a la
circunferencia).
EJERCICIO
6.- Dibuja un ángulo inclinado y trázale la bisectriz. Después, dibuja un triángulo acutángulo escaleno y
hazle la circunferencia inscrita. Repite la operación anterior con otro triángulo, pero esta vez que sea
rectángulo isósceles.
C) LA ALTURA.
Es un segmento perpendicular que, en un triángulo, une un vértice con el lado opuesto (el que
está enfrente), o con su prolongación. Se traza con escuadra y cartabón. Para ello colocamos el lado
mayor del cartabón siguiendo el lado al que le vayamos a trazar la altura. A continuación se coloca la
escuadra encima del cartabón apoyado en el ángulo recto, y se desplaza sobre el cartabón. Cuando se
llegue al vértice opuesto se trazará un segmento que unirá dicho vértice al lado en cuestión (o a su
prolongación).
Los puntos de una altura no tienen ninguna propiedad resaltable.
Como los triángulos tienen 3 vértices y 3 lados se les podrán trazar 3 alturas las cuales,
curiosamente también, se cortarán en un mismo punto llamado Ortocentro. Este punto, a diferencia de
los demás, no tiene propiedad alguna.
EJERCICIO
7.- Dibuja un triángulo acutángulo escaleno y trázale el ortocentro. Haz lo mismo con un triángulo
obtusángulo isósceles.
D) LA MEDIANA.
Es un segmento que, en un triángulo, une un vértice con el punto medio del lado opuesto (el que
está enfrente). Se traza con regla y lápiz. Lo único que tengo que hacer es medir los lados de un
triángulo, dividir estas medidas por 2 para así saber cuál es el punto medio, señalarlo, y a continuación,
con una regla, unir cada punto medio con su vértice opuesto.
Como los triángulos tienen 3 vértices y 3 lados se les podrán trazar 3 medianas, las cuales,
curiosamente también, se cortarán en un mismo punto llamado Baricentro. Este punto tiene la
propiedad de ser el centro de gravedad del triángulo, es decir, que si recortáramos el triángulo y
pusiésemos el dedo (la punta de un lápiz, bolígrafo,...) debajo del baricentro el triángulo guardará
equilibrio y no caerá.
Una vez que tenemos trazadas las 3 medianas, y por tanto el baricentro, cada mediana tiene una
propiedad y es que la distancia que hay desde el vértice al baricentro es el doble de la que hay desde el
baricentro al punto medio del lado opuesto.
EJERCICIO
8.- Dibuja un triángulo acutángulo escaleno y trázale el baricentro. Haz lo mismo con un triángulo
obtusángulo isósceles. Repite la operación haciendo el centro de gravedad a un triángulo rectángulo.
IV.- Los Cuadriláteros:
Son figuras planas cerradas que tienen 4 lados y ángulos. En este tipo de figuras, siempre, la
suma de sus 4 ángulos nos sale 360º. La clasificación de los cuadriláteros se establece en función del
número de lados paralelos que tengan, y obtenemos 3 clases:
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a) Paralelogramos, que son los que tienen los 4 lados paralelos, dos a dos. Cumplen la propiedad de
que los lados y los ángulos enfrentados miden lo mismo. Tenemos 4 tipos de figuras, que son los
cuadrados, los rectángulos, los rombos y los romboides.
b) Trapecios, que son los que sólo tienen dos lados paralelos, a los cuales se los llama “bases”.
Encontramos 3 tipos de figuras, que son los T. Rectángulos (aquel en el que uno de los lados no
paralelo es perpendicular a las dos bases), los T. Isósceles (aquel que tiene los dos lados no
paralelos iguales) y los T. Escalenos (aquel cuyos lados no paralelos son diferentes).
c) Trapezoides, que son los que no tienen ningún lado paralelo. Aquí metemos a todos los
cuadriláteros que no tengan lados paralelos, sea del tipo que sea. Como ejemplo, podríamos
poner “una cometa” como ésta:
V.- Figuras Regulares. Pentágono y Hexágono regular:
En cuanto a las figuras de más de 4 lados se pueden clasificar también (aparte del nº de lados y
ángulos) según si tienen o no los lados y ángulos iguales. Hablaremos, por tanto, de Figuras Regulares o
de Figuras Irregulares, según corresponda.
Si la figura tiene 5 lados iguales se habla de un pentágono regular, y para hacerlo se siguen
estos pasos:
Se comienza colocando el lado AB en el papel, y se prolonga un poco este lado a
través del extremo B. Después se traza una perpendicular en el extremo B (se explicará aparte) y otra en
el punto medio (...), el cual llamamos M. A continuación se hace centro en el extremo B, y con radio
AB, se hace un arco que cortará a la perpendicular del extremo en el punto 5. Seguidamente se hace
centro en M, y con radio M5, se hace un arco que cortará a la prolongación del lado en 6. Después se
hace centro en A, y con radio A6, se hace otro arco que corta a la mediatriz en D (vértice superior del
pentágono). Para averiguar C (el tercer vértice), y E (el 5º vértice), se coge la medida AB con el compás,
y hacemos centro en B y luego en D, para hacer unos arcos que se cortarán en C; y luego haríamos
centro en A y luego en D, para realizar otros arcos que se cortarán en E.
Para terminar, uniríamos todos los vértices de forma consecutiva y ya tendríamos hecho el
pentágono regular.
Si la figura tiene 6 lados iguales se habla de un hexágono regular, y para hacerlo se siguen estos
pasos:
Se comienza haciendo una circunferencia cuyo radio mida exactamente lo mismo que el
lado del hexágono. Después se dibuja un diámetro cualquiera, siendo los 2 puntos de corte con la
circunferencia , puntos del hexágono (el 1 y el 4). A continuación, se hace centro primero en 1, y luego
en 4, para realizar sendos arcos que cortarán a la circunferencia en 2-6 y 3-5, respectivamente. Uniendo
los 6 puntos de forma consecutiva, conseguiremos el hexágono pedido.
VI.- Los Ángulos:
Son cada una de las 2 partes en que queda dividido un plano cuando trazamos sobre él dos
semirrectas que comienzan en un mismo punto, el cual se llama vértice. Se miden con un instrumento
llamado “semicírculo o transportador de ángulos”, el cual sólo marca “grados” (unidad principal de
medida de los áng.) Para nombrar a los ángulos se les suele poner una letra mayúscula al vértice y
encima una especie de “tejadito” (generalmente se suele utilizar la letra “O”).
Según estén de separadas las dos semirrectas del ángulo estaremos hablando
de distintos tipos de ellos, de los que podemos destacar los siguientes:
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Agudos, Rectos, Obtusos (estos 3 entran a formar parte del grupo de los A. Convexos), Llanos,
Cóncavos y los Completos (una vuelta completa – 360º -). Por otro lado tendríamos a los Nulos, pero
como la misma palabra indica no valen para nada ya que en sí no se los puede considerar ángulos.
A destacar que si dos ángulos suman 90º se los llama Complementarios y que si suman 180º se
los denomina Suplementarios. Si estos últimos, además de sumar 180º, comparten una semirrecta y
comienzan en el mismo vértice se los llama Adyacentes.
VII.- Trabajos a realizar:
En este tema habrá que entregar una serie de láminas, las cuales siempre se rigen por un mismo
patrón, y es que “se van a hacer en un folio tamaño A4, en horizontal, con un margen de 0,5 cm, con un
cajetín de 7 x 3 cm en la parte inferior derecha (contando a partir de la misma terminación del folio), y
en él pondréis 3 líneas: en la 1ª el nombre completo; en la 2ª el nº de clase y el curso; y en la 3ª el nº de
lámina y la fecha en la que se me hace entrega. Las líneas del margen, cajetín, y de aquellas que dividan
interiormente la lámina, se harán con rotulador negro.” Dentro de las mismas, debéis hacer lo siguiente:
a) LÁMINA 1:
El espacio interior habrá que dividirlo en 2 partes iguales, verticalmente.
En la parte izquierda dibujáis un triángulo no equilátero y le hacéis la circunferencia circunscrita. En la
parte derecha, dibujáis un triángulo obtusángulo isósceles (con el ángulo obtuso en la derecha) y le
hacéis la circunferencia que engloba al triángulo.
b) LÁMINA 2:
Otras dos partes. En la izda. le trazáis la circunferencia circunscrita a un T.
rectángulo escaleno. En la dcha. trazaréis la circunferencia inscrita a un T. rectángulo isósceles.
c) LÁMINA 3:
Se dividirá en 3 partes iguales, verticalmente. En la de la izda. hacéis un T.
acutángulo que no sea ni isósceles ni equilátero, y le trazáis el ortocentro. En la del medio, hacéis un T.
rectángulo escaleno con el ortocentro, y debajo hay que escribir qué os ha salido y si os sucederá en
cualquier tipo de triángulo rectángulo. En la parte dcha., le hacéis el ortocentro a un T. obtusángulo
isósceles. Señalar todo lo que se pide.
d) LÁMINA 4:
Otras 3 partes. En la izda. tendréis que hacer el centro de gravedad a un T.
obtusángulo no isósceles. En el medio, dibujáis un triángulo de 5, 6 y 7 cm de lados, y le hacéis la
circunferencia inscrita. En la parte dcha., dibujáis un T. rectángulo isósceles y le trazáis el baricentro.
e) LÁMINA 5:
Otras 3 partes, pero la central debe ser el doble de grande. En la parte izda.
hacéis un T. de 5, 5´5 y 6 cm de lados, para dibujarle la circunferencia circunscrita y el ortocentro,
señalando dónde está cada cosa. En la parte central (el doble de grande) trazáis la circunferencia inscrita
y el ortocentro a un triángulo obtusángulo grande que tiene el ángulo obtuso a la derecha. En la dcha.
hacéis el baricentro y el ortocentro a un T. rectángulo escaleno, señalando cada punto.
f) LÁMINA 6:
No se divide el espacio interior. Dentro de la lámina dibujáis un triángulo
equilátero grande, y en él le trazáis todo (las 2 circunferencias y los 4 puntos), y luego hay que escribir
debajo todo lo que os ha salido y todo lo que habéis observado.
g) LÁMINA 7:
Se divide en dos partes iguales, verticalmente. En la izda. se hará un
pentágono regular de 5 cm. de lado, y en la dcha., un hexágono regular de 4,7 cm de lado.
Fdo. Juan Chanfreut Rodríguez
Profesor de matemáticas de 1º de ESO