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DIBUJO LINEAL
INTRODUCCIÓN.
La palabra GEOMETRÍA significa en griego “medición de la tierra”. Su nombre proviene de sus
primeros usos en las primeras civilizaciones, que usaban estos sistemas para la medición del área de los
cultivos y para edificar templos y grandes construcciones. De esa época (hace 5000 años) proceden los
“ejercicios con regla y compás” que tienen la particularidad de que pueden realizarse a media distancia con
una cinta métrica y una tiza, que haría las veces de compás y de regla. Estos sistemas siguen siendo
utilizados por los maestros albañiles hoy día para trazar los cimientos y demás aplicaciones.
En la actualidad, todo trabajo industrial o de cierto nivel de perfección necesita un dibujo previo que
ayude a su planificación. Por lo que el dibujo lineal es imprescindible para una gran cantidad de trabajos
(desde albañilería hasta ingeniería de alto nivel), por lo que no debe faltar en la formación básica de todo
ciudadano.
Con el objeto de conseguir un proyecto curricular adaptado a las características de los alumnos y a
los condicionantes del medio escolar, hemos elaborado con carácter experimental unas ayudas o auxiliares
de clase que permitan impartir o cursar las áreas de Educación plástica y visual con la mayor eficacia.
Orientaciones para el uso del manual.
INDICE DE TEMAS DEL CUADERNO.
Orientaciones para el uso del manual.
1) Materiales de dibujo lineal.
2) Trazados con regla y compás.
3) Ángulos.
4) Triángulos.
5) Puntos Notables del triángulo.
6) Cuadriláteros.
7) Polígonos regulares y estrellados.
8) Tangencias.
OTROS MATERIALES NECESARIOS PARA EL ALUMNO.
•
•
•
•
•
Carpeta de gomas con solapas.
Lápiz duro (2H) y goma blanda.
Bloque de formatos A4, a ser posible con margen ya dibujado.
Compás.
Plantillas de dibujo (escuadra y cartabón).
Normas de Evaluación.
- Al ser evaluación continua, la nota global de cada evaluación tendrá en cuenta también todos los ejercicios
de la evaluación anterior. Será la nota media ponderada de las notas globales de sus ejercicios junto con la
nota media de los controles. Para cada período de evaluación se hará al menos un control y una
recuperación para comprobar el nivel de conocimientos y otros factores.
- Es aconsejable que cada alumno lleve la cuenta de sus notas. El profesor enseñará los trabajos con su
nota y correcciones y después deberá recogerlos para guardarlos. Si alguien quiere consultar su trabajo
posteriormente, deberá ser en horas de recreo y previa petición al profesor.
- Los ejercicios deben llevar el nombre completo del alumno y su curso.
- Los trabajos con nota inferior al cinco deberán ser repetidos hasta que sean aprobados (con un seis como
máximo).
- Los trabajos que se entreguen fuera de plazo sin causa que lo justifique, tendrán como nota máxima un
seis.
- Cualquier nota podrá subirse con la entrega de otro trabajo. La nota subirá en función del trabajo realizado.
- Las notas puestas en los trabajos engloban ya los criterios de evaluación aprobados por el centro, es decir:
el trabajo en clase y en casa, la limpieza y corrección del trabajo, el comportamiento y respeto a las reglas
de convivencia, el nivel de uso de lo aprendido y el de adquisición de los conceptos.
ACLARACIONES PARA
EXPLICATIVOS.
LA
COMPRENSION
DE
LOS
DIBUJOS
En la explicación de cada ejercicio, se han añadido ejemplos numerados paso a paso para facilitar
la comprensión del ejercicio. En un principio los pasos englobarán una o dos operaciones, posteriormente
se irán haciendo cada vez más operaciones en cada paso a medida que se vaya avanzando en el
programa. Esto hará que el alumno deba repasar ejercicios anteriores para la correcta comprensión de los
contenidos, lo que ayudará en su aprendizaje.
En los dibujos iniciales de cada ejercicio aparecerán los datos, es decir, los elementos que nos dan
para que hallemos el resultado. Las líneas auxiliares necesarias para alcanzar el resultado se marcarán con
línea fina, y los resultados con línea gruesa. El dibujo final, correspondiente al ejercicio ya resuelto se
dibujará dentro de un rectángulo de línea gruesa.
Los ejercicios se copiarán y harán en formatos aparte, posteriormente se anotará en los ejercicios
correspondientes del cuadernillo la nota, indicaciones y consejos del profesor.
El alumno debe hacer cada ejercicio partiendo de los datos y desarrollándolo sobre éstos hasta que
el dibujo quede similar al del ejercicio resuelto. No hay que hacer un dibujo aparte por cada paso. Las letras
y flechas indicativas son necesarias para la comprensión del ejercicio, pero no es preciso que el alumno las
dibuje.
1.
Materiales e instrumentos de dibujo lineal.
1.1. El papel.
El papel de dibujo lineal debe ser grueso para que pueda pincharse con el compás, debe admitir el
dibujo a lápiz y el trazado con tinta. Debe ser de un blanco uniforme y que no se deforme demasiado con la
humedad. El tamaño del papel se indica por su formato.
Los formatos A y B tienen forma de rectángulo con un alargamiento especial (la
raíz cuadrada de 2) para que al cortarlo por la mitad, la forma sea la misma; A1 es la
mitad de A0, pero sus diagonales coinciden.
El formato A0 mide 1189 por
841 mm , y tiene justo 1 metro
cuadrado de área.
El A4 es un A0 que se ha
partido por la mitad cuatro
veces para llegar a ese tamaño.
Cuanto mayor sea el número,
más pequeño es el formato.
Hay varios tipos de formatos; los más usados son los A y los B. Los A se usan más para el dibujo
lineal, y los B se usan casi siempre para el dibujo artístico, como las cartulinas.
Algunos papeles de dibujo son algo más grandes y llevan un rectángulo
dibujado. El tamaño A4 es el papel que está dentro de ese rectángulo.
Compruébalo poniendo dentro un folio. Esto es para que no estropees o dobles
los bordes o puedas clasificarlos en una carpeta de anillas.
En el dibujo profesional, hay además que dibujar un margen dentro del A4. Los
datos del dibujo se ponen en una zona que se llama casillero, que se coloca en
la parte inferior del margen.
1.2. El lápiz.
El lápiz de dibujo lineal tiene unas características distintas al de dibujo artístico, o al normal de
estudiante. No debe ser de base redondeada sino con lados planos, para que no ruede por la mesa de
dibujo inclinada. Pero sobre todo, debe de ser de mina más dura de lo normal. La mina es la parte del lápiz
que tizna, que está hecha de una mezcla de grafito (lo que tizna) y de arcilla (lo que le da dureza). Los
lápices de dibujo lineal tienen más arcilla en la mina para que el trazo sea más claro, se ensucie menos el
papel con el roce de la mano, y la punta dure más tiempo afilada. Es muy importante un lápiz duro y bien
afilado, porque influye mucho en la limpieza del trabajo.
Además conviene no apretar para que pueda borrarse el trazo sin dejar rastro.
La dureza del lápiz se mide con un código de números y letras.
Normalmente los lápices duros llevan un número seguido de la letra
H (la inicial de la palabra Hard; duro, en inglés). El número es mayor
mientras más duro es el lápiz. Los profesionales pueden usar
lápices de dureza hasta 9H, pero en la enseñanza basta con un 2H.
La dureza se indica en los lápices en el extremo opuesto a la punta.
A veces también viene, antes y separado, otro número pero
corresponde a otro código. Normalmente verás “4“ y separado “2H”.
2B (blando)
2H (duro)
Los lápices HB son los lápices normales que te venden cuando no le dices cómo lo quieres. Puedes
usarlos, pero te dará peor resultado que uno duro.
Los portaminas son mejores que los lápices, pues no pierden la punta. Su desventaja es que los
venden siempre con minas de dureza normal (HB), aunque se pueden comprar recambios de mina dura
(2H).
1.3. La goma.
A pesar de lo que pueda pensarse, para obtener un buen resultado no es preciso una goma cara,
basta con que sea blanda y no se tizne con el lápiz. Las gomas caras son para los profesionales, que
necesitan que puedan borrar lápices muy duros o trazos a tinta sin que afecte al papel. Lo que sí es
importante es que no se apriete el trazo, pues ninguna goma borrará un surco en el papel.
1.4. El compás.
El compás es necesario para poder trazar arcos y circunferencias. Su uso requiere algo de práctica.
Generalmente hay que seguir ciertas normas.
•
Con el compás cerrado, la punta metálica debe estar ligeramente mas larga que la mina del lápiz.
Así se podrán hacer arcos de pequeña abertura sin que se “escape” la punta.
•
Cuando hagas un trazo con el compás, gíralo apretando un poco más por la punta metálica que por
la mina. Es aconsejable no apretar al trazar; con que se vea el trazo es suficiente.
•
Comprueba antes de hacerlo que el trazo va a pasar por todos los puntos necesarios. (Pincha en el
centro y ve acercando la mina a cada uno de los puntos para ver si coinciden).
•
No uses el compás para otros usos ni juegues con él. Además de que su punta es peligrosa, se
rompe o dobla muy fácilmente. Las piezas del compás se desajustan rápido y son de difícil
sustitución si se pierden. Mira muy bien a quién le prestas el compás.
•
Algunos compases permiten doblar uno o sus dos brazos. Los trazos se hacen mejor si tanto la
punta del compás como la mina están perpendiculares al papel.
Los compases que se venden normalmente para estudiantes se aflojan con el tiempo. Apriétalos
cuando veas que se mueven. También los hay con diversos sistemas para evitar esto (ruedas que aprietan
los dos brazos para que no se muevan, etc.). Estos sistemas ayudan a la duración del compás. Comprueba
que el compás esté hecho de material rígido que no se doble.
Normalmente la mina de los compases es de dureza normal; razón de más para no apretar el trazo.
Debes afilarlo con frecuencia o no tendrá bastante precisión. Se puede afilar la punta frotándola con lija u
otro material áspero. Los hay que pueden adaptar lápices o portaminas en lugar de su propia mina. Es una
solución interesante, porque también es difícil encontrar minas de recambio.
1.5. Las plantillas.
Se llaman plantillas a todo aquello que nos sirve para hacer trazos siguiendo su borde, por
ejemplo, una regla.
Las plantillas profesionales suelen ser de color (verde o naranja, normalmente) y son más flexibles.
Las de estudiantes son casi siempre transparentes, graduadas en todas sus caras y se rompen más
fácilmente. Por eso es bueno que las lleves protegidas dentro de una carpeta, de lo contrario pueden perder
la punta.
Al usar las plantillas debes tener en cuenta que la mina del lápiz debe estar pegada a la plantilla
cuando traces. También debes comprobar que el trazo va a pasar por los puntos debidos antes de hacer el
trazo (se comprueba punteándolos con el lápiz y ajustándole la plantilla).
1.6. Escuadra y cartabón.
45º
Las plantillas normales para dibujo lineal son la escuadra y el
cartabón.
60º
90º
45º
30º
Estas dos plantillas se venden juntas, a veces con otra regla larga y
un transportador de ángulos. Como van graduadas, no es necesario la
regla larga si compras unas plantillas suficientemente grandes, pero
comprueba que te quepan en tu carpeta para guardarlas.
La escuadra es un triángulo rectángulo, porque tiene un ángulo recto (90 grados). Sus otros dos
ángulos miden 45 grados. (recuerda que la suma de los tres ángulos de un triángulo son 180). Además es
un triángulo isósceles, al tener dos de sus lados y dos de sus ángulos iguales.
El cartabón es un poco más grande; Su lado mediano debe ser igual al más largo de la escuadra.
Es un triángulo escaleno porque sus tres lados y sus tres ángulos son distintos. El cartabón también es
rectángulo, y sus otros dos ángulos miden 30 y 60 grados.
Sus ángulos están pensados para servir para varios usos. Sumando o restando sus ángulos, se
pueden hallar todos los ángulos de una circunferencia, con saltos de 15 en 15 grados. También son útiles
para el dibujo en perspectiva.
El trazado de paralelas y perpendiculares con plantillas son ejercicios básicos y muy necesarios en
el dibujo lineal, hasta el punto de que si no sabes hacer estos trazados correctamente, lo más fácil es que
estropees todos los dibujos, por eso es necesario que leas con atención estas líneas.
Recuerda que cuando un triángulo es rectángulo, se llaman Catetos a los lados que están al lado
del ángulo recto, e Hipotenusa al lado que está enfrente a los dos catetos (es el lado más largo).
1.6.1.
Trazar paralelas con escuadra y cartabón.
Como probablemente ya sepas, líneas paralelas son aquellas que tienen la misma dirección.
Para poder hacerlas correctamente con las plantillas, es necesario un poco de práctica y cuidado. Sigue
estos pasos:
1) Comprueba que tienes las dos plantillas.
R
R
R
No se puede trazar paralelas con solo una.
Supongamos que tienes que hacer pasar una
P
P
P
línea paralela a R que pase por el punto P.
(2) Coloca un lado cualquiera de cualquier
plantilla justo en la línea a la que quieras
hacer la paralela. Sujétala bien.
(3) Coloca la otra plantilla pegada a otro lado de la primera y sujétala de forma que no se mueva.
1)
2)
R
3)
R
R
P
P
4)
(4, 5 y 6) Desliza la primera plantilla sobre la
segunda (sin mover ésta) hasta donde te
interese dibujar la línea. Sujeta ahora la
primera plantilla con una mano y con la otra
traza la línea.
P
5)
6)
Observa que ninguna plantilla debe moverse de su sitio, salvo el deslizamiento del paso (3). Si en
cualquier momento se mueve alguna regla, debes empezar de nuevo.
1.6.2.
Trazar perpendiculares con escuadra y cartabón.
R
R
R
P
P
1)
P
2)
3)
(1) Supongamos que nos dan una recta R y tenemos que trazar otra que sea perpendicular a la anterior y
que pase por un punto P
(2) Colocamos la escuadra (no el cartabón) con su lado mayor (la hipotenusa) pegado a R.
(3) Ponemos el cartabón pegado a la escuadra por uno de sus lados iguales (catetos).
R
P
4)
R
R
P
P
5)
6)
(4) Se mantiene sujeto el cartabón y se gira la escuadra pegando con el otro cateto al cartabón.
(5) Se desliza la escuadra sin mover el cartabón (como en las paralelas) hasta que la hipotenusa esté junto
al punto P.
(6) Sujeta la escuadra y traza la línea perpendicular a R que pasa por P.
1.7. Transportador de ángulos.
El transportador también se llama semicírculo graduado, y sirve para medir, copiar (transportar), o
trazar ángulos.
1.8. Otras plantillas.
1.8.1.
Plantillas francesas
Las plantillas francesas sirven para dibujar con precisión
curvas que deben pasar por determinados puntos y que no
pueden trazarse con el compás. Su forma es extraña porque
deben servir para un gran número de curvas distintas.
Normalmente son tres, pero puede haber muchas más. En la
práctica sólo se usan para dibujos a tinta.
1.8.2.
Plantillas flexibles.
Las plantillas flexibles son unas tiras de goma con una lámina de
alambre dentro. Su función es la misma que las plantillas
francesas, pero con la diferencia de que puedes darle tú la forma
que necesitas. También se usan para el trazado con tinta.
1.8.3.
Plantillas con dibujos o letras.
En algunos trabajos de dibujante, hay trazados o dibujos que se repiten mucho y puede ser rentable
comprar plantillas con esas formas. Por ejemplo, un arquitecto puede tener plantillas para dibujar mesas,
sillas, lavabos, etc., para hacer planos de casas. Hay muchas plantillas diferentes en el mercado.
Las plantillas para letras eran muy necesarias en el trabajo profesional, porque en éste la letra es tan
importante como el dibujo. Cada tamaño de letra necesita una plantilla.
Actualmente las plantillas de letras y de dibujos se van sustituyendo por otros sistemas, por ejemplo, los
dibujos transferibles, que se pegan al papel como si fueran calcomanías. Es un sistema muy caro, pero
rápido y limpio.
1.9. Instrumentos de trazado.
1.9.1.
Tiralíneas.
Estilógrafo
Rotulador
Tiralíneas
1.9.2.
Ha sido hasta hace algunos años el sistema tradicional de trazado a
tinta. Consiste en dos láminas metálicas que están separadas entre sí
con un tornillo, y se unen por un extremo al mango. Para usarlo, la tinta
se metía entre las láminas y el grosor de la línea la daba la separación
entre ellas. Era un sistema muy poco fiable, porque era fácil que la tinta
chorreara o goteara, arruinando el dibujo. Casi siempre viene un
tiralíneas adaptable al compás en las cajas de compases, aunque
apenas se usa ya para el dibujo técnico.
Estilógrafos.
Aparecieron para sustituir con ventaja a los tiralíneas. Son como plumas de escribir con la punta en
forma de tubo, y es preciso uno para cada grosor de línea (0´2, 0´4 y 0´8). Son caros, pero muy precisos.
Necesitan limpiarse si no lo vas a usar en uno o dos meses, si no, se estropean.
1.9.3.
Rotuladores técnicos.
Son una alternativa barata a los estilógrafos. Son rotuladores de punta fina, pero con tres diferentes
grosores (0´2, 0´4 y 0´8), más o menos cercanos a los de los estilógrafos. Son poco precisos y no duran
mucho, pero son baratos y fáciles de usar. Normalmente se usan en la enseñanza.
1.9.4.
Ordenadores y trazadores.
Actualmente, cualquier estudio de dibujo técnico dispone de un ordenador de cierta potencia
adaptado al dibujo lineal. El ordenador presenta muchas ventajas, La principal es que permite las
rectificaciones y las modificaciones sin ningún problema. Una vez hecho el dibujo definitivo, puede dibujarse
limpiamente con cualquier impresora. Sin embargo, para el dibujo profesional se usa el trazador, que es
algo así como un brazo mecánico que va dibujando en el papel.
Traza una perpendicular y una paralela a la recta que pasen por cada uno de los
puntos dados. Procura que los trazos sean finos y no se tuerzan.
Divide la línea en centímetros y dibuja las circunferencias que pasen por esas divisiones y
que tengan el centro en A. Haz las mediciones y los trazos con cuidado.
Lámina: Ejercicios de trazado.
Curso:
Alumno:
Nota:
2.
Trazados con regla y compás.
Los trazados con regla y compás se llaman así porque no necesitan plantillas (escuadra y cartabón)
para poder realizarse, tan sólo son necesarios los instrumentos indicados en su mismo nombre. La regla y el
compás tienen la particularidad de poder ser sustituidos para distancias medias por una cinta métrica y una
tiza. Esto hace que estos ejercicios se apliquen en la construcción arquitectónica, trazado de campos de
deporte, medición de terrenos, etc.
2.1. Trazar la mediatriz de un segmento.
La mediatriz de un segmento es una recta perpendicular a éste y que pasa por su mitad. Esta
definición es correcta, pero hay otra más útil, que puede utilizarse para resolver problemas de geometría y la
que se usa para construirse. Según esta definición, mediatriz de un segmento es la línea que forman
todos los puntos que están a la misma distancia de los dos extremos del segmento.
Al trazar dos arcos de igual abertura desde los extremos del segmento, los dos puntos donde se
cortan pertenecerían a la mediatriz puesto que están a la misma distancia (la abertura) de los dos extremos.
Si hiciéramos lo mismo aumentando la abertura en ambos arcos tendríamos una recta, que sería la
mediatriz. En la práctica basta con hallar dos puntos y trazar la línea.
A
B
A
B
Cualquiera
(2)
(1)
(1 y 2) Los datos son dos puntos que
marcan el segmento (A y B). Se traza
un arco con centro en A y un radio
cualquiera que sobrepase la mitad
del segmento. Es conveniente un radio
grande, ya que mientras mayor sea,
más precisa será la mediatriz.
(3) Con ese mismo radio se traza un
arco con centro en B.
el mismo
A
(3)
A
B
(4)
B
(4) Se traza la recta que pasa por
donde se cortan los dos arcos. Esta
recta es la mediatriz del segmento que
forman los puntos. La mediatriz es una
recta, no un segmento. Esto significa
que es infinitamente larga, y por eso sobrepasa los arcos.
2.2.
Trazar una perpendicular a una recta por un punto.
Este ejercicio es bastante común en la construcción, pues sirve para trazar casi todas las
perpendiculares. Una aplicación práctica sería, por ejemplo, la de hallar la distancia mínima entre un pozo
(punto) y una acequia cercana (recta ) para riegos.
Al trazar un arco que corte en dos puntos a la recta, estamos cogiendo dos puntos que están a la
misma distancia (la abertura del compás) del punto P. La mediatriz de esos dos puntos forzosamente ha
de pasar por el centro, ya que es el conjunto de puntos que están a la misma distancia de los
extremos. Además, la mediatriz es perpendicular al segmento, con lo que conseguimos una recta que pasa
por P y es perpendicular a otra.
(1) Los datos necesarios son una recta
(R) y un punto (P). En este caso es
exterior a la recta. Esto quiere decir que
no está en la recta, sino fuera de ella.
P
P
cualquiera
R
R
A
B
(2) Se traza un arco con centro en P que
corte en dos puntos (A y B) a la recta.
(2)
(1)
P
P
R
A
R
B
A
(3 y 4) Se traza la mediatriz de A y B,
que es la perpendicular que buscamos
ya que pasa forzosamente por P, al
estar éste a la misma distancia de A y
de B.
B
El ejercicio es similar cuando el
punto P pertenece a la recta. En ese
caso el arco que se usa para hallar A y B sería una semicircunferencia.
(3)
(4)
2.3. Trazar una paralela a una recta por un punto exterior a ella.
Este ejercicio es complementario del anterior, e igualmente útil. Lo que se va a hacer en realidad es
construir dos triángulos iguales pero opuestos, de forma que el punto D es el opuesto a P. Por tanto su
distancia a la recta R es la misma, y la línea que pasa por los dos, por tanto, es paralela a R.
P
P
R
De P a A
R
A
(2)
(1)
De P a A
D
P
B
P
D
P
De B a P
R
(3)
R
A
B
(4)
R
A
B
(5)
A
B
(1) Los datos son: una recta (R) y un punto exterior a ella (P). El punto debe ser exterior, puesto que una
recta paralela a R que pase por un punto que esté en ella es la misma recta.
(2) Se escoge un punto cualquiera de la recta (A), que no esté demasiado cerca del punto P. Pinchando en
A se traza un arco que pase por P y corte a la recta en un punto (B).
(3) Con el mismo radio, y centro en P, se traza otro arco que pase por A y tenga longitud similar al anterior.
(4) Se toma con el compás la distancia entre P y B y con centro en A se traza un arco que corte al anterior
en D.
(5) Se unen con una recta los puntos D y P. Esta recta es paralela a R y pasa por P.
2.4.
Trazar una perpendicular a una semirecta por un extremo.
En la práctica, hay algunos casos donde nos interesa hallar la perpendicular a una recta por su
extremo, y no podemos acceder al terreno o papel situado al otro lado por cualquier motivo. Un ejemplo
sería trazar una perpendicular junto a unos terrenos ya construidos.
Utilizaremos un teorema que dice que si trazamos desde cualquier punto de una semicircunferencia
dos líneas que van a sus extremos, esas líneas formarán siempre un ángulo recto. Observa que B y C son
los extremos de una semicircunferencia, y S está dentro de ella. Desde S hemos trazado rectas hacia ellos,
por tanto el ángulo que forman es recto.
A
Hasta S
S
(1)
S
(2)
B
C
C
A
A
S
(3)
B
S
(3)
B
(1) El dato necesario es una semirecta, con su extremo S. En la realidad, donde no existen las rectas
infinitas, una semirecta significa que en una línea solo nos interesa un extremo.
(2) Pinchando en un punto cualquiera (A) exterior a la semirecta se traza una circunferencia que pase por el
extremo (S) de la semirecta. La circunferencia la cortará en otro punto (B).
(3) Se traza una recta que pase por B y por el punto A, y se prolonga hasta que vuelva a cortar a la
circunferencia en un punto (C).
(4) Se traza una recta que pase por el extremo (S) de la semirecta y por C, que será la perpendicular que
buscamos.
1) Traza la mediatriz a un segmento dado
2) Traza la perpendicular a la recta dada que pase
por el punto A, usando regla y compás.
A
2) Traza la perpendicular a la semirecta por su
extremo A, usando regla y compás.
A
2) Traza la paralela a la recta dada que pase por
el punto A, usando regla y compás.
A
Lámina: Ejercicios con regla y compás
Curso:
Alumno:
Nota:
3.
Ángulos.
Un ángulo es la abertura que forman dos líneas. Midiendo la abertura entre dos líneas se puede
dibujar la forma de los objetos. Piensa que las mediciones de distancias grandes se hacen en realidad
midiendo ángulos desde dos puntos distintos. Es así como se ha averiguado la distancia de la tierra a
algunas estrellas. Por eso hay que saber trabajar con ángulos, saber sumarlos, y restarlos como si fuesen
distancias.
3.1. Hallar la bisectriz de un ángulo.
Bisectriz se le llama a la línea formada por los puntos que están a la misma distancia de las
dos rectas del ángulo.
A
A
Cualquiera
B
B
(2)
(1)
C
D
(3)
(1) Nos dan el ángulo al cual hay que hacerle la bisectriz.
(2) Con centro en el vértice del ángulo, se traza un arco de radio cualquiera, que corte al ángulo en dos
puntos: A y B. Cuanto mayor sea el radio de este arco, mayor será la precisión de la bisectriz.
(3) Se traza la mediatriz del segmento AB, que coincide con la bisectriz del ángulo dado.
El punto D no es necesario hallarlo, ya que es más preciso trazar la línea desde C hasta el vértice
del ángulo. La mediatriz tiene que pasar por fuerza por el vértice, ya que está a la misma distancia de A que
de B.
3.2. Transportar (copiar) un ángulo.
A
Cualquiera
O
R
(1)
B
P
R
(2)
A
O
B
P
R
(3)
O
La misma
P
C
(1) Los datos necesarios son un ángulo y una recta (R) sobre la cual queremos transportarlo.
También se nos puede pedir que transportemos el ángulo con el vértice O en un punto concreto (P) de la
recta, como en este caso.
(2) En primer lugar se traza con el compás un arco pinchando en el vértice (O) del ángulo y con una
abertura cualquiera, de forma que corte al ángulo en dos puntos (A y B). Se recomienda una abertura
grande para mayor precisión.
(3) Con la misma abertura de compás y pinchando en el punto P de la recta donde se va a transportar, se
traza otro arco de tamaño similar al anterior y que corte a la recta R en un punto (C).
A
A
O
B
R
B
D
De A a B
(4)
P
O
D
R
C
(5)
P
C
(4) Se toma con el compás la distancia entre A y B, y con ella se traza otro arco pinchando en C que corte al
arco que acabamos de hacer en un punto (D).
(5) Se hace pasar una recta por P y D. El ángulo que forma con la recta R será equivalente al que nos
dieron.
3.3. Suma y resta de ángulos.
Para hacer una suma de ángulos basta con copiar un ángulo a continuación del otro. El ángulo
resultante abarca los dos ángulos. En el caso de la resta se copian uno a partir del otro, pero en dirección
contraria, de forma que se superponen. La resta es la abertura que queda entre los dos ángulos.
A
B
Suma
Suma
C
V
V
D
Resta
Resta
(1)
(2)
V
V
(1) Nos han dado dos ángulos, y se nos pide que dibujemos su suma en la recta de arriba, y su resta en la
de abajo (no hay que confundir RESTA con RECTA).
(2) Con la misma abertura de compás y pinchando en los dos vértices de los ángulos, se trazan dos arcos
que corten a los dos lados de cada ángulo (puntos A, B, C y D).
A
B
C
A-B
(3)
C
E
A-B
V
Distancia C-D
B
Suma
V
D
F E
A
E
C
V
E
Resta
V
Suma
V
E
D
G
(4)
B
Suma
D
F E
A
Resta
G
(5)
Resta
V
(3) Con esa misma abertura y la distancia de A a B, transportamos el ángulo mayor, hallando el punto E.
(4 y 5) Se toma con el compás la distancia de C a D y, pinchando en E, se traza una circunferencia con esa
abertura. La circunferencia cortará al arco en dos puntos (F y G). La suma de los ángulos será desde la
recta dada hasta la que pase por V y F (la máxima abertura). El ángulo que resulta de restarlos abarcará
desde la recta dada hasta G (el de menor abertura).
3.4. Dividir un segmento en partes iguales.
Este es un ejercicio básico muy utilizado para pequeñas distancias. Además sirve como aprendizaje
del Teorema de Tales, básico en la comprensión de las proporciones y que se usa para la resolución de
este problema. El razonamiento es el siguiente : Lo primero que hacemos es inventarnos un triángulo ABC,
en el que uno de sus lados esté formado por tres partes iguales (los hacemos poniendo tres veces la misma
distancia) y otro lado es el segmento a dividir. Cuando trazamos paralelas lo que estamos haciendo en
realidad es dividir el lado AB en las mismas partes que AC.
C
La misma
La misma
A
La misma
A
B
(1)
B
(2)
(1) El dato necesario es el segmento AB que hay que dividir.
(2) A partir de un extremo cualquiera del segmento AB se traza una línea en cualquier dirección. Sobre ésta
línea se toman medidas con la misma distancia del mismo número de veces en que queramos dividir el
segmento (en el ejemplo, tres veces).
C
C
A
(3)
B
A
B
(4)
(3 y 4) El otro extremo del segmento B se une con una recta a C. Se trazan líneas paralelas a esta última
recta BC que pasen por cada una de las medidas que tomamos anteriormente. Estas paralelas cortarán al
segmento AB en partes iguales.
(1) Traza la bisectriz del ángulo dado.
(2) Copia el ángulo dado a la recta, siendo
el vértice el punto A.
A
(3) Suma y resta debajo estos ángulos.
(4) Divide el segmento dado en 5 partes
iguales mediante el método de Tales.
Suma:
Resta:
Lámina: Ejercicios con ángulos.
Curso:
Alumno:
Nota:
4.
Triángulos.
Los triángulos son figuras de tres lados. Son la base para hacer otras figuras más complejas, y
son muy utilizados a la hora de hacer mediciones de distancias grandes y dibujos a gran escala. Se han
usado hasta para medir la distancia de las estrellas.
4.1. Trazar un triángulo conociendo sus tres lados.
A
B
C
A
B
C
B
A
(1)
A
(2)
A
B
C
A
B
C
D
D
C
A
(3)
C
B
A
(4)
1) Nos dan los datos, que son los tres lados (A, B y C ). Colocamos uno de ellos (por ejemplo A) en el lugar
elegido.
(2) Pinchando en uno de sus extremos se traza un arco con la abertura igual a otro de los lados (por
ejemplo B).
(3) Pinchando en el otro extremo se traza otro arco con abertura igual al lado que queda (en este caso C).
Los dos arcos se cortan en un punto D.
(4) El punto D resulta ser el vértice del triángulo que buscamos, por lo que solo queda unirlo a los otros dos
con rectas, que serán los lados.
4.2. Trazar un triángulo conociendo dos lados y el ángulo que forman.
A
A
Ĉ
B
B
(1)
Ĉ
A
(2)
A
A
A
Ĉ
B
B
B
B
A
(3)
Ĉ
A
(4)
(1 y 2) Los datos son dos lados (A y B) y el ángulo que deben formar los dos. En primer lugar se copia uno
de los lados (por ejemplo A) al lugar elegido. Se transporta el ángulo (según el método del capítulo anterior)
a un extremo cualquiera del lado, según nos convenga. Prolongamos el lado hallado del ángulo hasta que
sea mayor que B.
(3 y 4) Pinchando en ese mismo extremo y con distancia igual a B se traza un arco que corte al último lado
hallado. El punto donde corte será el vértice restante del triángulo que buscamos. Lo unimos mediante una
recta al otro extremo del lado A y ya tenemos el triángulo pedido.
4.3.
Trazar un triángulo conociendo un lado y sus dos ángulos adyacentes.
A
A
Ĉ
^
B
^
B
A
A
(1)
(2)
A
A
Ĉ
^
B
Ĉ
^
B
A
(3)
Ĉ
A
(4)
Ángulos adyacentes son aquellos que están en los extremos del lado. Es lo contrario del
ángulo opuesto a un lado, que es el que no está en ninguno de sus extremos.
(1 y 2) Los datos que nos dan son el lado (A) y dos ángulos (B y C). En primer lugar colocamos el lado A.
En el extremo de A que creamos más conveniente transportamos uno de los ángulos.
(3 y 4) En el otro extremo se transporta el otro ángulo, pero en la dirección contraria al anterior. El punto
donde se cortan las dos rectas halladas de los dos ángulos es el vértice que nos queda del triángulo. Sólo
queda unirlo con rectas a los extremos de A y ya tenemos el ángulo pedido.
4.4. Trazar un triángulo conociendo sus dos lados y el ángulo opuesto a uno de
ellos.
A
B
A
B
^
B
(1)
A
A
^
B
^
B
B
B
A
^
B
A
(2)
A
B
(3)
^
B
B
(4)
B
A
(1) Los datos necesarios son: dos lados (A y B) y el ángulo B (con el signo ^ encima). Los ángulos y los
lados opuestos se llaman igual, así que ya sabemos que el lado B y el ángulo B son opuestos. Lo primero
que se hace es colocar el lado no opuesto (en este caso, el lado A).
(2) Sobre un extremo cualquiera del lado A, por ejemplo, el izquierdo, se transporta el ángulo B (ver el
ejercicio “transportar un ángulo”) y la línea resultante se prolonga un poco.
(3) Pinchando en el otro extremo del lado A (el derecho, en este caso ), y con una abertura de compás igual
al lado B, se traza un arco de circunferencia que corte a la línea anterior. En este caso corta en dos puntos
(C y D).
Si el lado B es menor que el A, normalmente corta a la recta en dos puntos, cada uno de ellos es el
vértice (el pico del ángulo) que falta para hacer el triángulo. Esto significa que hay dos triángulos posibles
(están remarcados). Si el lado B es mayor que el A, sólo hay una solución posible.
(2) Hallar un triángulo conociendo dos lados
y el ángulo que forman.
B
B
C
A
A
^
C
(1) Hallar un triángulo conociendo sus tres
lados.
(4) Hallar un triángulo conociendo dos lados
^
B
B
A
A
^
B
y el ángulo opuesto a uno de ellos (B).
^
C
(3) Hallar un triángulo conociendo un lado y
sus ángulos adyacentes.
Título: Triángulos
Curso:
Alumno:
Nota:
5.
Puntos notables del triángulo.
Los puntos notables del triángulo son cuatro puntos que tienen características interesantes
respecto al triángulo. Los cuatro puntos notables del triángulo son:
- El Incentro.
- El Circuncentro.
- El Baricentro.
- El Ortocentro.
Estos cuatro puntos coinciden cuando el triángulo es equilátero, y cuando no, están formando una
línea recta.
5.1. Incentro de un triángulo.
(1)
(2)
C
C
(3)
(4)
Incentro es el punto que está a la misma distancia a los tres lados del triángulo. Sería el
centro de una circunferencia inscrita al triángulo ( incentro = centro de la circunferencia inscrita).
Para hallarlo se usan las bisectrices, que recordaréis que era la línea que estaba a la misma
distancia de dos rectas. Se halla de esta forma.
(1 y 2) El dato para hallar el incentro de un triángulo es, por supuesto, un triángulo. Usaremos uno escaleno,
como ejemplo. Se halla la bisectriz de un ángulo cualquiera. Sería conveniente construirla con distancias
largas para aumentar la precisión.
(3 y 4) Se halla la bisectriz de otro ángulo cualquiera, también con distancias largas. El punto (C) donde se
corten será el incentro del triángulo. Para asegurar la precisión del ejercicio, y aunque no es
estrictamente necesario para hallar el punto, hallaremos la bisectriz del ángulo restante. Así comprobaremos
de paso que el resultado no depende de los ángulos escogidos. En el dibujo hemos colocado en trazo
grueso la circunferencia inscrita del triángulo.
5.2. Circuncentro de un triángulo.
(1)
(2)
(3)
(4)
Circuncentro de un triángulo es el punto que está a la misma distancia de los tres vértices
del triángulo. Eso significa que podemos trazar una circunferencia que englobe al triángulo y pase por los
vértices. Esa circunferencia se llama circunscrita. El circuncentro se llama así porque es el centro de la
circunferencia circunscrita.
(1 y 2) Tenemos un triángulo cualquiera, que es el dato. Lo primero que hacemos es la mediatriz a un lado
cualquiera del triángulo.
(3 y 4) Se traza la mediatriz de otro lado cualquiera. El punto donde se cortan las dos mediatrices es el
circuncentro. Si se trazara la mediatriz del lado que nos queda pasaría exactamente por ese punto. De
hecho, se recomienda que se haga como comprobación. En el dibujo final se ha dibujado en trazo grueso la
circunferencia circunscrita del triángulo.
El circuncentro se halla así porque la mediatriz es la recta de los puntos que están a la misma
distancia de dos puntos dados. El punto donde se cortan las dos mediatrices pertenece a las dos
mediatrices, luego está al mismo tiempo a la misma distancia de los tres extremos de los lados, que son los
vértices. Observa que el circuncentro no tiene que estar necesariamente dentro del triángulo.
5.3. Baricentro de un triángulo.
El baricentro podría definirse como el centro geométrico del triángulo. Si colgamos un
triángulo desde ese punto, el triángulo no se moverá, porque no habría un lado que pesara más que otro.
El baricentro se halla trazando las medianas del triángulo. Las medianas son líneas que pasan por
un vértice y por el punto medio del lado opuesto a éste. Como para hallar el punto medio del lado es preciso
trazar su mediatriz, frecuentemente se confunden mediana con mediatriz.
( 1 y 2 ) Para hallar el baricentro, partimos de un triángulo cualquiera, y trazamos la primera mediana.
Observa que la mediana va desde un vértice del triángulo hasta la mitad del lado opuesto (el que no toca a
ese vértice ). La mediatriz que se ha dibujado en el lado ha servido sólo para poder encontrar su mitad.
(1)
(2)
C
(3)
(4)
( 3 y 4 ) Se traza la mediana de otro vértice cualquiera, con cuidado de no equivocarse de líneas . El punto
donde se crucen ( C ) será el Baricentro.
5.4. Ortocentro de un triángulo.
(1)
(2)
(3)
(4)
C
El ortocentro es el punto donde se cortan las tres alturas del triángulo. Altura de un triángulo
es la línea que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto a ese vértice. Es el punto más difícil
de hallar, porque son precisas muchas líneas y es fácil equivocarse. Es necesario ir paso a paso, sin
despistarse.
( 1 y 2 ) Tenemos un ángulo cualquiera. Para hallar el ortocentro empezaremos por trazar la primera altura.
La altura se halla escogiendo un vértice cualquiera y su lado opuesto. Después se traza la perpendicular al
lado que pasa por el vértice opuesto, del modo que ya se ha descrito antes.
( 3 y 4 ) Seguidamente se traza la altura de cualquier otro vértice. En el caso de que el lado no sea lo
suficientemente lalargo, debe alargarse, como ocurre en esta ocasión. El punto ( C ) donde se cortan es el
Ortocentro. Observa que no tiene por qué estar dentro del triángulo.
(1) Halla el Incentro del triángulo.
(2) Halla el Circuncentro del triángulo.
(3) Halla el Baricentro del triángulo.
(4) Halla el Ortocentro del triángulo.
Título: Puntos Notables del triángulo.
Curso:
Alumno:
Nota:
6.
Cuadriláteros.
Diagonales
Cuadrado
Diagonales
Rombo
Diagonales
Rectángulo
Diagonales
Romboide
Base menor
Base mayor
Trapecio
Trapezoide
Se llaman cuadriláteros a las figuras de cuatro lados o cuatro ángulos. Se dividen en:
Cuadrados: Tienen sus lados iguales, diagonales iguales y sus ángulos rectos.
Rectángulos: Tienen sus lados opuestos iguales y paralelos, diagonales iguales y sus ángulos rectos.
Rombos: Tienen sus lados y sus ángulos opuestos iguales. Sus diagonales son desiguales.
Romboides: Tienen sus lados opuestos iguales y paralelos, y sus ángulos opuestos iguales. Tienen sus
diagonales desiguales.
Trapecio: Es el resultado de cortar un triángulo con un corte paralelo a la base mayor. Tiene dos bases
desiguales, y se clasifica de la misma forma que el triángulo de donde procede (rectángulo, obtusángulo,
isósceles), excepto el equilátero, que en realidad se llamaría también isósceles.
Trapezoide: Es el cuadrilátero que no es ninguno de los tipos anteriores.
Casi todos los ejercicios de construcción de cuadriláteros se basan en dividir el cuadrilátero en dos
triángulos y en construirlos uno después del otro según los ejercicios explicados en el capítulo anterior.
Debido a la gran cantidad de problemas de cuadriláteros posibles, se han seleccionado cuatro que
pueden ser un ejemplo de la diversidad de ejercicios que pueden ser resueltos siguiendo la norma
anteriormente citada. La resolución de estos ejercicios no significa que no existan más métodos posibles.
6.1. Construir un cuadrado conociendo su lado.
Lado
Lado
A
Lado
(1)
Lado
(2)
El cuadrado puede hacerse de muchas maneras distintas. Hemos elegido una que comienza hallando
un triángulo a partir de dos lados iguales y del ángulo que forman (en este caso un ángulo recto).
(1) El único dato necesario es el lado, ya que sabemos que todos los lados son iguales y todos los ángulos
son rectos. Colocamos el lado en el lugar elegido.
(2) Sobre un extremo cualquiera se traza la perpendicular. Es preciso tener cuidado y no trazarla torcida, ya
que una desviación es muy fácil de ver. Sobre la perpendicular se transporta el lado, hallándose A, que es
Lado
Lado
B
L
B
A
A
L
Lado
(3)
Lado
(4)
un vértice del cuadrado.
(3 y 4) Pinchando en el otro extremo del lado y en A, se trazan dos arcos de abertura igual al lado. El punto
donde se corten será el vértice que nos queda. Sólo queda trazar el cuadrado.
6.2. Construir un rectángulo conociendo un lado y la diagonal.
Este ejercicio es muy parecido al del cuadrado, y se inicia construyendo un primer triángulo a partir
de dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (el ángulo recto es opuesto a la diagonal). Al formar este
triángulo hallamos el lado que nos faltaba para hallar el último vértice. Construiremos el triángulo que nos
falta conociendo los tres lados (uno de ellos es la diagonal).
(1)
Lado
Lado
Diagonal
Diagonal
Lado
(2)
Lado
(1 y 2) Colocamos el lado en el lugar indicado. Sobre uno de sus extremos levantamos la perpendicular
usando algún sistema de los explicados en el primer tema.
Lado
Lado
Diagonal
Diagonal
(3)
Diagonal
A
L
L
L
(4)
Lado
A
Lado
(3) Pinchando en el otro extremo se traza un arco de abertura igual a la diagonal que va a cortar a la
perpendicular. en un punto (A). A es un vértice del rectángulo, y de paso hemos hallado la distancia (L) del
otro lado del rectángulo.
Lado
Lado
B
Diagonal
A
Lado
(5)
B
Diagonal
A
L
L
(6)
Lado
Lado
(4,5 y 6) Con abertura L y pinchando en el extremo izquierdo del lado, se traza un arco, y desde A y con
abertura igual al lado, otro que corte al anterior en un punto (B). Este punto es el vértice que nos faltaba
para acabar el rectángulo, que trazamos seguidamente.
6.3. Construir un rombo conociendo un ángulo y su diagonal.
Este ejercicio es un poco complicado porque aparentemente no hay suficientes datos. En realidad
sabemos que un rombo tiene sus lados iguales, luego podemos dividirlo en dos triángulos isósceles a cada
lado de la diagonal dada.
Diagonal
A
O
Diagonal
B
C
A
O
B
C
(1)
(2)
(1 y 2) colocamos una recta con un punto D que será el vértice del rombo. Seguidamente se transporta o
copia el ángulo dado en la recta a partir de D.
Diagonal
A
O
Diagonal
B
Diagonal
C
(3)
C
(4)
A
O
D
B
(3 y 4) A éste ángulo le trazamos la bisectriz y sobre ella transportamos la medida de la diagonal a partir de
C. Así hallamos el punto D, que es el vértice del rombo opuesto a C.
A
Diagonal
O
B
Mediatriz de C-D
D
E
A
Diagonal
O
B
D
E
C
C
(5)
(6)
F
F
(5 y 6) Trazamos la mediatriz entre C y D, que nos cortará en un punto de cada lado del ángulo (E y F).
Estos son los dos vértices que faltaban. Se unen los cuatro vértices y el rombo está trazado.
6.4. Construir un trapecio rectángulo conociendo su base mayor, su altura y la
diagonal menor.
Base mayor
Altura
Base mayor
Altura
Diagonal menor
Diagonal menor
(1)
(2)
Base mayor
Base mayor
Base mayor
Altura
Base mayor
Altura
Diagonal menor
Diagonal menor
A
A
(3)
Altura
(4)
Base mayor
Base mayor
(1 y 2) Se coloca la base y se levanta una perpendicular por uno cualquiera de sus extremos.
(3 y 4) Pinchando en el extremo de la perpendicular se traza un arco de abertura igual a la altura que corte
a la perpendicular en un punto (A). Por A se traza una paralela a la base.
Base mayor
Altura
Diagonal menor
Base mayor
Altura
B
Diagonal menor
B
A
A
Diagonal menor
(5)
Base mayor
(6)
Base mayor
(5 y 6) Pinchando en el extremo de la base donde se ha hecho la perpendicular, se traza un arco con
abertura igual a la diagonal menor que corte a la paralela en un punto (B). Los puntos A y B son vértices del
trapecio. Se unen con los de la base mayor y ya está construido.
(4) Construir un trapecio rectángulo
conociendo su base mayor, su altura y su
diagonal menor.
Título: Cuadriláteros.
Curso:
Alumno:
Diagonal menor
Altura
Base mayor
Diagonal
O
A
conociendo un ángulo y su
diagonal.
Diagonal
lado
(3) Construir un rombo
B
(2) Construir un rectángulo conociendo un
lado y la diagonal.
Lado
(1) Construir un cuadrado conociendo su lado.
Nota:
7. Polígonos regulares y estrellados.
Un polígono es cualquier figura plana con más de dos lados o dos ángulos.
Se clasifican según su número de lados. El de tres lados es un triángulo. El de cuatro es un
cuadrilátero. A partir de ese número su nombre es el que indica su número de lados en griego. Por ejemplo,
un pentágono es una figura con cinco lados o ángulos, ya que “penta” significa cinco en griego. Como
“hexa” significa seis, los polígonos de seis lados se llaman hexágonos, y así sucesivamente. El número de
lados mínimo de un polígono es de tres, ya que un “polígono” de dos lados sería en realidad una línea.
pentágono regular
Pentágono irregular
Los polígonos pueden ser regulares o
irregulares. Un polígono es regular cuando
tiene todos sus lados y ángulos iguales.
(la palabra “regular” significa que es siempre
igual). En el ejemplo de la derecha vemos la
diferencia entre un pentágono regular e
irregular. El triángulo equilátero y el
cuadrado, por ejemplo, son polígonos
regulares, puesto que sus lados y ángulos
son siempre iguales.
Polígonos estrellados son aquellos cuyos lados no van directamente de un vértice al de al lado,
sino que se saltan uno o más para formar algo parecido a una estrella. Para que sean de verdad polígonos
estrellados hace falta que el polígono empiece y termine en el mismo punto, pasando por todos los vértices.
En el ejemplo de arriba vemos un auténtico polígono estrellado (un heptágono, polígono de 7 lados) y un
dibujo en forma de estrella de 6 lados que en realidad son dos polígonos normales (triángulos) enfrentados.
Falso Hexágono “estrellado”
Pentágono
estrellado
Heptágonos
estrellados
Heptágono estrellado
Dependiendo del número de lados que tenga el
polígono, el número de polígonos estrellados posibles
es mayor. En el ejemplo de la izquierda vemos el único
pentágono estrellado posible junto a los dos
heptágonos estrellados que se pueden hacer: en el
primero nos hemos saltado un vértice para construirlo,
mientras en el segundo heptágono nos hemos saltado
dos.
En este capítulo aprenderemos algunos sistemas para construir polígonos regulares inscritos en una
circunferencia dada, es decir, que todos sus vértices estén en la circunferencia. Los tres primeros son
sistemas particulares para un sólo número de lados, pero el cuarto es un sistema general, esto quiere decir
que sirve para cualquier número de lados que queramos a partir de tres. Es un ejercicio algo complicado
pero que merece la pena aprender.
Al hacer estos ejercicios es fácil que no salga exacto. Esto es porque un error muy pequeño en el
lado, al multiplicarse por el número de lados, dará una diferencia muy grande en el resultado. Hazlo lo más
cuidadosamente posible y no te preocupes si el error es pequeño.
7.1. Trazar un hexágono inscrito en una circunferencia dada.
(1 y 2) El dato necesario es una circunferencia. Lo primero que hacemos es trazar una diagonal cualquiera,
hallando los puntos A y B.
(2)
(1)
(3 y 4) Con la abertura del compás igual al radio de la circunferencia. trazamos dos arcos desde A y B hasta
hallar los puntos C,D,E y F. Con esto hemos dividido la circunferencia en seis partes iguales, ya que el lado
del hexágono mide lo mismo que el radio de la circunferencia donde está inscrito (circunscrita al hexágono).
Para trazar el hexágono se unen cada uno de estos puntos con los dos más próximos.
B
A
B
D
E
D
(3)
C
B
C
A
E
B
(4)
7.2. Trazar un heptágono inscrito en una circunferencia dada.
B
(1)
A
C
(2)
(1 y 2) Se toma la circunferencia dada y se le traza un diámetro cualquiera. Pinchando en un extremo
cualquiera (A) del diámetro se traza un arco que pase por el centro de la circunferencia y la corte en los
puntos B y C. Se unen éstos con una recta que se cortará con el diámetro en el punto D. La distancia CD
será el lado (L) del heptágono.
B
L
A
C
L
B
D
A
C
L
D
(3)
(4)
(3 y 4) Con el lado L, y desde el punto A, se van hallando con el compás los siguientes puntos, que al unirse
darán el heptágono.
7.3. Trazar un pentágono regular inscrito en una circunferencia dada.
AA
A
D
F
C
(1)
C
(2)
B
B
E
(1 y 2 ) Se parte de la circunferencia. Se traza un diámetro AB cualquiera y su mediatriz, que cortará a la
circunferencia en C.
Desde C se traza un arco que pase por el centro de la circunferencia y que la cortará en D y E. Se unen D y
E con una recta, que cortará a la mediatriz en F.
A
A
D
D
L
F
F
C
(3)
BB
C
(4)
E
E
B
(3 y 4) Desde F se traza un arco que pasa por A y corta a la mediatriz en G. La distancia AG es el lado del
pentágono que buscamos. Sólo queda trazar los lados con el compás y unirlos con rectas.
7.4. Trazar un polígono regular cualquiera inscrito en una circunferencia dada.
A
A
C
(1)
(2)
B
A
B
A
L
L
E
D
C
C
(3)
B
(4)
B
(1 y 2) Como siempre, partimos de la circunferencia como dato. Seguidamente trazamos un diámetro
cualquiera (AB) y lo dividimos en el mismo número de partes iguales que el de lados del polígono que
queremos trazar (En este caso puede ser un pentágono, por lo que lo dividiremos en cinco partes). Desde
los dos extremos de la diagonal (A y B) y con una abertura igual al diámetro de la circunferencia se trazan
dos arcos que se cortarán en un punto (C).
(3 y 4) Desde ese punto C se traza una recta que pasa por el segundo punto (D) de la diagonal contando
desde cualquier extremo (A en este caso). Cuando esta recta corte por segunda vez a la circunferencia, ese
punto (E) estará a una distancia del extremo A igual al lado del polígono que buscamos (L). Sólo queda
marcar los puntos con el compás con abertura L y trazar el polígono.
(1) Dibuja un hexágono inscrito en la
circunferencia.
(2) Dibuja un heptágono inscrito en la
circunferencia.
(3) Dibuja un pentágono inscrito en la
circunferencia.
(4) Dibuja un pentágono inscrito en la
circunferencia por el método general.
Título: Polígonos
Curso:
Alumno:
Nota:
8. Tangencias.
Las tangencias son muy útiles cada vez que se quieren formar figuras en las que se mezclen arcos
entre sí o con rectas. Con las tangencias se calculan los engranajes de las máquinas y la longitud de las
correas de transmisión. También se usan mucho con fines decorativos y de diseño, y cada vez que
queremos trazar alguna figura con formas suaves.
Arco
Puntos
de
tangencia
Recta
Dos figuras son tangentes cuando, al tocarse, las dos líneas tienen la
misma dirección. El punto donde se tocan las figuras se llama Punto de
Tangencia (Figura de la izquierda).
Arco
En el ejemplo de la Figura de la derecha, las dos figuras
que se tocan (ya sean arcos o rectas) sólo son tangentes si en el
punto de encuentro la dirección no cambia.
Normalmente, cuando se habla de figuras tangentes, se
habla de circunferencias, arcos (trozos de circunferencias), rectas,
segmentos de recta y también puntos. Una recta o arco se dice
que es tangente a un punto cuando pasa por él, porque no hay,
naturalmente, ningún cambio de dirección al tocarlo.
No
No
No
Si
Si
Comenzaremos explicando dos leyes fundamentales en las tangencias:
R
1) Una
recta
tangente
a
una
circunferencia
siempre
es
perpendicular a la línea que une el
centro de la circunferencia con el
punto de tangencia (Figura de la
derecha).
T
C
2)
T
Dos circunferencias tangentes tienen siempre el
punto de tangencia y sus dos centros en la misma
recta (Figura de la derecha).
C2
C1
Basándonos en estas dos leyes, vamos a hacer algunos ejercicios básicos de tangencias:
8.1.- Trazar una recta tangente a una circunferencia por un punto T que pertenece a
ella.
T
T
C
T
C
(1)
C
(3)
(2)
El punto T por el que va a pasar la recta es, evidentemente, el punto de tangencia, por tanto,
sabemos que la recta que queremos trazar va a ser perpendicular a la que pasa por el centro (C) de la
circunferencia y por el punto P. Por tanto:
T
C
(4)
(1 y 2) Los datos que nos dan son: una circunferencia y un punto de ella T. Se traza una recta que
pasa por T y por C.
(3 y 4) Con el método que ya hemos aprendido en temas anteriores, se traza la perpendicular a esa
recta que pasa por T. La recta perpendicular es la que nos pedían.
8.2.- Trazar una circunferencia de radio R tangente y exterior a otra dada por un
punto T que pertenece a ella.
R
R
R
R
T
T
C
(1)
T
C
(2)
C
(3)
D
R
D
T
C
(4)
(1) En este caso los datos son los mismos, pero nos piden una circunferencia en lugar de una recta. Para
hacer la circunferencia nos dan su radio.
(2) Como en el ejercicio anterior, trazamos la recta que pasa por el centro y por el punto T.
(3 y 4)Tomando la distancia R con el compás, se pincha en T y se traza un arco que corte a la recta en un
punto (D). En ese punto, y con la misma abertura de compás, se trazará la circunferencia que nos pedían.
8.3.- Trazar una circunferencia tangente a otra dada por el punto T y que pase por el
punto A.
T
T
C
C
A
(1)
A
(2)
(1 y 2) Nos dan una circunferencia de centro C, un punto T que pertenece a ella, y un punto exterior
A. Trazamos la recta que une a C con T, puesto que sabemos que el centro de la circunferencia tangente
que nos piden debe estar en esa recta, como hemos explicado.
T
T
B
B
C
C
A
(3)
A
(4)
T
C
(3) Como el centro de la circunferencia que nos piden debe de estar a la misma distancia de T que
de A ( puesto que la circunferencia debe pasar por los dos), hallamos la mediatriz de los puntos A y T.
(4) La mediatriz cortará a la recta que pasa por C y T en un punto (B). Ese punto es el centro de la
circunferencia que buscamos. Pinchando en B, se traza la circunferencia pasando por T.
8.4.- Enlazar mediante arcos tangentes entre sí un número indeterminado de
puntos.
Este ejercicio es, en realidad, el mismo que el anterior, sólo que se repite con el punto siguiente, y
así hasta el final. El truco está en tener claro cuales son los datos de los que se parten para hacer el
siguiente paso y no confundirse.
A
A
D
B
D
B
C
C
(1)
(2)
(1 y 2) Nos dan una serie de puntos (A,B,C y D). Enlazaremos con un arco cualquiera los dos
primeros puntos (A y B). Para ello trazamos su mediatriz y cogemos un punto cualquiera de ella. Haciendo
centro en él trazamos el primer arco desde A hasta B.
(3) Ahora enlazaremos, con el método del ejercicio anterior, este arco con otro tangente y que pase
por el punto siguiente. Para ello actuaremos como si el arco que pasa por A y B fuese una circunferencia
completa (en realidad da lo mismo). Actuamos paso por paso como en el ejercicio anterior y trazamos el
arco que pasa por B y C.
A
A
D
B
C
(3)
D
B
C
(4)
(4) Ahora es el arco BC el que habrá que enlazar con D mediante otro arco tangente. Tendremos
cuidado de tomar el centro del arco BC y no confundirlo con otros antes de repetir paso por paso el ejercicio
anterior.
(2) Trazar una circunferencia de radio R
tangente a otra dada por un punto T.
D D
(4) Enlazar mediante arcos tangentes entre
sí un número indeterminado de puntos.
A
C
B
T
C
A
(3) Trazar una circunferencia tangente a
otra dada por el punto T y que pase por el
punto A.
C
R
C
T
T
(1) Trazar una recta tangente a la
circunferencia por el punto de tangencia T.
Título: Tangencias.
Curso:
Alumno:
Nota: