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TRIGONOMETRÍA
Ángulos: se denomina ángulo de dos semirrectas de origen común al giro que hay que efectuar para
trasladar una semirrecta sobre otra. Las semirrectas se llaman lados del ángulo y el origen vértice del mismo. Si
la rotación se efectúa en el mismo sentido de las agujas del reloj, el ángulo generado es negativo, si la rotación es
en el sentido contrario de las agujas del reloj el ángulo generado es positivo.
Medida de los ángulos:
a) Sistema sexagesimal
90º
b) Sistema centesimal
100º
0º
180 º
360 º
200 º
270º
c) Sistema radian
0
300º
Clasificación de los ángulos
Nulo
sus lados son semirrectas que coinciden su
medida es 0º
Agudo
su medida es menor de 90º
Llano:
su medida es de 180º
Obtuso
su medida es mayor de 90º
Complementario
la suma de sus amplitudes de los dos ángulos
es 90º.
Suplementario
la suma de sus amplitudes de los dos ángulos
es 180º
Consecutivos:
dos ángulos son consecutivos si tienen un lado
en común.
Opuestos por el
vértice
Alternos Internos:
son los que los lados de uno de ellos son la
prolongación del otro.
π
2
0
π
3π
2π
2
Ángulo complementario
A
B
O
C
Ángulos Consecutivos:
A
B
O
α
C
β
β y α son ángulos alternos internos
L
α
β
L
σ
Correspondientes
σ yπ
L
son ángulos correspondientes
π
L
A
Internos: β y α son ángulos conjugados internos
Conjugados
Externos: π y σ son ángulos conjugados externo
π
A
α
σ
β
L
L
Cuadrantal:
Coterminal
En posición normal
Referencia
es aquel que su lado Terminal del ángulo esta
Angulo en posición
situado en el eje “x” o el eje “y”
normal
son aquellos ángulos en posición normal que
tienen el mismo lado terminal
Lado Terminal
un ángulo con vértice en el origen y con uno de
sus lados, denominado lado inicial, situado en el
Lado Inicial
lado positivo del eje x.
es el ángulo agudo (siempre tomado como
positivo) que forman el lado terminal de y el
eje horizontal.
Formulas:
S
R
=
360º 2π
S=
180º.R
π
(de radianes a grados)
R=
Coterminal
Lado Terminal
β
α
π .S
(de grados a radianes)
180º
Arco de longitud de una circunferencia: si “r” es el radio de una circunferencia y “t” es la medida en radianes de un
ángulo central que intercepta a la curva según un arco de longitud S, entonces: S=r.t
Sector circular: es la región delimitada por un arco de una circunferencia y los lados de un ángulo central.
Área de un sector circular(k): la relación del área del sector circular(k) y el área total de un circulo(π.r2 ), es igual a
la rotación de la longitud de arco(s) y la longitud de la circunferencia(2πr).
k
π . .r
2
=
S
2.π . r
K=
π ..r 2 S
2.π . r
como S = r.t sustituimos K =
K=
r.r..t
2
K=
B
α
O r
rS
2
r 2 .t
2
B
S
A
r = radio de la circunferencia
Diámetro de la circunferencia: D = 2r
p S = r.α
Longitud del arcoAB:
O
r
A
α = ángulo central en radianes
Longitud de la circunferencia: l = 2π r
Área del círculo: A = π r 2
Área del sector circular OABO: A =
r 2α
(zona rayada)
2
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Teorema 1: si α es un ángulo agudo de un triangulo rectángulo, entonces:
Y
x
y
y
cos α =
tg α =
sen α =
r
x
r
r
x
r
ctg α =
sec α =
α
=
csc
r
y
x
y
y
Teorema de Pitágoras: r 2 = x 2 + y 2
α
X
O
x
Teorema 2: si α y β son los lados agudos de un triangulo rectángulo, a y b son, respectivamente, las medidas de
los catetos opuestos a estos ángulos, y c es la medida de la hipotenusa; entonces:
a
b
Y
sen α =
sen β =
b
cos α =
c
c
α
O
tg α =
a
sec α =
X
b
a
b
c
c
tg β =
b
ctg α =
a
c
cscα =
a
c
b
b
a
sec β =
c
a
cos β =
a
c
a
b
c
csc β =
b
ctg β =
De acuerdo con las formulas del teorema 2:
Senα =cos β
cos α=sen β
Como α + β =90º, y
Senα =cos (90º - α)
α = csc (90º - α)
tg α=ctg β
β = 90º - α
ctg α = tg β
sec α =csc β
csc α = sec β
sustituimos β, se obtiene:
cos α =sen (90º - α)
csc α = sec (90º - α) ,
tg α = ctg ( 90º - α )
ctg α = tg (90º - α)
las cofunciones
Signo de los valores
I.-Cuadrante
II.- Cuadrante
y
Sen θ (+), csc θ (+)
θ P(x,y)
0
x
P(x,y) y
Cosθ (+), sec θ (+)
θ
Cosθ (-), sec θ (-)
Tag θ (+), ctg θ (+)
x Tag θ (-) ,ctg θ (-)
III.-Cuadrante
IV.- Cuadrante
Y
P(x,y)
Senθ (+), csc θ (+)
y
θ
Sen θ (-),csc θ (-)
θ
Sen θ (-), csc θ (-)
0
Cosθ (-), sec θ (-)
Cosθ (+), sec θ (+)
Tag θ (+) ,ctg θ (+)
Tag θ (-) ,ctg θ (-)
P(x,y)
sec
ÁNGULOS NOTABLES
SENO
COSENO
30º
45º
60º
1
2
2
2
3
2
3
2
2
2
1
2
1
3
TANGENTE
1
3
ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN
Ángulo de elevación: es el ángulo ( α )cuyo lado inicial es la horizontal de referencia y lado Terminal es la visual
que une el punto del observador “o” con el punto observado “p” que esta por encima de la horizontal de
referencia.
Ángulo de depresión: esta dado por el ángulo (β ) cuyo lado inicial es la horizontal de referencia y lado Terminal
es la visual que une al punto del observador “o”,con el punto observado “p” que esta por debajo de la horizontal
de referencia.
Visual
Horizontal
β
α
Horizontal
Visual
α = Ángulo de elevación
β = Ángulo de depresión
1. − Expresar 32, 5892º en grados,minutos y segundos.
se toma la parte decimal se multiplica por 60 para hallar los minutos → 0, 5892 x 60 = 35, 352 → 35'
se toma la parte decimal y se multiplica por 60 par obtener los segundos → 0, 352 x60 = 21,12 → 21''
32, 5892º = 32º 35 ' 21''
2. − Expresar 35º 21'14 ''en decimales.
se divide los minutos entre 60 y los segundos entre 360 →
3. − 75 grados a cuantos radianes equivale
180
π
1 radian =
grado
1 grado =
radianes
180
π
21
14
= 0, 35 ,
= 0, 0039 ⇒ 35º 21'14 '' = 35, 3539º
60
3600
1 →
π
180
75 → x
x=
75π 5π
5π
=
⇒ 75º =
180 12
12
4. −
π
1 →
π
3
radianes a cuántos grados equivale?
3
180
x=
π
180 π 180
π
. =
= 60º ⇒
= 60º
3
3
π 3
135º
→ x
90º
45º
3π/4
5. − Expresar el ángulo dado en radianes e indicar
en que cuadrante esta ubicado.
π
→ 162º = 162º
b. − 5º 19 '
π/4
0º
180º
225º
=
0º
π
360º
9π
rad II cuadrante
270º
180 10
19  π
319π

rad 0, 03π I cuadrante
→ 5º 19 ' =  5 +  .
=
60  180 10800

a. − 162º
π/2
2π
5π/4
315º
7π/4
3π/2
6. − Obtener la medida en radianes del ángulo positivo más pequeño que sea coterminal con el ángulo de la
medidad dada , trace ambos ángulos.
α y β son coterminales
ya que tienen el mismo
2
2
4
a. − − π → 2π − π = π
3
3
3
b. − 7,15 rad → 2π = 6, 28 luego 7,15 > 6, 28 entonces
7,15 − 6, 28 = 0, 87 rad
α
β
7. − Obtener el valor de las seis funciones trigonometricas del ángulo α en posición normal cuando
a. - p(4,3) está en el lado ternimal de α .
por pitagoras r 2 = x 2 + y 2 ⇒ r = x 2 + y 2 → r = 42 + 32 = 5
r =5 , x= 4, y=3
3
4
senα =
, cos α = ,
5
5
tagα =
3
4
5
5
, ctagα = , sec α = , csc α = ,
4
3
4
3
b. − p ( −1, 4 ) esta en ellado terminal de α .
r = x2 + y 2 → r =
senα =
4
17
( −1)
2
, cos α = −
+ 42 = 17
1
17
,
r = 17
,
x = −1
, y=4
1
17
tagα = −4 , ctagα = − , sec α = − 17 , csc α =
,
4
4
2
y ctg α > 0 obtener las 5 funciones trigonométricas de α .
3
cos α es negativo luego esta en el II o III cuadrante, ctgα es positiva luego esta en el I o III cuadrante.
8. − Si el cos α = −
para cumplir
2 con
x la condición del ángulo esta en el III cuadrante es decir el lado terminal tiene la forma p(- x,- y )
cos α = − =
r siempre es positiva entonces x = -2 , r = 3 , y = ?
3 r
por pitagoras y= ± 5 pero y es negativa entonces x = -2 , r = 3 , y = − 5
5
5
2
3
3 5
senα = −
,
tagα =
, ctagα =
, sec α = − , csc α = −
,
3
2
2
5
5
9. − Determinar el valor de las funciones trigonometricas de los siguientes ángulos.
1
3
, cos 150º = cos 30º = −
,
2
2
2 3
3
tag150º = −tag 30º = −
, ctg150º = −ctg 30º = − 3 ,sec 150º = sec 30º = −
,csc 150º = csc 30º = 2
3
3
3
1
b. - φ = −120º → φ + 120º = 180º → φ = 60
sen ( −120º ) = − sen60º = −
, cos ( −120º ) = − cos 60º = − ,
2
2
3
2 3
tag ( −120º ) = −tag 60º = 3 , ctg ( −120º ) = ctg 60º =
,sec ( −120º ) = sec 60º = −2, csc ( −120º ) = − csc 60º = −
3
3
a. - α = 150º
→ α + 150º = 180º
→ α = 30
sen150º = sen30º =
10. − Resolver cada uno de los siguientes triángulos.
x = x1 − x2
100
300
x
60º
60º
30º
y
x
→ x = 100.cos 60º → x = 50
cos 60º =
100
y
sen60º =
→ 100.sen60 = y → y = 50 3
100
co
co
→ ca =
ca
tag 30º
300 900
ca =
=
= 300 3
3
3
3
x1 ⇒ tag 30º =
X=?
x2 ⇒ tag 60º =
300 300 3
co
co
→ ca =
ca =
=
= 100 3
3
ca
tag 60º
3
x = x1 − x2 → x = 300 3 − 100 3 = 200 3
11. − Desde el borde de un acantilado de 126 m de altura, él ángulo de depresiónde un velero es 20,7º.
¿ a qué distancia del pie del acantilado está dicho bote?
x
20, 7º
20, 7º
co = ca . tag ( opuesto
126m
126 = x.tag 20, 7
126
= x = 333m
tag 20, 7
126m
x
12. − Un edificio tiene una altura de 1250 pie. ¿Cuál es el ángulo de elevación de su último piso desde un punto
de la calle que esta a 5280 pie desde la base del edificio?
co
ca
co = ca.tagα
5280=1250.tagα
tagα =
?
1250
5280
= tagα
1250
→ tagα = 4, 224 ⇒ α = arctag ( 4, 224 ) = 13, 3º
5280
13. − Para ahorrar tiempo, o debido a la carencia de instalaciones para el aterrizaje de los grandes aviones a
propulsiónen algunas partes del mundo, las compañias militares y algunas civiles utilizan el reabastecimiento
aire-aire para algunos aviones. Si el ángulo de elevación de la manguera de reabastecimiento del avión es
φ =30º y b es igual a 120 pies, ¿Cuánto mide la manguera?
c
b
c = b.sec φ
c = 120.sec 30º
sec φ =
c
a
φ
c = 120.
b
2 3
1
1
 2 
= 120.
= 120 
= 120 
 = 80 3

cos 30º
3
 3
 3 
2
14. − Resolver cada uno de los siguientes triángulos.
a
λ
a.- si a = 12 pu lg , α = 63º , β = 38º c = ?
b.- si b = 2.3 mm , α = 34º , a = 1.2mm β = ?
c.- si a = 3.7 pies , α = 47º , b = 3.5 pies α = ?
senα senλ
=
a. −
a
c
asenλ
c=
senα
b
12sen79º
= 13pulg
c=
sen63º
β
α
c
b. −
senβ senα
=
b
a
sen β =
bsenα
a
senβ =
2.3sen34º
≈ 1, 0718 ⇒ β = arcsen (1, 0718 ) ⇒ β ∃
1.2
c. −
senβ senα
=
b
a
sen β =
bsenα
a
senβ =
3.5sen 47º
≈ 0, 6918 ⇒ β = arcsen ( 0, 6918 ) ⇒ β = 44º
3.7
15. − Resolver cada uno de los siguientes triángulos.
a.- si a = 13.9 m , β = 34º 20 ' c = 10m
b.- si = 21.2 m , c = 12m , b = 21.2m α = ?, β = ?, λ = ?
a. − b2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β
→ b=
(13.9 ) + (10 )
2
2
− 2 (13.9 )(10 ) cos 34 º 20 '
b = 7, 98m
 10 sen 34 º 20 ' 
senλ senβ
csenβ 10 sen 34 º 20 '
=
→ senλ =
=
→ λ = arcsen 
 = 45º
c
b
b
7, 98
7, 98


b. − b = a + c − 2ac cos β
2
2
2
 ( 21.2 )2 + (12 )2 − ( 24.6 )2 
 = 91.3º
→ β = arccos 


2 ( 21.2 )(12 )


 21.2 sen 91.3 
→ α = arcsen 
 = 59.5º
24.6


a 2 + c2 − b2
→ cos β =
2ac
senα senβ
asenβ
=
→ senα =
a
b
b
λ = 180º − (α + β ) = 29.2º
16.- Hallar elvalor exacto de
( No usar calculadora ) .
3
4
,cos y = ,x esta en el II cuadrante y y en el I cuadrante.
5
5
4 3
cos ( x + y ) = cos x cos y − senx seny = cos x   −   sen y
5 5
4 ca
3
cos y = =
⇒ h = 5 , x = 4 , y ∈ I cuadrante b es positivo ⇒ b = 52 − 42 = 3 seny =
5 h
5
3 co
4
2
2
senx = = ⇒ h = 5 , y = 3 , x ∈ II cuadrante a es negativa ⇒ a = − 5 − 3 = −4 cos x = −
5 h
5
 4  4   3  3 
cos ( x + y ) = cos x cos y − senx seny =  −   −    = −1
 5  5   5  5 
a.-cos( x + y ) sabiendo que senx =
b.-
cos 45º cos 15º -sen 45º sen15º
cos 45º cos 15º + sen45º sen15º
1
cos 45º cos 15º -sen 45º sen15º cos ( 45º +15º ) cos 60º
3
=
=
= 2 =
cos 45º cos 15º + sen 45º sen15º cos ( 45º −15º ) cos 30
3
3
2
π  π 
c tg   ctg   − 1
 15   10 
c.π 
π 
c tg   + ctg  
 15 
 10 
π  π 
π 
3
c tg   ctg   − 1
cos  
π
π
π
 15   10  = ctg  +  = ctg =
6= 2 = 3


1
15
10
6
π 
π 
π 


c tg   + ctg  
sen  
2
 15 
 10 
6
1 + cos 330º
2
cos 330 º = cos 30 º ángulo de referencia
330º
=−
d .- cos 165º = cos
2
1 + cos 30º
=−
=−
2
1+
3
2 =− 2+ 3
2
2
1
1
1   1 1
e.- sen105º sen15º = cos(105º −15º) −cos(105 +15º) → sen105º sen15º = [cos90º −cos120º] →sen105º sen15º = 0−−  =
2
2
2   2  4
17.- Verificar las siguientes identidades.
a. − sen2 x =
 sen x 
2

cos x 
⇒ sen2 x = 
2
 sen x 
1+ 

2
 cos x 
2 tag x
1 + tag 2 x
2sen x cos x
→ sen2 x = sen2 x
1
sen2 x =
b. − tagx senx + cos x = sec x →
c.- cos 2
 2sen x 


2sen x cos 2 x
 cos x 
2
sen
x
→ sen2 x =
→
=
 cos 2 x + sen 2 x 
cos x ( cos 2 x + sen 2 x )


cos 2 x


senx
sen2 x + cos 2 x
1
senx + cos x = sec x →
= sec x →
= sec x → sec x = sec x
cos x
cos x
cos x
 tagx  1 + cos x tagx + senx
x tagx + senx
1 + cos x tagx + senx
=
→
=
→
=

2
2tagx
2
2tagx
2
2tagx
 tagx 
tagx + tagx cos x tagx + senx
=
→
2tagx
2tagx
tagx +
senx
cos x
tagx + senx
tagx + senx tagx + senx
cos x
=
→
=
2tagx
2tagx
2tagx
2tagx
18.- Resuelva las siguientes ecuaciones trigonométricas
a.- 2sen 2 x + senx = 0
1
a.- 2sen 2 x + senx = 0 → senx ( 2 senx + 1) = 0 → senx = 0 ó 2senx + 1 = 0 ⇒ senx =
2
b.-8 sen 2 x = 5 + 10 cos x
8 sen2 x − 10 cos x − 5 = 0 → 8 (1 − cos 2 x ) − 10 cos x − 5 = 0 → 8 cos 2 x + 10 cos x − 3 = 0 → ( 2 cos x + 3 )( 4 cos x − 1) = 0
2 cos x + 3 = 0
3
cos x = −
2
ó
ó
4 cos x − 1 = 0
1
cos x =
4
c. − sen2 x = senx
2senx cos x = senx
2senx cos x − senx = 0
senx ( 2 cos x − 1) = 0
senx = 0
x = 0, π
ó
2 cos x − 1 = 0
cos x =
π 5π
1
⇒ x= ,
2
3 3