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TRIGONOMETRÍA Ángulos: se denomina ángulo de dos semirrectas de origen común al giro que hay que efectuar para trasladar una semirrecta sobre otra. Las semirrectas se llaman lados del ángulo y el origen vértice del mismo. Si la rotación se efectúa en el mismo sentido de las agujas del reloj, el ángulo generado es negativo, si la rotación es en el sentido contrario de las agujas del reloj el ángulo generado es positivo. Medida de los ángulos: a) Sistema sexagesimal 90º b) Sistema centesimal 100º 0º 180 º 360 º 200 º 270º c) Sistema radian 0 300º Clasificación de los ángulos Nulo sus lados son semirrectas que coinciden su medida es 0º Agudo su medida es menor de 90º Llano: su medida es de 180º Obtuso su medida es mayor de 90º Complementario la suma de sus amplitudes de los dos ángulos es 90º. Suplementario la suma de sus amplitudes de los dos ángulos es 180º Consecutivos: dos ángulos son consecutivos si tienen un lado en común. Opuestos por el vértice Alternos Internos: son los que los lados de uno de ellos son la prolongación del otro. π 2 0 π 3π 2π 2 Ángulo complementario A B O C Ángulos Consecutivos: A B O α C β β y α son ángulos alternos internos L α β L σ Correspondientes σ yπ L son ángulos correspondientes π L A Internos: β y α son ángulos conjugados internos Conjugados Externos: π y σ son ángulos conjugados externo π A α σ β L L Cuadrantal: Coterminal En posición normal Referencia es aquel que su lado Terminal del ángulo esta Angulo en posición situado en el eje “x” o el eje “y” normal son aquellos ángulos en posición normal que tienen el mismo lado terminal Lado Terminal un ángulo con vértice en el origen y con uno de sus lados, denominado lado inicial, situado en el Lado Inicial lado positivo del eje x. es el ángulo agudo (siempre tomado como positivo) que forman el lado terminal de y el eje horizontal. Formulas: S R = 360º 2π S= 180º.R π (de radianes a grados) R= Coterminal Lado Terminal β α π .S (de grados a radianes) 180º Arco de longitud de una circunferencia: si “r” es el radio de una circunferencia y “t” es la medida en radianes de un ángulo central que intercepta a la curva según un arco de longitud S, entonces: S=r.t Sector circular: es la región delimitada por un arco de una circunferencia y los lados de un ángulo central. Área de un sector circular(k): la relación del área del sector circular(k) y el área total de un circulo(π.r2 ), es igual a la rotación de la longitud de arco(s) y la longitud de la circunferencia(2πr). k π . .r 2 = S 2.π . r K= π ..r 2 S 2.π . r como S = r.t sustituimos K = K= r.r..t 2 K= B α O r rS 2 r 2 .t 2 B S A r = radio de la circunferencia Diámetro de la circunferencia: D = 2r p S = r.α Longitud del arcoAB: O r A α = ángulo central en radianes Longitud de la circunferencia: l = 2π r Área del círculo: A = π r 2 Área del sector circular OABO: A = r 2α (zona rayada) 2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Teorema 1: si α es un ángulo agudo de un triangulo rectángulo, entonces: Y x y y cos α = tg α = sen α = r x r r x r ctg α = sec α = α = csc r y x y y Teorema de Pitágoras: r 2 = x 2 + y 2 α X O x Teorema 2: si α y β son los lados agudos de un triangulo rectángulo, a y b son, respectivamente, las medidas de los catetos opuestos a estos ángulos, y c es la medida de la hipotenusa; entonces: a b Y sen α = sen β = b cos α = c c α O tg α = a sec α = X b a b c c tg β = b ctg α = a c cscα = a c b b a sec β = c a cos β = a c a b c csc β = b ctg β = De acuerdo con las formulas del teorema 2: Senα =cos β cos α=sen β Como α + β =90º, y Senα =cos (90º - α) α = csc (90º - α) tg α=ctg β β = 90º - α ctg α = tg β sec α =csc β csc α = sec β sustituimos β, se obtiene: cos α =sen (90º - α) csc α = sec (90º - α) , tg α = ctg ( 90º - α ) ctg α = tg (90º - α) las cofunciones Signo de los valores I.-Cuadrante II.- Cuadrante y Sen θ (+), csc θ (+) θ P(x,y) 0 x P(x,y) y Cosθ (+), sec θ (+) θ Cosθ (-), sec θ (-) Tag θ (+), ctg θ (+) x Tag θ (-) ,ctg θ (-) III.-Cuadrante IV.- Cuadrante Y P(x,y) Senθ (+), csc θ (+) y θ Sen θ (-),csc θ (-) θ Sen θ (-), csc θ (-) 0 Cosθ (-), sec θ (-) Cosθ (+), sec θ (+) Tag θ (+) ,ctg θ (+) Tag θ (-) ,ctg θ (-) P(x,y) sec ÁNGULOS NOTABLES SENO COSENO 30º 45º 60º 1 2 2 2 3 2 3 2 2 2 1 2 1 3 TANGENTE 1 3 ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN Ángulo de elevación: es el ángulo ( α )cuyo lado inicial es la horizontal de referencia y lado Terminal es la visual que une el punto del observador “o” con el punto observado “p” que esta por encima de la horizontal de referencia. Ángulo de depresión: esta dado por el ángulo (β ) cuyo lado inicial es la horizontal de referencia y lado Terminal es la visual que une al punto del observador “o”,con el punto observado “p” que esta por debajo de la horizontal de referencia. Visual Horizontal β α Horizontal Visual α = Ángulo de elevación β = Ángulo de depresión 1. − Expresar 32, 5892º en grados,minutos y segundos. se toma la parte decimal se multiplica por 60 para hallar los minutos → 0, 5892 x 60 = 35, 352 → 35' se toma la parte decimal y se multiplica por 60 par obtener los segundos → 0, 352 x60 = 21,12 → 21'' 32, 5892º = 32º 35 ' 21'' 2. − Expresar 35º 21'14 ''en decimales. se divide los minutos entre 60 y los segundos entre 360 → 3. − 75 grados a cuantos radianes equivale 180 π 1 radian = grado 1 grado = radianes 180 π 21 14 = 0, 35 , = 0, 0039 ⇒ 35º 21'14 '' = 35, 3539º 60 3600 1 → π 180 75 → x x= 75π 5π 5π = ⇒ 75º = 180 12 12 4. − π 1 → π 3 radianes a cuántos grados equivale? 3 180 x= π 180 π 180 π . = = 60º ⇒ = 60º 3 3 π 3 135º → x 90º 45º 3π/4 5. − Expresar el ángulo dado en radianes e indicar en que cuadrante esta ubicado. π → 162º = 162º b. − 5º 19 ' π/4 0º 180º 225º = 0º π 360º 9π rad II cuadrante 270º 180 10 19 π 319π rad 0, 03π I cuadrante → 5º 19 ' = 5 + . = 60 180 10800 a. − 162º π/2 2π 5π/4 315º 7π/4 3π/2 6. − Obtener la medida en radianes del ángulo positivo más pequeño que sea coterminal con el ángulo de la medidad dada , trace ambos ángulos. α y β son coterminales ya que tienen el mismo 2 2 4 a. − − π → 2π − π = π 3 3 3 b. − 7,15 rad → 2π = 6, 28 luego 7,15 > 6, 28 entonces 7,15 − 6, 28 = 0, 87 rad α β 7. − Obtener el valor de las seis funciones trigonometricas del ángulo α en posición normal cuando a. - p(4,3) está en el lado ternimal de α . por pitagoras r 2 = x 2 + y 2 ⇒ r = x 2 + y 2 → r = 42 + 32 = 5 r =5 , x= 4, y=3 3 4 senα = , cos α = , 5 5 tagα = 3 4 5 5 , ctagα = , sec α = , csc α = , 4 3 4 3 b. − p ( −1, 4 ) esta en ellado terminal de α . r = x2 + y 2 → r = senα = 4 17 ( −1) 2 , cos α = − + 42 = 17 1 17 , r = 17 , x = −1 , y=4 1 17 tagα = −4 , ctagα = − , sec α = − 17 , csc α = , 4 4 2 y ctg α > 0 obtener las 5 funciones trigonométricas de α . 3 cos α es negativo luego esta en el II o III cuadrante, ctgα es positiva luego esta en el I o III cuadrante. 8. − Si el cos α = − para cumplir 2 con x la condición del ángulo esta en el III cuadrante es decir el lado terminal tiene la forma p(- x,- y ) cos α = − = r siempre es positiva entonces x = -2 , r = 3 , y = ? 3 r por pitagoras y= ± 5 pero y es negativa entonces x = -2 , r = 3 , y = − 5 5 5 2 3 3 5 senα = − , tagα = , ctagα = , sec α = − , csc α = − , 3 2 2 5 5 9. − Determinar el valor de las funciones trigonometricas de los siguientes ángulos. 1 3 , cos 150º = cos 30º = − , 2 2 2 3 3 tag150º = −tag 30º = − , ctg150º = −ctg 30º = − 3 ,sec 150º = sec 30º = − ,csc 150º = csc 30º = 2 3 3 3 1 b. - φ = −120º → φ + 120º = 180º → φ = 60 sen ( −120º ) = − sen60º = − , cos ( −120º ) = − cos 60º = − , 2 2 3 2 3 tag ( −120º ) = −tag 60º = 3 , ctg ( −120º ) = ctg 60º = ,sec ( −120º ) = sec 60º = −2, csc ( −120º ) = − csc 60º = − 3 3 a. - α = 150º → α + 150º = 180º → α = 30 sen150º = sen30º = 10. − Resolver cada uno de los siguientes triángulos. x = x1 − x2 100 300 x 60º 60º 30º y x → x = 100.cos 60º → x = 50 cos 60º = 100 y sen60º = → 100.sen60 = y → y = 50 3 100 co co → ca = ca tag 30º 300 900 ca = = = 300 3 3 3 3 x1 ⇒ tag 30º = X=? x2 ⇒ tag 60º = 300 300 3 co co → ca = ca = = = 100 3 3 ca tag 60º 3 x = x1 − x2 → x = 300 3 − 100 3 = 200 3 11. − Desde el borde de un acantilado de 126 m de altura, él ángulo de depresiónde un velero es 20,7º. ¿ a qué distancia del pie del acantilado está dicho bote? x 20, 7º 20, 7º co = ca . tag ( opuesto 126m 126 = x.tag 20, 7 126 = x = 333m tag 20, 7 126m x 12. − Un edificio tiene una altura de 1250 pie. ¿Cuál es el ángulo de elevación de su último piso desde un punto de la calle que esta a 5280 pie desde la base del edificio? co ca co = ca.tagα 5280=1250.tagα tagα = ? 1250 5280 = tagα 1250 → tagα = 4, 224 ⇒ α = arctag ( 4, 224 ) = 13, 3º 5280 13. − Para ahorrar tiempo, o debido a la carencia de instalaciones para el aterrizaje de los grandes aviones a propulsiónen algunas partes del mundo, las compañias militares y algunas civiles utilizan el reabastecimiento aire-aire para algunos aviones. Si el ángulo de elevación de la manguera de reabastecimiento del avión es φ =30º y b es igual a 120 pies, ¿Cuánto mide la manguera? c b c = b.sec φ c = 120.sec 30º sec φ = c a φ c = 120. b 2 3 1 1 2 = 120. = 120 = 120 = 80 3 cos 30º 3 3 3 2 14. − Resolver cada uno de los siguientes triángulos. a λ a.- si a = 12 pu lg , α = 63º , β = 38º c = ? b.- si b = 2.3 mm , α = 34º , a = 1.2mm β = ? c.- si a = 3.7 pies , α = 47º , b = 3.5 pies α = ? senα senλ = a. − a c asenλ c= senα b 12sen79º = 13pulg c= sen63º β α c b. − senβ senα = b a sen β = bsenα a senβ = 2.3sen34º ≈ 1, 0718 ⇒ β = arcsen (1, 0718 ) ⇒ β ∃ 1.2 c. − senβ senα = b a sen β = bsenα a senβ = 3.5sen 47º ≈ 0, 6918 ⇒ β = arcsen ( 0, 6918 ) ⇒ β = 44º 3.7 15. − Resolver cada uno de los siguientes triángulos. a.- si a = 13.9 m , β = 34º 20 ' c = 10m b.- si = 21.2 m , c = 12m , b = 21.2m α = ?, β = ?, λ = ? a. − b2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β → b= (13.9 ) + (10 ) 2 2 − 2 (13.9 )(10 ) cos 34 º 20 ' b = 7, 98m 10 sen 34 º 20 ' senλ senβ csenβ 10 sen 34 º 20 ' = → senλ = = → λ = arcsen = 45º c b b 7, 98 7, 98 b. − b = a + c − 2ac cos β 2 2 2 ( 21.2 )2 + (12 )2 − ( 24.6 )2 = 91.3º → β = arccos 2 ( 21.2 )(12 ) 21.2 sen 91.3 → α = arcsen = 59.5º 24.6 a 2 + c2 − b2 → cos β = 2ac senα senβ asenβ = → senα = a b b λ = 180º − (α + β ) = 29.2º 16.- Hallar elvalor exacto de ( No usar calculadora ) . 3 4 ,cos y = ,x esta en el II cuadrante y y en el I cuadrante. 5 5 4 3 cos ( x + y ) = cos x cos y − senx seny = cos x − sen y 5 5 4 ca 3 cos y = = ⇒ h = 5 , x = 4 , y ∈ I cuadrante b es positivo ⇒ b = 52 − 42 = 3 seny = 5 h 5 3 co 4 2 2 senx = = ⇒ h = 5 , y = 3 , x ∈ II cuadrante a es negativa ⇒ a = − 5 − 3 = −4 cos x = − 5 h 5 4 4 3 3 cos ( x + y ) = cos x cos y − senx seny = − − = −1 5 5 5 5 a.-cos( x + y ) sabiendo que senx = b.- cos 45º cos 15º -sen 45º sen15º cos 45º cos 15º + sen45º sen15º 1 cos 45º cos 15º -sen 45º sen15º cos ( 45º +15º ) cos 60º 3 = = = 2 = cos 45º cos 15º + sen 45º sen15º cos ( 45º −15º ) cos 30 3 3 2 π π c tg ctg − 1 15 10 c.π π c tg + ctg 15 10 π π π 3 c tg ctg − 1 cos π π π 15 10 = ctg + = ctg = 6= 2 = 3 1 15 10 6 π π π c tg + ctg sen 2 15 10 6 1 + cos 330º 2 cos 330 º = cos 30 º ángulo de referencia 330º =− d .- cos 165º = cos 2 1 + cos 30º =− =− 2 1+ 3 2 =− 2+ 3 2 2 1 1 1 1 1 e.- sen105º sen15º = cos(105º −15º) −cos(105 +15º) → sen105º sen15º = [cos90º −cos120º] →sen105º sen15º = 0−− = 2 2 2 2 4 17.- Verificar las siguientes identidades. a. − sen2 x = sen x 2 cos x ⇒ sen2 x = 2 sen x 1+ 2 cos x 2 tag x 1 + tag 2 x 2sen x cos x → sen2 x = sen2 x 1 sen2 x = b. − tagx senx + cos x = sec x → c.- cos 2 2sen x 2sen x cos 2 x cos x 2 sen x → sen2 x = → = cos 2 x + sen 2 x cos x ( cos 2 x + sen 2 x ) cos 2 x senx sen2 x + cos 2 x 1 senx + cos x = sec x → = sec x → = sec x → sec x = sec x cos x cos x cos x tagx 1 + cos x tagx + senx x tagx + senx 1 + cos x tagx + senx = → = → = 2 2tagx 2 2tagx 2 2tagx tagx tagx + tagx cos x tagx + senx = → 2tagx 2tagx tagx + senx cos x tagx + senx tagx + senx tagx + senx cos x = → = 2tagx 2tagx 2tagx 2tagx 18.- Resuelva las siguientes ecuaciones trigonométricas a.- 2sen 2 x + senx = 0 1 a.- 2sen 2 x + senx = 0 → senx ( 2 senx + 1) = 0 → senx = 0 ó 2senx + 1 = 0 ⇒ senx = 2 b.-8 sen 2 x = 5 + 10 cos x 8 sen2 x − 10 cos x − 5 = 0 → 8 (1 − cos 2 x ) − 10 cos x − 5 = 0 → 8 cos 2 x + 10 cos x − 3 = 0 → ( 2 cos x + 3 )( 4 cos x − 1) = 0 2 cos x + 3 = 0 3 cos x = − 2 ó ó 4 cos x − 1 = 0 1 cos x = 4 c. − sen2 x = senx 2senx cos x = senx 2senx cos x − senx = 0 senx ( 2 cos x − 1) = 0 senx = 0 x = 0, π ó 2 cos x − 1 = 0 cos x = π 5π 1 ⇒ x= , 2 3 3