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TRIGONOMETRÍA
TEMA 3
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
RECTÁNGULOS
SNI2T3
DESARROLLO DEL TEMA
I.
x
= Tan θ → x = a Tan θ
a
CASOS
a
y
= Sec θ → y = a Sec θ
a
a
C. Tercer caso
a
Si se conoce la medida de un ángulo agudo y la
longitud del cateto opuesto.
II. OBJETIVO
Dato:
Calcula la longitud de los otros dos lados.
Incóg: {x, y}
III. RELACIÓN FUNDAMENTAL
Loquequiero
Loquetengo
{a, θ}
x
= Cot θ → x = a Ctg θ
a
y
= Csc θ → y = a Csc θ
a
= R.T. (O)
=
IV. PROBLEMAS GENERALES
En general:
A. Primer caso
Si se conoce la hipotenusa y la medida de un
ángulo agudo.
a
x
Dato:
{a, θ}
Incóg.:
{x, y}
y
x
= Sen θ → x = a Sen θ
a
y
= Cos θ → y = a Cos θ
a
Nota:
Debemos recordar:
B. Segundo caso
Si se conoce la medida de un ángulo agudo y la
longitud del cateto adyacente.
y
x
Dato:
Senθ =
{a, θ}
Cosθ =
C. A.
H
Tgθ =
C.O.
C. A.
V. ÁREA DE REGIÓN TRIANGULAR
Si en un triángulo se conoce la longitud de 2 lados y la
medida del ángulo que forman dichos lados, se puede
calcular el área (fórmula trigonométrica).
Incóg.: {x, y}
a
SAN MARCOS VERANO 2014 – I
C.O.
H
1
TRIGONOMETRÍA
TEMA 3
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
•
•
S: Área
a
S
S=
b
•
ab
Sen θ
2
Sen θ =
Asignamos vértices al triángulo AC = b (altura).
Desde el vértice (B), trazamos una perpendicular
al lado AC.
Por resolución de triángulos rectángulos:
BH = a Sen θ
Sabemos:
2s
ab
Área =
Nota:
1
(base )( altura)
2
Reemplazando:
La fórmula de área de región triangular, desde el
punto de vista trigonométrico, tiene 4 variables. Por
lo tanto, luego de asignar tres datos y obtener el
cuarto, es posible calcular el seno del ángulo,
teniendo las condiciones necesarias.
S=
1
ab
(b)(aSenθ) =
Senθ
2
2
Nota:
Los catetos e hipotenu sa de todo triángu lo
rectángulo tienen la siguiente forma:
B
Demostración:
a
asen
C
A
H
b
PROBLEMAS RESUELTOS
Aplicando fórmula:
Problema 1
De la figura S1 y S2: áreas. Calcular
an
Senθ
S1
a
= 2
=
S2
bn
b
Senθ
2
S1
.
S2
S1
De la figura: S = Sec2θ
2
S1
S2
A ) Sen θ
B) Cos θ
D) Csc2 θ
E) Sen2 θ
Resolución:
Respuesta: C) Sec2 θ
C) Sec2 θ
Problema 2
De la figura AC = DE = a
Resolución:
Sabemos
a
b
S
S=
En el triángulo ABC,
ab
Senθ
2
asignamos variables en la figura.
a
TEMA 3
S1
n
S2
b
BC
= Cosθ → BC = aCosθ .
a
En el triángulo EBD,
DC = b. Halla b/a.
B) (Cscα – Secθ)
D) (Cscα – Cosθ)
A ) (Senα – Cosθ)
C) (Tgα – Ctgθ)
E) (Cosθ – Cscα)
Análisis del problema:
Se sabe:
TRIGONOMETRÍA
BC
= Senα → BD = aSenα
a
aSenα =aCosθ +b → a(Senα – Cosθ) =b
→ Senα – Cosθ =
b
a
Respuesta: A) (Sen α – Cos θ)
2
SAN MARCOS VERANO 2014 – I
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Problema 3
Dado el triángulo ABC, la expresión
K = ( a +b) CosC +( a + c) CosB +( b + c) CosA
representa a...
A) 2p
B) p
C) p + a
D) p – a
E) p + b
Resolución
De acuerdo con la ley de proyecciones,
se sabe:
Análisis de los datos
Agrupando convencionalmente:
Dado el triángulo ABC:
aCosB + bCosA = c
aCosC + cCosA = b
bCosC + cCosB = a
K =( aCosC + cCosA ) + ( bCosC +cCosB ) +


 


b
aCosB +bCosA )
(


Planteamiento
c
Aplicando la propiedad distributiva:
K = aCosC + bCosC + aCosB + c Cos B
SAN MARCOS VERANO 2014 – I
+ bCosA + c CosA
3
a
K=a+b+c
k: perímetro
Respuesta: B) Perímetro
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