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TRIANGULOS OBLICUANGULOS
Para la resolución de un triángulo oblicuángulo con ángulos X, Y y Z y lados opuestos de
longitudes x, y , z respectivamente, utilizaremos las siguientes fórmulas:
Un triángulo que no es rectángulo se le llama oblicuángulo (*).
Los elementos de un triángulo oblicuángulo son
los tres ángulos A, B y C y los tres lados respectivos, opuestos a los
anteriores, a, b yc.
(*) Oblicuángulo se contrapone a rectángulo, en sentido estricto. Pero
cuando se habla de triángulos oblicuángulos no se pretende excluir al
triángulo rectángulo en el estudio, que queda asumido como caso
particular. No obstante cuando el triángulo es rectángulo, porque se dice
expresamente que lo es, el problema se reduce, tiene un tratamiento
particular y no se aplican las técnicas generales de resolución que
vamos a ver seguidamente.
Un problema de resolución de triángulos oblicuángulos consiste
en hallar tres de sus elementos, lados o ángulos, cuando se
conocen los otros tres (uno de los cuales ha de ser un lado).
Se utilizan tres propiedades:
Suma de los ángulos de un triángulo
A + B + C = 180º
Teorema del seno
a2 = b2 + c2 - 2·b·c·Cos A
Teorema del coseno
b2 = a2 + c2 - 2·a·c·Cos B
c2 = a2 + b2 - 2·a·b·Cos C
Casos en la resolución de triángulos:
CASO
DATOS CONOCIDOS
INCÓGNITAS
I
Los tres lados: a, b, c
Los tres ángulos A,
B, C
II
Un lado y los ángulos
adyacentes: a, B, C
Dos lados y un
ángulo: b, c, A
III
Dos lados y el ángulo formado: a,
b, C
Un lado y dos
ángulos: c, A, B
IV
Dos lados y el ángulo opuesto a
uno de ellos: a, b, A
Un lado y dos
ángulos: c, B, C
OBJETIVOS

Esta unidad didáctica pretende que el alumnado se familiarice con
los distintos casos de resolución y llegue a adquirir la habilidad
para saber de antemano si el problema va a tener o no solución y
cuantas soluciones puede encontrar.

La posibilidad de manipulación de los elementos hasta llegar a la
construcción del triángulo facilitará la comprensión de las
propiedades que han de cumplir los elementos de un triángulo
cualquiera.
Dependiendo
de
los
elementos
que
conozcamos,
nos
encontramos con cuatro tipos de resolución de triángulos
oblicuángulos:
1º. Conociendo un lado y dos ángulos adyacentes a él
De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°.
Calcula los restantes elementos.
2º. Conociendo dos lados y el ángulo comprendido
De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30°.
Calcula los restantes elementos.
3º Conociendo dos lados y un ángulo opuesto
sen B > 1. No hay solución
sen B = 1 Triángulo rectángulo
sen B < 1. Una o dos soluciones
Supongamos que tenemos a, b y A; al aplicar el teorema de los
senos puede suceder:
1. sen B > 1. No hay solución.
Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 8 m.
Como el seno de un ángulo nunca puede ser mayor que 1, el
problema no tiene solución. La figura muestra la imposibilidad
de que exista el triángulo planteado.
2. sen B = 1. Solución única: triángulo rectángulo
Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 6 m.
3. sen B < 1. Una o dos soluciones
Resuelve el triángulo de datos: A = 60°, a = 8 m y b = 4 m.
Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 4 m.
4º. Conociendo los tres lados
Resuelve el triángulo de datos: a = 15 m, b = 22 m y c = 17 m.
EJEMPLO:
Encontrar el área del siguiente triángulo.
Solución: Puesto que la suma de los ángulos internos es 180o, tenemos que C = 180°-35°21°=124°.
Luego encontramos el lado AC por la ley de los senos:
Por lo tanto, el triángulo quedaría así:
Ahora calculamos la altura del triángulo: sen 21° = h/4.84  h = 4.84 sen 21°  h = 1.73.
Por lo tanto, el área del triángulo es: A = (1/2)(7)(1.73) = 6.06 m2.
Cálculo de la distancia entre dos puntos, uno de los cuales
es inaccesible
Se fija en el plano horizontal dos puntos A y C, y se mide la
distancia que los separa: b= 200 m.
Se miden con el teodolito los ángulos A y C. A= 61º 28' y C=
54º 53'.
Cálculo de la altura de un punto de pie inaccesible
Se fija en el plano horizontal dos puntos A y C, y se mide la
distancia que los separa: b= 500 m.
Se miden con el teodolito los ángulos A y C. A= 72º 18' y C=
60º 32'.
También se mide el ángulo HAB = 62º 5'
Cálculo de la distancia entre dos puntos inaccesibles
Se fija en el plano horizontal dos puntos C y D, y se mide la
distancia que los separa: b= 450 m.
Se miden con el teodolito los ángulos C y D. C= 68º 11' y D=
80º 40'.
También se miden los ángulos BCD = 32º 36' y ADC = 43º 52'.
EJERCICIOS PROPUESTOS:
1) Un topógrafo mide los tres lados de un campo triangular y obtiene 114, 165 y 257
metros. ¿Cuánto mide el mayor ángulo del triángulo?
2) Encontrar en el campo en forma de cuadrilátero que se muestra en la figura de abajo: a)
la longitud del cuarto lado b) las medidas de los dos ángulos restantes.
3) Un barco navega 40 km hacia el norte y luego 70 km formando un ángulo de 37° hacia el
norte del este. ¿A qué distancia se encuentra del punto de partida?