Download que B`C`ll BC . AB ⊥ y NF BC ⊥

EJERCICIOS SOBRE PARALELAS
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EJERCICIOS UNIDAD 4. PARALELISMO
1.
2.

En un  XOY se traza su bisectriz OZ . Por

un punto A sobre el lado OX se traza la


paralela a OY , que corta a OZ en B. Probar
que el  AOB es isósceles.
En un
 ABC se traza la bisectriz AD del
A. Por cualquier punto E sobre el lado AB
se traza la paralela a AD , que corta a la
prolongación de CA en F. Demostrar que el
AEF es isósceles.
3.
En un  ABC se trazan las bisectrices del B
y del C que se cortan en un punto I. Por I
se traza DE ll BC , D sobre AB y E sobre
AC . Probar que:
a.
b.
4.
DBI y ECI son isósceles.
Perímetro ADE = AB + AC.
En un  ABC se trazan las bisectrices de los
ángulos exteriores B y C, y la del  A
interior, que concurren en I. Por I se traza
DE ll BC , D y E respectivamente sobre las
prolongaciones de AB y AC . Probar que DE
= BD + CE
5.
En un
 ABC se prolongan los lados BA y
CA , tales que AB'=AB y AC'=AC. Probar
que B'C'll BC .
6.
7.
Probar que si dos ángulos agudos tienen sus
lados respectivamente paralelos, entonces
sus bisectrices son paralelas.
Probar que si dos ángulos, uno agudo y otro
obtuso, tienen sus lados respectivamente
paralelos, entonces sus bisectrices son
perpendiculares.
8.
Probar que dos ángulos agudos con sus lados
respectivamente perpendiculares, tienen sus
bisectrices perpendiculares.
9.
Si dos ángulos, uno agudo y otro obtuso
tienen
sus
lados
respectivamente
perpendiculares, entonces sus bisectrices
son paralelas.
GEOMETRÍA
10. En un  ABC, isósceles de base BC , se
toman sobre los lados iguales, las longitudes
iguales BM y CN . Demostrar que MN ll BC .
11. Probar que la recta que une los pies de las
alturas iguales de un triángulo isósceles, es
paralela a la base.

12. Dado un punto P sobre una recta AB se
toman PM y PN de longitudes iguales, en un

mismo semiplano con respecto a la recta AB
y con igual inclinación con respecto a ella.
Probar que MN ll AB .
13. Si en un cuadrilátero convexo dos ángulos
opuestos son rectos, entonces las bisectrices
de los otros dos ángulos son paralelas.
14. En un cuadrilátero convexo ABCD, tal que
AB=AD,
BC=DC y
AB < BC, los lados
opuestos prolongados se cortan en M y N.
Probar que MN ll BD .
15. Probar que en todo cuadrilátero convexo la
suma de las diagonales es mayor que la suma
de cada par de lados opuestos.
16. Dado un cuadrilátero no convexo BADC con el
D interior mayor que un llano, probar que el
ADC (exterior) es igual a A + B + C
(interiores).
17. En ABC, isósceles de base BC , se toma un
punto cualquiera P sobre BC , y por los puntos
medios M y N de los segmentos BP y PC se
trazan ME  BC y NF  BC , E sobre AB y F
sobre AC . Demostrar que EPF = A.
18. Probar que en un triángulo rectángulo la
altura relativa a la hipotenusa divide al ángulo
recto en dos ángulos iguales a los ángulos
agudos del triángulo.
19. Si en un triángulo rectángulo, la altura y la
mediana relativas a la hipotenusa forman un
ángulo de 20°, hallar sus ángulos agudos.
20. Si el ángulo entre las bisectrices de los
ángulos de la base de un triángulo isósceles
C.A.V.A.
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EJERCICIOS SOBRE PARALELAS
es igual al ángulo opuesto a la base, ¿ cuánto
mide cada uno de los ángulos del triángulo ?.
21. Si un triángulo rectángulo tiene un ángulo de
30° entonces la mediana y la altura relativas
a la hipotenusa, dividen al ángulo recto en
tres ángulos iguales.


22. Sobre los lados OX y OY de un ángulo
recto, se toman los puntos A y B. Se trazan

 
las rectas AM y BN , (M sobre OY , N sobre

OX ), que forme cada una un ángulo de 30°
con un lado del ángulo recto y que se corten
en D. Demostrar que el AND y el BMD son
isósceles.
23. Probar que en todo triángulo rectángulo la
bisectriz del ángulo recto es bisectriz del
ángulo formado por la mediana y la altura
relativas a la hipotenusa. Construir un
triángulo rectángulo dadas las longitudes de
la altura y la bisectriz que parten del vértice
del ángulo recto.
24. Calcular los ángulos agudos de un triángulo
rectángulo, si la bisectriz del ángulo recto es
congruente con el cateto menor. Construir
un triángulo rectángulo que cumpla esta
propiedad, conociendo únicamente la medida
de la altura sobre la hipotenusa.
25. Demostrar que las tres alturas de un
triángulo dividen a sus ángulos en ángulos
iguales dos a dos.
26. En un ABC se designan los ángulos por 2a,
2b y 2c. La bisectriz AE forma con BC , dos
ángulos adyacentes m y n, (m > n).
a.
Probar que m - n = 2 b - 2 c
b.
Se traza la altura AH
Probar que HAE = b – c
27. En un ABC, B=72° y
ángulos que forman:
sobre BC .
C=30°. Hallar los
a.
Las alturas de dos en dos.
b.
Las bisectrices de dos en dos.
28. En un ABC, rectángulo en A, se trazan la
altura AH relativa a BC , HD  AB
y
a.
DE=AH.
b.
AM  DE (M punto medio de BC )
29. En un  ABC, rectángulo en A, el B es igual
a 2/5 del ángulo recto, calcular los ángulos
que la hipotenusa forma con su mediana y con
la bisectriz del ángulo recto.
30. En un  ABD se tiene que B=2D. Se
traza la altura AH y se prolonga AB hasta E

con BE=BH. Se traza la recta EH que corta
a AD en F. Demostrar que: FHD=FDH y
FAH=AHF.
31. En un ABC, rectángulo en A, AH es la altura
relativa a BC , HD  AB ,
HE  AC y AM
mediana. Prolongando EH y AM se cortan
en F. Se traza BF . Probar que:
a.
AHB=BFA
b.
BF ll DE
c.
 

Las rectas AH , BF y MN concurren,
(N punto medio de AB )
32. En un
ABC, isósceles de base BC , se
prolonga BC tal que CD=AB y se prolonga AB

tal que BE=BC/2. Se traza la recta EHF ,
con H punto medio de BC y F sobre AD .
Probar que:
a.
ADB= 1/2 ABC
b.
EA=HD
c.
FA=FD=FH
d.
Si
BAC=58°, calcular el valor del
AFH y del ADB.
33. En un ABC, rectángulo en A, se construye
MAB=B, con M sobre BC . Pruebe que
AM=BM=CM.
34. En un  ABC, rectángulo en A, se prolonga
CA en una longitud igual a AD. Por D se
traza DH  BC con H sobre BC y cortando a

la recta AB en G. Probar que CG  DB .
35. En un ABC, rectángulo en A, AB < AC, se
traza la altura AH y se toma D sobre la
hipotenusa con HD=HB. Desde C se traza
HE  AC . Probar que:
GEOMETRÍA
C.A.V.A.
EJERCICIOS SOBRE PARALELAS
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CE  AD . Demostrar que BC es la bisectriz
del ACE.
36. ¿ En un triángulo isósceles podrá ocurrir que
las bisectrices de los ángulos iguales sean
perpendiculares ?. ¿ Porqué ?.
37. Encontrar con regla y compás los puntos del
plano que están a una distancia dada de dos
rectas secantes dadas.
GEOMETRÍA
C.A.V.A.