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EJERCICIOS SOBRE PARALELAS 1 EJERCICIOS UNIDAD 4. PARALELISMO 1. 2. En un XOY se traza su bisectriz OZ . Por un punto A sobre el lado OX se traza la paralela a OY , que corta a OZ en B. Probar que el AOB es isósceles. En un ABC se traza la bisectriz AD del A. Por cualquier punto E sobre el lado AB se traza la paralela a AD , que corta a la prolongación de CA en F. Demostrar que el AEF es isósceles. 3. En un ABC se trazan las bisectrices del B y del C que se cortan en un punto I. Por I se traza DE ll BC , D sobre AB y E sobre AC . Probar que: a. b. 4. DBI y ECI son isósceles. Perímetro ADE = AB + AC. En un ABC se trazan las bisectrices de los ángulos exteriores B y C, y la del A interior, que concurren en I. Por I se traza DE ll BC , D y E respectivamente sobre las prolongaciones de AB y AC . Probar que DE = BD + CE 5. En un ABC se prolongan los lados BA y CA , tales que AB'=AB y AC'=AC. Probar que B'C'll BC . 6. 7. Probar que si dos ángulos agudos tienen sus lados respectivamente paralelos, entonces sus bisectrices son paralelas. Probar que si dos ángulos, uno agudo y otro obtuso, tienen sus lados respectivamente paralelos, entonces sus bisectrices son perpendiculares. 8. Probar que dos ángulos agudos con sus lados respectivamente perpendiculares, tienen sus bisectrices perpendiculares. 9. Si dos ángulos, uno agudo y otro obtuso tienen sus lados respectivamente perpendiculares, entonces sus bisectrices son paralelas. GEOMETRÍA 10. En un ABC, isósceles de base BC , se toman sobre los lados iguales, las longitudes iguales BM y CN . Demostrar que MN ll BC . 11. Probar que la recta que une los pies de las alturas iguales de un triángulo isósceles, es paralela a la base. 12. Dado un punto P sobre una recta AB se toman PM y PN de longitudes iguales, en un mismo semiplano con respecto a la recta AB y con igual inclinación con respecto a ella. Probar que MN ll AB . 13. Si en un cuadrilátero convexo dos ángulos opuestos son rectos, entonces las bisectrices de los otros dos ángulos son paralelas. 14. En un cuadrilátero convexo ABCD, tal que AB=AD, BC=DC y AB < BC, los lados opuestos prolongados se cortan en M y N. Probar que MN ll BD . 15. Probar que en todo cuadrilátero convexo la suma de las diagonales es mayor que la suma de cada par de lados opuestos. 16. Dado un cuadrilátero no convexo BADC con el D interior mayor que un llano, probar que el ADC (exterior) es igual a A + B + C (interiores). 17. En ABC, isósceles de base BC , se toma un punto cualquiera P sobre BC , y por los puntos medios M y N de los segmentos BP y PC se trazan ME BC y NF BC , E sobre AB y F sobre AC . Demostrar que EPF = A. 18. Probar que en un triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa divide al ángulo recto en dos ángulos iguales a los ángulos agudos del triángulo. 19. Si en un triángulo rectángulo, la altura y la mediana relativas a la hipotenusa forman un ángulo de 20°, hallar sus ángulos agudos. 20. Si el ángulo entre las bisectrices de los ángulos de la base de un triángulo isósceles C.A.V.A. 2 EJERCICIOS SOBRE PARALELAS es igual al ángulo opuesto a la base, ¿ cuánto mide cada uno de los ángulos del triángulo ?. 21. Si un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 30° entonces la mediana y la altura relativas a la hipotenusa, dividen al ángulo recto en tres ángulos iguales. 22. Sobre los lados OX y OY de un ángulo recto, se toman los puntos A y B. Se trazan las rectas AM y BN , (M sobre OY , N sobre OX ), que forme cada una un ángulo de 30° con un lado del ángulo recto y que se corten en D. Demostrar que el AND y el BMD son isósceles. 23. Probar que en todo triángulo rectángulo la bisectriz del ángulo recto es bisectriz del ángulo formado por la mediana y la altura relativas a la hipotenusa. Construir un triángulo rectángulo dadas las longitudes de la altura y la bisectriz que parten del vértice del ángulo recto. 24. Calcular los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, si la bisectriz del ángulo recto es congruente con el cateto menor. Construir un triángulo rectángulo que cumpla esta propiedad, conociendo únicamente la medida de la altura sobre la hipotenusa. 25. Demostrar que las tres alturas de un triángulo dividen a sus ángulos en ángulos iguales dos a dos. 26. En un ABC se designan los ángulos por 2a, 2b y 2c. La bisectriz AE forma con BC , dos ángulos adyacentes m y n, (m > n). a. Probar que m - n = 2 b - 2 c b. Se traza la altura AH Probar que HAE = b – c 27. En un ABC, B=72° y ángulos que forman: sobre BC . C=30°. Hallar los a. Las alturas de dos en dos. b. Las bisectrices de dos en dos. 28. En un ABC, rectángulo en A, se trazan la altura AH relativa a BC , HD AB y a. DE=AH. b. AM DE (M punto medio de BC ) 29. En un ABC, rectángulo en A, el B es igual a 2/5 del ángulo recto, calcular los ángulos que la hipotenusa forma con su mediana y con la bisectriz del ángulo recto. 30. En un ABD se tiene que B=2D. Se traza la altura AH y se prolonga AB hasta E con BE=BH. Se traza la recta EH que corta a AD en F. Demostrar que: FHD=FDH y FAH=AHF. 31. En un ABC, rectángulo en A, AH es la altura relativa a BC , HD AB , HE AC y AM mediana. Prolongando EH y AM se cortan en F. Se traza BF . Probar que: a. AHB=BFA b. BF ll DE c. Las rectas AH , BF y MN concurren, (N punto medio de AB ) 32. En un ABC, isósceles de base BC , se prolonga BC tal que CD=AB y se prolonga AB tal que BE=BC/2. Se traza la recta EHF , con H punto medio de BC y F sobre AD . Probar que: a. ADB= 1/2 ABC b. EA=HD c. FA=FD=FH d. Si BAC=58°, calcular el valor del AFH y del ADB. 33. En un ABC, rectángulo en A, se construye MAB=B, con M sobre BC . Pruebe que AM=BM=CM. 34. En un ABC, rectángulo en A, se prolonga CA en una longitud igual a AD. Por D se traza DH BC con H sobre BC y cortando a la recta AB en G. Probar que CG DB . 35. En un ABC, rectángulo en A, AB < AC, se traza la altura AH y se toma D sobre la hipotenusa con HD=HB. Desde C se traza HE AC . Probar que: GEOMETRÍA C.A.V.A. EJERCICIOS SOBRE PARALELAS 3 CE AD . Demostrar que BC es la bisectriz del ACE. 36. ¿ En un triángulo isósceles podrá ocurrir que las bisectrices de los ángulos iguales sean perpendiculares ?. ¿ Porqué ?. 37. Encontrar con regla y compás los puntos del plano que están a una distancia dada de dos rectas secantes dadas. GEOMETRÍA C.A.V.A.