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MATEMÁTICA
Unidad 2
División de polinomios
Triángulos
Factorización
Objetivos de la unidad:
Interpretarás la realidad, valorando y utilizando el lenguaje
algebraico y propondrás soluciones a problemáticas a través de la
división de polinomios y cociente notables.
Construirás soluciones a situaciones problemáticas del aula y
del entorno utilizando los triángulos, con sus teoremas y rectas
notables, valorando la opinión de los demás.
55
División de polinomios
Método convencional
División sintética
Cocientes notables
Triángulos
Rectas y puntos notables
Semejanza de triángulos
Concepto
Casos
Igualdad de triángulos
Concepto
Casos
Factoreo
Factor común (monomio y polinomio)
Trinomio cuadrado perfecto
Trinomio factorizable de la forma x2 + bx + c
Trinomio de la forma ax2 + bx + c
Descripción del Proyecto
Al finalizar la unidad aplicarás los conceptos estudiados para darle solución a una
situación del entorno.
56 Matemática - Octavo Grado
Lección 1
Segunda Unidad
División de polinomioS
Motivación
Una fábrica de alimentos empaca su producto en cajas
de formas cúbicas que poseen volúmenes de 125x3, dichas
cajas son empacadas en un recipiente cúbico de 1500x12 de
volumen. ¿Cuántas cajas caben en el recipiente grande?
¿Cómo puedes resolver esta situación? Efectuando una
división, es decir: 1500x12 ÷ 125x3...
12
Al operar tienes: 1500 x = 12 x 12−3 = 12 x 9
125 x 3
(Revisa el punto de apoyo en esta página)
Caben 12x9 cajas.
Indicadores de logro:
Realizarás con seguridad la división de polinomios entre
monomios.
Aplicarás y explicarás con seguridad las propiedades de las
potencias en la división de polinomios.
Resolverás problemas usando la división de polinomios.
Demostrarás perseverancia en la solución de problemas
utilizando la división sintética.
División de polinomio entre monomio
El esquema básico de la división de polinomios es el
mismo utilizado en aritmética.
Efectúa 15 ÷ 3
Obtienes que 15 ÷ 3 = 5, lo que también puedes expresar
15
así: = 5
3
Ahora, realiza (8 + 20 − 12) ÷ 4
Puedes efectuarla de dos formas:
8 + 20 − 12 16
a)
= =4
4
4
8 20 −12
+ +
= 2+ 5−3= 4
4 4
4
Observa que los resultados son iguales.
b)
Aplícalo, ahora a una expresión algebraica.
Punto de apoyo
Recuerda que en la división algebraica debes usar la
propiedad de cociente de potencias de igual base:
an
= a n −m
am
Octavo Grado - Matemática 57
UNIDAD 2
Ejemplo 1
José, encargado de una bodega tiene que cargar un
contenedor que tiene una capacidad de 100x21 más otro
contenedor de 50x12 de volumen los cuales contienen
material almacenado en cajas de 5x3 de volumen, ¿cómo
crees que José encontrará la cantidad de cajas que irán
en los contenedores?
Solución:
Mediante una división, que la planteas así:
(100 x 21 + 50 x 12 ) ÷ ( 5 x 3 )
Al efectuar la operación obtienes:
100 x 21 + 50 x 12 100 x 21 50 x 12
=
+
= 20 x 21−3 + 10 x 12−3 = 20 x 18 + 10 x 9
3
3
3
5x
5x
5x
A partir de este ejercicio, puedes observar que:
Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio
entre el monomio y sumas algebraicamente los cocientes que resultan.
Ejemplo 2
Efectúa:
( 9a 6b 5 − 6 a 5b 4 + 12a 4b 3 ) ÷ ( 3a 3b 2 )
Solución:
9a 6b 5 6 a 5b 4 12a 4b 3
−
+
= 3a 3b 3 − 2a 2b 2 + 4 ab
3a 3b 2 3a 3b 2 3a 3b 2
1
Actividad
Realiza las siguientes divisiones:
a)
( 9a 6b 5 − 6 a 5b 4 + 12a 4b 3 ) ÷ ( 3a 3b 2 ) c)
 2a 4 3a 3 5a   a 
 3 − 2 + 3  ÷  3 
b)
(16 c 8 − 8c 7 − 12c 4 + 4 c 3 ) ÷ ( 2c 3 ) d)
(14 m 3 n 2 +
58 Matemática - Octavo Grado
4 m 2n 3
− 3mn 4 ) ÷ ( mn )
5
UNIDAD 2
División de polinomio entre polinomio
El área de la pizarra está expresada por el polinomio
x2 + 5x + 6; sabes que el ancho mide x + 2 .¿cuál es el
largo de la pizarra?
¿Cómo puedes resolver esto? El área del rectángulo es
igual al producto de la base por la altura, es decir:
A = bh
En este caso, conoces el área y la altura, entonces tienes
A
que al despejar la base queda así: b =
h
Esto significa que para darle solución a la situación
planteada, tienes que efectuar la operación:
x2 + 5x + 6 ÷ x + 2
Para realizar la división procedes de la siguiente manera:
Paso 1
x 2 + 5x + 6 x + 2
Paso 2 x 2 + 5x + 6 x + 2
x
Paso 3
x 2 + 5x + 6 x + 2
− x 2 − 2x
0 + 3x
Paso 4
x 2 + 5x + 6 x + 2
− x 2 − 2x ↓
0 + 3x + 6
Paso 5
x
x
x 2 + 5x + 6 x + 2
− x 2 − 2x ↓ x + 3
0 + 3x + 6
Paso 6
x 2 + 5x + 6 x + 2
− x 2 − 2x ↓ x + 3
0 + 3x + 6
− 3x − 6
0 0
Ordenas los polinomios descendentemente con respecto al exponente de
la letra, no siempre se da el caso que los polinomios tengan completo sus
términos, entonces se coloca un cero en el lugar del término que falta.
Divides el primer término del dividendo entre el primer termino del
divisor y el resultado es el primer término del cociente, así: x2 ÷ x = x
Ahora, multiplicas el cociente calculado (x), por el divisor:
x(x + 2) = x2 + 2xy lo restamos del dividendo.
La resta da un residuo de 3x.
Luego a este residuo, agregas (bajas) el término que falta del dividendo,
en este caso particular es 6.
Observa que el residuo no es cero y que el exponente de la variable es
igual al del divisor.
Después de observar el residuo, nota que puedes continuar la división.
Regresa entonces al paso 2 y efectúa.
Multiplica 3(x + 2) = 3x + 6, luego restas y llegas a un residuo cero.
En este caso la división es exacta.
Si el residuo no es cero y el mayor exponente del mismo es menor que el
exponente del divisor, el cociente es inexacto y la división termina.
El largo de la pizarra es x + 3. Si el valor de x es 0.30 m: ¿Cuál es el ancho y el largo de la
pizarra? De seguro llegarás a la respuesta: ancho = 2.3 m y largo = 3.3 m
Octavo Grado - Matemática 59
UNIDAD 2
Ejemplo 3
Ejemplo 5
Encuentra la base de una pared que tiene un área de
6x2 + 11x + 4 con la altura señalada en la figura.
Efectúa – 2x2 + 5x + 3x3 −12 ÷ – 5 + x2 – 3x
Solución:
3 x 3 − 2 x 2 + 5 x − 12 x 2 − 3 x − 5
− 3 x 3 + 9 x 2 + 15 x
2x+1
0 + 7 x 2 + 20 x − 12
− 7 x 2 + 21x + 35
0 + 41x + 23 Residuo
Solución:
Así como el ejemplo anterior, tienes que la operación a
realizar es:
3x + 7
6x2 + 11x + 4 ÷ 2x + 1
Sigue los pasos descritos anteriormente, y compara tu
respuesta con la siguiente:
Como podrás observar has llegado a obtener un
cociente inexacto por que tienes un residuo diferente
de cero.
El resultado de esta división es 3x + 7 con residuo
41x + 23.
6 x 2 + 11x + 4 2 x + 1
− 6 x 2 − 3x
8x + 4
− 8x − 4
0
Observa
3x + 4
0 La base de la pared es 3x + 4
Observa que para hacer la división de polinomios
primero tienes que ordenar los polinomios de
forma descendente con respecto al exponente de
la variable.
Ejemplo 4
Efectúa a3 − a ÷ a + 1
2
¿Cómo lo resolverías?
Recuerda que si hacen falta términos, los sustituimos
con ceros.
a3 + 0 − a a + 1
− a3 − a2
a2 − a
0 − a2 − a
+ a2 + a
0
Efectúa las siguientes divisiones.
a)
5a 2 + 8ab − 21b 2 entre a + 3b
b)
4 x 3 + 5 x - 6 entre 2 x - 3
c)
4 c 3 + 5 + 4 c 2 - 13c entre 2c + 5
d)
10 x + 8 x 3 + 1 entre 4 x + 2
e)
6 x 4 + 13 x 3 + 15 x - 6 entre 2 x 2 - x + 2
El resultado es a2 − a
60 Matemática - Octavo Grado
Actividad
UNIDAD 2
División sintética
Recuerda que para efectuar una división, tanto el
dividendo como el divisor deben estar ordenados en
forma decreciente.
c)
Ubica estos coeficientes en la siguiente posición.
1 - 5
+ 3 +
14
3
Ejemplo 6
Luego multiplica el término independiente del divisor
que es 3 por 1 y lo colocas debajo del segundo término
que es – 5 luego lo sumas y obtienes –2.
Divide x3 − 5x2 + 3x + 14 entre x − 3
Solución:
Primero efectúa siguiendo el proceso anterior.
x 3 − 5 x 2 + 3 x + 14
− x 3 + 3x 2
x −3
x 2 − 2x − 3
0 − 2x 2 + 3x
+ 2x 2 − 6 x
0 − 3 x + 14
+ 3x − 9
5
¿De qué otra forma se puede resolver?
Observa ahora, ésta forma de hacer la división:
a) Separa solamente los coeficientes y el término
independiente.
De x3 − 5x2 + 3x + 14 Obtienes 1 − 5 + 3 + 14
b)
Luego analiza el divisor x – 3.
De este término, sólo utilizarás el término
independiente –3 pero con signo contrario, en este caso
particular será 3.
1 - 5
+ 3
+
14
3
3
1 - 2
Ahora, se multiplica 3 por –2 y obtienes –6, lo colocas
debajo del término 3, efectúa la suma y obtienes – 3,
continuando este proceso, multiplicas este resultado por
3 y obtienes – 9 que sumado con 14 resulta 5.
1 - 5
+ 3
+
14
3
1- 2
- 6 - 3 +
9
5
3
El resultado final es 1 – 2 –3 + 5, el polinomio resultante
tendrá como coeficientes 1 – 2 –3 y el último número,
en este caso 5, será el residuo. El grado del polinomio
será disminuido en 1.
1 - 5
+ 3
+
14
+ 3 - 6 1 - 2 - 3 +
9
5
3
Residuo
El resultado se escribe así: x2 – 2x − 3, que es el cociente
que obtuviste al principio y con residuo 5.
Al procedimiento anterior se le denomina división
sintética o división abreviada. Este procedimiento
se puede utilizar en la división de polinomios en una
variable con divisor de la forma x – a.
Octavo Grado - Matemática 61
UNIDAD 2
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Divide 5x4 + 3x2 – 6 entre x + 2
Efectúa: a 3 − 2a 2 + 9 entre a + 2
Solución:
Solución:
Primero separa los coeficientes, verificando que los
términos del polinomio estén completos:
5 + ? + 3 + ?–6
Los coeficientes y el término independiente son:
Nota que hacen falta dos términos que luego los
sustituyes con ceros, así:
5+0+3+0−6
Identifica el término independiente del divisor y lo
utilizas con su signo contrario, en este caso es – 2.
Ahora aplica el proceso anterior de la división sintética:
5 + 0 + 3 + 0 –
6
–2
Tomas el resultado final, 5 −10 23 – 46 + 86, donde
5 −10 23 – 46 serán los coeficientes del polinomio
cociente y 86 será el residuo.
El grado del polinomio cociente estará disminuido en 1
o sea quedará grado 3.
Entonces el resultado es:
5x3–10x2 + 23x – 46 con residuo de 86.
5 x 3 − 10 x 2 + 23 x − 46 +
62 Matemática - Octavo Grado
1 –2
1 –4
–10 + 23 –46 + 86
Lo que también se puede expresar así:
Aplica el proceso de división sintética:
0
9
–2
– 2 + 8 –16
–10 + 20 –46 + 92
5
1 – 2 0 9, ubica 0 en el término que falta.
86
x +2
+8
–7
Los números obtenidos son los coeficientes del cociente,
excepto el último que es el residuo.
El grado del polinomio cociente queda disminuido en 1.
Entonces el resultado es:
a 2 − 4 a + 8 con residuo – 7, lo que también puede
expresarse así:
7
a 2 − 4a + 8 −
a +2
UNIDAD 2
3
Actividad
Efectúa las siguientes divisiones, utilizando la división sintética:
a)
x 3 + 2 x 2 + x + 2 entre x - 2
b)
m 4 - 5m 3 + 4 m - 48 entre m + 2
c)
−6 − 20a 2 + 2a 4 −3a 3entre 3 + a
d)
2a 4 − a 3 − 18a 2 − 7 entre a + 3
e)
8b 5 − 3b 2 − 1 entre b − 1
Resumen
En esta lección repasaste la división de polinomios entre monomios. El cociente de un polinomio
por un monomio es igual a un polinomio cuyos términos son los que se obtienen de dividir cada
término del polinomio por el monomio.
Cuando dividistes polinomio entre polinomio hiciste los siguientes pasos:
a) Ordenaste los polinomios descendentemente con respecto a una letra, no siempre se da el caso
que los polinomios tengan completo sus términos, entonces colocaste un cero en el lugar del
término que falta.
b) Dividiste el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y el resultado es el
primer término del cociente.
c) Multiplicaste el cociente del primer término dividiendo entre el primer término del divisor
calculado, por el divisor y lo restaste del dividendo.
La resta dio un resultado.
d) Luego a este resultado, agregaste (bajaste) el término que falta del divisor. Observaste que el
residuo no es cero.
e) Observaste el residuo, si el exponente de la variable es mayor o igual al del divisor, puedes
continuar la división. Regresa entonces al paso 2.
f) Si el residuo es cero, la división es exacta. Si el residuo no es cero y el mayor exponente del mismo
es menor que el exponente del divisor, el cociente es inexacto y la división termina.
Octavo Grado - Matemática 63
UNIDAD 2
Autocomprobación
c)
a n xa m = a n +m d)
c)
2 + 3m
b) 2 – 3m
d)
3m – 2
m4
n 3 n2
n
n2
n
a) Efectúo la división sintética entre −3.
a n axa ...xa n
=
b m bxb ...bn
b) No se puede usar la división sintética por que hay
un divisor grado 2.
c) Verifico si los términos del polinomio están
completos y luego efectúo la división sintética.
d) Efectúo la división sintética entre 3 por que
siempre se le cambia signo al coeficiente divisor.
a m m ÷n
=a
an
3. d.
b)
a m m −n
=a an
a) 3m + 2 encontrar el cociente de:
44 Para
9 +18 −4 +24 −16 entre 2 + 4 −3
Para dividir polinomios nos debemos de auxiliar
de la propiedad:
a)
Al efectuar 15m 2 + 12 − 28m entre 5m – 6
resulta:
2. a.
3
3x
es:
4
4 x 16 8
+ −
9 9 x
4x
− 8x + 1
9
entre
1. c.
2
x 2 4x
+ -6
3 3
9x 8 1
+ − x c)
a)
4 9 2
4x 1
b)
− x + 1 d)
9 2
El cociente de
Soluciones
1
4. b.
UN POCO DE HISTORIA
En el siglo X vivió el gran algebrista musulmán
Abu Kamil, quien continuó los trabajos de AlJwarizmi y cuyos avances en el álgebra serían
aprovechados en el siglo XIII por el matemático
italiano Fibonacci.
Durante este mismo siglo, el matemático
musulmán Abul Wafa al Bujzani, hizo comentarios
sobre los trabajos de Diofanto y Al-Jwarizmi
y gracias a ellos, los europeos conocieron la
Aritmética de Diofanto.
Al-Jwarizmi
64 Matemática - Octavo Grado
Lección 2
Segunda Unidad
Cocientes Notables
Motivación
R osa necesita un marco para colocar el dibujo de un
paisaje que tiene forma rectangular, cuya área es x2 – 16,
si su base mide x – 4, ¿cómo encontrarías la medida de
la altura?
Para encontrar la respuesta tienes que recordar que el
área de un rectángulo es:
A=bh
Como en este caso conoces la base, entonces tienes que
despejar la altura así:
A
h = Ahora, sustituye los datos de la situación
b
planteada:
x 2 − 16
h=
=x +4 Entonces la altura mide x + 4
x −4
Indicadores de logro:
Resolverás problemas aplicando el cociente de la diferencia
de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la
diferencia de dichas cantidades con confianza.
Resolverás problemas aplicando el cociente de la suma o
diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o la
diferencia de dichas cantidades.
Resolverás con seguridad problemas aplicando el cociente
de la suma o diferencia de potencias iguales de dos
cantidades, entre la suma o diferencia de las cantidades.
Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma
o la diferencia de dos cantidades
German piensa como
encontrar la longitud
de una tabla que tiene
la forma rectangular
si sabe que el área está
representada por el
polinomio:
x2 − y2, y el ancho es x − y
¿Cómo puede resolver German?
x2 − y2
y su cociente
Decide dividir x2 – y2 entre x –y ó
x
−
y
será la longitud.
x2 − y2
x− y
x2 − y2
o sea
=x + y
x− y
− x 2 + xy
x+ y
xy − y 2
− xy + y 2
0
Octavo Grado - Matemática 65
UNIDAD 2
Ejemplo 2
¿De que otra forma puede resolver?
Notarás que el cociente no es más que el mismo
denominador o divisor con signo contrario, o sea que
no es necesario hacer todo el procedimiento de cociente
de polinomios basta con poner el divisor con signo
diferente.
4 a 2 − 9b 2c 4
Encuentra por simple inspección:
2a − 3bc 2
Solución:
Aplicando la regla:
4 a 2 − 9b 2c 4
= 2a + 3bc 2
2a − 3bc 2
A partir de las situaciones anteriores, se tiene que a todo
cociente que obedece a reglas fijas y que pueden ser
escritos por simple inspección se les llama “Cocientes
Notables”
De lo anterior concluyes que el cociente:
x2 − y2
=x − y
x+ y
Solución:
Ejemplo 3
Efectúa por simple inspección:
16 − 25m 2
4 − 5m
Aplicando la regla tenemos que:
16 − 25m 2
= 4 + 5m
4 − 5m
Observa
Regla
La diferencia de los cuadrados de dos cantidades
dividida entre la suma de las cantidades es igual a la
diferencia de las cantidades.
Ejemplo 1
1
Actividad
Efectúa por simple inspección:
a)
9 x 2 − 25
3x + 5
c)
49 y 2 − 36 z 2
7 y −6z
b)
16b 2 − c 2
4b − c
d)
81a 2 − 100
9a + 10
Encuentra el cociente por simple inspección de:
25n2 − 36 entre 5n + 6
Solución:
Al aplicar la regla anterior obtenemos 5n − 6, ya que
25n 2 = 5n y 36 = 6
Entonces:
25n 2 − 36
= 5n − 6
5n + 6
Observa
Regla
La diferencia de los cuadrados de dos cantidades
dividida entre la diferencia de dichas cantidades es
igual a la suma de las cantidades.
66 Matemática - Octavo Grado
UNIDAD 2
Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la
suma o la diferencia de dos cantidades
Si el volumen de dos cubos está representado por a3 y b3,
y su suma la quieres dividir entre la suma de sus aristas,
es decir entre a + b.
=
b
a
+
Ejemplo 4
Encuentra el cociente de:
27 x 3 + 1 ( 3 x )3 + 13
=
3x + 1
3x + 1
Solución:
Al aplicar la regla: ( 3 x ) − ( 3 x )(1) + (1) y
resolviendo primero las potencias y luego los productos
que quedan indicados, llegas a obtener el cociente.
2
a
a3
¿Cómo lo harías?
b
a
b
b3
+
a3 + 0 + 0 + b3
− a 3 − a 2b
=
a +b
a 2 − ab + b 2
− a 2b
+ a 2b + ab 2
ab 2 + b 3
− ab 2 − b 3
0
De esta división observas que:
La suma de los cubos de dos cantidades dividida por
la suma de las cantidades es igual al cuadrado de la
primera cantidad menos el producto de la primera por la
segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
a3 +b3
?
¿De qué otra forma puedes resolver
a +b
3
3
Aplicando la regla: a + b = a 2 − ab + b 2
a +b
2
Entonces tienes:
27 x 3 + 1
= ( 3 x )2 − ( 3 x )(1) + (1)2 = 9 x 2 − 3 x + 1
3x + 1
Ejemplo 5
Encuentra el cociente de:
64 m 3 n 6 + 27
4 mn 2 + 3
Solución:
Aplicas la regla
2
3
2
64 m 3 n 6 + 27 ( 4 mn ) + 3
=
= ( 4 mn 2 ) − ( 4 mn 2 )( 3 ) + ( 3 )2
2
2
4 mn + 3
4 mn + 3
3
=16m2n4 – 12mn2 + 9
Entonces tienes:
64 m 3 n 6 + 27
= 16 m 2 n 4 − 12mn 2 + 9
4 mn 2 + 3
Punto de apoyo
La propiedad potencias de potencias es:
(an )m = anm
Octavo Grado - Matemática 67
UNIDAD 2
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Encuentra por simple inspección el cociente de:
125m 3 − n 3 ( 5m )3 − n 3
Efectúa:
=
5m − n
5m − n
Solución:
8a 3 + 125
2a + 5
Solución:
Aplicando la regla tenemos:
125m 3 − n 3
= ( 5m )2 + ( 5m )( n ) + ( n )2
5m − n
= 25m2 + 5mn + n2
Aplicas la regla:
8a 3 + 125 ( 2a )3 + 53
=
= ( 2a )2 − ( 2a )( 5 ) + 52
2a + 5
2a + 5
= 4 a 2 − 10a + 25
Entonces tienes:
8a 3 + 125
= 4 a 2 − 10a + 25
2a + 5
Entonces:
125m 3 − n 3
= 25m 2 + 5mn + n 2
5m − n
Ejemplo 8
La diferencia de los cubos de dos
cantidades dividida por la diferencia
de las cantidades
a −b
=
a −b
3
Sigamos estudiando otro cociente notable
a 3 + 0 + 0 −b 3
− a 3 − a 2b
a −b
3
a 2 + ab + b 2
+ a 2b
+ a 2b + ab 2
ab 2 − b 3
− ab 2 + b 3
0
Luego concluyes que:
a −b3 2
= a + ab + b 2
a −b
3
Observa
La regla es:
La diferencia de los cubos de dos cantidades
dividida por la diferencia de las cantidades es igual
al cuadrado de la primera cantidad más el producto
de la primera por la segunda, más el cuadrado de la
segunda cantidad.
68 Matemática - Octavo Grado
Efectúa:
1 ,000a 3b 9 − 27 x 6
10ab 3 − 3 x 2
Solución:
3
2
1 ,000a 3b 9 − 27 x 6 (10ab ) − ( 3 x )
=
10ab 3 − 3 x 2
10ab 3 − 3 x 2
3
3
= (10ab 3 ) + (10ab 3 )( 3 x 2 ) + ( 3 x 2 )
2
= 100a 2b 6 + 30ab 3 x 2 + 9 x 4
Entonces:
1 ,000a 3b 9 − 27 x 6
= 100a 2b 6 + 30ab 3 x 2 + 9 x 4
3
2
10ab − 3 x
2
UNIDAD 2
Actividad
2
Encuentra el cociente aplicando reglas, es decir, por simple
inspección de:
n 3x 3 +1
a)
nx + 1
b)
125 + 64 y 3
5+ 4 y
c)
8a 9 + y 9
2a 3 + y 3
27 p 12 − 8r 3
d)
3 p 4 − 2r
e)
1 − n 21
1− n 7
f)
27 m 3 − 125n 3
3m − 5n
Cociente de la suma o diferencia
de dos potencias iguales de
dos cantidades entre la suma o
diferencia de esas cantidades
Para seguir dividiendo potencias mayores que 3 como
un cociente notable, puedes hacerlo, siempre y cuando
se conozcan algunas leyes para este tipo de cociente.
Por regla general tienes:
a4 − b4 3 2
1.
= a + a b + ab 2 + b 3
a −b
2.
a4 −b4 3 2
= a − a b + ab 2 − b 3
a +b
a5 − b5 4 3
3.
= a + a b + a 2b 2 + ab 3 + b 4
a −b
4.
a5 − b5 4 3
= a − a b + a 2b 2 − ab 3 + b 4
a +b
Observa
De lo anterior puedes concluir que:
La diferencia de dos potencias iguales, ya sean pares
o impares es siempre divisible por la diferencia de
an − bn
las bases.
, para n par o impar, y el total de
a −b
términos del cociente es igual al exponente (número)
de los términos del dividendo o el numerador.
Ejemplo 9
Efectúa:
x 5 − 32
x −2
Solución:
x 5 + 32
=(x )4 + (x )3 (2) + (x )2 (2)2 + (x )(2) 3 + (2) 4
x +2
= x 4 + (x )3 (2) + (x )2 (4) + (x )(8) + 16
= x 4 + 2 x 3 + 4 x 2 + 8 x + 16
Entonces:
x 5 − 32 4
= x + 2 x 3 + 4 x 2 + 8 x + 16
x −2
Octavo Grado - Matemática 69
UNIDAD 2
Ejemplo 10
Efectúa:
x 6 − 64
x +2
Solución:
x 6 − 64
= (x )5 –( x )4 (2) + (x )3 (2)2 − (x )2 (2)3 + (x )(2)4 − (2) 5
x +2
= x 5 − (x 4 )(2) + (x 3 )( 4 ) –(x 2 )(8) + (x )(16 ) − 32
= x 5 – 2 x 4 + 4 x 3 − 8 x 2 + 16 x – 32
Observa que el cociente tiene 6 términos igual que el exponente del dividendo.
Punto de apoyo
La suma de potencias iguales pares nunca es divisible por la suma ni por la
diferencia.
Estos son algunos ejemplos que no puedes hacer como cocientes notables ya que
no son divisibles:
x6 + y6
,
x+ y
x6 + y6
,
x− y
x8 + y8
,
x+ y
x8 + y8
x− y
Ejemplo 11
Efectúa:
x 7 +1
x +1
Solución:
x 7 +1
= (x )6 –(x )5 (1) + (x )4 (1)2 − (x )3 (1)3 + (x )2 (1)4 − (x )(1)5 + (1)6
x +1
= x 6 –x 5 + x 4 –x 3 + x 2 − x + 1
Punto de apoyo
a4 +b4
= no se puede porque no es exacta la división.
a +b
a4 +b4
= no se puede porque no es exacta la división.
a −b
70 Matemática - Octavo Grado
UNIDAD 2
Actividad
Encuentra el cociente por simple inspección de:
64 m 8 + 1
a)
2m 2 + 1
d)
x4 + y4
x2 + y2
b)
100 x 4 − 1
10 x 2 − 1
e)
243h 5 − 32
3h − 2
c)
x 4 − 16
x −2
f)
512a 9 + b 9
2a + b
3
Resumen
De todo lo anterior tenemos:
x2 − y2
=x − y
x+ y
La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida entre la
suma de las cantidades es igual a la diferencia de las cantidades.
x2 − y2
=x + y
x− y
La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida entre la
diferencia de dichas cantidades es igual a la suma de las cantidades.
x3 + y3 2
= x − xy + y 2
x+ y
La suma de los cubos de dos cantidades dividida por la suma de
las cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el
producto de la primera por la segunda, más el cuadrado de la
segunda cantidad.
x3 − y3 2
= x + xy + y 2
x− y
La diferencia de los cubos de dos cantidades dividida por la diferencia
de las cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad mas
el producto de la primera por la segunda, más el cuadrado de la
segunda cantidad.
a4 − b4 3 2
= a + a b + ab 2 + b 3
a −b
4
a −b4 3 2
= a − a b + ab 2 − b 3
a +b
a5 − b5 4 3
= a + a b + a 2b 2 + ab 3 + b 4
a −b
La diferencia de dos potencias iguales, ya sean pares o impares es
siempre divisible por la diferencia de las bases.
La diferencia de potencias iguales pares es siempre divisible por la
suma de las bases.
La diferencia de potencias iguales impares es siempre divisible por la
diferencias de las bases.
a5 +b5 4 3
= a − a b + a 2b 2 − ab 3 + b 4 La suma de potencias iguales impares es siempre divisible por la suma
de las bases.
a +b
Octavo Grado - Matemática 71
UNIDAD 2
Autocomprobación
27a 6 + 1
se obtiene:
3a 2 + 1
3
9a 4 − 3a 2 + 1
b) 9a 4 + 3a 2 + 1
c) 3a 4 − 3a 2 + 1
4
2
d) 9a + 3a − 1
a)
Toda aquella división de polinomios que
cumple con ciertas reglas fijas y su cociente
se puede escribir por simple inspección se
conocen algebraicamente como:
a) Divisiones exactas de polinomios
b) Cocientes notables
c) Productos notables
d) Divisiones inexactas
4
b 7 − 128
Cuando efectuamos
obtenemos:
b −2
8a 3 + 12a 2b + 18ab 2 + 27b 3
6
5
4
3
2
b) b + 2b − 4b + 8b − 16b + 32b − 64
c) b 6 − 2b 5 + 4b 4 − 8b 3 + 16b 2 − 32b + 64
d) b 6 + 2b 5 + 4b 4 + 8b 3 + 16b 2 + 32b + 64
a)
2. b.
2
16 a 4 − 81b 4
es:
2a − 3b
8a 3 − 12a 2b + 18ab 2 − 27b 3
b) 8a 3 + 12a 2b − 18ab 2 + 27b 3
c) 2a 3 + 6 a 2b + 6 ab 2 + 3b 3
d) 8a 3 + 12a 2b + 18ab 2 + 27b 3
a)
El resultado de efectuar
1. a.
Al efectuar
Soluciones
1
3. d.
4. d.
EL LENGUAJE ALGEBRAICO
En las civilizaciones antiguas se escribían las
expresiones algebraicas utilizando abreviaturas
sólo en ocasiones; sin embargo, en la edad
media, los matemáticos árabes fueron capaces
de describir cualquier potencia de la incógnita
x, y desarrollaron el álgebra fundamental de
los polinomios, aunque sin usar los símbolos
modernos. Esta álgebra incluía multiplicar, dividir y
extraer raíces cuadradas de polinomios, así como
el conocimiento del teorema del binomio.
72 Matemática - Octavo Grado
Lección 3
Segunda Unidad
Triángulos, rectas y puntos notables
Motivación
Una persona que diseña su casa desea que la fachada de la entrada
principal tenga forma de triangulo, pero los constructores le piden que elija
que tipo de triángulo le gustaría que sea la fachada; ¿sabes cuántos tipos de
triángulo hay?
Indicadores de logro:
Resolverás con precisión problemas aplicando el teorema
“la suma de los ángulos exteriores de un triángulo es igual
a 360º“.
Determinarás y explicarás con seguridad el circuncentro de
un triángulo cualquiera.
Determinarás y explicarás con seguridad el incentro de un
triángulo cualquiera.
Determinarás y explicarás con seguridad el baricentro de un
triángulo cualquiera.
Para dar una respuesta a la interrogante definiremos:
¿Qué es triángulo?
Primero lo que es ángulo: es la abertura que forman en
un plano dos semirrectas unidas en un punto llamado
vértice.
Es un polígono de tres lados. Los puntos donde éstos se
cortan se llaman vértices. Un triángulo se designa con el
símbolo ∆ se puede representar como ∆ABC donde las
letras están representando sus vértices.
¿Cómo se clasifican los triángulos?
Por la medida de sus lados
Por la medida de sus ángulos
Equilátero:
Acutángulo:
Es el que tiene sus tres lados iguales.
Es el que tiene sus tres ángulos agudo.
Isósceles:
Rectángulo:
Es el que tiene dos lados iguales..
Es el que está formado por un ángulo recto.
Escaleno:
Obtusángulo:
Es el que tiene sus tres lados desiguales.
Si tiene un ángulo obtuso.
Octavo Grado - Matemática 73
UNIDAD 2
Teorema de Pitágoras
El siguiente diagrama ilustra una de las demostraciones
más conocidas del Teorema de Pitágoras.
Al despejar uno de los catetos se tiene:
2
2
a 2 = c 2 − b 2 luego: a = c − b
Ejemplo 1
Luís quiere saber la medida del tensor del poste que
está frente a su casa la cual tiene una altura de 3 m,
la distancia que hay del poste a la base del tensor es
de 4 m.
Los ángulos de un triángulo generalmente se
representan con letras griegas minúsculas como:
θ(teta), β(beta), α (alfa)
Pitágoras observó que en un triángulo rectángulo se
cumple que el cuadrado de la longitud del lado mayor es
igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los
otros dos lados.
En un triángulo rectángulo, se pueden distinguir los
siguientes elementos:
3m
Tensor
4m
Solución:
¿Cómo se puede resolver?
Utilizando el teorema de Pitágoras.
c = x 2 + y 2 x = 4, y = 3
Cateto
Luego sustituyes en el teorema y resulta:
Hipotenusa
c = 4 2 + 32 c = 16 + 9 = 25 = 5 c = 5
R: La medida del tensor es 5 m.
Cateto
Tres lados: dos catetos y una hipotenusa.
Tres ángulos: dos son agudos y el otro es un ángulo
recto.
El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo
rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de los dos catetos. Si un triángulo
rectángulo tiene catetos de longitudes a y b, y la medida
de la hipotenusa es c, se establece que:
c 2 = a 2 + b 2 al despejar el valor de la hipotenusa tienes:
c = a2 +b2
74 Matemática - Octavo Grado
UNIDAD 2
Ejemplo 2
¿Cuál será la altura de la casa de José que proyecta en un momento determinado una
sombra de 5 m y la distancia que hay del techo al extremo de la sombra es de 9 m?
Distancia 9 m
x = 5 m sombra
Solución:
¿Qué haces para resolver?
Primero identificas cual lado hace falta.
Denominas “y” a la altura y utilizas, c 2 = x 2 + y 2
es decir: y = c 2 − x 2
Sustituyes c = 9 y x = 5 para encontrar “y”.
y = 92 − 52 = 81 − 25 = 56 = 7.5
Esto indica que la altura de la casa mide 7.5 m
Actividad
1
a) Construye un triángulo de cada tipo: isósceles, obtusángulo,
escaleno, acutángulo y equilátero.
b) En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide
sus catetos 4 cm, ¿cuánto mide el otro cateto?
8 cm y uno de
c) Una escalera de 5 m de longitud se coloca contra una pared, de
manera que su extremo inferior está a 3 m de la base de la pared.
¿A qué altura de la pared está apoyada?
d) Los catetos de un triángulo rectángulo miden 8 cm y 6 cm.
¿Cuánto mide la hipotenusa?
Octavo Grado - Matemática 75
UNIDAD 2
Teorema: la suma de los ángulos exteriores de un triángulo es igual a 360º
Los ángulos exteriores de un triángulo son los que se
forman con uno de sus lados y la prolongación de otro.
Así en la figura, se tiene que para el triángulo ABC, los
ángulos internos son: α, β, y θ . Sus ángulos externos son:
θ'
Aplica el teorema:
Encuentra la suma de los ángulos exteriores del
siguiente triángulo:
3
C
70̊
θ
A
α'
α
β
β1
50̊
B
1
60̊
2
Así tienes que si:
∠α , ∠β y ∠θ son los ángulos interiores del triángulo
El ángulo 1 es igual a 180 º − 60 º = 120 º
ABC y ∠α ', ∠β ' , ∠θ ' son los ángulos exteriores del
triángulo ABC.
El ángulo 2 es igual a 180 º − 50 º = 130 º
Entonces:
Si ∠1 = 120º , ∠2 = 130º y ∠3 = 110º
∠α + ∠α ' = 180º por ser adyacentes (suplementarios)
Entonces al sumar 120 º + 130 º + 110 º = 360 º
∠β + ∠β ' = 180º por ser adyacentes (suplementarios)
Ejemplo 3
∠θ + ∠θ ' = 180º por ser adyacentes (suplementarios)
Determina el valor de cada ángulo exterior del siguiente
triángulo.
x
Al efectuar la suma tenemos:
∠α + ∠β + ∠θ + ∠α ' + ∠β ' + ∠θ ' = 540 º
El ángulo 3 es igual a 180 º − 70 º º = 110 º
∠α + ∠β + ∠θ = 180 º
Entonces: 180 º + ∠α ' + ∠β ' + ∠θ ' = 540 º
∠α ' + ∠β ' + ∠θ ' = 540 º − 180 º
∠α ' + ∠β ' + ∠θ ' = 360 º
Punto de apoyo
La suma interna de los ángulos de todo
triángulo es 180º
2x
Solución:
2x
Sabes que la suma de los ángulos exteriores es igual a
360 º, entonces:
∠ x + ∠ 2 x + ∠ 2 x = 360 0
5 x = 360
0
Los ángulos miden: 144º, 144º y 72º
76 Matemática - Octavo Grado
360 0
x =
;
5
x = 720
UNIDAD 2
Rectas y puntos notables
Alturas: la altura de un triángulo es el segmento de recta perpendicular, trazada desde
cada vértice al lado opuesto o sus prolongaciones.
Observa la figura, se han trazado las tres alturas, son rectas perpendiculares que parten
del vértice al lado opuesto.
A
R
Q
O
B
C
P
Dichas alturas se cortan en un mismo punto que se le llama ortocentro.
A
C
Ortocentro
hc
B
A
B
En un triángulo acutángulo, el
ortocentro es un punto interior
del triángulo.
c
ha
C
hb
H
Ortocentro
En un triángulo obtusángulo, el
ortocentro es un punto exterior
del triángulo.
a
Ortocentro
b
En un triángulo rectángulo,
el ortocentro es el vértice del
ángulo recto.
Octavo Grado - Matemática 77
UNIDAD 2
Medianas
Bisectrices
En un triángulo, son las rectas que se trazan desde el
vértice hasta el punto medio del lado opuesto.
Bisectriz es el segmento que divide al ángulo en dos
partes iguales.
Observa el triángulo de la figura, AP , BQ y CR son las
medianas de los lados, BC AC y AB respectivamente.
El punto donde se intersecan las medianas se
llama baricentro.
Trazamos un ángulo. Lo medimos con un
transportador y señalamos un punto M en la mitad del
arco que abarca.
B
A
M
R
Q
g
O
P
A
C
B
C
P
Mediatrices
Mediatriz es la perpendicular trazada en el punto medio
de cada lado, es decir, que divide al segmento en dos
partes iguales.
Las mediatrices de un triángulo son las perpendiculares
trazadas en el punto medio de cada uno de sus tres lados.
En la figura se ha dibujado la mediatriz de cada lado.
Con una regla puedes hallar el punto medio M.
O
m
B
La perpendicular al segmento AB por el punto de
intersección de las mediatrices se le llama circuncentro.
El circuncentro se encuentra a igual distancia de los tres
vértices del triángulo, verifícalo.
78 Matemática - Octavo Grado
Cada punto de la bisectriz está a igual distancia de
los lados del ángulo si P es un punto de la bisectriz, se
cumple que:
PA = PB
En todo triángulo, el punto de intersección de la
bisectrices se llama incentro.
C
A
A
B
La semirrecta OM, que divide al ángulo en dos partes
iguales es la bisectriz.
UNIDAD 2
2
Actividad
a) Dibuja un triángulo obtusángulo y ubica el ortocentro.
b) Dibuja un triángulo obtusángulo y otro rectángulo. Señala el circuncentro en cada uno de ellos.
c) Construye un triángulo cualesquiera y ubica el incentro, luego verifica que este punto esté a igual
distancia de los lados.
Resumen
En esta lección estudiaste lo siguiente:
Por sus ángulos.
Teoremas:
Equilátero.
Isósceles.
Escaleno.
Acutángulo.
Rectángulo.
Obtusángulo.
Por sus lados.
Triángulo:
Pitágoras, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
dos catetos:
c 2 = a 2 +b 2
La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es igual a 360º
En todo triángulo:
Rectas notables
Puntos notables
Altura
Son las rectas que se trazan desde el
vértice y son perpendiculares al lado
opuesto.
Ortocentro donde se cortan las
alturas.
Mediana
Son las rectas que se trazan desde el
vértice hasta el punto medio del lado
opuesto.
Baricentro donde se intersectan
las medianas.
Mediatriz
Son las perpendiculares que se trazan en Circuncentro donde se
el punto medio de cada lado del triángulo. intersectan las mediatrices.
Bisectriz
Son las rectas que dividen un ángulo en
dos partes iguales.
Incentro donde se intersectan
las bisectrices.
A cada triángulo corresponden tres
bisectrices, una para cada ángulo.
Octavo Grado - Matemática 79
UNIDAD 2
Autocomprobación
3
La suma de los ángulos internos de cualquier
triángulo es igual a:
a) 360º
a) Circuncentro
180º
c) 270º
d) 90º
b) Baricentro
b)
c) Incentro
d) Ortocentro
4
Los triángulos que poseen un ángulo obtuso y
dos agudos son:
La suma de los ángulos externos de los triángulos es:
a) 360º
a) Acutángulos
180 º
c) 270 º
d) 90 º
b)
b) Rectángulos
c) Obtusángulos
d) Escálenos
1. b.
2
El punto de intersección de las alturas de un
triángulo se llama:
Soluciones
1
2. c.
3. d.
4. a.
APLICACIONES DE PITÁGORAS
El teorema de Pitágoras es de mucha utilidad en la
resolución de problemas de la vida cotidiana.
Por ejemplo:
Galileo Galilei, utilizó el teorema de Pitágoras para
determinar la medida de algunas
montañas lunares.
La altura de un edificio, sabiendo la medida de la
sombra que proyecta y la distancia del punto más
alto del edificio al extremo de la sombra.
Bajar frutos de un árbol y se quiere construir una
escalera que sea capaz de alcanzarlos, sabiendo
la altura a la que se encuentran los frutos y la
distancia del árbol a la base de la escalera.
Galileo Galilei
80 Matemática - Octavo Grado
Lección 4
Segunda Unidad
Criterios de igualdad y semejanza de triángulos
Motivación
Los triángulos además de clasificarse por sus lados y sus ángulos,
también pueden compararse para determinar si son iguales o
semejantes a partir de sus lados y ángulos.
Recorta dos triángulos como el siguiente, coloca uno sobre el otro,
observarás que coinciden en todas sus partes.
Se dice entonces que estos triángulos son iguales porque tienen la
misma forma e igual tamaño.
Indicadores de logro:
Resolverás problemas aplicando los criterios de igualdad
de triángulos.
Determinarás y explicarás con seguridad la semejanza
de triángulos.
Resolverás problemas aplicando la semejanza de triángulos.
Criterios de igualdad
Para que dos triángulos sean iguales o congruentes, no
es necesario demostrar la igualdad de sus tres lados y sus
tres ángulos iguales.
Estudiarás algunos criterios para determinar si son
iguales partiendo de sus lados y sus ángulos.
El término congruencia es utilizado para indicar la
igualdad entre dos figuras geométricas.
Dos triángulos iguales son congruentes.
¿Cómo haces para decidir si dos lados son homólogos o
congruentes entre si?
Los lados homólogos son los que ocupan la misma
posición en ambos triángulos.
AB ≅ KL , BC ≅ LM y CA ≅ MK ; además sus ángulos
también son congruentes:
θ ≅θ ' , α ≅ α ' , y β ≅ β '
El símbolo que utilizarás para establecer congruencia es ≅
De esto se concluye que ∆ ABC ≅ ∆ KLM
¿Qué observas en los triángulos ABC y MLK?
A
α’
C
K
θ’
θ
β’
B
M
α
β
L
Octavo Grado - Matemática 81
UNIDAD 2
Criterio Lado Ángulo Lado (LAL)
Dos triángulos son iguales si tienen dos lados iguales y
el ángulo comprendido entre ellos respectivamente es
congruente.
Criterio Ángulo Lado Ángulo (ALA)
Dos triángulos son iguales si tienen dos ángulos y el lado
que los subtiende respectivamente congruentes.
Así tenemos:
AB ≅ DE , AC ≅ DF , ∆ ABC ≅ ∆ DEF
C
F
β
β''
E
B
β
β
A
α B
θ
D
α'' E
θ''
Luego esto se simboliza así:
Con base a lo anterior puedes afirmar que :
∠A ≅ ∠D y AC ≅ DF y ∠C ≅ ∠F , también lo
puedes plantear de esta manera:
θ ≅ θ " y AC ≅ DF y α ≅ α "
∆ ABC ≅ ∆ DEF por LAL
Por lo tanto ∆ ABC ≅ ∆ DEF por ALA.
α
θ
A
C
D
α
θ
F
Ejemplo 1
Criterio Lado – Lado – Lado (LLL)
Verifica si los triángulos :
Dos triángulos son iguales si sus lados correspondientes
son congruentes.
∆ ABC ≅ ∆ DEF porque AB ≅ DE
BC ≅ EF y AC ≅ DF
∆ ABC ≅ ∆ KLM , son iguales.
C
M
α
A
θ
α
β
B
K
β
θ
L
Solución:
Observa que AC ≅ LK y AB ≅ LM y α ≅ α " por lo
tanto ∆ ABC ≅ ∆ KLM tanto por LAL.
Por consecuencia también:
θ ≅θ" α ≅ α " y β ≅ β"
Por lo tanto ∆ ABC ≅ ∆ DEF por LLL.
¿Te has dado cuenta que los triángulos pueden tener
diferentes posiciones?
Para este caso puedes colocar un triángulo sobre otro
virtualmente para ver si coinciden todos sus lados.
Para demostrar la igualdad de dos triángulos, no
necesariamente deben de tener las mismas posiciones.
82 Matemática - Octavo Grado
A
θ
C
F
α
α''
β
B
D
θ''
β''
E
UNIDAD 2
1
Actividad
a) Construye dos triángulos, luego aplica los criterios estudiados sobre igualdad
y comprueba si cumplen alguno de esos criterios.
b) Aplica uno de los criterios de igualdad y construye dos triángulos que
cumplan esos criterios.
Semejanza de triángulos
El concepto de semejanza en la vida cotidiana:
Cuando utilizas el término de semejanza en el lenguaje cotidiano, ¿a qué te estas
refiriendo? Será acaso:
Un objeto que se parece a otro.
Objetos de igual tamaño.
Objetos de igual forma.
Objetos exactamente iguales.
Es difícil que puedas seleccionar una opción que responda en forma correcta a la
pregunta planteada, ya que de acuerdo al contexto de la conversación, el significado y
utilización de la palabra semejanza, podría hacer referencia a objetos que se parecen en
tamaño, forma o exactamente iguales, entre otros.
Por ejemplo:
El color del automóvil de Pedro es semejante al color del automóvil de María.
La pelota de ping-pong es semejante a la de fútbol.
La estatura de Marcela es semejante a la de Enrique.
Hay gemelas que son tan semejantes que es difícil diferenciarlas.
La llave que usa Sofía, para abrir la puerta de su casa, es semejante a la de su
hermano José.
Octavo Grado - Matemática 83
UNIDAD 2
Nota que en los ejemplos mencionados, el significado
de semejanza hace referencia a una característica común
entre los objetos o personas, tales como: color, tamaño y
forma, entre otros.
El uso del concepto de semejanza en el lenguaje
cotidiano se refiera al “parecido”, en una o más
características, que existe entre dos personas u objetos.
Antes de analizar lo que es semejanza de triángulos,
verifica primero solamente el concepto de semejanza.
Para ello es necesario que conozcas lo que son lados
correspondientes y lo que es proporcionalidad.
¿Qué observas en la figura que se muestra?
c = 5 cm
Tienes entonces que, dos triángulos son semejantes
cuando sus ángulos correspondientes son congruentes y
sus lados homólogos son proporcionales.
Se aclara que dos triángulos para que sean semejantes
no deben de tener el mismo tamaño ni posición y la
relación de semejanza se denota con el símbolo ≅
∆ ABC ≅ ∆ DEF y se lee:
El triángulo ABC es semejante al triángulo DEF.
Entonces, se tiene que en dos triángulos semejantes sus
lados homólogos son proporcionales.
En este caso se escribe:
AB AC CB
= = DE DF FE
a = 3 cm
C
F
b = 4 cm
c1 = 10 cm
a1 = 6 cm
b1 = 8 cm
Los lados correspondientes son respectivamente:
c y c’ (lado grande y lado grande)
a y a’ (lado pequeño y lado pequeño)
b y b’ (lado mediano y lado mediano)
Observa
El concepto de semejanza en matemática está
muy ligado al concepto de proporcionalidad.
Si realizas la división entre los lados homólogos
(correspondientes) el resultado que se obtiene es 2
(dividiendo 10 entre 5; 8 entre 4 y 6 entre 3), este valor
recibe el nombre de razón y cuando la razón es igual en
todos y cada uno de los lados correspondientes, se dice
que los lados son proporcionales.
84 Matemática - Octavo Grado
A
B D
E
Puedes concluir que dos figuras geométricas poligonales
serán semejantes, si existe una correspondencia
entre los vértices,con tal que sus ángulos y sus lados
correspondientes sean congruentes.
UNIDAD 2
Ejemplo 2
Encuentra el valor del lado desconocido del triángulo
siguiente:
C
x
8
A
B
9
F
3
4
D
4.5
Teorema
Toda paralela a un lado de un triángulo forma con los
otros dos lados un triángulo semejante al primero.
E
Solución:
Demostración:
Primero debes establecer las relaciones de
proporcionalidad:
8 x 9
ya que ∆ ABC ≅ ∆ DEF
= =
4 3 4.5
Los lados que se han relacionado son:
AC = 8 , AB = 9 , CB = x
Luego del otro triángulo, DF = 4 DE =4.5 FE = 3
como el lado que quieres encontrar es CB = x y es
x
homólogo con FE = 3 , estableces la relación , ésta la
3
igualas a cualquiera de las otras dos razones en este caso
9
particular tomas a
y las igualas:
4.5
Sea el triángulo ∆ ABC con una paralela XY a la base
del triángulo AB.
x 9
= = despejas
3 4.5
(3)9
27
x=
=x =
4.5
4.5
x =6
El valor desconocido del triángulo ∆ ABC es x
=6
C
X
A
Y
B
Lo que se quiere demostrar es que ∆ ABC ≅ ∆ XYC
(Son semejantes)
Primero, los tres ángulos de cada triángulo son iguales:
∠C = ∠C , ∠A = ∠X , ∠B = ∠Y Por que son ángulos
correspondientes entre líneas paralelas, además por
proporcionalidad sabes que:
CX CY
= Esto significa que los lados laterales de
CA CB
ambos triángulos son proporcionales
Por lo tanto, los triángulos son semejantes porque sus
ángulos correspondientes son congruentes y sus lados
homólogos son proporcionales.
Octavo Grado - Matemática 85
UNIDAD 2
Ejemplo 3
Encuentra el lado que hace falta en el triángulo. Si DE es paralela a AB
C
6
4
D
A
Solución:
Primero
encuentra
las razones:
CE
4 CE 4
, =
y =
CB 4 + 5 CB 9
6
4
Luego igualas las dos razones
= y despejas
6+x 9
6 ( 9 ) = 4 ( 6 + x ) ; 54 = 24 + 4x
54 = 24 + 4 x
54 − 24 = 4 x
30 = 4 x
30
x=
4
15
x = 7.5
2
R: El valor buscado es x = 7.5
Simplificando queda: x =
86 Matemática - Octavo Grado
5
B
X
Resuelves la ecuación:
E
UNIDAD 2
2
Actividad
1. Con una regla graduada en centímetros dibuja los triángulos que se te indican y determina si los
siguiente triángulos son semejantes (escala en milímetros).
a) 5, 7, 12 y 10, 15, 24,
c) 4, 5, 6 y 8, 10, 1
b) 3, 7, 9 y 8, 10, 12
d) 8, 3, 5 y 4, 1, 5
2. Determina el valor de los lados que hacen falta en las siguientes parejas de triángulos.
a)
b)
C
C
4
N
6
A
8
10
8
X
4
5
B
9
3
B
12
A
3. Determina las
razones
por qué los triángulos ∆ ABC y ∆ CDE son semejantes y encuentra el
segmento: AB ≅ DE
B
A
4 cm
C
5 cm
E
3 cm
D
Resumen
Criterios para verificar si dos triángulos son iguales:
Lado – Ángulo – Lado
Ángulo – Lado – Ángulo
Lado – Lado – Lado
Dos triángulos son iguales si tienen dos lados
iguales y el ángulo comprendido entre ellos
respectivamente congruente.
Dos triángulos son iguales si tienen dos ángulos
y el lado que los subtiende respectivamente
congruentes.
Dos triángulos son iguales si sus lados
correspondientes son congruentes.
Además se afirma que dos triángulos son semejantes cuando sus ángulos correspondientes son
congruentes y sus lados homólogos son proporcionales.
Octavo Grado - Matemática 87
UNIDAD 2
Autocomprobación
Cuando dos triángulos tienen sus lados y ángulos
congruentes se dice que son triángulos:
3
~
b) =
c) ≈
d) ≅
equivalentes
b) iguales
c) semejantes
d) alternos
a)
a)
equivalentes
b) iguales
c) semejantes
d) alternos
a)
4
Al trazar una paralela a un lado de un triángulo este
forma con los otros dos lados un triángulo que es:
equivalente al primero
b) igual al primero
c) alterno
d) semejante al primero
a)
2. c.
Si en dos triángulos, sus ángulos
correspondientes son congruentes
y sus lados homólogos
proporcionales se dice que son:
1. b.
2
El símbolo que denota cuando dos triángulos son
semejantes es:
Soluciones
1
3. d.
4. d.
APLICANDO SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
La construcción de modelos a escala (aviones,
barcos y edificios, entre otros) requiere de una
buena aplicación de los conceptos de semejanza
y proporcionalidad, esto con el fin de que la
maqueta sea lo más semejante posible al objeto
real, además de guardar una proporcionalidad
adecuada.
En el caso de dos fotografías de la misma
persona, una de tamaño 3 × 4 pulgadas y otra
de 6 × 8 pulgadas, ambas son semejantes y
tienen una misma proporción, ya que una es la
ampliación de la otra tanto a lo ancho como a lo
largo y con una misma razón, o sea, las divisiones
de sus lados correspondientes son de igual valor.
88 Matemática - Octavo Grado
Lección 5
Segunda Unidad
Factoreo
Motivación
E
n nuestro diario vivir , en centros de estudio , en el trabajo
etc. siempre hay algo que tenemos en común, por ejemplo:
En nuestro centro de estudios todos tenemos bolígrafo,
cuadernos, pupitres, el mismo docente, etc., y todo esto se
vuelve un factor común de los estudiantes que participan en
un salón de clases.
El señor Monterrosa, tiene un terreno en una lotificación y
compra dos lotes colindantes a los lados del terreno, pero
necesita comprar un predio de 16 m 2 para que su terreno sea
cuadrado y tenga las dimensiones siguientes: (ver ilustración)
¿Cómo puedes escribir las dimensiones del terreno del señor
Monterrosa?
16 m2
x2
Indicadores de logro:
Determinarás y aplicarás con seguridad el factor común
polinomio en una o más expresiones algebraicas.
Resolverás con seguridad problemas utilizando el factor
común monomio o polinomio
Factor común monomio
En el polinomio, 5ac3+7bc2 – bc
¿Cuál es el factor que se encuentra en todos sus
términos?
Es “c”, por que es la variable (factor) que está presente en
todos los términos; pero observas que tiene diferente
exponente, entonces. ¿cuál de las tres es el factor común
c3, c2 ,ó c?, la respuesta es “c”. Siempre tomarás la variable
con su menor exponente.
El polinomio factorizado, queda así:
5ac3+7bc2 – bc = c (5ac2 + 7bc –b)
Octavo Grado - Matemática 89
UNIDAD 2
Ejemplo 1
Factoriza 12x3y2 + 6x2yz −3xyz
Solución:
12x3y2 + 6x2yz −3xyz
Primero encuentras el MCD de los coeficientes:
12 6 3
4 2
3
1
Esto indica que el factor común de los coeficientes es 3.
De la parte literal, los comunes son x, y, las tomas con su menor exponente.
3xy es el factor común del polinomio, por que 3xy, se repite en los tres términos.
Ahora, divides cada
término del polinomio
entre el factor común:
12 x 3 y 2 6 x 2 yz 3 xyz
+
−
3 xy
3 xy
3 xy
Luego escribes el factor común como producto del cociente de la división que
efectuaste: 3xy(4x2y + 2xz − z)
Y este seria la expresión factorizada por que si multiplicas el producto de esos factores
obtienes 12x3y2 + 6x2yz −3xyz
3xy(4x2y + 2xz − z)
Entonces:
12x3y2 + 6x2yz − 3xyz = 3xy (4x2y + 2xz − z)
Ejemplo 2
Factoriza 4m3n4p2 + 16m2n3p3 – 7m2n2
¿Cómo encuentras el factor común?
Solución:
Paso 1
4m3n4p2 + 16m2n3p3 – 7m2n2 lo primero es encontrar el
MCD de los coeficientes 4, 16 y 7.
Luego haces la división del polinomio entre el factor
común:
4 m 3 n 4 p 2 16 m 2 n 3 p 3 7 m 2 n 2
+
− 2 2
m 2n 2
m 2n 2
mn
Y obtienes m2n2(4mn2p2 + 16np3 – 7) como respuesta:
4m3n4p2 + 16m2n3p3 – 7m2n2 = m2n2 (4mn2p2 + 16np3–7)
Ejemplo 3
Pero en este caso no existe divisor común, por lo que
afirmas que no hay factor común en los coeficientes.
¿Por qué dices que no hay factor común en los
coeficientes?
Factoriza: 8x2 – 4x
Paso 2
Luego x es la variable común, la tomas con su menor
exponente. Se tiene entonces que 4x es el factor común,
Encuentras el factor común de las variables, y observas
que m, n está repetida en los tres términos, pero p no
puede ser factor común dado que no está en el tercer
término. Luego tienes que tomar las variables m, n con
su menor exponente m2 y n2 entonces, el factor común
es m2n2 .
90 Matemática - Octavo Grado
Solución:
El MCD de los coeficiente 8 y 4 es igual a 4.
8x 2 4 x
− = 2 x − 1 y obtienes un
4x 4x
polinomio factorizado igual a 4x (2x – 1)
Por lo tanto 8x2 – 4x = 4x (8x – 1)
divides entre 4x;
UNIDAD 2
Actividad
1
Factoriza:
a) x
2
b) 24a
2
Factoriza:
+ xb
2
Actividad
a) (n + 4) – 4x(n + 4)
xy − 36x y
2
2 4
b) 8m2n2(x – 1) + 2n(x – 1)
c) 34ax2 + 51a2y – 68ay2
c) (h + 2x) +3n2 (h + 2x) – 4y (h + 2x)
d) x3 – 6x4
d) 3x3(2n – 5) + (2n – 5)
e) a3 + a2 x + ax2
e) 4y2 (p – x) − (p – x)
f) 9a2 – 12ab + 15a3b2 – 24ab3
Factor común de polinomios
Ejemplo 4
Factoriza: 3x2(2a + b) − 5(2a + b)
¿Cuál es el factor común?
Observa que la expresión tiene dos términos
3x2(2a + b) y −5 (2a + b), en ambos términos se repite el
factor (2a + b); por lo tanto el factor común es (2a + b)
Solución:
Escribes (2a + b), y los términos que quedan los agrupas
así:( 3x2 – 5)
Entonces:
3x2(2a + b) − 5(2a + b) = (2a + b)(3x2 – 5)
En este caso el factor común es un polinomio. (Binomio).
Ejemplo 5
Factoriza: 3m (5xy – 3) – (5xy – 3)
¿Cuál es el factor común?
Observa y te darás cuenta que el factor común es el
binomio (5xy – 3). Luego el coeficiente de (5xy – 3) es 1
por lo que al agrupar los coeficientes te queda 3m – 1.
Trinomio Cuadrado
Si recuerdas el estudio de los productos notables el
cuadrado de un binomio es un trinomio, observa los
siguientes casos:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a −b)2 = a2 − 2ab + b2
Los resultados a2 +2ab + b2 y a2 − 2ab + b2 son
trinomios cuadrados perfectos porque son el resultado
del cuadrado de un binomio.
Trinomio Cuadrado Perfecto
¿Cuándo un trinomio es cuadrado perfecto?
Cuando una vez ordenado el trinomio, el primero y
tercer término tienen raíz cuadrada exacta, el segundo
término es el doble producto de las raíces cuadradas del
primer y tercer término.
La factorización de cuadrados perfectos la puedes
obtener mediante el uso de una regla o desde el punto
de vista geométrico, analizando esta expresión como
el área de un cuadrado del cual quieres conocer las
dimensiones de sus lados.
Solución:
3m (5xy – 3) – (5xy – 3) = (5xy – 3)(3m – 1)
Octavo Grado - Matemática 91
UNIDAD 2
Ejemplo 6
Ejemplo 7
¿Cúales son las dimensiones del terreno del señor
Monterrosa?
Factoriza: x2 + 10x + 25
4
4x
16 m2
x2
x
x2
16 m2 4
4x
x
Solución:
De la situación inicial retomas la representación gráfica.
Observa que está dividido en cuatro regiones.
Analizando cada una de las regiones del cuadrado
anterior se observa que se puede escribir el cuadrado
con los términos siguientes y sus áreas.
¿De que otra forma se puede factorizar?
Solución:
Primero tienes que determinar si es un trinomio
cuadrado perfecto, para hacerlo, observas si x2 y 25
tienen raíz cuadrada exacta.
x 2 = x y 25 = 5 luego multiplicas por dos las raíces
2(x)(5) y obtienes el segundo término del polinomio. En
este caso es 2(x) (5) = 10x
Entonces x2 + 10x + 25 es un trinomio cuadrado
perfecto.
Sumas ambas raíces con el signo del segundo término y
el binomio resultante lo elevas al cuadrado así:
x2 + 10x + 25 = (x + 5)2
Si sumas todas las áreas tienes:
Ejemplo 8
x2 + 4x + 4x + 16
Factoriza el siguiente trinomio: 100x2 − 20xy + y2
Como se tienen dos regiones iguales (4x), se suman las
dos áreas obteniendo como resultado 8x; luego:
x2 + 4x + 4x + 16 = x2 + 8x + 16
¿Qué diferencias observas en este trinomio?
R: Las dimensiones del terreno del señor Monterrosa
son: (x + 4) por (x + 4) equivalente a: x2 + 8x + 16
Verificas si el trinomio está ordenado, es decir los
términos que tienen raíz cuadrada exacta estén en los
extremos de 100x2 − 20xy + y2, luego verificas si es un
trinomio cuadrado perfecto. Extraes la raíz cuadrada a
los términos de los extremos así:
Puedes decir que la factorización del trinomio cuadrado
perfecto de este ejemplo es:
x2 + 8x + 16 = (x + 4) (x + 4) = (x + 4)2
Solución:
Para 100x2 − 20xy + y2 .Verificas que 100 x 2 = 10 x y
y2 = y
A continuación verificas si al efectuar 2(10x) (y)
obtienes el segundo término, en este caso, se cumple, lo
que indica que es un Trinomio cuadrado perfecto.
100x2 − 20xy + y2 = (10x − y)2 ó (10x − y) (10x − y)
Observa los signos
92 Matemática - Octavo Grado
UNIDAD 2
3
Actividad
Factoriza los siguientes trinomios:
a) x2 – 10x + 25 b) 36 – 12m
2
+m
4
c) 25n2 + 90nm + 81m2
En este ejemplo se tiene que x2 + 7x + 10 = (x + 5) (x + 2)
Se te sugiere que si te dificulta encontrar la pareja de
números, puedes factorizar el término independiente, en
x2 + 7x + 10 es 10
d) 9x2 + 12xy + 4y2
e) 1 + 20n + 100n
10
5
1
2
f) 4 − 16x2 + 64x2
Trinomios factorizables que no son
cuadrados perfectos
Ejemplo 9
Factoriza: x2 + 7x + 10:
¿Qué diferencias encuentras con los trinomios
anteriores?
¿Es un trinomio cuadrado perfecto?
2
5
2 + 5 = 7; 2 por 5 es 10. Los números son
2 y 5 tienes que escribir como segundo
término en cada paréntesis
(x + 5) (x + 2), generalmente el número
mayor se ubica en la primera posición.
Trinomio de la forma x2 + bx +c
Se caracteriza por tener dos variables iguales, una
cuadrática y una lineal y un término independiente,
otra característica es que el término cuadrático siempre
tendrá coeficiente 1.
Por ejemplo:
a) x2 + 5x – 6
Solución:
b) p2 – 2p + 1
Primero tienes que determinar que no es trinomio
cuadrado perfecto, para lo cual verificas que el tercer
término no tenga raíz cuadrada exacta.
¿Cómo lo resuelves?
c) a2 − 20a – 800
Lo descompones como el caso anterior en dos factores:
(x + )(x + ), x es la raíz cuadrada del primer término.
El signo del segundo término del primer binomio (+) es
el que tiene el segundo término del trinomio, y el signo
del segundo es el que resulta de multiplicar el primer
signo por el signo del segundo término del trinomio:
Ahora observa cómo factorizar estos trinomios:
Puedes pensar en el producto de dos binomios, pero
como un proceso inverso:
a2 +
ab + ac
= a2 +
(b + c) a
Producto
de los
términos
comunes
Suma de los
términos no
comunes por
el término
común
(a + b)(a + c) =
bc
+
+
bc
Producto de
los términos
no comunes
+ por + = +
Observa que los dos signos son iguales. Cuando
se tienen signos iguales buscarás dos números que
sumados resulten el coeficiente del segundo término del
trinomio en este caso es"7 "
Y el resultado de estos mismos números multiplicados
es el coeficiente del tercer término del trinomio. Para
este trinomio es 10.
Octavo Grado - Matemática 93
UNIDAD 2
Ejemplo 10
Solución:
Factoriza: x2 + 2x – 15
Primero multiplicas el trinomio por el coeficiente de x2
que en este caso es “6”; pero cuando multiplicas por el
segundo término, dejas indicado.
Solución:
Como los signos son diferentes en x2 + 2x – 15 entonces
los factores serán:
(x + )(x – )
Es decir buscarás dos números que restados den el
segundo término (2) y multiplicados (15).
15
5
1
3
5
5 − 3 = 2; 5 por 3 = 15
Por lo tanto x2 + 2x – 15 = (x + 5) (x − 3)
Ejemplo 11
Factoriza: −4y +3 + y2
¿En este caso cómo resuelves?
Solución:
Así: 6 (6x2 + 7x + 2) = 36x2 – 6(7x) – 12
Luego lo expresas de la siguiente manera:
(6x)2 + 7 (6x) + 12
Luego aplicas los mismos procedimientos que en el caso
anterior, descomponiendo el trinomio siempre en dos
factores, donde el primer término será la raíz cuadrada
del primer término cuadrático (6x + ) (6x + ) usas el
mismo criterio para colocar los signos en cada factor.
Ahora, buscas dos números que sumados se obtenga 7 y
multiplicados 12.
12
6
3
1
2
2
3
= 4
4 + 3 = 7 y 4 por 3 = 12
=3
Primero tienes que ordenar el trinomio y2 − 4y + 3, una
vez ordenado procedes igual que los anteriores.
Tienes: (6x + 4) (6x + 3)
6, así , ( 6 x + 4 )( 6 x + 3 ) porque en este caso el
6
coeficiente de x2 es 6.
y2 − 4y + 3 = (y − ) (y − )
Los signos son iguales, por lo que buscas dos números
que sumados resulten − 4y multiplicados 3; entonces los
dos números que buscas son:
3 y 1 3 + 1 = 4; 3 por 1 = 3
Es decir: y2 − 4y + 3 = (y − 3) (y − 1)
Trinomio de la forma ax2 + bx + c
Para no alterar la expresión, divides los factores entre
Procedes a simplificar buscando factor común en cada
uno de los factores resultantes y el denominador (6) lo
descompones en: 2 × 3.
( 6 x + 4 )( 6 x + 3 ) 2 ( 3 x + 2 ) 3 ( 2 x +1)
=
= ( 3 x + 2 )( 2 x +1)
2×3
2×3
Luego tienes que 6x2 + 7x + 2 = (3x + 2) (2x + 1)
Ejemplo 12
Factoriza: 6x2 + 7x + 2
¿Qué diferencias observas con el caso anterior?
¿Cómo lo resuelves?
94 Matemática - Octavo Grado
Observa
La expresión ax2 + bx + c, se diferencia del trinomio
cuadrado estudiado antes en que el término x2 tiene
coeficiente diferente de 1. Las siguientes expresiones
tienen la forma anterior:
7y2 – 23m + 6
3x2 + 7x – 6; 2n2 + 11n + 5;
UNIDAD 2
Ejemplo 13
Factoriza: 5x2 + 13x – 6
Solución:
5x2 + 13x – 6 = 5 (5x2 + 13x – 6) = (5x)2 + 13(5x) – 30 = (5x + )(5x − )
Buscas dos números que restados resulte 13 y multiplicados 30
30
15
5
1
15 – 2 = 13 y 15 × 2 = 30
2
3
5
Luego (5x +15) (5x − 2)
Como se multiplicó por 5 entonces divides también por 5 ó simplificas.
(5 x + 15)(5 x − 2) 5(x + 3)(5 x − 2)
=
= (x + 3)(5 x − 2)
5
5
Por lo tanto: 5x2 + 13x – 6 = (x + 3) (5x – 2)
4
Actividad
Factoriza:
a) x2 – 4x + 3
e) y2 + 7y + 6 i) 4c2 + 15c + 9
b) n2 – 9n + 20
f) n2 −2n − 35
j) 6x2 −5x − 6
c) c2 + 5c – 24
g) 2x2 +3x − 2
k) 20y2 + y −1
d) x2 − 4x + 3 h) 3n2 – 5n − 2
l) 2n2 +5n + 2
Resumen
En esta lección hemos estudiado algunos casos de factorización:
Caso
Factor común monomio
Factor común polinomio
2
Trinomio de la forma x + bx + c
2
Trinomio de la forma ax + bx + c
Ejemplo
6t – 4t – 2t = 2t(3t2 – 2t – 1)
3z(z + 3) + (z + 3) = (z + 3)( 3z + 1)
4y 2– 12yz + 9z2 = (2y – 3z)2
x2 + 2x – 24 = (x + 6)(x – 4)
3
2
4y2 + 3y – 10 = (y + 2)(4y – 5)
Octavo Grado - Matemática 95
UNIDAD 2
Autocomprobación
Factoriza el siguiente polinomio:
2 x 2 + 9x + 4
3
a) (2x + 5) (x – 1)
a) (3x – 2)2
b) (x + 4) (2x + 1)
b) (3x – 2) (3x + 2)
c) (2x + 8) (2x + 1)
c) (3x + 2)2
d) (x + 1) (2x + 4)
d) (x – 2) (3x + 2)
Al descomponer en factores la expresión
20a 3b 2 − 45a 2b 5 resulta:
( 4a − 9b )
b) 5a b ( 4b − 9a )
c) 5ab ( 4 a b − 9ab )
d) 5a b ( 4 a − 9b )
3 2
3 5
a) xz (8 + y)
b) (8 + y) (x + z)
3
2
c) xz (8 + y)2
4
2 2
Cuando se factoriza el polinomio
x (8 + y) + z (8 + y) resulta:
d) (8 + y)2 (x + z)
3
2. d.
a)
4
1. b.
2
Al factorizar el polinomio 9 x 2 − 12 x + 4
obtenemos:
Soluciones
1
3. a.
4. b.
EL TRIÁNGULO DE PASCAL O TARTAGLIA
1
1
1
1
2
1
1
3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
96 Matemática - Octavo Grado
El triángulo de Pascal, o de Tartaglia, es un
conjunto de números enteros, infinito, ordenados
en forma de triángulo, que expresan coeficientes
binomiales y se construye de la siguiente manera:
escribimos el número «1», centrado en la parte
superior; después, escribimos una serie de
números «1» en las casillas situadas en sentido
diagonal descendente, a ambos lados; sumamos
las parejas de cifras situadas horizontalmente y
separadas por una casilla en blanco (1 + 1), y el
resultado (2) lo escribimos debajo de dicha casilla;
continuamos el proceso escribiendo, en las casillas
inferiores, la suma de las dos cifras situadas
sobre ellas (1 + 2 = 3). Las cifras escritas en las
filas, tales como: «1 2 1» y «1 3 3 1»
recuerdan los binomios como:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Solucionario
Lección 1
Actividad 1.
a) 3a3b3 − 2a2b2 + 4ab
b)
8c 5 − 4 c 4 − 6 c + 2 Actividad 2.
9
2a 3 − a 2 + 5
2
4 2
2
3
d) 14 m n + mn − 3n
5
c)
a) 5a – 7b d)
2x2– x + 3, residuo – 5
b) 2x2 + 3x +7 con residuo 15
e)
− 3x2+ 8x + 4 residuo 3x – 14
c) 2c2
– 3c + 1
Actividad 3.
a) x2 + 4x + 9 residuo 20
d) 2a3 – 7a2 + 3a – 9 con residuo 20
b) m3 – m2 + 14m – 24 residuo 0
e) 8b4 + 8b3 + 8b2 + 5b +5 con residuo 40
c) 2a3 − 9a2 + 7a – 21
residuo 57
Lección 2
Actividad 1
a) 3x – 5
b) 4b
+ c
c) 7y + 6z
d) 9a – 10
Actividad 2.
n 2 x 2 − nx + 1 c)
4 a 6 − 2a 3 y 3 + y 6 e) 1 + n 7 + n 14
b) 25 – 20y + 16y
d)
9 p 8 + 6 p 4r + 4r 2 f)
a)
9m 2 + 15mn + 25n 2
Actividad 3.
a) no son divisibles
c) x3+ 2x2
b) 10x2 + 1
d) no son divisibles
f)
+ 4x + 8
e) 81h4 + 54h3 + 18h2 + 6h + 16
256 a 8 − 128a 7b + 64 a 6b 2 − 32a 5b 3 + 16 a 4b 4 − 8a 3b 5 + 4 a 2b 6 − 2ab 7 + b 8
Octavo Grado - Matemática 97
Solucionario
Lección 3
Actividad 1
b)
48 c) 4 m
d) 10 cm
Lección 4
Actividad 2
1. a) si son semejantes
b) no 2. a) n = 12
b) x = 8
c) si son semejantes
d) no
3. AB = 2.4
Lección 5
Actividad 1
a) x(x – b)
d) x3(1 – 6x)
b) 12xy2 (2a2 – 3xy2)
e) a (a2 + ax + x2)
c) a (34x2 + 51ay – 68y2)
f) 3a (3a – 4b + 5a2b2 – 8b3)
Actividad 2
a) (n + 4) (1 – 4x)
c) (h + 2x) (1 + 3n2 – 4y) e) (p – x) (4y2 – 1)
b) (x – 1)(8m2n2 + 2n)
d) (2n – 5)(3x3 + 1)
Actividad 3
a) (x – 5)2
c) (5n + 9m)2
e) (1 + 10n)2
b) (6 – m2)2 d) (3x + 2y)2 f) (2 – 8x)2
a) (x – 3) (x – 1)
e) (y + 6) (y + 1)
i) (4c + 3) (c + 3)
b) (n − 5 )(n – 4)
f) (n − 7 )(n + 5 )
j) (3x + 2) (2x – 3)
c) (c + 8) (c – 3)
g) (2x – 1) (x + 2)
k) (4y + 1) (5y − 1)
d) (x − 3)(x – 1)
h) (3n + 1) (n – 2)
l) (2n + 1) (n + 2)
Actividad 4
98 Matemática - Octavo Grado
Proyecto
Un albañil tiene que construir una casa cuyo tejado sea de dos aguas que formen un
ángulo de 120 º, como la figura.
120º
a) Clasifica el triángulo de acuerdo a sus lados y sus ángulos.
b) Calcula la base del techo sobre la pared, si la altura del tejado es de 2 m.
c) Al trazar la altura del techo se forman dos triángulos, obsérvalos, describe sus
características y clasifícalos de acuerdo a sus lados y ángulos.
d)
Una de las ventanas de la casa debe tener de área 4x2 − 2x, y quieren ubicar la puerta
de vidrio y para comprarla tiene que conocer sus dimensiones, si un lado mide
2x − 1, ¿cuánto mide el otro lado?
Octavo Grado - Matemática 99
Recursos
Materiales: regla, compás, transportador
Aguilera Liborio Raúl, Matemática Octavo grado. . Talleres Gráficos UCA,
San Salvador, El Salvador, 2007, 219p
Carpinteyro Vigil Eduardo, Sánchez Hernández Rubén, Álgebra,
Publicaciones Cultural, 1ª Edición, México 2002 622p.
Fuenlabrada De la Vega Samuel, Matemática I, Aritmética y Álgebra, Editorial
McGraw-Hill, 1ª Edición. México 1994, 281p
Fuenlabrada De la Vega Samuel, Matemática II, Geometría y Trigonometría,
Editorial McGraw-Hill, 1ª Edición, México 1995, 179p.
Mendoza William y Galo de Navarro Gloria, Matemática 8º grado, UCA
Editores, 2ª edición. San Salvador, El salvador, 2003, 419p
Rees Paul K, Sparks Fred W, Álgebra, Editorial McGraw-Hill, 1ª Edición.
México 1991, 626p.
100 Matemática - Octavo Grado