Download Notas de Matemáticas - URS

UNIVERSIDAD DE SONORA
UNIDAD REGIONAL SUR
TALLER DE MATEMÁTICAS
Navojoa, Sonora. Agosto de 2012.
TALLER DE MATEMÁTICAS
Página 1
ÍNDICE
Página
I. Aritmética e introducción al álgebra
Los números reales
Operaciones aritméticas
Exponentes y radicales
Operaciones algebraicas
Regla de tres
II. Productos notables y factorización
Productos notables
Binomios al cuadrado
Binomios al cubo
Binomios conjugados
Binomios con términos semejantes
Factorización
Factor común
Diferencia de cuadrados
Suma y diferencia de cubos
Trinomios
III. Ecuaciones de primer y de segundo grado
Ecuaciones de primer grado
Resolución de ecuaciones de primer grado
Aplicaciones
Ecuaciones cuadráticas
Resolución por la fórmula general
Aplicaciones
Sistemas de ecuaciones lineales (SEL)
Tipos de SEL
Métodos algebraicos para resolver SEL
Aplicaciones
IV. Trigonometría
Introducción
Razones trigonométricas
Teorema de Pitágoras
Identidades trigonométricas
Leyes de los senos y cosenos
V. Logaritmos
Definición
Propiedades de los logaritmos
ANEXO A. Miscelánea de problemas
BIBLIOGRAFÍA
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3
3
7
13
15
17
20
20
20
21
22
23
24
24
24
25
26
28
28
28
30
34
35
35
38
38
38
40
43
43
44
44
45
45
50
50
51
53
60
Página 2
I. Aritmética e introducción al álgebra
Los números reales
En matemáticas se emplean símbolos para representar números
1, 26, −3,
9
3
, 0, √7, 62.15, 0.6666 … , √−1
24
y símbolos como +, −,÷, 𝑦 ×, para representar las operaciones entre los números. El conjunto de
números que se utiliza más en aritmética y álgebra es el de los números reales, que a la vez están
conformados por otros conjuntos numéricos que se describen a continuación.
Los números naturales (N) o enteros positivos (Z + ) son:
{1,2,3, … }
Y los números enteros (Z) se enuncian del siguiente modo:
{… , −3, −2, −1,0,1,2,3, … }
Los números racionales (Q) se caracterizan porque pueden expresarse en forma de fracción, es
decir, como cociente de dos números enteros:
a
x ∈ Q ⇔ a, b ∈ Z tales que x = ; b ≠ 0
b
No obstante, en la recta numérica hay infinitos puntos no ocupados por números racionales. A cada
uno de estos puntos le corresponde un número irracional.
Los números irracionales (I) se caracterizan porque no pueden expresarse en forma de fracción.
Su expresión decimal tiene infinitas cifras no periódicas.
Tanto los números racionales como los irracionales se llaman números reales. El conjunto de los
números reales se designa por R. Entonces podemos decir que los números reales son la unión de
los racionales con los irracionales; esto es, R = Q U I.
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Página 3
Conjunto de los números reales
Clasificación de los números reales
La recta numérica
Los números reales se representan geométricamente mediante puntos en una recta, llamada
recta real.
A cada número real le corresponde uno y sólo un punto de la recta numérica y a cada punto de la
recta numérica le corresponde uno y sólo un número real. A esto se le llama correspondencia
biunívoca. Los números positivos se ubican a la derecha del cero y los negativos a la izquierda,
el cero no es positivo ni negativo y se coloca al centro de la recta numérica.
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Página 4
Ejemplo 1
Clasificar el siguiente conjunto de números:
10
3


T = − 10,0.25, ,− 3 ,−100,12,− , 5 , π ,1.666
3
8


Solución:
N
Z
Q
12
-10, -100 y 12
10
3
10, 0.25,
, -100, 12, - , 1.666
3
8
I
- 3, 5, π
R
Todos
Orden en los números reales
Al comparar dos números reales se obtiene que éstos son iguales o bien que uno de ellos es menor
que el otro. La propiedad que permite realizar estas comparaciones entre dos números reales se
define como propiedad de orden y formalmente se escribe como
La propiedad de orden, permite ordenar un conjunto de números de menor a mayor o de mayor a
menor.
Ejemplo 2
Ordene el siguiente conjunto de números de menor a mayor
10
3


S = − 12,0.25, ,− 3 ,−100,12,− , 5 , π ,1.666
3
8


Solución:
Al comparar los números del conjunto S utilizando la relación de orden se obtiene la siguiente lista
3
10
-100, -10, - 3 , - , 0.25, 1.666, π ,
, 5 , 12
8
3
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Valor absoluto
El valor absoluto de un número real se interpreta como la distancia que hay desde el número a al
número 0 en la recta numérica. El valor absoluto del número a se representa como a y siempre es
positivo. Por ejemplo 4 = 4 ya que la distancia del número 4 al 0 es de 4 unidades, − 7 es 7 ya que
la distancia de −7 a 0 es de 7 unidades; como se muestra en la figura siguiente
La definición formal del valor absoluto es la siguiente
Por ejemplo:
3 =3
y
− 8 = -(-8) = 8
Ejercicios.
1. Localiza en la recta numérica los siguientes números:
6, −3, 1.5, −1.4, 0, √2 , 𝜋,
5
3
,−
3
9
2. Identifica el conjunto al que pertenece cada uno de los siguientes números
10
3


S = − 12,0.25, ,− 3 ,−100,12,− , 5 , π ,1.666
3
8


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3. Establece la relación de orden correcta entre los siguientes pares de números
−4
d)
−1 0
b) −10 −8
e)
0
7
f)
0
2
2
g)
0.467 0
a) 8
c)
1
6
3
2
Operaciones aritméticas
A continuación se mostrarán las operaciones suma, resta, producto y división de números reales, y
varias propiedades que cumplen.
Suma de números reales
Cuando se suman dos números al resultado se le llama suma.
+2
-1
0
1
-5
2
-4
0
Para sumar -2 y -3 trazar flechas, como se
indica en la figura. Como el extremo final
de la segunda flecha está en -5, se tiene
que (-2) + (-3) = -5.
+3
3
4
-3
-6
5
Para calcular la suma de +2 y +3, se
representa a cada número con una flecha,
como se muestra en la figura. Como el
extremo final de la segunda flecha está en
+5, se tiene que +2 + (+3) = +5.
-2
-3
-2
-1
1
+2
-6
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
-4
+5
-1
0
1
2
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3
4
5
6
Para sumar -6 y +2 trazar flechas, como se
indica en la figura. Como la punta de la
segunda flecha está en -4, entonces (-6) +
(+2) = -4.
Para sumar +5 y -4 trazar flechas, como
se indica en la figura. Dado que la punta
de la última flecha está en +1, entonces
(+5) + (-4) = + 1.
Página 7
Los ejemplos anteriores sugieren las siguientes reglas:
Suma de números reales
Con signos iguales: Se suman los valores absolutos de los números y se conserva el signo
común.
Con signos distintos: Se restan los valores absolutos (el menor del mayor) y se mantiene el
signo del número con el mayor valor absoluto.
Ejemplo 4
a) +4 + (+6 ) = + 10
c) + 9 + (- 5 ) = + 4
b) -5 + (-3 ) = - 8
d) - 12 + (+ 5 ) = - 7
Resta de números reales
Cuando se restan dos números reales, al resultado le llamamos diferencia. Para calcular una
diferencia se pasa, siempre, de la resta a una suma equivalente. Por ejemplo, la resta 7 - 4
equivale a la suma de 7 + (- 4), porque tiene el mismo resultado:
7 - 4 =3
y
7 + (- 4 ) = 3
Por lo tanto, para restar dos números se cambia el signo del número que se resta y se hace la suma.
Resta de números reales
Si a y b son números reales, entonces a - b = a + ( - b ).
Ejemplo 5
a) 12 - 4 = 12 + (-4) = 8
c) - 14 - (- 6) = - 14 + (+6) = - 8
b) - 13 - 5 = - 13 + (-5) = - 18
Multiplicación de números reales
Cuando se multiplican dos números, al resultado se le llama producto. Se puede calcular el
producto de 5 por 4 usando el 4 y sumándolo 5 veces consigo mismo:
5 (4) = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20
Se puede calcular el producto de 5 por - 4, usando el - 4 y sumando 5 veces consigo mismo:
5 (- 4 ) = ( - 4 ) + ( - 4 ) + (- 4 ) + (- 4 ) + ( - 4 ) = - 20
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Como la multiplicación por un número negativo se puede definir como una resta repetida, se puede
calcular el producto de - 5 por 4 utilizando el 4 y restándolo 5 veces:
-5 (4) = - 4 - 4 - 4 - 4 - 4
= - 4 + (- 4) + (- 4) + (- 4) + (- 4) = - 20
Se puede calcular el producto de - 5 por -4 empleando el -4 y restándolo 5 veces
-5 (- 4) = - (- 4) – (- 4) – (- 4) – (- 4) – (- 4)
= 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20
Multiplicación de números reales
Con signos iguales: Se multiplican sus valores absolutos. El producto es positivo.
Con signos distintos: Se multiplican los valores absolutos. El producto es negativo.
Multiplicación por 0: Si x es cualquier número real entonces x*0 = 0*x = 0
Ejemplo 6
a) 4 (-7) = - 28
c) - 7 (6) = - 42
b) -5 (-6) = + 30
d) 8 (-6) = - 48
División de números reales
Cuando se dividen dos números, al resultado se llama cociente. En la división
x
= q, y ≠ 0 , el
y
cociente q es un número real tal que y ∗ q = x . Se puede emplear esta relación para deducir las
reglas de la división de los números reales.
+ 10
= +5 Porque +2 (+ 5) = + 10
+2
− 10
= +5 Porque - 2 (+ 5 ) = - 10
−2
− 10
= −5 Porque +2(-5) = - 10
+2
+ 10
= −5 Porque - 2 (- 5 ) = + 10
−2
División de números reales
Con signos iguales: Se dividen sus valores absolutos. El cociente es positivo.
Con signos distintos: Se dividen los valores absolutos. El cociente es negativo.
División por 0: La división entre 0 no está definida.
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Página 9
Ejemplo 7
a)
36
= +2
18
c)
27
= −3
−9
b)
− 44
= −4
11
d)
− 64
= +8
−8
Jerarquía de las operaciones
Cuando se efectúan operaciones con números reales se debe respetar el orden establecido para las
mismas, ya que de otra forma los resultados obtenidos serán incorrectos.
Jerarquía de las operaciones
Sigue los pasos que aparecen abajo para efectuar todos los cálculos que aparecen con
símbolos de agrupamiento (paréntesis, llaves, etc.), avanzando desde el par más interior
hasta el más exterior.
1. Realiza todas las multiplicaciones y/o divisiones en orden de izquierda a derecha.
2. Realiza todas las sumas y/o restas en orden de izquierda a derecha.
Ejemplo 8
a) 4 + (2) (3) = 4 + 6 = 10
c) 5 (3 – 6) ÷ 3 + 1 = 5 (- 3) ÷ 3 + 1
= - 15 ÷ 3 + 1
= -5 + 1= -4
b) 2 (3 + 4) = 2 (7) = 14
d) 5[3 − 2(6 ÷ 3 + 1)] = 5[3 − 2(2 + 1)]
= 5[3 − 2(3)]
= 5(3 − 6 )
= 5(− 3) = - 15
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Página 10
Ejercicios.
4. Realiza las operaciones indicadas:
a) −19 + (−7) = -26
i) (−54) ÷ (−3) = 18
b) −15 + 9 = -6
j) (−56) ÷ 8 = -7
c) 12 + (−18) = -6
k) 7 − 5 + 3 − 5 = 0
d) 13 − 8 = 5
l) 6 + 21 ÷ 3 − 5 = 8
e) 5 + (−2) + (−8) + 4 = -1
m) 4 + 33 + 3 × 2 − 2 2 = 33
f) −8 × 5 = -40
n) ( 3 2 + 5 2 ) × ( 33 − 2 2 ) = 782
g) (−9) (−8) = 72
o) 28 − 5 × 3 + 2 3 + 20 = 41
h) 42 ÷ (−6) = -7
p)
100 × 30 − 2 2 − 8 2 × 2 = 168
5. Expresa como fracción los siguientes números enteros:
a) 5 =10/2
c) 8 =16/2
b) 12 =36/3
d) 100 =200/2
e) 10 =30/3
f) 123=246/2
6. Clasifica las siguientes fracciones como propias e impropias:
a)
3
=P
4
d)
7
=P
9
b)
1
=P
2
e)
15
=P
16
c)
5
=I
3
f)
5
=P
8
7. Convierte las siguientes fracciones mixtas a impropias:
1 7
a) 3 =
2 2
5 53
d) 6 =
8 8
2 27
b) 5 =
5 5
2 37
e) 5 =
7 7
c) 6
2 20
=
3 3
8. Escribe al menos una fracción equivalente a la dada:
3 6
a)
=
4 8
5 10
b)
=
6 12
18 36
c)
=
9 18
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f) 10
10 21
=
20 2
35 70
=
7 14
7
21
e)
=
35 105
9
27
f)
=
54 162
d)
Página 11
9. Realiza las siguientes operaciones:
a)
1 1 1 47
+ + =
3 5 4 60
b)
5 1 19
− =
3 12 12
c)
31 3
 =
5  4  20
d)
3
−3
÷8 =
−4
32
e)
1 5 3
÷ =
5 3 25
6
1 98
f) 3 + 2 =
5
3 15
− 42
 6
g)  − 7 =
5
 5
h)
(− 1) 3 (0) = 0
i)
7
3 = − 35
4
12
−
5
j)
−
k)
1  1  1  − 97
− + 5 + 3  =
3  2  5 
6
4
4
= −6
2
3
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Página 12
Aplicaciones.
10. Una oruga subió a la punta de un mástil de 22 metros de altura. Si en cada intento
subía 4 m y resbalaba 1m. ¿Cuántos intentos necesito para llegar a la punta? 7
11. En el laboratorio de QB tienen varias parillas de calentamiento múltiple para
matraces con las siguientes características, 3 parillas con 7 quemadores, 5 parillas
con 2 quemadores y 4 parillas con 10 quemadores cada una. ¿Cuántos quemadores
hay en total en el laboratorio de QB? 71
12. La temperatura de la ciudad de Monterrey es de 17°C y se estima que descenderá a
razón de 2°C por hora. ¿Cuál será la temperatura estimada para dentro de 12 horas?
-7 °C
13. Con dos litros de alcohol, ¿Cuántos vasos de un cuarto de litro pueden obtenerse? 8
vasos
14. En el grupo de Alicia se formaron seis equipos para trabajar en el laboratorio. El
3
grupo dispone de
partes de cierto reactivo que necesitan repartirse en partes
5
iguales para poder realizar la práctica de laboratorio de ese día. ¿Qué porción recibió
cada equipo? 0.1 de reactivo
1
1
15. Un cable media 18 m de largo y se utilizaron 5 m, ¿Qué cantidad de cable
3
4
queda? 155/12 mts.
16. Al laboratorio de patología de la universidad ha llegado una donación procedente de
1
un hospital local, la cual consiste en un tumor canceroso de 1 kilogramos de peso
2
5
y se usara ese día
de kilogramos para que los alumnos practiquen, ¿Cuál es la
6
cantidad de tumor que quedara sin usar? 2/3 kg.
17. El tesista Resendiz obtuvo una beca ya iniciado el año escolar si al mes recibirá
3
$2,500 pesos, ¿Cuánto será en total si solo le pagaran 10 de meses? $26,500.00
5
Exponentes y radicales
Cuando un número a se multiplica por sí mismo n veces, el producto a·a·····a (n veces)
se indica por el símbolo an el cual se lee "a la n".
Ejemplos
a)
2·2·2·2·2·2 = 26 = 64
b)
5·x·x·x = 5x3
c)
(-4)(-4)(-4) = (-4)3 = -64
d) (a + b)(a + b) = (a + b)2
En la expresión an, al número a se le llama base y n se le llama exponente.
A continuación, se expresan unas propiedades de los exponentes, que se pueden obtener
a partir de la definición y que se conocen como leyes de los exponentes.
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Página 13
Si m y n son números naturales:
1. am·an = am + n
2.
am
= a m−n
n
a
3. (am)n = amn
m
am
a
4. (ab) = a b ,   = m
b
b
m
5. a − m =
m m
1
am
Raíces
Si n es un número natural, a y b son tales que a n = b, por definición a es la raíz enésima
de b. Si b es positivo, solamente hay un número positivo a tal que a n = b.
Dicho número se representa por
b.
n
b y recibe el nombre de la raíz enésima principal de
Ejemplos
4
16 , es un número positivo que elevado a la cuarta potencia da como resultado 16.
Dicho número es 2 y por tanto 4 16 = 2. El número -2 elevado a la cuarta potencia
también da como resultado 16. En estas condiciones, -2 es una raíz cuarta de 16, pero no
es la raíz cuarta principal.
Observación
Empleando exponentes, en ocasiones, se da también la siguiente definición. Si m y n
son números naturales, entonces. b m / n = n b m . En particular, si m = 1, se tiene una
expresión para la raíz enésima de b: b 1 / n = n b .
Ejemplo
64 2 / 3 = 3 64 2 = 3 4096 = 16.
Se tienen además, las siguientes propiedades para las raíces:
1.
n
a ⋅ b = ( n a )(n b )
2.
n
a na
=
b nb
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Página 14
Ejercicios.
18. Realiza las operaciones indicadas y simplifica:
a) 4− 3 =
b)
1
64
c) 23 ⋅ 2−2 = 2
−4
d)
e)
d
1
= 11
7
d
d
b
b
4
3
=b
8a 3b5 = (2a )2 b 2
j)
108 = 6 3
3
a −5 b 4
=
b− 4 a5
3
2
k)
4
64 = 2
l)
6
49 x = 7 x
m) 8
−1
3
5
i)
6
−2
3
1
3
= 0.25
72 = 6 2
n)
o) 5 20 − 2 45 = 4 5
2
 x 
x2
f)  3  = 6
y
y 
p)
−2
3
108
= 33 2
2
 a − 2b 0 
g)  7 2  = a18b 4
ab 
h) d −20 ⋅ d 20 = 1
Operaciones algebraicas
Al igual que en la aritmética, en el álgebra se usan las operaciones de suma, resta,
multiplicación, y división. Adicionalmente están las operaciones de potenciación y radicación.
Los signos de operación son: Suma: + ; Resta: - ;Multiplicación: × o *, es implícito entre las
variables. División: / o
; Potenciación: es un pequeño número o letra arriba y a la derecha de
una cantidad. Radicación:
Signos de relación. Indican la relación que hay entre dos expresiones. Los signos de relación
son:
Menor que: <;
Mayor que: >;
Igual a: =
Signos de agrupación. Los signos de agrupación se usan para cambiar el orden de las
operaciones. Las operaciones indicadas dentro de ellos deben realizarse primero.
Los principales signos de agrupación son:
El paréntesis: ( );
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El corchete: [ ];
La llave: { }
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Expresiones algebraicas
Término. Término es una expresión algebraica elemental donde se encuentran solo operaciones
de multiplicación y división de números y letras. El número se llama coeficiente y las letras
conforman la parte literal. Tanto el número como cada letra pueden estar elevados a una
potencia. En una expresión algebraica con varios términos, éstos están separados con signos de
suma o resta.
Término independiente. El término independiente es el que consta de solo un valor numérico y
no tiene parte literal.
Términos semejantes. Los términos semejantes son los que tienen exactamente la misma parte
literal (con las mismas letras elevadas a los mismos exponentes), y varían solo en el coeficiente.
Solo se pueden sumar y restar términos semejantes. No se pueden sumar y restar términos que no
sean semejantes, sin embargo, se puede multiplicar y dividir todo tipo de términos. Si en una
expresión algebraica hay varios términos semejantes, éstos se pueden simplificar sumándolos o
restándolos.
Grado de un término. Se considera la letra de mayor exponente, y ese exponente es el grado del
término algebraico.
Polinomio. Es una expresión algebraica que contiene uno o más términos. Cuando el polinomio
consta de uno, dos o tres términos se llaman monomio, binomio o trinomio respectivamente.
Valor numérico de un polinomio. Es el valor que se obtiene al sustituir las letras por valores
numéricos y luego realizar las operaciones del polinomio.
Ejercicios.
21. Seis personas recolectaron muestras de naranjas que colocaron en una canasta. Las
personas recolectaron un tercio, un octavo, un cuarto y un quinto respectivamente del
contenido de naranjas de dicha canasta. La quinta persona obtuvo 10 naranjas y una la
sexta. Encuentra el número total de naranjas recolectadas.120 naranjas
22. Tres muchachos ganan en total $5400. Enrique gano $200 menos que Eduardo y Joaquín
dos veces más que Enrique. Halla lo que cada uno gano. $1300, $1500 y $2600
23. Reduce términos semejantes y realiza las operaciones indicadas:
a) 3b 4 − 2b + 2b + b 4 = 4b 4
b) 6b 2 + 5bc 2 + 2b 2 − 3bc 2 = 8b 2 + 2bc 2
c) (4 y + 3)( y 2 + 6 y − 3) = 4 y 3 + 27 y 2 + 6 y − 9
d) (2 x3 + 3x )(3x 2 − 4 x ) = 6 x5 − 8 x 4 + 9 x3 − 12 x 2
e) (x 2 − 5 x − 84 ) ÷ (x + 7 ) = x − 12
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Página 16
Regla de tres
La regla de tres es una forma de resolución de problemas de proporcionalidad entre tres o más
valores conocidos y una incógnita. En ella se establece una relación de linealidad entre los
valores involucrados. Discutamos dos presentaciones, la regla de tres simple directa e inversa.
Regla de tres simple directa
Problema a resolver:
Si necesito 52 kilogramos de
semilla de maíz blanco para
sembrar 2 hectáreas de terreno,
¿cuántos kilogramos necesito para
sembrar 5 hectáreas?
Este problema suele interpretarse de la siguiente manera: 52 kilogramos son a 2 hectáreas como
5 hectáreas son a Y kilogramos. La solución es una "regla de tres simple directa": basta con
multiplicar 5 por 52 y el resultado dividirlo entre 2. Necesitaré, por tanto, 130 kilogramos de
semilla de maíz blanco. De manera formal, la regla de tres simple directa enuncia el problema de
la siguiente manera:
A es a B como X es a Y
Lo que suele representarse así:
Donde A es 52, B es 2, X es 5 e Y es el término desconocido. Para resolver todas las reglas
de tres simples directas basta con recordar la siguiente fórmula:
Regla de tres simple inversa
En la regla directa, cuando el tercer término X crece, también crece el término Y que intentamos
averiguar, y viceversa. En el ejemplo anterior, cuando el número de hectáreas aumenta, es obvio
que necesitaremos más maíz, y cuando el número de hectáreas es menor, necesitaremos menos
maíz. Es lo que se llama una relación directamente proporcional. Sin embargo situaciones
donde se da una
relación inversamente proporcional, es decir, si aumenta X,
entonces Y disminuye, y viceversa, son mucho muy comunes también. Veamos un ejemplo:
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Problema 1: Si 8 trabajadores construyen un muro en 10 horas, ¿cuánto tardarán 5 obreros en
levantar el mismo muro? O un equivalente: Una franja de terreno tiene 2500 m de largo y 750 m
de ancho, ¿cuál es la longitud de un terreno aledaño, si tiene la misma figura y el mismo número
de hectáreas, y sus líneas transversales son de 1200 m?
En el primer caso: Resulta evidente que cuantos menos obreros trabajen, más horas necesitarán
para levantar el mismo muro (suponiendo trabajo uniforme). Tenemos por tanto una relación
de proporcionalidad inversa, y deberemos aplicar una regla de tres simple inversa. Su resolución
en este caso se plantea inicialmente de la misma forma que para la “simple directa”, pero se
opera de manera distinta.
En el caso equivalente: Al igual que en el caso anterior, el razonamiento es “inverso”, en cuanto
más crece lo ancho, menos es lo largo:
2500 m de largo son a 750 m de ancho, como Y m de largo son a 1200 m de ancho.
La solución pasa por multiplicar 2500 m por 750 m, y el resultado dividirlo por 1200 m.
necesitamos por tanto 1562.5 m de longitud de la franja. Si formalizamos como antes
Lo que se representa como:
Siendo la solución formalizada la siguiente
Ejercicios.
24. Para alimentar 8 ratas de laboratorio se necesitan 7.4 Kg. de alimento al mes.
¿Cuántos kilogramos de alimento se necesitaran para alimentar 15 ratas al mes?
13.875 kgs. D
25. Si se pueden comprar 3 gansitos por 21 pesos, con $105 pesos, ¿Cuántos gansitos se
pueden comprar? 15 gansitos. D
26. Cierta reacción química tarda 6 días para alcanzar el 75% de su proceso final, ¿Cuántos
días tardará el proceso si continúa desarrollándose al mismo ritmo? 8 días. D
27. Si 3 huevos cuestan $50. ¿Cuánto costará una docena de huevos? $200.00. D
28. Un palo de 1.50 metros de longitud producirá una sombra de 4.50 metros. ¿Cuál será la
altura del un edificio que a la misma hora origina una sombra de 75 metros? 25mts. D
29. Un grupo formado por 9 obreros puede hacer una obra en 6 días, ¿Cuántos obreros se
necesitaran para hacer la misma obra en 3 días? 18 obreros. I
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30. Un automóvil que lleva una velocidad de 60 Km/h tarda 4 horas en recorrer el trayecto
entre dos ciudades. ¿Cuánto tiempo hubiera tardado si su velocidad hubiera sido de 80
Km/h? 3 horas. I
31. Una pieza de tela tiene una longitud de 12 metros y una anchura de 50 cm. ¿Cuál será la
longitud de otra pieza de tela que tiene la misma superficie sabiendo que su anchura de
60 cm? 10 mts. I
32. Los 2/3 de la capacidad de un depósito son 60 litros. ¿Cuál será la capacidad de los 5/6
del mismo depósito? 75 litros. D
33. Un grifo vierte 160 litros de agua en 4 minutos. ¿Cuántos litros verterá en 6 minutos?
240 litros. D
34. Si 7 latas de de fertilizante cuestan 280 pesos. ¿Cuánto costaran 12 latas de fertilizante?
$ 480.00. D
35. Un comerciante compro 12 Kg. de café por $96. ¿Cuál es el costo de 5 kg. de café?
$40.00. D
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II. Productos notables y factorización
En este módulo se expondrán algunos métodos que permiten efectuar mentalmente
muchos tipos de productos y abreviar el proceso de multiplicación. De igual modo se
expondrán algunos métodos para factorizar ciertos tipos de polinomios. Para la
computación eficaz y rápida en álgebra, se requiere ser hábil en cada uno de estos
procedimientos.
Productos Notables
Se llama Productos Notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo
resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la
multiplicación o sin necesidad de hacerla paso por paso.
Binomio al Cuadrado Cuando un binomio se multiplica por sí mismo se tiene lo que
se conoce como un binomio al cuadrado, el binomio al cuadrado se puede expresar
como el cuadrado de la suma de dos cantidades, o como el cuadrado de la diferencia de
dos cantidades.
a) Cuadrado de la suma de dos cantidades.
(a +b)2 = (a +b )(a +b)
Efectuando este producto se tiene:
Después de desarrollar la multiplicación se tiene un cuadrado perfecto
(a +b)2 = a2 + 2ab + b2
Es decir:
El cuadrado de la suma de dos cantidades. Es igual a elevar al cuadrado el
primer término del binomio, sumarle el doble del producto del primero por el
segundo y finalmente sumarle el cuadrado del segundo término.
Ejemplo1: Desarrollar (x+4)2
Solución. (x + 4)2 =(x)(x)+2(4)(x)+(4)(4)= x2 + 8x + 16
Ejemplo 2: Desarrollar (4a+5b2)2
Solución. (4a + 5b2)2 = (4 a )2+2(4)(5)ab+(5b)2=16 a2 + 40ab 2+ 25b4
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Ejercicios. Desarrolle los siguientes binomios al cuadrado:
1.- (𝑚 + 3)2 = 𝑚2 + 6𝑚 + 9
2.- (6𝑎 + 𝑏)2 = 36𝑎2 + 12𝑎𝑏 + 𝑏 2
3.- (4𝑎𝑏 2 + 5𝑥𝑦 3 )2 = 16𝑎2 𝑏 4 + 40𝑎𝑥𝑏 2 𝑦 3 + 25𝑥 2 𝑦 6
4.- (4𝑚5 + 5𝑛6 )2 = 16𝑚10 + 40𝑚5 𝑛6 + 25𝑛12
b) Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Ejercicios. Desarrolle los siguientes binomios al cuadrado:
1.- (𝑥 − 3)2 = 𝑥 2 − 6𝑥 + 9
2.- (3𝑝 − 2𝑞)2 = 9𝑝2 − 12𝑝𝑞 + 4𝑞 2
3.- (2𝑎𝑏 2 − 5)2 = 4𝑎2 𝑏 4 − 20𝑎𝑏 2 + 25
4.- (𝑚2 − 4)2 = 𝑚4 − 8𝑚2 + 16
5.- (4𝑚5 − 5𝑛6 )2 = 16𝑚10 − 40𝑚5 𝑛6 + 25𝑛12
Binomios al Cubo
Cuando un binomio se multiplica por sí mismo tres veces se tiene un binomio
al cubo. El binomio al cubo se puede expresar como el cubo de la suma de
dos cantidades, o como el cubo de la diferencia de dos cantidades.
a) Cubo de la suma de dos cantidades (a + b)3
Desarrollando la multiplicación se tiene:
(a +b)3 =(a +b )(a +b )(a +b )=(a +b )2(a +b )=(a2 + 2ab +b2 )(a +b)=a3 + 3a2 b+ 3ab2 +b3
El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, más el
triple del cuadrado de la primera por la segunda, más el triple de la primera por el
cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda.
Ejemplo 5. Desarrollar (a + 1)3
(a + 1)3 = a3 +3a21 +3a12 + 13 = a3 +3 a2 +3 a + 1
Ejemplo 6. Desarrollar (x + 2)3
( x + 2)3 = x3 + 3x2(2) +3x (22)+ 23 =x3 + 6x2 + 12 x + 8
Ejercicios. Desarrollar los siguientes binomios al cubo:
1.- (𝑥 + 2𝑦)3 = 𝑥 3 + 6𝑥 2 𝑦 + 12𝑥𝑦 2 + 8𝑦 3
2.- (3𝑥𝑦 + 5)3 = 27𝑥 3 𝑦 3 + 135𝑥 2 𝑦 2 + 225𝑥𝑦 + 125
3.- (3𝑥 2 + 𝑦)3 = 27𝑥 6 + 27𝑥 4 𝑦 + 9𝑥 2 𝑦 2 + 𝑦 3
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b) Cubo de la diferencia de dos cantidades (a-b)3
Desarrollando la multiplicación se tiene:
(a -b)3 =(a -b)(a -b )(a -b )=(a -b )2(a -b )=(a2 – 2ab + b2 )(a -b)=a3 – 3a2 b+ 3ab2 -b3
El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad,
menos el triple del cuadrado de la primera por la segunda, más el triple de la primera
por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda cantidad.
Ejemplo 7. Desarrollar (x - 2)3.
(x - 2)3 = x3 – 3x2(2) +3x (22) -23 =x3 -6x2 +12 x – 8
Ejemplo 8. Desarrollar (x2 – 3y)3.
(x2 – 3y)3=(x2)3 -3(x2)2(3y)+ 3x2(3y)2- (3y)3=x6-9x4 y +27x2 y2 -27y3
Ejercicios. Desarrollar los siguientes binomios al cubo:
1.- (𝑥 − 3𝑦)3 = 𝑥 3 − 9𝑥 2 𝑦 + 27𝑥𝑦 2 − 27𝑦 3
2.- (2𝑥𝑦 − 5)3 = 8𝑥 3 𝑦 3 − 60𝑥 2 𝑦 2 + 150𝑥𝑦 − 125
3.- (3𝑥 2 − 2𝑦)3 = 27𝑥 6 − 54𝑥 4 𝑦 + 36𝑥 2 𝑦 2 − 8𝑦 3
4.- (2𝑎𝑏 2 − 4)3 = 8𝑎3 𝑏 6 − 48𝑎2 𝑏 4 + 96𝑎𝑏 2 − 64
5.- (4𝑚2 − 5𝑛3 )3 = 64𝑚6 − 240𝑚4 𝑛3 + 300𝑚2 𝑛6 − 125𝑛9
Binomios conjugados
Cuando se tiene un producto de dos binomios los cuales tienen los mismos
monomios excepto porque el signo de uno de los monomios es diferente para ambos
a ese producto se le conoce como binomios conjugados y tiene la forma:
(a + b)(a - b)
Desarrollando el producto del binomio conjugado:
(a + b)(a - b) = (a)(a) + (a)(-b) + (b)(a) + (b)(-b)= aa - ab + ba - bb= a2 - b2
Al desarrollar el binomio conjugado se obtiene como resultado una diferencia de
cuadrados.
El producto de binomios conjugados es igual al cuadrado del primer monomio menos
el cuadrado del segundo monomio.
Ejemplo 9. Efectuar (a + x) (a – x)
(a + x)(a – x)= a2+ax-ax-a2=a2 – x2
Ejemplo 10. Efectuar (2a + 3b)(2a – 3b)
(2a + 3b)(2a – 3b)= (2a)2 - (3b)2= 4a2 - 9b2
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Ejercicios. Desarrollar los siguientes binomios conjugados:
1.- (𝑚 + 3)(𝑚 − 3) = 𝑚2 − 9
2.- (6𝑎 + 𝑏)(6𝑎 − 𝑏) = 36𝑎2 − 𝑏 2
3.- (4𝑎𝑏 2 + 5𝑥𝑦 3 )(4𝑎𝑏 2 − 5𝑥𝑦 3 ) = 16𝑎2 𝑏 4 − 25𝑥 2 𝑦 6
4.- (4𝑚5 + 5𝑛6 )(4𝑚5 − 5𝑛6 ) = 16𝑚10 − 25𝑛12
Binomios con términos semejantes
El producto de dos binomios de la forma (a + b) (a + d), puede hallarse fácilmente
siguiendo los pasos que se indican en el siguiente esquema en lo general
(a +b)(a +d)=(a)(a)+(ad)+(a b)+(b)(d)=a2+(b +d)a+(b)(d)
Ejemplo 11. Multiplicar (x + 7) (x – 2).
Coeficiente del segundo término…………….7 – 2 = 5
Tercer término………………………………7 (- 2) = -1 4
Luego (x + 7) (x – 2) = x2 + 5 x - 14.
Ejemplo 12. Efectuar (x – 7) (x – 6)
Coeficiente del segundo término……………. (-7) + (– 6) = -13
Tercer término………………………………… (-7)(- 6) = 42
Luego (x - 7) (x – 6) = x2 - 13 x +42.
Después de efectuados algunos ejercicios los pasos intermedios se pueden omitir y el
producto escribirse directamente.
Ejemplo 13. Efectuar (x3 – 12) (x3 – 3).
(x3– 12 ) (x3 – 3)= x6 – 15 x3 + 36.
Ejercicios. Realiza la multiplicación de los siguientes binomios:
1.- (𝑥 − 1)(𝑥 + 5) = 𝑥 2 + 4𝑥 − 5
2.- (2𝑎 + 𝑏)(2𝑎 − 3𝑏) = 4𝑎2 − 4𝑎𝑏 − 3𝑏 2
3.- (3𝑝 + 2)(3𝑝 + 4) = 9𝑝2 + 18𝑝 + 8
Ejercicios de repaso de productos notables.
a)
b)
c)
d)
e)
( x − 4) 2 = x 2 − 16 x + 16
( y + 9) 2 = y 2 + 18 y + 81
(2b + 5)3 = 8b3 + 60b 2 + 150b + 125
(2 y − 6)(2 y + 6) = 4 y 2 − 36
( x + 4)( x − 4) = x 2 − 16
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Factorización
Se le llama factorización al proceso de encontrar los factores de una expresión
algebraica que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión.
Factor común
El tipo de factorización más sencillo es lo contrario de la ley distributiva de
multiplicación. Este tipo de factorización se denomina eliminación de un factor común.
Si cada término de una expresión contiene el mismo factor, entonces este es un factor
común y puede factorizarse fuera al aplicar la ley distributiva.
Ejemplo 1:
𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 = 𝑎(𝑏 + 𝑐)
Factoriza la siguiente expresión: 12 xyz + 8 x 2 y 2 z 2 − 4 x 3 y 3 z 3 =
Se observa que el 4 aparece como factor en cada uno de los términos de polinomio, en
el primer término 12= (4) (3), segundo término 8=(4)(2) y en el tercer término, sin
considerar el signo 4=(4)(1), por lo que 4 es factor común, 𝑥, 𝑦 y 𝑧 aparecen como
factor común en todos los términos. La factorización del polinomio queda:
12 xyz + 8 x 2 y 2 z 2 − 4 x 3 y 3 z 3 = 4xyz (3+2xyz-x2 y2 z2)
Ejemplo 2 Factoriza la expresión 84a 5b 4 − 108a 4b5 + 420a 6b3 =
El 12 aparece como factor en cada uno de los términos de polinomio, en el primer
término 84=(12)(7) , segundo término 108=(12)(9) y en el tercer término, sin considerar
el signo 420=(12)(35), por lo que 12 es factor común, 𝑎 y 𝑏 aparecen como factor
común en todos los términos. La factorización del polinomio queda:
84a 5b 4 − 108a 4b5 + 420a 6b3 = 12 a 4 b3 (7ab-9b2+35a2)
Diferencia de cuadrados
La diferencia de cuadrados es un binomio de la forma a2 - b2. La factorización de una
diferencia de cuadrados es el producto de binomios conjugados.
a2 - b2 = (a + b) (a - b)
Ejemplo 3: Factorizar 1 − 𝑎2 ; la raíz cuadrada de 1 es 1; y de a2 es a. Multiplicando
la suma de estas raíces (1+a) por la diferencia (1-a) se obtiene: 1-a2=(1+a)(1-a)
Ejemplo 4: Factorizar 16𝑥 2 − 25𝑦 4 ; la raíz cuadrada de 16x2 es 4x; y de 25y4 es 5y2.
Multiplicando la suma de estas raíces (4x+5y2) por su diferencia (4x-5y2) se obtiene:
16x2-25y4= (4x+5y2) (4x-5y2)
Ejercicios factorizar:
a) 64𝑥 4 − 16𝑦 2 = (8𝑥 2 + 4𝑦)(8𝑥 2 − 4𝑦)
b) 169𝑡 2 − 25 = (13𝑡 + 5)(13𝑡 − 5)
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Suma y diferencia de cubos
a) Suma de cubos
Un binomio de la forma a3+b3 se conoce como suma de cubos, y la factorización de
una suma de cubos se realiza usando:
a3 + b3 =(a +b) (a2 - ab + b2)
La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
1º La suma de sus raíces cúbicas. 2º El cuadrado de la primera raíz, menos el producto
de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.
Ejemplo 5: Factoriza la expresión 27x3+y6
El primer término 27x3 es un cubo, su raíz cúbica es 3x. El segundo término y6 es un
cubo, su raíz cúbica es y2. Por lo tanto, la factorización queda:
27x3 +y6 = (3x+y2) (9x2-3xy2+y4)
Ejemplo 6: Factoriza laexpresión125s3+64
El primer término 125 s3 tiene raíz cúbica 5s y, el segundo 64 tiene raíz cúbica 4.
Por lo tanto, la factorización queda: 125s3 +64 = (5s+4) (25s2-20s+16)
Ejercicios factoriza las siguientes expresiones:
a) 8 + 125𝑡 3 = (2 + 5𝑡)(4 − 10𝑡 + 25𝑡 2 )
b) 216𝑥 6 + 125 = (6𝑥 2 + 5)(36𝑥 4 − 30𝑥 2 + 25)
c) 64𝑥 3 + 216𝑦 3 = (4𝑥 + 6𝑦)(16𝑥 2 − 24𝑥𝑦 + 36𝑦 2 )
b) Diferencia de cubos
Un binomio de la forma a3 - b3 se conoce como diferencia de cubos La factorización
de una diferencia de cubos se realiza usando:
a3 - b3 = (a-b) (a2 + ab + b2)
La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
1º La diferencia de sus raíces cúbicas. 2º El cuadrado de la primera raíz, más el
producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.
Ejemplo 7: Factorizar x3 - 27.
El primer término x3 tiene raíz cúbica x y el segundo - 27 tiene raíz cúbica -3. Por lo
tanto, la factorización queda: x3 - 27=(x-3) (x2+3x+9)
Ejemplo 8: Factorizar 8x3-125
El primer término 8x3 tiene raíz cúbica 2x. El segundo -125, tiene raíz cúbica -5. Por lo
tanto, la factorización queda: 8x3 -125 =(2x-5)(4x2+10x+25)
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Ejercicios factoriza:
a) 125𝑝3 − 8𝑞 3 = (5𝑝 − 2𝑞)(25𝑝2 + 10𝑝𝑞 + 4𝑞 2 )
b) 27𝑥 3 − 125𝑦 3 = (3𝑥 − 5𝑦)(9𝑥 2 + 15𝑥𝑦 + 25𝑦 2 )
c) 𝑡 6 − 27𝑠 3 = (𝑡 2 − 3𝑠)(𝑡 4 + 3𝑠𝑡 2 + 9𝑠 2 )
Trinomios
En álgebra un trinomio es una expresión con tres términos. Para la factorización de
trinomios se presentan los siguientes casos, trinomio cuadrado perfecto, trinomio de la
forma x2+(a+b)x+ab, y trinomio de la forma acx2+(ad+bc)x+bd
a) Trinomio cuadrado perfecto:
Un polinomio de la forma a2 + 2ab + b2 se conoce como trinomio cuadrado perfecto.
Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio La factorización
de un trinomio cuadrado perfecto es un binomio al cuadrado.
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Para el caso general en que el segundo término 2ab, tenga signo negativo se puede usar:
a2 − 2ab + b2 = (a − b)2
Ejemplo 9. Factoriza el trinomio x2 + 4x + 4.
Verificar si el trinomio es cuadrado perfecto, el primer término es cuadrado, tiene signo
positivo y su raíz cuadrada es x, el tercer término es cuadrado, tiene signo positivo y su
raíz cuadrada es 2, el segundo término tiene signo positivo y se puede expresar como el
doble del producto de las raíces de los otros dos términos, 2(x)(2) = 4x, se concluye que
x2 + 4x + 4 es un trinomio cuadrado perfecto y se factoriza como:
x2 + 4x + 4 = (x + 2)2
Ejemplo 10. Factoriza el trinomio 9p2 - 12pq + 4q2
Verificar si el trinomio es cuadrado perfecto, el primer término tiene raíz cuadrada 3p,el
tercer término tiene raíz cuadrada 2q, el segundo término se expresa como el doble del
producto de las raíces de los otros dos términos, 2(3p)(2q) =12pq, se concluye que 9p2
-12pq+4q2 es un trinomio cuadrado perfecto y se factoriza como:
9p2 - 12pq + 4q2= (3p-2q)2
Ejercicios: Factoriza las siguientes expresiones:
a)
b)
c)
d)
𝑚2 + 2𝑚 + 1 = (𝑚 + 1)2
4𝑥 2 − 20𝑥𝑦 + 25𝑦 2 = (2𝑥 − 5𝑦)2
9𝑥 4 − 6𝑥 2 𝑦 + 𝑦 2 = (3𝑥 2 − 𝑦)2
16𝑎2 + 40𝑎𝑏 2 + 25𝑏 4 = (4𝑎 + 5𝑏 2 )2
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b) Trinomio de la forma x2+(a+b)x+ab
El trinomio de la forma x2+(a+b)x+ab son trinomios que cumplen con las condiciones
siguientes:
a) El coeficiente del primer término es 1.
b) El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su
coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
c) El tercer término es independiente de la letra que aparece en el 1º y 2º términos y es
una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
Un trinomio de la forma x2 +(a +b)x +ab se factoriza a la forma (x +a)(x + b) solo si es
posible hallar dos números d y f que sumados de a+b y su producto de ab. Este
procedimiento se justifica porque:
(x + a)(x +b) = x2 + (a + b)x + ab
Donde se observa que el segundo término es la suma de a y b y el tercer término es el
producto de a y b.
Ejemplo 11. Factorizar x2 + 5x + 6.
Para los números 2 y 3 la suma es 2 + 3 = 5 y el producto es 2 × 3 = 6, la expresión
se factoriza como:
x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
Ejemplo 12. Factorizar x2 - 6x + 8.
Para los números -2 y -4 la suma es (-2) + (-4) = -6 y el producto es (-2) (-4) = 8, la
expresión se factoriza como:
x2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4)
Ejemplo 13. Factorizar x2 + x - 30.
Para los números 6 y -5 la suma es (6) + (-5) = 1 y el producto es (6) (-5) = -30 la
expresión se factoriza como:
x2 + x - 30 = (x + 6)(x - 5)
Ejercicios: Factoriza las siguientes trinomios
a)
b)
c)
d)
e)
x2+5x+6
x2+7x+12
x2-7x+12
x2+x-12
x2-x-12
=
=
=
=
=
(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)
(𝑥 + 4)(𝑥 + 3)
(𝑥 − 4)(𝑥 − 3)
(𝑥 + 4)(𝑥 − 3)
(𝑥 − 4)(𝑥 + 3)
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III. Ecuaciones de primer y de segundo grado
Ecuaciones de primer grado
En el quehacer cotidiano nos enfrentamos a problemas en los que de alguna manera los
podemos resolver utilizando una recodificación, la cual llevamos a cabo utilizando letras,
símbolos, etc. los cuales es posible manipularlos haciendo uso de reglas y definiciones ya
establecidas.
Una expresión algebraica es una representación de las operaciones básicas de suma,
sustracción, producto y división (excepto entre 0), o la extracción de raíces sobre cualquier
conjunto de variables y números.
Ejemplos:
8x + 9
x3 y8
z
y +4
Las aplicaciones de las Matemáticas con frecuencia conducen a ecuaciones, formulaciones en
las que dos expresiones algebraicas son iguales.
Una ecuación lineal (o de primer grado): en una variable incluye sólo números reales y una
variable.
a , b, c , ∈ R
ax + b = c
a≠0
Solución de la ecuación lineal: Si la variable en la ecuación se reemplaza por un número real
que hace que la proposición sea verdadera. Una ecuación se resuelve determinando su conjunto
solución o el conjunto de todas las soluciones.
Ecuaciones equivalentes: Son ecuaciones con el mismo conjunto solución.
Por lo general, para resolver las ecuaciones se inicia con una ecuación determinada y se produce
una serie de ecuaciones equivalentes más sencillas, aplicándole reiteradamente las propiedades
siguientes:
Propiedad de la suma de igualdades:
a =b ⇔ a+c =b+c
c∈R
Propiedad de la multiplicación de igualdades:
a = b ⇔ ac = bc
c∈R
Resolución de ecuaciones de primer grado
Ejemplo 1. Resuelva la siguiente ecuación lineal
8 x + 1 = 17
8 x = 17 − 1
8 x = 16
16
8
x=2
x=
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Ejemplo 2. Resuelva la siguiente ecuación lineal
4x − 2x − 5 = 4 + 6x + 3
2x − 5 = 6x + 7
2x = 6x + 7 + 5
2 x = 6 x + 12
2 x − 6 x = 12
− 4 x = 12
12
−4
x = −3
x=
Pasos para resolver una ecuación lineal en una variable
1.- Elimine las fracciones,
2.- Simplifique cada lado por separado,
3.- Aísle los términos que incluyan la variable en un lado,
4.- Haga una transformación de modo que el coeficiente de la variable sea 1,
5.- Compruébela.
Ejemplos:
1) 2(k − 5) + 3k = k − 6
x + 7 2x − 8
2)
+
= −4
6
2
3) .06 x + .09(15 − x ) = .07(15)
Tipos de ecuaciones
Al resolver un problema puede pasar:
1. Que el problema tenga una solución única.
2. Que el problema no tenga solución.
3. Que el problema tenga una infinidad de soluciones.
Ejercicios: Resuelva la siguientes ecuaciones
1) 5 x − 9 = 4( x − 3) ;
x = −3
2) 5 x − 15 = 5( x − 4 ); no tiene solucion
3) 5 x − 15 = 5(x − 3); x = 0
La solución de un problema en el Álgebra con frecuencia depende del uso de un enunciado
matemático o fórmula en la que se utiliza más de una letra para expresar una relación.
Ejemplos:
d = rt
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I = prt
P = 2 L + 2W
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Ejercicios.
Resuelva las ecuaciones dadas.
1) 2 x + 7 = 31; x = 12
𝑑 = 1.4
2) 5d − 3 = 4
3) 4r = r + 9
𝑟=3
1
1
4)
𝑠 = 12
s−2= s
2
3
2t + 1
5)
𝑡=7
= 3t − 16
3
3y − 2
1
6)
+ 3 = y − ; y = 12
4
2
y + 4 5 2y − 2
7)
− =
; y = 11
2
6
3
3z + 5 2 z − 3
8)
−
= 3; z = 9
4
3
x x +1
1
+
= 6 x; x =
2
4
17
2
3 1
5
10)
s− + s=s− ; s=6
3
4 4
4
9) 2 x −
11) (5 − 3x ) − (− 4 x + 6) = (8 x + 11) − (3x − 6);
x = −4.5
12)
x − [5 + 3 x − {5 x − (6 + x )}] = −3;
x=4
13)
16 x − [3x − (6 − 9 x )] = 30 x + [− (3x + 2 ) − (x + 3)];
x = 0.5
Resuelva la ecuación para la variable indicada.
14) PV = nRT ; para R =
PV
nT
Fr 2
GM
2d − b
ax + b
16)
= 2 ; para x =
a − 2d
cx + d
15) F = G
mM
;
r2
para m =
17) P = 2l + 2W ;
18)
1 1
1
=
+
R R1 R2
P
−l
2
RR2
; para R1 =
R2 − R
para W =
Aplicaciones
Pasos para la resolución de problemas de aplicaciones
1.- Determine lo que se pide que encuentre; dale una variable,
2.- Escriba cualquier otra información pertinente,
3.- Escriba una ecuación,
4.- Resuelva la ecuación,
5.- Responda la o las preguntas del problema.
6.- Verifique.
Ejemplos:
1.- Los hermanos Jim y Gaylord Perry fueron dos lanzadores destacados en las ligas mayores
durante las últimas décadas. Juntos ganaron 529 juegos. Gaylord ganó 99 juegos más que Jim.
¿Cuántos juegos ganó cada uno de los hermanos?
Solución:
Sea
j= número de victorias de Jim
j+99= número de victorias de Gaylor
TALLER DE MATEMÁTICAS
Página 30
j + ( j + 99 ) = 529
2 j + 99 = 529
2 j = 529 − 99
2 j = 430
430
j=
2
j = 215
j + 99 = 314
2.- a) Si un Químico tiene 40 lts. de una solución de ácido al 35%, encuentre la cantidad de
ácido puro en la solución.
b) Si se invierten $1300.00 durante un año al 7% de interés simple, cuál es la cantidad de interés
devengado al año?
c) Si un recipiente contiene 37 monedas de cuarto de dólar, cual es el valor total de las
monedas?
Solución:
a)
b)
c)
(40)(.35) = 14lts.
(1300)(.07 ) = 91
(37 )(.25) = 9.25
3.- La velocidad del sonido es de
1088
ft
seg
al nivel del mar y a 32 oF . En estas
condiciones ¿ Cuánto recorre el sonido en 5 segundos?
Solución:
(1088)(5) = 5440 pies
4.- En distancias cortas un elefante puede viajar a una velocidad de 25 millas . ¿Cuánto
hora
le tomaría al elefante recorrer un cuarto de milla?
Solución:
d
v
1
 
1
60
3600
4
t= =
hora =
min =
= 36 seg
25 100
100
100
t=
5.- En los juegos olímpicos de 1988, la ex URSS ganó la carrera de 400 metros de relevos con
un tiempo de 38.19 segundos ¿cuál fue la velocidad del equipo?
Solución:
TALLER DE MATEMÁTICAS
Página 31
v=
d 400
mts
=
= 10.47
t 38.9
seg
4.- Dos automóviles salen de Baton Rouge, Louisiana, al mismo tiempo y viajan hacia el este
por la carretera interestatal 12. Uno se desplaza a una velocidad constante de 55 millas , y el otro
hora
a una velocidad constante de
millas
63
hora
. ¿En cuántas horas será la distancia entre ellos de
24millas ?
t=número de horas,
63t ,
55t ,
63t − 55t = 24
8t = 24
t =3
La representación gráfica de una ecuación lineal es una línea recta.
Por Geometría se tiene que una recta queda determinada por dos puntos en el plano cartesiano,
si encontramos las intersecciones con los ejes coordenados (si las hay), podemos trazar la
gráfica correspondiente.
1.- Trazar la gráfica de la ecuación 2 x + 3 y = 6
Intersecciones con los ejes coordenados:
Si x = 0 , 3 y = 6 , entonces
y = 2 . Por tanto el punto es (0,2 )
Si y = 0 , 2 x = 6 , entonces x = 3 . Por tanto el punto es (3,0 )
Entonces ya es posible trazar la recta de la ecuación.
2.- Trazar la gráfica de la ecuación 3 x − 4 y = 7
Intersecciones con los ejes coordenados:
Si x = 0 , − 4 y = 7 entonces y =
Si y = 0 , 3 x = 7 entonces y =
TALLER DE MATEMÁTICAS
−7
 −7
; el punto es  0,

4
 4 
7
7 
; el punto es  ,0 
3
3 
Página 32
Por tanto, ya puedes trazar la gráfica de la recta que pasa por esos puntos.
3.- Trazar la gráfica de la ecuación 2 y − 3 = 0
Como nada más aparece una variable, entonces la despejamos:
2y = 3 ⇒ y =
La gráfica es una recta horizontal que pasa por y =
3
2
3
2
4.- Trazar la gráfica de la ecuación 2 x + 8 = 0
Despejando la variable:
2 x = −8 ⇒ x = −4
La gráfica es una recta vertical que pasa por x = −4 .
Ejercicios.
Aplicaciones de ecuación lineal.
1) Dos hermanos ganaron $1,300.00 durante sus vacaciones de verano. El mayor ganó
1
1 veces más que el otro. Determínese la ganancia de cada uno. $371.42; $928.57
2)
2
En un grupo de 35 estudiantes había 10 hombres menos que el doble de mujeres.
Determínese cuantos había de cada sexo. ℎ = 20; 𝑚 = 15
3) ¿Cuánta agua se debe agregar a 20 onzas de una solución de alcohol al 15% para obtener
alcohol al 10%? 10 onzas; I
4) ¿Cuánta agua se debe agregar a 20 litros de una solución de alcohol al 20% para rebajarla al
8%? 30 litros; I
5) Calcule dos números cuya suma es 55 y cuyo producto es 684. 19 y 36;
6)
7)
𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠
Un Químico necesita conocer el peso molecular, en
de un sólido. Consultando en
𝑚𝑜𝑙
sus manuales, pudo deducir que la suma de la tercera parte y la mitad del peso molecular es
𝑔𝑟
de 90
. Calcula el peso molecular del sólido. 108;
𝑚𝑜𝑙
En 60 onzas de aleación para cajas de reloj, hay 20 onzas de oro. ¿Cuánto cobre se debe
agregar a esa aleación para que una caja de reloj que pesa 4 onzas, con la aleación nueva
contenga exactamente 1 onza de oro? 20 onzas de cobre;
8) Un plomero y su ayudante trabajan juntos para reemplazar la tubería de una casa vieja. El
plomero gana 45 dólares por hora por su trabajo y 25 dólares su ayudante. El plomero
TALLER DE MATEMÁTICAS
Página 33
trabaja el doble del tiempo que su ayudante y el cargo final por mano de obra es de 4025
dólares. ¿Cuánto tiempo trabajaron el plomero y su ayudante en esta casa? 70 y 35 horas;
Representa gráficamente las ecuaciones dadas.
11) x + y = 3
12) 3 x − 2 y = 12
13) x + 3 y = 0
14) 2 x − 5 y = 0
15) 3 x + 5 y = 9
16)
1
1
x − y +1= 0
2
3
Ecuaciones Cuadráticas
Una ecuación de la forma
cuadrática.
ax 2 + bx + c = 0
donde a, b, c,∈ R , a ≠ 0 es una ecuación
El método sencillo para resolver una ecuación cuadrática, que no siempre es fácil de aplicar, es
factorizar. Para esto, utilizamos las siguientes propiedades:
Ejemplos:
6x 2 + 7x = 3
x 2 = 25
6x 2 + 7x − 3 = 0
(3x − 1)(2 x + 3) = 0
1
3x − 1 = 0 ⇒ x =
3
−3
2x + 3 = 0 ⇒ x =
2
x 2 − 25 = 0
(x − 5)(x + 5) = 0
x −5=0⇒ x =5
x + 5 = 0 ⇒ x = −5
Propiedad de la raíz cuadrada: Si k ≥ 0 , las soluciones de x 2 = k son x = ± k .
x2 = k
x2 − k = 0
(x − k )(x + k ) = 0
x = k,
x=− k
Ejemplo:
( y − 4)2 = 12
( y − 4 )2 = ±
12
y − 4 = ± 12
y = 4 ± 12
y=4±2 3
TALLER DE MATEMÁTICAS
Página 34
Resolución por la fórmula general
Otra forma de resolver una ecuación cuadrática, es usando la fórmula general; ésta se obtiene de
completar el cuadrado.
ax 2 + bx + c = 0 , con a ≠ 0
− b ± b 2 − 4ac
x=
2a
Ejemplos:
x 2 − 4x + 2 = 0
4 ± 16 − 8
x=
2
4± 8
x=
2
4±2 2
x=
2
x=2± 2
2y2 = y + 4
2y2 − y − 4 = 0
1 ± 1 + 32
4
1 ± 33
y=
4
y=
Aplicaciones
1.- Hallar el número que sumado con su cuadrado nos da 72.
Solución:
Sea x el número que buscamos
x + x 2 = 72
x 2 + x − 72 = 0
1 ± 1 − 4(− 72 )
2
− 1 ± 17
x=
2
x =8
x = −9
x=
2.- El producto de dos números enteros consecutivos es 240. Hallar los números.
Solución:
Sea x uno de los números buscados y, x + 1 el otro número
TALLER DE MATEMÁTICAS
Página 35
x( x + 1) = 240
x 2 + x = 240
x 2 + x − 240 = 0
(x − 15)(x + 16) = 0
x = 15
x = −16
3.- Un rectángulo tiene un área de 800 unidades cuadradas. Si el largo es el doble del ancho,
¿cuáles son sus dimensiones?
Solución:
A = bh
800 = (2 x )x
800 = 2 x 2
2 x 2 − 800 = 0
x 2 − 400 = 0
(x − 20)(x + 20) = 0
x = ±20
4.- Un terreno tiene la forma de un triángulo rectángulo. El cateto más grande del triángulo es
20 m mayor que el doble de la longitud del cateto más corto. La hipotenusa es 10 m mayor que
el cateto más grande. Determine las longitudes de los tres lados del terreno.
Solución:
s= longitud del cateto más corto
20 + 2 s es la longitud del cateto más largo
30 + 2 s es la longitud de la hipotenusa
Usando el Teorema de Pitágoras:
s 2 + (20 + 2 s ) = (30 + 2 s )
s = 50
2
2
5.- Si un proyectil es lanzado verticalmente hacia arriba, con una velocidad inicial de 100
ft
,
seg
descartando la resistencia al aire, su altura s (en pies) sobre la tierra después de t seg. de ser
lanzado está dado por:
s = −16t 2 + 100t
a) ¿Después de cuantos segundos estará a 50 pies de altura?
b) ¿Cuánto tiempo le tomará al proyectil regresar a la tierra?
Solución:
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Página 36
50 = −16t 2 + 100t
16t 2 − 100t + 50 = 0
0 = −16t 2 + 100t
8t 2 − 50t + 25 = 0
a)
t=
50 ±
0 = −4t (4t − 25)
b) t = 0
25
t=
= 6.25 seg.
4
(50)2 − 32(25)
16
50 ± 1700
t=
16
t = .55 y t = 5.70
Ejercicios:
Resuelva las ecuaciones cuadráticas, usando fórmula general.
1) x 2 − 2 x − 3 = 0; 3,−1
1
4) 3x 2 + 5 x = 2; ,−2
3
2
2 x + 3x = 9; 1.5,−3
2) x 2 + 3 x − 4 = 0; 1,−4
3) x 2 + x − 6 = 0; 2,−3
5) x 2 + 8 x + 12 = 0; − 2,−6
6)
Reescriba y resuelva las siguientes ecuaciones.
10) (x − 1)( x + 2 ) = 0
13) (2 x + 1)(x − 3) = 0
10) 𝑥 2 + 𝑥 − 2 = 0;
13) 2𝑥 2 − 5𝑥 − 3 = 0;
Aplicaciones
11) (x − 3)(x − 2 ) = 0
3

14)  x − (3 x + 2 ) = 0
4

12) x( x + 4 ) = 0
x=0
15)
x = −2
11) 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0;
14) 3𝑥 2 − 0.25𝑥 − 1.5 = 0;
12) 𝑥 2 + 4𝑥 = 0;
15) 𝑥 2 + 2𝑥 = 0;
19) Si a un número se le agrega su cuadrado se obtiene 90. Encuentre el número. 9, -10;
20) Hallar el número cuyo cuadrado disminuido en el doble del número da 15. 5, -3;
21) Si al largo de un rectángulo se le restan 3 m. se obtiene un cuadrado de 225m 2 de área.
Hallar las dimensiones y el área del rectángulo. 15, 18; 270𝑚2
22) La base de un rectángulo es el doble de su altura y el área es de 288m 2 . Calcular sus
dimensiones. 12 y 24 mts;
m
. ¿Dentro
seg
de cuánto tiempo estará a 49 m de altura sobre el suelo? Sugerencia: use h = vt − 4.9t 2 ; 2 y 5
23) Desde el suelo se lanza un proyectil hacia arriba con una velocidad de 34.3
seg.;
TALLER DE MATEMÁTICAS
Página 37
Sistemas de ecuaciones lineales SEL
Una ecuación lineal con dos variables tiene la forma
ax + by = c con a, b, c,∈ R
Un conjunto de dos ecuaciones con dos variables, se llama sistema de ecuaciones y tiene la
forma:
ax + by = c
dx + ey = f
donde a, b, c, d , e, f ∈ R .
Tipos de SEL
Resolver un sistema de ecuaciones lineales, es encontrar los valores de x
cumplan con las dos ecuaciones dadas. Casos probables:
y y , tales que
Solución única: Cuando existe un valor para x , y un valor para y que cumplen con el sistema.
Geométricamente la solución se obtiene en el punto donde las dos rectas se cortan
Infinidad de soluciones (Dependientes): Cuando una ecuación es un múltiplo de la otra; es
decir, que existe un número real diferente de cero, que multiplica a una ecuación y se obtiene la
otra ecuación del sistema. Geométricamente, las dos ecuaciones se representan gráficamente en
una sola recta.
Inconsistente (no tiene solución): cuando no existen un valor para 𝑥, y un valor para 𝑦 que
cumplan con el sistema. En este caso, las dos rectas nunca se cortan.
Métodos algebraicos para resolver SEL
Métodos para resolver sistemas de ecuaciones.
Método de eliminación:
Ejemplo 1. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales
2x + 3y = 2
x − 3 y = 10
Solución:
Sumando ambas ecuaciones se obtiene:
3 x = 12
x=4
Sustituyendo x = 4 en la segunda ecuación y despejando y se obtiene:
4 − 3 y = 10
Así, la solución del sistema es (4,−2 ) .
TALLER DE MATEMÁTICAS
− 3y = 6
y = −2
Página 38
Aquí la opción a utilizar es eliminar una variable de ambas ecuaciones, multiplicando por un
número real adecuado para que esa variable a eliminar tenga el mismo coeficiente y diferente
signo (sumamos las ecuaciones) o bien mismo coeficiente y mismo signo (restamos las
ecuaciones), para así obtener el valor de la variable que no se elimina.
Conociendo el valor de una de las variables, sustituimos en cualquiera de las ecuaciones del
sistema y encontramos el valor que falta.
Ejemplo 2. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales
3x − 2 y = 4
− 6x + 4 y = 7
Solución:
(3x − 2 y = 4)(2)
− 6x + 4 y = 7
6x − 4 y = 8
− 6x + 4 y = 7
0 + 0 = 15
El sistema es inconsistente, no tiene solución.
Método de sustitución:
Ejemplo 3. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales
3 x + 2 y = 13
4 x − y = −1
Solución:
Despejamos una variable de una de las ecuaciones del sistema y la sustituimos en la otra
ecuación.
Despejando y de la segunda ecuación:
4x + 1 = y
Sustituyendo en la primera ecuación, desarrollamos y despejamos x :
3 x + 2(4 x + 1) = 13
3 x + 8 x + 2 = 13
11x = 11
x =1
Sustituyendo en la ecuación donde y está despejada se obtiene:
y = 4(1) + 1
y =5
Entonces la solución del sistema es (1,5) .
TALLER DE MATEMÁTICAS
Página 39
Ejemplo 4. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales
− 4x + y = 2
8 x − 2 y = −4
Solución:
Despejando y de la primera ecuación:
y = 2 + 4x
Sustituyendo en la segunda ecuación:
8 x − 2(2 + 4 x ) = −4
8 x − 4 − 8 x = −4
− 4 = −4
Una identidad, entonces el sistema tiene una infinidad de soluciones. Una opción de solución es
(x,2 + 4 x ) para x ∈ ℜ .
Otro método a usar es el método gráfico, no es muy común ya que si la solución del sistema no
son números enteros, entonces no es muy factible encontrar el valor exacto de la solución.
Aplicaciones
Muchos problemas abarcan más de una cantidad; aunque ciertos problemas con dos incógnitas
pueden resolverse con una sola variable, muchas veces es más fácil usar dos variables.
1.- La suma de dos números es 63. Su diferencia es 19. Encuentre los dos números.
Solución:
x es un número,
y es otro número
x + y = 63
x − y = 19
Sumando las ecuaciones se obtiene:
x + y = 63
x − y = 19
________
2 x = 82
x = 41
Sustituyendo en la primera ecuación:
TALLER DE MATEMÁTICAS
41 + y = 63
y = 63 − 41 = 22
Página 40
2.- Los precios de admisión a un juego de futbol fueron de $6 para adultos y $2 para niños. El
valor total de los boletos vendidos fue de $2,528 y se vendieron 454 boletos. ¿Cuántos adultos
y cuántos niños asistieron al evento?
Solución:
Sea a el número de boletos vendidos de adultos, y sea b el número de boletos vendidos de
adultos
a + b = 454
6a + 2b = 2528
(a + b = 454)(2)
6a + 2b = 2528
Haciendo una resta de ecuaciones se obtiene:
2a + 2b = 908
6a + 2b = 2528
____________
− 4a = −1620
a = 405
Sustituyendo en la primera ecuación:
405 + b = 454
b = 454 − 405
b = 49
Entonces, se vendieron 405 boletos de adultos y 49 boletos de niños.
3.- Una farmacéutica necesita 100 litros de solución de alcohol al 50%. Tiene a la mano
soluciones de alcohol al 30% y al 80%, que puede mezclar. ¿Cuántos litros de cada uno
se requerirán para hacer los 100 litros de la solución al 50%?
Solución:
x = número necesario de litros de alcohol al 30%
y = número necesario de litros de alcohol al 80%
x + y = 100
.30 x + .80 y = .50(100 )
Despejando x de la primera ecuación:
x = 100 − y
Sustituyendo en la segunda ecuación:
.30(100 − y ) + .80 y = .50(100 )
30 − .30 y + .80 y = 50
.50 y = 20
y = 40
TALLER DE MATEMÁTICAS
Página 41
Sustituyendo en la ecuación donde despejamos x ,
x = 100 − 40
x = 60
Por tanto, se necesitan 40 litros de alcohol al 30% y 60 litros de alcohol al 80%.
Ejercicios:
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con dos variables usando
alguno de los métodos descritos en párrafos anteriores.
1)
4)
2x − y = 5
x + 4y = 7
3x − 4 y = 1
2)
(3,1)
(
8 − 2 y = −4 25 ,6
3
)
3 x + 4 y = 14
2 x + y = 1 (− 2,5)
2x + y = 7
5) 8 x + y = −4
− 11 , 32
3
6
(
)
3)
6)
x − 2y = 2
3 x + 2 y = 14
2 x − 4 y = −2
3 x + 2 y = −3
(4,1)
(− 1,0)
Aplicaciones de sistemas de ecuaciones lineales
10. Si una sala tuviera 2m mas de largo y 3m mas de ancho, el área seria de 40 m2 mayor de lo
que es ahora y si tuviera 2m menos de largo y 3m más de ancho, el área seria 8m2 mayor
que ahora. Hallar las dimensiones de la sala. 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 = 5 𝑚𝑡𝑠; 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 = 8 𝑚𝑡𝑠
11.
La suma de dos cifras de un número es 9 y si al número se le resta 27 las cifras se
invierten. Hallar el número. 63;
12.
Si 6 kg de café y 5kg de té cuestan $56; 4kg de té y 7 kg de café cuestan $58. ¿Cuánto
cuesta 1 kg de café y cuánto cuesta un 1kg de té? café = $ 6.00; té = $ 4.00;
13. Un comerciante gasto $950 en comprar 35 trajes de a $30 y de a $25. ¿Cuántos trajes de
cada precio compro? 15 trajes de a $30 y de a $25, 20 trajes;
14. Roberto ganó ayer $6 más que hoy. Si lo que ganó hoy es lo 2/3 de lo que ganó ayer
¿Cuánto ganó cada día? ℎ𝑜𝑦 = 12; 𝑎𝑦𝑒𝑟 = 18
15. La diferencia entre la cifra de las unidades y la cifra de las decenas de un número es 7 y si
el número se suma con el número que resulta de invertir sus cifras la suma es 99. Hallar el
número. 81
16. El perímetro de un rectángulo es 36 metros. Si el largo se aumenta en 2 metros y el ancho
se disminuye en 3 metros, el área se disminuye en 20 m2. Hallar las dimensiones del
rectángulo. 𝑎 = 8; 𝑙 = 10
TALLER DE MATEMÁTICAS
Página 42
IV. Trigonometría
Introducción
La trigonometría es una rama de la matemática que estudia las relaciones entre los lados
y los ángulos de un triángulo; estas relaciones sirven para calcular los elementos de
interés que son desconocidos en estas figuras geométricas. Trigonometría significa
medida de triángulos.
Los triángulos se clasifican según la medida de sus lados como Equilátero, Isósceles y
escaleno. Con respecto a sus ángulos como recto, agudo y obtuso.
Resolver un triángulo significa tener la medida de todos sus lados y todos sus ángulos
Unidades angulares
En trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana
es el grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián.
•
•
Radián: unidad angular natural para medir ángulos en trigonometría, en una
circunferencia completa hay 2π radianes.
Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360
grados.
Antes de definir las razones trigonométricas de ángulos agudos, vamos a caracterizar la
manera de describir y nombrar los lados de un triangulo rectángulo en términos de sus
ángulos agudos.
Lado
Para el ángulo A
Para el ángulo B
a
cateto opuesto
cateto adyacente
A
c
b
b
cateto adyacente
cateto opuesto
c
hipotenusa
hipotenusa
C
a
B
Recordemos:
1. Los ángulos en un triángulo se simbolizan con letras mayúsculas y sus lados
opuestos utilizan la misma letra pero en minúscula.
2. Razón Geométrica. Es la comparación de dos cantidades por división. Por
ejemplo
3
= 0.6
5
, significa que 3 es el 60% de 5.
TALLER DE MATEMÁTICAS
Página 43
Razones trigonométricas
Existen seis razones que se pueden establecer a partir de los lados de un triángulo
rectángulo, estas son: razones trigonométricas directas (Seno, Coseno, Tangente) y
razones trigonométricas recíprocas (cotangente, secante, cosecante). En la siguiente
tabla se definen cada una de ellas. Se debe tener presente que estas razones
trigonométricas solo se aplican a los ángulos agudos de los triángulos rectángulos.
Nombre
Definición
Notación
Seno del ángulo B
Es la división del cateto opuesto sobre la
hipotenusa
Coseno del ángulo B
Es la división del cateto adyacente sobre la
hipotenusa
Tangente del ángulo B
Es la división del cateto opuesto sobre el
cateto adyacente
Cotangente del ángulo B
Es la división entre el cateto adyacente y el
cateto opuesto
Secante del ángulo B
Es la división entre la hipotenusa y el
cateto adyacente
Cosecante del ángulo B
Es la división entre la hipotenusa y el
cateto opuesto
CO
H
CA
CosB =
H
CO
TanB =
CA
CA
CotB =
CO
H
SecB =
CA
H
CscB =
CO
SenB =
Nota: en la tabla anterior se considera a B como uno de los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo
Teorema de Pitágoras
Uno de los teoremas más importantes, útiles y conocidos en la geometría plana es el
Teorema de Pitágoras, llamado así en honor al matemático griego Pitágoras.
El teorema dice que el área de un cuadrado construido con la hipotenusa como lado de
un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos
sobre los catetos del triángulo.
c2 = a 2 + b2
c2
a2
b2
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Página 44
Identidades de Ángulos Generales
En este caso r = x 2 + y 2 y las identidades son:
y
r
r
csc θ =
y
sin θ =
x
r
r
sec θ =
x
cos θ =
y
x
x
cot θ =
y
tan θ =
(Recuerde que si se utiliza el círculo unitario r =1)
y
r
x
Despejando x de cos θ =
r
Despejando y de sin θ =
y = r ⋅ sin θ
sustituyendo en r = x 2 + y 2
x = r ⋅ cosθ
y utilizando el circulo unitario
Se obtiene lo siguiente: 1 = (1 ⋅ cosθ ) 2 + (1 ⋅ sin θ ) 2
Al elevar ambos miembros al cuadrado y simplificando se obtiene: cos 2 θ + sin 2 θ = 1
Esta última expresión es una de las tres identidades pitagóricas, de manera similar se
obtienen las siete restantes.
Identidades trigonométricas fundamentales

Identidades trigonométricas recíprocas
1. cscθ =

2. sec θ =
1
cos θ
3. cot θ =
1
tan θ
Identidades trigonométricas cociente
4. tan θ =

1
sin θ
sin θ
cos θ
5. cot θ =
cos θ
sin θ
Identidades trigonométricas pitagóricas
6. cos 2 θ + sin 2 θ = 1
7. 1 + tan 2 θ = sec 2 θ
8. 1 + cot 2 θ = csc 2 θ
Ley de los Senos y Cosenos
Ley de los senos
La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los
lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de
problemas de triángulos.
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Página 45
La ley de senos dice que la razón entre la longitud de cada lado y el seno del ángulo
opuesto a él en todo triángulo es constante. Observado la Figura 1, la ley de senos se
escribirá como sigue:
Figura 1
Resolución de triángulos por la ley de los Senos
Ejemplo:
Con
base
en
los
valores del triángulo de la Figura 1
Encontrar la longitud del tercer lado y la
medida de los otros dos ángulos.
Solución:
Calculando el ángulo β
como los tres ángulos internos deben sumar 180º , se obtiene el ángulo γ,
Para calcular el lado c se utiliza nuevamente la ley de senos:
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Página 46
Ley de los cosenos
La ley de cosenos se considera como una extensión del teorema de Pitágoras aplicable a
todos los triángulos. Ella enuncia así: el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a
la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos
lados multiplicado por el coseno del ángulo que forman. Aplicando este teorema al
triángulo de la Figura 1 se obtienen las siguientes tres ecuaciones:
Ejemplo: Con base en los valores del triángulo de la Figura 1 𝑎 = 9.3 𝑚𝑡𝑠., 𝑏 =
5.4 𝑚𝑡𝑠. 𝑦 𝛾 = 132°. Encontrar la longitud del tercer lado.
Solución:
Para calcular el valor del tercer lado, se emplea la ley de cosenos:
Esquema para resolver triángulos
Teorema de Pitágoras: Si se conocen solo dos lados del
triángulo rectángulo
Rectángulo
Razones trigonométricas: Si se conoce un lado (el que sea)
y un ángulo agudo del triángulo
rectángulo.
Triángulo
Si se conocen dos ángulos y
cualquier lado.
Ley de los senos
Si se conocen dos lados y un
ángulo opuesto a uno de dichos
lados.
Obtusángulo
(agudo – obtuso)
Si se conocen dos lados y el
ángulo que se forma entre dichos
lados
Ley de los cosenos
Si se conocen los tres lados del
triangulo
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Página 47
Ejercicios.
I. Encuentra el valor del lado que falta en los siguientes triángulos rectángulos
(considera C como el ángulo recto, Teorema de Pitágoras).
a) a = 16, b= 24;
𝑐 = √832 = 28.84
b) b = 92, c = 120; 𝑎 = √5936 = 77.04
c) a = 34, c = 48;
𝑏 = √1148 = 33.88
II.- Resuelve los siguientes triángulos rectángulos (considera C como el ángulo recto).
1. b = 24, B = 37°;
2. a = 23, b = 26;
𝑎 = 36.536; 𝑐 = 43.71
𝑐 = 34.71
3. b = 13, A = 30°; 𝑎 = 6.62; 𝑐 = 14.59
4. c = 38, B = 60°;
𝑎 = 22.33; 𝑏 = 30.74
III.- Utiliza las identidades trigonométricas para simplificar las siguientes expresiones.
a) sec θ (1 − sen 2θ ) = cos θ
b) cos θ sec θ = 1
c) senθ (1 + cot 2 θ ) = csc θ
d)
tan θ
= senθ
sec θ
VI.- Resuelve cada uno de los siguientes triángulos oblicuángulos ABC, utilizando las
leyes de los senos y cosenos:
1. a = 125, A = 54º40´, B = 65º10´; 𝐶 = 60° 10´ ; 𝑏 = 139.05; 𝑐 = 132.91
2.
b = 321, A = 75º20´, C = 38º30´; 𝐵 = 66° 10´ ; 𝑎 = 339.5; 𝑐 = 218.46
3. b = 215, c = 150, B = 42º40´;
Aplicaciones.
𝐶 = 28° 13´ ; 𝑎 = 299.75; 𝐴 = 109° 7´
23. Exprese en radianes cada uno de los siguientes ángulos:
(a) 15º,
(b) 120º, (c) 55º20´, (d) 217º80´ (e) 18º14´72”, (f) 74.18º
𝑎 = 0.26𝑟𝑎𝑑; 𝑏 = 2.09𝑟𝑎𝑑; 𝑐 = 0.96𝑟𝑎𝑑; 𝑑 = 3.8𝑟𝑎𝑑; 𝑒 = 0.31𝑟𝑎𝑑; 𝑓 = 1.29𝑟𝑎𝑑
24. Exprese en grados cada uno de los siguientes ángulos:
(a) π /7 rad, (b) 6 π /15 rad, (c) 9 π /7 rad, (d) ¼ rad,
𝑎 = 25.71° ; 𝑏 = 72° ; 𝑐 = 231.42° ; 𝑑 = 14.32° ; 𝑒 = 95.5° ;
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(e) 15/9 rad
Página 48
25. Un hombre maneja 500 m a lo largo de un camino inclinado 20º con respecto a
la horizontal. ¿A qué altura se encuentra con respecto al punto de partida?
171.01 mts. ;
26. Dos caminos rectos se cortan formando un ángulo entre ellos de 75º. Encuentre
la distancia más corta desde un camino hasta una estación de gasolina situada en el
otro camino a 1000 m del punto de intersección. 965.92 mts. ;
27. Dos edificios con el techo plano se encuentran a una distancia de 60m. Desde
el techo del edificio más bajo, de 40 m de altura, el ángulo de elevación hasta el
borde del techo del edificio más alto es de 40º. ¿Cuál es la altura del edificio más
alto? 90.346 mts. ;
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Página 49
V. Logaritmos
Definición y cálculo de logaritmos
Se define el logaritmo de base a de un número y igual a x si se cumple que
𝑦 = 𝑎 . En términos matemáticos esto se expresa como sigue: 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑦 = 𝑥 si 𝑎 𝑥 =
𝑦.
𝑥
Para calcular 𝑙𝑜𝑔3 9; se requiere responder a la siguiente: ¿A qué potencia se
eleva el 3 para obtener 9 como resultado? A la potencia 2, ya que 32 = 9. Por
consiguiente, la solución de 𝑙𝑜𝑔3 9 = 2.
Por tanto, el logaritmo de cualquier número equivale a la potencia a la que debe
elevarse la base para encontrar dicho número.
Ejemplos: Calcular los siguientes logaritmos
1. 𝑙𝑜𝑔2 8 =
2. 𝑙𝑜𝑔5 625 =
3. 𝑙𝑜𝑔10 100 =
(¿A qué potencia se debe elevar el 2 para obtener 8?)
(¿A qué potencia se debe elevar el 5 para obtener 625?)
(¿A qué potencia se debe elevar el 10 para obtener 100?)
Es importante destacar que cuando en un logaritmo la base es 10, el logaritmo se
llama logaritmo común o vulgar, pues es el que se utiliza de manera ordinaria. También
existen los logaritmos naturales, los cuales tienen por base el valor e y se representan
de la siguiente manera:
𝑙𝑜𝑔𝑒 𝑏 = ln 𝑏 , que se lee logaritmo natural de b
Nota: Estos dos los logaritmos se pueden resolver con la calculadora.
Cuando en un logaritmo la base no aparece, automáticamente se deduce que se
trata de base 10, es decir,
log 100 = 𝑙𝑜𝑔10 100 = 2, ya que 102 = 100
log 1000 = 𝑙𝑜𝑔10 1000 = 3, ya que 103 = 1000
Nota: Debido a que el logaritmo es la función inversa de la exponencial, y como la
grafica de 𝑦 = 𝑎 𝑥 jamás toca el eje x, se dice que no existe el logaritmo de cero o de un
número negativo, en cualquier base.
•
•
𝑙𝑜𝑔𝑎 (0) = 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜) = 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
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Página 50
Propiedades de los logaritmos
Con base en las leyes de los exponentes se enuncian las propiedades de los
logaritmos, las cuales servirán para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
Aunque nos referiremos a los logaritmos comunes, es importante aclarar que se aplican
también a los naturales.
 Multiplicación:
 División:
 Potencia:
 Raíz:
log[𝑎𝑏] = log 𝑎 + log 𝑏
𝑎
log �𝑏� = log 𝑎 − log 𝑏
log 𝑎𝑛 = 𝑛 log(𝑎)
𝑛
log √𝑥 𝑚 =
𝑚
𝑛
log 𝑥
Nota: Para poder aplicar estas leyes, los logaritmos necesariamente deben tener la
misma base.
Ejemplos: Transformar las siguientes expresiones aplicando las propiedades de los
logaritmos.
1. log 3𝑥. Como este logaritmo se refiere a una multiplicación, aplicando la
siguiente propiedad log[𝑎𝑏] = log 𝑎 + log 𝑏. Por consiguiente:
log 3𝑥 = log 3 + log 𝑥.
2. ln 5𝑥 3 . Aplicando la misma propiedad se obtiene ln 5𝑥 3 = ln 5 + ln 𝑥 3 .
Recordando ahora la propiedad log 𝑎𝑛 = 𝑛 log(𝑎) y aplicándola en ln 𝑥 3 , se
obtiene
ln 5𝑥 3 = ln 5 + 3ln 𝑥
3. log
x3 y
z
a
. Ahora aplicando la propiedad log �b� = log a − log b. Se tiene
entonces
x3 y
= log x 3 y − log z
z
Pero como log 𝑥 3 𝑦 es un producto, entonces
𝑥3𝑦
log
= log 𝑥 3 + log 𝑦 − log 𝑧
𝑧
Finalmente,
𝑥3𝑦
log
= 3log x + log 𝑦 − log 𝑧
𝑧
log
3
𝑛
4. ln √𝑥 5 . En este caso aplicando la propiedad log √𝑥 𝑚 =
entonces que
3
ln �𝑥 5 =
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5
ln 𝑥
3
𝑚
𝑛
log 𝑥. Se tiene
Página 51
Ejercicios.
1. Expresar las siguiente potencias como logaritmos
𝑎) 33 = 27; 𝑙𝑜𝑔3 27 = 3
𝑏) 54 = 625; 𝑙𝑜𝑔5 625 = 4
𝑐) 25 = 32; 𝑙𝑜𝑔2 32 = 5
2. Expresar los siguientes logaritmos como potencias
𝑎) 𝑙𝑜𝑔3 81 = 4; 81 = 34
𝑏) 𝑙𝑜𝑔𝑥 8 = 𝑛; 8 = 𝑥 𝑛
𝑐) 𝑙𝑜𝑔7 𝑥 = 𝑦; 𝑥 = 7𝑦
3. Resolver los siguientes logaritmos por definición
𝑎) 𝑙𝑜𝑔2 8 = 3; 8 = 23
𝑏) 𝑙𝑜𝑔3 9 = 2; 9 = 32
𝑐) 𝑙𝑜𝑔4 64 = 3; 64 = 43
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Página 52
ANEXO A Miscelánea de problemas
I. Aritmética e introducción al álgebra
1. Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas.
a. Todo número irracional es un número racional. F
b. Todo número racional es un número real. V
c. Si un número es real, entonces es irracional. F
d. Todo número real es un número racional. F
e. Todos los enteros son números racionales. V
f. Algunos números irracionales también son números racionales. F
g. Cero es un número positivo. F
h. Cero es un número racional. V
i. Algunos enteros son números irracionales. F
j. Cero es un número negativo. F
2. Clasificar los números
a. Los números naturales. 0,12
b. Los números enteros. -10, 0, 12
2 −11 7
c. Los números racionales. 0, 12, −10, 3.17, 5 ,
d. Los números irracionales. 𝜋, √5, −√15
4
, 3 , 1.33�
e. Los números reales. TODOS
f. Localice los números en la recta numérica.
g. Ordene los números de menor a mayor. −10, −√15,
−11
4
2
, 0, 5 , 1.33� , √5,
7
3
, 𝜋, 3.17,12
3. Coloque uno de los símbolos <,=,>; para indicar la relación de orden que existe entre los
números dados
a)
π
b)
1.25
c)
-2
>
=
>
d)
2
3
5
4
e)
2
3
-3
f)
0.99 9
3.14
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>
=
<
0.66
0.666
1
Página 53
4. Obtenga el valor absoluto de los números indicados.
a)
− 12 = 12
d) 0.25 = 0.25
b) 1000 = 1000
c)
−
6 6
=
7 7
5. Utilice Números Reales para escribir las cantidades dadas.
a)
b)
c)
d)
Una ganancia de 20 yardas en un juego de fútbol americano. 18.288𝑚𝑡𝑠. ;
Una pérdida de 10 yardas en un juego de fútbol americano. −9.144𝑚𝑡𝑠.;
El Mar Muerto tiene 1312 pies bajo el nivel del mar. −399.9𝑚𝑡𝑠. ;
La temperatura en Spearfish, Dakota del Sur, ascendió de 4°F bajo cero hasta
45 °F sobre cero en un período de 2 minutos. 49° 𝐹;
6. La mayor variación de temperatura en un período de 24 horas ocurrió en Montana.
La
temperatura cambió de 44 °F a -56 °F. ¿Cuántos grados descendió la temperatura? 100° 𝐹;
7. Los cambios de temperatura (en grados Celsius) por hora en cierta ciudad, son:
1 p.m.
2 p.m.
3 p.m.
4 p.m.
+2
+1
-1
–3
Si la temperatura era inicialmente de 15 °C., ¿Cuál era a las 4 p.m.? 14° 𝐶;
Use está información para los problemas 8 y 9.
1 bistec
1 rebanada de pan
Carrera (1 min.)
Natación (1 min.)
+ 45 calorías
+ 65 calorías
- 15 calorías
- 7 calorías
8. Si una persona come 2 bistecs y luego corre 5 minutos; ¿Cuál es la ganancia o pérdida de
calorías? 14 𝑐𝑎𝑙;
9. Si una persona come 2 bistecs con 2 rebanadas de pan y luego corre 15 minutos, ¿Cuál es la
ganancia o pérdida de calorías? −5 𝑐𝑎𝑙;
10. Si A es su edad, la tasa de pulsos mínimos que debería mantener durante actividades aeróbicas
es 0.72(220 − A) . ¿Cuál es la tasa de pulsos mínima que debería mantener si usted tiene:
q) 20 años de edad? 144 𝑝𝑚;
r) 45 años de edad? 126 𝑝𝑚;
11. Si A es su edad, la tasa de pulsos máxima que debería mantener durante actividades
aeróbicas es 0.88(220 − A) . ¿Cuál es la tasa de pulsos máxima que debería mantener si usted tiene:
a) 20 años de edad? 172 𝑝𝑚;
b) 45 años de edad? 154 𝑝𝑚;
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Página 54
Determinación de la dosis (cantidad) correspondiente de medicamentos para niños a partir de la
dosis para adulto.
Regla de Morphy (para niño de 2 años):
(edad en meses • Dosis para adulto) ÷ 150 = Dosis para niño
Regla de Clarke (para niños mayores de 2 años)
(peso del niño • Dosis de adulto) ÷ 150 = Dosis para niño
Regla de Young (para niños entre 3 y 12 años)
(edad • Dosis de adulto) ÷ (edad +12) = Dosis para niño
12. Supongamos que un niño tiene 10 meses de edad y la dosis para un adulto de aspirina es una
tableta de 75 miligramos. ¿Cuál será la dosis par niños? 5 𝑚𝑔. ;
13. Si un niño de 7 años pesa 75 libras y la dosis de adulto es de 4 tabletas al día, ¿Cuál será la
dosis para niños? 2 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑡𝑎𝑠;
14. Supongamos que un niño tiene 6 años y la dosis para un adulto de un antibiótico es de 4
4
tabletas cada 12 horas. ¿Cuál será la dosis para niños? 3 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑡𝑎;
15. Su peso y su vida. El médico le ha comentado que está un poco pasado de peso. El “umbral de
peso “ T (en libras) para una persona entre los 40 y 49 años está definido como “el peso crucial
arriba del cual el riego de mortalidad asciende de manera astronómica”. La fórmula que vincula T
3
y la altura h en pulgadas es 12.3√𝑇 = ℎ, resolver está ecuación para T.
 h 
T =

 12.3 
3
16. El pulso aproximado p , en pulsaciones por minuto, de un adulto que mide t
pulgadas de
590
altura, se expresa con la fórmula p =
. Calcula el pulso aproximado de un adulto de 71 pulg
t
de estatura (1 pulg.=2.54 cm). 𝑝 = 70;
II. Productos notables y factorización
I. Aplica uno de los Productos Notables
1) ( x + 6)( x − 6) = x 2 − 36
3) (3a + b)(3a − b) = 9a 2 − b 2
5) ( p + 7) 2 = p 2 + 14 p + 49
2) ( p + q)( p − q) = p 2 − q 2
4) (2 x − 6 p)(2 x + 6 p) = 4 x 2 − 36 p 2
7) (a − 1 y )2 = a 2 − ay + 1 y 2
8)
2
4
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6)
1
a2
( a + b) 2 =
+ ab + b 2
2
4
9
3
(2 p − r ) 2 = 4 p 2 − 3 pr + r 2
16
4
Página 55
9) ( 2 r − 5t ) 2 = 4 r 2 − 20 rt + 25t 2
10) (2a − 5t 2 ) 2 = 4a 2 − 20at 2 + 25t 4
11) (a + 2)(a + 3) = a 2 + 5a + 6
12) ( x − 5)( x + 2) = x 2 − 3 x − 10
3
9
3
II. Factorice completamente los siguientes ejercicios
2) 10 x 2 − 15 = 5( 2 x − 3 )( 2 x + 3 )
4) 9ax 2 + 27bx = 9 x(ax + 3b)
6) x 2 − 4 = ( x − 2)( x + 2)
8) 49 y 2 − 64 = (7 y − 8)(7 y + 8)
10) a 4 − 81 = (a 2 + 9)(a − 9)(a + 9)
12) 16 x 4 − 256 y 2 = (4 x 2 + 16)(2 x − 4)(2 x + 4)
1) 12 x 5 y + 8 x 3 y 2 = 4 yx 3 (2 y + 3x 2 )
3) 7b 2 y + 28b = 7b(4 + by )
5) p 2 − r 2 = ( p − r )( p + r )
7) 4 x 2 − 9 = (2 x + 3)(2 x − 3)
9) 81x 2 − 36t 6 = 9(3x 2 + 2t 3 )(3x 2 − 2t 3 )
11) 121r 2 − 81t 2 = (11r + 9t )(11r − 9t )
Aplicaciones
1. Física. La energía cinética, EC , de un objeto está definida por la fórmula EC = 1 mv 2
2
, donde m es la masa del objeto y v su velocidad. Si la velocidad de un objeto en
cualquier instante , t , está dada por la ecuación v = 3t + 1 , encuentre una ecuación
para expresar la energía cinética en términos de m y t ; desarrolle el resultado
1
1
aplicando un producto notable. 𝐸𝐶 = 2 𝑚(3𝑡 + 1)2 = 2 𝑚(9𝑡 2 + 6𝑡 + 1);
2. Electrónica. La corriente i en amperes, en cierto circuito varía con el tiempo, en
segundos, según la ecuación: i = 0.7t 2 − 2.1t − 2.8 . Factorice el miembro derecho de
esta ecuación. 𝑖 = 0.7(𝑡 − 4)(𝑡 + 1);
3. Termodinámica. La cantidad de calor necesaria para fundir un objeto metálico está
dada por la fórmula Q = mc∆t + mL f . Factorice el miembro derecho de esta ecuación.
Q = m(c∆t + L f );
4. Ecología. Un centro ecológico quiere hacer un jardín experimental. Alrededor del
jardín se colocará un límite de grava ancho uniforme. El jardín mide 10 metros de
largo por 6 de ancho. Sin embargo sólo se cuenta con una grava suficiente para
cubrir 36 m2 de profundidad. Para determinar el ancho del límite es necesario
resolver la ecuación:
(6 + 2 x )(10 + 2 x ) − 60 = 36
a) Simplifique esta ecuación. 𝑥 2 + 8𝑥 − 9 = 0;
b) Factorice su respuesta. (𝑥 + 9)(𝑥 − 1) = 0;
III. Ecuaciones de primer y de segundo grado
I.- Resuelva las ecuaciones dadas.
1) 4𝑟 = 𝑟 + 9 ; 𝑟 = 3
4) 4𝑐 + 7 = 9𝑐 − 3 ; 𝑐 = 2
2)
5)
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1
𝑧
3
− 5 = 3 − 4𝑧 ; 𝑧 =
2𝑎−1
𝑎+2
=
4
5
;𝑎 =
13
6
24
13
3) 6𝑥 + 3 = 18𝑥 − 1 ; 𝑥 =
6)
1
𝑥
=
4
3𝑥
+ 1 ;𝑥 =
−1
3
1
3
Página 56
𝑟
5
7) =
3
𝑟
10
+ 7 ; 𝑟 = −70
8)
𝑒−3
5
=
4−2𝑒
3
9) 2(1 − 𝑘) = 3(1 + 2𝑘) + 5 ; 𝑘 = −0.75
11)1 − [2 − (3 − 𝑎)] = 4𝑎 − (6 + 𝑎); 𝑎 = 2
2
1
1
12)�3 + �5 − 𝑚� + � = + 4(𝑚 − 1); 𝑚 =
3
4
2
13) 5 y + 6 y − 81 = 7 y + 102 + 65 y ;
14)
;𝑒 =
10)
29
13
2
𝑦
3
1
2
+ (𝑦 − 3) =
𝑦+1
4
;𝑦 =
21
11
141
56
y = −3
16 + 7 x − 5 + x = 11x − 3 − x ; x = 7
II.- Aplicaciones de ecuación lineal.
14)
Una escalera de 19
1
7
2
1
2
pies se apoya contra una construcción. La base de la escalera está a
pies a partir del edificio. ¿Qué altura del edificio alcanza la escalera? ℎ = 18 𝑝𝑖𝑒𝑠;
15) Juan tiene 12 monedas más que Enrique y entre ambos tienen 78. Determínese cuántas
monedas tiene cada uno. 𝐸 = 33 𝑚𝑜𝑛𝑒𝑑𝑎𝑠 𝑦 𝐽 = 45 𝑚𝑜𝑛𝑒𝑑𝑎𝑠;
16)
Durante su carrera en las ligas mayores, Hank Aaron lanzó 41 jonrones más que Babe
Ruth en toda su carrera. Entre los dos colocaron 1459 jonrones. ¿Cuántos jonrones colocó
Babe Ruth? 𝐵 = 709 𝑗𝑜𝑛𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑦 𝐻 = 750 𝑗𝑜𝑛𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠;
17) Dentro de la ciudad, cierto automóvil rinde 6 km por litro; en cambio en carretera rinde
8.5 km por litro. Si el automóvil consumió 90 litros en un recorrido de 690 km.
Determínese que parte del recorrido fue en la ciudad. 𝐶𝑖𝑢 = 180 𝑘𝑚𝑠; 𝐶𝑎𝑟𝑟 = 510 𝑘𝑚𝑠;
18) Un actor de cine, decidido a no revelar su edad, le dijo el siguiente acertijo a un articulista
de chismes: “Hace siete años, yo tenía once veces la edad de mi hija. Ahora tengo cuatro
veces la edad de ella”. ¿Cuántos años tenía el actor?
III.- Representa gráficamente las ecuaciones dadas.
19) −3𝑥 − 5𝑦 + 30 = 0
22) 4𝑦 − 8 = 0
20) 3𝑥 + 𝑦 = −2
23) 8𝑥 − 4𝑦 − 4 = 0
21) 2𝑥 − 𝑦 = 3
24) 6𝑥 − 3𝑦 = −6
IV.- Resuelva las ecuaciones cuadráticas. Usando la fórmula general.
26) 4𝑥 2 + 4𝑥 − 15 = 0
29) 𝑥 2 + 4𝑥 = 0
27) 4𝑥 2 − 𝑥 = 0
30) 12𝑥 2 + 12 = 25𝑥
Respuestas:
26) 1.5, −2.5; 27) 0, 0.25; 28) 0, −1.5; 29) 0, −4; 30)
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28) 2𝑥 2 + 3𝑥 = 0
31) 10𝑥 2 + 21𝑥 + 9 = 0
4 3
, ;
3 4
31) − 0.6, −1.5;
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V.- Reescriba y resuelva las siguientes ecuaciones.
5
35) �𝑥 + � (𝑥 + 2) = 0
36) (2𝑥 + 5)(4𝑥 + 3) = 0
37) (2𝑥)(𝑥 + 1) = 0
3
38) 𝑥 = −2 , 𝑥 = −5
39) 𝑥 = 3 , 𝑥 = −1
Respuestas:
11
10
−5
−3 −5
35) 𝑥 2 + 𝑥 + = 0; −2, ; 36) 8𝑥 2 + 26𝑥 + 15 = 0; , ; 37)2𝑥 2 + 2𝑥 = 0; 0, −1
3
3
3
4 2
38) 𝑥 2 + 7𝑥 + 10 = 0; −2, −5; 39) 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = 0; 3, −1;
VI.- Aplicaciones de ecuaciones cuadráticas.
41) Hallar dos números que sumados den 12 y multiplicados den 35.
5 𝑦 7;
42) El producto de dos números enteros consecutivos es 600. Hallar los dos números. 24 𝑦 25;
43) En un triángulo rectángulo el cateto mayor excede en 2 cm. al menor y la hipotenusa supera
en 2 cm. al cateto mayor. Calcular la medida de cada lado. 6 𝑦 8 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜𝑠; ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑖𝑠𝑎 = 10;
44) Hallar el lado de un cuadrado; si su área se aumenta en el producto de dicho lado por 5 se
hace igual a 500 𝑚2 . 𝑙 = 20 𝑚𝑡𝑠. ;
45) Desde el suelo se lanza un proyectil hacia arriba con una velocidad de 39.2
𝑚
𝑠𝑒𝑔
, ¿al cabo
de cuánto tiempo estará a 58.8 m de altura sobre el suelo? usar ℎ = 𝑣𝑡 − 4.9𝑡 2 . 2 𝑦 6 𝑠𝑒𝑔.
VII.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones con dos variables.
46)
49)
5𝑥 − 6𝑦 = 4 76 28
� , �
3𝑥 + 7𝑦 = 8 53 53
47)
−4𝑥 + 6𝑦 = 12 9 11
� , �
8 4
2𝑥 + 𝑦 = 5
2𝑥 − 4𝑦 = −1 7 9
� , �
3𝑥 − 2𝑦 = 3 4 8
48)
2𝑥 + 8𝑦 = 7 67 13
� , �
3𝑥 − 5𝑦 = 4 34 64
VIII.- Aplicaciones de sistemas de ecuaciones lineales.
55) Si el mayor de dos números se divide por el menor, el cociente es 2 y el resto es 9 y, si 6
veces el menor se divide por el mayor el cociente es 2 y el resto es 16. Hallar los números.
17 𝑦 43;
56) La edad de Ana excede en 33 años a la edad de Rosa y si la edad de Ana se divide entre el
tripe de la de Rosa el cociente es 1 y el resto 17. Hallar ambas edades. 8 𝑦 41;
57) Dos veces el ancho de una sala excede en 3m a la longitud de la sala y si la longitud
aumentada en 4 se divide entre el ancho, el cociente es 2 y el residuo 1. Hallar las
4
13
dimensiones de la sala.
𝑦 ;
3
6
IV. Trigonometría
I. Encuentra el valor del lado que falta en los siguientes triángulos rectángulos
(considera C como el ángulo recto, usar el teorema de Pitágoras).
a) a = 16, b= 24;
𝑐 = √832 = 28.84
b) b = 92, c = 120; 𝑎 = √5936 = 77.04
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II.- Resuelve los siguientes triángulos rectángulos (considera C como el ángulo recto).
5. a = 10, A = 39.8°; 𝑐 = 17.08; 𝑏 = 13.855.
𝑐 = 43.71; 𝑎 = 36.53.
6. b = 24, B = 37°;
7. a = 23, b = 26;
8. b = 13, A = 30°;
9. c = 38, B = 60°;
𝑐 = 34.71
𝑐 = 14.6; 𝑏 = 6.62.
𝑎 = 22.33; 𝑏 = 30.74.
III.- Utiliza las identidades trigonométricas para simplificar las siguientes expresiones.
e) sec θ (1 − sen 2θ ) = cos θ
f) cos θ sec θ = 1
g) senθ (1 + cot 2 θ ) = csc θ
VI.- Resuelve cada uno de los siguientes triángulos oblicuángulos ABC, utilizando las
Leyes de los senos y cosenos:
4. a = 320, c = 475, A = 35º20´; 𝐵 = 85° 31´ ; 𝐶 = 59° 9´ ; 𝑏 = 551.94
5. b= 224, B = 23º50´, C = 120º50´; 𝐴 = 35° 20´ ; 𝑎 = 320.6 𝑐 = 476.08
6. b = 120, c = 270, A = 118º40´; 𝐵 = 17° 49´ ; 𝐶 = 43° 31´ ; 𝑎 = 344.07
Aplicaciones.
3. Una escalera, cuya base está en el punto medio de una calle forma un ángulo de
30º con el piso cuando su parte superior descansa contra un edificio, y forma un
ángulo de 40º con el piso cuando descansa contra un edificio al otro lado de la calle.
Si la escalera mide 50 pies de largo. ¿Cuál es el ancho de la calle? 81.6 𝑝𝑖𝑒𝑠;
4. ¿Cuál es el perímetro de un triángulo isósceles cuya base mide 40 cm y cuyos
ángulos en la base miden 70º? 156.95 𝑐𝑚;
V. Logaritmos
1. Calcular el valor de x aplicando la definición de logaritmo
a) log 1 0.25 = x ; x = 2 b) log
5
125 = x ; x = 6
2
c) log 2 32 = x ; x = 5
d) log 9 1 = x ; x = −0.5
3
2. Conociendo que log 2 = 0.3010, calcula los siguientes logaritmos.
a) log 0.02 = −1.699
b) log 4 8 = 0.225
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BIBLIOGRAFÍA
1.- Baldor A. 2007. Álgebra. 2da. Edición. Grupo Editorial Patria.
2.- Baldor A. 2007. Aritmética. 2da. Edición. Grupo Editorial Patria.
3.- Boyle, J. 1983. Trigonometría con aplicaciones con ejercicios para calculadora.
4.- Gustafson David. Álgebra intermedia.
5.- Jiménez René. 2007. Geometría y trigonometría. Ed. Pearson Educación. Primera
Edición.
6.- Miller Charles D, Heeren Vern E, y Hornsby E. John. 1999. Matemática:
razonamiento y aplicaciones. 8ª. Edición. Addison Wesley Longman.
7.- Ortiz Campos F. 2004. Matemáticas – 2 álgebra y funciones. Séptima reimpresión.
Grupo Patria Cultural.
8.- Peterson John C. 2006. Matemáticas básicas, álgebra, trigonometría y geometría
analítica. Segunda Edición. Ed. Cecsa. pp. 257-268.
9.- Rees Paul K, Sparks Fred W. 1995. Álgebra. 4ta. Edición. Editorial Reverté.
10.- Swokowsky / Cole. Álgebra y trigonometría con geometría analítica.
11.- http://es.wikipedia.org
12.- http://www.vitutor.com
13.- Varios autores. 2010. Material del curso propedéutico de matemáticas.
Departamento de matemáticas.
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