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ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR
FATORIZACIÓN DE POLINIMIOS
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Hemos visto el problema de encontrar el producto, dados los factores. La factorización es
encontrar los factores, dado el producto.
Se llaman factores de una expresión algebraica aquellos que multiplicados entre sí dan
como resultado la primera expresión.
Ejemplo: sí; (x + 2)(x + 3) = x 2 + 5x + 6
Tenemos que, x + 2 y (x + 3) son factores de x 2 + 5x + 6 , así pues, factorizar una expresión
algebraica es convertirla en el producto indicado.
Existen diversos procedimientos para descomponer en factores un producto, los
mencionaremos, sin perjuicio de que en algunos casos podamos combinar dos o más de estos
procedimientos.
1.
FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMÚN.
Cuando en los diversos términos de un polinomio participa un mismo factor, se dice que se
le saca como factor común, para lo cual, se escribe e inmediatamente, después, dentro de
un paréntesis se anotan los cocientes que resulten de dividir cada uno de los términos del
polinomio entre el factor común.
Ejemplos:
Factorizar los siguientes polinomios:
2
a)
a + 2a = a(a + 2)
b)
10b + 30ab = 10b(1 + 3ab)
c)
10a + 5a + 15a
d)
5a b x + 15a bx − 35a b x y = 5a bx(ab + 3a x − 7bx y )
e)
12a b − 30a b + 18ab − 42a b = 6ab(2ab − 5a b + 3b − 7a )
f)
15a x − 30a x + 105a x − 75a x = 15a x (1 − 2x + 7x − 5x )
g)
− 44ax + 22a bx
h)
x
2
2
3
2
3
4
2
= 5a(2a + 1 + 3a )
2
2
2
3
3
2
4
2
2
2
3
2
n
m +n
n
y −x
2
2n
y
m +n
n +1
2m
5
4
3
n
4
2
2
4
− 66a x
−x y
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
2
2
2
n+ 2
n
5
2
3
2
3
2
n
5
3
2
2
3
2
= 22ax ( −2 + abx − 3a x )
m
= x y(x y
n −1
n
−x y
m+ n −1
−y
2m −1
)
4-1
ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR
2.
FATORIZACIÓN DE POLINIMIOS
FACTORIZACIÓN POR PRODUCTOS NOTABLES.
Como su nombre lo indica consiste en aplicar los productos notables ya conocidos.
a).
Factorización de una diferencia de cuadros.
Se sabe que: a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) ; por lo tanto una diferencia de cuadrados, es igual al
producto de dos binomios conjugados.
Ejemplos:
2
1)
9x − 4y
2)
25x
2
4
2
2 2
2
2
= (3x) − (2y ) = (3x + 2y )(3x − 2y )
2
2
2
2
− 16a b = (5x) − (4ab) = ( 5x + 4ab)(5x − 4ab)
4
2 2
2
2
2
2
2
2
x − 16 = (x ) − (4) = (x + 4)(x − 4) = (x + 4)[(x) − (2) ] =
3)
2
= (x + 4)(x + 2)(x − 2)
4)
b).
2
2
2
2
⎛x⎞ ⎛ y⎞
⎛ x y ⎞⎛ x y ⎞
−
= ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = ⎜ + ⎟⎜ − ⎟
16
9
⎝4⎠ ⎝3⎠
⎝ 4 3 ⎠⎝ 4 3 ⎠
x
y
Factorización de un cuadrado perfecto:
Del desarrollo del binomio al cuadrado se tiene:
2
2
(a + b) = a + 2ab + b
2
y también (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, así tenemos
que 4a 2 es cuadrado perfecto porqué es el cuadrado de 2a .
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, una vez que ha sido identificado como tal,
con apoyo de los productos notables, se extrae raíz cuadrada al primero y tercer termino
del trinomio separándose estas raíces por medio del signo del segundo termino y elevando
este binomio al cuadrado.
Ejemplos:
2
2
1)
m + 2m + 1 = (m + 1) = (m + 1)(m + 1)
2)
4x + 25y − 20xy . Ordenando y factorizando, se tiene:
2
2
2
4x − 20xy + 25y
2
2
2
2
= (2x − 5y) = (2x − 5y)(2x − 5y)
4
2 2
2
3)
1 − 16ax + 64a x
4)
9x − 12xy + 4y = (3x − 2y) = (3x − 2y)(3x − 2y)
2
2
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
2
= (1 − 8ax ) = (1 − 8ax )(1 − 8ax )
2
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ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR
2
2
2
5)
4x + 4xy + y = (2x + y) = (2x + y)(2x + y)
6)
x +x+
1
2
4
7)
a
2
−
16
8)
c).
FATORIZACIÓN DE POLINIMIOS
3
⎛
⎝
1⎞
2
1 ⎞⎛
1⎞
⎛
⎟ = ⎜ x + ⎟⎜ x + ⎟
2⎠
2 ⎠⎝
2⎠
⎝
= ⎜x +
2
2
ab + 9b =
2
⎛ a − 3b ⎞ = ⎛ a − 3b ⎞ ⎛ a − 3b ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟⎜
⎟
⎝4
⎠
⎝4
⎠⎝ 4
⎠
2
2
⎛1 b⎞
⎛ 1 b ⎞⎛ 1 b ⎞
− +
= ⎜ − ⎟ = ⎜ − ⎟⎜ − ⎟
4 3
9
⎝2 3⎠
⎝ 2 3 ⎠⎝ 2 3 ⎠
1
b
b
Factorización de una suma o diferencia de cubos.
3
3
2
2
3
3
2
2
Se sabe que: a + b = (a + b)(a − ab + b ) y a − b = (a − b)(a + ab + b )
Ejemplos:
1).
Factorizar: 8x 3 + 216y 3 . Llevándolo al tipo de suma de cubos tenemos:
3
8x + 216y
2).
3
3
3
= (2x) + (6y) = (2x + 6y)(4x
4
4
3
3
3
3
= 3xy(27x − 64y ) = 3xy[(3x) − (4y) ] =
= 3xy(3x − 4y)(9y
2
2
+ 12xy + 16y )
Factorizar: 27a 3 − 8 . Se puede ver que es una diferencia de cubos, por lo que:
3
3
3
27a − 8 = (3a) − (2) = (3a − 2)(9a
4).
2
− 12xy + 36y )
Factorizar: 81x 4 y − 192xy 4 . Llevándolo al tipo de diferencia de cubos tenemos:
81x y − 192xy
3).
2
2
+ 6a + 4)
3
Factorizar: x + 1
3
2
x + 1 = (x + 1)(x − x + 1)
5).
Factorizar: 64x 3 + 125 .
3
3
3
64x + 125 = (4x) + (5) = (4x + 5)(16x
d).
2
− 20x + 25)
Factorización de cubos perfectos de binomios.
3
3
2
2
Se ha visto que: (a + b) = a + 3a b + 3ab + b
Ejemplos:
1)
1 + 12a + 48a
2
+ 64a
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
3
3
3
3
2
2
3
y que: (a − b) = a − 3a b + 3ab − b .
3
= (1 + 4a) = (1 + 4a)(1 + 4a)(1 + 4a)
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ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR
9
2)
6
a − 18a b
FATORIZACIÓN DE POLINIMIOS
5
+ 108a 3 b 10 − 2116b 15 = (a 3 − 6b 5 ) 3 =
3
5
3
5
3
5
= (a − 6b )(a − 6b )(a − 6b )
3)
8a
3
−
b
27
3.
3
−
2a
8
2
b
3
2
+
3
ab
2
=
⎛ 2a − b ⎞ = ⎛ 2a − b ⎞ ⎛ 2a − b ⎞ ⎛ 2a − b ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟
⎝ 3 2⎠
⎝ 3 2 ⎠⎝ 3 2 ⎠⎝ 3 2 ⎠
FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO.
Algunas veces en un polinomio los términos no contienen ningún factor común, pero
pueden ser separados en grupos de términos con factor común.
Este método consiste en formar grupos, los más adecuados, para factorizar cada uno como
más convenga en cada caso y lograr finalmente la factorización total de la expresión.
Ejemplos: Factorizar:
1)
5a + 5b + ax + bx . Agrupando los términos que tengan algún factor común se tiene:
5(a + b) + x(a + b) = (a + b)(5 + x) o también a(5 + x) + b(5 + x) = (a + b)(5 + x)
2
2)
x + ax + bx + ab = x(x + a) + b(x + a) = (x + a)(x + b)
3)
8ax − bx + 8ay − by) = 8a(x + y) − b(x + y) = (x + y)(8a − b)
4)
ap + ax − 2bx − 2bp = a(p + x) − 2b(p + x) = (p + x)(a − 2b)
2
5)
2
2
2
2
2
2
2
a − b − 2bc − c = a − (b + 2bc + c ) = a − (b + c) =
= (a + b + c)(a − b − c)
4.
2
2
2
2
2
2
= (a + x + y + b)(a + x − y − b)
6)
a − b + x − y + 2ax − 2by = (a + x) − (y + b)
7)
a − ab − b − 1 = (a + 1)(a − 1) − b(a + 1) = (a + 1)(a − 1 − b)
2
FACTORIZACIÓN DE UN TRIN0MIO DE LA FORMA ax2 + bx + c
2
Para factorizar el trinomio 6x − 11x − 35
procedimiento:
Primero.
se procede de acuerdo al siguiente
Se buscan dos números que al sumarlos nos den el coeficiente del termino de
primer grado (- 11) y que al multiplicarlos den el producto del coeficiente del
término de segundo grado (6) por el término independiente (- 35)
Es decir: m + n = −11 y mn = 6( −35) = −210
Como la suma: 10 + ( −21) = − 11 y la multiplicación: 10( −21) = −210 , resulta
que: m = 10 y n = −21 .
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
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