Download arcoAK arcoAB AB.m.p K B A A )P(,AH N AP AN → ⇒ = → → = ⇒ = )

Escrito de Geometría 2º año. TEÓRICO. Setiembre
de 2008.
Pregunta 1:
a) Demuestre que si un cuadrilátero tiene dos
ángulos opuestos que suman un ángulo llano,
entonces el cuadrilátero es inscritible.
b)
Sea
un
triángulo
equilátero
ABC
cuyo
baricentro es G. HA y HB son los pies de las
perpendiculares
bajadas
desde
A
y
B
respectivamente.
Pruebe
que
el
cuadrilátero
GHACHB es inscritible. Pregunta 2:
a)
Demuestre
que
todo
123º
ángulo de vértice exterior
a un círculo es igual a la
α
semidiferencia
de
los
ángulos
al
centro
que
abarcan los arcos por él
abarcados.
101º
b) Muestre que, según la
figura, debe ser α < 44º.
C
Escrito de Geometría 2º año.
Setiembre de 2008.
PRÁCTICO
a) En una circunferencia de centro O y radio R
se toma una cuerda AB que no es un diámetro.
El punto Pi varía en la circunferencia de modo
que ∠ABPi es antihorario. El punto Q es tal
que ABPQ es un paralelogramo. Av es la
bisectriz de ∠QAB y Bu es la bisectriz de
∠PBA. M = Av ∩ Bu.
Hallar el lugar geométrico de M. Teorema
directo, limitación y construcción.
b) Sea N el punto de corte de las diagonales
del
paralelogramo
ABPQ.
Hallar
el
lugar
geométrico
de
N.
Teorema
directo
y
construcción.
Teórico.
1a. Ver apuntes del teórico.
90º
HA
1b. En un triángulo equilátero las medianas también
son alturas, de modo que el ortocentro coincide con
el baricentro.
Entonces, ∠GHAC + ∠CHBG = 90º + 90º = 180º, de donde
concluimos por (1a) que GHACHB es inscritible.
90º H
B
G
B
A
123º
P
x
α
Q
79º
2a. Ver apuntes del teórico.
57º
2b.
∠P
α +
α +
α =
y
R
101º
Q
P
u
En el ∆PQR tenemos que:
+ ∠Q + ∠R = 180º
(x + 79º) + (y + 57º) = 180º
x + y + 136º = 180º
180º - 136º - x - y = 44º - x - y < 44º
Práctico.
v
a) Teorema directo.
Por ser ABPQ paralelogramo es:
∠QAB + ∠ABP = 180º
90º
∠vAB + ∠ABu = 1/2 ∠QAB + 1/2 ∠ABP = 90º
Por suma de ángulos de un triángulo resulta que
∠AMB = 90º, entonces M ∈ Ac(AB, 90º) en el
semiplano que contiene a P.
A
B
Limitación: no tiene.
Construcción: es la semicircunferencia de
diámetro AB que pertenece al semiplano de borde
AB que contiene a P, excluyendo los extremos A
y B.
b) Las diagonales se cortan en su punto medio:
Q
P
M

) P)
⇒ N = H(A, 12 (

H(A,12)
H(A,12)

A → A
 ⇒ arcoAB → arcoAK
1

H(A,2)

B → K = p.m.AB

A

) P) significa: "imagen de P en la homotecia
donde H(A, 12 (
AN
=
AP
1
2
de centro A y razón 1/2".
N
B