Download problema 1 – xiii - Colegio Gobernador Juan José Silva

PRIMER NIVEL INTERCOLEGIAL
¿QUE ES UN PROBLEMA?
La mayoría de los ejercicios que se presentan en los libros de texto no son verdaderos
problemas, sino sugerencias para ejercitar técnicas y herramientas que se han
presentado en el capítulo correspondiente. Un verdadero problema es una situación
que se presenta, en la cual se sabe más o menos ( o con toda claridad) a DONDE se
debe llegar pero no se sabe COMO llegar. La principal dificultad consiste en aclarar
la situación y dar con algún camino adecuado (una estrategia) que nos lleve a la
meta. A veces no se sabe si la herramienta adecuada para la situación planteada
está en la colección de técnicas que dominamos, o ni siquiera si se ha creado una
técnica que pueda ser suficientemente potente para resolver el problema. Esta es,
precisamente, la circunstancia del investigador, en matemática y en cualquier otro
campo y, por otra parte, ésta es la situación en la que nos encontramos a veces en
nuestra vida cotidiana.
UNA ESTRATEGIA DE PENSAMIENTO: COMENZAR CON UN PROBLEMA SEMEJANTE MAS
FACIL
A veces nos encontramos con problemas que resultan difíciles por su tamaño, por
presentar demasiados elementos que lo hacen complicado y oscuro.
En estos casos puede ser útil proponer un problema semejante, lo más sencillo posible
y resolverlo. De esta manera se consigue que aparezcan más transparentes principios
de solución que quedan confusos en medio de la complejidad del problema inicial.
EXPERIMENTAR, OBSERVAR, BUSCAR PAUTAS, REGULARIDADES. HACER CONJETURAS.
TRATAR DE DEMOSTRARLAS
En matemática, las buenas ideas surgen muy a menudo a través de "experimentos".
Los experimentos son de diverso tipo. Unas veces se trata de ensayar en casos
particulares la aparición de una cierta propiedad. Otras se tratan de mirar ciertas
figuras, cambiándolas, introduciendo elementos auxiliares, a fin de enlazar
diversas situaciones y de establecer conexiones que sospechamos que existen entre los
objetos que manipulamos. Con el experimento y la observación surge una
"conjetura". Se sigue experimentando con nuevos casos poniendo a prueba tal
conjetura. Si esta resiste varias pruebas va adquiriendo más fuerza. Luego vendrá la
tarea de dar con la razón por la cual la conjetura se verifica siempre, con la
"demostración" de la conjetura.
DIBUJAR UNA FIGURA, UN ESQUEMA, UN DIAGRAMA
Son muchos los problemas que se hacen muy transparentes cuando se logra
encontrar una representación visual adecuada de los elementos que en él
intervienen. Pensamos mucho mejor con el apoyo de imágenes que con el de
palabras, números o solamente símbolos.
ELEGIR UN LENGUAJE ADECUADO, UNA NOTACION ADECUADA
Muchas veces, el resolver un problema depende fundamentalmente de que el estilo
de pensamiento que se aplique sea el adecuado o no al problema. Por eso, antes de
empezar a trabajar conviene pensar si será bueno utilizar un lenguaje geométrico o
bien un simple diagrama, o tal vez convenga utilizar un lenguaje algebraico o
analítico, o incluso, venga bien una modelización con papel, cartón, etc.
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PRIMER NIVEL INTERCOLEGIAL
PENSAR EN EL PROBLEMA RESUELTO
Un buen modo de descubrir el mejor camino para escalar una montaña consiste en
colocarse arriba con un helicóptero y desde allí estudiar los caminos posibles.
En la resolución de problemas este procedimiento es barato, fácil y de uso constante.
GLOSARIO
< 1 > En todo triángulo la suma de los ángulos interiores es un ángulo llano o 180º.
a
b
c
a + b + c = 180º
< 2 > Dados dos recta paralelas cortadas por una transversal:
b
d
c
a
e
a = b por ser opuestos por el vértice.
e = a por ser correspondientes entre paralelas cortadas por una transversal.
e = b y d = c por ser alternos internos entre paralelas cortadas por una transversal.
a + c = 180, b + c = 180 y d + e = 180 por ser un ángulo llano o suplementario.
< 3 > Múltiplos y divisores.
Un número dícese múltiplo de otro cuando lo contiene a éste en una cantidad
exacta de veces.
Un número dícese divisor de otro cuando es contenido por éste en una cantidad
exacta de veces.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 si, y sólo sí, la cifra de sus unidades
es 0, 2, 4, 6 u 8.
Divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3 si, y sólo sí, la suma de sus cifras es
múltiplo de 3.
Divisibilidad por 4: Un número es divisible por 4 si, y sólo si, la cifra de sus decenas y
de sus unidades son ceros o componen un múltiplo de 4.
Divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5 si, y sólo sí, la cifra de sus unidades
es 0 o 5.
Divisibilidad por 7: Un número es divisible por 7 si, y sólo si,
 La cifra de las unidades más 3 veces la de las decenas, más 2 veces la de las
centenas, menos la de las unidades de mil, menos 3 veces la de las decenas de
mil, menos 2 veces la de las centenas de mil, más las unidades de millón, y
así siguiendo, resulta un número múltiplo de 7. Es decir que, dado el número
......jihgfedcba en base 10, será divisible por 7 si: (a + 3b + 3c) – (d + 3e + 2f) +
(g + 3h + 2i) – (j + .........) + .............
 El número formado por las tres cifras de la derecha, menos el número
formado por las 3 que le siguen a su izquierda, más el número que firman las
3 que le siguen y así siguiendo, resulta un número múltiplo de 7. Es decir,
dado el número .....jifedcba en base 10, será divisible por 7 si: (a + 10b + 10 2c)
– (d + 10e + 102f) + (g + 10h + 102i) – (j + ................) + ......................... resulta
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un múltiplo de 7.Esta última versión, que parece más sencilla, no es muy
práctica para números pequeños.
Divisibilidad por 8: Un número es divisible por 8 si, y sólo si, el número formado por
las tres últimas cifras de la derecha es un múltiplo de 8.
Divisibilidad por 9: Un número es divisible por 9 si, y sólo sí, la suma de sus cifras es
múltiplo de 9.
Divisibilidad por 10: Un número es divisible por 10 si, y sólo si, la cifra de las
unidades es cero.
Divisibilidad por 11: Un número es divisible por 11 si, y sólo sí, la suma de las cifras
de lugar impar, menos la suma de las cifras de lugar par es múltiplo de 11(se
cuenta de derecha a izquierda).
 Toda cifra seguida de un número par de ceros es igual a un múltiplo de 11,
más la misma cifra.
 Toda cifra seguida de un número impar de ceros es igual a un múltiplo de
11, menos la misma cifra.
Divisibilidad por 25: Un número es divisible por 25 si, y sólo sí, la cifra de sus
centenas y de sus unidades son ceros o componen un múltiplo de 25.
Divisibilidad por 125: Un número es divisible por 125 si, y sólo sí, la cifra del número
formado por las tres cifras de la derecha es un múltiplo de 125.
< 4 >Cualquier proposición que pueda expresarse como una igualdad es una
ecuación. Una ecuación es una igualdad que tiene uno o más elementos
desconocidos llamados incógnitas.
Resolver una ecuación significa encontrar el o los elementos que hacen que la
igualdad sea verdadera.
¿CÓMO DESPEJAR LOS ELEMENTOS DE LAS CUATRO OPERACIONES BÁSICAS?
2+3=52=5–3y3=5–2
( A ) EN UNA ADICIÓN, CADA SUMANDO ES IGUAL A LA SUMA MENOS EL OTRO
SUMANDO.
6–4=26=2+4
( B ) EN UNA SUSTRACCIÓN, EL MINUENDO ES IGUAL A LA RESTA
MAS EL
SUSTRAENDO.
6–4=24=6–2
( c ) EN UNA SUSTRACCIÓN, EL SUSTRAENDO ES IGUAL AL MINUENDO MENOS LA
RESTA.
2.3=62=6:3Y3=6:2
( D ) EN UN PRODUCTO, CADA FACTOR ES IGUAL AL PRODUCTO DIVIDIDO EL OTRO
FACTOR.
8:2=48=4.2
( E ) EN UNA DIVISIÓN, EL DIVIDENDO ES IGUAL AL COCIENTE MULTIPLICADO POR EL
DIVISOR.
8:2=42=8:4
( F ) EN UNA DIVISIÓN, EL DIVISOR ES IGUAL AL DIVIDENDO DIVIDIDO EL COCIENTE.
< 5 > La suma de números consecutivos desde 1 hasta n es
1 + 2 + 3 + .... + n = n.(n + 1)
2
< 6 > Si al hallar la cantidad de divisores de un número entero lo descomponemos
en sus factores primos y luego lo escribimos como potencia y quede de la siguiente
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forma: n = ax.by.cz ; entonces la cantidad de divisores que tiene n es del producto de
los exponentes luego de sumarle 1 a cada uno de ellos, o sea
(x +1).(y + 1).(z + 1) = cant. de divisores de n.
< 7 > En todo triángulo cada ángulo exterior es igual a la suma de los otros dos
ángulos interiores no adyacentes.
a+b
c
a
c+b
b
a+c
< 8 > DIVISOR COMUN MAYOR. Si a, b son enteros no nulos, entonces existe y es único
d tal que:
 D es mayor que cero.
 D divide a a y d divide a b.
 c divide a a y c divide b entonces c divide a d.
A d llamamos divisor común mayor y anotamos (a;b). Para su cálculo ensayamos la
división de a (ab) por b (b0). Si el resto es 0, entonces (a;b) = b; si no lo es,
dividimos b por ese resto y repetimos el procedimiento de dividir los sucesivos
divisores por los sucesivos restos. El mcd es el último resto no nulo (algoritmo de
Euclides).
< 9 > MÚLTIPLO COMÚN MÍNIMO. Si a,b son números enteros no nulos, entonces
existe y es único m tal que:
 m es mayor que 0.
 a divide a m y b divide a m
 si k es entero y k es mayor que 0 y k es múltiplo de y b, entonces m es menor o
igual que k.
A m llamamos múltiplo común mínimo y anotamos a;b. Si a o b es cero, definimos
a;b = 0.
< 10 > MEDIATRIZ. Es la recta que divide a un segmento en dos partes iguales . En un
triángulo las mediatrices de los lados se cortan en el centro de la circunferencia
circunscrita.
< 11 > MEDIANA. La mediana de un triángulo es la recta que une un vértice con el
punto medio del lado opuesto. Las medianas de los lados se intersectan en un punto
llamado BARICENTRO (también llamado centro de gravedad).
La longitud de la mediana trazada en el lado A es: M A =  2.(B2 + C2) – A2
2
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<12 > ALTURA. La altura de un triángulo es el segmento que une un vértice con el
lado opuesto y es perpendicular a él. Las alturas de un triángulo se intersectan en
un punto llamado ORTOCENTRO.
< 13 > BISECTRIZ. La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que lo divide en dos
partes iguales. En un triángulo, las bisectrices se intersectan en un punto, INCENTRO
que es el centro de la circunferencia inscrita. La longitud de la bisectriz del ángulo
opuesto al lado A es:
L = BC.(B + C)2 – A2 ]
B+C
El baricentro está alineado con el ortocentro, y el circuncentro, y a doble distancia
del primero que del segundo.
< 14 > TEOREMA DE PITÁGORAS. Para un triángulo rectángulo existe una relación
muy conocida entre sus lados: es el Teorema de Pitágoras: “El cuadrado de la
hipotenusa (A) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (B y C)”. La
hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, y los catetos son los lados restantes. La
fórmula es la siguiente:
A2 = B2 + C2
B
A
C
< 15 > RECIPROCA DEL TEOREMA DE PITAGORAS:
Si en un triángulo de lados de longitud a, b y c que verifican A²= B²+ C² entonces el
triángulo es rectángulo con catetos de longitudes b y c e hipotenusa de longitud a.
< 16 > SUPERFICIE. La superficie del triángulo puede calcularse de diversas maneras
según los datos que se dispongan:
* Fórmula básica: S = B x h
B: base; h : altura
2
* Fórmula de Herón: S = p.(p – A).(p – B).(p – C) ; p = A + B + C
2
Teniendo como dato adicional de la circunferencia circunscripta: S = A . B . C ;
R es el radio de la circunferencia.
4.R
< 17 > Si en un triángulo la base se mantiene constante y su altura se divide en “ n
“ partes iguales su superficie también queda dividida en “ n “ partes; y si su base se
divide en “ n “ partes iguales y su altura queda se mantiene constante su superficie
queda dividida en “ n “ partes iguales.
< 18 > CUADRADO.
 Sus lados y ángulos son congruentes.
 Las diagonales son congruentes y se cortan en sus puntos medios.
 La superficie es igual a L2
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< 19 > RECTÁNGULO.
 Dos pares de lados opuestos congruentes.
 Todos sus ángulos congruentes.
 Las diagonales son congruentes y se cortan en sus puntos medios.
 La superficie es igual a B . H.
< 20 > ROMBO.
 Todos sus lados congruentes.
 Dos pares de ángulos opuestos congruentes.
 Las diagonales son distintas y se cortan en sus puntos medios formando
ángulos rectos.
 La superficie es igual a D . d
2
< 21 > ROMBOIDE.
 Dos pares de lados consecutivos congruentes.
 Un par de ángulos opuestos congruentes.
 Las diagonales se cortan formando ángulos rectos.
 La superficie es igual a D . d
2
< 22 > PARALELOGRAMO.
 Dos pares de lados paralelos congruentes.
 Sus ángulos opuestos son congruentes, y sus ángulos consecutivos son
suplementarios. (miden 180º).
 Las diagonales no son congruentes y no se cortan en sus puntos medios.
 La superficie es igual a B . H.
< 23 > TRAPECIO.
 Un par de lados paralelos no congruentes y un par de lados no paralelos.
 Dos pares de ángulos consecutivos suplementarios.
 Sus diagonales no son congruentes.
 La superficie es igual a (B + b) . h
2
< 24 > POLÍGONOS EN GENERAL.
* Números de diagonales: Sea un polígono de n lados, el número N de diagonales
está dado por la fórmula:
N = n.(n – 3)
2
* Suma de los ángulos Interiores: La suma de los ángulos interiores está dada por la
fórmula:
 i = 180º.(n – 2)
* Superficie: La superficie se puede calcular dividiendo al polígono en n triángulos
como se muestra en el ejemplo:
* Polígonos regulares: Las fórmulas para calcular superficies son generales
únicamente para polígonos regulares. Dichos polígonos tienen todos sus lados
iguales y todos sus ángulos congruentes. Consideramos ahora un polígono regular
de n lados inscripto en una circunferencia de radio R, si queremos realizar el
mismo procedimiento que en el ejemplo anterior podemos tomar el centro de la
circunferencia para poder trazar los triángulos.
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< 25 > CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO. La circunferencia es el lugar geométrico de los
puntos que equidistan de un punto llamado centro. Círculo es la región encerrada
por la circunferencia. Si R es el radio de la misma, la longitud de la curva
(llamada también perímetro) es C = 2..R; y el área del círculo es S = .R2.
< 26 > ACUTÁNGULO. Dícese de toda figura geométrica que tiene todos sus ángulos
agudos.
< 27 > ÁNGULO ADYACENTE. El que resulta cuando una de las semirrectas que lo
delimitan es común para dos ángulos. Por ejemplo  y 
a
O
b
β
c
< 28 > ANGULO AGUDO. El menor que un ángulo recto
< 29 > ANGULO CENTRAL. El formado por el origen O de una circunferencia y dos
radios r1 r2
< 30 > ANGULO COMPLEMENTARIO. El que, sumado a otro, es igual a un ángulo
recto.  +  = 90º
< 31 > ANGULO OBTUSO. El mayor que un recto.
< 32 > ANGULO RECTO. El que tiene sus lados perpendiculares. Es un ángulo de 90º.
< 33 > ANGULO SUPLEMENTARIO. El que sumado a otro da 180º.  +  = 180º
< 34 > CIRCUNCENTRO. Se dice de aquella figura que se encuentra en el interior de
otra figura geométrica.
< 35 > Un cuadrilátero es un paralelogramo cuando tiene alguna de las siguientes
propiedades:
a) Ambos pares de lados opuestos son paralelos (definición)
b) Ambos pares de lados opuestos son iguales.
c) Ambos pares de ángulos son iguales
d) Las diagonales se bisecan.
e) Un par de lados opuestos son iguales y paralelos.
< 36 > ACUTANGULO. Dícese de toda figura geométrica que tiene todos sus ángulos
agudos.(menos de 90º)
< 37 > ADYACENTE. Significa próximo o al lado.
< 38 > ANGULO AGUDO. El menor que un ángulo recto.
< 39 > ANGULO DE DEPRESIÓN. Formado por la línea recta que va desde el punto de
observación al objeto por debajo de la horizontal y esa horizontal.
< 40> ANGULO OBTUSO. El mayor que un ángulo recto.
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< 41 > ANGULO RECTO. El que tiene sus lados perpendiculares. Es un ángulo de 90º.
< 42 > APOTEMA. Es el radio de la circunferencia inscrita en un polígono regular.
< 43 > CATETO. Cualquiera de los lados de un triángulo rectángulo que no es el
opuesto al ángulo recto.
< 44 > CENTRO DE SIMETRÍA. Punto fijo situado a igual distancia de dos puntos
simétricos.
< 45 > CIRCULO. Porción de un plano limitado por una circunferencia. Área de esa
porción.
< 46 > CIRCULO CIRCUNSCRITO. Es el que pasa por todos los vértices de un polígono.
< 47 > CIRCULO INSCRITO. Aquél en el que los lados de un polígono son sus
tangentes.
< 48 > CIRCUNCENTRO. Punto de corte de las mediatrices de un triángulo.
< 49 > CIRCUNSCRITO. Se dice de aquella figura que se encuentra en el interior de
otra figura.
< 50 > CONCAVO. Curvado como la superficie interna de una esfera.
< 51 > CONGRUENCIA. Es la propiedad por la que dos figuras pueden considerarse
exactamente similares.
< 52 > CONJUNTO DISJUNTO. Son los conjuntos que no tienen elementos comunes.
< 53 > CONSTANTE. Es una cantidad fija que permanece igual a lo largo de todas las
operaciones de un cálculo matemático.
< 54 > CUADRILÁTERO. Figura plana limitada por 4 líneas rectas.
< 55 > DIAGONAL. Es la línea recta que une dos vértices no consecutivos de un
polígono.
< 56 > DIÁMETRO. Línea recta que pasa por el centro de un círculo y lo divide en dos
partes iguales.
< 57 > DIGITO. Numero de una sola cifra.
< 58 > ECUACIÓN DIOFÁNTICA. Es una ecuación algebraica que tiene coeficientes
enteros y cuya solución también debe ser un número entero.
< 59 > EQUIDISTANTE. Todo punto situado a la misma distancia que otro.
< 60 > EQUILÁTERA. Toda figura que tiene sus lados de la misma longitud.
< 61 > INSCRITO. Cualquier figura geométrica trazada en el interior de otra.
< 62 > OBLÍCUO. Se dice de toda línea no perpendicular
< 63 > PARALELEPÍPEDO. Cuerpo de seis caras que son paralelogramos iguales y
paralelos dos a dos.
< 64 > POLÍGONO REGULAR. Polígono que tiene iguales los lados y los ángulos.
< 65 > RADIO. Cualquier recta que va del centro a la circunferencia de un círculo.
< 66 > ROMBO. Figura geométrica limitada por cuatro rectas iguales y con los
ángulos opuestos iguales pero no rectos.
< 67 > ROMBOIDE. Figura geométrica limitada por cuatro rectas no iguales y con
los ángulos no iguales.
< 68 > TRAPECIO. Cuadrilátero con dos lados paralelos.
< 69 > TRAPECIO ISÓSCELES. El que tiene iguales los ángulos adyacentes a una base.
< 70 > TRAPECIO RECTÁNGULO. El que tiene un ángulo recto.
< 71 > TRIÁNGULO ACUTÁNGULO. Triángulo con todos sus ángulos agudos.
< 72 > TRIÁNGULO ESCALENO. Triángulo que no tiene dos lados y dos ángulos
iguales.
< 73 > TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO. Triángulo que tiene un ángulo obtuso.
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PRIMER NIVEL INTERCOLEGIAL
XII CERTAMEN 1995
1. El rectángulo de la figura está dividido en cuatro rectángulos más pequeños
mediante dos líneas paralelas a sus lados. En tres de ellos se ha escrito el perímetro
correspondiente. ¿Cuál es el perímetro del cuarto rectángulo?
2. Los nueve números del 1 al 9 están escritos uno en cada ficha. Con las nueve
fichas hay que formar tres números de tres dígitos cada uno de modo que la suma
de los tres números así obtenidos
^
^ tenga el máximo valor posible. ¿De cuántas
maneras diferentes pueden disponerse las fichas?
^
^
3. Sea ABCD un cuadrilátero tal que C= 76 y D= 128. Se trazan las bisectrices de A y
^
de B, que se cortan en P. Hallar APB.
XIII CERTAMEN 1996
^
1. En el triángulo ABC que tiene B = 37º y C^ = 38º se marcan los puntos P y Q en el
^
^ . Se traza por B una paralela a AP y se
^ = PAQ
^ = QAC
lado BC de manera tal que BAP
traza por C una paralela a AQ, que corta a la anterior en D. Calcular el ángulo
^
DBC.
2. Resolver el crucigrama numérico colocando un dígito en cada casilla.
HORIZONTALES:
A B C
B:
Número
de
dos
cifras
igual
a la suma de los dígitos de B vertical.
D
E: Número de tres cifras igual a A vertical + B horizontal + C vertical.
E
VERTICALES:
B: Número de tres cifras múltiplo de 99.
C: Número de tres cifras que es cuadrado de D horizontal.
3. En un hotel de Bahía hay 120 personas distribuidas entre la recepción, el bar, el
comedor y el salón de reuniones. La cantidad de personas que hay en el bar es un
quinto de la que hay en el comedor, en la recepción hay un octavo de la que hay en
el salón.
Al pasar diez personas del comedor al salón y seis del bar a la recepción, en la
recepción hay un sexto de las que quedan en el comedor. ¿Cuántas personas había
inicialmente en cada uno de los lugares mencionados del hotel?.
XIV CERTAMEN 1997
1. Reemplazando x e y por dígitos, hallar todos los números naturales de cinco
cifras 65x1y que son múltiplos de 12
2. Un barco navega entre dos orillas paralelas, siguiendo el recorrido de la figura:
A
105º
C
40º
B
X ^
D
^
^
Se sabe que ABC = CDX. Calcular ABC.
3. Iván cobra en un banco un cheque por $ 2700 y le pide al cajero que le entregue
cierta cantidad de billetes de $ 10, 20 veces esa cantidad de billetes de $ 20 y el
9
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PRIMER NIVEL INTERCOLEGIAL
resto en cantidad de billetes de $ 50. ¿Cuántos billetes de cada clase le entrega el
cajero?.
XV CERTAMEN 1998
1. El triángulo ABC tiene C^ = 90º, AC = 20, AB = 101. Sea D el punto medio de CB.
Hallar el área del triángulo ADB.
2. Con los dígitos 1,2,3,4,5,6, formar un número de seis cifras distintas abcdef tal
que el número de tres cifras abc sea múltiplo de 4, el número de tres cifras bcd sea
múltiplo de 5, el número de tres cifras cde sea múltiplo de 3 y el número de tres
cifras def sea múltiplo de 11
3. El triángulo equilátero se divide en cuatro triangulitos equiláteros iguales (ver
figura). Quedan determinados 9 segmentos que son lados de triangulitos.
Distribuir los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en los lados de los triangulitos, sin
repeticiones, de modo que la suma de los tres números correspondientes a cada
triangulito sea siempre la misma.
XVI CERTAMEN 1999
^
1. En el triángulo ABC, A = 65º y B^ = 70º. Sobre la prolongación del lado BC se
marca P tal que BP = AB y B está
^ entre P y C, y se marca Q tal que CQ = AC, y C esté
entre B y Q. Si O es el centro de la circunferencia que pasa por A, P y Q, calcular los
^ NO VALE MEDIR.
^ y OAP.
ángulos OAQ
2. Completar la tabla con las letras A; B; C; D; E de modo que no haya dos letras
iguales en una misma fila, no haya dos letras iguales en una misma columna, no
haya dos letras iguales en una misma diagonal así  ni haya dos letras iguales en
una misma diagonal así .
A B C D E
A B C
3. Hallar un número natural de cuatro cifras abcd que sea múltiplo de 11, tal que
el número de dos cifras ac sea múltiplo de 7 y a + b + c + d = d2.
XVII CERTAMEN
2000
^
^
1. Sea ABC un triángulo isósceles con AB = BC y ABC = 144º. Se consideran el punto K
en AB, el punto L en BC y el punto M en AC de modo que KL es paralelo a AC, KM es
paralelo a BC y KL = KM. La recta LM intersecta a la prolongación del lado AB en P.
^ NO VALE MEDIR.
Hallar la medida del ángulo BPL.
2.
En un tablero como el de la figura, colocar en cada casilla un número entero entre
1 y 16, sin repetir, de manera que la suma de los números escritos en dos casillas
vecinas sea siempre un cuadrado perfecto.
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PRIMER NIVEL INTERCOLEGIAL
ACLARACIONES: Dos casillas son vecinas si tienen un lado común. Cuadrados
perfectos son los números que son iguales al cuadrado de un número entero.
3. Las sillas de la aerosilla del Cerro Omperá están numeradas en forma consecutiva
1, 2, 3, etc. Las distancias entre dos sillas consecutivas son todas iguales. Durante
una tormenta, la aerosilla se detuvo, y en ese momento la silla 22 se encontraba a
la misma altura que la 59, y la silla 93 se encontraba a la misma altura que la 142.
Determinar el número de sillas que tiene la aerosilla.
XVIII CERTAMEN 2001
1. En una circunferencia de centro O están marcados los puntos A; B y C, siguiendo
^ < BOC
^ y AOC
^ = 76º. Se marcan en la circunferencia
el sentido horario, tales que AOB
^ , ON es la bisectriz de BOC
^ y OP es la
M, N y P tales que OM es la bisectriz de AOB
^
^
^
bisectriz de MON. Si BOP = 5º, hallar la medida del ángulo BOC.
2. En el tablero de la figura hay cuatro casillas ocupadas.
Escribir en cada una de las seis casillas vacías
14
un número (no necesariamente entero) de
modo que una vez completo el tablero con los
10 números, se verifique que el número escrito
1
2
2
en cada casilla sea igual a la suma de los dos
números escritos en las dos casillas sobre las que esta apoyada.
3.Hallar todos los números de cuatro cifras 1a7b que son múltiplos de 15. ( a y b son
dígitos no necesariamente distintos)
XIX CERTAMEN
^ 2002
^
^
^
1. Sea D un punto interior del triángulo ABC tal que BDC = 123º, ABD = 15º y ACD =
21º. Calcular la medida del ángulo BAC. NO VALE MEDIR
2.
Hallar los cinco números que se deben escribir en cada una de las cinco
39
casillas vacías para obtener un cuadrado mágico: las tres filas, las tres
33
40
36 columnas y las dos diagonales tienen la misma suma.
3. En la ruta que une A con B hay dos estaciones de servicio, “El Cruce” y “El
Descanso”, separadas entre sí por 3 Km. La distancia desde “El Cruce” hasta A es
igual a ¾ de la distancia desde “El Cruce” hasta B. La distancia desde “El Descanso”
hasta A es igual a 4/5 de la distancia desde “El Descanso” hasta B. Calcular cuántos
kilómetros tiene la ruta desde A hasta B.
XX CERTAMEN 2003
1. Se trazan 5 rectas horizontales, cada una a 1 cm de distancia de la anterior, y 6
rectas verticales, cada una a 1 cm de distancia de la anterior. Estas 11 rectas
determinan 30 puntos. Sea A el punto de la quinta fila, primera columna ( es decir,
el de la quinta inferior izquierda ), B el punto de la primera fila, sexta columna (
o sea, el de la esquina superior derecha ) y C el punto de la segunda fila, quinta
columna. Calcular el área del triángulo ABC.
NO VALE MEDIR.
2. En la tienda El Ofertón, el precio de cada artículo es una cantidad entera de
pesos con 99 centavos ( el precio más bajo es $ 0,99 ). Doña Rosa realizó una compra
por un total de $ 125,74. ¿Cuántos artículos compró?. Dar todas las posibilidades.
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PRIMER NIVEL INTERCOLEGIAL
3. Hay que escribir los números del 1 al 9, uno en cada casilla y sin repeticiones, de
modo que la suma de los tres números de cada una de las 4 líneas sea la misma. Ya
se escribieron el 6 y el 9. Ubicar los demás números.
6
9
XXI CERTAMEN 2004
1. Distribuir en los círculos los números de tres dígitos 111, 112, 121, 122, 211, 212,
221, 222, sin repeticiones, de modo que los números escritos en círculos que están
unidos entre sí por un segmento no tengan más de una coincidencia (es decir,
pueden tener exactamente una coincidencia o no tener coincidencia).
2. Hallar todos los números enteros positivos de cuatro cifras que son múltiplos de 11
y tienen sus dos últimas cifras iguales a 04.
3. Se considera
una circunferencia de centro O y se traza un diámetro AD. El punto
^
^
C de la circunferencia es tal que CAD = 44º. Se traza por O la recta
^ perpendicular a
la cuerda AC que corta a la circunferencia en el punto B. Sea F el punto de
^
intersección de AC y BD. Calcular la medida del ángulo CFD.
XXII CERTAMEN 2005
1. Hacer la lista de todos los enteros positivos de tres dígitos tales que cada par de
dígitos consecutivos sea un número de dos dígitos que es cuadrado perfecto. Por
ejemplo, 164 es un número de la lista, porque 16 = 4 2 y 64 = 82, pero 1645 no está en
la lista porque 45 no es un cuadrado perfecto y 381 no está en la lista porque 38 no
es un cuadrado perfecto.
2. En los vértices de un cubo hay que escribir con azul los números enteros de 1 a 8
inclusive, sin repeticiones. A continuación, en cada arista se escribe con rojo la
diferencia de los números azules de sus dos extremos (el mayor menos el menor).
Distribuir los números azules para que la cantidad de números rojos distintos sea la
menor posible.
3. Dado un triángulo equilátero ABC, sean P y Q exteriores al triángulo tales que BQ
^
^
^ = CBQ
corta al lado AC, CP corta al lado AB, AP = AQ = AB y BCP
= 25º. Calcular el
^
ángulo APQ.
XXIII CERTAMEN 2006
1. Hay que escribir los números enteros del 1 al 7, uno en cada casilla, sin
repeticiones, de modo que la suma de los tres números de cada una de las tres
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PRIMER NIVEL INTERCOLEGIAL
líneas ( una horizontal y dos verticales ) sea la misma. Ya se escribieron el 3 y el 4.
Ubicar los demás números.
4
3
2. Emilio tiene una bolsa con dos clases de caramelos, de frutilla y de leche. Le
regala la quinta parte de los caramelos de leche a su hermanito y resulta que la
cantidad de caramelos de leche que quedan en la bolsa es igual a dos tercios de la
cantidad de caramelos de frutilla de la bolsa. Luego le regala 56 caramelos de
frutilla a sus compañeros de clase. Así, en la bolsa la cantidad de los caramelos de
frutilla es igual a cuatro quinto de los de leche.
¿Cuántos caramelos de cada clase quedan en la^bolsa?.
^ = 70º y DAC
^ = 28º.
3. Sean ABC un triángulo y D un punto del lado BC tal que ADB
En la prolongación del lado AC se marca el punto E tal que CD = CE (C queda entre
^
A y E). Calcular la medida del ángulo BDE.
XXIV CERTAMEN 2007
1. Al sumar el número de cuatro dígitos ABCD más el número de tres dígitos BCD
más el número de dos dígitos CD más el número de un dígito D el resultado es 2000.
Hallar los dígitos A, B, C y D, si cada letra representa un dígito distinto.
2. Se tienen 31 cajas, cada una con una o más monedas. Entre ellas hay 25 que
tienen dos o más monedas, 17 que tienen tres o más monedas, 15 que tienen cuatro
o más monedas, 9 que tienen cinco o más monedas y 6 que tienen seis monedas. Se
sabe que ninguna caja tiene más de 6 monedas. ¿Cuántas monedas hay en total?
3. Sea AB el diámetro de una semicircunferencia de centro O. Consideramos en la
semicircunferencia dos puntos M y N tales que
arco
MON = 90ºy M está en el
. Sean P y Q en la semicircunferencia tales que OP es bisectriz del ángulo
y OQ es bisectriz del ángulo
la medida del ángulo
. Si OM es bisectriz del ángulo
, calcular
.
XXV CERTAMEN 2008
1. Hallar un número de tres cifras ABC tal que la cifra de las centenas es igual al
doble de la cifra de las unidades, las tres cifras suman 15, y si se le resta a ABC el
número formado al cambiar en ABC las unidades con las centenas, CBA, se obtiene
396.
2. La figura muestra un cubo desplegado. Hay que escribir en cada cara del cubo
un número entero del 1 al 6, sin repetir, de modo que al armar nuevamente el cubo,
si para cada vértice se calcula la multiplicación de los números de las tres caras
que concurren en ese vértice, se obtienen, en algún orden, los números 10, 12, 20, 24,
30, 36, 60 y 72. El 1 ya está ubicado.
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PRIMER NIVEL INTERCOLEGIAL
3. Sea ABC un triángulo. La bisectriz del ángulo
bisectriz del ángulo
dos bisectrices. Si
corta al lado AC en D y la
corta al lado AB en E . Sea I el punto en el que se cortan estas
, calcular la medida del ángulo
.
XXVI CERTAMEN 2009
1.Hallar todos los números de dos cifras ab tales que ab = 7
ba 4
ACLARACIÓN: ab representa al número que tiene a en las decenas y b en las
unidades; ba representa al
número que tiene b en las decenas y a en las unidades.
2. La suma de las edades de Juan y de su madre supera en 2 años a la edad del
padre. Dentro de 4 años,
la edad de la madre será igual al triple de la edad de Juan, y la suma de las
edades de los tres (padre,
madre y Juan) será igual a 74. Determinar las edades actuales de los tres
personajes.
3. En la figura se muestra un hexágono formado por 24 triángulos equiláteros de
lado 1. El área sombreada está formada por 3 triángulos equiláteros de distintos
tamaños. Si S es el área sombreada y B es el área blanca del hexágono, calcular B
S
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