Download problema 1 – xiii - Colegio Gobernador Juan José Silva

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¿QUÉ ES UN PROBLEMA?
La mayoría de los ejercicios que se presentan en los libros de texto no son verdaderos problemas, sino sugerencias
para ejercitar técnicas y herramientas que se han presentado en el capítulo correspondiente. Un verdadero problema
es una situación que se presenta, en la cual se sabe más o menos ( o con toda claridad) a DONDE se debe llegar pero
no se sabe COMO llegar. La principal dificultad consiste en aclarar la situación y dar con algún camino adecuado (una
estrategia) que nos lleve a la meta. A veces no se sabe si la herramienta adecuada para la situación planteada está en
la colección de técnicas que dominamos, o ni siquiera si se ha creado una técnica que pueda ser suficientemente
potente para resolver el problema. Esta es, precisamente, la circunstancia del investigador, en matemática y en
cualquier otro campo y, por otra parte, ésta es la situación en la que nos encontramos a veces en nuestra vida
cotidiana.
UNA ESTRATEGIA DE PENSAMIENTO: COMENZAR CON UN PROBLEMA SEMEJANTE MÁS FÁCIL
A veces nos encontramos con problemas que resultan difíciles por su tamaño, por presentar demasiados elementos
que lo hacen complicado y oscuro.
En estos casos puede ser útil proponer un problema semejante, lo más sencillo posible y resolverlo. De esta manera se
consigue que aparezcan más transparentes principios de solución que quedan confusos en medio de la complejidad
del problema inicial.
EXPERIMENTAR, OBSERVAR, BUSCAR PAUTAS, REGULARIDADES. HACER CONJETURAS. TRATAR
DE DEMOSTRARLAS
En matemática, las buenas ideas surgen muy a menudo a través de "experimentos". Los experimentos son de diverso
tipo. Unas veces se trata de ensayar en casos particulares la aparición de una cierta propiedad. Otras se tratan de
mirar ciertas figuras, cambiándolas, introduciendo elementos auxiliares, a fin de enlazar diversas situaciones y de
establecer conexiones que sospechamos que existen entre los objetos que manipulamos. Con el experimento y la
observación surge una "conjetura". Se sigue experimentando con nuevos casos poniendo a prueba tal conjetura. Si
esta resiste varias pruebas va adquiriendo más fuerza. Luego vendrá la tarea de dar con la razón por la cual la
conjetura se verifica siempre, con la "demostración" de la conjetura.
DIBUJAR UNA FIGURA, UN ESQUEMA, UN DIAGRAMA
Son muchos los problemas que se hacen muy transparentes cuando se logra encontrar una representación visual
adecuada de los elementos que en él intervienen. Pensamos mucho mejor con el apoyo de imágenes que con el de
palabras, números o solamente símbolos.
ELEGIR UN LENGUAJE ADECUADO, UNA NOTACION ADECUADA
Muchas veces, el resolver un problema depende fundamentalmente de que el estilo de pensamiento que se aplique
sea el adecuado o no al problema. Por eso, antes de empezar a trabajar conviene pensar si será bueno utilizar un
lenguaje geométrico o bien un simple diagrama, o tal vez convenga utilizar un lenguaje algebraico o analítico, o
incluso, venga bien una modelización con papel, cartón, etc.
PENSAR EN EL PROBLEMA RESUELTO
Un buen modo de descubrir el mejor camino para escalar una montaña consiste en colocarse arriba con un
helicóptero y desde allí estudiar los caminos posibles.
En la resolución de problemas este procedimiento es barato, fácil y de uso constante.
GLOSARIO
< 1 > En todo triángulo la suma de los ángulos interiores es un ángulo llano o 180º.
a
c
a + b + c = 180º
b
< 2 > Dados dos recta paralelas cortadas por una transversal:
b
d
c
a
e
a = b por ser opuestos por el vértice.
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e = a por ser correspondientes entre paralelas cortadas por una transversal.
e = b y d = c por ser alternos internos entre paralelas cortadas por una transversal.
a + c = 180, b + c = 180 y d + e = 180 por ser un ángulo llano o suplementario.
< 3 > Múltiplos y divisores.
Un número dícese múltiplo de otro cuando lo contiene a éste en una cantidad exacta de veces.
Un número dícese divisor de otro cuando es contenido por éste en una cantidad exacta de veces.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 si, y sólo sí, la cifra de sus unidades es 0, 2, 4, 6 u 8.
Divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3 si, y sólo sí, la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Divisibilidad por 4: Un número es divisible por 4 si, y sólo si, la cifra de sus decenas y de sus unidades son ceros o
componen un múltiplo de 4.
Divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5 si, y sólo sí, la cifra de sus unidades es 0 o 5.
Divisibilidad por 7: Un número es divisible por 7 si, y sólo si,
 La cifra de las unidades más 3 veces la de las decenas, más 2 veces la de las centenas, menos la de las
unidades de mil, menos 3 veces la de las decenas de mil, menos 2 veces la de las centenas de mil, más las
unidades de millón, y así siguiendo, resulta un número múltiplo de 7. Es decir que, dado el número
......jihgfedcba en base 10, será divisible por 7 si: (a + 3b + 3c) – (d + 3e + 2f) + (g + 3h + 2i) – (j + .........) +
.............
 El número formado por las tres cifras de la derecha, menos el número formado por las 3 que le siguen a su
izquierda, más el número que firman las 3 que le siguen y así siguiendo, resulta un número múltiplo de 7. Es
decir, dado el número .....jifedcba en base 10, será divisible por 7 si: (a + 10b + 10 2c) – (d + 10e + 102f) + (g +
10h + 102i) – (j + ................) + ......................... resulta un múltiplo de 7.Esta última versión, que parece más
sencilla, no es muy práctica para números pequeños.
Divisibilidad por 8: Un número es divisible por 8 si, y sólo si, el número formado por las tres últimas cifras de la
derecha es un múltiplo de 8.
Divisibilidad por 9: Un número es divisible por 9 si, y sólo sí, la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
Divisibilidad por 10: Un número es divisible por 10 si, y sólo si, la cifra de las unidades es cero.
Divisibilidad por 11: Un número es divisible por 11 si, y sólo sí, la suma de las cifras deL lugar impar, menos la suma de
las cifras deL lugar par es múltiplo de 11(se cuenta de derecha a izquierda).
 Toda cifra seguida de un número par de ceros es igual a un múltiplo de 11, más la misma cifra.
 Toda cifra seguida de un número impar de ceros es igual a un múltiplo de 11, menos la misma cifra.
Divisibilidad por 25: Un número es divisible por 25 si, y sólo sí, la cifra de sus centenas y de sus unidades son ceros o
componen un múltiplo de 25.
Divisibilidad por 125: Un número es divisible por 125 si, y sólo sí, la cifra del número formado por las tres cifras de la
derecha es un múltiplo de 125.
< 4 >Cualquier proposición que pueda expresarse como una igualdad es una ecuación. Una ecuación es una igualdad
que tiene uno o más elementos desconocidos llamados incógnitas.
Resolver una ecuación significa encontrar el o los elementos que hacen que la igualdad sea verdadera.
¿CÓMO DESPEJAR LOS ELEMENTOS DE LAS CUATRO OPERACIONES BÁSICAS?
2+3=52=5–3y3=5–2
( A ) EN UNA ADICIÓN, CADA SUMANDO ES IGUAL A LA SUMA MENOS EL OTRO SUMANDO.
6–4=26=2+4
( B ) EN UNA SUSTRACCIÓN, EL MINUENDO ES IGUAL A LA RESTA MAS EL SUSTRAENDO.
6–4=24=6–2
( c ) EN UNA SUSTRACCIÓN, EL SUSTRAENDO ES IGUAL AL MINUENDO MENOS LA RESTA.
2.3=62=6:3Y3=6:2
( D ) EN UN PRODUCTO, CADA FACTOR ES IGUAL AL PRODUCTO DIVIDIDO EL OTRO FACTOR.
8:2=48=4.2
( E ) EN UNA DIVISIÓN, EL DIVIDENDO ES IGUAL AL COCIENTE MULTIPLICADO POR EL DIVISOR.
8:2=42=8:4
( F ) EN UNA DIVISIÓN, EL DIVISOR ES IGUAL AL DIVIDENDO DIVIDIDO EL COCIENTE.
< 5 > La suma de números consecutivos desde 1 hasta n es 1 + 2 + 3 + .... + n = n.(n + 1)
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< 6 > Si al hallar la cantidad de divisores de un número entero lo descomponemos en sus factores primos y luego lo
escribimos como potencia y quede de la siguiente forma: n = a x.by.cz ; entonces la cantidad de divisores que tiene n es
del producto de los exponentes luego de sumarle 1 a cada uno de ellos, o sea
(x +1).(y + 1).(z + 1) = cant. de divisores de n.
< 7 > En todo triángulo cada ángulo exterior es igual a la suma de los otros dos ángulos interiores no adyacentes.
a+b
c
b
a+c
a
c+b
< 8 > DIVISOR COMUN MAYOR. Si a, b son enteros no nulos, entonces existe y es único d tal que:
 D es mayor que cero.
 D divide a a y d divide a b.
 c divide a a y c divide b entonces c divide a d.
A d llamamos divisor común mayor y anotamos (a;b). Para su cálculo ensayamos la división de a (ab) por b (b0). Si el
resto es 0, entonces (a;b) = b; si no lo es, dividimos b por ese resto y repetimos el procedimiento de dividir los
sucesivos divisores por los sucesivos restos. El mcd es el último resto no nulo (algoritmo de Euclides).
< 9 > MÚLTIPLO COMÚN MÍNIMO. Si a,b son números enteros no nulos, entonces existe y es único m tal que:
 m es mayor que 0.
 a divide a m y b divide a m
 si k es entero y k es mayor que 0 y k es múltiplo de y b, entonces m es menor o igual que k.
A m llamamos múltiplo común mínimo y anotamos a;b. Si a o b es cero, definimos a;b = 0.
< 10 > MEDIATRIZ. Es la recta que divide a un segmento en dos partes iguales . En un triángulo las mediatrices de los
lados se cortan en el centro de la circunferencia circunscrita.
< 11 > MEDIANA. La mediana de un triángulo es la recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Las
medianas de los lados se intersectan en un punto llamado BARICENTRO (también llamado centro de gravedad).
La longitud de la mediana trazada en el lado A es: MA =  2.(B2 + C2) – A2
2
<12 > ALTURA. La altura de un triángulo es el segmento que une un vértice con el lado opuesto y es perpendicular a él.
Las alturas de un triángulo se intersectan en un punto llamado ORTOCENTRO.
< 13 > BISECTRIZ. La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que lo divide en dos partes iguales. En un triángulo, las
bisectrices se intersectan en un punto, INCENTRO que es el centro de la circunferencia inscrita. La longitud de la
bisectriz del ángulo opuesto al lado A es: L  = BC.(B + C)2 – A2 ]
B+C
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El baricentro está alineado con el ortocentro, y el circuncentro, y a doble distancia del primero que del segundo.
< 14 > TEOREMA DE PITÁGORAS. Para un triángulo rectángulo existe una relación muy conocida entre sus lados: es el
Teorema de Pitágoras: “El cuadrado de la hipotenusa (A) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (B y C)”. La
hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, y los catetos son los lados restantes. La fórmula es la siguiente:
A2 = B2 + C2
B
A
C
< 15 > RECIPROCA DEL TEOREMA DE PITAGORAS:
Si en un triángulo de lados de longitud a, b y c que verifican A²= B²+ C² entonces el triángulo es rectángulo con catetos
de longitudes b y c e hipotenusa de longitud a.
< 16 > SUPERFICIE. La superficie del triángulo puede calcularse de diversas maneras según los datos que se dispongan:
* Fórmula básica: S = B x h
B: base; h : altura
2
* Fórmula de Herón: S = p.(p – A).(p – B).(p – C) ; p = A + B + C
2
Teniendo como dato adicional de la circunferencia circunscripta: S = A . B . C ;
R es el radio de la circunferencia.
4.R
< 17 > Si en un triángulo la base se mantiene constante y su altura se divide en “ n “ partes iguales su superficie
también queda dividida en “ n “ partes; y si su base se divide en “ n “ partes iguales y su altura queda se mantiene
constante su superficie queda dividida en “ n “ partes iguales.
< 18 > CUADRADO.
 Sus lados y ángulos son congruentes.
 Las diagonales son congruentes y se cortan en sus puntos medios.
 La superficie es igual a L2
< 19 > RECTÁNGULO.
 Dos pares de lados opuestos congruentes.
 Todos sus ángulos congruentes.
 Las diagonales son congruentes y se cortan en sus puntos medios.
 La superficie es igual a B . H.
< 20 > ROMBO.
 Todos sus lados congruentes.
 Dos pares de ángulos opuestos congruentes.
 Las diagonales son distintas y se cortan en sus puntos medios formando ángulos rectos.
 La superficie es igual a D . d
2
< 21 > ROMBOIDE.
 Dos pares de lados consecutivos congruentes.
 Un par de ángulos opuestos congruentes.
 Las diagonales se cortan formando ángulos rectos.
 La superficie es igual a D . d
2
< 22 > PARALELOGRAMO.
 Dos pares de lados paralelos congruentes.
 Sus ángulos opuestos son congruentes, y sus ángulos consecutivos son suplementarios. (miden 180º).
 Las diagonales no son congruentes y no se cortan en sus puntos medios.
 La superficie es igual a B . H.
< 23 > TRAPECIO.
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



Un par de lados paralelos no congruentes y un par de lados no paralelos.
Dos pares de ángulos consecutivos suplementarios.
Sus diagonales no son congruentes.
La superficie es igual a (B + b) . h
2
< 24 > POLÍGONOS EN GENERAL.
* Números de diagonales: Sea un polígono de n lados, el número N de diagonales está dado por la fórmula:
N = n.(n – 3)
2
* Suma de los ángulos Interiores: La suma de los ángulos interiores está dada por la fórmula:
 i = 180º.(n – 2)
* Superficie: La superficie se puede calcular dividiendo al polígono en n triángulos como se muestra en el ejemplo:
* Polígonos regulares: Las fórmulas para calcular superficies son generales únicamente para polígonos regulares.
Dichos polígonos tienen todos sus lados iguales y todos sus ángulos congruentes. Consideramos ahora un polígono
regular de n lados inscripto en una circunferencia de radio R, si queremos realizar el mismo procedimiento que en el
ejemplo anterior podemos tomar el centro de la circunferencia para poder trazar los triángulos.
< 25 > CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO. La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto
llamado centro. Círculo es la región encerrada por la circunferencia. Si R es el radio de la misma, la longitud de la curva
(llamada también perímetro) es C = 2..R; y el área del círculo es S = .R2.
< 26 > ACUTÁNGULO. Dícese de toda figura geométrica que tiene todos sus ángulos agudos.
< 27 > ÁNGULO ADYACENTE. El que resulta cuando una de las semirrectas que lo delimitan es común para dos
a
ángulos. Por ejemplo  y 
O
b
β
c
< 28 > ANGULO AGUDO. El menor que un ángulo recto
< 29 > ANGULO CENTRAL. El formado por el origen O de una circunferencia y dos radios r 1 r2
< 30 > ANGULO COMPLEMENTARIO. El que, sumado a otro, es igual a un ángulo recto.  +  = 90º
< 31 > ANGULO OBTUSO. El mayor que un recto.
< 32 > ANGULO RECTO. El que tiene sus lados perpendiculares. Es un ángulo de 90º.
< 33 > ANGULO SUPLEMENTARIO. El que sumado a otro da 180º.  +  = 180º
< 34 > CIRCUNCENTRO. Se dice de aquella figura que se encuentra en el interior de otra figura geométrica.
< 35 > Un cuadrilátero es un paralelogramo cuando tiene alguna de las siguientes propiedades:
a) Ambos pares de lados opuestos son paralelos (definición)
b) Ambos pares de lados opuestos son iguales.
c) Ambos pares de ángulos son iguales
d) Las diagonales se bisecan.
e) Un par de lados opuestos son iguales y paralelos.
< 36 > ACUTANGULO. Dícese de toda figura geométrica que tiene todos sus ángulos agudos.(menos de 90º)
< 37 > ADYACENTE. Significa próximo o al lado.
< 38 > ANGULO AGUDO. El menor que un ángulo recto.
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< 39 > ANGULO DE DEPRESIÓN. Formado por la línea recta que va desde el punto de observación al objeto por debajo
de la horizontal y esa horizontal.
< 40> ANGULO OBTUSO. El mayor que un ángulo recto.
< 41 > ANGULO RECTO. El que tiene sus lados perpendiculares. Es un ángulo de 90º.
< 42 > APOTEMA. Es el radio de la circunferencia inscrita en un polígono regular.
< 43 > CATETO. Cualquiera de los lados de un triángulo rectángulo que no es el opuesto al ángulo recto.
< 44 > CENTRO DE SIMETRÍA. Punto fijo situado a igual distancia de dos puntos simétricos.
< 45 > CIRCULO. Porción de un plano limitado por una circunferencia. Área de esa porción.
< 46 > CIRCULO CIRCUNSCRITO. Es el que pasa por todos los vértices de un polígono.
< 47 > CIRCULO INSCRITO. Aquél en el que los lados de un polígono son sus tangentes.
< 48 > CIRCUNCENTRO. Punto de corte de las mediatrices de un triángulo.
< 49 > CIRCUNSCRITO. Se dice de aquella figura que se encuentra en el interior de otra figura.
< 50 > CONCAVO. Curvado como la superficie interna de una esfera.
< 51 > CONGRUENCIA. Es la propiedad por la que dos figuras pueden considerarse exactamente similares.
< 52 > CONJUNTO DISJUNTO. Son los conjuntos que no tienen elementos comunes.
< 53 > CONSTANTE. Es una cantidad fija que permanece igual a lo largo de todas las operaciones de un cálculo
matemático.
< 54 > CUADRILÁTERO. Figura plana limitada por 4 líneas rectas.
< 55 > DIAGONAL. Es la línea recta que une dos vértices no consecutivos de un polígono.
< 56 > DIÁMETRO. Línea recta que pasa por el centro de un círculo y lo divide en dos partes iguales.
< 57 > DIGITO. Numero de una sola cifra.
< 58 > ECUACIÓN DIOFÁNTICA. Es una ecuación algebraica que tiene coeficientes enteros y cuya solución también
debe ser un número entero.
< 59 > EQUIDISTANTE. Todo punto situado a la misma distancia que otro.
< 60 > EQUILÁTERA. Toda figura que tiene sus lados de la misma longitud.
< 61 > INSCRITO. Cualquier figura geométrica trazada en el interior de otra.
< 62 > OBLÍCUO. Se dice de toda línea no perpendicular
< 63 > PARALELEPÍPEDO. Cuerpo de seis caras que son paralelogramos iguales y paralelos dos a dos.
< 64 > POLÍGONO REGULAR. Polígono que tiene iguales los lados y los ángulos.
< 65 > RADIO. Cualquier recta que va del centro a la circunferencia de un círculo.
< 66 > ROMBO. Figura geométrica limitada por cuatro rectas iguales y con los ángulos opuestos iguales pero no
rectos.
< 67 > ROMBOIDE. Figura geométrica limitada por cuatro rectas no iguales y con los ángulos no iguales.
< 68 > TRAPECIO. Cuadrilátero con dos lados paralelos.
< 69 > TRAPECIO ISÓSCELES. El que tiene iguales los ángulos adyacentes a una base.
< 70 > TRAPECIO RECTÁNGULO. El que tiene un ángulo recto.
< 71 > TRIÁNGULO ACUTÁNGULO. Triángulo con todos sus ángulos agudos.
< 72 > TRIÁNGULO ESCALENO. Triángulo que no tiene dos lados y dos ángulos iguales.
< 73 > TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO. Triángulo que tiene un ángulo obtuso.
XII CERTAMEN 1995
1. El rectángulo de la figura está dividido en cuatro rectángulos más pequeños mediante dos líneas paralelas a sus
lados. En tres de ellos se ha escrito el perímetro correspondiente. ¿Cuál es el perímetro del cuarto rectángulo?
2. Los nueve números del 1 al 9 están escritos uno en cada ficha. Con las nueve fichas hay que formar tres números de
tres dígitos cada uno de modo que la suma de los tres números así obtenidos tenga el máximo valor posible. ¿De
cuántas maneras diferentes pueden disponerse
las fichas?
^ ^ ^ ^
3. Sea ABCD un cuadrilátero tal que C=
76 y D= 128. Se trazan las bisectrices de A y de B, que se cortan en P. Hallar
^
APB.
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XIII CERTAMEN 1996
1. En el triángulo ABC que tiene ^
B = 37º y C^ = 38º se marcan los puntos P y Q en el lado BC de manera tal que
^ = PAQ
^ = QAC.
^ Se traza por B una paralela a AP y se traza por C una paralela a AQ, que corta a la anterior en D.
BAP
^
Calcular el ángulo DBC.
^
2. Resolver
el crucigrama numérico colocando un dígito en cada casilla.
HORIZONTALES:
A
B C
B: Número de dos cifras igual a la suma de los dígitos de B vertical.
D
E: Número de tres cifras igual a A vertical + B horizontal + C vertical.
E
VERTICALES:
B: Número de tres cifras múltiplo de 99.
C: Número de tres cifras que es cuadrado de D horizontal.
3. En un hotel de Bahía hay 120 personas distribuidas entre la recepción, el bar, el comedor y el salón de reuniones. La
cantidad de personas que hay en el bar es un quinto de la que hay en el comedor, en la recepción hay un octavo de la
que hay en el salón.
Al pasar diez personas del comedor al salón y seis del bar a la recepción, en la recepción hay un sexto de las que
quedan en el comedor. ¿Cuántas personas había inicialmente en cada uno de los lugares mencionados del hotel?.
XIV CERTAMEN 1997
1. Reemplazando x e y por dígitos, hallar todos los números naturales de cinco cifras 65x1y que son múltiplos de 12
2. Un barco navega entre dos orillas paralelas, siguiendo el recorrido de la figura:
105ºA
C
40º
B
X ^
D
^
^
Se sabe que ABC = CDX. Calcular ABC.
3. Iván cobra en un banco un cheque por $ 2700 y le pide al cajero que le entregue cierta cantidad de billetes de $ 10,
20 veces esa cantidad de billetes de $ 20 y el resto en cantidad de billetes de $ 50. ¿Cuántos billetes de cada clase le
entrega el cajero?.
XV CERTAMEN 1998
1. El triángulo ABC tiene ^
C = 90º, AC = 20, AB = 101. Sea D el punto medio de CB. Hallar el área del triángulo ADB.
2. Con los dígitos 1,2,3,4,5,6, formar un número de seis cifras distintas abcdef tal que el número de tres cifras abc sea
múltiplo de 4, el número de tres cifras bcd sea múltiplo de 5, el número de tres cifras cde sea múltiplo de 3 y el
número de tres cifras def sea múltiplo de 11
3. El triángulo equilátero se divide en cuatro triangulitos equiláteros iguales (ver figura). Quedan determinados 9
segmentos que son lados de triangulitos.
Distribuir los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en los lados de los triangulitos, sin repeticiones, de modo que la suma de
los tres números correspondientes a cada triangulito sea siempre la misma.
XVI CERTAMEN 1999
^ = 65º y B^ = 70º. Sobre la prolongación del lado BC se marca P tal que BP = AB y B está entre P
1. En el triángulo ABC, A
y C, y se marca Q tal que CQ = AC, y C esté ^entre B y Q. Si O es el centro de la circunferencia que pasa por A, P y Q,
^ y OAP.
^ NO VALE MEDIR.
calcular los ángulos OAQ
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2. Completar la tabla con las letras A; B; C; D; E de modo que no haya dos letras iguales en una misma fila, no haya dos
letras iguales en una misma columna, no haya dos letras iguales en una misma diagonal así  ni haya dos letras iguales
en una misma diagonal así .
A B C D E
A B C
3. Hallar un número natural de cuatro cifras abcd que sea múltiplo de 11, tal que el número de dos cifras ac sea
múltiplo de 7 y a + b + c + d = d2.
XVII CERTAMEN
2000
^ =^144º. Se consideran el punto K en AB, el punto L en BC y el
1. Sea ABC un triángulo isósceles con AB = BC y ABC
punto M en AC de modo que KL es paralelo a AC, KM es paralelo a BC y KL = KM. La recta LM intersecta a la
^ NO VALE MEDIR.
prolongación del lado AB en P. Hallar la medida del ángulo BPL.
2.
En un tablero como el de la figura, colocar en cada casilla un número entero entre 1 y 16, sin repetir, de manera que la
suma de los números escritos en dos casillas vecinas sea siempre un cuadrado perfecto.
ACLARACIONES: Dos casillas son vecinas si tienen un lado común. Cuadrados perfectos son los números que son
iguales al cuadrado de un número entero.
3. Las sillas de la aerosilla del Cerro Omperá están numeradas en forma consecutiva 1, 2, 3, etc. Las distancias entre
dos sillas consecutivas son todas iguales. Durante una tormenta, la aerosilla se detuvo, y en ese momento la silla 22 se
encontraba a la misma altura que la 59, y la silla 93 se encontraba a la misma altura que la 142. Determinar el número
de sillas que tiene la aerosilla.
XVIII CERTAMEN 2001
1. En una circunferencia de centro O están marcados los puntos A; B y C, siguiendo el sentido horario, tales que
^ y AOC
^ ON es la
^ < BOC
^ = 76º. Se marcan en la circunferencia M, N y P tales que OM es la bisectriz de AOB,
AOB
^
^
^
^
bisectriz de BOC y OP es la bisectriz de MON. Si BOP = 5º, hallar la medida del ángulo BOC.
2. En el tablero de la figura hay cuatro casillas ocupadas.
Escribir en cada una de las seis casillas vacías un número (no
14
necesariamente entero) de modo que una vez completo el tablero
con los 10 números, se verifique que el número escrito en cada
casilla sea igual a la suma de los dos números escritos en las dos
1
2
2
casillas sobre las que esta apoyada.
3.Hallar todos los números de cuatro cifras 1a7b que son múltiplos de 15. (a y b son dígitos no necesariamente
distintos)
XIX CERTAMEN 2002
^ = 123º, ABD
^ = 15º y ACD
^ = 21º. Calcular la medida del ángulo
1. Sea D un punto interior del triángulo ABC tal que BDC
^ NO VALE MEDIR
BAC.
2.
Hallar los cinco números que se deben escribir en cada una de las cinco casillas vacías para obtener un
cuadrado mágico: las tres filas, las tres columnas y las dos diagonales tienen la misma suma.
39
33
40
36
3. En la ruta que une A con B hay dos estaciones de servicio, “El Cruce” y “El Descanso”, separadas entre sí por 3 Km.
La distancia desde “El Cruce” hasta A es igual a ¾ de la distancia desde “El Cruce” hasta B. La distancia desde “El
Descanso” hasta A es igual a 4/5 de la distancia desde “El Descanso” hasta B. Calcular cuántos kilómetros tiene la ruta
desde A hasta B.
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Provincia de Formosa
PRIMER NIVEL
INTERCOLEGIAL
XX CERTAMEN 2003
1. Se trazan 5 rectas horizontales, cada una a 1 cm de distancia de la anterior, y 6 rectas verticales, cada una a 1 cm
de distancia de la anterior. Estas 11 rectas determinan 30 puntos. Sea A el punto de la quinta fila, primera columna (
es decir, el de la quinta inferior izquierda ), B el punto de la primera fila, sexta columna ( o sea, el de la esquina
superior derecha ) y C el punto de la segunda fila, quinta columna. Calcular el área del triángulo ABC.
NO VALE MEDIR.
2. En la tienda El Ofertón, el precio de cada artículo es una cantidad entera de pesos con 99 centavos ( el precio más
bajo es $ 0,99 ). Doña Rosa realizó una compra por un total de $ 125,74. ¿Cuántos artículos compró?. Dar todas las
posibilidades.
3. Hay que escribir los números del 1 al 9, uno en cada casilla y sin repeticiones, de modo que la suma de los tres
números de cada una de las 4 líneas sea la misma. Ya se escribieron el 6 y el 9. Ubicar los demás números.
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XXI CERTAMEN 2004
1. Distribuir en los círculos los números de tres dígitos 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222, sin repeticiones, de
modo que los números escritos en círculos que están unidos entre sí por un segmento no tengan más de una
coincidencia (es decir, pueden tener exactamente una coincidencia o no tener coincidencia).
2. Hallar todos los números enteros positivos de cuatro cifras que son múltiplos de 11 y tienen sus dos últimas cifras
iguales a 04.
3. Se considera una circunferencia de centro O y se traza un diámetro AD. El punto C de la circunferencia es tal que
^ = 44º. Se traza por O la recta perpendicular a la cuerda AC que corta a la circunferencia en el punto B. Sea F el
CAD
^
^
punto de intersección de AC y BD. Calcular la medida del ángulo CFD.
XXII CERTAMEN 2005
1. Hacer la lista de todos los enteros positivos de tres dígitos tales que cada par de dígitos consecutivos sea un
número de dos dígitos que es cuadrado perfecto. Por ejemplo, 164 es un número de la lista, porque 16 = 4 2 y 64 = 82,
pero 1645 no está en la lista porque 45 no es un cuadrado perfecto y 381 no está en la lista porque 38 no es un
cuadrado perfecto.
2. En los vértices de un cubo hay que escribir con azul los números enteros de 1 a 8 inclusive, sin repeticiones. A
continuación, en cada arista se escribe con rojo la diferencia de los números azules de sus dos extremos (el mayor
menos el menor). Distribuir los números azules para que la cantidad de números rojos distintos sea la menor posible.
3. Dado un triángulo equilátero ABC, sean
P y Q exteriores al triángulo tales que BQ corta al lado AC, CP corta al lado
^
^
^ = 25º. Calcular
^ = CBQ
AB, AP = AQ = AB y BCP
el ángulo APQ.
Profesor Carlos Dellagnolo y Profesor Rey Zarza
[email protected]., [email protected]. o [email protected]
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XXIII CERTAMEN 2006
1. Hay que escribir los números enteros del 1 al 7, uno en cada casilla, sin repeticiones, de modo que la suma de los
tres números de cada una de las tres líneas ( una horizontal y dos verticales ) sea la misma. Ya se escribieron el 3 y el
4. Ubicar los demás números.
4
3
2. Emilio tiene una bolsa con dos clases de caramelos, de frutilla y de leche. Le regala la quinta parte de los caramelos
de leche a su hermanito y resulta que la cantidad de caramelos de leche que quedan en la bolsa es igual a dos tercios
de la cantidad de caramelos de frutilla de la bolsa. Luego le regala 56 caramelos de frutilla a sus compañeros de clase.
Así, en la bolsa la cantidad de los caramelos de frutilla es igual a cuatro quinto de los de leche.
¿Cuántos caramelos de cada clase quedan en la bolsa?.
^ = 70º y DAC
^ = 28º. En la prolongación del lado AC se
3. Sean ABC un triángulo y D un punto del lado BC tal que ADB
^
marca el punto E tal que CD = CE (C queda entre A y E). Calcular la medida del ángulo BDE.
XXIV CERTAMEN 2007
1. Al sumar el número de cuatro dígitos ABCD más el número de tres dígitos BCD más el número de dos dígitos CD
más el número de un dígito D el resultado es 2000. Hallar los dígitos A, B, C y D, si cada letra representa un dígito
distinto.
2. Se tienen 31 cajas, cada una con una o más monedas. Entre ellas hay 25 que tienen dos o más monedas, 17 que
tienen tres o más monedas, 15 que tienen cuatro o más monedas, 9 que tienen cinco o más monedas y 6 que tienen
seis monedas. Se sabe que ninguna caja tiene más de 6 monedas. ¿Cuántas monedas hay en total?
3. Sea AB el diámetro de una semicircunferencia de centro O. Consideramos en la semicircunferencia dos puntos M y
^ = 90° y M está en el arco AN. Sean P y Q en la semicircunferencia tales que OP es bisectriz del ángulo
N tales que MON
^
^ Si OM es bisectriz del ángulo AOP,
^
^ calcular la medida del ángulo QON.
AON y OQ es bisectriz del ángulo BOM.
XXV CERTAMEN 2008
1. Hallar un número de tres cifras ABC tal que la cifra de las centenas es igual al doble de la cifra de las unidades, las
tres cifras suman 15, y si se le resta a ABC el número formado al cambiar en ABC las unidades con las centenas, CBA,
se obtiene 396.
2. La figura muestra un cubo desplegado. Hay que escribir en cada cara del cubo un número entero del 1 al 6, sin
repetir, de modo que al armar nuevamente el cubo, si para cada vértice se calcula la multiplicación de los números de
las tres caras que concurren en ese vértice, se obtienen, en algún orden, los números 10, 12, 20, 24, 30, 36, 60 y 72. El
1 ya está ubicado.
^
^
3. Sea ABC un triángulo. La bisectriz del ángulo B corta al lado AC en D y la bisectriz del ángulo C corta al lado AB en E .
^
^
Sea I el punto en el que se cortan estas dos bisectrices. Si EID = 110°, calcular la medida del ángulo A.
XXVI CERTAMEN 2009
1.Hallar todos los números de dos cifras ab tales que ab = 7
ba 4
ACLARACIÓN: ab representa al número que tiene a en las decenas y b en las unidades; ba representa al
número que tiene b en las decenas y a en las unidades.
2. La suma de las edades de Juan y de su madre supera en 2 años a la edad del padre. Dentro de 4 años,
la edad de la madre será igual al triple de la edad de Juan, y la suma de las edades de los tres (padre,
madre y Juan) será igual a 74. Determinar las edades actuales de los tres personajes.
Profesor Carlos Dellagnolo y Profesor Rey Zarza
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PRIMER NIVEL
INTERCOLEGIAL
3. En la figura se muestra un hexágono formado por 24 triángulos equiláteros de lado 1. El área sombreada está
formada por 3 triángulos equiláteros de distintos tamaños. Si S es el área sombreada y B es el área blanca del
hexágono, calcular B
S
XXVII CERTAMEN 2010
1. Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 6 formar un número natural de seis cifras distintas abcdef tal que el número de dos
cifras ab sea múltiplo de 2, el número de tres cifras abc sea múltiplo de 3, el número de cuatro cifras abcd sea
múltiplo de 4, el número de cinco cifras abcde sea múltiplo de 5, y el número de seis cifras abcdef sea múltiplo de 6.
2. Se tienen 5 objetos de distintos pesos. Se han pesado en una balanza todas las 10 combinaciones de dos de estos
objetos. Se sabe que las tres combinaciones más livianas pesan 39, 43 y 44 kilos, y que las dos combinaciones más
pesadas pesan 56 y 59 kilos. Calcular los pesos de cada uno de los cinco objetos.
3. Se considera un cuadrado ABCD de lados AB, BC, CD y DA, y un punto
P exterior al cuadrado tal que el triángulo ABP
^
^
es isósceles con AP = AB y ADP = 10°. Calcular la medida del ángulo APB
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