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Departamento de Matemáticas
Trigonometría
1º Bachillerato C.N.S. y T.
Razones trigonométricas
Relaciones entre las razones trigonométricas
Valores de las razones trigonométricas de algunos ángulos
principales
Representación en la circunferencia unidad
Signo de las razones trigonométricas
Relación entre las razones trigonométricas de algunos ángulos:
opuestos, complementarios, …
Resolución de triángulos rectángulos
Teorema del Seno
Teorema del Coseno
Resolución de triángulos cualesquiera
Mariano Benito
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
b
sen 
a
a
b

c
c
cos  
a
tan  
b sen

c cos 
Y sus inversas:
a
1
cos ec  
b sen
Mariano Benito
a
1
sec   
c cos 
c 1
cot g  
b tg
RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
a
b

c
b2  c2 a 2
b c
senα   cosα         2  2  1
a
a
a a
2
2
2
2
1
 senα  cosα   senα 
2
2
1  tanα   1  


sec

 
2
2
cosα
cosα
 cosα 
2
1  cotg 
2
Mariano Benito
2
2
1
 cosα  senα   cosα 
2
 1 



cos
ec


2
2
senα
senα
 senα 
2
2
2
VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS
ÁNGULOS PRINCIPALES
α
0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360 º
sen
0
cos
1
tg
0
cosec

sec
1
cotg

Mariano Benito
1
2
3
2
3
3
2
2
2
2
1
3
2
1
2
3
1
0
-1
0
0
-1
0
1

0

0
1

-1

2
2
2 3
3
2 3
3
2
2

-1

1
1
3
3
0

0

3
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
UNIDAD, radio = 1
α
en el primer cuadrante
0º  α  90º
90º
cotgα
cosecα
secα
senα
α
180º
270º
Mariano Benito
cosα
tgα
0º
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
UNIDAD, radio = 1
β en el segundo cuadrante
cotg 
90º  β  180º
90º
cosec
senβ
β
180º
0º
cosβ
sec
tanβ
270º
Mariano Benito
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
UNIDAD, radio = 1
90º
cotg
cosec
sec
γ
180º
0º
cosγ
senγ
γ
en el tercer cuadrante
180º  γ  270º
Mariano Benito
tanγ
270º
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
UNIDAD, radio = 1
90º
cotgδ
cosecδ
δ
180º
0º
cosδ
senδ
tanδ
secδ
270º
Mariano Benito
δ
en el cuarto cuadrante
270º  δ  360º
SIGNO DE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS
Seno y Cosecante
+ +
_ _
Coseno y Secante
_
+
_ +
Tangente y Cotangente
_
+
Mariano Benito
+
_
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS
ÁNGULOS OPUESTOS
Dos ángulos a y b son opuestos si a + b = 0º (o 360º). Son a y -a.
sen (-a) =
-sen a
cos (-a) =
cos a
tg (-a) =
-tg a
cosec (-a) = -cosec a
sec (-a) = sec a
a
-a
cotg (-a) = -cotg a
EJEMPLO:
sen 330º = sen (-30º) = -sen 30º  
3
2
3
tg (-30º) = -tg 30º  
3
cos 330º = cos (-30º) = cos 30º
tg 330º =
Mariano Benito
1
2
Calcula las demás razones trigonométricas

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Dos ángulos a y b son complementarios si a + b = 90º. Son a y 90º-a.
sen (90º-a) = cos a
cos (90º-a) = sen a
sen(90º a) cosa


cos(90º a) sena
tg (90º-a) =
cotga
cosec(90º-a) = sec a
sec(90º-a) = cosec a
cotg(90º-a) = tg a
90º-a
a
Mariano Benito
EJEMPLO:
sen 60º = cos 30º 
3
2
1
2
cos 60º = sen 30º

tg 60º = tg30º
 3
Calcula las demás razones trigonométricas
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
Dos ángulos a y b son suplementarios si a + b = 180º. Son a y 180º-a.
sen (180º-a) =
cos (180º-a) =
tg (180º-a) =
sen a
-cos a
-tg a
cosec (180º-a) = cosec a
sec (180º-a) = -sec a
180º-a
a
cotg (180º-a) = -cotg a
EJEMPLO:
sen 150º = sen 30º 
1
2
3
2
3
tg 150º = -tg 30º  
3
cos 150º = -cos 30º  
Mariano Benito
Calcula las demás razones trigonométricas
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS
ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º
Dos ángulos a y b difieren en 180º si b - a = 180º. Son a y 180º+a.
sen (180º+a) =
-sen a
cos (180º+a) =
-cos a
tg (180º+a) =
tg a
cosec (180º+a) = -cosec a
sec (180º+a) = -sec a
180º+a
a
cotg (180º+a) = cotg a
EJEMPLO:
sen 210º = -sen 30º  
3
2
3

3
cos 210º = -cos 30º  
tg 210º = tg 30º
Mariano Benito
Calcula las demás razones trigonométricas
1
2
Resolución de triángulos rectángulos
Resolver un triángulo rectángulo es hallar todos
sus lados y sus ángulos (a, b, c, B y C), conociendo
dos de ellos.
Casos que pueden presentarse:
I. Conocer un cateto y la hipotenusa
II. Conocer un cateto y un ángulo
agudo
III. Conocer los dos catetos
IV. Conocer la hipotenusa y un ángulo
agudo
Mariano Benito
C
a
b
90º
A
c
B
I. Conocer un cateto y la hipotenusa
C
Datos: a = 25 cm., b = 16 cm.
Teorema de Pitágoras:
c  a  b  25  16  369
2
2
2
2
2
a
b
c  369  19.21 cm.
Definición de seno:
b 16

 0.64
a 25
B  arcsen(0.64)  39º 47' 31' '
senB 
C  90º B  50º 12' 29' '
Mariano Benito
90º
A
c
B
II. Conocer un cateto y un ángulo agudo
C
Datos: C = 35º, b = 16 cm.
Los ángulos B y C son complementarios:
B = 90º - C = 90º - 35º = 55º
Definición de seno y coseno de C:
cosC 
b
b
16
a

 19.53 cm.
a
cosC cos35º
senC 
c
 c  a  senC  19.53  sen35º  11.20 cm
a
Mariano Benito
a
b
90º
A
c
B
III. Conocer los dos catetos
C
Datos: b = 16 m. c = 12 m.
Teorema de Pitágoras:
a  b  c  16  12  400
2
2
2
2
2
a
b
a  400  20 m.
Definición de tangente:
b 16

 1.33
c 12
B  arctg(1.33)  53º 7' 48' '
tgB 
C  90º B  36º 52' 12' '
Mariano Benito
90º
A
c
B
IV. Conocer la hipotenusa y un ángulo
agudo
C
Datos: a = 30 m. C = 25º
Los ángulos B y C son complementarios:
B = 90º - C = 90º - 25º = 65º
Definición de seno y coseno de C:
cosC 
b
 b  a  cos C  30  cos 25º  27.19 m.
a
senC 
c
 c  a  senC  30  sen25º  12.68 m.
a
Mariano Benito
a
b
90º
A
c
B
Teorema del Seno
C
h
a
h
senA 
b
senB 
b
h
m
A
a
n
c
h  a  senB
h  b  senA
Igualando la h en ambas ecuaciones
B
a  senB  b  senA
a
b

senA senB
Y en general se tiene:
a
b
c


senA senB senC
TEOREMA DEL SENO: En todo triángulo la razón entre cada lado y
el seno del ángulo opuesto es constante ……
Mariano Benito
Teorema del Seno
…… y dicha constante es el diámetro de la circunferencia circunscrita
al triángulo.
Los ángulos B y D son iguales por ser inscritos
C
y abarcar el mismo arco de circunferencia.
90º
b
a
2R
c
A
D
B
En el triángulo ABC:
a
b
c


senA senB senC
En el triángulo ADC:
b
b
2R


senB senD sen90º
Por lo tanto:
Mariano Benito
a
b
c
2R



 2R
senA senB senC sen90º
Teorema del Coseno
C
b
h
m
A
a
H
c
cos A 
n
B
m
 m  b  cos A
b
n  c m
n 2  (c  m)2  c 2  m 2  2cm  c 2  b 2  cos 2 A  2c  b  cosA
a 2  h 2  n 2  b 2  m 2  n 2  b 2  b 2  cos 2 A  c 2  b 2  cos 2 A  2c  b  cosA
Para cualquier lado queda:
Si el triángulo es rectángulo
queda el Teorema de
Pitágoras.
Mariano Benito
a 2  b 2  c 2  2  b  c  cos A
b 2  a 2  c 2  2  a  c  cos B
c 2  a 2  b 2  2  a  b  cos C
Resolución de triángulos
cualesquiera
Resolver un triángulo es hallar todos sus lados y
sus ángulos (a, b, c, A, B y C), conociendo tres de
ellos.
C
a
b
Casos que pueden presentarse:
I. Conocer los tres lados
II. Conocer dos lados y el ángulo
comprendido
III. Conocer dos lados y el ángulo
opuesto a uno de ellos
IV. Conocer un lado y los dos ángulos
adyacentes
Mariano Benito
B
c
A
I. Conocer los tres lados
Datos: a = 15 m., b = 22 m. c = 17 m.
C
a
b
B
Con el teorema del Coseno:
c
A
b c a
22  17  15

 0.7326  A  arccos(0.7326)  42º 53' 43' '
2bc
2  22  17
a 2  c 2  b 2 15 2  17 2  22 2
cosB 

 0.0588  B  arccos(0.0588)  86º 37' 45' '
2ac
2  15  17
a 2  b 2  c 2 15 2  22 2  17 2
cosC 

 0.6364  C  arccos(0.6364)  50º 28' 34' '
2ab
2  15  22
cosA 
Mariano Benito
2
2
2
2
2
2
Volver a resolución de
triángulos cualesquiera
II. Conocer dos lados y el ángulo
comprendido
A
Datos: a = 10 dm., b = 7 dm. C = 30º.
b
C
Con el teorema del Coseno calculamos c:
c
a
B
c 2  a 2  b 2  2  a  b  cos C  10 2  7 2  2  10  7  cos 30º  c  5.27 dm
Con el teorema del Seno hallamos B:
 41º 36' 20' '
b
c
b
7

 senB  senC 
sen30º  0.664  B  arcsen(0.664)  
senB senC
c
5.27
138º 23' 40' '
Como el único ángulo obtuso es A, B = 41º 36’ 20’’:
y A = 180º- 30º - B = 108º 23’ 40’’
Mariano Benito
Volver a resolución de
triángulos cualesquiera
III. Conocer dos lados y el ángulo opuesto
a uno de ellos
Conocemos los lados a y b y el ángulo A.
En este caso hemos de contemplar tres posibilidades.
Es conveniente comenzar calculando la altura, h=b.senA, del futuro
triángulo. Puede ocurrir:
III.3 a > h
III.1 a < h
b
b
III.2 a = h
h
b
a
A
h a
h
III.3.1 a > h y a < b
A
A
b
III.3.2 a > h y a > b
b
a
a
a
h
a
b
h
h
A
A
Mariano Benito
A
Volver a resolución de
triángulos cualesquiera
Ejemplo III.1 a<h
Resuelve el triángulo del que se conoce:
a = 7 m., b = 20 m. y A = 30º
Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m.
Como a = 7 < 10 = h, NO EXISTE EL TRIÁNGULO
a=7
20=b
10=h
30º=A
c
Mariano Benito
Volver a resolución de
triángulos cualesquiera
Volver al caso III
Ejemplo III.2 a=h
Resuelve el triángulo del que se conoce:
a = 10 m., b = 20 m. y A = 30º
Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m.
Como a = 10 = 10 = h, TRIÁNGULO RECTÁNGULO.
C
cosA = c/b = c/20
20=b
A=30º
Mariano Benito
B = 90º, C = 90º-A = 60º
10=h a=10
c
c = 20.cosA = 17.32 m.
B
Volver a resolución de
triángulos cualesquiera
Volver al caso III
Ejemplo III.3.1 a > h y a < b
Resuelve el triángulo del que se conoce:
a = 15 m., b = 20 m. y A = 30º
Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m.
Como a = 15 > 10 = h, a < b HAY DOS SOLUCIONES.
 41º 48' 37' '
a
b
b  senA 20  (1/ 2)

 senB 

 0.66  B  
senA senB
a
15
138 º 11' 23' '
20=b
20=b
h=10
A=30º
c
a=15
B
B agudo
C = 180-A-B = 108º11’23’’
c=(a.senC)/senA= 28.50 m.
Mariano Benito
15=a
A=30º
h=10
c B
B obtuso
C = 180-A-B = 11º48’37’’
c=(a.senC)/senA= 6.14 m.
Volver a resolución de
triángulos cualesquiera
Volver al caso III
Ejemplo III.3.2 a > h y a > b
C
Resuelve el triángulo del que se conoce:
a = 25 m., b = 20 m. y A = 30º
Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m.
Como a = 25 > 10 = h, a > b HAY UNA SOLUCIÓN.
a
b
b  senA 20  (1/ 2)

 senB 

 0.4  B  23º 34' 42' '
senA senB
a
25
a  senC
c
 40.23 m.
senA
a
h
c
A
C  180  A  B  126 º25'19' '
Resuelve el triángulo del que se conoce:
a = 25 m., b = 20 m. y A = 150º
B
Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m.
Como a = 25 > 10 = h, a > b HAY UNA SOLUCIÓN.
a
b
b  senA 20  (1/ 2)

 senB 

 0.4  B  23 º 34' 42' '
senA senB
a
25
a  senC
c
 5.59 m.
senA
Mariano Benito
b
a
c
b
B
C
h
A
C  180  A  B  6º25'18' '
Volver a resolución de
triángulos cualesquiera
Volver al caso III
IV. Conocer un lado y los dos ángulos
adyacentes
Datos: a = 10 dm., B = 45º, C = 30º.
Calculamos A = 180º – B – C = 105º
B
c
A
a
b
Con el teorema del Seno:
10  sen45 º

b  sen105 º  7.32 dm.
a
b
c
10
b
c






10  sen30 º
senA senB senC
sen105 º sen45 º sen30 º
c 
 5.18 dm.
sen105 º

Mariano Benito
Volver a resolución de
triángulos cualesquiera
C