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Facultad de Ciencias Básicas, Sociales y Humanas
1
TALLER DE GEOMETRIA
Material Didáctico para el Estudio de
Geometría
CARLOS MARIO RESTREPO ORTIZ
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS
POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
MEDELLÍN
2013-02
2
INDICE
1.
Segmentos……………………………………………………..
4
2.
Ángulos………………………………………………………...
7
3.
Congruencia de triángulos…………………………………..
9
4.
Desigualdad en triángulos…………………………………..
12
5.
Paralelismo y perpendicularidad……………………………
14
6.
Cuadriláteros…………………………………………………..
17
7.
Circunferencia…………………………………………………
19
8.
Proporcionalidad y semejanza……………………………..
22
9.
Áreas……………………………………………………………
24
3
TALLER N°1- SEGMENTOS
01
Dados
tal que
02
Se tienen los puntos
colineales en dicho orden, sean , y los
puntos medios de los segmentos
respectivamente. Demostrar
que:
̅̅̅̅
es punto medio de
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
. Demostrar que
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
03
Se tienen los puntos O-A-B-C colineales en dicho orden tales que ̅̅̅̅
̅̅̅̅ demostrar que:
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
04
Se tienen los puntos O-A-B-C colineales en dicho orden tales que
̅̅̅̅ demostrar que
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
05
Se tienen los puntos O-A-B colineales en dicho orden tales que
̅̅̅̅
̅̅̅̅
determinar el valor del segmento cuya medida
cumplir que
̅̅̅̅̅
06
̅̅̅̅
debe
,
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
Dados los puntos A, B, C y D colineales en dicho orden. Si
demostrar que:
̅̅̅̅
08
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
Se tienen los puntos A, B, C, y D colineales en dicho orden. Si
demostrar que:
̅̅̅̅
07
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
Las distancias de dos pontos A y B a un punto O entre ellos son ̅̅̅̅
y
4
̅̅̅̅
09
hallar la distancia ̅̅̅̅̅
Dados los puntos
punto medio de
̅̅̅̅
y
si se cumple ̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
, y colineales y en dicho orden tales que
es
es punto medio de ̅̅̅̅. Demostrar que ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅
10
Sean
puntos colineales en dicho y orden y ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
y AB > BC.
si
, N y P son punto medio de ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅̅ respectivamente.
Demuestre que ̅̅̅̅
.
11
Demuestre que la distancia del punto medio M de un segmento AB a un
punto K sobre la prolongación del segmento, es igual a la semisuma de las
distancias de los extremos del segmento al punto K.
12
Sean
puntos colineales en dicho orden tal que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ . Sea el
punto medio de ̅̅̅̅. Demostrar que la medida del segmento ̅̅̅̅ es igual a
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ⁄
13
Sean
con
punto medio de ̅̅̅̅. Demostrar que la medida
del segmento ̅̅̅̅ es igual a ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ⁄ .
14
1
1
NP , demostrar que
MP =
a
b
aNO  bMO
OP =
ba
Dados M - N - O - P puntos colineales y
15
Sobre un segmento se dan los puntos A-O-B-C tales que 2OC=3BC
Demostrar que se cumple AC = 3AB – 2AO
16
Dados A  B  C  D , M y N son los puntos medios respectivos de AB y CD
.
MD  MC
Demostrar que MN 
2
17
Dados los puntos M, N, R y S, colineales en el orden enunciado, tales que A
es punto medio de MN y B es punto medio de RS. Demostrar que: 2AB =
MR + NS
5
18
Dados los puntos O-A-B-C tales que (AB/3) = (BC/4). Demostrar que:
OB = (4OA+ 3OC)/7
19
En una recta sean los puntos consecutivos A, B, C, D y E; tal que F sea el
punto medio de AB y G punto medio de DE. Además AB =BC y CD = DE.
También AB + DE = 10. Calcular FG.
20
Sobre una recta se ubican los puntos A, B, C, y D, de tal manera que: a AB
+ BC = 28 m. Calcular la longitud del segmento MC, si m es el punto medio
de AB
6
TALLER N°2- ANGULOS
1
Las semirrectas OA y OB forman con la semirrecta OX lo ángulos  y  .
Probar que la bisectriz OC del AOB forma con OX un ángulo
exterior al AOB .
2
 
2
; si OX
Las semirrectas OA y OB forman con la semirrecta OX lo ángulos  y  .
Probar que la bisectriz OC del AOB forma con OX un ángulo
; si OX es
interior al AOB .
3
Dados los ángulos adyacentes y consecutivos POQ, QOR y ROS tales que QOR
= 4 ROS demostrar que POQ = 5POR – 4 POS
4
Dados los ángulos consecutivos
. Demostrar que
5
Dadas dos semirrectas opuestas OX y OY y 5 semirrectas OA, OB, OC, OD y OE
situadas en un mismo semiplano con respecto a la recta XY, si OC es la bisectriz
de AOX ; OD es bisectriz de AOB y OE bisectriz de BOY . Tal que
DOY es el doble de DOX y EOC  110º . Hallar las medidas de los ángulos
ÐA OX , AOB y BOY .
6
Dados tres ángulos adyacentes y consecutivos AOB, BOC y COD tales que:
Demostrar que:
7
Dadas las semirrectas consecutivas ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Demostrar que:
8
Dados tres ángulos adyacentes y cuyos lados extremos son semirrectas opuestas,
si los dos primeros son como 3:4 y las bisectrices del segundo y el tercero
forman un ángulo de 60°, calcular la medida de cada ángulo.
.
tales que
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ tales que
7
9
Se tienen tres ángulos consecutivos cuyos lados extremos son semirrectas
opuestas, el primero y el tercero son como dos a tres y sus bisectrices forman un
ángulo de 130º, calcular la medida de los ángulos.
10
Desde el punto O sobre la semirrecta XOY se trazan las semirrectas OA y OB en
un mismo semiplano y las bisectrices de los ángulos XOA, AOB y BOY. Halle las
medidas de los ángulos, sabiendo que la medida del ángulo YOB es igual a la
medida del ángulo XOA y que las bisectrices de los ángulos extremos forman un
ángulo de 100 grados
11
Cuatro semirrectas consecutivas OX , OY , OZ y OW forman ángulos tales que
WOX  ZOY  2XOY Y ZOW  3XOY . Calcular las medidas de tales
ángulos y demostrar que las bisectrices de  XOY y  ZOW están en línea recta.
12
Se tienen tres ángulos consecutivos cuyos lados extremos son semirrectas
opuestas, el primero y el tercero son como dos a tres y sus bisectrices forman un
ángulo de 130º, calcular la medida de los ángulos.
13
Desde el punto O sobre la semirrecta XOY se trazan las semirrectas OA y OB en
un mismo semiplano y las bisectrices de los ángulos XOA, AOB y BOY. Halle las
medidas de los ángulos, sabiendo que la medida del ángulo YOB es igual a la
medida del ángulo XOA y que las bisectrices de los ángulos XOA y AOB es 70º.
14
Indicar el menor de dos ángulos si su suma es 47° y la diferencia de sus
complementos es igual a 9°.
15
Dos ángulos adyacentes suplementarios están en la relación de 3 a 5. Calcular la
medida del ángulo menor.
16
Sean los ángulos adyacentes AOB y BOC, tales que AOB-BOC=40° sean OX y OY
bisectrices de los ángulos AOB y BOC respectivamente. Sea OZ la bisectriz del
ángulo XOY. Hallar la medida del ángulo que hacen OZ y OB.
17
18
19
20
8
TALLER N°3- CONGRUENCIA DE ANGULOS
1.
En un triángulo isósceles, se prolongan sus lados congruentes AB Y AC hasta D y E
respectivamente tal que BD = CE, luego se trazan DC y EB que se interceptan en P.
Demostrar que: ∆BPD = ∆CPE.
2.
3.
En el triángulo ABC, se traza la mediana AM (B-M-C) y se toma un punto D sobre
ella (A-D-M), probar que si BD = CD entonces el triángulo ABC es isósceles.
En un triángulo isósceles obtusángulo de base BC se trazan la mediatrices MD y
NE de los lados AB (A, M, B) y AC (A-N- C), respectivamente que se interceptan
en I y B-D-E-C. Demostrar que Los triángulos MIB y NIC son congruentes
(sugerencia: trace AI).
4.
En un triángulo ABC isósceles de base BC se trazan BD y CE tal que AE =
AD, con D sobre AC y E sobre AB y se prolongan hasta F y G
respectivamente de tal forma que DF = EG. Demostrar que los triángulos
BEG y CDF son congruentes.
5.
En un triángulo isósceles acutángulo de base BC se trazan la mediatrices
MD y NE de los lados AB (A, M, E, B) y AC (A-N-D-C) respectivamente que
se interceptan en I. Demostrar que Los triángulos MIE y NID son
congruentes. (Sugerencia: trace AI).
6.
Dado un triángulo isósceles MOP de base MP, se prolongan MO y PO hasta
R y Q respectivamente y se trazan RN y QN, con N punto medio de PM y
de forma que los ángulos MNQ y PNR sean congruentes. Demuestre que
los triángulos SOQ y TOR son congruentes.
7.
Dado un ABC, se traza CD que corta a AB en E y luego se traza DF que
corta a EB en G y a CB en H, tales que ED = HB y ACE = HCF,
además
EDB = HBD. Demostrar
que ABC =CDF
8.
Desde el punto medio de uno de los lados de un triángulo se trazan
segmentos perpendiculares a los otros lados.
Si los segmentos
perpendiculares son congruentes, demuestre que el triángulo es isósceles.
9.
Dado un ángulo BAC con AB = AC sobre los lados se toman puntos E y F
9
tales que AE = AF con
A-E-B y A-F-C y se trazan BF y CE que se cortan
en D. Probar que los triángulos BED y CFD son congruentes y que AD es
bisectriz del ángulo A.
10.
En un
, se traza la altura ̅̅̅̅̅ se prolongan los lados ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ hasta los
puntos
y respectivamente tal que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ . Demostrar que
el
es isósceles
11.
̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ se bisecan mutuamente en . Se trazan FC y GC tales que FB =
DG, con B-F-A y E-G-D .Demuestre que FC = GC y que F – C – G.
12.
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ , se toma sobre ̅̅̅̅ de tal forma que su distancia a
En un
AC y a AB sea igual. Se traza ̅̅̅̅ con AC = AE y
sobre ̅̅̅̅ .Probar que
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅, que
y que AD es mediatriz de CE
13.
En el triángulo ABC, se traza la mediana AM (B-M-C) y se toma un punto D
sobre ella (A-D-M), probar que si BD = CD entonces el triángulo ABC es
isósceles
14.
Se dan A – E – B y
las bisectrices de
recto entonces ⃗⃗⃗⃗⃗
15.
Dado un ángulo BAC con AB = AC sobre los lados se toman puntos E y F
tales que AE = AF con
A-E-B y A-F-C y se trazan BF y CE que se cortan
en D. Probar que los triángulos BED y CFD son congruentes y que AD es
bisectriz del ángulo A.
16.
el triángulo ABC, se traza la mediana AM (B-M-C) y se toma un punto D
sobre ella (A-D-M), probar que si BD = CD entonces el triángulo ABC es
isósceles.
En un
, se traza la altura ̅̅̅̅ se prolongan los lados ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ hasta los
puntos
y respectivamente tal que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ . Demostrar que
el
es isósceles.
Sea la semirrecta OM interior al XOY de tal forma que la distancia a los
lados OX Y OY sea igual. Sobre OX y OY se toman A y B con OA=OB; se
unen A y B con un punto cualquiera C sobre OM. Probar que OAC=OBC
y AC=BC.
En un
, se traza la mediana ̅̅̅̅ se prolongan los lados ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ hasta
17.
18.
19.
C – F – D sobre dos rectas distintas. Se trazan EF y
y
que se cortan en G. Probar que si
es
⃗⃗⃗⃗⃗
10
20.
los puntos
y respectivamente tal que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ . Demostrar
que el
es isósceles
Los
y
son tales que
, ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ y las bisectrices
y
son congruentes, demostrar que
11
TALLER N°4- DESIGUALDAD TRIANGULAR
1.
Dado un
ABC con AB > AC y AM mediana relativa a BC , desde D
perteneciente a AM
se trazan BD y DC demostrar que BD > DC
2.
Demostrar que en un triángulo cualquiera una altura es menor que la
semisuma de los lados adyacentes.
3.
Se tiene un triángulo ABC con el lado AB>AC. Desde el vértice C se traza el
segmento CD, con D sobre AB y desde el vértice B se traza el segmento BF, con F
sobre AC y siendo DB = CF. Demostrar que FB>CD
4.
Demostrar que la suma de las medidas de las alturas de un triángulo es menor que
su perímetro.
5.
En un triángulo ADB isósceles de base AB, DB es mayor que AB; se
prolonga AD hasta C. Probar que el triángulo ABC es escaleno.
6.
Demostrar que la suma de las distancias de un punto O dentro de un
triángulo a sus tres vértices es mayor que el semiperímetro y menor que
el perímetro del triángulo.
7.
Se tiene el triángulo ABC cualquiera, se traza AE con E sobre BC, se traza
BD con D sobre AE, demostrar que
8.
Se tiene el triángulo ABD isósceles con
hasta un punto C. Demostrar que
9.
En un triángulo cualquiera ABC, se trazan las bisectrices del <A y <B que se
intersectan en el punto D. Si BC > AC, demostrar que DB > AD
10.
Se tienen los puntos
colineales en dicho orden, desde un punto no
colineal con dichos puntos se trazan los segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ tales que
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅. Demostrar que: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ .
11.
Dado un triángulo ABC obtusángulo en C, se traza la mediana AM y se
toma un punto cualquiera D sobre ella. Demuestre que DB > CD
,
se prolonga AD
12
12.
En un
que ̅̅̅̅
isósceles de vértice A, se traza ̅̅̅̅
̅̅̅̅ . Demostrar que
.
̅̅̅̅ con
sobre ̅̅̅̅ tal
13.
Se tienen los puntos F-E-D-C-B colineales en dicho orden, desde un punto
⃡⃗⃗⃗⃗ , si
exterior A se traza
demostrar que
y
14.
Se tiene un triángulo ACD, se traza el segmento DB con B sobre AC, si
DC=BC demostrar que AC > CD y que AD > BD
15.
Se tiene un triángulo ADC con lado
traza CB. demostrar que
16.
Se tiene el triángulo ACD con
CM con A-M-B-H-D tal que
17.
Se tiene el triángulo ABC, se traza el segmento BE tal que A-E-C, se traza
AD tal que E-D-B demostrar que
(correcto)
18.
En un triángulo ABC se tiene A-F-C y A-D-B;
que se cumple
. (Correcto)
19.
Se tiene el triángulo ACD isósceles con
,
se prolonga CD
hasta un punto B. Demostrar que el triángulo CAB es escaleno. (Correcto)
20.
Se tiene un cuadrado de vértices A,B,C,D; se prolonga AB hasta un punto F
y se traza DF que corta a CB en el punto E. Sabiendo que el cuadrado los
lados son congruentes y perpendiculares demostrar que
.(
sugerencia: trace las diagonales y demuestre que son congruentes)
(correcto)
, desde un punto B sobre AC se
, se traza la altura CH y la mediana
. Demostrar
.(corregido)
,
demuestre
13
TALLER N°5- PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
1.
En un triángulo ABC se trazan las bisectrices de los ángulos exteriores B y
C, las cuales concurren en un punto I. Por I se traza
, estando D y
E sobre las prolongaciones de AB y AC respectivamente. Probar que
DE  BD  CE
2.
En un triángulo ABC se traza AD con B-D-C y tal que D equidiste de AB y AC; se
traza la mediatriz de AD que corta a AC en G; demuestre que DG es paralelo a
AB.
3.
Dado un triángulo ABC , trazar las bisectrices BE y CD de los ángulos B
y
C respectivamente; con DE BC , se prolonga DE hasta F tal que
EF  BC . Demostrar que:
BE y CF son paralelas
4.
En un
se toman A y B sobre DE y CE respectivamente, tales que:
DA=BC y DB = CA, DB y AC se cortan en E. Demuestre que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ .
5.
En un
los puntos medios de los lados ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ son
respectivamente
, se traza la altura ̅̅̅̅ . Demostrar que ̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅.
̅̅̅̅ y
6.
En el
, la bisectriz del ángulo interseca a
en
interseca a
en . Demuestre que
.
, y la mediatriz de
7.
Sobre el lado OX del ángulo XOY se toma un punto A. Desde A se traza la
AH perpendicular a OY y la bisectriz del ángulo HAO corta al lado OY en C.
En C se levanta una perpendicular que corta a OX en B. Probar que el
triángulo ABC es isósceles.
8.
Se da un
y se toma un punto D en el semiplano opuesto a A respecto
a BC tal que AB =CD y AC=BD, se trazan AF y DE con C - F - E - B tal que
. Demuestre que
.
9.
Considere un
tales que ̅̅̅̅
. Sean y puntos de ̅̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ respectivamente,
̅̅̅̅ y ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ . Pruebe que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅.
14
10.
Se dan A – E – B y
las bisectrices de
recto entonces ⃗⃗⃗⃗⃗
C – F – D sobre dos rectas distintas. Se trazan EF y
y
que se cortan en G. Probar que si
es
⃗⃗⃗⃗⃗ .
11.
En un  ABC se prolongan los lados ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ hasta B’ y C’ tales que
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅. Probar que B'C'll BC .
12.
Demostrar que las bisectrices de dos ángulos colaterales internos son
perpendiculares.
13.
Se prolonga el cateto CA de un triángulo ABC rectángulo en A, en una
longitud AD=AC. Se traza
que corta AB en G. Demostrar que
.
14.
⃗⃗⃗⃗⃗ y
⃗⃗⃗⃗⃗
Se da un ángulo XOY y un punto A exterior. Se trazan
con H sobre ⃗⃗⃗⃗⃗ y ⃗⃗⃗⃗⃗ . Demostrar que la recta que pasa por los puntos
medios de ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ es perpendicular a HK.
15.
Demostrar que en un triángulo rectángulo la bisectriz del ángulo recto es
también bisectriz del ángulo formado por la mediana y la altura que parten
del ángulo recto.
16.
Encontrar la medida de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo si la
bisectriz del ángulo recto tiene la misma medida del cateto menor.
Encontrar la medida de los ángulos que forma la bisectriz con la
hipotenusa.
17.
Desde el punto D de la base Ac de un triángulo ABC isósceles, se traza DH
perpendicular a BC. Demostrar que el
es el doble del
.
18.
En un triángulo ABC rectángulo en A, con
, se traza la altura AH
sobre la hipotenusa y se toman dos segmentos HD y HB sobre la hipotenusa
tales que HD=HB, se traza CE perpendicular a la prolongación de AD.
Demostrar que BC es bisectriz del
.
19.
Demostrar que la recta que une los pies de las alturas iguales de un
triángulo isósceles es paralela a la base.
15
20.
En un triángulo ABC se trazan las medianas AM y BN, por N se traza una
paralela a BN, estas se cortan en P. Se designa por D el punto medio de PN.
Demostrar que CD es paralelo a MN.
16
TALLER N°6- CUADRILATEROS
01
Probar que si se une los puntos medios de lados consecutivos de un
cuadrilátero cuyas diagonales son perpendiculares, resulta un rectángulo.
02
En un paralelogramo
se unen los vértices
medios de
y
respectivamente. Probar que
tres segmentos iguales.
03
En un paralelogramo
. Probar que 
04
Se considera un paralelogramo
tal que
con el punto medio de
.Demostrar que el 
05
Demostrar que las bisectrices de los ángulos interiores de un paralelogramo
forman un rectángulo.
06
En un cuadrado
se toman
Demostrar que AN  BM .
07
En un cuadrado
se unen los puntos
lados consecutivos. Probar que resulta un cuadrado.
08
En un cuadrado
y sobre
se toma
igual a
y luego trazamos
perpendicular a
con
sobre
. Demostrar que
son
iguales o congruentes.
09
En un rombo
un rectángulo.
10
Probar que si se unen los puntos medios de los lados consecutivos de un
trapecio isósceles resulta un rombo.
11
En un trapecio ABCD , de base mayor AB , se tazan las bisectrices de los A
y B que se cortan en un punto F con que está sobre DC . Demostrar que
DC  AD  BC .
12
En un trapecio
tal que ̅̅̅̅
Si 
13
se prolongan

.
en
sobre AD y
y
con los puntos
resulta dividida en
y
en
. Se unen
es recto.
y
sobre DC con
.
puntos medios de los
se traza BM  AD y DN  BC . Demostrar que
es
con base menor
se traza el segmento ̅̅̅̅̅
–
̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ con sobre ̅̅̅̅ .Se prolonga
hasta .
probar que ̅̅̅̅
̅̅̅̅
Probar que si se unen los puntos medios de los lados consecutivos de un
trapecio isósceles resulta un rombo.
17
14
Demostrar que si dos paralelas son cortadas por una transversal las
bisectrices de los ángulos interiores forman un rectángulo.
15
Por el punto medio
del lado
de un triángulo
cualquiera
, que corta a
en . Se toma un punto
, probar que
es paralela a
.
16
Se tiene un triángulo isósceles
se traza un segmento
corta a
en demostrar que
17
En un 
, se toman los puntos medios , y de los lados AB , AC y
BC . Se traza la altura AH y los segmentos XY , YZ y XH . Demostrar que
es un trapecio isósceles.
18
En un rombo
se ubican los puntos medios
y de los lados
intersecta a
y
en los puntos y respectivamente. Si
calcule la longitud de
19
En un trapecio
la base menor
perpendiculares, y estas miden
y
20
es un trapecio, se trazan las diagonales
intersecta a
en el punto . si BCE=80°,
, calcular la longitud del segmento B
, se traza una recta
tal que
y
de base
inscrito en una circunferencia
cualquiera, con sobre el arco
y que
y
,
,
mide , las diagonales son
.Calcular la longitud de la base mayor
y
. La bisectriz del
EBD=20°,
y
18
TALLER N°7- CIRCUNFERENCIA
01
Hallar el valor de los ángulos
AB=BD
en la siguiente grafica sabiendo que
02
Hallar el valor de los ángulos
EG=GB
en la siguiente grafica sabiendo que
03
Hallar el valor de los ángulos
CE=EF
en la siguiente grafica sabiendo que
19
04
Hallar el valor de los ángulos
que BD=GD
en la siguiente grafica sabiendo
05
Se tiene una circunferencia
se traza el diámetro
, se traza la
cuerda
la cual se prolonga hasta cortar
en el punto
tal que
y – – . Demostrar que 

.
06
Considerar un cuarto de circunferencia
. Desde los puntos
y
se
trazan las cuerdas iguales
; estas cuerdas se cortan en .
Demostrar que el segmento
es perpendicular a el segmento
07
Por el punto de contacto
de dos circunferencias tangentes exteriores se
trazan las cuerdas
y
a cada una de las circunferencias, siendo
(colineales). Demostrar que las tangentes en
y en
son
paralelas.
SUGERENCIA: Trace la recta
contacto
08
tangente a las circunferencias en el punto de
En una semicircunferencia de diámetro

y se traza la tangente ̅̅̅̅̅̅
del 
.
se traza una cuerda
tal que el
̅̅̅̅ Calcular el valor del 
y el
20
09
Considerar un cuarto de una circunferencia AOB. Desde los puntos A y B se
trazan cuerdas iguales AM=BN. Estas cuerdas se cortan en el punto C.
demostrar que OC es perpendicular a
10
Dos circunferencias
trazan los diámetros
y
y
son secantes en y ; por se
. Demostrar que , y están alineados.
11
Se traza una cuerda que corta a dos circunferencias concéntricas, a la
menor en y y a la mayor en y . Demostrar que AC = BD y AD = BC .
12
En una
paralelas
13
En una
un diámetro
y una cuerda
forman un ángulo de 30°; se
traza la tangente en el punto que corta al diámetro prolongado en el punto .
Demostrar que el 
es isósceles.
14
En una
se trazan dos radios perpendiculares OA y OB y en el
mismo sentido con respecto a los radios se trazan dos cuerdas iguales. AM =
BN . Demostrar que ellas son perpendiculares.
15
En una
se prolonga
iguales
Probar que: 
16
En un 
ángulos
Demostrar
se trazan por los extremos de un diámetro
y
. Probar que 

.
y
dos cuerdas
se trazan un diámetro
y un radio
perpendicular a
;
a cada lado y en el exterior de la circunferencia en longitudes
; se trazan
y
que cortan a la circunferencia en y .

.
inscrito en una circunferencia se trazan las bisectrices de los
que se cortan en y cortan a la circunferencia en
y .
es isósceles.
17
, ,
Dadas C (O, r ) y C (O , r ) tangentes exteriores en A , se traza DB tangente
, ,
común a ellas con D sobre la C (O, r ) y B sobre la C (O , r ) . Demostrar
que
. (Sugerencia: trace una tangente común por ).
18
Demostrar que el radio de la circunferencia inscrita en un triángulo equilátero
es un tercio de la altura del triángulo.
19
Probar que la suma de las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo
es igual a la suma de las medidas de la hipotenusa y el diámetro de la
circunferencia inscrita.
20
Probar que en una circunferencia un diámetro es mayor que cualquier otra
cuerda.
21
TALLER N°8 – PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA
01
Si los segmentos BC y DE tienen sus extremos en los lados del EAB y
forman con estos lados los ángulos BCE y EDB congruentes, A - C - E
y A - D - B. Demuestre que:
AB. DE = AE. CB
02
En un triángulo ΔABC se toman los puntos P y Q sobre CA y CB
respectivamente, tal que PQ sea paralela a AB. Luego se traza por A una
paralela a PB que encuentra a la prolongación de CB en R. Demostrar que
CB² = CQ x CR.
03
04
Si en un ABC
rectángulo en A tomamos un punto cualquiera D sobre
AC y trazamos DE  BC con E sobre BC. Demostrar que AB.CD =
BC.ED
En el triángulo ABC inscrito en la circunferencia C (o,r) se traza AD bisectriz de
ángulo BAC, la prolongación de AD corta la circunferencia en E. Demostrar
que AB x EC = AE x BD
05
En un triángulo ABC se traza CD (A-D-B) tal que
que AC es media proporcional entre AB y AD
demostrar
06
En un ABC rectángulo en C se inscribe un cuadrado DEFG con E y F
sobre AB talque A-E-F-B. Demuestre:
a. EDA ~CGD ~ FBG
b. ED x FG = AE x FB
c. EF es media proporcional de AE y FB
07
Dado un triángulo ABC rectángulo en B, de lado AC  6a y AB  3a , se
1
traza ED BC , E sobre AB y D sobre AC , tal que DC  AC y finalmente se
3
traza DF AB con F sobre BC ; Hallar:
a) EG (altura del AED sobre AD)
b) FH (altura del DFC sobre CD)
08
Se tiene un triángulo ABC, en este triángulo se trazan la bisectriz AD del ˂A y
el segmento DE paralelo a BA, con E sobre AC. Demostrar que el segmento
CA es medio proporcional entre los segmentos CE y la suma de AC más AB.
09
En un ABC isósceles de base AB se traza el segmento
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ con E sobre ̅̅̅̅; demostrar que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
y
22
10
En un Triángulo ABC rectángulo en C se inscribe un cuadrado DEFG con DE
sobre la hipotenusa (A-D-E-B). Demostrar que AD x EB = DG x FE
11
En un paralelogramo ABCD se trazan BH perpendicular a AD con A-H-D y
BI perpendicular a CD con C-I-D. Demostrar que: AB×CI = BC×AH
12
En un paralelogramo ABCD se trazan, la diagonal BD, EF paralela a BC (C-FD). Demostrar que FE×AB = FD×AD
13
Se tiene un paralelogramo ABCD, con
AD 
DC ;
2
se traza AM que intercepta a
DB en el punto E, Si M es el punto medio de DC.
14
15
16
Probar que: 2DB  3EB
si en un triángulo rectángulo, la bisectriz del ángulo agudo mayor es igual al
mayor de los dos segmentos que ella determina sobre el cateto opuesto,
calcular los ángulos que hace dicha bisectriz con ese cateto.
Las bisectrices interiores de los ángulos B y C de un triángulo acutángulo
ABC, forman un ángulo de 120°. Cuál es el ángulo que forman las alturas que
parten de B y C
Se da en un triángulo rectángulo BAC, la bisectriz AD del ángulo A y la recta
DE perpendicular a BC y limitada por AC. Probar que BD=DE.
17
Demostrar que si dos triángulos rectángulos son semejantes, el producto de
sus hipotenusas es igual a la suma de los productos de los catetos
homólogos.
18
Demostrar que la suma de los cuadrados de las tres medianas de un
triángulo es igual a tres cuartos de la suma de los cuadrados de los tres
lados.
19
Se da un circulo de centro O , un diámetro AB y un punto M sobre la
prolongación de AB , se trazan las tangentes MN y NP al círculo, la cuerda
NP encuentra al diámetro en C. Demostrar que:
20
Un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia de centro O, se traza el
diámetros MN perpendicular a BC, luego AM y AN que se encuentran a BC o
su prolongación en los puntos P y Q. Demostrar que:
23
TALLER N°9 – AREAS
01
Calcular el área del trapecio ABCD en función de “a” si
02
Un cuadrado de lado” L” se encuentra inscrito en una circunferencia, calcular
el área por fuera del cuadrado y adentro del círculo, en función de “L”.
03
Un triángulo equilátero se encuentra inscrito en una circunferencia de radio “r”
calcular el área que se encuentra por fuera del triángulo y adentro de la
circunferencia en función de “r”.
Un círculo se encuentra inscrito en cuadrado de lado “L”, calcular el área que
se encuentra por fuera del círculo y adentro del cuadrado en función de “L”.
04
05
Encontrar el valor del área sombreada en la siguiente figura en función del lado
(L) del cuadrado.
06
Una circunferencia
de radio “r” se encuentra inscrita en un triángulo
equilátero, calcular el área que se encuentra adentro del triángulo y por fuera
de la circunferencia en función de “r”.
24
07
El cuadrado tiene lado a, exprese el área sombreada en función de a
08
En el triángulo es equilátero de lado L. se han levantado cuadrados sobre sus
lados y posteriormente se han unido mediante segmentos de recta. Calcular
el área sombreada, en función de L.
09
Calcular el área sombreada en función del radio de la circunferencia menor “r”
10
En una semicircunferencia de centro O y radio r se inscribe un cuadrado, de
modo que uno de sus lados este sobre el diámetro. Hallar el área del
cuadrado en función del radio de la circunferencia
11
El área del circulo de centro O es 60 cm2. AB y CD son diámetros
perpendiculares. AO y OB son diámetros de las circunferencias pequeñas.
OE es bisectriz. Calcular el área de la región rayada.
25
12
¿Cuál es el área de un trapecio cuyos lados son la tercera parte de los de
otro trapecio semejante de 324m2 de área?
13
¿Cuál ha de ser el lado de un hexágono regular para que tenga la misma
área que un cuadrado de 2m de lado?
14
Las diagonales de un rombo esta en relación 4 a 5 y su área es
de250m2.Determinar las longitudes de cada diagonal.
15
En un círculo cuyo radio es de 10cm, se trazan dos cuerdas paralelas iguales
al radio. Hallar el área de la parte del círculo comprendido entre las dos
paralelas.
16
La diagonal y el lado de un cuadrado suman 5.8m ¿Cuál es el área del
cuadrado?
17
Se da un triángulo rectángulo
donde la hipotenusa
, el ángulo en
mide 30°, se traza la mediana
. Por los puntos y se trazan paralelas
a
ya
, que se cortan en . Calcular el área del cuadrilátero
.
Respuesta:
18
Sobre el segmento
, se toma un punto
tal que
. Sobre
se construye un triangulo equilátero
, sobre
se construye un triangulo
equilátero
, se traza
perpendicular a
. Calcular el área del
polígono
.
Respuesta:
19
√
En el triángulo ABC,
es una altura. Si
Hallar el área del triángulo en función de a.
Respuesta:
20
√
(
,
.
√ )
ABCD es un trapecio isósceles y en el se inscribe una circunferencia. Si las
26
bases del trapecio miden respectivamente 2 y 6 cm. Hallar el área de la
región entre el trapecio y la circunferencia.
Respuesta: √
27