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26 Olimpiada Mexicana de Matemáticas – Entrenamientos Guanajuato
Marco A. Flores Martínez
1era parte (introducción).
Geometría del círculo
1. Sea AB el diámetro de una semicircunferencia. Un punto M es marcado sobre el
arco de la semicircunferencia y un punto K es marcado sobre AB. Una
circunferencia con centro P pasa por A, M y K, y otra circunferencia con centro
Q pasa por M, K y B. Demuestra que M, K, P y Q son concíclicos.
2. Una línea paralela a la base BC del triángulo ABC corta a AB y a AC en P y Q,
respectivamente. La circunferencia que pasa por P y es tangente a AC en Q
corta a AB de nuevo en R. Demuestra que R, Q, C, B están en una misma
circunferencia.
3. Sean ABC un triángulo y L, M, N los puntos medios de los lados BC, CA y AB
respectivamente. Demuestra que ∠LAC= ∠MBA si y sólo si ∠CNA= ∠ALB.
4. Sea P un punto que está fuera de una circunferencia W. Una secante a W que
pasa por P intersecta a ésta en A y B. Sea M sobre W tal que PM es tangente a
ésta. Demuestra que
.
5. Sea ABCD un cuadrilátero, y P el punto de intersección de AB y CD. Demuestra
.
que ABCD es un cuadrilátero cíclico si y sólo si
2da parte (manejo de relaciones).
1. Sea AB una cuerda en una circunferencia, y M su punto medio. Otra cuerda CD
en la misma circunferencia pasa por M, y se construye una semicircunferencia
con diámetro CD. La perpendicular a CD que pasa por M intersecta a la
semicircunferencia en K. Demuestra que AM = KM
2. Sea BD la bisectriz del ángulo B del triángulo ABC. El circuncírculo del triángulo
BDC intersecta AB en E y el circuncírculo del triángulo ABD intersecta BC en F.
Demuestra que AE=CF
3. Sea ABC un triángulo acutángulo. La altura desde A intersecta a BC en D y al
semicírculo construido exteriormente sobre el lado BC en P. La altura desde B
intersecta a AC en E y al semicírculo construido exteriormente sobre el lado AC
en Q. Demuestra que CP=CQ.
3ra parte (manejo de ángulos).
1. Sean
dos circunferencias que se intersectan en A y B. Sea C el punto
diametralmente opuesto a B en
. Las rectas CB y CA cortan de nuevo a
P y Q, respectivamente, con B entre C y P y A entre C y Q. Sea O el centro de
en
.
Las rectas OA y PQ se intersectan en R. Si ∠PBQ = 3∠PCQ, demuestra que
AO=AR.
2. Las cuerdas AC y BD en una circunferencia son perpendiculares y se
intersectan en G. Sea P un punto sobre BC. La línea PG corta a AD en E.
Demuestra que PG⊥AD si y sólo si P es el punto medio de BC. (Teorema de
Brahmagupta).
3. Las circunferencias
se intersectan en los puntos A y B. Por el punto A se
traza una recta que corta a las circunferencias
en los puntos C y D,
respectivamente. Por los puntos C y D se trazan tangentes a las circunferencias,
las cuales se intersectan en el punto M. Demuestra que el cuadrilátero MCBD es
cíclico.
4. Sea ABCD un cuadrilátero cíclico cuyas diagonales se cortan en ángulo recto; P
y Q son los respectivos pies de las perpendiculares desde D a AB y desde A a
BC; X es el punto de intersección de DP con AC, y Y es el punto de intersección
de AQ con DB. Demuestra que el cuadrilátero DXYC es un rombo
4ta parte (semejanza y potencia de un punto).
1. Sea AB una cuerda de una circunferencia y P un punto sobre ella. Sea Q la
proyección de P sobre AB, y R y S las proyecciones de P sobre las tangentes a la
.
circunferencia en A y B, respectivamente. Demuestra que
2. Las tangentes desde el punto A hacia una circunferencia de centro O la tocan en
B y C. Sea E un punto sobre el diámetro BD tal que CE ⊥ BD. Demuestra que
BE BO=AB CE.
3. Sea C un punto sobre un semicírculo de diámetro AB y sea D el punto medio del
arco AC. Sea E la proyección del punto D sobre la línea BC y sea F la
intersección de la línea AE con el semicírculo. Demuestra que BF biseca al
segmento DE.
4. Sea ABCD un cuadrilátero convexo inscrito en un semicírculo de diámetro AB.
Las líneas AC y BD se intersectan en E y las líneas AD y BC en F. La línea EF
intersecta al semicírculo en G y a la línea AB en H. Demuestra que E es punto
medio del segmento GH si y sólo si G es el punto medio del segmento FH.
5ta parte (manejo de ángulos 2)
1. Sea ABCD un cuadrilátero cíclico. Sean P, Q, R las proyecciones desde D sobre
AB, BC y CA, respectivamente. Demuestra que P, Q y R son colineales (Línea de
Simson).
2. Sea ABC un triángulo con ∠BAC≠90°. Sea O su circuncentro y el circuncírculo
del triángulo BOC. Suponga que
intersecta al segmento AB en el punto P,
distinto de B, y al segmento AC en el punto Q, distinto de C. Sea ON un diámetro
de . Prueba que el cuadrilátero APNQ es un paralelogramo.
3. Sea ABC un triángulo acutángulo con D, E, F los pies de altura sobre BC, CA, AB
respectivamente. Uno de los puntos de intersección de EF con el circuncírculo
es P. Las líneas BP y DF se cortan en Q. Prueba que AP=AQ.
4. Dos circunferencias son tangentes internamente en P, y una cuerda AB de la
circunferencia mayor es tangente a la menor en C. AP y BP intersectan a la
circunferencia menor en D y E, respectivamente. Demuestra que:
a) AB es paralela a DE
b) PC intersecta al arco AB en su punto medio
6ta parte (semejanza y potencia de un punto 2)
1. Está dado un ángulo con vértice O y una circunferencia inscrita en él, la cual
toca sus lados en los puntos A y B. Por el punto A se traza una línea paralela a
OB la cual intersecta a la circunferencia en el punto C. El segmento OC
intersecta a la circunferencia en el punto E. Las líneas AE y OB se intersectan en
el punto K. Demuestra que OK=KB.
2. Sean B y C dos puntos de una circunferencia, AB y AC las tangentes desde A. Sea
Q un punto del segmento AC y P la intersección de BQ con la circunferencia. La
paralela a AB por Q corta a BC en J. Demuestra que PJ es paralelo a AC si y sólo
si
3. En un cuadrilátero cíclico ABCD llamemos P al punto de intersección de las
diagonales AC y BD, y sea M el punto medio de CD. La circunferencia que pasa
por P y que es tangente a CD en M, corta a BD y a AC en los puntos Q y R,
respectivamente. Se toma un punto S sobre el segmento BD de tal manera que
BS=DQ. Por S se traza una paralela a AB que corta a AC en un punto T.
Demuestra que AT=RC.
7ma parte (problemas misceláneos):
1. Sea ABCD un cuadrilátero inscrito en una circunferencia. Las rectas BD y AC se
cortan en P. Si O es el circuncentro del triángulo APB y H es el ortocentro del
triángulo CPD, demuestre que O, P y H son colineales.
2. Sea ABC un triángulo y X un punto en su interior. Las rectas AX, BX y CX
intersectan nuevamente al circuncírculo de ABC en P, Q y R, respectivamente.
Sea U un punto en el segmento XP. Las rectas por U y paralelas a AB y a AC
intersectan a XQ y a XR en V y W, respectivamente. Demuestra que los puntos
R, W, V y Q están sobre una misma circunferencia.
3. Sean
dos circunferencias de radios diferentes que se cortan en los
puntos A y B. Consideremos un punto C sobre la recta AB de modo que B queda
entre A y C. Sean P y Q puntos sobre
, respectivamente, tales que CP es
tangente a
de
, CQ es tangente a
, P no está dentro de
. La recta PQ corta de nuevo a
en R y a
de B. Supongamos que CR corta de nuevo a
y Q no está dentro
en S, ambos puntos distintos
en X y CS corta de nuevo a
en
Y. Sea Z un punto sobre la recta XY. Muestra que SZ es paralela a QX si y sólo si
PZ es paralela a RX.