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TALLER # 3 DE GEOMETRÍA: CIRCUNFERENCIAS Y POLIGONOS
PROFESOR: MANUEL J. SALAZAR JIMENEZ
1.
En la siguiente figura, asocie un término del lado izquierdo con los nombres
del lado derecho.
a) OE
b) FG
c) FH
d) CD
e) IJ
f) EF
g) FGH
h) FEG
i) ∠EOF
j) Circulo O alrededor de EFGH
k) Circulo O en ABCD
l) Cuadrilátero EFGH
m) Cuadrilátero ABCD
1. Radio
2.Angulo central
3.Semicírculo
4.Arco menor
5.Arco mayor
6.cuerda
7.Diámetro
8. Secante
9. Tangente
10. Polígono inscrito
11. Polígono circunscrito
12. Circulo inscrito
13.Circulo circunscrito.
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2.
Demuestre cada una de las siguientes proposiciones:
Sí un radio biseca a una cuerda, entonces biseca sus arcos.
Si un diámetro biseca al arco mayor de una cuerda, entonces es
perpendicular a la cuerda.
Sí un diámetro es perpendicular a una cuerda, entonces biseca a la
cuerda y a sus arcos.
Un radio que pasa por el punto de intersección de dos cuerdas
congruentes, biseca al ángulo formado por ellas.
Sí dos cuerdas dibujadas desde los extremos de un diámetro hacen
ángulos congruentes con el diámetro entonces, son cuerdas congruentes.
3.
Demostrar que el perímetro de un triángulo rectángulo es igual a la suma del
diámetro de la circunferencia inscrita y dos veces el diámetro de la
circunferencia circunscrita.
4.
En la siguiente figura, resuelva cada uno de los problemas siguientes(t y p
son tangentes).
a) Calcule m∠PAQ si m∠POQ = 80°
b) Calcule m∠1 y m∠PAQ si m∠PBO = 25°
c) Calcule m∠1 y m∠PBO si m∠PAQ = 72°
5.
En la siguiente figura, resuelva cada uno de los problemas siguientes (t y p
son tangentes).
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a) Calcule m∠2 si PB biseca al ∠APQ
b) Calcule m∠2 si m∠1 = 35°
c) Calcule m∠1 si PQ = QB
6.
Si dos círculos tienen radios de 20 y 13 respectivamente, calcule su línea de
centros si:
a)
b)
c)
d)
7.
Los círculos son concéntricos
Los círculos se encuentran separados por 7 unidades.
Los círculos son externamente tangentes.
Los círculos son internamente tangentes.
En la siguientes figuras determine el valor de xˆ ∧
(a)
8.
(b)
ŷ
(c)
Calcule la m∠x si en la figura (a) la mŷ = 140°
Calcule myˆ si en la figura (a) la m∠x = 165°
Calcule m∠x si en la figura (b) la m∠y = 115 °
Calcule m∠y si en la figura (b) la m∠x = 108°
Calcule m∠x si en la figura (c) la mŷ = 105°
Calcule la myˆ si en la figura (c) la m∠x = 96°
En las siguientes figuras calcule x y y.
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9.
Calcule x y y en las siguientes figuras (t y p son tangentes).
(a)
(b)
(c)
10. Sí AC y BD son cuerdas que se interceptan dentro de un círculo, como se
muestra en la figura, calcule:
m∠x si mAB = 90° y mCD = 60°
m∠x si mAB = 75° y mCD = 75°
m∠x si mAB + mCD = 230°
m∠2 x si mBC + mAD = 160°
mAB + mCD si m∠x = 70°
mBC + mAD si m∠x = 65°
mBC si m∠x = 60° y mAD = 160°
mBC si m∠y = 72° y mAD = 2mBC
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11. Calcule x y y para cada una de las siguientes figuras:
(a)
(b)
(c)
12. Sí AB y AC son secantes que se intersecan como en la siguiente figura,
determine:
m∠A si mc = 100 ° y ma = 40°
m∠A si mc − ma = 74°
m∠A si mc = ma + 40°
ma si mc = 160° y m∠A = 20°
mc si ma = 60° y m∠A = 35°
mc − ma si m∠A = 47°
ma si mc = 3a y m∠A = 25°
13. Si la tangente AP y la secante AB se intersecan como se muestra en la
siguiente figura, calcule:
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→
m∠A si mc = 150° y ma = 60°
m∠A si mc = 200° y mb = 110°
m∠A si mb = 120° y ma = 70°
m∠A si mc − ma = 73°
ma si mc = 220° y m∠A = 40°
mc si ma = 55° y m∠A = 30°
ma si mc = 3ma y m∠A = 25°
ma si mb = 100° y m∠A = 50°
→
14. si AP y AQ son tangentes que se intersecan como se muestra en la siguiente
figura, determine:
m∠A si mb = 200°
m∠A si ma = 95°
m∠A si ma = (90 − x)°
ma si mb = ma + 50°
m∠A si mb = 5ma − 60°
ma si m∠A = 35°
15. La distancia de un punto E al centro, A, de una circunferencia es 20. El radio
de la circunferencia es 5. Una recta que pasa por E es tangente a la
circunferencia en B. Determinar la medida de EB.
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16. Calcule el valor de x y y para cada una de las siguientes figuras( t y p son
tangentes)
a)
(b)
(c)
17. Si AB y AC son secantes que se intersecan como se muestra en la siguiente
figura, calcule:
mx
mx
mx
my
my
si
si
si
si
si
m∠1 = 80° y m∠A = 40°
m∠1 + m∠A = 150°
∠1 y ∠A son suplementarios.
m∠1 = 95° y m∠A = 45°
mx + my = 190° y m∠A = 50°
18. Determinar x y y en cada una de las siguientes figuras (t y p son tangentes).
(a)
(b)
PBAC es un cuadrado inscrito
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(c)
(d)
19. Dadas dos circunferencias concéntricas, toda cuerda de la circunferencia
mayor que es tangente a la circunferencia menor es bisecada en su punto de
tangencia.
20. En la figura, cada una de las circunferencias con centros A, B, y C es tangente
a las otras dos. Sí AB=10, AC=14 y BC=18, determínese el radio de cada
circunferencia.
21. En la siguiente figura, AB es un diámetro de la circunferencia con centro P;
L es tangente en T a la circunferencia; AD y BC son perpendiculares a L.
Demuéstrese que PD=PC.
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22. Demostrar que si dos cuerdas (que no sean diámetros) congruentes de una
circunferencia se intersecan en un diámetro, forman ángulos congruentes con
el diámetro.
23. En la siguiente figura,
mAC y m∠K
mBD = 70
y
m∠DMB = 4m∠K , determínese
24. En la siguiente figura AD y DB son diámetros de circunferencias congruentes
↔
y tangentes; BC es una tangente en C.
(
)
(
) (
)
( ) ( ) ( )
)
)
)
Demostrar que m AXC = m CYD + m DZE y m AC < m CD + m DE .
25. Demostrar que las tangentes comunes internas a dos circunferencias que no
se cortan y la recta de los centros de las circunferencias se intersecan en el
mismo punto.
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26. Dar una explicación precisa de porque la siguiente figura no es un polígono
convexo.
27. Un segmento cuyos extremos son dos vértices no consecutivos de un
polígono se llama una diagonal del polígono.
Determinar el número de diagonales que tiene un polígono de 3, 4, 5, 6 y
7 lados.
¿Cuantas diagonales tiene un polígono de 103 lados?¿Y uno de n lados?
Calcular la suma de los ángulos internos de un polígono de 6, 7 y 8
lados.
28. Determinar el número de lados de un polígono convexo, si la suma de las
medidas de sus ángulos es 900; 1260; 1980; 2700; 4140.
29. Verificar la siguiente generalización:
La suma de las medidas de los ángulos externos de un polígono convexo de n
lados es 360°.
30. ¿Como se podría construir un octágono regular, utilizando solamente un
compás y una regla sin marcas?
31. Construir un triangulo rectángulo, dados un cateto y el radio de la
circunferencia inscrita.
32. Demostrar que dos cuerdas iguales que se cortan en una misma
circunferencia, son las diagonales de un trapecio isósceles.
33. En una circunferencia de centro O, un diámetro AB y una cuerda AC hacen
un ángulo de 30º; se traza una tangente por el punto C, que encuentra a la
prolongación del diámetro en el punto D. demostrar que el triángulo ACD es
isósceles.
34. En una circunferencia de centro O se trazan dos cuerdas
subtiende un arco de 120°. Desde el centro O se trazan
en M.
en
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a) Encontrar
b) Mostrar que
es bisectriz de
35. Sean dos circunferencias de centros O y O’ tangentes en A. Trazar por el
punto A la tangente común a esas dos circunferencias. Por un punto P (≠A)
de esa tangente, trazar dos tangentes a las circunferencias O y O’. Sean B y C
los respectivos puntos de tangencias. Las rectas
punto D. Demostrar:
se cortan en un
a)
b) P, B, C y D están sobre una misma circunferencia.
c)
es mediatriz de
36. Dos circunferencias iguales de centro O y O’ se cortan en A y en B. Por el
punto A, trazamos una secante que corta a la circunferencia de centro O en C
y a la circunferencia de centro O’ en D. Probar que el triángulo CBD es
isósceles.
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37. Demostrar que si se tiene un paralelogramo inscrito en una circunferencia
entonces este es un rectángulo.
38. En un cuadrilátero ABCD inscrito en una circunferencia, la cuerda
subtiende un arco igual a
de la circunferencia; la cuerda
de la circunferencia y la diagonal
un arco igual a
, un arco DAB igual a
de la
circunferencia:
a) Indicar la naturaleza del cuadrilátero ABCD.
b) Calcular los ángulos formados por las diagonales.
c) Si se prolongan los lados
y
calcular el ángulo formado por ellos.
y
39. En una circunferencia con centro O se tienen dos radios
perpendiculares entre sí. En sentido contrario a las manecillas del reloj se
congruentes. Probar que
trazan dos cuerdas
40. Se tienen dos circunferencias O y O’ secantes, que se cortan en los puntos A
y B. Por A se traza una recta secante a las dos circunferencias que corta la
circunferencia O en M y la circunferencia O’ en M’. Por B se traza otra secante
a las dos circunferencias que corta la circunferencia O en N y la circunferencia
.
O’ en N’. Pruebe que
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41. En una circunferencia se traza una cuerda diametral
y una cuerda
, tal
que
, se traza una recta
tangente a la circunferencia en D y
paralela a
Hallar el valor de los ángulos
42. Dos circunferencias
dos secantes por A que cortan a
respectivamente. Demostrar que
43. Sea M punto medio del lado
Mostrar que
es isósceles.
son tangentes en el punto A, se trazan
en los puntos B, B’, C, C’
son paralelas.
en el ∆ABC y sean
alturas.
44. Por F, punto medio del arco AB de una circunferencia, se trazan dos cuerdas
cualesquiera
que cortan la cuerda
en K y L respectivamente.
Probar que el cuadrilátero KLHG es inscriptible.
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45. A,B,C,D están sobre una circunferencia
demuestre
46. C(O): circunferencia de centro O.
Demostrar que el arco DC es congruente al arco CB, y
47.
están en C(O).
∆abd. Demuestre:
es bisectriz de
es el incentro del triángulo
48. Demostrar que todo trapecio, inscrito en un círculo, es isósceles.
49. Demostrar que todo rombo inscrito en un círculo, es un cuadrado.
50. Demostrar que la medida del lado de un hexágono regular inscrito, es igual
al radio del círculo.
51. Se inscribe un triángulo isósceles ABC en un círculo.
de
; X pertenece a la circunferencia. Demostrar que
del círculo y que
es recto.
.
bisectriz
pasa por el centro
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52. Demostrar que en un cuadrilátero circunscrito a un círculo la suma de las
medidas de los lados opuestos, es igual a la suma de las medidas de los otros
dos lados.
53. El triángulo ABC es isósceles con
pertenece al arco BC. Demuestre que
y está inscrito en un círculo. X
es bisectriz de
54. Se tienen dos circunferencias exteriores y se trazan las tangentes interiores a
éstas. Demostrar que los segmentos de estas tangentes determinados por los
puntos de tangencia son congruentes y que el punto de intersección de dichas
tangentes y los centros de las dos circunferencias son colineales.
55. Se tienen dos circunferencias no congruentes. Si a dichas circunferencias se
les trazan dos tangentes exteriores, demostrar que los segmentos
determinados por los puntos de tangencia son congruentes y que si se
prolongan dichas tangentes hasta que se intersecten en un punto P, este
punto es colineal con los centros de las dos circunferencias.
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56.
en el trapecio ABCD.
es bisectriz de
es bisectriz de
es
bisectriz de
es bisectriz de
Demostrar
es diámetro del círculo circunscrito a MXNY.
que MXNY es inscriptible y
57. Demostrar que el radio del círculo inscrito en un triángulo rectángulo cuyos
catetos miden X y Y y cuya hipotenusa mide Z vale:
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58. Un rectángulo esta inscrito en un círculo. Por los vértices del rectángulo se
trazan tangentes al círculo que se intersecan dos a dos. Demostrar que el
cuadrilátero formado por las tangentes al intersecarse, forman un rombo.
59. Los lados opuestos de un cuadrilátero inscriptible se intersectan en los
puntos p y q. Demostrar que la intersección de las intersección de las
bisectrices de
están sobre la circunferencia de diámetro
60. La recta
la cuerda
es secante a una circunferencia en A y B. Por el punto B se traza
. Demostrar que el diámetro paralelo a
biseca al
segmento cuyos extremos son C y un punto cualquiera de la recta
61. El triángulo ABC está inscrito en el círculo de centro O,
es la altura
correspondiente a
y H es el ortocentro. N, Q, P son los puntos medios de
respectivamente. Demostrar que OPNQ es un paralelogramo.
(Trace
.
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62. Por un punto A exterior a una circunferencia de centro O, se traza una
tangente
a la circunferencia en B y se traza
Sobre
se toma
y se traza
que corta la circunferencia en E. Probar que
trazadas en una misma circunferencia
63. Demostrar que si las cuerdas
divide la cuerda
y el
de centro O son congruentes, entonces el radio
arco ABC en partes iguales respectivamente.
64. Por los extremos A y B de un diámetro de una circunferencia de centro O, se
trazan dos cuerdas paralelas
y
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a) Mostrar que esas cuerdas equidistan del centro O y por consiguiente
son congruentes.
b) Mostrar que el segmento
es un diámetro.
c) Cuál es la naturaleza del cuadrilátero ABCD.
65. Un triángulo isósceles ABC (
) esta inscrito en un círculo de centro
de los ángulos de la base cortan la circunferencia
O. Las bisectrices
en D y F. Comparar los triángulos ∆ACF y ∆BAD.
CONSTRUCCIONES
1. Trazar una circunferencia que tenga un radio dado, pase por un punto
dado y sea tangente a una recta dada.
2. Trazar una circunferencia que tenga un radio dado, pase por un punto
dado y sea tangente a otra circunferencia dada.
3. Trazar una tangente a una circunferencia que sea paralela a una recta l
dada.
4. Construir una circunferencia que sea tangente a una recta dada en un
punto dado sobre esta recta y pase por otro punto dado.
5. Construir un triángulo rectángulo, conociendo la hipotenusa y sobre ella,
el pie de la bisectriz del ángulo recto.
6. Construir un trapecio conociendo las diagonales, un ángulo del trapecio y
uno de los lados no paralelos.
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7. Construir un triángulo rectángulo conociendo los puntos medios M y M’
de los catetos y el punto H en que la recta que une estos puntos, encuentra
la altura relativa a la hipotenusa.
de un triángulo ABC, que corte a los
8. Trazar una paralela a la base
lados
en D y E respectivamente, de manera que se tenga:
9. Construir un triángulo dados:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
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