Download Dideño de una clase para enseñar una generalizacion

Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y C. de la Computación
Lic. en Educ. Matemática y Computación código 4500.
DISEÑO DE UNA CLASE PARA ESTUDIAR UNA
GENERALIZACIÓN DE LA UNIDAD Nº7: “CONGRUENCIA
DE FIGURAS PLANAS” DE PRIMER AÑO DE ENSEÑANZA
MEDIA, FORMACIÓN GENERAL.
Alumno
:
José Manuel Torres Yáñez
Profesor
:
Hernán González Guajardo
Asignatura
:
Metodología de la Enseñanza de la
Matemática y la Computación II.
Código
:
1827
Carrera
:
Licenciatura en Educación
Matemática y Computación.
Código
:
4500
Fecha
:
Jueves 25 de Octubre de 2007.
Índice
Antecedentes generales de la Unidad………………………………………………… 1
Antecedentes generales de la clase…………………………………………………… 3
Contextualización de la clase………………………………………………………… 4
Planificación de la clase……………………………………………………………… 5
Primer instante
: Motivación…………..……………………………………..
5
Segundo instante : Aseveración………………………………………………… 5
Tercer instante
: Instanciación……………………..…………………………. 6
Cuarto instante
: Justificación…….…………………………………………... 11
Quinto estudio
: Análisis de los componentes……….……………………….
Sexto instante
: Tarea………………………………………………………... 14
Séptimo estudio
: Reflexión….………………………………………………...
12
15
Glosario Conceptual…………………………………………………………………. 16
Diseño de una clase para estudiar la generalización “Transversal de gravedad de un triángulo isósceles”, relacionada con
la Unidad 7: “Congruencia de figuras planas” de Primer Año de Enseñanza Media, Formación General.
Autor: José Manuel Torres Yáñez.
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Antecedentes generales de la Unidad
Curso
Primer Año de Enseñanza Media, Formación General.
Unidad
Unidad Nº 7: “Congruencia de figuras planas”.
Objetivo Fundamental asociado a la Unidad (*)
Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de la
proporcionalidad, del lenguaje algebraico inicial y de la congruencia de
figuras planas.
(*) Fuente:
Programa de Estudio, Primer Año Medio de Formación General, Matemática, Ministerio
de Educación, página 13.
Contenidos de la Unidad (**)
•
Congruencia de dos figuras planas. Criterios de congruencia de triángulos.
•
Resolución de problemas relativos a congruencia de trazos, ángulos y
triángulos. Resolución de problemas relativos a polígonos, descomposición
en figuras elementales congruentes o puzzles con figuras geométricas.
•
Demostración de propiedades de triángulos, cuadriláteros y circunferencia,
relacionadas con congruencia.
•
Clasificación de triángulos y cuadriláteros considerando sus ejes y centros
de simetría.
•
Aporte de Euclides al desarrollo de la geometría.
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la Unidad 7: “Congruencia de figuras planas” de Primer Año de Enseñanza Media, Formación General.
Autor: José Manuel Torres Yáñez.
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Aprendizajes Esperados de la Unidad (**)
Los alumnos y alumnas:
•
Analizan los datos necesarios y suficientes para construir un triángulo y lo
relacionan con los criterios de congruencia de triángulos.
•
Componen y descomponen figuras (puzzles geométricos); analizan
congruencia entre sus lados y ángulos.
•
Resuelven problemas que involucran congruencia de trazos, ángulos y
triángulos.
•
Conjeturan y demuestran propiedades en triángulos, cuadriláteros y
circunferencia por medio de congruencia de triángulos.
•
Caracterizan y clasifican triángulos y cuadriláteros a partir de sus ejes y
centros de simetría.
•
(**) Fuente:
Conocen algunos antecedentes acerca del aporte de Euclides a la geometría.
Programa de Estudio, Primer Año Medio de Formación General, Matemática, Ministerio
de Educación, página 87.
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Antecedentes generales de la clase
Generalización a estudiar : Transversal de Gravedad de un Triángulo Isósceles.
Aprendizaje esperado
: Los alumnos y alumnas analizan las transformaciones que
producen diferentes tipos de iteraciones y establecen
relaciones cualitativas y cuantitativas entre los objetos que
se obtienen.
Número de sesiones
: Una sesión.
Duración de la sesión
: 2 horas pedagógicas (90 minutos).
Preconceptos necesarios : Para el inicio del estudio de la generalización, se asume
que existen conocimientos previos por parte de los
alumnos y alumnas, los cuales son:
•
Triángulo isósceles de base conocida.
•
Base de un triángulo isósceles.
•
Congruencia de trazos.
•
Transversal de gravedad de un triángulo.
•
Correspondencia de una transversal de gravedad a un
lado de un triángulo.
•
Objetivo de la clase
Postulado L.A.L. de Congruencia de Triángulos.
: Los alumnos y alumnas al finalizar la clase serán capaces de
reconocer
que
las
transversales
de
gravedad
correspondientes a los lados congruentes de un triángulo
isósceles, son congruentes.
Materiales a emplear
: Plumones de diferentes colores.
Afiches en cartulina.
Nombre del Profesor
: José Manuel Torres Yáñez.
Fecha
: jueves 25 de octubre de 2007.
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Contextualización de la clase
A lo largo de toda la etapa escolar básica y las primeras unidades de Primer Año
Medio, se estudian muchos conceptos matemáticos fascinantes, entre los cuales están los
Conjuntos Numéricos, y sin duda el más importante de ellos, el conjunto de los
NÚMEROS REALES. Por otro lado, en Séptimo y Octavo Básico se enseña parte
importante de las FIGURAS GEOMÉTRICAS con más detención, como lo son:
construcción de polígonos, ángulos interiores de un triángulo, entre muchos otros.
Luego de toda esta riqueza con que se ha alimentado las mentes de los estudiantes,
se finaliza el Primer Año de Enseñanza Media, específicamente con la Séptima Unidad que
se denomina CONGRUENCIA DE FIGURAS PLANAS, la cual instaura en los alumnos y
alumnas el hecho de que la Matemática es una ciencia abierta que no solamente se va
creando día a día, sino que también tuvo sus comienzos en civilizaciones antiguas como
los griegos, los egipcios, los babilonios que crearon la GEOMETRÍA.
¿Quién pensaría que el escrito “Los Elementos” de Euclides todavía se utiliza como
fuente para enseñar la geometría plana o euclidiana en los colegios y liceos del mundo?
Dentro de esta unidad llamada Congruencia de figuras planas, hay conceptos y
generalizaciones muy importantes como los son CONGRUENCIA DE ÁNGULOS,
CONGRUENCIA DE TRAZOS, CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS, ELEMENTOS
SECUNDARIOS DEL TRIÁNGULO (altura, bisectrices, medianas, transversales de
gravedad, simetrales, entre otras). Pero dentro de esta hermosa Unidad, encontramos
generalizaciones muy interesantes para estudiarlas junto a los alumnos y alumnas.
En esta sesión de aprendizaje, se estudiará la generalización: “TRANSVERSAL
DE GRAVEDAD DE UN TRIÁNGULO ISÓSCELES”.
Además, es de suma importancia señalar que este teorema se estudia en los
primeros años de Universidad de muchas carreras, especialmente las que tengan que ver
con la Ciencia.
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Planificación de la clase
Instante de la motivación (5 minutos)
El profesor(a) luego de saludar a sus alumnos(as), inicia la clase, pero esta vez de
una forma distinta: los invita a que se sienten en sus sillas con sus espaldas derechas, luego
los estimula a cerrar los ojos y pensar el por qué están en el liceo, qué esperan de las
matemáticas, con que deseos se levantaron hoy para aprender matemáticas. Luego de ese
proceso, en el cual el profesor se debe pasear por los puestos de cada alumno(a), les pide
que abran los ojos y que con el mismo respeto, concentración y silencio escuchen y
participen en la clase de hoy.
Posteriormente, les comenta a modo de recuerdo, que desde hace algunas clases han
estudiado el concepto de congruencia, y también han estudiado los criterios de congruencia
(LLL, LAL, LAA, ALA), que permiten determinar si dos triángulos son congruentes, y por
último han estudiado elementos secundarios del triángulo como son: altura, bisectrices,
simetrales, transversales de gravedad y medianas que son las más importantes.
Luego les indica que en esta clase estudiarán un nuevo teorema, el cual requerirá
de algunos de estos conocimientos previamente mencionados, para comprenderlo y poder
usarlo eficientemente.
Instante de la Aseveración (7 minutos)
El profesor o profesora escribe en la pizarra el enunciado del teorema, de forma
muy destacada, luego espera que los estudiantes las traspasen a sus cuadernos, incitándolos
a que lo escriban de tal manera que nunca lo olviden.
TEOREMA: “Transversal de Gravedad de un Triángulo Isósceles”
Si un ∆ABC es isósceles de base AB , entonces las transversales de
gravedad correspondientes a los lados BC y AC son congruentes.
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Para dejar el teorema más claro el profesor(a) explica con ayuda de una figura
(triángulo isósceles construido en una cartulina) lo siguiente:
Si AC ≅ BC ⇒ EB ≅ AD , donde EB y AD son
las transversales de gravedad correspondientes a los
lados congruentes del triángulo ∆ABC isósceles.
Recordar:
α y β son los ángulos congruentes del triángulo isósceles y se denominan
ángulos basales, y el lado AB corresponde a la base del ∆ABC isósceles.
Instante de la Instanciación (10 minutos)
Es el momento de ver algunos casos particulares en donde se puede utilizar el
teorema, para ello el profesor(a) realiza en conjunto con los alumnos(as) los siguientes
ejercicios:
1. Si ∆ABC isósceles de la figura, tiene base BC y D y E puntos medios de
AB y AC respectivamente. Además si DC = 6 unidades, entonces de acuerdo al
Teorema EB = 6 unidades.
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2. Si el ∆BAC recto en C de la figura 20, cumple con AC ~
= BC D y E puntos medios
de AC y BC respectivamente.
Además si DB = 12,5 unidades, entonces de
acuerdo al teorema en estudio: EA = 12,5 unidades.
3. Sean E, H, G y F puntos medios de los segmentos AB , BO , CO y DO . Si se sabe
que m( HA) = 3.5 y m( DG ) = 3.5 y AB ≅ OB y CD ≅ OC . ¿Cuál es m(EF ) , si O
yace en EF ?
Solución:
(i) Como
AB ≅ OB y CD ≅ OC
entonces
∆AOE y ∆DOC son isósceles de base
AO y DO respectivamente.
(ii) Como E, H, G y F puntos medios de los segmentos AB , BO , CO y DO , entonces:
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a) EO y HA son transversales de gravedad del ∆AOB isósceles de base AO
correspondientes a sus lados congruentes.
b) DG y OF son transversales de gravedad del ∆CDO isósceles de base DO
correspondientes a sus lados congruentes.
Luego se tiene de acuerdo al teorema que estamos estudiando que EO ≅ HA y
DG ≅ OF .
(iii) Como E, O, F son colineales, entonces: m( EF ) = m( EO) + m(OF )
Por lo tanto por (ii) y (iii) m( EF ) = m( EO) + m(OF ) = m( HA) + m( DG ) = 3.5 + 3.5
Finalmente: m( EF ) = 7 unidades.
4. Sea el cuadrado ABCD de lado a unidades de la figura, además se tiene que E es
punto medio de DC y F punto medio de AB ¿Cuál es la medida de FC ?
Solución 1:
En esta solución el profesor(a) debe mencionar que se usa el teorema que están
estudiando para resolver este problema.
(i)
Como E es punto medio de DC , entonces DE =
a
unidades. Luego por
2
teorema de Pitágoras tenemos que:
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2
a 5
a2
5
a
2
2
2
2
+ a 2 ⇔ ( AE ) = a 2 ⇔ AE =
  + a = ( AE ) ⇔ ( AE ) =
4
2
4
2
(ii)
Pero AE es transversal de gravedad del ∆ADC isósceles, correspondiente al
lado DC .
(iii) Trazamos FC .
(iv) Sea la correspondencia de triángulos ABC ↔ ADC , en la cual se tiene:
1) BC ≅ DC , por ser ambos lados comunes del cuadrado ABCD .
2) ∠ABC ≅ ∠ADC , por ser ambos ángulos rectos.
3) AB ≅ AD , por ser ambos lados comunes del cuadrado ABCD .
Por lo tanto, por postulado L.A.L. la correspondencia ABC ↔ ADC es una
congruencia de triángulos.
Y además, como ∆ABC y ∆ADC
son isósceles de bases AB y
respectivamente, por teorema se cumple que AE ≅ FC , por lo que AE = FC =
AD
a 5
.
2
Solución 2:
En esta solución el profesor(a) debe mencionar que existe otro camino para resolver
el problema, en el cual no se usa el teorema sino conceptos y teoremas vistos anteriormente
en clases.
(i)
Como E es punto medio de DC , entonces DE =
a
unidades. Luego por
2
teorema de Pitágoras tenemos que:
2
a 5
a2
5
a
2
2
2
2
+ a 2 ⇔ ( AE ) = a 2 ⇔ AE =
  + a = ( AE ) ⇔ ( AE ) =
4
2
4
2
(ii)
Pero AE es transversal de gravedad del ∆ADC isósceles, correspondiente al
lado DC .
(iii) Trazamos FC .
(iv) Sea la correspondencia de triángulos ADE ↔ CBF , en la cual se tiene:
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1) AD ≅ BC , por ser ambos lados comunes del cuadrado ABCD .
2) ∠ADE ≅ ∠CBF , por ser ambos ángulos rectos.
3) DE ≅ BF , por ser ambos la mitad del lado del cuadrado ABCD .
Por lo tanto, por postulado L.A.L. la correspondencia ADE ↔ CBF es una
congruencia de triángulos.
Luego AE ≅ FC , por lo que AE = FC =
a 5
.
2
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Instante de la Justificación (15 min.)
Hasta ahora el teorema lo hemos podido aplicar en los ejercicios planteados, pero
un teorema no es teorema sin su demostración, para esto el profesor(a) apoyado por los
alumnos(as) procederá a demostrarlo mediante argumentos deductivos válidos, apoyándose
en una interpretación geométrica de éste.
En este instante es importante recalcar la
importancia de tener escrito de manera clara y destacada en el cuaderno el teorema y su
demostración.
Recordemos:
Hipótesis: dado el enunciado, debemos identificar los datos que se tienen y los que
podemos deducir.
Tesis: Es lo que se quiere demostrar.
A continuación el profesor(a) copia el enunciado del teorema e invita a los alumnos
a realizar la demostración, para ello sería conveniente realizar una figura o dibujo para
visualizar mas claramente los datos y pasos a realizar.
Hipótesis:
1. Sea ∆ABC (figura), con AC ≅ BC
2. D y E puntos medios de AC y BC
respectivamente.
Tesis: AE ~
= BD .
Demostración:
(1) Consideremos los triángulos ∆ABD y ∆BAE .
(2) En la correspondencia ABD↔BAE se cumple:
(i) Por teorema del triángulo isósceles, ∠DAB ~
= ∠EBA .
(ii) AB ~
= BA , lado común.
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(iii) AD ~
= BE , porque AD =
1
1
AC ∧ BE = BC , lo que implica que BC = AC .
2
2
Luego se cumple el postulado L. A. L.
Por lo tanto ∆ABD ~
= ∆BAE . Y finalmente AE ~
= BD
Instante de Análisis de los componentes (15 minutos)
En todo teorema existen variables que de no estar bien especificadas pueden
provocar un caos en su aplicación, por lo que el profesor(a) junto con los alumnos(as)
deben reconocer las variables que intervienen en el teorema que se esta estudiando y sus
respectivos conjuntos dominios, de modo que al momento de aplicarlo no existan
inconvenientes.
Luego de llegar a un consenso con los alumnos(as) el profesor(a) deja claro que si
no consideramos las variables en sus respectivos dominios el teorema no tiene sentido y
escribe en la pizarra:
VARIABLE
DOMINIO
El triángulo.
El conjunto de todos los triángulos isósceles
en el plano.
Medida de los lados congruentes del
triángulo rectángulo.
Medida de la base del triángulo isósceles.
El conjunto de los números reales. ( IR + )
El conjunto de los números reales. ( IR + )
Medida de las transversales de gravedad
correspondientes a los lados congruentes del
El conjunto de los números reales. ( IR + )
triángulo isósceles.
Es importante volver a recalcar, que el profesor(a) debe hacer hincapié en la
importancia de establecer el dominio correcto para la variable, pues de esto dependerá el
cumplimiento o no del teorema.
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Luego el profesor(a) debe mencionar y escribir en la pizarra los conceptos
involucrados en el teorema:
Conceptos Involucrados en el teorema
Triángulo isósceles de base conocida*.
Base de un triángulo isósceles*.
Congruencia de trazos*.
Transversal
de
gravedad
de
un
triángulo*.
Correspondencia entre los vértices de
dos triángulos*.
Correspondencia de una transversal de
gravedad a un lado de un triángulo*.
Postulado L.A.L. de Congruencia de
Triángulos*.
Además, el profesor (a) debe mencionar (escribiendo en la pizarra la tabla) que los
alumnos (as) poseen habilidades que han adquirido en clases anteriores y que se requieren
para usar el teorema correctamente, las cuales son:
Competencias Tipo I ( habilidades previas, requeridas para el
teorema)
Reconocer triángulos, sus ángulos y sus lados.
Reconocer triángulos isósceles.
Reconocer la medida de un ángulo y de un trazo.
Reconocer la transversal de gravedad de un triángulo.
(*) Consultar Glosario Conceptual, páginas 16 y 17.
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Posteriormente, el profesor(a) debe indicar que gracias al teorema estudiado
(escribiendo en la pizarra la tabla), los alumnos(as) son capaces de realizar ciertas tareas
que resultan de la capacidad de usar la generalización, las cuales son:
Competencias Tipo II ( habilidades adquiridas gracias al teorema)
Identificar las transversales de gravedad correspondientes a los
lados congruentes de un triángulo isósceles son congruentes.
Determinar medida de las trasversales de gravedad de un
triángulo isósceles conocida la medida de alguna de ellas.
Instante de la Tarea (5 minutos)
A modo de prolongar la actividad de estudio y así hacer que los logros se
mantengan para la siguiente sesión es que se entregará la siguiente tarea, la cual será
revisada al comienzo de la próxima sesión:
TAREA: Sean la circunferencia Z de centro O y radio r y la circunferencia Y de centro O y
radio
r
, tales que los puntos A, B y C yacen en Z y los puntos EDF yacen en Y, como
2
muestra la figura. Si se sabe que m( BD ) = 7 , m( EC ) = 8 y m( AF ) = 9 . ¿Cuál es
FB + DC ?
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Instante de Reflexión (8 minutos)
En este instante final de la sesión, el profesor o profesora junto con sus alumnos y
alumnas reflexionan sobre los momentos vividos en la clase. A los alumnos y alumnas se
le pueden plantear preguntas como: ¿qué fue lo más fácil de la sesión de hoy?, ¿qué fue lo
más difícil de la sesión de hoy?, ¿cuál o cuales fueron los momentos más importantes de la
sesión?,… etc.
Posteriormente a esas preguntas, el profesor(a) reflexiona sobre los momentos
vividos durante la clase de hoy destacando lo complicado que resulta a veces el
descubrimiento de una generalización, los distintos pasos que siguió cada alumno(a) para
poder llegar a su descubrimiento, como podemos enunciar de manera correcta una
generalización y lo importancia que tiene las variables y cuales son los conjuntos dominios
de estas en una generalización, etc.
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Glosario Conceptual
Postulado L.A.L. de Congruencia de Triángulos: Si en una correspondencia entre
los vértices de dos triángulos dos pares de lados correspondientes son congruentes y el
par de ángulos comprendidos por ellos son congruentes, entonces la correspondencia es
una congruencia de triángulos.
Correspondencia entre los vértices de dos triángulos: La relación unívoca entre los
vértices de dos triángulos de denomina correspondencia. En la figura la relación
ABC↔DEF es una correspondencia entre los vértices de los triángulos ABC y DEF.
Congruencia de trazos: Se llaman trazos congruentes a los que tienen igual longitud.
En la figura AB es congruente a CD .
Base de un triángulo isósceles: Un triángulo isósceles se define como aquel que posee
dos lados congruentes, pues bien, al lado restante se le llama base del triángulo. En la
figura m(c) = m(b) , entonces a es la base del triángulo ABC isósceles
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Triángulo isósceles de base conocida: Se llama triángulo isósceles a aquel triángulo
que posee dos lados congruentes. En la figura triángulo ABC es isósceles de base BC .
Transversal de gravedad de un triángulo: Se llama transversal de gravedad al
segmento trazado desde un vértice del triángulo al punto medio del lado opuesto. En la
figura D es punto medio de BC , luego t a es transversal de gravedad del triángulo
ABC.
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