Download TRAZADOS GEOMETRICOS

 TRAZADOS GEOMETRICOS
DIBUJO TECNICO Alberto Paredes Cervantes 2012/2013
Trazados geométricos elementales
Recta, semirrecta y segmento:
•
•
•
Llamamos recta a una sucesión ilimitada de puntos que van en una misma
dirección.
Semirrecta, será una recta de la que conocemos su origen.
Segmento, es una porción de recta comprendida entre dos de sus puntos.
Suma, resta y división de segmentos:
•
Para sumar gráficamente dos segmentos, trasladaremos su medida tomada en el
compas sobre una recta, una a continuación de la otra.
•
Resta, trasladaremos con el compas la medida del menor sobre la mayor a partir
de uno de los puntos que lo delimitan siendo la diferencia en resto.
•
Para dividir un segmento utilizaremos el teorema de Tales en un número
determinado de partes iguales, operaremos de la siguiente forma: desde A
trazaremos una recta que forme un ángulo cualquiera con el segmento dado,
sobre esta y a partir de A, llevaremos con el compas, tantas medidas iguales
como partes queramos dividir el segmento. Uniendo la última parte de A con la
últimadivisión, le trazaremos paralelas desde cada una de las divisiones, estas
paralelas al cortar el segmento dado nos da la solución.
Lugar geométrico
Llamamos lugar geométrico al conjunto de puntos del plano que cumplen una
determinada condición común, por ejemplo la circunferencia, la circunferencia será el
lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de uno fijo llamado centro.
La mediatriz de un segmento
•
Es la perpendicular al segmento trazada desde su punto medio. Es el lugar
geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento
por lo que son centros de todas las circunferencias posibles que pasen por los
extremos del segmento.
Trazado de la mediatriz
•
Tomando como centro sus extremos y con el mismo radio arbitrario trazaremos
los arcos que se cortaran en dos puntos que unidos determinan la mediatriz del
segmento.
Perpendicular y paralelismo
Dos entes geométricos son perpendiculares cuando forman ángulos de 90º.
•
Trazado de la perpendicular de una recta desde un punto determinado de dicha
recta: Dada la recta R y el punto P de dicha recta, tomaremos como centro este
punto trazando una semicircunferencia que cortara a la recta en los puntos 1 y 2.
Bastara con obtener la mediatriz del segmento 1 y 2 para obtenerte la solución.
•
Trazado de la perpendicular de una recta con un punto exterior a ella:
Sea dada la recta R y el punto P exterior a ella, tomando como centro este punto
y con radio mayor de la distancia que hay entre P y R, trazaremos un arco
obteniendo los puntos 1 y 2. Bastara con trazar la mediatriz del segmento 1 2
para obtener la solución.
•
Trazado de una perpendicular a un segmento desde un extremo de dicho
segmento:
Método 1: tomando como centro un punto O exterior a ella y abriendo el
compas hasta el extremo del segmento trazaremos una circunferencia que cortara
al segmento en el punto 1. A continuación, uniremos 1 con O y prolongaremos
hasta cortar la circunferencia en el punto 2. Uniendo 2 con obtendremos la
perpendicular.
Método 2: sea AB el segmento dado para levantar una perpendicular desde A
operaremos de la siguiente manera: con radio arbitrario y tomando como centro
A trazaremos un arco, que cortara al segmento en el punto 1. Tomando como
centro 1 y con idéntico radio trazaremos otro arco que cortara al anterior en el
punto 2. Tomando como centro 2 y con el mismo radio trazaremos otro arco
obteniendo el punto 3 y sin variar de radio, trazaremos otro arco que cortara al
anterior en el punto 4. Uniremos 4 y A para obtener la perpendicular.
Consideramos el paralelismo como dos rectas paralelas aquellas que su punto de
intersección se encuentra en el infinito, es decir, que su punto de intersección es un
punto impropio.
•
Trazado de una paralela a una recta desde un punto exterior a ella:
Tomando como centro cualquier punto de la recta, a este punto le llamaremos O,
pinchando en O y abriendo el compas hasta P trazaremos una semicircunferencia
que cortara la recta en los puntos 1 y 2. Desde 2 y con radio de 1P trazaremos un
arco obteniendo el punto P´. Uniendo P con P´ nos saldrá la paralela.
Ángulos
Llamamos ángulo a la porción del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen
el mismo origen, al origen común se le llama vértice y a las semirrectas lados.
•
Construcción de suma y resta de ángulos:
Para construir un ángulo igual a otro dado operaremos de la siguiente forma:
tomando como centro el vértice y con radio arbitrario trazaremos un arco que
cortara a los lados del ángulo en los puntos 1 y 2. Con idéntico radio y tomando
como centro el punto A´ de una recta trazaremos un arco idéntico al anterior.
Obteniendo el 1´. A continuación, tomaremos la medida 1,2 con el compas
trasladándose desde 1´ pudiendo completar el ejercicio.
La bisectriz de un ángulo
Llamamos bisectriz de un ángulo al lugar geométrico de los puntos del plano, que
equidistan de los lados del ángulo. Se tratara de una recta que pasando por su vértice lo
divide en dos ángulos iguales.
Trazado de la bisectriz
•
Tomando como centro su vértice trazaremos un arco de radio arbitrario que
darán los puntos 1 y 2 de intersección con los grados del ángulo. Tomando como
centro estos puntos e idéntico radio trazaremos dos arcos que se cortaran en 3.
Uniendo A y tres nos dará la bisectriz.
•
Trazado de la bisectriz del ángulo que formaría dos rectas concurrentes sin llegar
a cortarse:
Trazaremos una recta M cualquiera que corte a las dos rectas dadas y que forme
con ellas cuatro ángulos. Uniremos los puntos de intersección de estas
bisectrices obteniendo la bisectría.
•
Trazado de la bisectriz de un ángulo mixtilíneo.
•
División de un ángulo recto en tres partes iguales:
Tomando como centro el vértice, ángulo, trazaremos un arco de radio arbitrario
obteniendo los puntos 1 y 2. Tomando estos puntos como centro e idéntico radio
trazaremos dos arcos obteniendo los puntos 3 y 4 que unidos al vértice nos
dividirá el ángulo en tres partes iguales.
•
División de un ángulo menor de 90º.
•
Trazado de una recta concurrente con otras dos dadas pasando por un punto
determinado.
Ángulos en la circunferencia
•
Central: al que tiene como vértice el centro de la circunferencia y como lados
dos radios de la misma, su valor es igual al arco que abarcan sus lados.
•
Interno: aquel que tiene como vértice un punto cualquiera interior a la
circunferencia, su valor será igual a la semisuma de los dos centrales
correspondientes a los arcos que abarcan sus lados.
•
Circunscrito: aquel que tiene su vértice fuera de la circunferencia y sus lados
tangentes a la misma. Su valor es igual a la semidiferencia de los dos arcos a los
que queda dividida la circunferencia por los puntos de tangencias.
•
Semiinscrito. Es aquel que tiene un lado tangente y otro secante a la
circunferencia siendo su vértice un punto de la misma, su valor es igual a la
mitad del central correspondiente.
•
Semiexterno: tendrá su vértice fuera de la circunferencia y su valor será igual a
la semidiferencia de los centrales correspondientes. Sus lados serán uno
tangente y otro secante a la circunferencia.
•
Externo: tendrá su vértice fuera de la circunferencia y su valor será igual a la
semidiferencia de los centrales correspondientes.
•
Inscrito: llamamos ángulo inscrito a la circunferencia a aquel tiene como vértice
un punto de la misma y como los lados dos rectas secantes. El valor del ángulo
inscrito es igual a la mitad del central correspondiente.
Arco capaz
El arco capaz de un segmento respecto a un ángulo determinado al lugar geométrico de
los puntos del plano que unidos a los extremos del segmento siempre forman el ángulo
dado.
Construcción del arco capaz
Dado el segmento AB y el ángulo alfa para obtener el arco capaz correspondiente
operaremos así:
1. Construiremos el ángulo dado desde uno de los extremos del segmento y
levantaremos una perpendicular de ese extremo al lado del ángulo.
2. Trazo la mediatriz del segmento que cortara la perpendicular en O, siendo el
centro del arco que buscamos.
Triángulos
Definición
Llamamos triangulo a la superficie plana delimitada por tres rectas que se cortan dos a
dos, a los puntos de intersección se les llama vértice y al segmento comprendido entre
cada dos vértices se les llama lados.
Para designar los elementos del triangulo utilizaremos una letra mayúscula para el
vértice y la misma letra pero minúscula para designar al lado opuesto al vértice.
Propiedades de los triángulos
La suma de los ángulos de un triangulo será siempre de 180º. Un lado es menor que la
suma de los otros dos pero mayor que su diferencia. A mayor lado se opone mayor
ángulo.
Clasificación
Según sus ángulos:
•
•
•
Obtusángulo: si tiene algún ángulo obtuso.
Acutángulo: si tiene los ángulos agudos.
Rectángulo: si tiene algún ángulo recto.
Según sus lados serán:
•
•
•
Equilátero: tres lados iguales.
Isósceles: dos lados iguales.
Escaleno: ningún lado igual.
Rectas y puntos notables del triangulo
•
Mediatriz. Su centro se llamacircuncentro.
•
Bisectriz. Su centro se llamaincentro.
•
Mediana. Su centro se llama baricentro.
•
Altura. Su centro de llama ortocentro. Nos dará un triangulo ártico
Construcción de triángulos
•
Triángulo rectángulo dada la hipotenusa y uno de los catetos.
•
Trazado de un triángulo rectángulo conocida la hipotenusa y uno de los ángulos.
•
Construcción de un triángulo rectángulo conocida la hipotenusa y la altura sobre
ella.
•
Trazado de un triángulo rectángulo conocida la suma de los catetos y la
hipotenusa: Dibujamos un segmento cuya longitud sea igual a la suma de los
catetos. Desde uno de sus extremos M construiremos un arco de 45º y desde el
otro un arco cuyo radio sea la hipotenusa, que cortara al lado de 45º en el punto
C. el vértice A se obtendrá al trazar una perpendicular desde C al segmento MB.
•
Trazado de un triángulo isósceles sabiendo el ángulo impar:
Sea el ángulo alfa y el lado AB trazaremos el arco capaz de alfa para AB. Donde
corte la mediatriz de AB con el arco capaz tendremos C. uniendo C con A y con
B ya lo tendremos.
•
Construcción de un triángulo isóscelesdada la base y el lado par.
•
Construcción de un triángulo escaleno conocidos dos de sus lados y la altura.
•
Construcción de un triángulo isósceles rectángulo dada la altura.
•
Trazado de un triángulo equilátero dado el lado.
•
Construcción de un triángulo equilátero dada la altura:
Trazamos dos rectas paralelas a una distancia igual que la altura dada. Tomando
como centro un punto de la paralela superior trazaremos un arco de radio
arbitrario obteniendo los puntos 1 y 2. Tomando como centro estos puntos e
idéntico radio trazaremos otros dos arcos obteniendo los puntos 3 y 4. Uniendo
C con 3 y C con 4 y prolongaremos hasta la paralela de abajo para completar
este ejercicio.
•
Construcción de un triángulo escaleno dada la base, la altura y un ángulo.
•
Construcción de un triángulo dados dos de sus lados del ángulo comprendidos
entre ellos.
•
Construcción de un triángulo dados sus tres lados.
Construcciones de cuadrados, rectángulos, rombos, romboides y trapezoides
•
Construcción de un cuadrado dado el lado.
•
Construcción de un cuadrado dada la diagonal.
•
Construcción de un rectángulo conocidos dos de sus lados:
Desde los extremos de uno de sus dos lados levantaremos una perpendicular y
sobre estas perpendiculares pasaremos las medidas del otro lado. Las uniremos y
lo obtendremos.
•
Construcción de un rectángulo con la diagonal y uno de sus lados.
•
Construcción de un rombo conocida la diagonal y el lado.
•
Construcción de un rombo conocida la diagonal mayor y la distancia entre dos
lados opuestos.
•
Construcción de un romboide dados dos lados y el ángulo que forma entre ellos.
•
Construcción de un trapezoide rectángulo conocida la base, la altura y un lado.
•
Construcción de un trapecio isósceles conocidas las bases y la altura.
•
Construcción de un trapecio escaleno dada las mediadas de las bases y la medida
de una diagonal sabiendo el ángulo que forman con una de las bases.
Construcción de un pentágono
Construcción de un pentágono dado el lado
1. Desde el lado B levantaremos una perpendicular.
2. Tomando como centro B y abriendo hasta A, trazaremos un arco que cortará a la
perpendicular en 1.
3. Trazaremos la mediatriz de AB, nos dará el punto Ñ.
4. Tomando como centro Ñ y abriendo hasta 1, trazaremos un arco que cortara la
prolongación de AB en 2.
5. Tomando como centro A trazaremos un arco de radio A2, que cortará la
prolongación de la mediatriz en el punto C.
6. Tomando como radio AB y como centro ABC, trazare tres arcos que al cortarse
me darán los vértices D y E. unidos a los otros tres vértices (A,B,C) se hara el
pentágono.
Construcciónde un hexágono
Construcción de un hexágono dado el lado.
Construcción de un heptágono
Construcción de un heptágono dado el lado:
Sea el lado dado AB, desde A trazaremos un ángulo de 30º que cortará a la
perpendicular trazada desde B en el punto 1. Trazaremos la mediatriz de AB y un arco
de radio A1 y centro A, que al cortar la mediatriz, me dará la circunferencia que se
puede dividir en 7 partes iguales a AB.
Construcción de un octógono
Construcción de un octógono dado el lado:
Sea el lado AB al que trazaremos la mediatriz obteniendo se punto medio Ñ. Tomando
como centro este punto, trazaremos una semicircunferencia que pasará por A y B
cortando a la mediatriz en el punto 1. Tomando como centro 1 y radio hasta B,
trazaremos un arco que cortará a la mediatriz en el punto O, centro de la circunferencia
divisible en ocho partes por el segmento AB.
Construcción de un dodecágono
Construcción de un dodecágono dado el lado:
Tomando como centros A y B alternativamente y con radio igual al segmento dado
trazaremos dos arcos que se cortaran en la mediatriz del segmento en el punto 1. A
continuación, tomando como centro 1 y abriendo hasta B trazaremos un arco que cortara
a la mediatriz en el punto O, siendo este el centro de la circunferencia divisible en doce
partes por el lado AB.
Proporcionalidad y semejanza
División de un segmento en partes iguales
A. Proporcionalidad y semejanza:
Si tenemos que comparar dos segmentos entre si se presentaran dos casos
posibles, que sean iguales o que no lo sean. En el primer caso el coeficiente
resultante será 1. A este coeficiente se le llama razón de dos segmentos, o sea,
que la razón de dos segmentos es la medida de uno de ellos cuando se toma al
otro por unidad. Se le denomina A/B. Un ejemplo; si queremos dividir el
segmento AB, que están en una razón determinada, tendremos que dividir el
segmento de la siguiente manera: si se tratara por ejemplo de un razón 2/3,
tendríamos que dividir el segmento en 2+3 partes y reunir las dos primeras con
las tres últimas.
B. Rectas cortadas por paralelas:
Si varias paralelas determinan partes iguales de una recta R determinaran
también partes iguales en cualquier otra recta S que corte.
Tenemos la recta R, cortada por varias paralelas en partes iguales, paralelas que
también cortan a una recta S, si desde cada uno de los cortes producidos por esas
paralelas en S, trazamos una paralela a R, nos darán una serie de puntos
M,N,P,Q, donde se verificará que dichos triángulos son iguales ya que tienen
iguales los ángulos (A´, B´, C´, D´, E´) por ser correspondientes y también son
iguales los ángulos (M,N,O,P,Q) al tener los lados paralelos, por lo tanto
(A,B,C,D,etc) son iguales.
Teorema de Thales
Si dos rectas R y S se cortan por un sistema o haz de rectas paralelas, los segmentos
determinados por los puntos de intersección en una de ellas, serán proporcionales a los
determinados por los puntos de intersección en otra recta.
Supongamos que AB y CD están en proporción 3/5 de manera que si dividimos AB en
tres partes iguales una de estas partes cabrá cinco veces en BC. Por lo dicho con
anterioridad (rectas cortadas por paralelas), BE también queda dividido en tres partes
iguales y EF en cinco partes también iguales, si a cada parte le llamamos P podemos
establecer que DE/DF es igual a 3P/5P de donde se deduce que AB/BC es igual a
DE/EF
Semejanza
Dos figuras son semejantes cuando tienen todos sus ángulos correspondientes iguales y
sus elementos lineales proporcionales y dispuestos en el mismo orden. Los elementos
que se corresponden se llaman también homólogos. Esta razón de homotecia, se llama
razón de semejanza, la razón de semejanza es también una razón de proporcionalidad.
a) Entre las propiedades notables de las semejanzas en dos figuras podemos
distinguir:
ƒ En dos figuras planas semejantes las áreas son proporcionales a los
cuadrados de las líneas homologas.
ƒ En dos figuras en el espacio semejantes, los volúmenes son
proporcionales a los cubos de las líneas homologas.
b) Triángulos semejantes:
ƒ Dos triángulos semejantes tienen los ánguloshomólogos iguales, y los
lados homólogos proporcionales.
ƒ Bastara para que dos triángulos sean semejantes que se verifique que:
Tienen dos ángulos respectivamente iguales, tienen dos lados
proporcionales e iguales, los ángulos que forman o bien tienen los tres
lados proporcionales.
Construcción de figuras semejantes
Aplicación de la 4ª proporcional
Construcción de un polígono semejante a otro dado
Elementos geométricos fundamentales
•
•
•
Punto
Recta
Plano
Formas geométricas
Son las formadas por elementos geométricos
•
•
Razón simple:
Dados dos puntos fijos A y B en una recta R orientada (orientada es que
tiene + y -). Se llama razón de tres puntos PAB, a la relación PA/PB.
Se llama razón simple de tres puntos alineados A, B y C. Y se designa
(ABC) a la razón de distancias AB/AC (primero con el segundo dividido el
primero con el tercero). Se tendrá en cuenta el signo de los elementos*.
Sugiriendo fijos dos puntos B y C; y una variable que sea el primero de una
razón simple entre los tres, al que llamaremos X. Según el valor que tome X
la razón ira tomando otros valores. Cuando la X es negativa es que la X esta
entre B y C.
Cuando la razón simple es negativa quiere decir que el punto variable esta
entre dos puntos.
Razón doble de cuatro puntos
Dados dos puntos A y B en una recta orientada, se llama razón doble de
cuatro puntos M, N, A, B al coeficiente de las razones simples de las dos
primeras respecto a las otras dos. A cada grupo de cuatro puntos que se
puede elegir se llama cuaterna armónica.
•
•
Razón doble de cuatro puntos alineados
Se llama razón doble de cuatro puntos alineados (ABCD) al coeficiente de
las razones (ACD) y (BCD) = (ACD)/ (BCD). En el caso en el que la razón
doble salga negativa, se dice que los cuatro puntos forman un sistema
armónico o cuaterna armónica.
Construcción geométrica de una cuaterna de valor M/N
Dados tres puntos (BCD) y el valor M/N de la razón doble de la cuaterna que
otro X forma con ellos, determina gráficamente la posición de X.
Dado (BCD) sobre una recta se traza una recta que pase por B, y se
determina en esta recta los valores de M y N, tomando B como punto de
referencia. Se trazan dos rectas, una que pase por C y el punto N y otra que
pase por D y el punto M. Esta recta se cortara en el punto P. Trazaremos una
paralela a BMN que pase por P y el punto de intersección de esta recta BCD
con la paralela. B será el punto X.
Proporcionalidad
Conocimientos básicos
•
•
•
Cada cateto es la media proporcional entre la hipotenusa y su proyección
sobre la misma, es decir,
·
La altura de un triangulo rectángulo correspondiente a la hipotenusa es la
media proporcional entre los dos segmentos que determinen sobre esta, es
decir,
·
Si desde un punto P se traza una tangente PM y una secante PAB a una
circunferencia se verifica por potencia de un punto a una circunferencia que
·
4ª proporcional
Sean los segmentos dados sobre una recta:
Media proporcional
a. Teorema del cateto: dibujar el segmento A en posición de resta con respecto al
segmento B. Hallar el centro O del segmento A y trazar una semicircunferencia
cuyo diámetro sea A. X el extremo libre de B levantaremos una perpendicular
que cortara la semicircunferencia en H. Uniendo el punto H con el extremo
común de A y B obtendremos la media proporcional de A y B.
b. Teorema de la altura: trazamos el segmento A. Llevamos el segmento A y luego
el segmento B en posición de suma. Obtenemos el punto medio O entre A+B y
trazaremos la semicircunferencia correspondiente. Por el extremo común de
ambos segmentos levantaremos una perpendicular que cortara a la
semicircunferencia en H. el segmento PH será la media proporcional.
Construcción de un polígono directamente semejante a otro en una determinada
relación
La traslación
Una homología que tiene centro impropio (esta en el infinito) y queda definida
únicamente por un par de puntos homólogos y a su vez indicará el centro de homología.
Media proporcional
1. Sobre una recta se trasladan las longitudes. PA=B y PB=A. A continuación se
describe la circunferencia que pasa por A y B y desde B se traza una tangente a
dicha circunferencia. La medida de la tangente es igual a la media proporcional
de A y B
2. Multiplicación del cuadrado: se tratara de a partir de un cuadrado obtener otros
que dupliquen su área sucesivamente. Para ello lo único que hay que hacer es ir
abatiendo la diagonal.
División de un triangulo en dos partes de igual área
Sea el triangulo dado ABC trazaremos una semicircunferencia que tenga como
diámetro el lado AB. Desde el centro de la circunferencia trazaremos una perpendicular
que la cortara en el punto P. tomando como centro B y como radio BP, trazaremos un
arco que cortara AB en el punto X. a partir de X trazaremos una paralela al lado AC
quedando dividido el triangulo en dos partes iguales.
La circunferencia
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de uno fijo llamado
centro.
Elementos importantes:
¾
¾
¾
¾
¾
¾
¾
Diámetro
Radio
Arco
Cuerda
Flecha
Secante
Tangente
Por tres puntos no alineados hacer pasar una circunferencia
Para obtener la solución nos fijaremos en las equidistancias que suponen tanto el
concepto de circunferencia como el de mediatriz.
Trazaremos las mediatrices de los segmentos AB y BC. Donde se corten estas será el
centro que buscamos.
Rectificación de una circunferencia según Arquímedes
La rectificación total de la circunferencia seria igual a 22/7 del diámetro. Sobre una
recta sumar tres veces el diámetro más 1/7 del mismo
Rectificación de 1/4 de circunferencia según Mascheroni
Dada la circunferencia de centro O, trazaremos uno de sus diámetros AB y haciendo
centro en sus extremos trazaremos dos arcos que cortaran a la circunferencia en 1 y 2.
Pincho en A y abro hasta 2 y hago un arco, hacemos lo mismo pero abriendo hasta 1.
Pincho en 1 abro hasta X, me da 4. Uniendo 4 y A obtendremos la rectificación.
Rectificación a una semicircunferencia según Hochonski
Trazaremos un diámetro de la circunferencia y dividiremos el cuarto de la misma de uno
de los lados de esta perpendicular en tres partes iguales. Eso mas tres radios de la
circunferencia es la rectificación.
Rectificación de una semicircunferencia por el método de los polígonos
La suma del lado del cuadrado y del triangulo equilátero inscritos en una circunferencia
será igual a la rectificación de la semicircunferencia.
Rectificación de un arco menor que un cuarto de la circunferencia
Sea AB el arco a rectificar desde el extremo A levantaremos una perpendicular y a
partir de C llevaremos la medida del radio de la circunferencia que uniremos con B y
prolongaremos hasta cortar la perpendicular en X. XA será la rectificación de AB.
Polígonos inscritos en la circunferencia
Método general de división de la circunferencia en partes iguales
Sea la circunferencia dada de centro O a la que trazaremos un diámetro AB que
dividiremos en tantas partes como queramos dividir la circunferencia. A continuación y
tomando como centro los extremos del diámetro trazaremos 2 arcos que se cortaran en
X. Por último uniremos X con 2 (siempre con 2) las partes que se quieran dividir a
circunferencia. Prolongaremos hasta cortar la circunferencia en M. Pues bien, el arco
AM será aproximado un séptimo de la circunferencia.
Construcción de un triangulo equilátero, hexágono, dodecágono.
Una circunferencia queda dividida en 6 partes exactamente iguales por su radio.
Construcción de un pentágono y dodecágono inscritos en la circunferencia
1. Trazaremos dos diámetros perpendiculares AB y CD
2. Obtendremos la mediatriz del radio OD
3. Tomando como centro Ñ y abriendo hasta A trazaremos un arco que alcortar el
diámetro CD obtendremos M
4. Pinchando en A y abriendo hasta M haremos un arco que cortara la
circunferencia en 1. A1 es 1/5 de la circunferencia
Trazado de un heptágono y un catorce lados en la circunferencia
Trazado de un octógono y un cuadrado inscritos en la circunferencia
Trazado de un eneágono inscrito en la circunferencia
Trazaremos dos diámetros perpendiculares AB y CD. Tomando como centro A y B
alternativamente y con radio igual a la de la circunferencia trazaremos dos arcos
obteniendo los puntos 1 y 2. Tomando como centro B y abriendo hasta 1 trazaremos un
arco de circunferencia que cortara la prolongación de CD en 3. Tomando como centro 3
y abriendo hasta A trazaremos un arco de circunferencia que cortara el diámetro CD en
el punto X. CX será un noveno de la circunferencia
Tangencias
Llamamos recta tangente a una circunferencia a aquella que tiene un punto en común
con la misma, llamado punto de tangencia. La tangente tiene la particularidad de que
forma un ángulo recto con el radio que pasa por ese punto de tangencia.
Trazado de un tangente a una circunferencia desde un punto de dicha
circunferencia
Trazado de la tangente a un arco de circunferencia conocido el punto de tangencia
Tomando como centro el punto de tangencia y con radio arbitrario trazare un arco de
circunferencia que cortara al arco dado en los puntos 1 y 2. La paralela a la recta que
pase por T será la tangente.
Trazado de todas las tangentes posibles a una circunferencia desde un punto
exterior a ella.
Uniremos el punto exterior con el centro de la circunferencia. Se hace la mediatriz de
esta, obteniendo Ñ. trazaremos una circunferencia que pase por P y O, que cortara a la
circunferencia en N y M. Uniendo P y M y P y N serán las tangentes.
Trazado de las tangentes exteriores a dos circunferencias de distinto radio
Sean las circunferencias dadas las de centro O1 y O2 uniremos los centros, trazaremos
la mediatriz del segmento resultante obteniendo Ñ. Tomando como centro Ñ trazaremos
una circunferencia que pasara por ambos centros. Restamos el radio de la menor al radio
de la mayor y trazaremos una circunferencia concéntrica a la mayor de radio igual al
resultado de esta recta. Cortara a la circunferencia de radio Ñ en los puntos M y N.
Uniendo estos puntos con el centro de la circunferencia mayor, obtendremos sobre la
misma los puntos P y T. trazaremos paralelas a estas rectas desde el centro de la
circunferencia menor, obteniendo P´ y T´. Uniendo T y T´ y P y P´ para obtendremos
las tangentes.
Trazado de las tangentes interiores a dos circunferencias de diferente radio
1. Sean las circunferencias dadas de centro O1 y O2, uniremos sus centros trazando
la mediatriz al segmento resultante y obteniendo Ñ.
2. Trazaremos una circunferencia de centro Ñ cuyo diámetro sea O1 y O2.
3. Sumaremos al radio de la mayor el radio de la menor. Trazando una
circunferencia concéntrica la mayor cuyo radio sea esta suma.
4. Uniremos los puntos de intersección de esta circunferencia la de centro Ñ (M y
N) con el centro de la circunferencia mayor. Estas rectas al cortar a la
circunferencia nos darán los puntos P y T.
5. Trazare paralelas opuestas a los segmentos PO2 y TO2 desde el centro de la
menor, obteniendo T´ y P´. Uniendo T y T´ y P y P´ serán las tangentes
interiores.
Trazado de las circunferencias tangentes a una recta pasando por un punto P dado
y conociendo el radio de las mismas.
1. Trazaremos una paralela a la recta dada a una distancia igual al radio.
2. Tomando como centro P y radio igual al dado trazare un arco que cortara a la
paralela en los puntos O1 y O2.
3. Tomando como centro O1 y O2 y con radio el dado trazare dos circunferencias
que serán la solución.
Circunferencia tangente a dos rectas que se corten en un punto conocido al radio
Bastara con trazar una paralela a cada recta a una distancia igual al radio dado, donde se
corten será el centro de la circunferencia solución.
Trazado de las circunferencias tangentes de radio dado a otra circunferencia
pasando por un punto
1. A la circunferencia dada sumaremos el radio y trazaremos una circunferencia
concéntrica.
2. Tomando como centro P y con radio el dado, trazaremos un arco que cortara a la
concéntrica en O2 y O3.
3. Haciendo las circunferencias O2 y O3 para hallar los puntos tangentes.
Trazado de las circunferencias tangentes a una circunferencia dada conocido el
radio de las tangentes y el punto P de tangencia
Trazado de una circunferencia tangente a otra conocida pasando por el punto P
exterior a ella y conociendo el punto de tangencia X
Trazaremos una recta que pase por O y X, donde esta recta sea cortada por la mediatriz
del segmento PX, tendremos el centro de la circunferencia solución.
Trazado de las circunferencias tangentes de radio conocido a otras dos
circunferencias dadas.
Haremos lo siguiente, le sumaremos el radio dado a cada una de las circunferencias,
trazando circunferencias concéntricas de radio igual a la suma de los radios. Tomando
como centro los puntos de intersección de las circunferencias concéntricas y radio el
dado, hallaremos las soluciones.
Trazado de las circunferencias tangentes a otra circunferencia y a una recta
conociendo el radio (enlace, recta, circunferencia)
1. Trazaremos una circunferenciaconcéntrica a la dada que tenga como radio la
suma del radio de la circunferencia más el radio dado.
2. Trazaremos una paralela a la recta dada a una distancia igual al radio dado,
obteniendo en su intersección con la circunferenciaconcéntrica, los centros O1 y
O2 de las circunferencias solución.
Circunferencia tangente a otra dada y a una recta conocido el punto de tangencia
sobre la recta
Sea la recta dada y el punto de tangencia T y la circunferencia de centro O,
levantaremos una perpendicular a R desde T y llevaremos la medida del radio de la
circunferencia sobre esta perpendicular y a partir de T, obteniendo el punto X.
Uniremos X con el centro de la circunferencia dada y trazaremos la mediatriz del
segmento resultante, donde esta mediatriz corte la perpendicular, estará el centro de la
circunferencia solución.