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Apuntes de E.P.V. 4º E.S.O.
CEO Rey Juan Carlos I
Prof: Sara Blanco de Armas
Nombre: ________________________________Clase:__________ Fecha:________________
UD4: REPASO DE GEOMETRÍA PLANA/ LAS FORMAS CURVAS
ÍNDICE
Parte 1: Contenidos de 1º ESO
Introducción .......................................................................................................................................3
1. Los materiales de dibujo técnico ..................................................................................................3
2. Elementos geométricos ..................................................................................................................5
3. Uso de escuadra y cartabón ..........................................................................................................6
3.1. Trazado de rectas paralelas .......................................................................................................6
3.2. Trazado de rectas perpendiculares ...........................................................................................7
4. Operaciones con segmentos ..........................................................................................................8
4.1. Transporte de medidas ...............................................................................................................8
4.2. Suma y resta de segmentos ........................................................................................................8
4.3. Dividir un segmento en dos partes iguales: Hallar la mediatriz del segmento .....................8
4.4. Dividir un segmento en cualquier número de partes ..............................................................9
5. Ángulos ...........................................................................................................................................9
5.1. Transporte de ángulos ..............................................................................................................10
5.2. Suma y diferencia de ángulos ..................................................................................................11
5.3. Bisectriz de un ángulo ..............................................................................................................11
6. La circunferencia .........................................................................................................................12
6.1. Elementos de la circunferencia ................................................................................................13
6.2. Operaciones con circunferencias .............................................................................................14
6.2.1. División de la circunferencia en partes iguales ...................................................................14
7. Teorema de Tales .........................................................................................................................16
7.1. Concepto de escala ....................................................................................................................17
Parte 2: Contenidos de 3º ESO
8. Formas poligonales ......................................................................................................................17
8.1. Clasificación de polígonos ........................................................................................................17
8.2. Polígonos irregulares ................................................................................................................18
8.2.1. Construcción de triángulos ...................................................................................................19
8.3. Polígonos regulares ...................................................................................................................20
8.3.1. Construcción de polígonos regulares ...................................................................................21
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8.3.1.1. Método general de construcción de polígonos dado el radio de la circunferencia en la
que está inscrito ...............................................................................................................................21
8.3.1.2. Método general de construcción de polígonos regulares dado el lado del polígono ....22
9. Transformaciones geométricas ..................................................................................................22
9.1. Igualdad .....................................................................................................................................23
9.2. Rotación .....................................................................................................................................25
9.3. Simetría .....................................................................................................................................26
9.3.1. Simetría central .....................................................................................................................26
9.3.2. Simetría axial .........................................................................................................................27
9.4. Semejanza ..................................................................................................................................27
10 Ejemplos de polígonos y de transformaciones en el plano en la naturaleza, el arte y el diseño .......28
Parte 3: Contenidos de 4º ESO
11. Las formas curvas ......................................................................................................................29
11.1. Tangencias ...............................................................................................................................29
11.1.1. Recta que pase por un punto P dado tangente a una circunferencia .............................29
11.1.2. Tangentes exteriores a dos circunferencias .......................................................................30
11.1.3. Tangentes interiores a dos circunferencias .......................................................................30
11.1.4. Dados los radios de tres circunferencias, dibujarlas de modo que sean tangentes entre sí .....31
11.2. Enlaces .....................................................................................................................................31
11.2.1. Enlazar dos rectas mediante un arco conocido .................................................................32
11.2.2. Enlazar dos rectas paralelas mediante un arco de circunferencia ..................................32
11.2.3. Enlazar una curva y una recta mediante un arco de radio conocido Re ........................33
11.2.4. Enlazar dos curvas mediante un arco de radio conocido Re ...........................................33
12. Curvas geométricas ...................................................................................................................34
12.1 Construcción del óvalo conocido el eje mayor ......................................................................34
12.2. Construcción del ovoide conociendo su eje menor ..............................................................35
12.3. Método para construir una espiral de dos centros ..............................................................35
Bibliografía ......................................................................................................................................36
Recursos en la Red ...........................................................................................................................36
Actividades .......................................................................................................................................36
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(Parte 1: Contenidos de 1º E.S.O.)
INTRODUCCIÓN
Un dibujo se puede realizar básicamente de dos maneras: a mano alzada, es decir, sin ningún
instrumento que sirva para ayudar a realizar los trazados o utilizando instrumentos de precisión:
reglas, compás, plantillas, etc. Esta segunda forma se llama dibujo técnico y en ella nos vamos a
basar durante la próxima Unidad Didáctica. Para el dibujo técnico es esencial conocer los trazados
básicos y así poder realizar figuras de mayor complejidad.
El dibujo técnico es el lenguaje empleado por los ingenieros, arquitectos, diseñadores, para
comunicar sus ideas y proyectos de una forma precisa a los constructores. Es importante que todos
sigan las mismas normas para la realización de los dibujos, de esta forma todos los interpretan de la
misma manera. A esas normas se les llama normalización y muchas de ellas son universales, otras
son nacionales.
1. LOS MATERIALES DE DIBUJO
Vamos a utilizar fundamentalmente los siguientes materiales:
LÁMINAS DE DIBUJO
LÁPIZ 2H PARA LÍNEAS AUXILIARES Y HB PARA
LÍNEAS DE RESULTADO.
- GOMA
- COMPÁS
- REGLA
- ESCUADRA Y CARTABÓN
- TRANSPORTADOR
DE
ÁNGULOS
O
-
SEMICÍRCULO
a) Láminas de dibujo
Deben ser un poco rígidas y de superficie uniforme, permitir trazados a tinta y no dejar huella al
borrar. Para dibujo técnico también se pueden utilizar el papel vegetal o el milimetrado,
dependiendo de la finalidad del dibujo.
b) Lápices
Los lápices que se usan para dibujo técnico deben ser de mina dura, para líneas auxiliares,
porque manchan menos y de mina media para resultados. Debes evitar apretar, especialmente
cuando estés haciendo líneas auxiliares. Además debes tener el lápiz siempre muy bien afilado. No
olvides que el dibujo técnico debe ser siempre muy limpio.
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También puedes utilizar portaminas, para evitar tener que estar afilando continuamente.
A veces se entintan (pasar el resultado a rotulador) los resultados de dibujo técnico, pero
nosotros no lo vamos a hacer. Para ello se necesita un rotring o rotulador calibrado. Los hay de
distintos grosores. La goma debe ser blanda y borrar sin dejar huella.
c) Compás
El compás se utiliza para trazar arcos y circunferencias. La aguja del compás debe ser
ligeramente más larga que la mina. (menos de un milímetro). La mina debe estar siempre bien
afilada, bien con un afilador específico de compases, bien con un raspador para compases. Un papel
de lija de grano muy fino puede servir.
Cuando se va a dibujar, se sujeta el mango del compás con los dedos pulgar e índice y se le hace
girar suavemente, siempre en la misma dirección, inclinándolo un poco en la dirección de giro.
d) La regla graduada
Se debe usar únicamente para tomar y transportar medidas, para los trazados se deben utilizar la
escuadra y el cartabón.
e) La escuadra y el cartabón
El juego de escuadras está compuesto por dos piezas:
La escuadra y el cartabón.
Recordemos que la suma de los tres ángulos de un
triángulo siempre será 180º.
La escuadra tiene forma de triángulo rectángulo isósceles, por lo que los catetos tienen ángulos
de 45º con la hipotenusa. A su vez entre ellos forman 90º.
El cartabón tiene forma de triángulo rectángulo escaleno. El cateto menor es igual a la mitad de
la hipotenusa. Los dos catetos forman entre sí un ángulo de 90º, la hipotenusa tiene con uno de los
catetos 60º y con el otro 30º.
¿Cómo se utilizan la escuadra y el cartabón?
La escuadra y el cartabón deben manejarse con suavidad, sin demasiada presión. A su vez debe
ser suficiente presión, para asegurarse de que no hace movimientos indeseados.
f) El transportador de ángulos
El transportador se emplea para transportar y medir ángulos. Está dividido en grados
sexagesimales y es conocido también como semicírculo.
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¿Cómo se miden ángulos con el
transportador de ángulos?
Para empezar debe hacerse coincidir
la recta 0º-180º con la recta a la que se
quiera trazar el ángulo, poniendo el
centro de esa recta (que está marcado)
en el que queramos que sea el vértice
de nuestro ángulo. Después se hace una
marca en el borde graduado, justo con
la graduación que se desea. Se retira el transportador y uniendo la marca con nuestro vértice,
conseguimos el ángulo deseado.
2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS
Los elementos geométricos fundamentales del dibujo técnico son el punto, la línea y el plano.
2.1. El punto
Es el elemento gráfico más pequeño y es
representado mediante la intersección de dos líneas
o por medio de un pequeño círculo, nosotros vamos
a representarlo con una pequeña cruz y a nombrarlo con una letra de imprenta mayúscula.
2.2. La línea geométrica
Es la que necesita para su trazado la aplicación de un útil de precisión, es decir, una regla o un
compás. Se define como la huella que deja sobre el papel el desplazamiento de un punto y se
designa por una letra minúscula.
En el cuadro inferior se describen los distintos tipos de líneas.
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Posiciones de las rectas entre sí.
Dos rectas se cortan cuando tienen un punto común. Estas son las posiciones en las que pueden
estar dos rectas pertenecientes a un mismo plano:
Rectas paralelas: nunca llegarán a cortarse entre
sí, no importa cuanto se prolonguen.
Rectas oblicuas: son aquellas que, cuando se
cortan no forman 90º.
Rectas perpendiculares: se cortan formando un
ángulo de 90º.
Rectas que se cruzan: son aquellas que no tienen ningún punto en común y no son paralelas.
Esto sucede cuando las rectas están situadas en dos planos diferentes.
2.3. El plano
Se define como la superficie originada por dos rectas que se cortan o por tres puntos no
alineados y se representa por letras griegas.
3. USO DE ESCUADRA Y CARTABÓN
3.1. Trazado de rectas paralelas
Para hacer rectas paralelas con la escuadra y el cartabón deberás colocarlos en la posición que
ves a continuación. Si eres zurdo pondrás el cartabón a la derecha de la escuadra.
DIESTROS
ZURDOS
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3.2. Trazado de rectas perpendiculares
Es muy sencillo, sólo tendrás que colocar las plantillas como si fueras a hacer paralelas ¿lo
tienes? Y ahora girar la escuadra en el sentido de las agujas del reloj......si eres zurdo en el sentido
contrario
DIESTROS
ZURDOS
En el siguiente recuadro practica rectas paralelas y perpendiculares a la siguiente recta.
Repite ahora el ejercicio pero procurando llegar a los bordes de los rectángulos sin salirte de
ellos.
PARALELAS
PARALELAS Y PERPENDICULARES
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4. OPERACIONES CON SEGMENTOS:
4.1. Transporte de medidas
4.2. Suma y resta de segmentos
4.3. Dividir un segmento en dos partes iguales: Hallar la mediatriz del segmento
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4.4. Dividir un segmento en cualquier número de partes
5. ÁNGULOS
Se denomina ángulo a la región de plano comprendida entre dos rectas que se cortan en un punto
llamado vértice.
Los ángulos se miden en grados. Según su medida se clasifican en:
Relaciones entre ángulos.
Según su medida, los ángulos pueden ser entre sí:
¿Cómo puedes hallar ángulos con escuadra y cartabón?
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Conociendo los ángulos del juego de escuadras, los puedes combinar sumando o restando
ángulos. Puedes conseguir muchas combinaciones distintas. Aquí hay sólo una pequeña muestra de
esto.
Operaciones con ángulos:
5.1. Transporte de ángulos
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5.2. Suma y diferencia de ángulos
5.3. Bisectriz de un ángulo
5.4. Ahora te toca a ti
Dibuja un segmento AB de 5 cm en la esquina superior del recuadro. Paralelo a él y por debajo
dibuja un segmento CD de 3 cm de lado. De la misma manera dibuja otro segmento EF de 4 cm de
lado. En el centro del recuadro suma el segmento CD a AB.
Ahora resta el segmento EF a AD. ¿Qué medida tiene el segmento resultante?
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Traza la mediatriz de los siguientes segmentos
A
B
C
E
D
F
Traza la bisectriz de los siguientes ángulos
A
A
O
B
O
B
Construye con ayuda del transportador los ángulos que se indican en cada recuadro y traza
sus bisectrices.
45º
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175º
115º
Transporta el ángulo mayor del ejercicio anterior a este recuadro y réstale el ángulo
menor.
6. LA CIRCUNFERENCIA
Es una línea curva y cerrada cuyos puntos
equidistan de otro punto fijo llamado centro.
6.1. Elementos de la circunferencia:
Arco. Porción de curva comprendida entre dos de
sus puntos.
Radio. Segmento que va desde el centro a
cualquier punto de la circunferencia.
Diámetro. Segmento que va desde dos puntos de
la circunferencia, pasando por el centro de la misma.
El diámetro divide en dos partes a la circunferencia.
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Cuerda. Segmento que une dos puntos de la circunferencia. El diámetro es la cuerda mayor.
Semicircunferencia. Arco comprendido por media circunferencia.
Círculo. Porción de plano limitado por la
circunferencia.
Semicírculo. Porción de plano obtenida al
dividir el círculo por un diámetro.
Sector circular. Porción de plano obtenida por
dos radios.
6.2. OPERACIONES CON CIRCUNFERENCIAS:
6.2.1. División de la circunferencia en partes iguales:
a) División en 3 partes iguales:
1. Trazas un diámetro cualquiera AP a la circunferencia.
2. Tomando como centro el punto P, con un radio igual al de la circunferencia, se traza un arco
que cortará a la circunferencia en los puntos B y C.
3. Los puntos A, B y C están a la misma distancia y pertenecen a la circunferencia, por lo tanto ya
está dividida. Si además unimos los puntos con el centro de la circunferencia, habremos
dividido también el círculo.
4. Si unimos los tres puntos, habremos hecho un triángulo equilátero inscrito en la circunferencia.
Ejemplo:
Ahora dibuja tú:
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b) División en 6 partes iguales:
Este ejercicio consiste en realizar el ejercicio anterior, pero desde los dos puntos del diámetro.
1. Se traza un diámetro cualquiera, AD, de la circunferencia.
2. Con centro en A y radio AO, se describe un arco que corte la circunferencia en los puntos B y F.
3. Después se hace lo mismo desde el punto D, hallando C y E.
4. Ya tenemos la circunferencia dividida en 6 partes iguales. Esta es también la base para hacer el
hexágono regular. Sólo nos quedaría unir los seis puntos consecutivamente.
Ejemplo:
Ahora dibuja tú:
c) División en 4 partes iguales.
1.
Se trazan los diámetros perpendiculares entre sí que, al cortar a la circunferencia,
determinan los cuatro puntos: A, B, C y D.
2.
Uniendo además los cuatro puntos consecutivamente hallamos el cuadrado.
Ejemplo:
Ahora dibuja tú:
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d) División en 8 partes iguales:
1. Igual que en el procedimiento anterior, se trazan los diámetros perpendiculares entre sí que,
al cortar a la circunferencia, determinan los cuatro puntos: A, C, E y G.
2. Ahora trazas un diámetro a 45º de cualquiera de los anteriores. Puedes hacerlo con el
transportador de ángulos, hallando la bisectriz a cualquiera de los ángulos rectos anteriores
(ya que la bisectriz de 90º es 45º) o midiendo los 45º con la escuadra, que es el recurso más
sencillo.
3. Traza el diámetro perpendicular al último que has trazado. Ya tienes los cuatro puntos que te
faltaban: B, D, F y H.
4. Uniendo además los ocho puntos consecutivamente hallamos el octógono.
Ahora dibuja tú:
Ejemplo:
7. TEOREMA DE TALES
Si cortamos dos rectas concurrentes r y s por un haz de rectas
paralelas, los segmentos resultantes sobre la recta r son
proporcionales a los determinados sobre la recta s.
Aplicando el teorema de Tales podemos dividir un segmento en
partes iguales, como ya
hicimos antes, o proporcionales.
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7.1. Concepto de escala
La representación de objetos a su tamaño natural no es posible cuando éstos son muy grandes o
cuando son muy pequeños. En el primer caso, porque requerirían formatos de dimensiones poco
manejables y en el segundo, porque faltaría claridad en la definición de los mismos.
Esta problemática la resuelve la ESCALA, aplicando la ampliación o reducción necesarias en
cada caso para que los objetos queden claramente representados en el plano del dibujo.
Se define la ESCALA como la relación entre la dimensión dibujada respecto de su
dimensión real, esto es: E = dibujo / realidad.
Si el numerador de esta fracción es mayor que el denominador, se trata de una escala de
ampliación, y será de reducción en caso contrario. La escala 1:1 corresponde a un objeto dibujado a
su tamaño real (escala natural).
Basado en el Teorema de Thales se utiliza un sencillo método gráfico para aplicar una escala.
Véase, por ejemplo, el caso para E 3:5
1º) Con origen en un punto O arbitrario se trazan dos rectas
r y s formando un ángulo cualquiera.
2º) Sobre la recta r se sitúa el denominador de la escala (5
en este caso) y sobre la recta s el numerador (3 en este caso).
Los extremos de dichos segmentos son A y B.
3º) Cualquier dimensión real situada sobre r será convertida
en la del dibujo mediante una simple paralela a AB.
Parte 2: Contenidos de 3º ESO
8. FORMAS POLIGONALES
Un polígono es una figura geométrica conformada por segmentos consecutivos no alineados,
llamados lados.
8.1. Clasificación de polígonos
Un polígono, por la forma de su contorno, se denomina:

simple, si dos de sus aristas no consecutivas no se intersecan (cortan),

complejo, si dos de sus aristas no consecutivas se intersecan;

convexo, si al atravesarlo una recta lo corta en un máximo de dos puntos,
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
cóncavo, si al atravesarlo una recta puede cortarlo en más de dos puntos;

regular, si tiene sus ángulos y sus lados iguales,

irregular, si tiene sus ángulos y lados desiguales;

equilátero, el que tiene todos sus lados iguales,

equiángulo, el que tiene todos sus ángulos iguales.
Un polígono, por la forma de sus lados, se denomina:

rectilíneo, si todos sus lados son segmentos rectos,

curvilíneo, si al menos uno de sus lados es un segmento curvo.
Los tipos de polígonos más conocidos son los polígonos regulares, que son planos, simples,
convexos, equiláteros, equiángulos y con lados rectilíneos. Los polígonos se clasifican por el
número de sus lados.
8.2. Polígonos irregulares:
Los p ol í gon os i rre gu l ar es
no tienen todos sus l ad os i gual es .
Sus vért i ces no están i nscri t os en
una ci rc unfe renci a . Atendiendo
al número de lados los po l í gonos i rre gul ares se clasifican en: Triángulos Cuadriláteros
Pentágonos...
Cu ad ri l áteros
Dentro de los cuadriláteros podemos diferenciar:
-
Cuadrado: Es el único regular de los cuadriláteros. Tiene todos los lados y los
ángulos iguales.
-
Rectángulo:
Tiene
los lados iguales dos a
dos
y
todos
los
ángulos iguales.
-
Rombo: Sus cuatro
lados son iguales en
longitud
y
son
paralelos dos a dos.
Sus diagonales son perpendiculares.
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-
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Romboide: Sus lados son iguales dos a dos. Sus ángulos son iguales y paralelos dos
a dos. Las diagonales no son perpendiculares.
-
Trapecio: Tiene dos lados paralelos y otros dos no paralelos.
Trapezoide: Ni sus lados ni sus ángulos son iguales. No tiene lados paralelos.
8.2.1. Construcción de triángulos
Para la construcción triángulos se tiene que dar uno de estos casos:
a) Que conozcamos sus tres lados.
Se toma uno de los segmentos como base. Con
centro en uno de los extremos de este segmento, se
traza un arco de radio la longitud de uno de los lados
restantes. Con centro en el otro extremo de la base se
traza un arco de radio la longitud del tercer lado. La
intersección de los dos arcos es el tercer vértice del
triángulo.
� Observa que para que se pueda construir el triángulo la suma de las longitudes de b y de c
debe ser mayor que la longitud de a.
b) Que conozcamos dos lados y el ángulo comprendido.
Se toma uno de los segmentos como base. A partir de este
lado y con vértice en uno de sus extremos, se mide un ángulo
igual al conocido. Se traza una recta que sea el otro lado del
ángulo medido. Sobre esta recta, a partir del vértice del ángulo,
se traza el segundo lado conocido. Finalmente se unen con un
segmento los dos vértices que faltan para determinar el
triángulo.
• Que conozcamos dos ángulos y el lado común a ambos.
Se toma el segmento conocido como base. Tomando este
segmento como lado, a partir de uno de sus extremos se mide un
ángulo igual a uno de los conocidos. Se traza una recta que forme
con el segmento ese ángulo. A partir del otro extremo, se mide un
ángulo igual al otro que se conoce. Se traza una recta que forme
con el segmento ese ángulo. El punto de intersección de las dos
rectas trazadas es el tercer vértice del triángulo.
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8.3. Polígonos regulares
Como ya habíamos dicho, los polígonos regulares son aquellos que tienen todos los lados y
ángulos iguales. Además se pueden inscribir o circunscribir a una circunferencia, perteneciendo
todos los vértices o siendo todos los lados tangentes a esa circunferencia.
Veamos para empezar las rectas y puntos notables de los polígonos regulares.
• Lado: cada uno de los segmentos de la
línea poligonal cerrada.
• Vértice: cada uno de los puntos
comunes a dos lados consecutivos.
• Centro: punto que equidista de todos
los vértices.
• Apotema: segmento que une el centro
del polígono con el punto medio de cada
lado.
• Radio: segmento que une el centro del polígono con cada uno de los vértices.
• Diagonal: segmento cuyos extremos son dos vértices no consecutivos.
• Ángulo interior: cada uno de los ángulos formados por dos vértices no consecutivos.
• Ángulo central: el que tiene como vértice el centro del polígono, y sus lados pasan por dos
vértices consecutivos.
Si unimos todos los vértices del polígono, de forma consecutiva, dando una sola vuelta a la
circunferencia, el polígono obtenido se denomina convexo. Si la unión de los vértices se realiza, de
forma que el polígono cierra después de dar varias vueltas a la circunferencia, se denomina
estrellado. Se denomina falso estrellado a aquel que resulta de construir varios polígonos convexos
o estrellados iguales, girados un mismo ángulo, es el caso del falso estrellado del hexágono,
compuesto por dos triángulos girados entre sí 60º.
Para averiguar si un polígono tiene construcción de estrellados, y cómo unir los vértices,
buscaremos los números enteros, menores que la mitad del número de lados del polígono, y de ellos
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los que sean primos respeto a dicho número de lados. Por ejemplo: para el octógono (8 lados), los
números menores que la mitad de sus lados son el 3, el 2 y el 1, y de ellos, primos respecto a 8 solo
tendremos el 3, por lo tanto podremos afirmar que el octógono tiene un único estrellado, que se
obtendrá uniendo los vértices de 3 en 3 (ver figura).
8.3.1. Construcción de polígonos regulares
Hay muchos métodos de construcción de polígonos regulares, muchos de ellos se pueden
resolver intuitivamente. Para empezar vamos a recordar la división de circunferencia en lados
iguales de 1º E.S.O. Una vez se sabe dividir la circunferencia, sabremos construir el polígono
inscrito en ésta.
También sabemos ya cómo construir el triángulo equilátero dado el lado, puesto que sabemos
construir triángulos si nos dan los tres lados. Si agudizamos un poco el ingenio podemos construir
también el hexágono dado el lado, ya que es construir primero el triángulo y utilizar el tercer
vértice como centro de la circunferencia en la que inscribiremos el hexágono. El resto sabemos
hacerlo. Si quisiésemos construir el cuadrado dado el lado, tampoco nos costaría mucho, ya que
sabemos construir paralelas y perpendiculares y también conocemos el lado del cuadrado.
El resto de los polígonos tienen también un procedimiento específico, pero nosotros nos vamos a
aprender sólo un método general que nos sirva para todos los polígonos y así no nos volvemos
locos.
8.3.1.1.Método
general
de
construcción de polígonos dado el radio
de la circunferencia en la que está
inscrito.
Hay que ser muy cuidadoso y preciso
en la consecución de este método, dado
que este procedimiento lleva inherente una
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gran imprecisión. Comenzaremos con el trazado del diámetro A-B, que dividiremos, mediante el
Teorema de Tales en tantas partes iguales como lados tenga el polígono que deseamos trazar, en
nuestro caso 7.
Con centro en A y B trazaremos dos arcos de radio A-B, los cuales se interceptarán en el punto
C. Uniendo dicho punto con la segunda división del diámetro A-B, obtendremos sobre la
circunferencia, el punto E. El lado AE es el lado del polígono que estamos buscando, ahora
trazaremos arcos a lo largo de la circunferencia con el radio AE, hasta que lleguemos a A de nuevo.
Sólo restaría unir dichos puntos para obtener el polígono buscado.
8.3.1.2. Método general de construcción de polígonos regulares dado el lado del polígono.
Dado el segmento AB, haciendo
centro en A y B y con abertura AB dos
arcos que se cortan en el punto D.
Haciendo centro en O y con abertura
OA trazar una circunferencia. Trazar
una perpendicular por el punto medio
del
segmento
AB
que
corte
la
circunferencia, obteniendo el punto O.
Dividir el segmento OD en seis (6)
partes
iguales,
a
partir
de
D.
Nombraremos dichos puntos 6, 7, 8, 9,
10, 11 y 12.
Cuando
queremos
trazar
un
Heptágono hacemos centro en el 7 y
radio 7-A; si es un octógono se hace
centro en el 8 y radio 8-A; si es un eneágono se hace centro en el 9 y radio 9-A. Con ese radio
trazaremos una nueva circunferencia que será la que circunscribe al polígono que buscamos.
El ejemplo que dimos es un dodecágono. Haciendo centro en 12 y con abertura 12-A trazamos
una circunferencia sobre la cual vamos a copiar el segmento AB doce veces consecutivas.
9. TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS
Una transformación geométrica es una operación que determina una figura a partir de otra dada.
La transformación puede ser:
22
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Directa: En ese caso la figura y su transformada conservan el sentido de orientación en el
-
plano.
Inversa: La figura y su transformada invierten el sentido de orientación en el plano.
-
A su vez podemos clasificar las transformaciones según sus relaciones métricas:
Isométricas: todas las figuras mantienen su forma y tamaño. La distancia entre dos puntos
-
cualesquiera de la figura se mantiene constante.
Isomórficas: Las figuras conservan su forma y ángulos, siendo las dimensiones
-
proporcionales. Es decir, la figura nueva es mayor o menor que su modelo, pero de formas
proporcionales.
9.1. IGUALDAD
Dos figuras se denominan iguales cuando
todos sus ángulos, lados y vértices coinciden
al ser superpuestas. O lo que es lo mismo,
cuando todos sus elementos tienen idéntica
forma, disposición y magnitud.
Para construir una figura igual a otra
pueden seguirse varios métodos:

Por triangulación. La figura se
descompone en triángulos, los cuales pueden
trasladarse con ayuda de un compás sin
dificultad. Para eso necesitamos trazar el
primero de los lados por paralelas.
Intenta hacer este polígono igual por triangulación:
23
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
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Por transporte angular o rodeo.
Se transportan los ángulos y las longitudes de
los lados de forma consecutiva hasta cerrar la
figura.
Intenta hacer este polígono igual por
transporte angular.

Por traslación. La traslación es una
transformación geométrica plana consistente
en desplazar cada punto de una figura según
una dirección, sentido y distancia fija dados.
(paralelas de la misma longitud). Estos tres
datos conforman el denominado vector de la
traslación.
Intenta hacer este polígono igual por translación:

P
24
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or cuadriculación. Consiste en colocar una cuadrícula sobre el original y trazar la figura
igual en una cuadrícula blanca similar.
9.2. ROTACIÓN
Una rotación o giro de centro O y ángulo alfa es una
transformación geométrica que consiste en hacer girar
cada punto de la figura plana un mismo ángulo alfa
alrededor del centro O. Se considera un giro de ángulo
positivo al que se realiza en el sentido contrario al de
las agujas del reloj, y negativo al que se realiza en el
sentido de las agujas del reloj. El centro O no cambia
de posición y puede ser externo o perteneciente a la figura. Pasos para realizar la rotación:
1. Se une el punto O con el punto A rotar y se prolonga la línea de unión más allá del punto A,
para asegurarnos que el ángulo que vayamos a medir sea el correcto.
2. Con el punto O como vértice, se mide el ángulo indicado y se dibuja la línea del ángulo.
3. Pinchando en O con el compás, llevamos la medida OA a la línea que hicimos en el punto 2.
4. Repetimos el proceso con los demás puntos.
Realiza tú el paso 4
25
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6.1. 9.3. SIMETRÍA
Dos figuras pueden ser simétricas con
respecto a un punto (simetría central) o con
respecto a una recta (simetría axial).
9.3.1. Simetría central:
En una simetría central, se cumple que la
distancia de los puntos simétricos al centro de la
simetría es la misma, y ambos están alineados
con este centro. Pasos para realizar la simetría
central: 1. Trazamos una recta desde el punto O al punto A y prolongamos a partir de O.
2. Con el compás pasamos la medida OA a la prolongación a partir de O y encontramos así A’.
3. Repetimos los dos pasos con B y con C y unimos todos los puntos resultantes.
26
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Termina tú el paso 3
9.3.2. Simetría axial:
En la simetría axial, las
distancias de los puntos simétricos al eje de
simetría es la misma, y ambos se encuentran
en una misma perpendicular a dicho eje. Pasos
a seguir:
1. A partir de cada uno de los puntos se
trazan rectas perpendiculares al eje de
simetría, de modo que se prolonguen a partir
del eje igual en las dos direcciones.
2. Con el compás pasar la medida AO en la
prolongación a partir de O.
3. Repetir esta operación con los puntos siguientes.
Termina tú el paso 3
27
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6.2. 9.4. SEMEJANZA
Dos figuras guardan relación de semejanza
cuando tienen sus ángulos iguales y cuando
sus lados son paralelos y de magnitudes
proporcionales.
10.
Ejemplos
de
polígonos
y
de
transformaciones en el plano en la naturaleza, el arte y el diseño
28
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Apuntes de E.P.V. 4 E.S.O.
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(Parte 3 Contenidos de 4 E.S.O.)
11. LAS FORMAS CURVAS
11.1. TANGENCIAS
Recta o curva tangente a otra, es aquella que la
toca sin cortarla. Dos elementos geométricos se
dicen tangentes entre si cuando se tocan en un sólo
punto; se demuestra que están en tangencia cuando
los elementos comparten una recta perpendicular a
ambos. Para trazar líneas tangentes (rectas o
curvas), primeramente será necesario determinar
cuales son los puntos de tangencia.
11.1.1. Recta que pase por un punto P dado tangente a una circunferencia
Se trata de construir una recta, que pasando por el punto P (exterior a la circunferencia) sea
tangente a una circunferencia dada. Existen
dos soluciones.
1.
Se unen los puntos P y Oc y se halla
el punto medio de este segmento. Se
obtiene OT.
2.
Haciendo centro en OT, se traza
una circunferencia que pase por P y por
Oc, cortando a la circunferencia original
en T1 y T2 (puntos de tangencia).
3.
Se trazan dos rectas que pasen por
30
Apuntes de E.P.V. 4 E.S.O.
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P y por T1 y T2. Son las rectas tangentes a la circunferencia dada.
11.1.2. Tangentes exteriores a dos circunferencias
1.
Se unen los puntos O1 y O2 y se halla el punto medio de este segmento. Se obtiene O3.
2.
Haciendo centro en O3, se traza una circunferencia que pase por los centros O1 y O2.
3.
Desde O2 (circunferencia mayor) y con el radio R2-R1, se traza una circunferencia. Se
obtienen los puntos 1 y 2.
4.
Desde O2 se trazan rectas que pasen por 1 y 2. Se obtienen T1 y T2.
5.
Desde O1, trazar paralelas a las anteriores y se obtienen T3 y T4.
6.
Unir T3-T1 y T4-T2.
11.1.3. Tangentes interiores a dos circunferencias.
1. Se unen los puntos O1 y O2 y se halla el punto medio de este segmento. Se obtiene
O3.
2. Trazar una circunferencia (de
centro en O3) pasando por O1 y O2.
3. Desde O2 y con el radio R2+R1, se
traza una circunferencia. Se obtienen los
puntos 1 y 2.
4. Desde O2 se trazan rectas que
pasen por 1 y 2. Se obtienen T1 y T2.
5. Desde O1, trazar (en sentido
contrario) paralelas a las anteriores y se obtienen T3 y T4.
6. Unir T3-T1 y T4-T2.
11.1.4. Dados los radios de tres circunferencias, dibujarlas de modo que sean tangentes entre
sí
31
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11.2. ENLACES
Enlaces
El
concepto
de
tangencia
es
de
suma
importancia para la resolución de enlaces, ya que,
para la construcción de un enlace, será necesario
contar con los puntos de tangencia. Enlace es la
unión armónica de dos líneas, ya sean curvas o
rectas, de modo que parezcan una línea continua.
Tipos de enlace:

Entre dos rectas

Entre dos curvas

Entre recta y curva
Para trazar enlaces de cualquier tipo, se ha de seguir siempre las mismas operaciones.
OPERACIONES GENERALES:
32
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1.
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Hallar el centro de enlace. Es la primera operación para hallar el punto desde donde se va a
realizar el enlace.
2.
Se hallan los puntos de tangencia. Los puntos de tangencia son los datos necesarios para
saber donde empieza y donde acaba el enlace.
3.
Se traza el arco del enlace. Se traza el arco repasando todo el enlace y se remarcan las
líneas enlazadas
11.2.1. Enlazar dos rectas mediante un arco conocido
1.
Para hallar el centro de enlace:
-
Se trazan dos rectas perpendiculares a r y
-
Sobre las perpendiculares se lleva el radio
s.
AB.
-
A partir de estos puntos, se trazan
paralelas a r y s, se cortan en Oe, centro del arco de
enlace.
2.
Se hallan los puntos de tangencia.
-
Desde Oe se traza una perpendicular a r, se obtiene T1.
-
Desde Oe se traza una perpendicular a s, se obtiene T2.
3.
Se traza el arco del enlace y se remarcan las líneas enlazadas.
-
Con el radio AB y haciendo centro en Oe, se traza un arco desde T1 hasta T2.
-
Se remarcan las líneas y el enlace.
11.2.2. Enlazar dos rectas paralelas mediante un arco de circunferencia
1. Para hallar el centro de
enlace:
-
Por un punto
cualquiera, se traza una
perpendicular a r y s.
-
Se halla el punto
medio Oe (centro del arco de
enlace) utilizando la mediatriz.
2. Se hallan los puntos de tangencia.
33
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Desde Oe se traza (ya está trazada) una perpendicular a r y a s y se obtiene T1
y T2.
3. Se traza el arco del enlace y se remarcan las líneas enlazadas.
-
Con el radio OeT1 y haciendo centro en Oe, se traza un arco desde T1 hasta
T2.
Se remarcan las líneas y el enlace.
-
11.2.3. Enlazar una curva y una recta mediante un arco de radio conocido Re.
1. 1. Para hallar el centro de
enlace:
1. - Desde Oc se traza
un arco con la suma de los
dos radios Rc (radio de
circunferencia) y Re (radio
de enlace).Por un punto
cualquiera de s se traza una
perpendicular y se lleva Re.
Por este punto, trazar
paralela a s. Se obtiene Oe.
2. 2. Se hallan los puntos de tangencia.
Desde Oe (centro del enlace) se traza una perpendicular a r y una recta hasta Oc. Se obtienen los
puntos T1 y T2. Se traza el arco del enlace y se remarcan las líneas enlazadas. Con el radio Re y
haciendo centro en Oe, se traza un arco desde T2 hasta T1. Se remarcan las líneas y el enlace.
11.2.4. Enlazar dos curvas mediante un arco de radio conocido Re.
1.
-
Para hallar el centro de enlace:
Desde O1c se traza un arco
con el radio R1c + Re.
-
Desde O2c se traza un arco
con el radio R2c – Re.
-
Estos dos arcos se cortan en
Oe (centro de enlace).
2.
Se hallan los puntos de tangencia.
34
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-
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Mediante dos rectas, se unen los centros O1c y O2c con el centro de enlace Oe. Se
obtienen los puntos T1 y T2.
3.
Se traza el arco del enlace y se remarcan las líneas enlazadas.
-
Con el radio Re y haciendo centro en Oe, se traza un arco desde T1 hasta T2.
-
Se remarcan las líneas y el enlace.
12. CURVAS GEOMÉTRICAS
Las curvas geométricas son
aquellas que se pueden construir
por medio de arcos, trazados con el
compás, y por medio de puntos.
Se clasifican en:
- Curvas técnicas (Óvalo,
Ovoide, Espiral)
- Curvas cónicas
(Circunferencia, Elipse, Parábola,
Hipérbola).
12.1 Construcción del óvalo conocido el eje mayor.
El óvalo es la curva cerrada, plana y convexa formada por cuatro arcos de circunferencia, iguales
dos a dos, y que tiene dos ejes de simetría, llamados mayor y menor respectivamente
3
A
E
O1
4
B
O2
D
1
1.
F
2
Se traza el eje y se divide en tres partes iguales.
35
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2.
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Los puntos de la división anterior son los centros de dos circunferencias de radio O1A y
O2B respectivamente.
3.
Esas circunferencias se cortan en dos puntos E y F.
4.
Unimos E y F con O1 y O2 y prolongamos, hasta que nos corte las circunferencias en los
puntos 1,2,3 y 4, que serán los puntos de enlace de los dos arcos.
5.
Con centro en E, hacemos un arco de radio E1, desde 1 a 2. Hacemos lo mismo con centro
en F, con radio F3 y desde 3 a 4.
6.
Ya sólo nos queda marcar el resultado (el óvalo completo).
12.2. Construcción del ovoide conociendo
su eje menor
1.
Se dibuja el eje menor
AB. Se traza el punto medio
del segmento AB, hallando la
mediatriz y se prolonga la
recta.
2.
Haciendo centro en M
(punto medio) y con abertura
AM
se
traza
una
circunferencia que corta a al eje mayor en los puntos C y F.
3.
Se unen los puntos AF y BF, se prolongan ambas rectas.
4.
Haciendo centro en A y B, con abertura AB trazar dos arcos hasta cortar las
rectas AF y BF, consiguiendo los puntos G y E.
5.
Haciendo centro en F y con abertura FG trazar un arco GE, quedando
definido el ovoide.
12.3. Método para construir una espiral de dos
centros
1. Dados los centros A y B, unirlos
con una recta que se prolonga de lado y
lado.
Se traza el punto medio del segmento
AB (hallando la mediatriz).
36
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2. Con centro en M y abertura MA trazar el arco AB.
3. Con centro en A y abertura AB trazar el arco BC.
Con centro en B y abertura BC trazar el arco CD. Se continúa la espiral alternando el centro A y
B, tomando como radio del centro al extremo libre del arco.
Bibliografía:
Educación Plástica y Visual, Proyecto Graphos A, B, C, Mc Graw Hill, 2007
Recursos en la Red:
http://www.escolar.com/avanzado/geometria001.htm
http://www.scribd.com/doc/10939129/1-Eva1-ESOdocEl-Dibujo-tecnico-y-Las-FormasPlanasT4
http://www.colegiosanjosesscc.org/ArchivosColegiosSanJose/SanJose/Archivos/documentos%2
0p%C3%A1gina/trazados%20b%C3%A1sicos.pdf
http://www.educacionplastica.net/trazbas.htm
http://www.editecnicas.net/eso/epv/temas/tema8.pdf
http://villamudarra.com/webIES/15.pdf
http://contenidos.cnice.mec.es/plastica/typo3temp/pics/d2d47e013a.gif
http://imageneso.blogspot.com/2009/07/division-de-la-circunferencia-1-de-eso.html
http://iessanblas.edu.gva.es/Departamentos/Dibujo%20Tecnico/DT-III/A009%20transformaciones-movimien.pdf
http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/movi.htm
http://dibujoindustrial.es/_Archivos/01_GPB/13_igualdad_semejanza_y_equivalencia.html
http://www.dibujotecnico.com/saladeestudios/teoria/normalizacion/Escalas/Escalas.asp
http://descartes.isftic.mepsyd.es/edad/1esomatematicas/impresos1/1quincena9.pdf
http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/recursos_2005/fotografia/AY
UDA9.HTM
http://dibujoclasevirtual2009.blogspot.com/2009/06/curvas-geometricas-clase-del-martes-16.html
Actividades:
1.
Realiza los ejercicios que te vaya entregando la profesora intentando terminarlos de manera
limpia y con precisión.
37
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Prof: Sara Blanco de Armas
2. Realiza una composición creativa basándote en lo que has aprendido sobre la división de
circunferencias en partes iguales. Tendrás para ello dos clases.
3. Aplicación de la geometría. Basándote en todo lo que has aprendido hasta ahora (en esta
unidad: tangencias, enlaces, polígonos regulares, división de circunferencias, óvalos, ovoides,...) y
en las anteriores (lenguaje visual, significado de las formas, color y sus significados, textura,...)
realiza una composición intentando aplicar esos conocimientos, pero que no parezca un popurrí.
38