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PLAN DE RECUPERACIÓN DE MATERIA PENDIENTE EN LA EVALUACIÓN ORDINARIA DE JUNIO.
INSTRUCCIONES PAR A LA Rr A UZACIÓN DE PRUEBA EXTRAORDINARIA.
MÓDULO TÉCNICO
SE ADJUNTA CUADERNILLO DE APUNTES Y ORIENTACIONES DE LAMINAS.
COMO COMPLEMENTO DE ESTOS APU TES, SE SUGIERE EL APOYO, UTILIZADO DURANTE EL
CURSO DE LA PAGINA WEB: www.educacionplatica.ne t
Instrucciones:
Las láminas deben realizarse en el bloc ele dibujo con margen,siguiendo estas instrucciones:
•
12 El enunciado
rotul adores)
•
22 Los datos iniciales que se dibuja n, a partir de los cuales se resuelve l os problemas,
deben estar en bolígrafo azul.
•
3º el trazado a uxiliar, es deci1, el procedimiento grafico realizado con el compas,
escuadra y cartabón, debe deja rse a lápiz.
•
4º el resultado fina l, es decir lo que se pide en el enunciado, debe repasarse con el
y la división de la lamina debe realiza r con bolígrafo negro. (no
bolígrafo rojo.
Se debe realizar un resumen de los siguientes temas del cuadernillo de trabajo, acompañado
de construcciones debidamente realiz<1das con los instrumentos de dibujo (compas, reglas,
etc.):
Tema 1Dibujo técnico: trazados básicos.
Realiza r las láminas nº 1, nº 2, nº 3 y nº 4, según viene explicadas en las páginas S y
6. (Se adjunta el procedimiento de construcción que se debe seguir,dejando indicado
los
pasos seguidos a lápiz. Sol o se repasa con bolígrafo rojo el resulta do que se pide en el
enunciado.
Realizar en car tulina de dos coiNes, la estrella de 6 puntas, según viene indicado en la
pagina 7.
Realizar el ejercicio de la pagina 8. Dibujando 6 cua drados de S*S cm. Deben ser rectas
paralelas según los ángulos descritos. (Se debe realizar con escuadra y cartabón,
repasando las líneas con bolígrar o rojo)
Las laminas
La lamina
nº S y nº 6, de la páina 9, debidamente cumplimentada.
nº
7, de la pagina 10, debe realizarse en dos hojas de bloc, a partir de un
cuadrado de 10 *10 cm, y subdividiéndolo 20 veces, es decir cada O.S cm.
Tema 2 Polígonos regulares.
Resumir l as consideraciones ini cia l es, y cada uno de los métodos de construcción
exactos gráficamente e indicando los procedimientos paso por paso.
Después se debe realiza r las láminas:
N28: triangulo equilátero,hexá gono y cuadrado, octógono.
Nº 9: Pentágono, Decágono,y el undecágono (lllados) por el procedimiento general.
PLAN DE RECUPERACIÓN DE MA TERIA P E NDIENTE EN LA EVALUACIÓN ORDINARIA DE JUNIO.
INSTRUCCIONES PARA LA R E A LIZACIÓN DE PRUEBA EXTRAORDINARIA.
MODULO DE ARTÍSTICO:
PAGINA DE REFERENCIA: www.eduacionplastica.net
Tema el color:
Resumen de los siguientes apartados del la pagina web:
¿Qué es una síntesis aditiva?
¿Qué es una síntesis sustractiva ?
Laminanº 10: circulo cromá tico. De 12 colores.
Lamina nº 11: hacer cuatro compos1c1ones en una misma
la mina, cada una con un color del círculo cromático y su
correspondiente complementario
LAMINA Nº 12: DIBUJO CON lÍNEAS. o;bujo líneas, realiza un paisaje en
cuál colorea mos empleando diferentes tipos de líneas y direcciones, así
como colores, y grosores.
Recuerda que cuanto más lejos, las líneas son más finas y están menos
separadas.
PLAN DE RECUPERACIÓN DE MA TERIA P E NDIENTE EN LA EVALUACIÓN ORDINARIA DE JUNIO.
INSTRUCCIONES PARA LA R E A LIZACIÓN DE PRUEBA EXTRAORDINARIA.
TR /,MAS: Las tramas pueden ser simples, o pueden
con1binarse para dar tramas complejas. Según queramos
conseguir un tono de gris más claro o más oscuro. Ver
ejemplo
Lamina n!! 13: Reinterpreta un dibujo con diversos tonos de grises,sustituyendo cada tono por
una trama de líneas correspondiente.
1. DIBUJO TÉCNICO: TRAZADOS GEOMÉTRICOS.
t,,.) rC
t
1' '
El portaminas normalizado es un instrumento
muy útilpara trazar lineas con un grosor definido:
0'3,0'5, 07, etc. generalmente tinas.
Lopiz lrodicionol
1.1.
ÚTILES Y MATERIALES DE DIBUJO TÉCNICO:
f'Ofromino!>
A) FORMATOS NORMALIZADOS DE PAPEL:
En el dibu jo técnico el tamaño del papel está establecido por una norma internacional. A partir de un
rectángulo de papel de 1m' de superficie (llamado formato AO), se obt1enen el resto de tamaños, dividiendo
el papelpor la mitad. Así pues.un A4 es la mitad de un A3, por ejemplo.
FORMATOS
A1
Lo:licero de: borro
C) LA ESCUADRA Y EL CARTABÓN: Son dos instrumentos de dibujo con forma de triángulo rectángulo.
AO
A1
A2
A3
841x1189
A5
A6
594
X
841
420
X
594
297
X
420
148
X
210
105
X
148
AJ
- ···--_J
•
Eltap1cero de barra es un portaminas que se
utiliza de forma parecida al lápiz tradicional, ya
que tiene minas del m1smo grosor: 2 mm.
. LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS: Tienen un ángulo recto y dos agudos. Los lados que f orman 90' se llaman
"catetos" (cateto signilica perpendicular) y el lado res tante (lado mayor) se llama "hipotenusa". lahipotenusa es, por tanto,
ellado opuesto alángulo de 90°.
e
a
t
e
t
0
'-- -a..t,.-<::t-o--"'
B) LÁPIZ DE GRAFITO: Está formado por una "mina" o barra de mineralde grafito mezclado con arcilla,que va
protegida por una cubierta de madera.Dependiendo del porcentaje de grafito o arcilla, tendremos una mina
"blanda" (grasa,de trazo oscuro) o "dura" (seca, de trazo gris).
ESCUADRA: Triángulo rectángulo
uno desigual.
CARTABÓN: Triángulo rectángulo
ESCALENO, que tiene los tres lados
desiguales.
Como los ángulos agudos son
iguales, su medida es de 452, de
modo que:
En es te caso, los ángulos agudos
son respectivamente de 302 y 602,
de modo que:
_
ISÓSCELES,con dos lados iguae
lsy
El lápiz de grafito va numerado para indicar su grado de dureza. La numerac1ón escolar amencana,de origen
francés, es senclila pero limitada (O, 1, 2, 2'5, 3. 4). La europea,de origen inglés (que es la que nos interesa),
tiene 20 números que van delgris claro al negro. Se utiliza la letra" H" ("hard". duro en inglés) para señalar
los lápices duros y la " B" ("black", negro en inglés) para lápices blandos. Hay tambiénun lápiz marc ado como
"F" ("firm",firme,fuerte).
----:
DUROS
r.lEJIOS
......
3LAfDOS
Además de estas dos numeraciones, algunos lápices llevan en su extremo un códg
i o de color para
reconocerlo con facilidad (rojo, azul, negro,verde,etc.).
Los ángulos interior es de
un triángulo suman 180'
_:5'+ 45' + 9ü' =
--,
30' +60'+ 90'=
j
·TRAZADO DE PARALELAS: Ulilizamos las hipotenusas de la escuadra y delcartabón (señaladas en rojo) como se indica en
los dtbu¡os.para aprovechar sumayor long1tud.
1. Vamos a trazar rectas 2. Después acercamos la 3. Trazamos las paralelas a la 4.El cartabón puede ser
paralelas a la recta "mH. h1polenusa del cartabón para
Acercamos la hipotenusa de apoyarla en la escuadra.
la escuadra haaa la recta.
m
m
-x;.'?
'
¡!
\\', '
recia m desplazando la escuadra sustituido por una regla:
sobre el cartabón.
¡··
).· ..
' ·"r.,·-'·77:;.
_;¡
m
'
.1 :
.
,/
't
,
.
• •;;r
'
.
't
'-··"
'
'
Observa: Cuando desplazamos la escuadra, su¡etamos elcartabón. Cuando trazamos las líneas, sujetamos la escuadra.
.TRAZADO DE PERPENDICULARES: Se gira la escuadra 90'haciendo 'bisagra'con el vértice del ángulo recto.
1. DIBUJO TÉCNICO: TRAZADOS GEOMÉTRICOS.rlibro.tema5)
, 3.
1. Partiendo del trazado de paralelas, 2. Sujetando bien el cartabón, giramos
Trazamos las perpendiculares a la
hacemos elgiro de 90' a la escuadra, la escuadra: la hipotenusa estará recta m desplazando la escuadra sobre
apoyándonos en su vértice "O".
perpendicular.
m
elcartabón.
m
'-· ·. -·.
W
1.2.1. EL PUNTO Y SU REPRESENTACIÓN.
._
.
\
·-
.;._:,...
,/
,--""'\...--'""" o
\.,
- .. ;,1
-.....
:.<,-
... !
···.
- DIBUJAR UN CUADRADO: Haciendo paralelas y perpendiculares podemos dibujar con faciildad rectángulos. Pero para
hacer cuadrados es necesario trazar antes una diagonaldelmismo, que se obtiene con un cateto de la escuadra:
2. Desplazando un poco la escuadra,
pasamos un cateto por el vértice:
"1 '·,"
/ /)->- ,-
¿/
.
. -
/
/
V
,'i'riJ:,-·.·
-
-
·· .,-
(
. ..
Geométricamente,elpunto no tiene medida, y queda definido como ellugar donde se cortan dos líneas.
Se puede repr esentar de varias formas, unas más recomendables que otras, y va acompañado de una letra
mayúscula (A, B,C, D, etc.) para localizarlo mejor. Algunos ejemplos:
SE RECOMIENDAN:
A
+
NO SE RECOMIENDAN (dan lugar a imprecisiones):
B
e
A
E
F
e
X
4. Trazamos desde cualquier punto de la diagonal un par de rectas paralelas a las dos
primeras, cerrando así la figura:
:
Podemos definir el PUNTO como la señal más pequeña que se puede dibujar sobre le plano. Es,por tanto,
la unidad mínima de comunic ación visual (o bien la unidad mínima de representación). El punto es
conceptualmente tan pequeño, que su forma es irrelevante. En la medida en que lo reconocemos como triángulo,
cuadrado,círculo o simple mancha irregular, deja de ser punto para convertirse en una forma.
D
,('"""''
3. Usamos el cateto para dibujar
la diagonal delcuadrado: .
1.2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS EN EL PLANO: EL PUNTO Y LA LÍNEA.
\
"\C,./
.
.'::-.:lo(· '<· ·- '
·-·... '
"' "
-'"-'.t -- -
D
Podemos definir la LÍNEA como una sucesión de puntos sobre el plano.
1Z1
Cuando esta sucesión de puntos se produce en una sola dirección, nos encontramos con la LÍNEA
RECTA.
Cuando la dirección varia paulatinamente (poco a poco). nos encontramos con la LÍNEA CURVA.
Para distinguirla delpunto, la línea se acompaña con una letra minúscula (a, b, e, d,etc.).
RESULTADO
LA CURVA
·ÁNGULOS:Mostramos algunos ejemplos de ángulos, partiendo de una recta horizontal.
,..,.
•
1.2.2. LA LÍNEA Y SU REPRESENTACIÓN.
LA RECTA
2. Desplazamos la escuadra un poco:
1. Ajustamos la escuadra ala
linea y el cartabón a la escuadra:
B
o
........... , ...
m
_
.• ' \
B) La linea CURVA:
1.2.2.TIPOS DE LÍNEAS.
Podemos clasificar las líneas en dos grandes grupos:
Las simples:RECTA y CURVA.
Las compuestas: formadas por segmentos de recias y/o de circunferencias.
A) La línea RECTA
'1'{¡ 'Semirrecta (Media recta)
Linea recta
A
r
···• 00
00 ... ...
Es infinitamente larga (símbolo oo),
y por tanto, no se puede medir.
A
m
t-------···..
'5·m, •.q_ ;;;._,t.
t ·
VERTICAL
•. .,.r:···-·=-->·:'
r .1 E
,
B
00
Es una recta limitada por un punto.
También es infinitamente larga.
La definimos como la recta que
parte de un punto y se extiende
hacia elinfinito.
:--
1
Segmento de recta
"·Í_ ]"[}'
Es una recta limitada por 2 puntos.
Por tanto, tiene medida.
La definimos como la parte de la
recta comprendida entre dos puntos.
Se puede nombrar así: AS
<
,1
Circunferencia
Eli pse
Todos sus puntos están a la misma
distancia (d) del Centro (0).
Curva cónica especial. Todos sus puntos
tienen la misma suma de distancias (d) a los
Focos (F, y h)
0
Arco:
Segmento de circunferencia
;'lit
HORIZONTAL
.,
0:2
"
r
i
itir;IJ :[f;- ...
. ,.
::
m
• ...00
00 ... ...
n
PERPENDICULARES
OBLICUAS
Dividen el plano en cuatro ángulos
iguales llamados ángulos rectos (9Q2).
Dividen el plano en cuatro ángulos
iguales dos a dos. Dos agudos
(<90º) y dos obtusos (>902 ).
• ...00
00 ......
902
..........t\··
.....
·
9()2
d
\ .........-·········
Las parejas de puntos más próximos
de dos rectas paralelas guardan
siempre la misma distancia (d).
t
1 r 90'
1 90'
------.
..."
/pendicular
_p:::_
r..Lt
b
Tangentes exteriores
Tienen un solo punto en común.
()o
1
T:"Punto de tangencia"
m
Como la cir cunferencia está d1vid1da en Las rectas concurrentes que se
360 partes iguales llamadas "grados", cortan fuera del papel son también
cada ángulo recto medirá 90' (360° oblicuas:
dividido enlre 4).
:
L
Se cortan: Tienen 2 puntos en
común.
Distanciadas entre sí.
--j
tienen un punto en común).
..
Curva cónica especial (utilizada, por
ejemplo, para diseñar las antenas
parabólicas)
:., .t'l'l
Dos rectas contenidas en un plano Dos rectas son secantes cuando se CORTAN, es decir, tienen un punto en
son paralelas cuando por más que común, aunque esto suceda fuera delpapel.
se prolonguen, no se cortan (no 1-------------,------ - -- ---
V
Arco de 180º (Media circunferencia)
Secantes
Exteriores
...
SECANTES
PARALELAS
d
Parábola
n
.
·
··
• • ···· ··
Semicircunferencia
::\. ./::\.
INCLINADA
m
1L•
a+b = @J
Tan entes interiores
Tienen un solo punto en común.
'
T :"Punto de tangencia"
Interiores Concéntricas
Tienen elmismo centro.
Interiores Excéntricas
Tienen distinto centro.
® €)
z.
·Segmentos de recta y Circunferencia: LÍNEAS MIXTAS (también llamadas "mixtilíneas')
•1 H .
Exteriores
Secantes
Distanciadas entre sí.
o
Tangentes
Se cortan: Tienen 2 puntos en
e
COmún.
Abiertas o cerradas:
Tienen un solo punto en común.
l.'\
SA
B
T: "Punto de tangencia"
B) Las lineas COMPUESTAS: En este grupo englobamos diferentes tipos de líneas más o menos complejas, que
están formados por varios segmentos consecutivos de recta, o bien de circunferencia, o de ambos elementos (recta
y circunferencia).
• Segmentos de recta:
Línea poligonal abierta
Linea poligonalcerrada
La linea poligonal abierta está
-- ---------- -.
Llamamos ángulo : constituida por segmentos de recta
a la parte delplano i consecutivos (no alineados) que
determinada por : forman ángulos entre si. E jemplos:
dos semirrec1as
que parten de un :
¡
pun1o en común. ¡
------------- ·
v o
Aquella en la que están unidos el primer y último
¿]
- - -- - - - - - - ¿ ]
Polígono: figura plana
limitada por tres o más
segmentos consecutivos (no
Linea "quebrada"
e_a_d_o
s_ _
..•
·Segmentos de circunferencia: Ejemplos de enlaces entre fragmentos de varias circunferencias.
Abiertas: Enlaces de semicircunferenciaS.
Cerradas: Curvas "técnicas".
Formadas por 4 arcos de circunferencia:
Línea "ondulada"
Línea "espiral"
de dos centros, A y B.
_._
1
T
+o,
00
1.\
APLICACIONES:
1
ÓVALO: Sustituye a la elipse ya
que se puede trazar con compás.
OVOIDE: forma de "huevo".
on
1
Los ENLACES de segmentos de recta y circunferencia
sirven para diseñar todo tipo de objetos de uso cotidiano que
luego se fabricarán en la Industria. Ejemplo: la cuchara.
1. DIBUJO TÉCNICO: TRAZADOS GEOMÉTRICOS.
bro Tema 51
Por tanto, trazamos con elcompás desde A y B dos arcos de 25 mm que se cortan en el punto o, centro de la
circunferencia que buscamos. Desde O,con radio r hacemos la circunferencia. Elejercicio puede tener una segunda
solución si obtenemos O a la derecha de los puntos A y B.
1.3. LA CIRCUNFERENCIA:
- LA CIRCUNFERENCIA es una linea
curva cerrada y plana, formada por
puntos que están a la misma distancia
de otro punto fijo, llamado centro (O).
Cualquier punto
o de la
circunferencia
está situado a la
misma distancia
·delcentro O.
- Esta distancia se denomina r
- EL CÍRCULO es la superficie plana
contenida dentro de la circunferencia.
e '-
2
1
B
'\
·ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA:
{nd·o) es un segmento de recta que une el
centro (O) con un punto cualquiera de la
circunferencia.
. da¡ es el segmento (AB) que une dos
puntos cualesquiera de la circunferencia.
r
td' met•o¡: es una cuerda (CD) que pasa por
el centro de la circunferencia, y por tanto, el
mayor segmento inscrit o en ella. Su longitud es
doble delradio td = ·•
•a• .,¡. es un segmento de circunferencia, es
decir, la parte de la circunferencia comprendida
entre dos de sus puntos (AB).
a
-
......
------..
,.....,...
+o
<
s (semic1rcunferenc1 ). es un segmento de
circunferencia comprendido entre los puntos
extremos de un diámetro (CD).Es por tanto, un
arco de longitud igual a la mitad de la
circunferencia.
\,
2. Dividir una circunferencia de 30 mm de radio en seis partes iguales. La solución a este ejercicio es bien
sencilla, ya que una propiedad matemática de la circunferencia es que su radio la divide en 6 partes
iguales. Bastará por tanto, con tomar un punto cualquiera "A" de la misma y trasladar el radio seis veces sobre
ella:B, C...
2
1
)
A
_ _./o
E
/
·EJERCICIOS:
1. Trazar una circunferencia de la que conocemos el radio (25 mm.) y dos puntos de la misma A y B:
APLICACIONES DE ESTE TRAZADO: Formas poligonales.
Para resolverlo, imaginamos el
trazado resuelto y analizamos
la relaciónentre los elementos:
Los datos son el
radio y dos puntos
A y B situados en
elplano.
Como puede apreciarse, el
centro O, que no conocemos.
estará a 25 mm (el rad1o) de
los puntos A y B.
S
DISEÑOS DECORATIVOS: Si aldividir en 6 partes iguales, trazamos una circunferencia por cada uno de los
puntos, obtenemos el dibujo de una flor geométrica:
1. DIBUJO TÉCNICO: TRAZADOS GEOMÉTRICOS. (Libro, Temas¡
1.4. LOS ÁNGULOS:
DEFINICIÓN: Llamamos ángulo a la región del plano comprendida entre dos semirrectas (llamadas lados)
que parten de un punto en común (llamado vértice).
)
00
V: vértice.origen de los lados.
f:
V
lado.
oo:símbolo del inlinito.
00
"NOTACIÓN": Los ángulos se pueden nombrar de diversas formas: Por su vértice, por tres puntos, o por
letras griegas. Ejemplos:
Por su vértice:
ESTRELLA ENTRELAZADA: Partiendo de la estrella de 6 puntas, unimos los vértices opuestos mediante
segmentos(-·--), obteniendo así tos vértices (A, 8, C. D. t: F) de otra estrella interior mas pequeña. Si
borramos algunas líneas, podremos obseNar la figura geométrica entrelazada.
Se dibuja
A<
Letra
a
Letras griegas:
Por tres puntos:
Se escribe
Se dibuja
A, Ó, etc..
0<:
Se escribe
Se dibuja
Se escribe
,..
<t(
a
AOB
ALFABETO GRIEGO
N ombre
Alfa
[,
Oseta
A
lambd a
7r
Pi
q>
Fi
Beta
11
E!l
¡.J.
Mr
p
Ro
X
Ji
y
Gar1ma
8
Zeta
V
Ni
cu;
Sigma
\lf
Psi
¡¡
Delta
t
lo:a
Xi
T
Tau
(J)
Omega
E
Epsilon
K
Kappa
Ó:nrcron
u
Ípsilon
o
No se utilizara todo el alfabeto griego, sino algunas letras: a.- y. 8. E.
A. 1r. q>. co ...
SISTEMA DE MEDIDA: Los ángulos se miden según el escala sexagesimal, que divide la circunferencia en
360 partes iguales llamadas "grados··. Un grado se divide a su ve z en 60 minutos y un minuto en 60
segundos:
1 revolución: 360° (grados)
1°: 60' (minutos)
1': 60" (segundos)
J]
TIPOS DE ÁNGULOS:
RECTO
AGUDO
OBTUSO
LLANO
L L \L_
< goo
goo
COMPLEMENTARIOS
SUPLEMENTARIOS
a co
Suman 90°
Suman 180°
U+C0=1802
a +=90º
--
-
Solución: Los dos ángulos
son iguaes. · = 36'
180°
_L
Ángulos de dos rectas que se cortan:
-yL -
La pare ja de ángulos obtusos
a y co, son iguales y se
llaman opuestos
vértice. La pare ja de ángulos
*
(()
por el agudos e y n.
lambién son
por el vértice.
iguales y se llaman opuestos
A. Desde el vértice trazamos un arco que determina en los
lados del ángulo los puntos A y B. Tomando desde ellos otra
medida cualquiera (dos arcos que se corten), obtenemos el
punto e de la bisec triz:
<V
= 18()9 :6 = 30'
3w = 90'
b
í41
d
[;{{_
V
1
1
1
B. Desde elvértice V trazamos 2 arcos de radío cualquiera
que determinan en los lados los pares de punlos A y B,
e y D. Si unimos dichos puntos mediante dos segmentos
que se corten, obtenemos el punto E de la bisectriz.
v<t
p será:180'.45'= 135'
EJERCICIOS DE ÁNGULOS. Averiguar el valor del ángulo desconocido:
3
Solución: Los dos ángulos Sclución: y 25'son iguales y
son suplementarios, (suman opuestos. luego
25'.
180°). Luego ¡• = 180°·112°
Como !' y • suman 180'
= 5$
(suplementarios),
F
Como y ; son opuestos e
iguales,
Solución:Los seis ángulos <·J
:<·l . -u 3 suman 180'.
por lo que su medida seria:
MÉTODOS:
Como a y p son suplementarios,siconocemos a (45'),
Solución: Los dos ángulos
son complementarios,(suman
90' ). Por tanto.a = 90'·57 9
Cl :33'
= 360' . 42'= "
Como 2 = ,i-,- tenemos el
ángulo ,,1res veces, por lo
que 3 ¡j = 1802 • 302 = 150'
Luego ,i = 1502 : 3 = 5C
La bisectriz es una semirrecta que divide un ángulo en dos
partes iguales (dos ángulos iguales) desde su vértice:
De todo esto se deduce que los 8
ángulos en realidad se resumen en dos,
de modo que conociendo uno se sabe el
valor de los otros siete. Ejemplo
í3l
(1
Solución: Los tres ángulos
21< y 302 suman 1802.
1. Hallar la semirrecta bisectriz a un ángulo:
Se repile el esquema anel nor: los
ángulos opuestos son iguales. Además.
los ángulos u y f! son iguales y paralelos
a los ángulos , y
[JJ_
Solución: Vananle del caso
anterior, el ángulo
es lo
que resta hasta 360' del
ángulo de 42'.
3t•)
TRAZADOS DE ÁNGULOS CON COMPÁS:
Ángulos de una recta que corta a dos paralelas:
111
L
,.','__
2
/
a
>90°
'
X
(()
8l
21
61
Solución: Los ángulos Y ¡
35° son iguales:i 35.
Como r y · suman 180'
(suplementarios), el ángulo ;
= 180'.35° = ..,.
2. Trazar ángulos de 30°, 60° y 90° con el compás: La circunferencia se divide en seis partes iguales
(ángulos de 602) con su radio. De esta propiedad se obtiene el método para dibujar los ángulos de 30º, 60º y
90º. Partimos de una semirrecta de vértice 0:
1
Ak
?-
sr:
o
[i:_ o VV·,u·
A
t
A
Desde O con un radto cualquiera Repetimos el trazado del ángulo En este trazado, desde O,
se obtiene A y con el mismo de 60', pero añadimos un tercer vamos obteniendo puntos A,
radio, desde A obtenemos B.
B,C y D con elmismo radío.
arco desde B,obteniendo C.
1. Dibujar un triángulo cuyos lados midan 30, 40 y 50 mm:
2. Dibujar un triángulo equilátero de 40 mm. de lado:
EJ ERCICIOS DE LA LÁMINA DE TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS:
l. Dibujar un triángulo conociendo sus tres
lados (11, h y 13). Colocando como base el lado
mayor (1 1 ), tomamos desde sus vértices A y B
la medida de los otros dos lados. Habrá dos
sol uciones diferen t es, dependiendo de dónde
tomamos la medida h y 1¡ (desde A o desde B).
3,
Dibujar un triángulo isósceles de 30 mm.de base y 40 mm.
de altura:
4. Dibujar un cuadrado cuyolado mida 45 mm.
A
B
A
2. Di bujar un triángulo conociendo sólo un lado (1).
B
A diferencia del trazado
anterior. q u.: era un triángulo es,akno, estamos ante un triángulo equilút.:ro (los
tres lados iguales). Se actúa de forma parecida: usamos el lado que tenemos como
base, y desde A y B traza mos los otros dos con la misma medida.
5. Dibujar un rectángulo de 30 y 50 mm.de lado:
6. Dibujar un rombo de 30 y 50 mm.de diagonal:
A
B
5. Dibujar un rectángulo, de 30 y 50 mm. de lado. Di bujamos primero el lado
mayor. y sobre el vért ice A tra zamos una recta perpend icula r. Traza mos u na arco
desde A (con la medida del lado menor) hasta obtener e . El punto D se traza con
dos arcos: desde B un radio de 30 y desde C un radio de 50.
3. Dibujar un triángulo ISÓSCELES, conociendo la base (b) y la altura (a).
Dibujamos pri mero la base, y sobre ella trazamos la rect a med iatriz (toma mos más
de la mi tad desde A y B). Luego, la altura se traza con el compás desde el punto M
de la base (donde corta con la mediatriz).
l¡
a
h
e
b
e
A
A
B
)¡
B
A
B
A
6. Dibujar un rombo, de 30 y 50 mm. de diagonal. Dibujamos primero la d iagonal
menor. de 30 m m. Desde sus extremos Ay B trazamos la recta med iatriz. La
diagonal mayor est á en la mediatriz: pa ra trazarla, toma mos la mi tad de la
diagonal (2 5 mm.) desde el punto medio M y obtenemos los vértices e y D.
4. Dibujar un CUADRADO, de 45 mm. de lado Dibu jamos primero el lado, y
sobre el vértice A traza mos una recta perpendicular. Trazamos una arco desde A
(con la misma med ida) hasta obtener e . El pun to D se traza desde B y C con la
misma medida (45 mm).
d
dz.
e
e
B
A
B A
B
A
e
B
B
B
D
D
EJ
EJERCICIOS DE LA LÁMINA DE TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS:
l. Dibujar un triángulo conociendo s us tres
lados (11, 12 y h). Colocando como base lado
mayor (11), tomamos desde sus vértic A y 8
la medida de los otros dos lados.
abrá dos
de dón de
o desde 8).
1,
12
13
12
1,
8
A
2. Di bujar un tri:mgulo conoci ndo sóflu n lado (1). A dif.:r ncia del JraZaLhl
anterior, que era un triángulo escaleno, estamos ante un tr iá ngulo equi látero (los
tres lados iguales). Se actúa de form/parecida: usamos el lado que tenemos como
base, y desde A y B trazamos los 'f(os dos con la misma med ida.
¡
O:: en
11
<C w
e> o:::
w
o
a......J
>- O
e:::
u
<Ccn
l-0
e:::
A
B
A
B
o
o<C
(.)
+-
/'
S. Dibujar un rectángulo, de 30 y 50 mm. de lado. Dibujamos primero el lado
ma yor, y sobre el vértice A trazamos una recta perpendicular. Trazamos una arco
desde A (con la medida del lado menor) hasta obtener e . El punto D se traza con
dos arcos: desde B un radio de 30 y desde C un radio de 50.
EJ
l,
l¡
e
A
1
l,
A
B
6. Dibujar 1m rombo, de 30 y 5 mm. de diagonal. Dibujamos primero la diagonal
menor, de 30 mm. Desde s s extremos Ay B tranmos la recta mediatriz. La
diagonal_ mayor está en \, med iatri z: para trazarla, tomamos la mitad de la
diagonal (25 mm.) desde e punto medio M y obtenemos l os vértices e y D.
d
e
e
+
A
B
D
B
D
Paralelas y perpendiculares
tv
í----- -----
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. ........................ -
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------- .. --- --- ....... .... . . ........
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1
1
1
1
1
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1
1
1
1
1
1
i
¡
l!
Observa los á ngulos que se pueden forma r com bina ndo la escuadra y el cartabón en diferemes posiciones y los diversos tipos ele línea
que se pueden traza r. Después, dibuja líneas pa ralelas y perpendiculares.
PERPENDICULAR.
OPERACIONES.
Trazado de la perpendicular en el extremo de una
semirecta (Or), utilizando el compás.
Detallar las operaciones necesarias para realizar
la construcción de la imagen izquierda.
O
'
r
Ejercicio.
Utilizando el compás, trazar la perpendicular en el extremo de las siguientes semirectas:Ar, Bs, Ct y Dv.
B
S
A
r
.
"':"
t
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e
"
Wti'\JA [)
N°,
-0
Nombre y Apellidos
Grupo y Fecha
CONSTRUCCIÓN DE NUDOS CELTAS
(Prácticas de t razados con escuadra y cartabón)
- 1-
LA"U' c'NO -:.¡..
CURSO: ...... GRUPO: .... N OMBRE: ........... ... . . .............. ................................. ........................................................
www.educoc ionplostico.net
o
POlÍGONOS REGULARES
CONSIDERACIONES GENERALES
Un polígono se considera regular cuando tiene todos sus lados y ángulos
iguales, y por tanto puede ser inscrito y circunscrito en una circunferencia. El centro
de dicha circunferencia se denomina centro del polígono, y equidista de los vértices y
lados del mismo.
Se denomina ángulo central de un polígono regula r el que tiene como
vértice el centro del polígono, y sus lados pasa n por dos vértices consecutivos. Su
valor en grados resulta de dividir 3600 entre el número de lados del polígono (ver
figura).
Se denomina ángulo interior, ar formado por dos lados consecutivos. Su
valor- es igual a 1soo, menos e! valor del ángulo central correspondiente.
Si unimos todos los vértices
del polígono, de forma consecutiva,
dando una sola vuelta a la
circunferencia, el polígono obtenido
se denomina convexo. Si la unión
de los vértices se realiza, de forma
que el polígono cierra después de
dar varias vueltas a la
circunferencia, se denomina
estrellado. Se denomina falso
Con\<i!XO
E>nllado
estrellado aquel que resulta de
construir varios polígonos convexos o estrellados iguales, girados un mismo ángulo,
es el caso del fa lso estrellado del hexágono, compuesto por dos triángulos girados
entre sí 600.
\
1
Para averiguar si un polígono tiene construcción de estrellados, y como unir
los vértices, buscaremos los números enteros, menores que la mitad del número de
lados del polígono, y de ellos los que sean primos respeto a dicho número de lados.
Por ejemplo: para el octógono (8 lados), los números menores que la mitad de sus
lados son el 3, el 2 y el 1, y de ellos, primos respecto a 8 solo tendremos el 3, por lo
tanto podremos afirmar que el octógono tiene un único estrellado, que se obtendrá
uniendo los vértices de 3 en 3 (ver figura).
En un polígono regular convexo, se denomina apotena a la distancia del
centro del polígono al punto medio de cada lado (ver figura).
En un polígono regular convexo, se denomina perímetro a la suma de la
longitud de todos sus lados.
El área de un polígono regular convexo, es igual al producto del
semiperímetro por la apotema .
CONSTRUCCIONES DE POLÍGONOS REGULARES DADA LA CIRCUNFERENCIA
CIRCUNSCRITA
La construcción de poligonos inscritos en una circunferencia dada, se basan en ia división de dicha circunferencia en un número
par tes iguales. En ocasiones, el traza do pasa por la obtención de la cuer·da correpondiente a cada uno de esos arcos, es decir ei lado del
polígono, y otras ocasiones pasa por la obtención del ángulo central del poligor.o correspondiente.
Cuando en un a construcción obtenemos el lado del polígono, y hemos de llevarlo s cesivas veces a lo largo de la circunferencia,se
aconseja no !!evar todos ios lados sucesivamente en un soio sentido de ia circunferencia,sino, que pa1tiendo de un vértice se !!eve la
rnitad de los lados en una dirección y la otra mitad en sentido contrario, con objeto de minimi?.ar los errores de construcción, inherentes
al instrumental o al procedimiento.
• TRIÁNGULO, HEXÁGONO Y DODECÁGONO (construcción exacta)
Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares
entre si, que nos determinarán, sobre la circunferencia
dada, los puntos A·B y 1-4 respectivamente.
A continuación, con centro en 1 y 4 trazaremos dos
arcos, de radio igual al de la circunferencia dada, que nos
determinar án, sobre ella, los puntos 2, 6, 3 y 5. Por último
con centro en 8 trazaremos un arco del mismo radio, que
nos determinará el punto C sobre la circunferencia dada.
Uniendo los puntos 2, 4 y 6, obtendremos el triángulo
inscrito. Uniendo los punto 1, 2, 3, 4, 5 y 6, obtendremos el
hexágono inscrito. Y uniendo los puntos 3 y C, obtendremos
el lado del dodecágono inscrito; para su total construcción
solo tendríamos que llevar este lado, 12 veces sobre la
circunferencia.
De ios tres polígonos, solo el dodecágono admite la
construcción de estrella dos, concretamente del estrellado de
5. El hexágono admite la construcción de un falso estrellado,
fcrr·:-:; J )'Jr d J: f"i.'¡;);L
:; ..,; (j ra·j _.,; ::r:i..r¿ í · ·:J .
NOTA: Todas las construcciones de este ejercicio se
realizan con una misma abertura delcompás,igual al
radio de la circunferencia dada.
8
• . CUADRADO Y OCTÓGONO (construcción exacta)
Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares
entre sí, que nos determinarán,sobre la circunferencia
dada, los puntos 1- 5 y 3-7 respectivamente.
A continuación, trazaremos la s bisectrices de los cuatro
ángulos de goo, formados por la diagonales trazadas, dichas
bisectrices nos determinarán sobre la circunferencia los
puntos 2, 4, 6 y 8.
-, ""--.
-
----------/---------- 5
/'
',," ,
/'/
'',,
3
Uniendo los puntos 1, 3, S y 7, obtendr emos el cuadrado
inscrito. Y uniendo los puntos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8,
obtendremos el octógono inscrito.
E! cuadrado no admite estrellados. El octógono sí,
concretamente el estrellado de 3. El octógono también
admite la construcción de un falso estrellado, compuesto por
dos cuadrados girados entre sí 4 50.
NOTA:De esta construcción podemos deducir,l a
forma de construir un polígono de doble número de
l ados que uno dado. Solo tendremos que trazar las
bisectrices de los ángul os centrales del polígono dado,
y estas nos determinarán,sobre la circunferencia
circunscrita,los vértices necesarios para la
constl·ucción.
- - --
- ----- ------
-- -
()
J
'!;, PENTÁGONO·Y DECÁGONO (construcción exacta)
Comenzaremos traza ndo dos diámetros
perpendiculares entre sí, que nos
determinarán sobre la circunferencia dada los
puntos A- By 1-C respectiva mente. Con el
mismo radio de la c ircunferencia dada
trazaremos un arco de centro en A, que nos
determinará los puntos D y E s obre la
circunferencia, uniendo dichos puntos
obtendremos el punto F, punto medio d el
radio A-0
Con centro en F trazaremos un arco de
radio F-1, que determinará el pu nto G sobre
la diagonal A-B. La distancia 1-G es el lado
de pentágono inscri to, mientras que la
distancia 0-G es el lado del decágono
inscrito.
Para la construcción del pentágono y el
decá gono, solo resta lleva r dichos lados, S y
10 veces respectivamente, a lo largo de la
circunferencia.
El pentágono tiene estrellado de 2. El
decágono tiene estrellado de 3, v un falso
estrellado, formado por dos p entágonos
estrellados irados entre sí 360.
Comenzaremos trazando una diagonal de
la circunferenc ia dada, que nos determinará
sobre ella puntos A y B.
A continuación, con centro en A,
trazaremos el arco de radio A -0, que nos
determinará, sobre la circunferencia, los
puntos 1 y e, uniendo dichos puntos
obtendremos el punto D, punto medio del
radio A -0. En 1-D habremos obtenido el lado
del heptágono inscrito.
Solo resta llevar dicho lado, 7 veces
sobre la circunferencia, para obtener el
heptágono buscado. Como se indica ba al
principio de este tema, partiendo del punto
1, se ha llevado dicho lado, tres veces en
cada sentido de la circunferencia, pa ra
minimizar los errores de construcción.
El heptágono tiene estrellado de 3 y de 2.
/4
NOTA: Como puede apreciarse en la
construcción, el lado del heptágono
inscrito en una circunferencia,es igual a
la mitad del lado del triángulo i nscrito.
-: ENEÁGONO.(.construcci6n aproximada)
· ·
·· -
Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares,
que nos determinarán, sobre la circunferencia dada, los
puntos A-8 y 1-C respectivamente.
Con centro en A, traza remos un arco de radio A-0, que
nos determinará, sobre la circunferencia dada, el punto D .
Con centro en 8 y radio 8-D, trazaremos un arco de
circunferencia,que nos determinará el punto E, sobre la
prolongación de la diagonal 1-C. Por último con centro en
E y radio E-8=E-A, trazaremos un arco de circunferencia
que nos determinará el punto F sobre la diagonal C-1. En
1·F habremos obtenido el lado del eneágono inscrito en la
circunferencia.
Procediendo como en el caso del heptágono,llevaremos
dicho lado, 9 veces sobre la circunferencia, para obtener el
heptágono buscado.
El eneágono tiene estrellad·) de 4 y de 2. También
presenta un falso estrellado, formado por 3 triángulos
girados entre si 4QO.
:•:-DECÁGONO (construcción exacta)
Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares,
que nos detemninarán, sobre la circunferencia dada, lo s
puntos A-8 y 1
·6 respectivamente.
Con centro A, y radio A-0, trazaremos un arco que nos
detemninará los puntos C y D sobre la circunferencia,
uniendo dichos puntos, obtendremos el punto E, punto
medio del radio A-0. A continuación trazaremos la
circunferencia de centro en E y radio E-0. Trazamos la recta
1-E, la cual intercepta a la circunferencia anterior en el
punto F, siendo la distancia 1-F, el lado del decágono
inscrito.
Procediendo con en el caso del heptágono, llevaremos
dicho lado, 10 veces sobre la circunferencia, para obtener el
decágono buscado.
El decágono como se indicó anteriormente presenta
estrellado de 3, y un falso estrellado, formado por dos
pentágonos estrellados, girados entre si36°.
Ei
5
ti PENTADECÁGONO (construcción
exacta)
:.' ·.
·
· -.·
Esta construcción se basa en la obtención del ángulo de
24°, correspondiente al ángulo interior del pentadecágono.
Dicho ángu!o lo obtendremos por diferencia del ángulo de
6oo, angulo interior del hexágono Inscrito, y el ángulo de
360, ángulo interior del decágono inscrito.
Comenzaremos con las construcciones necesarias para
la obtención del lado del decágono (las del ejercicio
anterior), hasta la obtención del punto H de la figura .
A continuación, con centro en C traza remos un arco de
radio C- H, que nos determirá sobre la circunferencia el
punto 1. de nuevo con centro en e, trazaremos un arco de
radio C-0, que nos determinará el punto 2 sobre la
circunferencia.
Como puede apreciarse en la figura, el ángulo CO l
corresponde a l ángulo interior del decágono, de 360, y el
ángulo C02 corresponde al ángulo interior del hexágono, de
6oo, luego de su diferencia obtendremos el ángulo 102 de
24o, ángulo interior del pentadecágono buscado, siendo el
segmento 1-2 el lado del polígono. Solo resta llevar, por el
procedimiento ya explicado, dicho lado, 15 veces sobre la
circunferencia dada .
D
E! pentadecágono presenta estrellado de 7, 6, 4 y 2, así
como tres falsos estrellados, compuesto por: tres
pentágonos convexos, tres pentágonos estrellados y 5
triángulos, girados entre sí, en lodos los casos, 240.
Este procedimiento se
utiliza rá solo cuando el polígono
buscado no tenga una
construcción parti cular, ni pueda
obtenerse como múltiplo de otro,
dado que este procedimiento
lleva inherente un.e gran
imprecisión.
Comenzaremos con el trazado
del diámetro A-B, que
dividiremos, mediante el Teorema
de Tales en tantas partes iguales
como lados tenga el polígono que
deseamos traza r, en nuestro caso
11.
Con centro en A y B
trazaremos dos arcos de radio AB, los cuales se interceptarán en
los puntos C y D. Uniendo dichos
puntos con las divisiones
alternadas del diámetro A-B,
obtendremos sobre la
circunferencia, los puntos P, Q, R, .. etc., vértices del polígono. Igualmentre se procedería con el punto O, uniendolo con los puntos 2, 4,
etc., y obteniendo a sí el resto de los vértices del polígono.
Solo restaría unir dichos puntos para obtener el polígono buscado.