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TALLER 3-2 10º INSTITUCION EDUCATIVA JOSE EUSTACIO RIVERA Teorema del Coseno - 10º LIC. JIMMY A. SUÁREZ Definición En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo que forman. a2 = b2 + c2 - 2bc cosA Se aplica el teorema del coseno cuando en un triángulo conocemos solamente Dos lados y el ángulo que ellos forman. Los tres lados. Ejemplo 1: Resolver el triángulo ABC tal que b = 10 cm, c = 8 cm, A = 72°. Solución: Los datos que tenemos son los siguientes: A = 72° B=? C=? a=? b = 10 cm c = 8 cm Aplicamos el Teorema del Coseno, utilizando los dos lados y el ángulo que forman: a 2 = b2 + c 2 - 2bc cosA , entonces, a 2 = (10)2 + (8)2 - 2(10)(8)cos 72 , de donde, 2 a = 100 + 64 – 160 (0.309) 2 a = 164 – 49.4 2 a = 114.6 a 2 = 114.6 a = 10.7 cm Para hallar el ángulo B o el C, podemos aplicar el teorema del Coseno o del Seno. Si aplicamos el teorema del Coseno, la fórmula sería la siguiente: A = Cos -1 b2 + c 2 - a 2 , para B sería: 2bc B = Cos -1 (10.7) 2 + (8) 2 - (10)2 2(10.7)( 8) B = Cos -1 B = Cos -1 B = Cos -1 a 2 + c 2 - b2 2ac 114.6 + 64 - 100 171.2 78.6 171.2 -1 B = Cos (0.30875) -1 B = Cos (0.4591121495327) B = 62.7° Hallamos el ángulo C por completación: 72° + 62.7° + C = 180°, de donde, C = 45.3° El área de todo triángulo también se puede hallar con base en el teorema del coseno, la nueva fórmula sería así: Area = bc SenA 2 Calcula el área del triángulo anterior. Now plays you… TALLER 3-2 LOS SIGUIENTES PROBLEMAS PUEDEN RESOLVERSE POR TEOREMA DEL SON O DEL COSENO. 1. Los lados de un triángulo miden 7,2 cm, 8,6 cm y 3,9 cm. Encuentra la medida del ángulo menor 2. Encuentra el perímetro de un triángulo isósceles cuya base mide 30 cm y el ángulo opuesto a la base mide 42º 3. La distancia entre dos puntos X y Y no se puede medir directamente, pues entre ellos hay obstáculos. Se recurre a otro punto Z y se obtiene: XZ = 25 m, YZ = 35 m y el ángulo XZY = 74º. Determina XY 4. En un paralelogramo PQRS se tiene que PQ = 4 cm, QR = 2,5 cm y Q = 60º. Calcula RP 5. Un terreno triangular tiene lados de longitudes 5 m, 3 m, y 2,5 m. Halla el ángulo de mayor medida 6. Dos carreteras rectas se cruzan en un punto P formando un ángulo de 42º. En un punto R de una de las carreteras hay un edificio que está a 368 m de P. y en punto S de la otra carretera, hay un edificio que esta a 426 m de P. Determina la distancia entre R y S. 7. En un momento dado cuando un avión estaba directamente arriba de una carretera recta que une a dos pueblos, los ángulos de elevación con respecto a estos pueblos eran 21,2º y 12,3º a. Determina la distancia del avión a cada uno de los pueblos en dicho instante, considerando una separación de 8,45 Km entre los puntos representativos de los pueblos. b. Determina la altitud del vuelo del avión en ese momento 8. Las diagonales de un paralelogramo se cortan en los puntos medios respectivamente. Una de las diagonales mide 8 cm y la otra mide 6 cm, y el ángulo que se forma entre ellos es de 50º. Encuentra la medida de los lados del paralelogramo 9. En un trapecio ABCD isósceles, la base menor AD = 2 cm, la base mayor BC = 4 cm y Angulo C = 55º. Calcula la medida de la diagonal del trapecio. 10. Tres circunferencias cuyos radios respectivos miden 115, 150 y 225 cm, son tangentes exteriores entre sí. Encuentra los ángulos que se forman cuando se unen los centros de las circunferencias. Soluciones: 1. 26,75º 2. 113,71 cm 3. 37 m 4. 35 cm 5. 130,5º 6. 289,65 m 7. a. 3,26Km y 5,54Km b. 1,18 Km 8. 6,36 cm 9. 3,3 cm 10. 72,47º; 61,36º; 43,17º
