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INSTITUCION EDUCATIVA SANTA TERESA DE JESUS
TALLER DE TRIGONOMETRIA GRADO DECIMO
"El sabio puede sentarse en un hormiguero, pero sólo el necio se queda sentado en él."
“Duda del que quieras , pero nunca de ti mismo”
Sin la absoluta confianza en sí mismo, uno está destinado al fracaso.
TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO
Ley o Teorema de los senos
Si A, B y C son los ángulos de un triángulo cualquiera, y a, b, c
son, respectivamente las medidas de los lados opuestos a
dichos ángulos, entonces:
a
b
=
Sen A
c
=
Sen B
El cuadrado de la medida de cualquier lado de un triángulo es
igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los otros
dos lados, menos el doble del producto de la medida de
dichos lados y el coseno del ángulo que forman.
Para utilizar el teorema del coseno se necesita conocer:
Dos lados y el ángulo que se forma entre los dos
Dos lados y el ángulo entre ellos
Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos
Sen C
De acuerdo con lo anterior, se deduce que:
 Las longitudes de los lados son proporcionales a los senos
de sus ángulos opuestos.
 Un triángulo puede resolverse aplicando el Teorema del
Seno, si dos de los tres elementos conocidos son un lado y
su ángulo opuesto.
 Se puede resolver un triángulo cuando se conoce dos de
sus Angulos y un lado
 Se puede resolver un triángulo cuando se conoce dos lados
y el ángulo opuesto a uno de ellos
EJERCICIOS
IMPORTANTE
En general, si en un problema de triángulos te dan como datos
2 ángulos y un lado, usa ley de los senos. Si por el contrario te
dan dos lados y el ángulo que se forma con los dos lados, usa la
ley del coseno
1. Sea BAC un triángulo rectángulo en A. Si el segmento AB mide 20 cm.
1. Calcular la altura de una montaña AD si se fijaron dos puntos
B y C y se midió su distancia d = 200 m. Luego se midieron los
ángulos ABD = 50º DBC = 75º y BCD = 60º con un teodolito. El
2. Si ABC es un triángulo rectángulo en A y los segmentos AB y AC miden triángulo BAD es rectángulo en A
y el ángulo c, opuesto a ese lado, mide 42º. Calcula:
a) el lado AC
b) el lado BC
c) los ángulos
2 m. y 4 m., respectivamente. Calcula:
a) el lado BC
b) el ángulo ABC c) el ángulo ACB
2. Dos lados adyacentes de un paralelogramo se cortan en un
ángulo de 36º y tienen longitudes de 3 y 8 cm. Determina la
3. Si MNO es un triángulo rectángulo en M y los lados NO y MO miden 8 longitud de la diagonal menor.
m. y 6 m., respectivamente. Calcula:
a) el lado MN
b) el ángulo MNO c) el ángulo MON
3. Dos trenes parten simultáneamente de una estación en
dirección tal que forman un ángulo de 35º. Uno va a 15 km/hr y
4. La sombra que proyecta un árbol de 3,4 m. sobre el piso horizontal el otro a 25 km/hr. Determina a qué distancia se encuentran
mide 4,3 m. ¿Cuál es la medida del ángulo que hace la horizontal con la separados después de dos horas de viaje.
línea que une los dos puntos extremos, de la sombra y del árbol?
4. Determina las longitudes de las diagonales de un
5.Un avión sale de un aeropuerto y se eleva manteniendo un ángulo paralelogramo, conocidos los lados m y n, y el ángulo a entre
constante de 10º hasta que logra una altura de 6 km. Determina a qué ellos.
distancia horizontal del aeropuerto se encuentra en ese momento.
5. Un niño se encuentra jugando una pelotita en su casa, pero la
ventana que da hacia la calle se encuentra abierta, entonces le
pega con mucha fuerza y la pelota sale a través de la ventana cae
al suelo de la calle, la distancia que existe entre estos dos lugares
es de 4.55 mts. Entonces su mamá escucha ruido y se asoma por
otra ventana que se encuentra del lado izquierdo un piso abajo.
7. En los siguientes ejercicios: a, b, y c son las medidas de los lados de El ángulo que se forma entre la ventana en la que se encuentra
un triángulo, mientras que A, B, C son las medidas de los ángulos la madre y la que está el niño es de 80º , y el ángulo con el que la
opuestos a esos lados, respectivamente. Resuelve el triángulo en cada mamá ve la pelota es de 80.36º.
6. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está
situada a 8 metros del suelo y observa el edificio de enfrente de la
siguiente manera: la parte superior, con un ángulo de elevación de 35º y
la parte inferior, con un ángulo de depresión de 43º. Determina la
altura del edificio de enfrente.
caso:
a) a = 10 cm.
b) a = 7 m.
c) c = 10 cm.
d) a = 12 cm.
e) A= 53º
f) C = 48º
b= 12 cm.
b = 6 m.
C = 40 o
b = 16 cm
C = 75º
B = 68º
B = 35 o
A = 50o
B = 70 o
A= 43º
c = 30,5 cm.
c = 47,2 mm.
Ley o teorema del Coseno
En todo triángulo el cuadrado de la longitud de uno de los
lados, es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de
los otros dos lados , menos el doble producto de ellas, por el
coseno del ángulo que forman dichos lados.
Para cualquier triángulo se cumple que:
 a2= b2 + c2 - 2bc Cos A
 b2= a2 + c2 - 2ac Cos B
 c2= a2 + b2 - 2ab Cos C.
6. Dos lados de un triángulo miden 6 y 10, y el ángulo que
forman es de 120°. Determine la longitud del tercer lado