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Teorema del Seno y Coseno
Teorema del Seno Se dice que en cualquier triángulo la razón de las longitudes de cualquier par de lados es igual a la razón de los senos de los ángulos opuestos correspondientes. En el triángulo ABC Tenemos sen ( A )
a
=
sen ( B )
b
=
sen ( C )
c
Ejercicios propuestos: 1. Sea ABC un triángulo rectángulo en A. Si el segmento AB mide 20 cm. y el ángulo β, opuesto a ese lado, mide 42º. Calcula: a) el lado AC , b) el lado BC ,c) el ángulo ABC 2. Si ABC es un triángulo rectángulo en A y los segmentos AB y AC miden 2 m. y 4 m., respectivamente. Calcula: a) el lado BC , b) el ángulo ABC , c) el ángulo ACB 3. Si MNO es un triángulo rectángulo en M y los lados NO y MO miden 8 m. y 6 m., respectivamente. Calcula: a) el lado MN , b) el ángulo MNO , c) el ángulo MON 4. La sombra que proyecta un árbol de 3,4 m. sobre el piso horizontal mide 4,3 m. ¿Cuál es la medida del ángulo que hace la horizontal con la línea que une los dos puntos extremos, de la sombra y del árbol? 5. Un avión sale de un aeropuerto y se eleva manteniendo un ángulo constante de 10º hasta que logra una altura de 6 km. Determina a qué distancia horizontal del aeropuerto se encuentra en ese momento. 6. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8 metros del suelo y observa el edificio de enfrente de la siguiente manera: la parte superior, con un ángulo de elevación de 35º y la parte inferior, con un ángulo de depresión de 43º. Determina la altura del edificio de enfrente. Teorema del Coseno El teorema del Seno no se utiliza directamente para resolver triángulos si conocemos dos lados y el ángulo formado entre ellos, o si conocemos los tres lados. Para estos casos utilizaremos el teorema del coseno. Del triángulo ABC a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos( A)
Se tienen las siguientes relaciones b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos( B ) c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos(C )
Ejercicios propuestos: 1. En los siguientes ejercicios: a, b, y c son las medidas de los lados de un triángulo, mientras que α, β, γ son las medidas de los ángulos opuestos a esos lados, respectivamente. Resuelve el triángulo en cada caso: a) a = 10 cm. b= 12 cm. γ = 35º b) a = 7 m. b = 6 m. c = 4 m. c) c = 10 cm. β = 40º α = 70º d) a = 12 cm. b = 16 cm β = 43º e) α = 53º β = 75º c = 30,5 cm. f) α = 48º γ = 68º c = 47,2 mm. 2. Dos lados adyacentes de un paralelogramo se cortan en un ángulo de 36º y tienen longitudes de 3 y 8 cm. Determina la longitud de la diagonal menor. 3. Dos trenes parten simultáneamente de una estación en dirección tal que forman un ángulo de 35º. Uno va a 15 km/hr y el otro a 25 km/hr. Determina a qué distancia se encuentran separados después de dos horas de viaje. 4. Determina las longitudes de las diagonales de un paralelogramo, conocidos los lados m y n, y el ángulo a entre ellos. Ejercicios con soluciones para aplicar los teoremas vistos anteriormente. 1.- De un triángulo se conocen los ángulos B = 120º y C = 30º y el lado a = 3 m.,
resuelve el triángulo.
Indicación: Empieza calculando A = 30º y después aplica el teorema del seno dos
veces y obtendrás:
b = 3 3 m. y c = 3 m.
2.- Resuelve un triángulo del que se conocen a = 4,7 m., b = 2,2m. y C = 54º.
Indicación: Aplicando el teorema del coseno obtienes que c = 14,77m. Aplicando
ahora el teorema del coseno para cos A se obtiene que A = 98º26’24” y
como A + B + C = 180º tenemos que B = 27º33’36”.
3.- Resuelve el triángulo del que se conocen: A = 40º, b = 5m, a = 2m.
Indicación: Aplicamos teorema del seno:
2
5
5sen 40º
=
⇒ senB =
≅ 1,61 ⇒
2
sen 40º senB
que este triángulo no tiene solución, ya que el seno no puede ser mayor que 1.
4.- Resuelve el triángulo del que se conocen: A = 40º, b = 5m, a = 4m.
Indicación: Empieza como en el anterior, pero este sí tiene solución:
⎧53 º 27'50"
si
B ∈ 1º cuadr ante
⎩126 º32'9"
si
B ∈ 2º cuadrante
B= ⎨
Sí B = 53º27’50” ⇒ C = 86º32’10” ⇒
4
c
=
⇒ c = 6, 21m
sen 40º sen 86º 32 '10"
Sí B = 126º32’29” ⇒ C = 13º27’31” ⇒
4
c
=
⇒ c = 1, 45m
sen 40º sen13º 27 '31"
5.- Resuelve el triángulo del que se conocen a = 7m, b = 9m y c = 3m.
Indicación: Aplica tres veces el teorema del coseno y obtienes: A = 40º36’, B =
123º12’, C = 16º12’
6.- Una persona observa un globo desde dos posiciones distintas situadas en un
mismo plano vertical que pasa por el globo. Dichas posiciones distan entre sí 0,9 km.
Las visuales, del observador al globo, forman 20º y 30º con la horizontal. Halla la altura
del globo. Solución: 201m.
7.- Dos lados de un paralelogramo miden 2 y 3m y forman un ángulo de 50º. Halla las
longitudes de las diagonales del paralelogramo.
Indicación: Dibuja un paralelogramo de lados 2 y 3 m y el ángulo entre ellos de 50º.
El ángulo opuesto debe medir 130º. Aplica a las dos diagonales el teorema del coseno
y obtendrás: 2,30m y 4,55m.