Download 1 Los catetos de un triángulo rectángulo miden 10 y 24 cm. Calcula

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Los catetos de un triángulo rectángulo miden 10 y 24 cm. Calcula la medida de la hipotenusa.
Solución:
Por ser un triángulo rectángulo,
h2 = 102 + 242 = 100 + 576 = 676
h=
2
676 = 26 cm
Calcula el valor del cateto que falta, sabiendo que la hipotenusa mide 35 cm y el otro cateto 21 cm.
Solución:
352 = a2 + 212
a2 = 352 - 212 = 1 225 - 441 = 784
a=
3
784 = 28 cm
Una piscina olímpica tiene 50 m de largo por 20 m de ancho. ¿Cuál es la distancia máxima que puedes
bucear?
Solución:
La diagonal:
502 + 202 = d2
d = 502 + 202 = 2900 = 53,85 m
4
Calcula la dimensión de la altura de un triángulo rectángulo que tiene por hipotenusa un segmento de 5 m y
por cateto menor 2 m.
Solución:
h2 + 22 = 52
h = 25 − 4 = 21 = 4,58 m
5
Calcula la amplitud de los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo si miden uno el doble del otro.
Solución:
Los dos ángulos deben sumar 90º. Al ser uno el doble del otro, uno medirá a y el otro 2a.
a + 2a = 90º
3a = 90º
a = 30º
Los ángulos medirán a = 30º y 2a = 60º.
6
Dos sillas se encuentran en vértices opuestos de una habitación rectangular de 3 m de largo por 4 m de
ancho. Calcula la distancia que habrá entre ellas.
Solución:
32 + 42 = d2
d = 32 + 42 = 25 = 5 m
7
Un jardín de forma cuadrada tiene por base la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Si los catetos del
triángulo miden 71 m y 34 m, calcula la superficie del jardín.
Solución:
La superficie del jardín es la superficie del cuadrado construido sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo:
712 = 5 041; 342 = 1 156
712 + 342 = 5 041 + 1 156 = 6 197 m2
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¿Puede un triángulo equilátero ser rectángulo? Responde sin hacer ninguna consideración sobre los
ángulos.
Solución:
Si un triángulo es equilátero, sus tres lados son iguales; los cuadrados de sus lados también serán iguales y, por lo
tanto, la suma de dos cuadrados no podrá ser igual a uno de ellos. Por tanto, no puede ser rectángulo.
a2 + a2 = 2 a2 ≠ a 2
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Queremos guardar una pértiga de 7 m de largo en una habitación rectangular de 5 m de largo por 4 m de
ancho. ¿Seremos capaces?
Solución:
5 2 + 4 2 = d2
2
d = 5 + 4 2 = 41 = 6,40 m
La distancia más grande que se puede medir dentro de la habitación será la diagonal, y ésta es de 6,40 m; por
tanto, no podremos guardar la pértiga.
10 ¿Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles? (Toma como unidad de medida el
cateto).
Solución:
Sea a el valor de uno de los catetos.
h2 = a2 + a2 = 2 a2
h=
2 a2 = a 2
11 Comprueba la veracidad o falsedad de esta afirmación: “Si incrementamos en un centímetro los lados de
un triangulo rectángulo, el triángulo resultante también es rectángulo”.
Solución:
Si encontramos un solo caso en que la afirmación no sea cierta, podremos afirmar que la frase no es verdadera.
Veamos que pasa con un triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5.
(3+1)2 = 42 = 16
(4+1)2 = 52 = 25
(5+1)2 = 62 = 36
(3+1)2 + (4+1)2 = 16 + 25 = 41 ≠ 36 = (5+1)2
Por tanto, la afirmación no es cierta
12 Queremos construir un rombo con alambre. Las diagonales del rombo han de ser 42 y 144 cm. ¿Qué
cantidad de alambre necesitaremos?
Solución:
Si la diagonal mide 42cm, la semidiagonal será de 21 cm; lo mismo ocurrirá con la otra semidiagonal, que medirá
72cm. Sea b el lado del rombo,
212 + 72 2 = b 2
b = 441 + 5 184 = 5 625 = 75 cm
La cantidad de alambre necesaria será equivalente al perímetro del rombo
P = 4 · b = 4·75 = 300 cm = 3 m de alambre.
13 Calcula la altura de un triángulo equilátero en función del lado.
Solución:
4 l2 − l2
=
4
l2 − ( l )2 =
2
h=
3 l2 l 3
=
4
2
14 Calcula las dimensiones de las diagonales del trapecio de la figura:
Solución:
d12 =
d 22
=
52 + 22 =
2
2 + 8
2
=
29 = 5,39 cm
68 = 8,25 cm
15 Calcula el lado del cuadrado de la figura.
Solución:
2,0 2 + 2,0 2 = l 2
l = 4,0 + 4,0 = 8,0 ≅ 2,83 cm
16 Si los lados de un triángulo son proporcionales a 3, 4 y 5, ¿se trata de un triángulo rectángulo?
Solución:
Si son proporcionales a 3, 4 y 5, sea k la constante de proporcionalidad. Los lados medirán 3k, 4k, 5k.
Comprobemos si se verifica el Teorema de Pitágoras:
(3k)2 = 9k2 , (4k)2 = 16k2 , (5k)2 = 25k2
(3k)2 + (4k)2 = 9k2 + 16k2 = 25k2 = (5k)2
Se verifica el teorema de Pitágoras.
17 Una plaza tiene forma de triángulo isósceles de base 24 m y altura 16 m. Queremos ponerle alrededor una
valla metálica. ¿Cuántos metros de valla necesitaremos?
Solución:
12 2 + 16 2 = b 2
b = 144 + 256 = 400 = 20 m
P = 24 + b + b = 24 + 2b = 24 + 2 · 20 = 24 + 40 = 64 m
18 Calcula las dimensiones, en pulgadas, de un televisor de 20'' si sus lados están en proporción 3:4.
Solución:
El televisor tiene una diagonal de 20''. Si los lados están en proporción 3:4, diremos que uno de ellos mide 3a y el
otro 4a.
(3 a)2 + (4 a)2 = 202
20
⇒ a=
= 4′′
5
20 = (3 a)2 + (4 a)2 = 25 a2 = 5 a
Las dimensiones serán :
3a = 3 · 4'' = 12''
4a = 4 · 4'' = 16''
19 Si dos ángulos de un triángulo son complementarios, ¿qué podemos afirmar del triángulo?
Solución:
Si dos ángulos son complementarios, significa que la suma de ambos es 90º, por tanto, el tercer ángulo medirá
180º - 90º = 90º, es decir, será recto. El triángulo es rectángulo.