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Geometría del plano. Movimientos
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GEOMETRÍA DEL
PLANO. MOVIMIENTOS
E
n esta unidad se introducen tres conceptos nuevos y básicos en el estudio de la geometría: lugares geométricos, vectores y movimientos
en el plano. Es fundamental que los alumnos identifiquen el estudio de la unidad con su entorno, reconozcan la belleza de las expresiones artísticas y valoren la necesidad de tener cultura geométrica para realizar sus propias creaciones. Es importante que aprendan a ser
rigurosos en la utilización del lenguaje geométrico, en la realización de cálculos aritméticos y en las representaciones gráficas que van a realizar.
Los contenidos de esta unidad parten de hechos concretos y cotidianos. La exposición de cada sección debe ir acompañada de la realización
de los ejercicios que se proponen, tanto en la propia sección como en las páginas de actividades finales.
La metodología se ha diseñado incluyendo actividades integradas que permitirán adquirir varias competencias al mismo tiempo.
Comunicación lingüística (CL)
Es la protagonista de toda la unidad, teniendo especial importancia en las secciones Matemáticas vivas, Geometría en el arte y Lee y comprende las matemáticas del final del bloque.
Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)
Se desarrolla lo largo de toda la unidad, aplicando el razonamiento matemático para describir, interpretar y representar situaciones. Los alumnos construirán elementos geométricos utilizando herramientas de dibujo como el transportador de ángulos y programas informáticos.
Competencia digital (CD)
Se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos.
Competencias sociales y cívicas (CSC)
Está presente en varias actividades que permitirán desarrollar la capacidad de comunicarse de una manera constructiva.
Competencia aprender a aprender (CAA)
A lo largo de la unidad se considera la necesidad de que los alumnos adquieran la capacidad de motivarse por aprender. Para ello, se proponen
actividades basadas en estrategias de aprendizaje que desarrollarán sus propias habilidades y el trabajo cooperativo.
Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)
Se desarrolla especialmente en las últimas actividades de cada sección (Investiga o Desafío) y en la sección de Matemáticas Vivas.
Competencia conciencia y expresiones culturales (CCEC)
Se integra a lo largo de toda la unidad y especialmente en las secciones Matemáticas vivas y Geometría en el arte.
El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de 3 semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos, ya que hay que
tener en cuenta el tiempo necesario para la exposición de los trabajos.
Objetivos
Los objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:
❚❚ Reconocer un lugar geométrico en el plano y definir como lugares geométricos figuras planas conocidas.
❚❚ Reconocer los ángulos que se obtienen al cortar dos rectas, y los ángulos definidos por dos rectas paralelas cortadas por una secante.
❚❚ Relacionar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo mediante el teorema de Pitágoras.
❚❚ Calcular el perímetro y el área de un polígono, y obtener la longitud y el área de una figura circular.
❚❚ Reconocer las traslaciones, los giros y las simetrías como movimientos en el plano.
❚❚ Obtener vectores en el plano y aplicarlos en una traslación.
❚❚ Aplicar una traslación, un giro o una simetría a una figura del plano.
❚❚ Distinguir los tipos de simetría y aplicarlos a una figura del plano.
❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando la geometría del plano y los movimientos.
Unidades didácticas 194
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Geometría del plano. Movimientos
7
Atención a la diversidad
Con el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen algunas actividades de refuerzo y de ampliación que
podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno.
Material complementario
En el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de
problemas relacionados con la geometría en el plano. Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre geometría en el plano, y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.
Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con la geometría en el plano, pueden acceder a las
lecciones 1113, 1114, 1115, 1116, 1125, 1127 y 1230 de la web www.mismates.es.
PROGRAMACIÓN DE LA UNIDAD
Contenidos
Lugares
geométricos
Criterios de evaluación
Estándares de aprendizaje evaluables
Relación de
actividades del
libro del alumno
Competencias
clave
1. Reconocer lugares geométricos en el plano. 1.1 Conoce las propiedades de los puntos de la
mediatriz de un segmento y de la bisectriz de un
ángulo, utilizándolas para resolver problemas
geométricos sencillos.
1.2 Identifica lugares geométricos sencillos.
1, 5, 6
76, 78
Relaciones entre
ángulos
2. Manejar relaciones entre ángulos definidos
por rectas que se cortan o por rectas
paralelas cortadas por una secante.
2.1. Reconoce ángulos complementarios,
suplementarios, adyacentes, opuestos por el
vértice y correspondientes.
10-17
79-82
Teorema de
Pitágoras.
Aplicaciones
3. Relacionar las longitudes de los lados de
un triángulo rectángulo mediante el teorema
de Pitágoras.
3.1. Calcula longitudes de lados desconocidos en 18-20, 25, 84, 85
un triángulo rectángulo.
3.2. Aplica el teorema de Pitágoras para resolver 21-24, 26-29
problemas en diferentes contextos.
83, 86-93
CL
CMCT
CD
CSC
CAA
CSIEE
Perímetros y áreas
de figuras planas
Polígonos
Figuras circulares
4. Obtener medidas de longitudes y áreas de
figuras poligonales.
4.1. Calcula medidas y áreas de polígonos.
30-33, 35-38
97, 101, 104
5. Calcular medidas de longitudes y áreas de
figuras circulares.
5.1. Obtiene medidas y áreas de figuras
circulares.
39-41
105, 110
6. Resolver problemas reaccionados con el
cálculo de longitudes y áreas.
6.1. Resuelve problemas donde intervienen
figuras poligonales y figuras circulares.
34, 42-44, 94-96,
98-100, 102, 103,
106-109, 111, 112
CL
CMCT
CSC
CAA
CSIEE
CCEC
Traslaciones
Vectores
7. Obtener vectores en el plano y aplicarlos
en una traslación.
7.1. Determina las coordenadas cartesianas y el
módulo de un vector.
7.2. Reconoce las coordenadas del vector
traslación y relaciona las coordenadas de un
punto con las de su trasladado.
45, 46, 114
Giros
8. Reconocer las traslaciones como
movimientos en el plano.
8.1. Aplica una traslación geométrica a una
figura.
51-54
118
9. Reconocer los giros como movimientos en
el plano.
9.1. Identifica el centro y la amplitud de un giro y
aplica giros a puntos y figuras en el plano.
56-63
121
10. Reconocer las simetrías como
movimientos en el plano.
10.1. Halla las coordenadas de puntos
transformados por una simetría.
10.2. Obtiene la figura transformada mediante
una simetría.
10.3. Reconoce centros y ejes de simetría en
figuras planas.
65-68, 122
11.1. Identifica movimientos presentes en
diseños cotidianos y obras de arte y genera
creaciones propias mediante la composición de
movimientos.
64, 73, 74, 113, 120
G1
Matemáticas vivas
Trabajo cooperativo
Simetrías
11. Relacionar transformaciones geométricas
con movimientos.
Unidades didácticas 195
2-4, 7-9, 75, 77
47-50, 55
115-117, 119
CL
CMCT
CSC
CAA
CSIEE
CL
CMCT
CSC
CAA
CSIEE
CL
CMCT
CD
CSC
CAA
CSIEE
CCEC
69, 70, 123
71, 72, 124
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
7
Geometría del plano. Movimientos
MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD
PARA EL PROFESOR
PARA EL ALUMNO
Presentación de la unidad
Ideas previas
Repasa lo que sabes
Matemáticas en el día a día
Contenido WEB. Descubriendo la
geometría
1.Lugares geométricos
Actividades de Refuerzo
Actividades de Ampliación
2.Relaciones entre ángulos
Propuesta de Evaluación A
Propuesta de Evaluación B
3.Teorema de Pitágoras.
Aplicaciones
Vídeo. Teorema de Pitágoras
4.Perímetros y áreas de figuras
planas
• P olígonos
• F iguras circulares
5.Traslaciones
• Vectores
MATERIAL COMPLEMENTARIO
Vídeo. Traslaciones
6.Giros
Vídeo. Giros
7.Simetrías
Vídeo. Simetrías
Comprende y resuelve
problemas
¿Qué tienes que saber?
• Relaciones entre ángulos
• Teorema de Pitágoras. Aplicaciones
• Movimientos en el plano
Practica+
MisMates.es
Lecciones 1113, 1114, 1115,
1116, 1125, 1127 y 1230
de la web mismates.es
Actividades finales
Actividades interactivas
Matemáticas vivas
Mosaicos
• B elleza de los diseños geométricos
inspirados en figuras de la naturaleza
Trabajo cooperativo
Tarea cuya estrategia es Imagen
mural, adaptación del Laboratorio de
Innovación Educativa del colegio Ártica
a partir de Ferreiro Gravié
Avanza
Teorema de Pitágoras generalizado
Geometría en el arte
Transformaciones geométricas
UnidadesUnidades
didácticasdidácticas
196
Matemáticas
Matemáticas
orientadas
orientadas
a las enseñanzas
a las enseñanzas
académicas
académicas
3.º ESO 3.º ESO
Geometría del plano. Movimientos
7
Sugerencias didácticas
7
La presentación de la unidad podría hacerse recordando las
posiciones relativas entre rectas y reconociendo los elementos y las propiedades de las figuras planas.
GEOMETRÍA
DEL PLANO.
MOVIMIENTOS
S
IDEAS PREVIA
tivas de dos
❚ Posiciones rela
rectas.
de los
❚ Clasificación
sus lados
triángulos por
ulos.
áng
y por sus
de los
❚ Clasificación
cuadriláteros.
de los
❚ Propiedades
s.
paralelogramo
Las actividades propuestas en la unidad deberán ser el hilo
conductor del aprendizaje de los alumnos. En ellas también se presentan estrategias y herramientas tecnológicas
básicas.
La presencia de los polígonos y las figuras circulares en la
naturaleza ha sido objeto de estudio desde la antigüedad.
Científicos y matemáticos se preguntaron durante siglos por
qué las abejas conocen y utilizan los hexágonos para construir
sus panales y cómo son capaces de crear la forma que mejor
aprovecha el plano con el menor coste energético posible.
Es importante que los alumnos adquieran la destreza de
manejar regla, el compás y el transportador de ángulos,
así como utilizar el lenguaje geométrico y algebraico adecuado.
Los pitagóricos lograron relacionar la superficie de cualquier
polígono con la del cuadrado y plantearon uno de los problemas
más famosos de la historia de las matemáticas: la cuadratura
del círculo. Este problema consiste en obtener un cuadrado
que tenga la misma superficie que un círculo dado.
REPASA LO QUE SABES
1. Determina si son secantes, paralelas o coincidentes.
⎫
⎪
b) 6 x − 5 y = 1 ⎪
⎬
4 x + 3 y = 7⎪
⎪
⎭
⎫
a) 3 x − 5 y = 4 ⎪
⎪
⎬
3x −5y = 2⎪
⎪
⎭
⎫
⎪
c) 2 x + 3 y = 4 ⎪
⎬
4 x + 6 y = 8⎪
⎪
⎭
Contenido WEB. DESCUBRIENDO LA GEOMETRÍA
2. Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas.
En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recurso TIC para complementar la página de inicio con información
relativa a la unidad. En este caso se explica cómo se desarrolla la
percepción de la geometría desde que somos niños. Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar la
unidad o como ampliación para aquellos alumnos que muestren
un interés especial.
a) En un triángulo isósceles, los tres lados son desiguales.
b) Un triángulo equilátero es acutángulo.
c) En un triángulo obtusángulo, los tres ángulos son obtusos.
3. Dibuja estos cuadriláteros.
a) Rectángulo.
b) Romboide.
c) Trapecio isósceles.
4. ¿Cuál de estas propiedades es falsa?
a) El rombo tiene los lados iguales, pero los ángulos no.
b) El cuadrado es un rectángulo con los lados iguales.
c) Las diagonales de un paralelogramo forman un ángulo de 90º.
[
Matemáticas en el día a día
mac3e23
]
A partir de los dos años, un niño es capaz de distinguir las
figuras geométricas planas básicas, aunque no conozca sus
nombres ni sus propiedades; la geometría nos rodea desde
que somos pequeños en nuestras actividades diarias.
121
Repasa lo que sabes
Soluciones de las actividades
1.Determina si son secantes, paralelas o coincidentes.
a) 3 x − 5 y = 4 ⎫⎪⎪
b) 6 x − 5 y = 1 ⎫⎪⎪
c) 2 x + 3 y = 4 ⎫⎪⎪
⎬
⎬
⎬
⎪
4 x + 3 y = 7 ⎪⎪⎭ 4 x + 6 y = 8 ⎪⎪⎭
3 x − 5 y = 2 ⎪⎭ a) Como los coeficientes de x e y son iguales y los términos independientes son distintos, son rectas paralelas.
b) Los coeficientes de x e y son diferentes; por tanto, son rectas secantes.
c) Los coeficientes de la segunda ecuación son proporcionales a los de la primera, luego son rectas coincidentes.
2.Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas.
a) En un triángulo isósceles, los tres lados son desiguales.
b) Un triángulo equilátero es acutángulo.
c) En un triángulo obtusángulo, los tres ángulos son obtusos.
a) Falsa. Un triángulo isósceles tiene dos lados iguales y uno desigual.
b) Verdadera. Los tres ángulos en un triángulo equilátero son iguales y miden 60º.
c) Falsa. Solo un ángulo puede ser obtuso.
3.Dibuja estos cuadriláteros.
a) Rectángulo.
b) Romboide.
c) Trapecio isósceles.
Comprobar que los alumnos dibujan un rectángulo, un romboide y un trapecio cuyos lados no paralelos son iguales.
4.¿Cuál de estas propiedades es falsa?
a) El rombo tiene los lados iguales, pero los ángulos no.
b) El cuadrado es un rectángulo con lados iguales.
c) Las diagonales de un paralelogramo forman un ángulo de 90º.
Es falsa la propiedad del apartado c).
Unidades didácticas 197
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
7
Geometría del plano. Movimientos
1. Lugares geométricos
7
1. LUGARES GEOMÉTRICOS
Aprenderás a…
●
●
EJERCICIO RESUELTO
Tres pueblos situados en una llanura han decidido mejorar sus instalaciones.
Reconocer un lugar
geométrico en el plano.
}
❚ El pueblo A quiere construir una carretera de circunvalación de forma que la distancia
de cualquier punto de la carretera al centro de la localidad sea de 1 km.
Definir como lugares
geométricos figuras planas
conocidas.
Dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos
rectas secantes, r y s.
Solución
❚ Los vecinos de los pueblos A y B han acordado la construcción de un cortafuegos en
la zona forestal que comparten. Deberá cumplir la normativa de que cada punto del
mismo ha de distar del pueblo A lo mismo que del pueblo B.
El lugar geométrico de
los puntos que equidistan
de r y de s son dos rectas
perpendiculares entre sí.
r
❚ Una compañía de electricidad va a modificar el tendido eléctrico. Para ello, debe
situar un nuevo cable que parta del centro del pueblo A y la distancia del tendido a
las carreteras AB y AC ha de ser la misma en cada punto.
Recuerda
Y
1
C
O
A
1
Las mejoras de las instalaciones estarán formadas por conjuntos de puntos que
cumplen una misma propiedad. Diremos que son lugares geométricos.
X
1
Dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes a dos
rectas que se cortan formando un ángulo recto.
2
Halla y representa el lugar geométrico del plano cuyos puntos se encuentran a la
misma distancia de la recta 2x + y = 4.
3
Determina el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes a dos rectas
paralelas.
4
Traza una circunferencia de 4 cm de radio y, a continuación, dibuja y describe el
lugar geométrico de los puntos del plano que están a una distancia de 1 cm de
ella.
5
Dibuja el segmento determinado por los puntos A(2, 1) y B(2, 3) y traza su mediatriz.
6
Si A y B son dos puntos del plano, dibuja y describe el lugar geométrico de los
puntos del plano, P, que cumplen que el triángulo ABP es isósceles.
Se llama lugar geométrico en el plano al conjunto de todos los puntos del
plano que verifican una determinada propiedad.
A(1, 1) B(−3, 2) C(−2, −1)
❚ En el caso del pueblo A tenemos que trazar una
circunferencia con centro en el pueblo A y 1 km de
radio, para que todos los puntos de este lugar geométrico
se encuentren a la misma distancia.
P
r
r
r
A
P
d
d
d’
d’
A
❚ La dirección de la recta que la compañía eléctrica debe
seguir es la de la bisectriz del ángulo BAC que forman
las carreteras BA y AC.
Dados dos puntos, A y B, dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del
plano, P, que verifican que el triángulo ABP es rectángulo.
8
Dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de
estos segmentos.
a)
b)
B
Q
B
d’
Q
d
P d d’
A
7
c
M
❚ Para encontrar un lugar que se sitúe a la misma distancia
y diseñar así el cortafuegos, debemos trazar la mediatriz
del segmento de extremos A y B, esto es, la recta
perpendicular al segmento AB, y que pasa por su punto
medio.
Q
Recuerda
La bisectriz de un ángulo lo
divide en dos ángulos iguales.
Se trata de las bisectrices de
los ángulos determinados
por las rectas r y s.
s
Para representar un punto en
el plano cartesiano es necesario
conocer la abscisa (valor
en el eje X) y la ordenada
(valor en el eje Y), esto es, sus
coordenadas. Por ejemplo:
B
7
Actividades
Geometría del plano. Movimientos
Recuerda
La mediatriz de un segmento
es la recta perpendicular a él
que pasa por su punto medio.
m
b
C
❚ Una circunferencia de centro C y radio r es el lugar geométrico de los puntos, P,
del plano cuya distancia al centro es igual a r.
Investiga
d(P, C) = r
❚ La mediatriz de un segmento AB es el lugar geométrico de los puntos, P, del
plano que equidistan de A y de B, es decir, que están a la misma distancia de los
extremos del segmento.
d(P, A) = d(P, B)
9
Une los extremos de un trozo de hilo a dos chinchetas y pincha estas sobre una cartulina. Con la ayuda de un
rotulador, tensa el hilo y dibuja el rastro que permita la longitud del hilo elegida.
a) ¿Cómo se llama la figura dibujada?
b) Cita algunos objetos o fenómenos en los que aparezcan figuras como la que has dibujado.
❚ La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos, P, del plano que
equidistan de las rectas r y s que forman dicho ángulo.
c) ¿Qué figura obtienes si unes los extremos del hilo a una sola chincheta y dibujas el rastro que deja el
rotulador con el hilo tenso?
d(P, r) = d(P, s)
122
123
Sugerencias didácticas
Para profundizar, conviene presentar actividades gráficas
sencillas donde tengan que averiguar el lugar geométrico
que generan dos rectas paralelas, el que generan dos segmentos y el lugar geométrico de los puntos que distan de
dos puntos fijos (para ello utilizarán un hilo o cordón y dos
chinchetas).
Para que los alumnos comprendan el concepto de lugar
geométrico, es recomendable que se propongan actividades en las que tengan que utilizar la regla y el compás.
Les será fácil reconocer la circunferencia como lugar geométrico.
Es fundamental que reconozcan las propiedades que cumplen los puntos de la mediatriz de un segmento y de la
bisectriz de un ángulo.
Soluciones de las actividades
1 Dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes a dos rectas que se cortan formando un án-
gulo recto.
El lugar geométrico de los puntos equidistantes a las rectas perpendiculares r y s es la bisectriz del ángulo recto.
Comprobar que los alumnos dibujan dos rectas perpendiculares y que hallan las bisectrices de los ángulos rectos.
2 Halla y representa el lugar geométrico del plano cuyos puntos se encuentran a la misma distancia de la recta 2x + y = 4.
Los puntos de cualquier recta paralela a 2x + y = 4 equidistan de ella.
Y
2x + y = 4
El lugar geométrico es 2x + y = k, siendo k cualquier número real.
1
O
1
X 3 Determina el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes a dos rectas paralelas.
El lugar geométrico es otra recta paralela a ellas que equidista de ambas.
Unidades didácticas 198
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Geometría del plano. Movimientos
7
4 Traza una circunferencia de 4 cm de radio y, a continuación, dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano
que están a una distancia de 1 cm de ella.
El lugar geométrico son dos circunferencias con el mismo centro que la de radio 4 cm, de 3 cm y 5 cm de radio, respectivamente.
Comprobar que los alumnos dibujan una circunferencia de 4 cm de radio y que después trazan dos circunferencia con el
mismo centro que la anterior, de 3 cm y 5 cm de radio, respectivamente.
5 Dibuja el segmento determinado por los puntos A(2, 1) y B(2, 3) y traza su mediatriz.
Y
•B
1
O
•A
1
X
6 Si A y B son dos puntos del plano, dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano, P, que cumplen que el
triángulo ABP es isósceles.
El lugar geométrico de los puntos P es la mediatriz del lado AB.
•P
•
A
•
B
7 Dados dos puntos A y B, dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano, P, que verifican que el triángulo
ABP es rectángulo.
•
P
A•
•
El lugar geométrico de los puntos P es la circunferencia de centro el punto medio del segmento
AB y diámetro la distancia del punto A al punto B.
•B
8 Dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de estos segmentos.
•
•
a)
•
A
•
b)
•
B•
•
•
B
•A
••
•
En cada caso, el lugar geométrico está formado por los puntos del segmento AB.
Investiga
9 Une los extremos de un trozo de hilo a dos chinchetas y pínchalas sobre una cartulina. Con la ayuda de un rotulador, tensa
el hilo y dibuja el rastro que permita la longitud del hilo elegida.
a)¿Cómo se llama la figura dibujada?
b)Cita algunos objetos o fenómenos en los que aparezcan figuras como la que has dibujado.
c) ¿Qué figura obtienes si unes los extremos del hilo a una sola chincheta y dibujas el rastro que deja el rotulador con el
hilo tenso?
a)La figura dibujada se llama elipse.
b)Respuesta abierta, por ejemplo: Al cortar un cono con un plano inclinado que no pase por el vértice se obtiene una
elipse; el movimiento de la Tierra alrededor del Sol describe una elipse.
c) Obtengo una circunferencia.
Unidades didácticas 199
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
7
Geometría del plano. Movimientos
2. Relaciones entre ángulos
7
2. RELACIONES ENTRE ÁNGULOS
Aprenderás a…
●
●
Diego se ha fijado en las vigas de una
nueva construcción. Para estudiar la
estructura, considera cada viga como
una recta.
Reconocer los ángulos que se
obtienen cuando se cortan
dos rectas.
Relacionar los ángulos
definidos por dos rectas
paralelas cortadas por una
secante.
7
Actividades
Geometría del plano. Movimientos
¿Cómo son los ángulos que determinan
dos rectas secantes? ¿Qué relación
existe entre los ángulos determinados
por rectas paralelas y una que las corta?
Dos rectas que se cortan en un punto
forman cuatro ángulos.
10
Calcula el ángulo complementario del que abarca un arco de 32º y el suplementario
del que abarca uno de 10º.
11
Si el suplementario de un ángulo tiene una amplitud de 102º, ¿cuál es la amplitud
de este ángulo?
12
Dibuja dos ángulos adyacentes sabiendo que la amplitud de uno es de 45º.
13
Dos ángulos son adyacentes y uno de ellos abarca un arco de 30º. ¿Cuál es la
amplitud del otro?
14
Si dos ángulos opuestos por el vértice tienen una amplitud de 60º, determina la
amplitud de sus adyacentes.
 y B
Observamos que los ángulos A
tienen un lado común, es decir, son
ángulos consecutivos y, también,
suplementarios:
B
C
EJERCICIO RESUELTO
}
 + B = 180º
A
A
 y B son
Decimos que los ángulos A
adyacentes.
D
En la figura aparecen los ángulos
determinados por dos rectas
paralelas cortadas por una recta
secante. Determina la amplitud de
los ángulos desconocidos sabiendo
A
B
30º
C
E
F
 = 30°.
que D
Al ser ángulos opuestos por el vértice, sabemos que: B = 30º
 y C son opuestos por el vértice, ya que los lados de C son
Los ángulos A
 . Estos ángulos tienen la misma amplitud: A
 = C .
prolongación de los lados de A
 y B son adyacentes:
Como A

Del mismo modo, observamos que: B = D
 y C son opuestos por el vértice; por tanto: C = 150º
También A
 + B = 180º → A
 = 150º
A
Si dos rectas paralelas se cortan con otra
recta, determinan ocho ángulos.
B
A
D
F
E
G
H
 y H
 son correspondientes a los anteriores. Luego:
Los ángulos E , F , G
 y E tienen la misma
Los ángulos A
amplitud, puesto que están formados
por la misma recta secante y las dos
rectas paralelas; se trata de ángulos
 = E
correspondientes, es decir: A
Análogamente, son correspondientes
.
 y H
 , y C y G
los ángulos B y F , D
 = E = 150º
A
B = F = 30º
 = 150º
C = G
 = H
 = 30º
D
15
La amplitud de uno de los ángulos determinados por dos rectas paralelas y una
recta que las corta es de 115º. Indica la relación entre todos los ángulos formados
y determina la amplitud de los ángulos desconocidos.
16
Halla la amplitud de los ángulos determinados por estas rectas.
a)
b)
 y B son adyacentes: A
 + B = 180º
Como A
 = E
A
Sabemos que:
B 60º
C
B = F
E + B = 180º
 + F = 180º
A
 = 180º
Y, del mismo modo: C + H
 = 180º
 + G
D
Así, tenemos que:
H
G
Solución
También son adyacentes los ángulos
, y D
 y A
.
B y C , C y D
C
Recuerda
Decimos que dos ángulos son
complementarios si su suma
es 90º.
150º
C
D
F
G
❚ Dos ángulos son adyacentes si están formados por dos rectas que se cortan en
un punto y son consecutivos y suplementarios.
❚ Dos ángulos son opuestos por el vértice si están determinados por dos rectas
secantes y los lados de uno son prolongación de los del otro. Estos ángulos tienen
la misma amplitud.
D
A
E
H
DESAFÍO
17
❚ Dos ángulos son correspondientes si están formados por una recta secante
que corta a dos rectas paralelas y se encuentran situados en el mismo lado con
respecto a estas. Estos ángulos tienen la misma amplitud.
La calle Verde es cruzada por dos calles, la calle Azul y la calle Amarilla, que son paralelas entre sí. Por otro
lado, la calle Verde forma un ángulo de 130º con la calle Amarilla.
Dibuja un plano de la zona en la que se encuentran estas calles e indica la amplitud de todos los ángulos que
forman.
124
125
Sugerencias didácticas
Es aconsejable presentar estos conceptos mediante dibujos
adecuados para facilitar la comprensión de los alumnos.
Antes de comenzar el epígrafe, conviene repasar los conceptos de ángulo complementario y suplementario mediante ejemplos gráficos y numéricos.
Puede resultarles difícil la memorización de estos nombres.
Para ayudarles, deben realizar las actividades que se proponen, asegurándonos de que manejan el lenguaje matemático con destreza.
Será necesario que los alumnos reconozcan qué son ángulos adyacentes, opuestos por el vértice y correspondientes.
Soluciones de las actividades
10 Calcula el ángulo complementario del que abarca un arco de 32º y el suplementario del que abarca uno de 10º.
El complementario al ángulo de 32º es 90º − 32º = 58º.
El ángulo suplementario al ángulo de 10º es 180º − 10º = 170º.
11 Si el suplementario de un ángulo tiene una amplitud de 102º, ¿cuál es la amplitud de este ángulo?
La amplitud de este ángulo es 180º − 102º = 78º.
12 Dibuja dos ángulos adyacentes sabiendo que la amplitud de uno es 45º.
180º − 45º = 135º
135º
•
45º
13 Dos ángulos son adyacentes y uno de ellos abarca un arco de 30º. ¿Cuál es la amplitud del otro?
Si son adyacentes, su suma es 180º. El otro ángulo mide 180º − 30º = 150º.
Unidades didácticas 200
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Geometría del plano. Movimientos
7
14 Si dos ángulos opuestos por el vértice tienen una amplitud de 60º, determina la amplitud de sus adyacentes.
Sus adyacentes tienen una amplitud de 180º − 60º = 120º.
15 La amplitud de uno de los ángulos determinados por dos rectas paralelas y una recta que las corta es de 115º. Indica la
relación entre todos los ángulos formados y determina la amplitud de los ángulos desconocidos.
A = 115º
D
 y B son adyacentes; por tanto B = 180º − 115º = 65º.
A
 = C y B = D
 por ser opuestos por el vértice.
A
 yH
 son correspondientes a A
 , B , C , D
 , respectivamente.
E , F , G
B
C
E
F
H
G
 = 115º y B = D
 = 65º.
 = C = E = G
 = F = H
Por tanto, A
16 Halla la amplitud de los ángulos determinados por estas rectas.
a)
b)
B 60º
C
150º
C
D
A
D
F
G
E
H
 = 150º
a) D
 = C = 180º − 150º = 30º
A
b) C = 60º
 = 180º − 60º = 120º
B = D
 y H
 son correspondientes a 60º, B , C , D
 = 60º y
 , respectivamente. Entonces, E = 60º, F = 120º, G
E , F , G
 = 120º.
H
Desafío
17 La calle Verde es cruzada por dos calles, la calle Azul y la calle Amarilla, que son paralelas entre sí. Por otro lado, la calle
Verde forma un ángulo de 130º con la calle Amarilla.
Dibuja un plano de la zona en la que se encuentran estas calles e indica la amplitud de todos los ángulos que forman.
E
H
A = 130º
D
Unidades didácticas C = E =
 =
B = D
F
 = 130º
G
 = F = 180º − 130º = 50º
H
G
B
C
201
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
7
Geometría del plano. Movimientos
3. Teorema de Pitágoras. Aplicaciones
7
3. TEOREMA DE PITÁGORAS. APLICACIONES
Aprenderás a…
●
●
Aunque en la India y en Mesopotamia ya se conocía la
relación entre los lados de un triángulo rectángulo y en el
antiguo Egipto se utilizaba para distribuir los terrenos o
levantar obras arquitectónicas, es el nombre de Pitágoras
de Samos (ca. 580-500 a.C.) el que finalmente ha quedado
ligado a este famoso teorema.
Relacionar las longitudes
de los lados de un triángulo
rectángulo mediante el
teorema de Pitágoras.
Aplicar el teorema de
Pitágoras para resolver
problemas.
Los lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo
recto se llaman catetos, mientras que el lado opuesto al
ángulo recto se denomina hipotenusa.
18
B
a
c
b
d)
27
19
Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 cm y 7 cm, respectivamente,
calcula la longitud de la hipotenusa.
20
Calcula la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide
20 m si el otro cateto tiene 9 m.
21
Determina cuántos metros se desplaza
un niño al bajar por el tobogán
acuático.
22
Una parcela tiene forma de triángulo rectángulo, y sus catetos miden 9 m y 12 m,
respectivamente. Halla los metros de valla necesarios para cercarla.
23
Comprueba cuáles de las siguientes ternas forman un triángulo rectángulo.
a) 3 m, 4 m y 5m
b) 9 cm, 12 cm y 15 cm
c) 5 mm, 6 mm y 7 mm
d) 10 m, 24 m y 26 m
mac3e24
EJERCICIOS RESUELTOS
Olga participa en una carrera. Al llegar al punto C del
circuito, algunos corredores se confunden y toman el
camino PC; ¿qué distancia recorren hasta P?
Solución
La distancia mínima para nadar del punto D al punto B es
la diagonal del rectángulo. Esta diagonal es la hipotenusa
del triángulo rectángulo que forman dos de sus lados
contiguos.
El segmento PC coincide con la altura h del triángulo
equilátero ABC y divide la base por la mitad. La altura
del triángulo es un cateto del triángulo rectángulo cuya
hipotenusa es el lado AC y cuyo cateto es la mitad de AB.
h=
3 125 = 55,9 m
24
Halla la longitud de la diagonal de un patio cuadrado cuyo lado mide 6 m.
25
Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 4 cm, determina la longitud de la
hipotenusa.
26
Calcula la altura de un triángulo equilátero sabiendo que sus lados tienen una
medida de 8 dm.
27
Si un muro de 5 m de altura se apuntala con dos maderos de 7 m de largo, ¿a qué
distancia del muro se han apoyado las bases de los maderos?
28
Se quiere sujetar un poste de madera de 8 m de altura con tres cables que van
desde su extremo superior a un punto del suelo que dista 3 m de la base del poste.
¿Qué longitud de cable hay que comprar?
Lenguaje matemático
Decimos que tres números,
a, b y c, forman una terna
pitagórica si verifican que:
a2 = b2 + c2
Investiga
Solución
252 + 502 =
45
16
Hay muchas situaciones geométricas en las que intervienen elementos que
corresponden a los lados de un triángulo rectángulo. Esto permite aplicar el teorema
de Pitágoras para resolver los problemas que se planteen.
}
c
12
b
A
8
c
b)
C
❚ a2 < b2 + c2, entonces el triángulo
es acutángulo.
Andrés se encuentra en el punto D de esta piscina
rectangular y quiere nadar hasta B. ¿Cuál es la
trayectoria más corta? ¿Cuántos metros debe nadar?
10
15
❚ a2 > b2 + c2, entonces el triángulo
es obtusángulo.
d =
a
8
a2 = b2 + c2
Si a es el lado mayor de un
triángulo y se verifica que:
}
Halla la longitud, en metros, de los lados desconocidos en estos triángulos.
a)
c)
Teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de
los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
Presta atención
7
Actividades
Geometría del plano. Movimientos
42 − 22 =
29
¿Es el área de una figura construida sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo igual
a la suma de las áreas de las figuras semejantes construidas sobre sus catetos?
Comprueba si tu razonamiento es cierto con esta figura.
5 cm
3 cm
4 cm
12 = 3, 46 km
126
127
Sugerencias didácticas
Es fundamental que los alumnos comprendan el significado
geométrico del teorema de Pitágoras. Para ello, es aconsejable que construyamos otros polígonos, o semicircunferencias, sobre los lados del triángulo rectángulo para demostrar el teorema. Es importante que manejen el lenguaje
algebraico y sean capaces de hallar cualquier lado de un
triángulo rectángulo conocidos los otros dos.
Vídeo. TEOREMA DE PITÁGORAS
En el vídeo se muestra cómo crear un archivo de GeoGebra con
el que comprobar el teorema de Pitágoras. Utilizando dos deslizadores para determinar las longitudes de los catetos del triángulo rectángulo, podemos dibujar el triángulo y tres cuadrados
apoyados sobre los lados que son dinámicos. La ventana de Propiedades permite mostrar las áreas de los cuadrados según los
triángulos obtenidos. Puede reproducirse en clase para explicar
el procedimiento con el programa o como recurso para que los
alumnos realicen una aplicación de GeoGebra sobre el teorema
de Pitágoras.
Debemos despertar el interés de los alumnos resolviendo
problemas en los que desarrollen el proceso de modelación
matemática en contextos de la vida cotidiana.
Soluciones de las actividades
18 Halla la longitud, en metros, de los lados desconocidos en estos triángulos.
a)
b)
c)
a
8
12
b
15
10
16
a) a = b + c → a = 15 + 8 = 225 + 64 = 289 → a =
2
2
2
2
2
d)
2
8
27
2
2
2
2
2
2
2
289 = 17 m
2
c) a2 = b2 + c 2 → 102 = 82 + c 2 → c 2 = 102 − 82 = 100 − 64 = 36 → c =
112 = 10,58 m
36 = 6 m
d) a = b + c → 45 = 27 + c → c = 45 − 27 = 2 025 − 729 = 1 296 → c =
2
2
Unidades didácticas 2
2
2
2
2
2
2
202
45
c
b) a = b + c → 16 = b + 12 → b = 16 −12 = 256 −144 = 112 → b =
2
c
1 296 = 36 m
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Geometría del plano. Movimientos
7
19 Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 cm y 7 cm, respectivamente, calcula la longitud de la hipotenusa.
a2 = b2 + c 2 → a2 = 52 + 72 = 25 + 49 = 74 → a =
74 = 8,6 cm
20 Calcula la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 20 m si el otro cateto tiene 9 m.
a2 = b2 + c 2 → 202 = 92 + c 2 → c 2 = 202 − 92 = 400 − 81 = 319 → c =
319 = 17,86 m
21 Determina cuántos metros se desplaza un niño al bajar por el tobogán acuático.
a2 = b2 + c 2 → 132 = 52 + c 2
→ c 2 = 132 − 52 = 169 − 25 = 144
→c =
144 = 12 m
22 Una parcela tiene forma de triángulo rectángulo, y sus catetos miden 9 m y 12 m, respectivamente. Halla los metros de
valla necesarios para cercarla.
Calculamos el valor de la hipotenusa: a2 = b2 + c 2 → a2 = 92 + 122 = 81+ 144 = 225 → a =
Los metros de valla necesarios son 15 + 9 + 12 = 36 m.
225 = 15 m
23 Comprueba cuáles de las siguientes ternas forman un triángulo rectángulo.
a)3 m, 4 m y 5 m
b)9 cm, 12 cm y 15 cm
c) 5 mm, 6 mm y 7 mm
d)10 m, 24 m y 26 m
a)5 = 4 + 3 → Sí forman triángulo rectángulo.
c) 7 ≠ 6 + 5 → No forman triángulo rectángulo.
b)152 = 122 + 92 → Sí forman triángulo rectángulo.
d)262 = 242 + 102 → No forman triángulo rectángulo.
2
2
2
2
2
2
24 Halla la longitud de la diagonal de un patio cuadrado cuyo lado mide 6 m.
Calculamos la hipotenusa del triángulo cuyos catetos miden 6 m cada uno.
a2 = b2 + b2 → a2 = 62 + 62 = 36 + 36 = 72 → a =
72 = 8, 48 m La diagonal mide 8,48 m.
25 Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 4 cm, determina la longitud de la hipotenusa.
a2 = b2 + b2 → a2 = 42 + 42 = 16 + 16 = 32 → a =
32 = 5,65 cm La hipotenusa mide 5,65 cm.
26 Calcula la altura de un triángulo equilátero sabiendo que sus lados tienen una medida de 8 dm.
La hipotenusa es uno de los lados del triángulo. Uno de los catetos mide la mitad de un lado: 8 : 2 = 4 cm.
Calculamos la altura que es el otro cateto del triángulo: 82 = h2 + 42 → h2 = 64 −16 = 48 → h =
48 = 6,92 dm
27 Si un muro de 5 m de altura se apuntala con dos maderos de 7 m de largo, ¿a qué distancia del muro se han apoyado las
bases de los maderos?
El muro y el madero forman un triángulo rectángulo. El muro es uno de los catetos, y el madero, la hipotenusa. Hallamos
el otro cateto para averiguar a qué distancia del muro se ha apoyado el madero.
72 = a2 + 52 → a2 = 72 − 52 = 49 − 25 = 24 → a =
24 = 4,89 m Se ha apoyado a 4,89 m del muro.
28 Se quiere sujetar un poste de madera de 8 m de altura con tres cables que van desde su extremo superior a un punto del
suelo que dista 3 m de la base del poste. ¿Qué longitud de cable hay que comprar?
Hay que hallar la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 8 m y 3 m.
a2 = 82 + 32 = 64 + 9 = 73 → a =
73 = 8,54 m Como son 3 cables, hay que comprar 3 ⋅ 8,54 = 25,62 m.
Investiga
29 ¿Es el área de una figura construida sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo igual a la suma
de las áreas de las figuras semejantes construidas sobre sus catetos? Comprueba si tu razonamiento
es cierto con esta figura.
2
El área del semicírculo de diámetro 5 es: Asemicírculo 1 = π ⋅ r 2 = π ⋅ ( 2,5 ) = 6,25π cm2
5 cm
3 cm
4 cm
2
El área del semicírculo de diámetro 4 es: Asemicírculo 2 = π ⋅ r 2 = π ⋅ ( 2 ) = 4 π cm2
2
El área del semicírculo de diámetro 3 es: Asemicírculo3 = π ⋅ r 2 = π ⋅ (1,5 ) = 2,25π cm2
6,25π = 4π + 2,25π
Es cierto que el área de la figura construida sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las figuras construidas
sobre los catetos.
Unidades didácticas 203
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
7
Geometría del plano. Movimientos
4. Perímetros y áreas de figuras planas
7
Aprenderás a…
●
Calcular el perímetro y el
área de un polígono.
●
Obtener la longitud y el área
de una figura circular.
4. PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
30
Polígonos
Rectángulo
Cuadrado
P = 2b + 2h
P = 4a
A=b⋅h
A = a2
Romboide
a
h
P = 2a + 2b
d
D
A=b⋅h
h
c
b
A=
a
b⋅h
2
c
h
D ⋅d
2
Trapecio
b
P=a+b+c
32
Calcula el perímetro y el área de un trapecio
rectángulo cuyas bases miden 3 cm y 7 cm si el lado
oblicuo tiene 5 cm.
33
Halla el perímetro y el área de un triángulo:
P=a+b+c+B
A=
B
(B + b) ⋅ h
A=
P ⋅a
2
34
, a es la longitud de la apotema.
Divide las siguientes figuras en otras más sencillas y
determina su área.
a)
b)
EJERCICIO RESUELTO
5 cm
Calcula el área de un pentágono regular cuyo lado mide 6 cm si el radio
de la circunferencia circunscrita es de 5 cm.
Solución
Recuerda
El lado de un hexágono regular
tiene la misma longitud que
el radio de la circunferencia
circunscrita a dicho hexágono.
2 cm
La apotema forma un triángulo rectángulo con el
radio y la mitad del lado.
3 cm
Por tanto, podemos aplicar el teorema de Pitágoras
para calcular su longitud, es decir:
a=
52 − 32 =
Así, el área es: A =
16 = 4 cm
(6 ⋅ 5) ⋅ 4
2
a
r
= 60 cm2
Figuras circulares
Circunferencia
L = 2πr
Arco de circunferencia
α
L = 2πr ⋅
360 º
α
r
r
Solución
La longitud del arco de circunferencia es:
30 º
= 13,09 m
360 º
El área del sector circular mide:
b) Acutángulo cuya altura mide 12 m y divide la base
sobre la que se apoya en dos segmentos de 5 m y
10 m, respectivamente.
2
P = b ⋅ n.º de lados
b
En un circuito de carreras circular de 25 m de
radio hay que trazar un arco de circunferencia
con un ángulo de 30º y pintar el sector circular
correspondiente. Calcula la longitud del arco de la
circunferencia y el área del sector circular.
L = 2π ⋅ 25 ⋅
a) Isósceles cuyos lados iguales miden 10 cm y que
tiene un lado desigual de 8 cm.
Polígono regular
a
}
b) Un trapecio isósceles con bases que miden 2 cm y
4 cm, y que tiene una altura de 2 cm.
P = 4a
A=
a
Triángulo
a
}
Halla la longitud de la circunferencia y el área del
círculo cuyo diámetro mide 6,4 cm.
EJERCICIO RESUELTO
Halla el perímetro y el área de estos cuadriláteros.
a) Un rombo cuyas diagonales miden 6 cm y 8 cm.
Rombo
b
❚ La apotema de un polígono es
el segmento que une el punto
medio de un lado con el centro
del polígono.
39
b) Un romboide de 1,3 cm de altura.
31
a
b
Presta atención
Calcula el perímetro y el área de los siguientes
paralelogramos cuyos lados miden 2 cm y 4 cm.
a) Un rectángulo.
h
❚ Podemos descomponer un
polígono regular de n lados en
n triángulos isósceles iguales.
7
Actividades
Geometría del plano. Movimientos
A = π ⋅ 252 ⋅
30 º
360 º
= 163,62 m2
40
Determina la longitud del arco de 45º de una
circunferencia cuyo diámetro mide 10 dm.
41
Calcula el área de un sector circular de 60º en un
círculo cuyo radio mide 7 cm.
42
Halla el área de estas regiones sombreadas.
a)
b)
3 cm
2 cm
1 cm
5 cm
1 cm
1 cm
35
Calcula el área de un hexágono regular cuyo lado
mide 12 cm.
36
¿Cuál es el área de un hexágono regular de 3 cm de
apotema?
37
Halla el área de un triángulo equilátero que tiene un
perímetro de 9 dm.
38
El lado de un pentágono regular mide 4 cm, y su
apotema; 2,75 cm. Calcula su área.
43
Calcula el perímetro y el área de las regiones
sombreadas en estas figuras.
a)
b)
60º
2 cm
1 cm
150º
DESAFÍO
44
R
Un arquitecto ha diseñado una estructura como la de
la figura para un cartel publicitario.
Determina el área que habrá que pintar cuando se
coloque el cartel.
r
Lenguaje matemático
El número π se define como
la razón entre la longitud
de una circunferencia y su
diámetro.
Círculo
A = πr2
Sector circular
α
A = πr 2 ⋅
360 º
Corona circular
A = π ( R2 − r 2 )
128
129
Sugerencias didácticas
existe entre el radio de la circunferencia circunscrita al polígono y su apotema.
Los alumnos ya han estudiado en cursos anteriores cómo
calcular perímetros y áreas de polígonos, y la longitud de la
circunferencia y el área del círculo. Nuestra labor será conseguir que apliquen las fórmulas adecuadas en problemas
contextualizados.
Por primera vez estudiarán los conceptos de arco de circunferencia, sector circular y corona circular. Hay que asegurarnos que manejan correctamente el sistema sexagesimal
para la medida de ángulos.
Como introducción, debemos describir los elementos y las
propiedades de las figuras planas. Es importante que reconozcan que podemos descomponer un polígono regular
de n lados en n triángulos isósceles iguales.
Es fundamental que al terminar el epígrafe los alumnos hayan desarrollado la actitud de curiosidad e indagación de
datos necesarios para abordar correctamente un problema
geométrico.
El cálculo de la apotema de un polígono regular puede presentar dificultades. Debemos dejar claro la diferencia que
Soluciones de las actividades
30 Calcula el perímetro y el área de los siguientes paralelogramos cuyos lados miden 2 cm y 4 cm.
a)Un rectángulo.
b)Un romboide de 1,3 cm de altura.
a)P = 2b + 2h = 2 ⋅ 2 + 4 ⋅ 2 = 12 cm
A = b ⋅ h = 2 ⋅ 4 = 8 cm2
b)P = 2a + 2b = 2 ⋅ 2 + 4 ⋅ 2 = 12 cm
A = b ⋅ h = 4 ⋅ 1,3 = 5,2 cm2
Unidades didácticas 204
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Geometría del plano. Movimientos
7
31 Halla el perímetro y el área de estos cuadriláteros.
a)Un rombo cuyas diagonales que miden 6 cm y 8 cm.
b)Un trapecio isósceles con bases que miden 2 cm y 4 cm, y que tiene una altura de 2 cm.
a)Calculamos la longitud de los lados: a2 = 32 + 42 = 9 + 15 = 25 → a =
D ⋅ d 8 ⋅ 6 48
P = 4a = 4 ⋅ 5 = 20 cm A =
=
=
= 24 cm2
2
2
2
b)B − b = 4 − 2 = 2 cm
Calculamos los lados desconocidos: a2 = 12 + 22 = 1+ 4 = 5 → a =
P = a + b + a + B = 2,23 + 2 + 2,23 + 4 = 10,46 cm A =
25 = 5 cm
5 = 2,23 cm
( B + b) ⋅ h
( 4 + 2) ⋅ 2
= 6 cm2
2
2
32 Calcula el perímetro y el área de un trapecio rectángulo cuyas bases miden 3 cm y 7 cm si el lado oblicuo tiene 5 cm.
Calculamos la altura del trapecio:
52 = h2 + (7 − 3)2 → h2 = 52 − 42 = 25 −16 = 9 → h =
P = h + b + a + B = 3 + 3 + 5 + 7 = 18 cm A =
=
9 = 3 cm
( B + b) ⋅ h
2
=
(7 + 3) ⋅ 3
2
=
10 ⋅ 3
2
=
30
2
= 15 cm2
33 Halla el perímetro y el área de un triángulo:
a)Isósceles cuyos lados iguales miden 10 cm y que tiene un lado desigual 8 cm.
b)Acutángulo cuya altura mide 12 m y divide la base sobre la que se apoya en dos segmentos de 5 m y 10 m, respectivamente.
a)P = a + b + c = 10 + 10 + 8 = 28 cm
Calculamos la altura del triángulo:
102 = h2 + 42 → h2 = 102 − 42 = 100 −16 = 84 → h = 84 = 9,16 cm
b ⋅ h 8 ⋅ 9,16 73,28
=
=
= 36,64 cm2
Por tanto: A =
2
2
2
b)La base del triángulo mide 15 cm. Calculamos la longitud de los otros dos lados.
a2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169 → a =
169 = 13 cm
244 = 15,62 cm
b ⋅ h 15 ⋅12 180
=
=
= 90 cm2
P = a + b + c = 13 + 15,62 + 15 = 43,62 cm A =
2
2
2
34 Divide las siguientes figuras en otras más sencillas y determina su área.
b = 12 + 10 = 144 + 100 = 244 → a =
2
2
2
a)
b)
5 cm
3 cm
1 cm
2 cm
3 cm
1 cm
a)Podemos calcular el área de la figura como suma de las áreas de dos trapecios isósceles. La base mayor de cada trapecio mide 5 cm, la base menor 1 cm y altura 3 : 2 = 1,5 cm.
Afigura = 2 ⋅
( B + b) ⋅ h
Unidades didácticas = 2⋅
(5 + 1) ⋅1,5
= 6 ⋅1,5 = 9 cm2
2
2
b)La figura está compuesta por un cuadrado 3 cm de lado y dos cuadrados de lado 1 cm de lado.
Afigura = a2 + 2 ⋅ b2 = 32 + 2 ⋅12 = 9 + 2 = 11 cm2
205
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
7
Geometría del plano. Movimientos
35 Calcula el área de un hexágono regular cuyo lado mide 12 cm.
Primero calculamos la apotema:
122 = a2 + 62 → a2 = 122 − 62 = 144 − 36 = 108 → a =
Entonces el área es: A =
P ⋅a
=
12 ⋅ 6 ⋅10,39
=
108 = 10,39 cm
748,08
= 374,04 cm2
2
2
2
36 ¿Cuál es el área de un hexágono regular de 3 cm de apotema?
Calculamos el lado del hexágono que es igual al radio, aplicando el teorema de Pitágoras.
2
2
2
⎛ r ⎞⎟
r
r
2
2
2
2
2
⎜
r = a + ⎜⎜ ⎟⎟ → r = 3 +
→r −
= 9 → 3r 2 = 36 → r 2 = 12 → r = 12 = 3, 46 cm
⎝ 2 ⎠⎟
4
4
El lado del hexágono mide 3,46 cm, por tanto: A =
P ⋅a
2
=
3, 46 ⋅ 6 ⋅ 3
2
=
62,28
2
= 31,14 cm2
37 Halla el área de un triángulo equilátero que tiene un perímetro de 9 dm.
Los lados del triángulo miden 3 dm. Calculamos la altura del triángulo.
2
2
32 = h2 + (1,5 ) → h2 = 32 − (1,5 ) = 9 − 2,25 = 6,75 → a = 6,75 = 2,6 dm
b ⋅ h 3 ⋅ 2,6 7,8
=
=
= 3,9 dm2
Por tanto, el área es: A =
2
2
2
38 El lado de un pentágono regular mide 4 cm, y su apotema, 2,75 cm. Calcula su área.
P ⋅ a 4 ⋅ 5 ⋅ 2,75 55
A=
=
=
= 27,5 cm2
2
2
2
39 Halla la longitud de la circunferencia y el área del círculo cuyo diámetro mide 6,4 cm.
El radio de la circunferencia es 6,4 : 2 = 3,2 cm.
L = 2πr = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 3,2 = 20,096 cm
A = πr2 = 3,14 ⋅ 3,22 = 32,1536 cm2
40 Determina la longitud del arco de 45º de una circunferencia cuyo diámetro mide 10 dm.
α
L = 2πr ⋅
= 2 ⋅ 3,14 ⋅ 5 ⋅
45
1 413
= 3,925 dm
360 º
360
360
41 Calcula el área de un sector circular de 60º en un círculo cuyo radio mide 7 cm.
9 231,6
α
60
A = πr 2 ⋅
= 3,14 ⋅ 72 ⋅
=
= 25,64 cm2
360 º
360
360
42 Halla el área de estas regiones sombreadas.
a)
=
b)
2 cm
5 cm
1 cm
2
2
a) A = π ( R − r ) = 3,14 ⋅ ( 5 − 2 ) = 3,14 ⋅ ( 25 − 4 ) = 3,14 ⋅ 21 = 65,94 cm2
1
1 2
1
b)A = Acuadrado −
⋅ Acírculo = l2 −
πr = 12 −
⋅ 3,14 ⋅ 12 = 1 − 0,785 = 0,215 cm2
4
4
4
2
Unidades didácticas 2
206
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Geometría del plano. Movimientos
7
43 Calcula la longitud y el área de las regiones sombreadas en estas figuras.
a)
60º
b)
2 cm
1 cm
150º
60
753,6
a) L = 2πr ⋅
= 2 ⋅ 3,14 ⋅ 2 ⋅
=
= 2,09 cm
360 º
360
360
α
60
753,6
A = πr 2 ⋅
= 3,14 ⋅ 22 ⋅
=
= 2,09 cm2
360 º
360
360
b)El área sombreada está formada por dos sectores circulares de 180º − 150º = 30º de amplitud.
α
30
376,8
LT = 2 ⋅ L = 4 πr ⋅
= 4 ⋅ 3,14 ⋅1⋅
=
= 1,05 cm
360 º
360
360
α
30
188, 4
AT = 2 ⋅ A = 2πr 2 ⋅
= 2 ⋅ 3,14 ⋅12 ⋅
=
= 0,52 cm2
360 º
360
360
α
Desafío
44 Un arquitecto ha diseñado una estructura como la de la figura para
un cartel publicitario.
Determina el área que habrá que pintar cuando se coloque el cartel.
La figura está compuesta por un rectángulo, un trapecio y un triángulo. Calculamos sus áreas.
Arectángulo = b ⋅ h = 20 ⋅ 12 = 240 cm2
( B + b ) ⋅ h (30 + 20 ) ⋅10 50 ⋅10
Atrapecio =
=
=
= 250 cm2
2
2
2
La altura del triángulo es 30 − 12 − 10 = 8 cm.
b ⋅ h 20 ⋅ 8
Atriángulo =
=
= 80 cm2
2
2
AT = Arectángulo + Atrapecio + Atriángulo = 240 + 250 + 80 = 570 cm2
El área que habrá que pintar es 570 cm2.
Unidades didácticas 207
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
7
Geometría del plano. Movimientos
5. Traslaciones
7
5. TRASLACIONES
Aprenderás a…
●
●
Obtener vectores en el plano
y aplicarlos en una traslación.
●
Aplicar una traslación a una
figura del plano.
En primer lugar, Laura ha dibujado un dodecágono regular. A continuación, lo ha
trasladado a la derecha para obtener otro con la misma forma y tamaño. Decimos
que ha realizado un movimiento en el plano.
Y por último, ha trasladado los dos dodecágonos hacia abajo y ha completado el
diseño con un octógono.
Dibuja los puntos A(3, 5) y B(6, 3) y el vector AB .
Determina las coordenadas cartesianas del vector y
calcula su módulo.
46
Representa y halla las coordenadas cartesianas del
Y
B (6 , 2)
Presta atención

Y
❚ La dirección del vector fijo AB
es la que indica la recta que
pasa por los puntos A y B.
❚ El sentido es la orientación que
marca el origen y el extremo del
vector.
❚ El módulo es la distancia
que separa los puntos A y B.
Podemos calcularlo aplicando el
teorema de Pitágoras:

AB =
2
( b1 − a1 )
 + (b
2
2
− a2 )
O

1
47
Calcula las coordenadas del punto P’ trasladado de

P(1, 2) mediante el vector v = (4, 1). Representa la
traslación y dibuja la traslación.
Para trasladar una figura, hallamos los puntos
trasladados de los vértices. En el triángulo, los
vértices trasladados son los siguientes:
48
Mediante una traslación, el punto P(1, 5) se ha
transformado en P’(5, 6). ¿Cuál es el vector de la
traslación aplicada?
C’(5 + 3, 6 + 1) = C’(8, 7)
49
Calcula las coordenadas del punto P si, al trasladarlo

mediante el vector v = (−2, 4), se ha transformado
en el punto P’(4, 6).
50
Al punto P(0, 3) le aplicamos una traslación mediante

el vector u = (3, 4) y obtenemos el punto P’. A
continuación, al punto P’ le aplicamos otra traslación

mediante el vector v = (−2, −1) y el resultado es
el punto P’’. Representa la traslación y determina las
coordenadas de P’’.
51
Traslada los puntos A(1, 2) y B(5, 8) mediante el

vector v = (2, 3).
a) Comprueba gráficamente que los puntos A, A’, B
y B’ están alineados.
b) Determina la recta, r, que pasa por los puntos A
y B.
c) ¿Cuál es la figura que resulta al trasladar la recta r

mediante el vector v ?
O
4u
Y
Y
1
1
O
O
1u
X
1
A
A
1
1
4u
4u
B
B
1u
1u
X
X

d) Traslada la recta r mediante el vector w = (−1, 5).
52
AB = (4 , 1)
AB = (4 , 1)
X
X
1
1
A’(4 + 3, 2 + 1) = A’(7, 3)
B’(8 + 3, 4 + 1) = B’(11, 5)

Calcula las coordenadas de los extremos del
segmento A’B’, obtenido por una traslación de vector
v = (−2, 4) aplicada al segmento AB, cuyos extremos
son A(−4, 3) y B(−1, 5). Dibuja la traslación.
53
Los vértices de un cuadrado son A(2, −2), B(5, −2),
C(5, 1) y D(2, 1).
a) Determina la figura obtenida al aplicar una

traslación mediante el vector v = (3, −6).
b) Comprueba gráficamente si los puntos A’, B’,
C’ y D’ son los vértices de un cuadrado.
54
Traslada un círculo cuyo centro es C(3, 3) y su

radio es 2 unidades mediante el vector v = (4, 2).
a) ¿Cuánto mide el radio del círculo trasladado?
b) ¿Cuáles son las coordenadas del centro
trasladado?
Y fijo en el plano, AB , es un segmento orientado que tiene su origen
Un vector
en A ( a1 ,1a2) y su extremo
, 1) B ( b1 , b2) . Sus coordenadas cartesianas son:
AB = (4en
O
42 + 32 = 5
X
1
Podemos indicar
del
 las coordenadas
Y
B
vector como: AB A= (4, 1)
Por ejemplo, si AB = (4, 3),
entonces: AB =
Y
Y
1
1
O
O
B (6 , 2)

Solución
1
Desde el origen,
A, al extremo, B, nos
X y
desplazamos
O 41 unidades a la derecha
X
O 1
1 unidad hacia arriba.
A (2 , 1)
1
A (2 , 1)
A (2 , 1)
1
Un triángulo tiene por vértices los puntos
A(4, 2), B(8, 4) y C(5, 6). Determina el triángulo
que se obtiene al trasladarlo mediante el
vector v = (3, 1) y dibuja la traslación.
mac3e25
Laura ha utilizado un vector para aplicar a cada figuraY una traslación. B (6 , 2)
Si A(2, 1) y B(6, 2) son dos puntos del
plano, para indicar que nos movemos

desde A hasta B, dibujamos el vector AB.

EJERCICIO RESUELTO
}
vector AB , siendo los puntos A(−2, 3) y B(3, −1).
Dibuja también un vector con las mismas coordenadas
cuyo origen sea el origen de coordenadas.
Un movimiento en el plano es una transformación geométrica que conserva la
forma y el tamaño de cualquier figura.
Vectores

45
Laura ha preparado un nuevo logotipo para una marca de productos cosméticos.
¿Qué transformación geométrica ha utilizado?
Reconocer las traslaciones
como movimientos en el
plano.
7
Actividades
Geometría del plano. Movimientos
Investiga

AB =X( b1 − a1 , b2 − a2 )
1
55
Todos los vectores que tienen las mismas coordenadas que un vector fijo se

representan con un vector libre, v .

Y
a) ¿Cuál es vector u de la traslación que transforma
la figura A en la figura B?

v
Fíjate en que, al trasladar A(2, 1) mediante el vector v = (4, 1), se transforma en:
de la
b) Determina las coordenadas del vector
traslación que se ha realizado a la figura B para
obtener la figura C.
A’(2 + 4, 1 + 1) = B(6, 2)

Una traslación de vector v es un movimiento que transforma un punto, P, del


plano en otro punto, P’, de forma que el vector PP ’ coincide con el vector v :

Observa las figuras dibujadas.
c) La figura C es también la transformada por una

traslación de vector w de la figura A. ¿Cuáles son

las coordenadas de w ?

v
PP ’ =

Al trasladar el punto P ( p1 , p2) mediante el vector v = ( v1 , v 2), se obtiene el
punto trasladado: P ’ ( p1 + v1 , p2 + v 2)
A
C
1
O
1
X
B
d) Encuentra la relación que existe entre los vectores
  
u, v y w.
130
131
Sugerencias didácticas
Para introducir el epígrafe, podemos dibujar un polígono,
un vector y el polígono resultante de esa traslación. De esta
forma reconocerán la necesidad de la definición de vector.
Hemos
de insistir en la diferencia que hay entre los vectores

 
AB y BA para que reconozcan que tienen el mismo módulo y dirección, pero sentido opuesto.
Utilizaremos el dibujo de tres vectores equipolentes en el
plano para explicarles qué es un vector libre.
Vídeo. TRASLACIONES
En el vídeo se muestra la resolución del ejercicio dibujando un
polígono y aplicando una traslación sobre él con el programa
GeoGebra. Si se activa desde la ventana de Propiedades la opción
de mostrar el valor, podemos ver las coordenadas de los vértices
trasladados.
El cálculo del módulo debemos presentarlo de forma gráfica para que lo relacionen con la aplicación del teorema de
Pitágoras.
Es importante practicar el cálculo de las coordenadas de un
vector fijo para de forma gráfica y algebraica hasta asegurarnos de que los alumnos lo dominan.
Soluciones de las actividades
Puede reproducirse en clase para explicar el funcionamiento del
programa o como recurso para que los alumnos realicen una aplicación de GeoGebra con alguno de los ejercicios de traslación
propuestos.


45 Dibuja los puntos A(3, 5) y B(6, 3) y el vector AB . Determina las coordenadas cartesianas del vector y calcula su módulo.
Y
Hallamos las coordenadas cartesianas:


A (3, 5)
—›
•
AB
AB = (6 − 3, 3 − 5) = (3, −2)
Calculamos el módulo del vector:
•
B (6, 3)


AB =
1
O
1
Unidades didácticas 32 + (−2)2 =
9+4 =
13 unidades
X
208
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Geometría del plano. Movimientos
7


46 Representa y halla las coordenadas cartesianas del vector AB , siendo los puntos A(−2, 3) y B(3, −1). Dibuja también un
vector con las mismas coordenadas cuyo origen sea el origen de coordenadas.
• Y
Hallamos las coordenadas cartesianas.
A (–2, 3)
1
O•


—›
AB
AB = ( 3 −(−2), −1 − 3) = (5, −4)
1
–›
v
X
•
B (3, –1)
(5, –4)
•

47 Calcula las coordenadas del punto P’ trasladado de P(1, 2) mediante el vector v = (4, 1). Representa y dibuja la traslación.
Y
Calculamos las coordenadas del punto P’.
P’ (5, 5)
•
P ’ ( p1 + v1 , p2 + v 2 ) → P ’(1+ 4, 2 + 1) → P ’(5, 5)
–›
v
•
P (1, 2)
1
O
1
X 48 Mediante una traslación, el punto P(1, 5) se ha transformado en P’(5, 6). ¿Cuál es el vector de la traslación aplicada?
P ’ ( p1 + v1 , p2 + v 2 ) → P ’ (1+ v1 , 5 + v 2 )

P ’(5, 6) → 1+ v1 = 5; 5 + v 2 = 6 → v1 = 4 y v 2 = 1 → v = (4, 1)

49 Calcula las coordenadas del punto P si, al trasladarlo mediante el vector v = (−2, 4), se ha transformado en el punto
P’(4, 6).
P ’ ( p1 + v1 , p2 + v 2 ) → P ’ ( p1 + ( −2 ) , p2 + 4 )
P ’(4, 6) → p1 + ( −2 ) = 4; p2 + 4 = 6 → p1 = 6 y p2 = 2 → P (6, 2)

50 Al punto P(0, 3) le aplicamos una traslación mediante el vector u = (3, 4) y obtenemos el punto P’. A continuación, al

punto P’ le aplicamos otra traslación mediante el vector v = (−2, −1) y el resultado es el punto P’’. Representa la traslación y determina las coordenadas de P’’.
Calculamos P’.
Y
P ’ ( p1 + u1 , p2 + u2 ) → P ’(0 + 3, 3 + 4 ) → P ’(3, 7)
–› P’ (3, 7)
v•
–›
u
•P (0, 3)
2
P’’ (1, 6)
O
Hallamos P’’.
P ’ ( p’1 + v1 , p’2 + v 2 ) → P ’’ ( 3 + ( −2) , 7 + ( −1)) → P ’’(1, 6 )
•
X 2

51 Traslada los puntos A(1, 2) y B(5, 8) mediante el vector v = (2, 3).
a)Comprueba gráficamente que los puntos A, A’, B y B’ están alineados.
b)Determina la recta r que pasa por los puntos A y B.

c) ¿Cuál es la figura que resulta al trasladar la recta r mediante el vector v ?

d)Traslada la recta r mediante el vector w = (−1, 5).
A’ ( a1 + v1 , a2 + v 2 ) → A’(1+ 2, 2 + 3) → A’(3, 5) a)
Y
•B’ (7, 11)
B’ ( b1 + v1 , b2 + v 2 ) → B’(5 + 2, 8 + 3) → B’(7, 11)
A, A’, B y B’ están alineados.
• B (5, 8)
•A’ (3, 5)
2 • A (1, 2)
O
2
X b)La ecuación de la recta es y = mx + n. Como pasa por A(1, 2) → 2 = m + n. Como pasa por B(5, 8) → 8 = 5m + n
3
m + n = 2⎪⎫⎪
3 1
3
⎬ → 4m = 6 → m = → + n = 2 → n = 2− =
5m + n = 8 ⎪⎪⎭
2
2
2 2
3
1
La ecuación de la recta r es: y = x +
2
2
Unidades didácticas 209
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
7
Geometría del plano. Movimientos
c) Es la misma recta r.

d)Trasladamos los puntos A(1, 2) y B(5, 8) mediante el vector w = (−1, 5).
A”( a1 + w1 , a2 + w 2 ) → A”(1+ ( −1) , 2 + 5 ) → A”(0, 7)
B”( b1 + w1 , b2 + w 2 ) → B”( 5 + ( −1) , 8 + 5 ) → B”( 4, 13)
La ecuación de la recta es y = mx + n.
3
Como pasa por A’’(0, 7) → n = 7. Como pasa por B’’(4, 13) → 13 = 4m + 7 → m =
La recta obtenida mediante la traslación es una recta paralela cuya ecuación es y =
2
3
x +7
2

52 Calcula las coordenadas de los extremos del segmento A’B’, obtenido por una traslación de vector v = (−2, 4) aplicada
al segmento AB, cuyos extremos son A(−4, 3) y B(−1, 5). Dibuja la traslación.

Trasladamos los puntos A y B mediante el vector v .
A’ ( a1 + v1 , a2 + v 2 ) → A’(−4 + ( −2 ) , 3 + 4 ) → A’(−6, 7)
B’ ( b + v , b + v ) → B’(−1+ ( −2 ) , 5 + 4 ) → B’(−3, 9)
1
1
2
Y
A’ (–6, 7) • B’ (–3, 9)
–›
•
v
• B (–1, 5)
–›
v
•
A (–4, 3) 2
2
O
53 Los vértices de un cuadrado son A(2, −2), B(5, −2), C(5, 1) y D(2, 1).
2
X

a)Determina la figura obtenida al aplicar una traslación mediante el vector v = (3, − 6).
b)Comprueba gráficamente que los puntos A’, B’, C’ y D’ son los vértices de un cuadrado.

b) Y
a)Trasladamos los puntos A, B, C y D mediante el vector v .
A’ ( a1 + v1 , a2 + v 2 ) → A’ ( 2 + 3, − 2 + ( −6 )) → A’(5, − 8 ) B’ ( b + v , b + v ) → B’ ( 5 + 3, − 2 + ( −6 )) → B’(8, − 8 )
1
1
2
2
O
2
C ’ ( c1 + v1 , c2 + v 2 ) → C ’ ( 5 + 3, 1+ ( −6 )) → C ’(8, − 5)
D’ ( d + v , d + v ) → D’ ( 2 + 3, 1+ ( −6 )) → D’(5, − 5)
1
1
2
2
La figura obtenida es un cuadrado de vértices A’, B’, C’ y D’.
2
X
D’ (5, –5)
•
C’ (8, –5)
•
•
A’ (5, –8)
•
B’ (8, –8)

54 Traslada un círculo cuyo centro es C(3, 3) y su radio es 2 unidades mediante el vector v = (4, 2).
a)¿Cuánto mide el radio del círculo trasladado?
b)¿Cuáles son las coordenadas del centro trasladado?
a)El radio del círculo no varia al aplicarle una traslación, por tanto mide 2 unidades.
b) C ’ ( c1 + v1 , c2 + v 2 ) → C ’(3 + 4, 3 + 2) → C ’(7, 5)
Investiga
55 Observa las figuras dibujadas.

Y
a)¿Cuál es el vector u de la traslación que transforma la figura
A en la figura B?

b)Determina las coordenadas del vector v de la traslación que
se ha realizado a la figura B para obtener la figura C.
c) La figura C es también la transformada por una traslación de


vector w de la figura A. ¿Cuáles son las coordenadas de w ?
  
d)Encuentra la relación que existe entre los vectores u , v y w .

a) u = (4, −5)

b) v = (6, 5)
Unidades didácticas 
c) w = (10, 0)
  
d) w = u + v
210
A
C
1
O
1
X
B
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Geometría del plano. Movimientos
7
6. Giros
7
6. GIROS
Aprenderás a…
●
Reconocer los giros como
movimientos en el plano.
●
Aplicar un giro a una figura
del plano.
56
Efectúa los siguientes movimientos.
a) Un giro de centro O y −90º de ángulo al punto A(0, 3).
b) Un giro de centro O y 180º de ángulo al punto B(5, 0).
c) Un giro de centro O y 90º de ángulo al punto C(4, 4).
57
¿Qué amplitud tiene un giro que a un punto, P, le hace corresponder el mismo
punto P?
58
Halla las coordenadas de los vértices de la figura que se obtiene al girar con centro
O y ángulo de 90º el triángulo que tiene por vértices A(2, 2), B(3, 2) y C(2, 5).
59
Dibuja la figura que se obtiene al girar con centro O y 180º de ángulo el círculo con
centro en C(3, 1) y 2 unidades de radio.
David ha utilizado otro programa para reproducir el nuevo logotipo de la marca de
cosméticos. ¿Qué transformación geométrica ha utilizado?
}
Determina las coordenadas de los puntos P’ y P’’ que se obtienen al realizar
los giros sucesivos.
a)
Seguidamente, ha repetido el movimiento girando dos veces más el dodecágono en
el mismo sentido hasta completar el diseño.
Un giro de centro C y ángulo α es un movimiento que transforma un punto,
P, del plano en otro punto, P’, de modo que los segmentos CP y CP’ tengan la
misma longitud y formen un ángulo con amplitud α.
P’
O
Y
P’
C
2
O
C
X
1
P
´ = α
d(C, P) = d(C, P’) y PCP
C’
2
P’’
X
P
Solución
El sentido del giro depende del signo del ángulo α. Así:
a) P’(−3, −1)
❚ Si α > 0, el sentido de giro es contrario al de las agujas del reloj.
❚ Si α < 0, el sentido de giro coincide con el de las agujas del reloj.
Aplica un giro de centro O(0, 0) y de 60º de ángulo al punto P (1, 3 ) .
¿Se obtiene el mismo resultado si giramos P en el otro sentido?
P’’(−1, 3)
b) P’(−1, 1)
P’’(5, 1)
60
Halla las coordenadas de los vértices de la figura que se obtiene al aplicar dos giros
consecutivos con centro O y ángulos de 90º y 180º, respectivamente, al triángulo
de vértices A(2, 2), B(4, 2) y C(5, 4). ¿Cómo puede obtenerse la figura resultante
con un único movimiento?
61
Dibuja la figura que se obtiene al girar un círculo de centro P(2, 2) y 1 unidad
de radio alrededor del punto C(4, 1) con un ángulo de −90º. Aplica a la figura
obtenida otro giro con centro D(2, 4) y ángulo de 90º.
62
Representa el segmento AB, cuyos extremos son A(2, 3) y B(−4, 1), y aplícale dos
giros consecutivos de centro O y ángulos de 50º y 40º, respectivamente. ¿Sería
diferente el resultado si se aplicase primero el giro de 40º y después el de 50º?
Razona tu respuesta.
63
Indica razonadamente si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.
a) Al aplicar al punto P(2, 5) un giro de centro O y ángulo de 90º, obtenemos el
punto P’(−5, 2).
b) Al aplicar al punto Q(6, 1) un giro de centro O y ángulo de 90º, obtenemos el
punto Q’(1, −6).
c) Al aplicar al punto R(4, 2) un giro de centro C(3, 4) y ángulo de 90º, obtenemos
el punto A’(6, 6).
EJERCICIO RESUELTO
}
b)
Y
P’’
1
Para identificar los ángulos
de giro, utilizamos letras
griegas α, β, χ, …
Presta atención
Para girar una figura, basta
con girar los puntos que la
determinan.
EJERCICIO RESUELTO
En primer lugar, David ha dibujado el octógono irregular y un dodecágono regular.
A continuación, ha obtenido el centro del octógono y ha girado 90º el dodecágono
alrededor de este punto, obteniendo otro con la misma forma y tamaño que el
anterior.
Lenguaje matemático
7
Actividades
Geometría del plano. Movimientos
Solución
mac3e26
Investiga
Observa que, al aplicar un giro, el centro O alrededor del cual rotamos las figuras es
un punto que se mantiene invariable por el movimiento.
64
Cuando aplicamos sucesivamente dos giros de centro O y ángulos α y β, el resultado
es equivalente a realizar un único giro de centro O y ángulo α + β.
Con la ayuda del programa GeoGebra, crea un diseño para el logotipo de un nuevo producto, utilizando figuras
geométricas y movimientos en el plano. Elabora un informe con los elementos elegidos y las indicaciones
necesarias para reproducir el logotipo.
132
133
Sugerencias didácticas
Empezaremos girando un punto en el plano cartesiano con
amplitudes cómodas de manejar y centro el origen de coordenadas, para explicar a continuación cómo debe realizarse
el giro de un segmento, de un polígono y de una circunferencia.
Vídeo. GIROS
En el vídeo se muestra el procedimiento a seguir para resolver el
ejercicio realizando los giros propuestos con regla y compás.
Puede reproducirse en clase para explicar el procedimiento o
como recurso para que los alumnos lo repasen más tarde.
Debemos ser rigurosos en la explicación de cómo realizar
giros cuyo centro no sea el origen de coordenadas.
Es importante que los alumnos generen figuras propias mediante la composición de giros con distinto centro.
Soluciones de las actividades
56 Efectúa los siguientes movimientos.
a)Un giro de centro O y −90º de ángulo al punto A(0, 3).
b)Un giro de centro O y 180º de ángulo al punto B(5, 0).
c) Un giro de centro O y 90º de ángulo al punto C(4, 4).
a)A’(3, 0)
b)B’(−5, 0)
c) C’(−4, 4)
57 ¿Qué amplitud tiene un giro que a un punto, P, le hace corresponder el mismo punto P?
La amplitud del giro es 360º.
58 Halla las coordenadas de los vértices de la figura que se obtiene al girar con centro O y ángulo de 90º el triángulo de
vértices A(2, 2), B(3, 2) y C(2, 5).
Las coordenadas de los vértices del triángulo obtenido mediante el giro son A’(−2, 2), B’(−2, 3) y C’(−5, 2).
Unidades didácticas 211
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
7
Geometría del plano. Movimientos
59 Dibuja la figura que se obtiene al girar con centro O y 180º de ángulo el círculo con centro en C(3, 1) y 2 unidades de
radio.
Y
•
C
1
•
C’
O
1
X
60 Halla las coordenadas de los vértices de la figura que se obtiene al aplicar dos giros consecutivos con centro O y ángulos de
90º y 180º, respectivamente, al triángulo de vértices A(2, 2), B(4, 2) y C(5, 4). ¿Cómo puede obtenerse la figura resultante
con un único movimiento?
Al aplicar el primer giro se obtiene el triángulo de vértices A’(−2, 2), B’(−2, 4) y C’(−4, 5).
Después del segundo giro, los vértices del triángulo son A’’(2, −2), B’’(2, −4) y C’’(4, −5).
La figura resultante puede obtenerse con un único giro de centro O y amplitud 270º.
61 Dibuja la figura que se obtiene al girar un círculo de centro P(2, 2) y 1 unidad de radio alrededor del punto C(4, 1) con un
ángulo de −90º. Aplica a la figura obtenida otro giro de centro D(2, 4) y ángulo 90º.
Y
El punto P(2, 2) se transforma en P’(5, 3) en el primer giro y después del segundo giro se obtiene P’’(3, 7).
P’’
•
90º
D•
•P’
• –90º
P
•
C
1
O
1
X
62 Representa el segmento AB siendo A(2, 3) y B(−4, 1), y aplícale dos giros consecutivos de centro O y ángulos 50º y 40º,
respectivamente. ¿Sería diferente el resultado si se aplicase primero el giro de 40º y después el de 50º? Razona tu
respuesta.
Y
El resultado es el mismo que si hubiéramos hecho un único giro de 90º. Por tanto, el resul•
A’ (–3, 2)
A (2, 3) tado es el mismo que si se aplica primero el giro de 40º y luego el de 50º.
•
•
B (–4, 1)
1
O
1
X
•
B’ (–1, –4)
63 Indica razonadamente si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.
a)Al aplicar al punto P(2, 5) un giro de centro O y ángulo 90º, obtenemos el punto P’(−5, 2).
b)Al aplicar al punto Q(6, 1) un giro de centro O y ángulo 90º, obtenemos el punto Q’(1, −6).
c) Al aplicar al punto R(4, 2) un giro de centro C(3, 4) y ángulo 90º, obtenemos el punto A’(6, 6).
a)Verdadera b) Falsa. Obtenemos el punto Q’(−1, 6). c) Falsa. Obtenemos el punto A’(5, 5).
Investiga
64 Con la ayuda del programa GeoGebra, crea un diseño para el logotipo de un nuevo producto, utilizando figuras geomé-
tricas y movimientos en el plano. Elabora un informe con los elementos elegidos y las indicaciones necesarias para reproducir el logotipo.
Respuesta abierta.
Unidades didácticas 212
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Geometría del plano. Movimientos
7
7. Simetrías
7
Aprenderás a…
●
Reconocer las simetrías como
movimientos en el plano.
●
Distinguir los tipos de
simetría y aplicarlos a una
figura del plano.
Presta atención
❚ Si un objeto es simétrico, tiene
uno o varios ejes de simetría, de
modo que, al aplicar sobre una
parte de él una simetría axial,
obtenemos la otra parte.
7. SIMETRÍAS
65
Julia es la encargada de enseñar el nuevo diseño del logotipo a los responsables de
ventas de productos cosméticos. Al hacer la presentación, ha elegido otro tipo de
transformación geométrica. ¿Cuál ha utilizado?
Indica las coordenadas del punto simétrico a P(5, 2):
a) Respecto al eje de ordenadas.
c) Respecto al eje de abscisas.
b) Respecto al origen de coordenadas.
d) Respecto al punto C(3, 0).
66
Halla el punto transformado por una simetría axial en cada caso.
a) Si A(−3, 4) y el eje de simetría es el eje de ordenadas.
b) Si B(−2, 4) y el eje de simetría es el eje de abscisas.
c) Si C(1, −3) y el eje de simetría es el eje de ordenadas.
d) Si D(−5, −3) y el eje de simetría es el eje de abscisas.
67
Dibuja la recta, r, que pasa por los puntos P(1, 0) y Q(0, 1) y determina las
coordenadas de los puntos simétricos de A(1, 3), B(3, 4), C(3, 0), D(2, −1), E(−2, 2),
F(−2, −2) y G(1, −3) respecto a r.
68
A partir del primer dodecágono y dibujando una recta, ha obtenido otro con la
misma forma y tamaño que el anterior, aplicando una simetría axial, como si se
reflejara en un espejo.
¿Cuáles son las coordenadas de los extremos del segmento resultante de una
simetría respecto al eje de ordenadas del segmento AB cuyos extremos son
A(−1, 3) y B(4, 0)? ¿Y respecto al eje de abscisas?
69
Después ha dibujado el octógono y usando su centro ha trazado, mediante una
simetría central, el tercer dodecágono con la misma forma y tamaño que el
primero. Repitiendo el proceso, ha completado el logotipo.
Halla la figura simétrica respecto al origen de coordenadas del cuadrado cuyos
vértices son A(2, −2), B(5, −2), C(5, 1) y D(2, 1), respectivamente.
70
Dibuja la figura simétrica respecto al eje de abscisas de una circunferencia que
tiene por centro C(−4, −2) y cuyo radio mide 3 unidades.
❚ Una simetría axial de eje r es un movimiento que transforma un punto, P, del
plano en otro, P’, de forma que la recta r es la mediatriz del segmento PP’.
71
Representa un triángulo equilátero, un cuadrado, un pentágono regular y un
hexágono regular y traza sus ejes de simetría.
❚ Una simetría central de centro C es un movimiento que transforma un punto, P,
del plano en otro, P’, de forma que el punto C es el punto medio del segmento PP’.
72
Identifica los objetos simétricos y copia los dibujos en tu cuaderno, indicando los
ejes de simetría. ¿Tienen centro de simetría estos objetos? ¿Por qué?
Presta atención
Los ejes de simetría de una figura
son rectas que la dividen en dos
partes que coinciden al doblar la
figura por ellas.
EJERCICIO RESUELTO
}
7
Actividades
Geometría del plano. Movimientos
Indica las coordenadas del punto simétrico a P(4, 3):
a) Respecto al eje de ordenadas.
d) Respecto al punto C(2, 1).
b) Respecto al eje de abscisas.
e) Respecto a la recta r: 2x + y = 6.
c) Respecto al origen de coordenadas.
Solución
❚ Los ejes de simetría de un objeto
simétrico se cortan en un punto
que es centro de una simetría
central para ese objeto.
73
Dibuja un cuadrado, ABCD, y realiza una simetría central respecto al vértice C.
A continuación, aplica un giro con centro en C y 180º de ángulo. ¿Qué figura
obtienes? ¿Por qué?
Investiga
74
Si a una figura, F, le aplicamos un movimiento, obtenemos otra figura, F’. Si realizamos otro movimiento con
esta última figura, obtenemos F’’. De este modo, F’’ es el resultado de la composición de dos movimientos.
Dibuja un rectángulo en papel cuadriculado y determina la figura que obtienes al componer:
mac3e27
a) P1(−4, 3)
b) P2(4, −3)
c) P3(−4, −3)
d) P4(0, −1)
❚ Una traslación de vector paralelo a la base del rectángulo y una simetría axial de eje paralelo a su altura.
e) P5(0, 1)
❚ Una simetría axial de eje paralelo a la altura y otra simetría axial de eje paralelo al anterior.
❚ Una simetría axial de eje paralelo a la altura y otra simetría de eje paralelo a la base.
Observa que dos puntos simétricos:
a) ¿Podrías obtener la figura final con un único movimiento en cada caso? Si la respuesta es afirmativa, explica
cuál sería el movimiento equivalente a la composición.
❚ Respecto al eje de ordenadas tienen las abscisas opuestas y las ordenadas iguales.
❚ Respecto al eje de abscisas tienen las abscisas iguales y las ordenadas opuestas.
b) Si cambias el orden al componer los movimientos, ¿obtienes el mismo resultado? Justifica tu respuesta.
❚ Respecto al origen de coordenadas tienen las abscisas y las ordenadas opuestas.
134
135
Sugerencias didácticas
Debemos insistir en la necesidad de ser rigurosos a la hora
de hacer representaciones gráficas; deben estar claras,
con una escala adecuada y tienen que presentar los datos
relevantes.
Los alumnos reconocerán fácilmente el concepto de simetría axial. Aclararles que el eje se simetría es la mediatriz del
segmento generado por un punto P y su transformado P’.
Conviene presentar el concepto de simetría central, de centro el origen de coordenadas, dibujando una figura y aplicándole la composición de dos simetrías axiales, primero
respecto al eje X y después respecto al eje Y.
Vídeo. SIMETRÍAS
En el vídeo se muestra la resolución del ejercicio hallando los puntos simétricos con el programa GeoGebra. Seleccionando la simetría axial o central obtenemos la posición de cada punto.
Cuando el centro no sea el origen de coordenadas, insistir
en que el centro de la simetría es siempre el punto medio
del segmento generado por un punto P y su homólogo P’
en el giro.
Puede reproducirse en clase para explicar el funcionamiento del
programa o como recurso para que los alumnos realicen una
aplicación de GeoGebra con alguno de los ejercicios de simetría
propuestos.
Es conveniente que los alumnos sean capaces de generar
figuras propias mediante la composición de movimientos.
Soluciones de las actividades
65 Indica las coordenadas del punto simétrico a P(5, 2):
a)Respecto al eje de ordenadas.
c) Respecto al eje de abscisas.
b)Respecto al origen de coordenadas.
d)Respecto al punto C(3, 0).
a)P’(−5, 2)
Unidades didácticas b) P’(−5, −2)
c) P’(5, −2)
213
d) P’(1, −2)
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
7
Geometría del plano. Movimientos
66 Halla el punto transformado por una simetría axial en cada caso.
a)Si A(−3, 4) y el eje de simetría es el eje de ordenadas.
c) Si C(1, −3) y el eje de simetría es el eje de ordenadas.
b)Si B(−2, 4) y el eje de simetría es el eje de abscisas.
d)Si D(−5, −3) y el eje de simetría es el eje de abscisas.
b) B’(−2, −4)
a)A’(3, 4)
c) C’(−1, −3)
d) D’(−5, 3)
67 Dibuja la recta, r, que pasa por los puntos P(1, 0) y Q(0, 1) y determina las coordenadas de los puntos simétricos de A(1, 3),
B(3, 4), C(3, 0), D(2, −1), E(−2, 2), F(−2, −2) y G(1, −3) respecto de r.
Y
Los puntos simétricos son:
B
E’
•
•
E
•
A’
1•
O
• •
B’ F
A
•
•
•
F’
A’(−2, 0)
B’(−3, −2)
P
C’(1, −2)
Q C G’
•
• •
1 D•D’
X
•C’
r
•
G
D’(2, −1)
E’(−1, 3)
F’(3, 3)
G’(4, 0)
68 ¿Cuáles son las coordenadas de los extremos del segmento resultante de una simetría respecto al eje de ordenadas del
segmento AB cuyos extremos son A(−1, 3) y B(4, 0)? ¿Y respecto al eje de abscisas?
❚❚ Respecto al eje de ordenadas: A’(1, 3) y B’(−4, 0)
❚❚ Respecto al eje de abscisas: A’(−1, −3) y B’(4, 0)
69 Halla la figura simétrica respecto al origen de coordenadas del cuadrado cuyos vértices son A(2, −2), B(5, −2), C(5, 1) y
D(2, 1), respectivamente.
Las coordenadas de los vértices del cuadrado simétrico respecto al origen de coordenadas son A’(−2, 2), B’(−5, 2),
C’(−5, −1) y D’(−2, −1).
70 Dibuja la figura simétrica respecto al eje de abscisas de una circunferencia que tiene por centro C(−4, −2) y cuyo radio
mide 3 unidades.
Y
•
1
O
1X
•
71 Representa un triángulo equilátero, un cuadrado, un pentágono regular y un hexágono regular y traza sus ejes de
simetría.
Unidades didácticas 214
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
7
Geometría del plano. Movimientos
72 Identifica los objetos simétricos y copia los dibujos en tu cuaderno, indicando los ejes de simetría. ¿Tienen centro de sime-
tría estos objetos? ¿Por qué?
Comprobar que los alumnos copian los objetos simétricos (canasta, balón de baloncesto, árbol, sol, portería, pared del
reloj, cometa), trazan los ejes de simetría e identifican si tienen centro de simetría. Los objetos que no tienen centro de
simetría son aquellos en los que no todos sus puntos tienen su simétrico respecto de un punto.
73 Dibuja un cuadrado, ABCD, y realiza una simetría central respecto al vértice C. A continuación, aplica un giro de centro C
y 180º de ángulo. ¿Qué figura obtienes? ¿Por qué?
Comprobar que los alumnos dibujan un cuadrado ABCD.
Al aplicar una simetría central de vértice C, realizamos un giro de centro C y amplitud −180º.
Al realizar a continuación un giro de 180º volvemos a la figura inicial.
Luego obtenemos el cuadrado inicial.
Investiga
74 Si a una figura, F, le aplicamos un movimiento, obtenemos una figura, F’. Si realizamos otro movimiento con esta última
figura, obtenemos F’’. De este modo, F’’ es el resultado de la composición de dos movimientos.
Dibuja un rectángulo en papel cuadriculado y determina la figura que obtienes al componer:
❚❚ Una traslación de vector paralelo a la base del rectángulo y una simetría axial de eje paralelo a su altura.
❚❚ Una simetría axial de eje paralelo a la altura y otra simetría axial de eje paralelo al anterior.
❚❚ Una simetría axial de eje paralelo a la altura y otra simetría de eje paralelo a la base.
a)¿Podrías obtener la figura final con un único movimiento en cada caso? Si la respuesta es afirmativa, explica cuál sería
el movimiento equivalente a la composición.
b)Si cambias el orden al componer los movimientos, ¿obtienes el mismo resultado? Justifica tu respuesta.
r
r
s
r
A
B A’
B’
B’’
A’’
A
B
B’
A’
A’’
B’’
A
B
B’
A’
D
C D’
C’
C’’
D’’
D
C
C’
D’
D’’
C’’
D
C
C’
C’’
D’
D’’
B’’
A’’
–›
v
s
a)En el primer caso, se puede obtener la figura final haciendo una simetría de eje la recta mediatriz del segmento C’C’’.
En el segundo caso, la figura final se puede obtener mediante una traslación de la figura inicial.
En el tercer caso se puede hacer un giro de centro el punto de corte de las rectas r y s y amplitud 180º.
b)Solo en el tercer caso se obtiene el mismo resultado al componer los movimientos. En los dos primeros casos se obtiene
el mismo rectángulo pero con los vértices invertidos.
Unidades didácticas 215
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
7
Geometría del plano. Movimientos
¿Qué tienes que saber?
?
¿QUÉ
7
Actividades
tienes que saber
Lugares geométricos
Ten en cuenta
75
Relaciones entre ángulos
❚ Dos rectas secantes forman
dos ángulos adyacentes si son
consecutivos y suplementarios.
E
F
D
H
 y B son adyacentes: A
 + B = 180º → B = 60º
Como A
Ten en cuenta
84
Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 9 cm
y 40 cm, respectivamente, calcula la longitud de la
hipotenusa.
77
Dos rectas paralelas distan entre sí 4 cm; dibuja
y describe el lugar geométrico de los puntos que
equidistan de ellas.
85
Calcula la longitud de un cateto de un triángulo
rectángulo cuya hipotenusa mide 37 m si el otro
cateto tiene 35 m.
78
Dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos
del plano que equidistan de dos rectas secantes que
forman un ángulo de 60º.
86
Los dos lados iguales de un triángulo isósceles miden
12 cm, y el otro lado, 6 cm. Calcula la longitud de la
altura sobre el lado desigual.
 = 60º
B = D
87
Determina la longitud de la base de un triángulo
isósceles de 11 m de altura cuyos lados iguales miden
61 m.
88
Calcula cuánto miden los lados iguales de un
triángulo isósceles si las longitudes del lado desigual
y de la altura son 32 dm y 63 dm, respectivamente.
89
Halla las medidas de los lados y de los ángulos
desconocidos de este triángulo. ¿Cuánto mide su
altura?
Relaciones entre ángulos
B = F = 60º
 = 120º
C = G
 = H
 = 60º
D
Teorema de Pitágoras. Aplicaciones
79
La amplitud de uno de los ángulos determinados por
dos rectas secantes es de 40º. ¿Cuál es la amplitud
de los demás?
80
Indica la relación existente entre todos los ángulos
formados por dos rectas paralelas y una recta que las
corta. Si uno de estos ángulos abarca un arco de 55º,
determina la amplitud de los demás ángulos.
81
Halla la amplitud de los ángulos interiores de la figura
si los segmentos AC y BD son perpendiculares.
Calcula el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales mayor y menor miden
10 cm y 6 cm, respectivamente.
Hallamos la longitud de los lados del rombo
aplicando el teorema de Pitágoras en uno de los
cuatro triángulos que forman sus diagonales.
3 cm
a2 = b2 + c2
5 cm
a=
El perímetro es: P = 4 ⋅ 5,83 = 23,32 cm
5 +3 =
2
El área es: A =
2
10 ⋅ 6
2
34 = 5,83 cm
C
B
x
= 30 cm2
Movimientos

❚ En una traslación de vector v
transformamos un punto, P, en

Representa en el plano cartesiano los puntos A(1, 1) y
B(3, 1) y dibuja el lugar geométrico de los puntos que
equidistan de ellos. ¿Cómo se llama?
C
Al ser ángulos opuestos por el vértice, sabemos que:
 = E = 120º
A
Ten en cuenta
Comprueba si los triángulos cuyos lados tienen las
siguientes medidas son rectángulos.
a) 4 cm, 6 cm y 7 cm
b) 5 m, 12 m y 13 m
76
G
 = C = 120º
A
En un triángulo rectángulo, la suma
de los cuadrados de los catetos es
igual al cuadrado de la hipotenusa.
83
b) 1 cm del punto P(1, 1).
120º
B
 son correspondientes a los anteriores. Luego:
 y H
Los ángulos E , F , G
Teorema de Pitágoras
Teorema de Pitágoras. Aplicaciones
Dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos
del plano que distan:
a) 3 cm del origen de coordenadas.
Determina la amplitud de los ángulos desconocidos, si A = 120º.
❚ Dos rectas secantes forman dos
ángulos opuestos por el vértice si
los lados de uno son prolongación
de los del otro. Estos ángulos
tienen la misma amplitud.
❚ Dos ángulos son correspondientes
si están formados por una recta
secante que corta a dos rectas
paralelas y se encuentran situados
en el mismo lado con respecto
a estas. Estos ángulos tienen la
misma amplitud.
7
Finales

otro, P’, de forma que: PP ’ = v .
❚ Un giro de centro C y ángulo α
transforma un punto, P, en otro,
P’, de forma que: d(C, P) = d(C, P’)

d) Simetría respecto al eje X.
b) Giro de centro O y ángulo de 90º.
e) Simetría respecto a O(0, 0).
c) Simetría respecto al eje Y.
f) Simetría respecto a C(2, 0).
 =α
y PCP´
❚ En una simetría axial de eje r
transformamos un punto, P, en
otro, P’, de forma que r es la
mediatriz de PP’.
❚ En una simetría central de centro
C transformamos un punto, P,
en otro, P’, de forma que C es el
punto medio de PP’.
60º
Halla las coordenadas del punto transformado de P(4, 2) al aplicar cada uno de los
siguientes movimientos.
a) Traslación de vector v = (1, 2).
P1
P3
P5
a)
1
P6
P4
c)
A
35º
30º
A
90
Una barca navega 8 km hacia el este y, tras cambiar
de rumbo, navega 15 km hacia el sur. ¿A qué
distancia del punto inicial se encuentra?
91
¿Cuál es la distancia máxima que puede recorrer un
jugador de fútbol sala en una pista de 40 m de largo
y 20 m de ancho?
92
Pedro y Quique salen de una plaza con sus bicis al
mismo tiempo por dos calles perpendiculares entre
sí. Si Pedro circula a 9 m/s y Quique lo hace a 12 m/s,
calcula qué distancia les separa a los 2 min.
93
Determina a qué piso de un edificio puede acceder
un grupo de bomberos que dispone de una escalera
que mide 20 m si tiene que apoyarla en la calle a 8 m
del edificio y cada piso tiene una altura de 3 m.
B
40º
d) P4(4, −2)
X
10 cm
D
¿Cuál es la amplitud del ángulo B si las rectas que
pasan por A y por C son paralelas?
c) P3(−4, 2)
P
O
82
b) P2(−2, 4)
1
60º
A
a) P1(5, 4)
Y
P2
x
e) P5(−4, −2)
b)
f) P6(0, −2)
50º
B
20º
C
d)
A
C
30º
A
B
B
50º
15º
C
C
136
137
Sugerencias didácticas
En esta sección se destacan los conceptos y procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras
estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:
❚❚ Reconocer los ángulos que se obtienen cuando se cortan dos rectas.
❚❚ Relacionar los ángulos definidos por dos rectas paralelas cortadas por una secante.
❚❚ Reconocer las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo mediante el teorema de Pitágoras.
❚❚ Aplicar el teorema de Pitágoras para resolver problemas.
❚❚ Describir los elementos necesarios que intervienen en cada uno de los movimientos estudiados. Calcular gráfica y numéri-
camente las coordenadas de un punto P´ obtenido al aplicarle un movimiento a un punto P.
Actividades finales
Soluciones de las actividades
75 Dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano que distan:
a)3 cm del origen de coordenadas.
b)1 cm del punto P(1, 1).
a)El lugar geométrico es una circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio 3 cm. Comprobar que los alumnos dibujan esta circunferencia correctamente.
b)El lugar geométrico es una circunferencia de centro P(1, 1) y radio 1 cm. Comprobar que los alumnos dibujan esta
circunferencia correctamente.
Unidades didácticas 216
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
7
Geometría del plano. Movimientos
76 Representa en el plano cartesiano los puntos A(1, 1) y B(3, 1) y dibuja el lugar geométrico de los puntos que equidistan
de ellos. ¿Cómo se llama?
Comprobar que los alumnos dibujan en un plano el segmento de extremos A(1, 1) y B(3, 1) y trazan su mediatriz que es
la recta x = 2.
El lugar geométrico de los puntos que equidistan de los puntos A y B es la recta mediatriz del segmento AB.
77 Dos rectas paralelas distan entre sí 4 cm; dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos que equidistan de ellas.
Comprobar que los alumnos dibujan dos rectas paralelas r y s que distan 4 cm, y una recta t paralela a ellas que dista
2 cm de cada una.
Los puntos que equidistan de las rectas r y s son los que pertenecen a la recta t que es paralela a ambas y dista 2 cm de
cada una.
78 Dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos rectas secantes que forman un ángulo
de 60º.
Comprobar que los alumnos dibujan dos rectas secantes r y s que forman un ángulo de 60º y trazan la bisectriz de este
ángulo, la recta t, y de su adyacente de 120º, la recta p.
Los puntos que equidistan de las rectas secantes r y s son los de las rectas t y p, bisectrices los ángulos de 60º y 120º.
respectivamente.
79 La amplitud de uno de los ángulos determinados por dos rectas secantes es 40º. ¿Cuál es la amplitud de los demás?
El opuesto por el vértice al de 40º debe medir también 40º, y los otros, 180º − 40º = 140º cada uno.
80 Indica la relación entre todos los ángulos formados por dos rectas paralelas y una recta que las corta. Si uno de estos
ángulos abarca un arco de 55º, determina la amplitud de los demás ángulos.
A
E
 por ser opuestos por el vértice.
 = F y C = H
A
 yH
 son adyacentes, por tanto, G
 = 180º − 55º = 125º.
G
 = 55º y B = E = D
 = 125º.
 = C = F = H
 =G
Por tanto, A
B
C
F
D
G
H = 55º
81 Halla la amplitud de los ángulos interiores de la figura si los segmentos AC y BD son perpendiculares.
C
B
Al ser los segmentos AC y BD perpendiculares, la figura está formada por dos triángulos rectángulos.
 = B = 180º − (90º + 60º) = 180º − 150º = 30º
D
 = C = 60º
A
60º
D 
82 ¿Cuál es la amplitud del ángulo B si las rectas que pasan por A y por C son paralelas?
A
A
A
a)
b)
c) A
35º
50º
B
d)
30º
A
B
40º
30º
B
B
20º
50º
15º
C C

Para hallar la amplitud del ángulo B , alargamos los lados de los ángulos hasta que corten las rectas paralelas.
C
a)180º − (40º + 35º) = 105º; B = 180º − 105º = 75º b)180º − (50º + 50º) = 80º; B = 180º − 80º = 100º
C
c) 180º − (30º + 20º) = 130º; B = 180º − 130º = 50º
d)180º − (30º + 15º) = 135º; B = 180º − 135º = 45º
83 Comprueba si los triángulos cuyos lados tienen las siguientes medidas son rectángulos.
a)4 cm, 6 cm y 7 cm
b)5 m, 12 m y 13 m
a)7 ≠ 6 + 4 → No es un triángulo rectángulo.
b)132 = 122 + 52 → Es un triángulo rectángulo.
2
2
Unidades didácticas 2
217
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
7
Geometría del plano. Movimientos
84 Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 9 cm y 40 cm, respectivamente, calcula la longitud de la hipotenusa.
a2 = b2 + c 2 → a2 = 92 + 402 = 81+ 1 600 = 1 681 → a =
1 681 = 41 cm
85 Calcula la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 37 m si el otro cateto tiene 35 m.
a2 = b2 + c 2 → 372 = 352 + c 2 → c 2 = 372 − 352 = 1 369 −1 225 = 144 → c =
144 = 12 m
86 Los dos lados iguales de un triángulo isósceles miden 12 cm, y el otro lado, 6 cm. Calcula la longitud de la altura sobre el
lado desigual.
Consideramos el triángulo formado por la altura, la mitad del lado desigual y uno de los lados iguales.
a2 = b2 + c 2 → 122 = 32 + c 2 → c 2 = 122 − 32 = 144 − 9 = 135 → c = 135 = 11,62 cm
87 Determina la longitud de la base de un triángulo isósceles de 11 m de altura cuyos lados iguales miden 61 m.
Consideramos el triángulo formado por la altura, la mitad del lado desigual y uno de los lados iguales.
a2 = b2 + c 2 → 612 = 112 + c 2 → c 2 = 612 −112 = 3 721−121 = 3 600 → c =
3 600 = 60 m
La mitad de la base mide 60 cm. Entonces, la base mide. 60 ⋅ 2 = 120 m.
88 Calcula cuánto miden los lados iguales de un triángulo isósceles si las longitudes del lado desigual y de la altura son 32 dm
y 63 dm, respectivamente.
Consideramos el triángulo formado por la altura, la mitad del lado desigual y uno de los lados iguales.
a2 = b2 + c 2 → a2 = 322 + 31,52 = 1 024 + 992,25 = 2016,25 → a =
2016,25 = 44,9 dm
Cada lado igual del triángulo mide 44,9 dm.
89 Halla las medidas de los lados y de los ángulos desconocidos de este triángulo. ¿Cuánto mide su altura?
Es un triángulo equilátero, por tanto, todos los lados miden 10 cm y los ángulos 60º.
x
x
Consideramos el triángulo formado por la altura, la mitad de un lado y cuya hipotenusa
es otro de los lados.
a2 = b2 + c 2 → 102 = 52 + c 2
→ c 2 = 102 − 52 = 100 − 25 = 75 → c =
60º
10 cm
75 = 8,66 cm
Su altura mide 8,66 cm.
90 Una barca navega 8 km hacia el este y, tras cambiar de rumbo, navega 15 km hacia el sur. ¿A qué distancia del punto
inicial se encuentra?
Hallamos la hipotenusa del triángulo de catetos 8 km y 15 km.
a2 = b2 + c 2 → a2 = 82 + 152 = 64 + 225 = 289 → a =
Se encuentra a 17 km.
289 = 17 km
91 ¿Cuál es la distancia máxima que puede recorrer un jugador de fútbol sala en una pista de 40 m de largo y 20 m de ancho?
La distancia máxima que puede recorrer es la medida de la diagonal de la pista.
a2 = b2 + c 2 → a2 = 402 + 202 = 1 600 + 400 = 2000 → a =
2000 = 44,72 m
La distancia máxima es 44,72 m.
92 Pedro y Quique salen de una plaza con sus bicis al mismo tiempo por dos calles perpendiculares entre sí. Si Pedro circula
a 9 m/s y Quique lo hace a 12 m/s, calcula qué distancia les separa a los 2 min.
En 2 min, Pedro habrá recorrido 9 ⋅ 120 = 1 080 m y Quique 12 ⋅ 120 = 1 440 m.
Consideramos el triángulo rectángulo que tiene por catetos la distancia que han recorrido Pedro y Quique por las calles
perpendiculares.
a2 = b2 + c 2 → a2 = 1 0802 + 1 4402 = 1166 400 + 2073600 = 3240 000 → a =
3240 000 = 1 800
La distancia que les separa son 1 800 m = 1,8 km.
93 Determina a qué piso de un edificio pueden acceder un grupo de bomberos que dispone de una escalera que mide 20 m
si tiene que apoyarla en la calle a 8 m del edificio y cada piso tiene una altura de 3 m.
a2 = b2 + c 2 → 202 = 82 + c 2 → c 2 = 202 − 82 = 400 − 64 = 336 → c = 336 = 18,33 m
Cada piso tiene una altura de 3 m → 18,33 : 3 = 6,11
Podrán acceder al sexto piso.
Unidades didácticas 218
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
7
Geometría del plano. Movimientos
7
Actividades
Geometría del plano. Movimientos
Perímetros y áreas de figuras planas
94
Halla el perímetro y el área de un cuadrado cuya
diagonal mide 10 cm.
95
Calcula el perímetro y el área del cuadrado interior
de la figura.
105
La longitud de una circunferencia es 8 cm. ¿Cuánto
mide su radio?
106
La rueda de una bicicleta tiene 40 cm de diámetro.
¿Cuántos metros habrá recorrido después de dar 35
vueltas?
107
6 cm
Calcula el área de una corona circular formada por
dos círculos concéntricos cuyos radios miden 3 cm y
6 cm, respectivamente.
109
Halla el área de la zona sombreada en cada una de
estas figuras.
a)
b)
6 cm
96
En un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide
la mitad que la hipotenusa, y el otro, 15 cm. ¿Cuál
es su área?
97
Dibuja un rombo cuyas diagonales miden 10 cm y
16 cm, respectivamente. Halla su perímetro y su área.
98
Determina si la transformación utilizada para obtener
las siguientes figuras es un movimiento.
110
5 cm
111
b)
120
O
4
Determina el área de las regiones sombreadas en las
siguientes figuras.
a)
b)
30º
6 cm
¿Cuál es el área de un hexágono regular de 4 cm de
lado?
102
Halla el área de un parque infantil con forma de
hexágono regular, sabiendo que sus lados miden
8 m.
103
¿Cuánto mide la superficie de un octógono regular
inscrito en un cuadrado de 4 m de lado?
104
2º
Indica el centro y la amplitud de los giros que dejan
invariantes cada una de estas figuras.
a) Un rectángulo.
b) Un rombo.
c) Una estrella regular de seis puntas.
122
Representa en unos ejes de coordenadas el punto
P(3, −4) y halla sus transformados al aplicarle una
simetría:
a) Respecto al eje de abscisas.
b) Respecto al origen de coordenadas.
c) Respecto al eje de ordenadas.
¿Qué figura obtienes al unir los cuatro puntos?
123
Dibuja el triángulo cuyos vértices son A(1, 2), B(3, 2)
y C(3, 5) y halla las coordenadas de la figura que se
obtiene al aplicarle una simetría:
a) Respecto al eje de abscisas.
b) Respecto al eje de ordenadas.
c) Respecto al origen de coordenadas.
124
Indica cuáles de las siguientes figuras tienen uno o
más ejes de simetría.
a) Un trapecio isósceles.
b) Un rectángulo.
c) Una semicircunferencia.

Representa y calcula las coordenadas del vector AB
en cada caso.
a) A(2, 1), B(5, 2)
c) A(−1, 2), B(−4, 2)
b) A(0, 2), B(1, −4)
d) A(−3, −1), B(2, −3)
115
¿Cuál es el vector de la traslación que, aplicada al
punto P(−2, −4), lo transforma en P’(0, 5)?
116
Halla las coordenadas del punto P si, al trasladarlo

mediante el vector v = (1, −2), se transforma en el
punto P’(2, 1).
117
Un triángulo tiene por vértices los puntos A(3, 1),
B(6, 4) y C(7, 2). Determina el triángulo que se

obtiene al trasladarlo mediante el vector v = (−2, 1)
y dibuja la traslación.
150 m
118
Traslada un círculo con centro en C(3, −2) y con 3

unidades de radio mediante el vector v = (5, 3).
a) ¿Cuánto mide el radio del círculo trasladado?
a) Halla la longitud de una vuelta en cada calle.
b) Determina la distancia a la que debe situarse un
corredor en la calle 2 para disputar una carrera.
Calcula el área de un octógono regular cuyos lados
miden 2 cm.
3
121
20º
3 cm
1º
X
1
d)
Una pista de atletismo está formada por dos calles de
1 m de ancho cada una.
80 m
2
1
114
112
101
A partir del trapecio 1 se han obtenido las demás
figuras mediante determinados movimientos. Indica
de qué movimiento se trata en cada caso.
4 cm
4 cm
Determina la longitud de los lados de un triángulo
equilátero cuya área mide 4 cm2.
X
1
2
Calcula la longitud de un arco de 120º en una
circunferencia cuyo radio mide 8 cm. ¿Cuál es el área
del sector circular correspondiente?
2 cm
100
3
O
8 cm
b)
Calcula la longitud de la altura de un trapecio cuyas
bases miden 20 cm y 12 cm si tiene la misma área que
un rombo cuyas diagonales miden 14 cm y 30 cm.
1
1
Y
4 cm
99
Y
a)
1
5 cm
4 cm
Halla las coordenadas de los vectores que transforman
el triángulo 1 en los demás.
c)
Determina el área y el perímetro de estas figuras.
a)
119
Halla el área de una pista de patinaje circular rodeada
por una valla de 120 m.
108
8 cm
8 cm
Movimientos
113
7
Finales
b) ¿Cuáles son
trasladado?
las
coordenadas
del
centro
138
139
94 Halla el perímetro y el área de un cuadrado cuya diagonal mide 10 cm.
Llamamos a a la medida del lado del cuadrado y aplicamos el teorema Pitágoras.
a2 + a2 = 102 → 2a2 = 102 → a2 = 100 : 2 → a = 50 = 7,07 cm
P = 4a = 4 ⋅ 7,07 = 28,28 cm
A = a2 = 7,072 = 49,9849 cm2
95 Calcula el perímetro y el área del cuadrado interior de la figura.
Llamamos a a la medida del lado del cuadrado y aplicamos el teorema de Pitágoras.
6 cm
a2 = b2 + c 2 → a2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100 → a =
P = 4a = 4 ⋅ 10 = 40 cm
8 cm
8 cm
100 = 10 cm
A = a2 = 10 ⋅ 10 = 100 cm2
6 cm
96 En un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide la mitad que la hipotenusa, y el otro, 15 cm. ¿Cuál es su área?
Llamamos a a la medida de la hipotenusa y aplicamos el teorema de Pitágoras.
2
⎛ a⎞
a2
a = b + c → a = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ + 152 =
+ 225 → 4 a2 = a2 + 900 → 3a2 = 900 → a2 = 300 → a =
⎝ 2 ⎟⎠
4
2
2
2
2
300 = 17,32 cm
La hipotenusa mide 17,32 cm y el otro cateto, 17,32 : 2 = 8,66 cm.
b ⋅ h 15 ⋅ 8,66 129,9
A=
=
=
= 64,95 cm2
2
2
2
El área del triángulo es 64,95 cm2.
Unidades didácticas 219
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
7
Geometría del plano. Movimientos
97 Dibuja un rombo cuyas diagonales miden 10 cm y 16 cm, respectivamente. Halla su perímetro y su área.
Comprobar que los alumnos dibujan el rombo de diagonales 10 cm y 16 cm.
Consideramos el triángulo rectángulo cuyos catetos miden la mitad de las diagonales y cuya hipotenusa es el lado del
rombo, y aplicamos el teorema de Pitágoras.
a2 = b2 + c 2 → a2 = 52 + 82 = 25 + 64 = 89 → a =
P = 4a = 4 ⋅ 9,43 = 37,72 cm
D ⋅ d 10 ⋅16 160
A=
=
=
= 80 cm2
2
2
2
98 Determina el área y el perímetro de estas figuras.
a)
89 = 9, 43 cm
5 cm b)
4 cm
5 cm
4 cm
8 cm
6 cm
a)Calculamos el lado desconocido del trapecio, que es igual a su altura, aplicando el teorema de Pitágoras:
a2 = b2 + c 2 → 52 = 32 + c 2 → c 2 = 52 − 32 = 25 − 9 = 16 → c =
P = 5 + 5 + 8 + 4 = 22 cm
( B + b ) ⋅ h (8 + 5) ⋅ 4 13 ⋅ 4
A=
=
=
= 26 cm2
2
2
2
b)P = 4 ⋅ 3 + 6 ⋅ 6 + 4 ⋅ 3 = 12 + 36 + 12 = 60 cm
16 = 4 cm
Calculamos la altura del triángulo equilátero:
a2 = b2 + c 2 → 42 = 22 + c 2 → c 2 = 42 − 22 = 16 − 4 = 12 → a =
Calculamos la apotema del hexágono regular:
b2 = c 2 + a2 → 62 = 32 + a2 → a2 = 62 − 32 = 36 − 9 = 27 → a =
AT = 2 ⋅ Atriángulo + Ahexágono = 2 ⋅
b⋅h
P ⋅a
4 ⋅ 3, 46
12 = 3, 46 cm
27 = 5,2 cm
6 ⋅ 6 ⋅ 5,2
= 13,84 + 93,6 = 107,44 cm2
2
2
2
2
99 Calcula la longitud de la altura de un trapecio cuyas bases miden 20 cm y 12 cm si tiene la misma área que un rombo
cuyas diagonales que miden 14 cm y 30 cm.
D ⋅ d 30 ⋅14
Calculamos el área del rombo: Arombo =
=
= 210 cm2
2
2
(B + b) ⋅ h
Atrapecio =
→ 210 =
+
(20 + 12) ⋅ h
2
2
La altura del trapecio mide 13,125 cm.
= 2⋅
+
→ 420 = 32h → h = 13,125 cm
100 Determina la longitud de los lados de un triángulo equilátero cuya área mide 4 cm2.
Llamamos a al lado del triángulo equilátero. Expresamos la altura h en función del lado.
2
⎛ a⎞
a2
3a2
a2 = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ + h2 → a2 =
+ h2 → h 2 =
→h=
⎝ 2 ⎟⎠
4
4
a a
a2
⋅
3→4=
2
2 2
4
El lado del triángulo mide 3,04 cm.
A=
b⋅h
→4=
Unidades didácticas 3 → a2 =
16
3
3a2
4
=
a
2
3
= 9,24 → a =
220
9,24 = 3,04 cm
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Geometría del plano. Movimientos
7
101 ¿Cuál es el área de un hexágono regular de 4 cm de lado?
Calculamos la apotema del hexágono regular.
b2 = c 2 + a2 → 42 = 22 + a2 → a2 = 42 − 22 = 16 − 4 = 12 → a =
P ⋅ a 6 ⋅ 4 ⋅ 3, 46
A=
=
= 41,52 cm2
2
2
El área es 41,52 cm2.
12 = 3, 46 cm
102 Halla el área de un parque infantil con forma de hexágono regular, sabiendo que sus lados miden 8 m.
Calculamos la apotema del hexágono regular.
b2 = c 2 + a2 → 82 = 42 + a2 → a2 = 82 − 42 = 64 −16 = 48 → a =
P ⋅ a 6 ⋅ 8 ⋅ 6,93
A=
=
= 166,32 cm2
2
2
El área es 166,32 cm2.
48 = 6,93 cm
103 ¿Cuánto mide la superficie de un octógono regular inscrito en un cuadrado de 4 m de lado?
Si inscribimos un octógono regular en un cuadrado, obtenemos 4 triángulos rectángulos isósceles en las esquinas cuyos
catetos miden x y cuya hipotenusa b es el lado del octógono.
b2 = x 2 + x 2 → b 2 = 2 x 2 → b = x 2
4 = 2 x + b → 4 = 2 x + x 2 → 4 = x (2 +
2) → x =
4
2+
2
= 1,17
b = 1,17 2 = 1,65 cm
La apotema del octógono mide 2 cm.
A=
P ⋅a
=
8 ⋅1,65 ⋅ 2
= 13,2 cm2
2
2
La superficie del octógono mide 13,2 cm2.
104 Calcula el área de un octógono regular cuyos lados miden 2 cm.
El área del octógono la obtendremos restando al área del cuadrado circunscrito el área de los cuatro triángulos isósceles
de las esquinas.
Los lados iguales de los triángulos cumplen x 2 + x 2 = 22 → 2 x 2 = 4 → x 2 = 2 → x =
El área de cada triángulo es: A =
b⋅h
2
=
2⋅ 2
2
2 cm
= 1 cm2
2
Aoctógono = Acuadrado − 4 ⋅ Atriángulo = ( 2 + 2 2 ) − 4 = 4 + 8 2 + 8 − 4 = 8 + 8 2 = 19,31 cm2
105 La longitud de una circunferencia es 8 cm. ¿Cuánto mide su radio?
L = 2πr → 8 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ r → 8 = 6,28r → r = 1,27 cm
106 La rueda de una bicicleta tiene 40 cm de diámetro. ¿Cuántos metros habrá recorrido después de dar 35 vueltas?
Calculamos la longitud de la rueda: L = 2πr = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 20 = 125,6 cm
125,6 ⋅ 35 = 4 396 cm = 43,96 m
Habrá recorrido 43,96 m.
107 Halla el área de una pista de patinaje circular rodeada por una valla de 120 m.
Calculamos el radio de la pista.
L = 2πr → 120 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ r → 120 = 6,28r → r = 19,11 m
A = πr2 = 3,14 ⋅ 19,112 = 1 146,7031 m2
108 Calcula el área de una corona circular formada por dos círculos concéntricos cuyos radios miden 3 cm y 6 cm, respectiva-
mente.
A = π ( R2 − r 2 ) = 3,14 ⋅ ( 62 − 32 ) = 3,14 ⋅ ( 36 − 9 ) = 3,14 ⋅ 27 = 84,78 cm2
Unidades didácticas 221
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
7
Geometría del plano. Movimientos
109 Halla el área de la zona sombreada en cada una de estas figuras.
a)
b)
4 cm
4 cm
a)Acírculo = π ⋅ 22 = 3,14 ⋅ 4 = 12,56 cm2
1
1
1
1
b)A = Acírculo − Acuadrado =
⋅ π ⋅ 42 −
⋅ 42 = 3,14 ⋅ 4 − 8 = 4,56 cm2
4
2
4
2
110 Calcula la longitud de un arco de 120º en una circunferencia cuyo radio mide 8 cm. ¿Cuál es el área del sector circular
correspondiente?
α
120
α
120
L = 2πr ⋅
= 2 ⋅ 3,14 ⋅ 8 ⋅
= 16,75 cm A = πr 2 ⋅
= 3,14 ⋅ 82 ⋅
= 66,99 cm2
360 º
360
360 º
360
111 Determina el área de las regiones sombreadas en las siguientes figuras.
a)
2 cm
b)
30º
20º
3 cm
30
α
340
a) A = 4 πr 2 ⋅
b) A = πr 2 ⋅
= 4 ⋅ 3,14 ⋅ 22 ⋅
= 4,19 cm2 = 3,14 ⋅ 32 ⋅
= 26,69 cm2
360 º
360
360 º
360
112 Una pista de atletismo está formada por dos calles de 1 m de ancho cada una.
α
a)Halla la longitud de una vuelta en cada calle.
b)Determina la distancia a la que debe situarse un corredor en la calle 2 para disputar una carrera.
a)Calculamos la longitud de la calle 1.
LC1 = 150 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3,14 ⋅ 40,5 = 300 + 254,34 = 554,34 m
Calculamos la longitud de la calle 2.
80 m
1º
2º
LC2 = 150 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3,14 ⋅ 41,5 = 300 + 260,62 = 560,62 m
150 m
b)Un corredor de la calle 2 debe situarse a 560,62 − 554,34 = 6,28 m del corredor
de la calle 1.
113 Determina si la transformación utilizada para obtener las siguientes figuras es un movimiento.
a)
b)
Unidades didácticas c)
d)
222
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Geometría del plano. Movimientos
a)Giro
c) No es un movimiento, la figura no mantiene el mismo tamaño.
b)Traslación
d)Giro
7


114 Representa y calcula las coordenadas del vector AB en cada caso.
b)A(0, 2), B(1, −4)
a)A(2, 1), B(5, 2)
d)A(−3, −1), B(2, −3)
c) A(−1, 2), B(−4, 2)
Comprobar que los alumnos representan los puntos y trazan el vector correctamente en cada caso.


a) AB = ( b1 − a1 , b2 − a2 ) = ( 5 − 2, 2 −1) = ( 3, 1)


b) AB = ( b1 − a1 , b2 − a2 ) = (1− 0, −4 − 2 ) = (1, −6 )


c) AB = ( b1 − a1 , b2 − a2 ) = ( −4 − ( −1) , 2 − 2 ) = ( −3, 0 )


d) AB = ( b1 − a1 , b2 − a2 ) = ( 2 − ( −3 ) , −3 − (−1)) = ( 5, −2 )
115 ¿Cuál es el vector de la traslación que, aplicada al punto P(−2, −4), lo transforma en P’(0, 5)?
P ’ ( p1 + v1 , p2 + v 2 ) → P ’ ( −2 + v1 , −4 + v 2 ) → −2 + v1 = 0; −4 + v 2 = 5 → v1 = 2, v 2 = 0

Por tanto el vector traslación es v = (2, 9).

116 Halla las coordenadas del punto P si, al trasladarlo mediante el vector v = (1, −2), se transforma en el punto P’(2, 1).
P ’ ( p1 + v1 , p2 + v 2 ) → P ’ ( p1 + 11 , p2 + ( −2 )) → p1 + 1 = 2; p2 + ( −2 ) = 1 → p1 = 1, p2 = 3
Por tanto el punto P es (1, 3).
117 Un triángulo tiene por vértices los puntos A(3, 1), B(6, 4) y C(7, 2). Determina el triángulo que se obtiene al trasladarlo

mediante el vector v = (−2, 1) y dibuja la traslación.
A’ ( a1 + v1 , a2 + v 2 ) → A’ ( 3 + ( −2) , 1+ 1) → A’(1, 2)
B’ ( b1 + v1 , b2 + v 2 ) → B’ ( 6 + ( −2) , 4 + 1) → B’( 4, 5)
C ’ ( c1 + v1 , c2 + v 2 ) → C ’ ( 7 + ( −2) , 2 + 1) → C ’(5, 3)
Comprobar que los alumnos dibujan el triángulo de vértices ABC, el triangulo de vértices A’B’C’ y el vector de la traslación.

118 Traslada un círculo con centro C(3, −2) y con 3 unidades de radio mediante el vector v = (5, 3).
a)¿Cuánto mide el radio del círculo trasladado?
b)¿Cuáles son las coordenadas del centro trasladado?
a)El radio del círculo trasladado mide lo mismo que el círculo original, 3 unidades.
b) C ’ ( c1 + v1 , c2 + v 2 ) → C ’ ( 3 + 5, −2 + 3) → C ’(8, 1)
119 Halla las coordenadas de los vectores que transforman el triángulo 1 en los demás.


❚❚ Triángulo 1 en 3: u = (5, 0)
❚❚ Triángulo 1 en 2: v = (3, −2)
Y
1
1
3
O
1
X
2
Unidades didácticas 223
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
7
Geometría del plano. Movimientos
120 A partir del trapecio 1 se han obtenido las demás figuras mediante determinados movimientos. Indica de qué movimiento
se trata cada caso.
❚❚ Trapecio 2: Se ha obtenido mediante una simetría respecto al
Y
eje de ordenadas.
1
❚❚ Trapecio 3: Se ha obtenido mediante un giro.
2
1
O
❚❚ Trapecio 4: Se ha obtenido mediante una traslación.
X
1
4
3
121 Indica el centro y la amplitud de los giros que dejan invariantes cada una de estas figuras.
a)Un rectángulo.
b)Un rombo.
c) Una estrella regular de seis puntas.
a)El centro de giro es el punto donde se cortan las diagonales y la amplitud es de 180º.
b)El centro de giro es el punto donde se cortan las diagonales y la amplitud es de 180º.
c) El centro de giro es el punto donde se cortan las rectas que pasan por los vértices opuestos y la amplitud es de 60º.
122 Representa en unos ejes de coordenadas el punto P(3, −4) y halla sus transformados al aplicarle una simetría:
a)Respecto al eje de abscisas.
b)Respecto al origen de coordenadas.
c) Respecto al eje de ordenadas.
¿Qué figura obtienes al unir los cuatro puntos?
Comprobar que los alumnos representan el punto P(3, −4).
a)Comprobar que los alumnos representan el punto P’(3, 4).
b)Comprobar que los alumnos representan el punto P’’(−3, 4).
c) Comprobar que los alumnos representan el punto P’’’(−3, −4).
Se obtiene un cuadrado.
123 Dibuja el triángulo cuyos vértices son A(1, 2), B(3, 2) y C(3, 5) y halla las coordenadas de la figura que se obtiene al apli-
carle una simetría:
a)Respecto al eje de abscisas. b) Respecto al eje de ordenadas. c) Respecto al origen de coordenadas.
Comprobar que los alumnos dibujan el triángulo ABC.
a)Comprobar que los alumnos dibujan el triángulo de vértices A’(1, −2), B’(3, −2) y C’(3, −5).
b)Comprobar que los alumnos dibujan el triángulo de vértices A’’(−1, 2), B’’(−3, 2) y C’’ (−3, 5).
c) Comprobar que los alumnos dibujan el triángulo de vértices A’’’(−1, −2), B’’’(−3, −2) y C’’’(−3, −5).
124 Indica cuáles de las siguientes figuras tienen uno o más ejes de simetría.
a)Un trapecio isósceles.
b)Un rectángulo.
c) Una semicircunferencia.
a)Tiene un solo eje de simetría.
b)Tiene dos ejes de simetría.
c) Tiene un solo eje de simetría.
Unidades didácticas 224
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Geometría del plano. Movimientos
7
Matemáticas vivas
7
MATEMÁTICAS VIVAS
Mosaicos
RELACIONA
En el palacio de la Alhambra de Granada se conservan los mejores mosaicos realizados en el período de
la España musulmana (siglos XIII-XIV) durante el reinado de la dinastía nazarí.
2
La religión islámica busca la belleza en los diseños geométricos, y los artesanos, inspirados en esta
búsqueda, hicieron posible la creación de los llamados polígonos nazaríes.
Un mosaico está formado por motivos que se repiten denominados teselas. Las teselas de la Alhambra
son piezas de forma cúbica, hechas de rocas calcáreas, materiales de vidrio o cerámicas de distintos
tamaños. La parte visible de muchas de ellas son polígonos.
7
Los mosaicos más sencillos se inspiran en la naturaleza y están formados por un único tipo de polígono
regular. En un mosaico, las teselas no pueden superponerse ni dejar huecos sin recubrir. Observa la
imagen del panal de abejas de la primera página de esta unidad.
a. ¿Qué nombre recibe el polígono de la tesela del mosaico generado por las abejas?
b. Con la ayuda del programa GeoGebra, dibuja un mosaico a partir de un triángulo
equilátero y otro a partir de un cuadrado.
COMUNICA
UTILIZA LAS TIC
c. Al crear un mosaico con polígonos regulares, ¿cuál es la suma de los ángulos que concurren en uno de sus
vértices?
PIENSA Y RAZONA
REFLEXIONA
3
El suelo del salón de recepción tiene un mosaico formado
por triángulos y cuadriláteros. Los lados de todos los
polígonos tienen la misma longitud.
❚ El salón de invitados está cubierto por el mosaico que
puedes ver en la fotografía.
Pajarita
❚ La cocina tiene un mosaico en el suelo formado por
triángulos equiláteros y hexágonos regulares. Sus
lados miden lo mismo.
❚ Imagina que formas parte del equipo de restauradores.
Avión
Hueso
a. Averigua cómo pueden realizarse los dos mosaicos diferentes que combinan los polígonos
indicados para el suelo del salón de recepción.
COMPRENDE
UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO
1
RESUELVE
b. ¿Cuál es la tesela del mosaico del salón de invitados? Explica qué movimientos deben aplicarse para construir
un mosaico idéntico.
Los artistas musulmanes plasmaron en la Alhambra sus conocimientos del concepto de simetría y
realizaron su trabajo de teselación del plano mediante movimientos: traslaciones, giros y simetrías sobre
una misma figura.
REPRESENTA
c. Dibuja un mosaico que permita realizar la restauración del suelo de la cocina. ¿Hay más soluciones posibles? Si
la respuesta es afirmativa, indica cuáles.
a. El hueso nazarí es un polígono cóncavo de doce lados que se obtiene a partir de un cuadrado en el que se
recortan dos trapecios de dos lados opuestos y se colocan mediante giros en los otros dos lados también
opuestos. ¿Cuál es el número mínimo de colores necesario para que no haya dos huesos del mismo color con
un lado en común?
O
TRABAJ IVO
RAT
COOPE
ARGUMENTA
b. Busca en Internet cuál es el proceso de construcción de la pajarita a partir de un polígono. ¿Cómo se llama esta
figura geométrica?
UTILIZA LAS TIC
UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO
c. ¿Qué movimientos se pueden aplicar para dibujar el mosaico cuya tesela es el avión?
PIENSA Y RAZONA
140
141
Mosaicos
Sugerencias didácticas
En esta sección trabajamos de un modo más concreto las competencias, en particular la competencia matemática. Se propone
un proceso de modelación matemática en el que los alumnos deberán analizar, interpretar y comunicar una situación artística
que les permitirá reconocer la geometría en su entorno.
En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las
competencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Argumenta, Utiliza el lenguaje matemático, Utiliza las TIC, Piensa y
razona, Comunica, Resuelve o Representa.
Para finalizar la sección se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa
es Imagen mural, adaptación del Laboratorio de Innovación Educativa del colegio Ártica a partir de Ferreiro Gravié.
Para desarrollar esta tarea, los alumnos trabajarán sobre una imagen de un mosaico. Descubrirán cuál es la tesela del mosaico
y sus movimientos. Primero trabajarán de manera individual y después por parejas. Cada alumno explicará a la clase la opción
de su compañero.
Soluciones de las actividades
Comprende
1 Los artistas musulmanes plasmaron en la Alhambra sus conocimientos del concepto de simetría y realizaron su trabajo de
teselación del plano mediante movimientos: traslaciones, giros y simetrías sobre una misma figura.
a)El hueso nazarí es un polígono cóncavo de doce lados que se obtiene a partir de un cuadrado en el que se recortan
dos trapecios de dos lados opuestos y se colocan mediante giros en los otros dos lados también opuestos. ¿Cuál es el
número mínimo de colores necesario para que no haya dos huesos del mismo color con un lado en común?
b)Busca en Internet cuál es el proceso de construcción de la pajarita a partir de un polígono. ¿Cómo se llama esta figura
geométrica?
Unidades didácticas 225
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
7
Geometría del plano. Movimientos
c) ¿Qué movimientos se pueden aplicar para dibujar el mosaico cuya tesela es el avión?
a)El mínimo número de colores necesario para que no haya dos huesos del mismo color con un lado en común es 2.
b)La pajarita se obtiene realizando modificaciones a un triángulo equilátero.
c) Se pueden aplicar simetrías y giros.
Relaciona
2 Los mosaicos más sencillos se inspiran en la naturaleza y están formados por un único tipo de polígono regular. En un
mosaico, las teselas no pueden superponerse ni dejar huecos sin recubrir. Observa la imagen del panal de abejas de la
primera página de esta unidad.
a)¿Qué nombre recibe el polígono de la tesela del mosaico generado por las abejas?
b)Con la ayuda del programa Geogebra, dibuja un mosaico a partir de un triángulo equilátero y otro a partir de un
cuadrado.
c) Al crear un mosaico con polígonos regulares, ¿cuál es la suma de los ángulos que concurren en uno de sus vértices?
a)Es un hexágono.
b)Respuesta abierta.
c) La suma de los ángulos que concurren en uno de sus vértices es de 360º.
Reflexiona
3 El suelo del salón de recepción tiene un mosaico formado por triángulos y cuadri-
láteros. Los lados de todos los polígonos tienen la misma longitud.
❚❚ El salón de invitados está cubierto por el mosaico que puedes ver en la foto-
grafía.
❚❚ La cocina tiene un mosaico en el suelo formado por triángulos equiláteros y
hexágonos regulares. Sus lados miden lo mismo.
❚❚ Imagina que formas parte del equipo de restauradores.
a)Averigua cómo pueden realizarse los dos mosaicos diferentes que combinan los polígonos indicados para el suelo del
salón de recepción.
b)¿Cuál es la tesela del mosaico del salón de invitados? Explica qué movimientos deben aplicarse para construir un mosaico idéntico.
c) Dibuja un mosaico que permita realizar la restauración del suelo de la cocina. ¿Hay más soluciones posibles? Si la respuesta es afirmativa, indica cuáles.
a)Uno de los mosaicos está formado por una fila de triángulos equiláteros encajados unos en otros y debajo una fila de
cuadrados cuyo lado coincide con el lado del triángulo superior.
En el otro, la figura que se repite es un cuadrado y triángulos equiláteros en cada uno de sus lados.
b)La tesela es un triángulo equilátero. Se puede obtener el mosaico realizando giros de distintos centros y simetrías.
c) Hay dos posibles soluciones. Un de ellas es un hexágono regular rodeado de triángulos equiláteros encajados unos en
otros. En la otra, la figura que se repite es un hexágono con un triángulo equilátero en cada lado.
Trabajo cooperativo
La tesela de este mosaico es un trapecio rectángulo. Para la construcción de la figura base del mosaico han de realizarse giros
de 90º y para la construcción del mosaico es suficiente realizar giros de distintos centros.
Unidades didácticas 226
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Geometría del plano. Movimientos
7
Avanza. Teorema de Pitágoras generalizado
7
Sugerencias didácticas
Geometría del plano. Movimientos
AVANZA
En la sección Avanza de esta unidad se introduce el teorema de Pitágoras generalizado.
Teorema de Pitágoras generalizado
Si un triángulo no es rectángulo, podemos calcular la longitud de uno de sus lados aplicando el teorema de
Pitágoras generalizado. La altura de un triángulo no rectángulo determina dos triángulos que son rectángulos, es
decir, dos triángulos en los que se cumple el teorema de Pitágoras.
Triángulo acutángulo
Triángulo obtusángulo
Llamamos m a la proyección del lado b que determina
la altura, h, sobre la base, c, del triángulo.
Llamamos m a la proyección del lado b que determina
la altura, h, sobre la base, c, del triángulo.
C
C
a
b
m
A
H c
2
2
2
m
H
B
b =h +m →h =b −m
2
a
b
n
Por ser AHC un triángulo rectángulo:
2
Es importante que los alumnos reconozcan la necesidad de
saber calcular la longitud de uno de los lados de un triángulo cuando no sea rectángulo. Para que lo entiendan fácilmente, podemos trazar la altura de un triángulo no rectángulo y ver que se generan dos triángulos que sí lo son.
A
B
c
n
Por ser AHC un triángulo rectángulo:
b =h +m →h =b −m
2
2
Como BHC también es un triángulo rectángulo:
2
2
2
Es conveniente que manejen el proceso de modelación del
problema para llegar a la fórmula final en un triángulo acutángulo y en un triángulo obtusángulo.
2
Como CHB también es un triángulo rectángulo:
a2 = h2 + (c − m)2
a2 = h2 + (c + m)2
Entonces: a2 = b2 − m2 + (c − m)2
Entonces: a2 = b2 − m2 + (c + m)2
a2 = b2 − m2 + c2 + m2 − 2cm
a2 = b2 − m2 + c2 + m2 + 2cm
a2 = b2 + c2 − 2cm
a2 = b2 + c2 + 2cm
A1. Dibuja un triángulo acutángulo sabiendo
que los lados b y c miden 8,94 cm y 12 cm,
respectivamente, y que la proyección de b sobre
c mide 4 cm. ¿Cuál es la longitud del lado a?
GEOMETRÍA EN EL ARTE
2
Soluciones de las actividades
A2. Dibuja un triángulo obtusángulo sabiendo
que los lados b y c miden 8,24 cm y 13 cm,
respectivamente, y que la proyección de b sobre
c mide 2 cm. ¿Cuál es la longitud del lado a?
A1.Dibuja un triángulo acutángulo sabiendo que los lados
b y c miden 8,94 cm y 12 cm, respectivamente, y que la
proyección de b sobre c mide 4 cm. ¿Cuál es la longitud
del lado a?
Transformaciones geométricas
M. C. Escher (1898-1972) fue un artista holandés conocido por sus grabados, en los que, a partir de figuras y
transformaciones geométricas, representó elementos reales junto a formas imposibles, creando mundos
imaginarios. Para diseñar sus obras, se inspiró en el arte islámico, llevando los mosaicos a un nivel superior.
Comprobar que los alumnos dibujan el triángulo correctamente.
2
a2 = b2 + c 2 − 2 cm = ( 8,94 ) + 122 − 2 ⋅12 ⋅ 4 =
= 79,9236 + 144 − 96 = 127,9236
G1. Indica el tipo de movimiento utilizado por Escher en cada uno de los grabados anteriores.
a=
142
127,9236 = 11,31 cm
A2.Dibuja un triángulo obtusángulo sabiendo que los lados b y c miden 8,24 cm y 13 cm, respectivamente, y que la proyección de b sobre c mide 2 cm. ¿Cuál es la longitud del lado a?
Comprobar que los alumnos dibujan el triángulo correctamente.
2
a2 = b2 + c 2 + 2cm = ( 8,24 ) + 132 − 2 ⋅13 ⋅ 2 = 67,8976 + 169 + 52 = 288,8976
a=
288,8976 = 17 cm
Geometría en el arte. Transformaciones geométricas
Sugerencias didácticas
Podemos plantear esta sección como un concurso de investigación de diseño gráfico. Les presentamos tres grabados realizados por Escher y cada alumno deberá presentar un informe donde explique el tipo de movimiento que utilizó el artista en
cada uno de ellos.
Soluciones de las actividades
G1.Indica el tipo de movimiento utilizado por Escher en cada uno de los grabados anteriores.
En el primer grabado realizó traslaciones, en el segundo simetrías y giros de 120º, y en el tercero, traslaciones y simetrías.
Unidades didácticas 227
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
7
Geometría del plano. Movimientos
PROPUESTA DE EVALUACIÓN
PRUEBA A
1. Halla el lado desconocido, el perímetro y el área de estos triángulos.
20 cm
a)
b)
c
15 cm
39 cm
24 cm
a
a) a = b + c → a = 242 + 202 = 576 + 400 = 976 → a =
2
2
2
2
976 = 31,24 cm
P = a + b + c = 31,24 + 24 + 20 = 75,24 cm
A=
b⋅h
2
=
20 ⋅ 24
2
= 240 cm2
b) a2 = b2 + c 2 → 392 = 152 + c 2 → c 2 = 392 −152 = 1521− 225 = 1 296 → c =
1 296 = 36 cm
P = a + b + c = 39 + 15 + 36 = 90 cm
A=
b⋅h
2
=
15 ⋅ 36
= 270 cm2
2
2. Averigua la altura de un triángulo isósceles sabiendo que sus lados iguales miden 5 m, y su lado desigual, 6 m.
Consideramos el triángulo rectángulo que tiene por catetos la altura del triángulo y la mitad de un lado, y como hipotenusa, uno de los lados iguales del triángulo.
a2 = b2 + c 2 → 52 = 32 + c 2 → c 2 = 52 − 32 = 25 − 9 = 16 → c =
La altura del triángulo mide 4 cm.
16 = 4 cm
3. Calcula el área de una corona circular formada por dos círculos concéntricos cuyos radios miden 5 cm y 10 cm, respectivamente.
A = π ( R2 − r 2 ) = 3,14 ⋅ (102 ⋅ 52 ) = 3,14 ⋅ (100 − 25 ) = 3,14 ⋅ 75 = 235,5 cm2
4. Halla el área de esta figura.
16 cm
AT = Arectángulo + Acírculo = b ⋅ h + πr2
AT = 16 ⋅ 8 + 3,14 ⋅ 42 = 128 + 50,24 = 178,24 cm2
4 cm
24 cm
5. ¿Qué movimiento ha transformado un triángulo en otro: traslación, giro o simetría?
Es una simetría central de centro C.
D
C
E
A
Unidades didácticas B
228
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Geometría del plano. Movimientos
7
PROPUESTA DE EVALUACIÓN
PRUEBA B
1. Averigua el área de un sector circular de 60º en un círculo cuyo radio mide 2 m.
A = πr 2 ⋅
α
360 º
= 3,14 ⋅ 22 ⋅
60
360
=
753,6
360
= 2,09 m2
2. Calcula el área de un octógono regular inscrito en una circunferencia de radio 10 cm cuya apotema mide 9,2 cm.
Calculamos la longitud del lado.
Para ello, consideramos c la mitad del lado del octógono.
a2 = b2 + c 2 → 102 = 9,22 + c 2 → c 2 = 102 − 9,22 = 100 − 84,64 = 15,36 → c =
Entonces, el lado del octógono mide 3,92 ⋅ 2 = 7,84 cm.
A=
P ⋅a
2
=
8 ⋅ 7,84 ⋅10
2
15,36 = 3,92 cm
= 313,6 cm2
3. Una parcela rústica tiene un precio de venta de 100 € por metro cuadrado. Averigua el precio total fijándote en la forma
y las medidas que se representan en el dibujo.
60 m
AT = Atriángulo + Arectángulo + Acírculo =
Hallamos la base del triángulo.
39
m
18 m
→ c 2 = 392 − 362 = 1521−1 296 = 225 → c =
AT =
Luego el precio de la parcela es: 3 447,36 ⋅ 100 = 344 736 €
2
2
+ b ⋅ h + πr2
a2 = b2 + c 2 → 392 = 362 + c 2
15 ⋅ 36
b⋅h
225 = 15 m
+ 60 ⋅ 36 + 3,14 ⋅ 182 = 270 + 2 160 + 1 017,36 = 3 447,36 m2
4. Halla gráficamente el punto A’ transformado del vértice A mediante la simetría de centro el punto medio del lado BC e
indica qué figura forman los vértices ABA’C.
A
A
•
B
C
•
B
A’
ABA’C forman un paralelogramo.
C
5. Representa el triángulo de vértices A(−4, 3), B(−2, 6) y C(−4, 6) y halla las coordenadas de su simétrico:
a)Respecto del eje de abscisas.
b)Respecto del eje de ordenadas.
c) Respecto del origen de coordenadas.
Comprobar que los alumnos representan las simetrías correctamente.
a)A’(−4, −3), B’(−2, −6) y C’(−4, −6)
b)A’’(4, 3), B’’(2, 6) y C’’(4, 6)
c) A’’’(4, −3), B’’’(2, −6) y C’’’(4, −6)
Unidades didácticas 229
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO