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Examen de Estadı́stica
Ingenierı́a Superior de Telecomunicación
15 de Febrero, 2005
Cuestiones
2 horas
C1. Un programa se ejecuta desde uno cualquiera de cuatro periféricos A, B, C y D con arreglo
al siguiente protocolo: en un primer intento, si A está operativo, el programa se ejecuta desde
A. Si A no está operativo, se realiza un segundo intento consistente en lanzar dos monedas
y ejecutar el programa desde B si no se obtuvo ninguna cara, desde C si se obtuvo una cara
o desde D si se obtuvieron dos caras. Si el periférico seleccionado en este segundo intento
no está operativo el programa se queda sin ejecutar. La probabilidad de que cada periférico
esté operativo es p y cada uno de ellos lo está o no con independencia del estado de los otros.
a) Calcular la probabilidad de que el programa no se ejecute.
b) Si el programa no se ha ejecutado, ¿cuál es la probabilidad de que haya fallado el periférico
C?
3. Los circuitos integrados (chips) se obtienen a partir de oblea
fabricación,
sondemuy
a cualquier defecto en
C2. Los circuitos integrados (chips)
se optienen a los
partirchips
de obleas
silicio susceptibles
y son muy susceptibles
como
defecto
fatal
aquel
defecto
de
la
oblea
que pueda echar a p
a culaquier fallo en la superficie de la oblea. Se define como defecto fatal aquel defecto que
de
pista
de
los
chips
que
se
están
produciendo
a partir de dicha ob
pueda echar a perder un chip.
El número de defectos fatales por 100 milı́metros cuadrados de oblea de silicio viene caracterEl número de defectos fatales por 100 milímetros cuadrados de o
izado por una variable aleatoria de media 0.1
por una variable aleatoria de media 0,1.
a) ¿Cuál es la probabilidad de q
haya más de un defecto fata
b) Si se toman 25 chips diferent
probabilidad de que más
defectos?
c) Si se pretenden obtener c
obleas de 100 milímetros de
de encontrar más de 12 de
2
58 chips de 10x10 mm
2
total
de 4 obleas?
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un chip de 20 × 20 mm haya más de
un defecto
fatal?.
X: Nº de defectuosos por 100 mm2 = ℘(0,1)
b) Si se toman 25 chips diferentes de 10 × 10 mm2 , ¿cuál es la probabilidad de que más de
22 de esos chips no tengan defectos?
c) Si se pretenden obtener
a)chips de 10 × 10 mm2 de las obleas de 100 mm de diámetro,
De la
figura
observa
que un chip de 20x20
¿cuál es la probabilidad de encontrar más de 12 defectos
fatales
en lase
superficie
útil total
de
10x10.
Tenemos
pues:
de 4 obleas?
4
2
Y: Nº de defectuosos por 400 mm =
1
∑X
i =1
i
=
p (Y > 1) = p (℘(0,4 ) > 1) = 1 − p (℘(0,4 ) ≤ 1) = 1 − e −0, 4 − 0,4
C3. Se elige un punto X al azar en el intervalo (0, 1). Supuesto que X = x, Y es una variable
aleatoria exponencial de media x1 , cuya densidad viene definida por
(
xe−xy
si y > 0
fY |X (y | x) =
0
otro caso
Calcular:
a) La función de densidad conjunta del vector aleatorio (X, Y ).
b) La densidad marginal de Y y la esperanza de Y sabiendo que X = x.
c) La probabilidad condicionada P Y > 1 | X < 12 .
C4. Tres dı́as antes del referéndum de aprobación de la constitución europea se realiza una encuesta
a 500 personas para determinar si se puede afirmar que el resultado va a ser positivo. De las
525 personas, 275 se muestran a favor de la aprobación y 225 en contra.
a) Calcular el intervalo de confianza para la proporción de personas que votarı́an sı́ a la
constitución, con un nivel de confianza del 99 %.
b) Se puede asegurar con ese mismo nivel de confianza que la proporción de personas que
apoyarán la constitución es superior al 50 %. Si no es ası́, con qué nivel de confianza
podrı́amos asegurar que pasarı́a
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Problemas
1h 30’
P1. Los mensajes llegan a un cierto servidor de correo electrónico por dos lı́neas diferentes siguiendo
dos procesos de Poisson independientes de parámetros λ1 y λ2
a) Determinar de qué tipo es la v.a.:
Xj =tiempo de llegada del primer mensaje por la lı́nea j
b) Determinar la probabilidad de que el primer mensaje llegue por la lı́nea 1.
c) Calcular la función de densidad de la v.a. X =tiempo de llegada del primer mensaje.
d ) Calcular la función de probabilidad del proceso N (t), número total de mensajes que
llegan en un intervalo de t segundos.
e) ¿Es N (t) estacionario en sentido débil?.
P2. El valor de una determinada señal s producida por un aparato sufre pequeñas perturbaciones
que consideramos aleatorias.
a) Supongamos que la distribución de los valores de s se puede aproximar por una distribución Normal con media 12 y desviación tı́pica 0.5. Entre los valores de la señal que son
mayores que 12.5, ¿cuál es la proporción de valores que son mayores que 13?.
b) Queremos ahora medir la señal s con un aparato de medición. Sea X la v.a. valor proporcionado por el aparato al realizar una medición y la variable error cometido por
el aparato al realizar la medición. Suponiendo que sigue una distribución normal con
media 0 y desviación tı́pica 0.4, y es independiente de s. ¿Cuál es la relación entre s, X
y , ¿cuál es la distribución de X?
c) Se planifica realizar varias mediciones y proporcionar su media para aproximar el valor
de la señal. ¿Cuántas mediciones habrá que tomar para que nos aseguremos con una
probabilidad mayor o igual a 0.95 que el valor proporcionado no se alejará en más de 0.1
unidades de la señal promedio?
d ) Después de ser producida la señal entra en un dispositivo que la transforma en una señal
saliente con tres estado: -1, 0, 1. La señal sout toma el valor -1 si la señal entrante es
menor que 11.5, toma el valor 0 si la señal entrante está entre 11.5 y 12.5, y toma el valor
1 si la señal entrante es mayor que 12.5. Calcula la función de probabilidad de sout . Si se
toman 1124 valores de sout , ¿cuál es en promedio el número de valores no nulos de sout ?
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