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Soluciones Examen de Estadı́stica
Ingenierı́a Superior de Telecomunicación
15 de Febrero, 2005
Cuestiones
2 horas
C1. Un programa se ejecuta desde uno cualquiera de cuatro periféricos A, B, C y D con arreglo
al siguiente protocolo: en un primer intento, si A está operativo, el programa se ejecuta desde
A. Si A no está operativo, se realiza un segundo intento consistente en lanzar dos monedas
y ejecutar el programa desde B si no se obtuvo ninguna cara, desde C si se obtuvo una cara
o desde D si se obtuvieron dos caras. Si el periférico seleccionado en este segundo intento
no está operativo el programa se queda sin ejecutar. La probabilidad de que cada periférico
esté operativo es p y cada uno de ellos lo está o no con independencia del estado de los otros.
a) Calcular la probabilidad de que el programa no se ejecute.
La probabilidad de que el programa se ejecute en el primer intento es igual a la probabilidad de que A esté operativo, es decir, p.
La probabilidad de que se ejecute desde B es igual a la probabilidad de que A no esté operativo, 1 − p, por la probabilidad de que B sea elegido (que es igual a 41 : probabilidad
de no obtener ninguna cara), por la probabilidad de que B esté operativo, p, es decir:
(1 − p) 14 p.
Del mismo modo, las probabilidades de que el programa se ejecute desde C y D son
respectivamente:
1
1
(1 − p) p y (1 − p) p
2
4
Por tanto, la probabilidad de que el programa se ejecute es:
1
1
1
p + (1 − p) p + (1 − p) p + (1 − p) p = p + p (1 − p) = p (2 − p)
4
2
4
2
y la probabilidad de que no se ejecute es 1 − p − p (1 − p) = (1 − p) .
b) Si el programa no se ha ejecutado, ¿cuál es la probabilidad de que haya fallado el periférico
C? Por las condiciones de funcionamiento del protocolo, la probabilidad de que falle el
periférico C es: (1 − p) 21 (1 − p).
Por tanto, si el programa no se ha ejecutado, la probabilidad de que haya fallado el
periférico C viene dada por
(1 − p) 12 (1 − p)
1
=
2
2
(1 − p)
C2. Los circuitos integrados (chips) se optienen a partir de obleas de silicio y son muy susceptibles
a culaquier fallo en la superficie de la oblea. Se define como defecto fatal aquel defecto que
pueda echar a perder un chip. El número de defectos fatales por 100 milı́metros cuadrados de
oblea de silicio viene caracterizado por una variable aleatoria de media 0.1
X =número de defectos en 100 mm2 ∼ P (0,1)
1
como defecto fatal aquel defecto de la oblea que pueda echar a p
de pista de los chips que se están produciendo a partir de dicha ob
El número de defectos fatales por 100 milímetros cuadrados de o
por una variable aleatoria de media 0,1.
a) ¿Cuál es la probabilidad de q
haya más de un defecto fata
b) Si se toman 25 chips diferent
probabilidad de que más
defectos?
c) Si se pretenden obtener c
obleas de 100 milímetros de
de encontrar más de 12 de
total de 4 obleas?
58 chips de 10x10 mm2
a) ¿Cuál es la probabilidadXde
que de
en un
chip de 20×20 por
mm2100
haya mm
más 2de=un
defecto
℘
(0,1)fatal?.
: Nº
defectuosos
2
Y =número de defectos en 20 × 20 mm ∼ P (0,4)
P r(Y > 1) = 1 − P r(Y ≤ 1) = 1 − P r(Y = 0) − P r(Y = 1) = 1 − e−0,4 − 0,4e−0,4 = 0,0615
a)
De es
la lafigura
se observa
que
b) Si se toman 27 chips diferentes de 10 × 10 mm2 , ¿cuál
probabilidad
de que más
de un chip de 20x20
de 10x10. Tenemos pues:
22 de esos chips no tengan defectos?.
4
P r(X = 0) = e−0,1 = 0,9
2
Y: Nº de defectuosos por 400 mm =
N = número de chips que no tienen defectos de entre los 25 N ∼ B(25, 0,9)
P r(N > 22)
∑X
i =1
i
=
p (Y > 1) = p (℘2(0,4 ) > 1) = 1 − p (℘(0,4 ) ≤ 1) = 1 − e −0, 4 − 0,4
= P r(N = 23) + P r(N = 24) = P r(N = 25) = 0,266 + 0,199 + 0,072 = 0,537
c) Si se pretenden obtener chips de 10 × 10 mm de las obleas de 100 mm de diámetro,
¿cuál es la probabilidad de encontrar más de 12 defectos fatales en la superficie útil total
de 4 obleas? 4 obleas ab)
58 chips por oblea, son 232 chips de 10 × 10 mm2
M =número de defectos en los 232 chips, M ∼ P (23,2)
p X = 0 = p ℘ 0,1 = 0 = e −0,1 = 0,9048
≅ 0,9
√
Utilizamos el T.C.L. y aproximamos una Poisson a una Normal: M ≈ N (23,2, 23,2)
12 − 23,2
22 >≅−2,32)
p B= P25
;0<,92,32)
>=
220,9898
=1− p B
P r(M > 12) = P r Z p
> B 25; p =>
P r(Z
r(Z
4,816
(
)
( (
( ( )
)
)
)
( (
)
)
( (25;0,9 ) ≤ 22 )
C3. Se elige un punto X al azar en el intervalo (0, 1). Supuesto que X = x, Y es una variable
c) 4x1 ,obleas
a 58 viene
chips
de 10x10
aleatoria exponencial de media
cuya densidad
definida
por por oblea, son 232 chips de 10x10.
232
(
xe−xy
si y > 0
T.C.L.
fZY |X=(y | x)X
= i = ℘( 23,2)
0
otro
caso
i =1
∑
Calcular:
p (Z > 12) = p (℘(23,2) > 12) = 1 − p (℘(23,2) ≤ 12) ≅ 1 − p (0 − 0
−0
a) La función de densidad conjunta del vector aleatorio (X, Y ). La elección al azar en el
= 1 − p − 0 ,5 ≤ N 23,2;4,816 ≤ 12 ,5 = 1 − p
intervalo (0, 1) supone una distribución uniforme para la variable aleatoria X, com lo

que la función de densidad de X es
= 1 − p − 4,92 ≤ N 0;1 ≤ −2,22 ≅ 1 − p N (0;1)
(
1
si 0 < x < 1
fX (x) =
=
p N (0;1) ≤ 2,22 = 0,98679
0 en otro caso
(
(
(
(
)
(
)
)
Puesto que fX,Y (x, y) = fY |X (y | x) fX (x), la densidad conjunta del vector aleatorio
(X, Y ) será
(
xe−xy si 0 < x < 1, y > 0
fX,Y (x, y) =
0
en otro caso
2
)
)
(
b) La densidad marginal de Y y la esperanza de Y sabiendo que X = x. La densidad
marginal de Y es
1
Z
Z
Z 1
1 1 −xy
xe−xy
−xy
e
dx =
fY (y) =
fX,Y (x, y) dx =
xe
+
dx = −
y
y 0
0
0
−xy 1
e−y
1 − e−y
e−y
e
= −
=
−
−
, y>0
2
2
y
y
y
y
0
La variable aleatoria Y | X = x es una exponencial de parámetro x, por tanto su
esperanza será x1 , tal y como se especifica en el enunciado.
c) La probabilidad condicionada P Y > 1 | X < 21 Por un lado se tiene que
P
1
Y > 1, X <
2
1
2
Z
Z
∞
xe
=
0
−xy
Z
dydx =
1
1
2
1
e−x dx = 1 − e− 2
0
Por otro lado, dado que la distribución de X es uniforme en (0, 1), se tiene que
1
1
P X<
=
2
2
Consecuentemente,
P Y > 1, X < 12
1
− 21
P Y >1|X<
=
=
2
1
−
e
2
P X < 12
C4. Tres dı́as antes del referéndum de aprobación de la constitución europea se realiza una encuesta
a 500 personas para determinar si se puede afirmar que el resultado va a ser positivo. De las
500 personas, 275 se muestran a favor de la aprobación y 225 en contra.
a) Calcular el intervalo de confianza para la proporción de personas que votarı́an sı́ a la
constitución, con un nivel de confianza del 99 %. La proporción de personas que vota
sı́ en la muestra es p̂ = 275
500 = 0,55.
Por tanto, el intervalo de confianza es:
(
p∈
0,55 ± z0,005
r
0,55 × 0,45
500
)
= [0,493, 0,607]
b) Se puede asegurar con ese mismo nivel de confianza que la proporción de personas que
apoyarán la constitución es superior al 50 %. Si no es ası́, con qué nivel de confianza
podrı́amos asegurar que pasarı́a. b) Directamente, viendo el intervalo de confianza no se
puede asegurar que más del 50 % de las personas votarán sı́ al referéndum puesto que
hay valores inferiores a 0,5 que se encuentran en el intervalo. Nota: también se puede
hacer con un contraste de hipótesis.
Por tanto, para calcular el nivel de confianza o bien se hace siguiendo el razonamiento
del intervalo de confianza o con un contraste de hipótesis (es decir calculando el p-valor).
Según la primera forma, ahora:
r
r
0,55 × 0,45
0,55 × 0,45
zα/2
> 0,5 ⇒ zα/2 <
= 2,247 ⇒ P r(Z < 2,247) = 0,9875 = 1 − α/2
500
500
Y α = 0,025, o lo que es lo mismo, el nivel de confianza es del 97,5 %.
3
Problemas
1h 30’
P1. Los mensajes llegan a un cierto servidor de correo electrónico por dos lı́neas diferentes siguiendo dos procesos de Poisson independientes de parámetros λ1 y λ2
a) Determinar de qué tipo es la v.a.:
Xj =tiempo de llegada del primer mensaje por la lı́nea j
Xj ∼ Exp(λj )
b) Determinar la probabilidad de que el primer mensaje llegue por la lı́nea 1. La función de
densidad conjunta de X1 y X2 es (al ser independientes)
f (x1 , x2 ) = λ1 e−λ1x1 λ2 e−λ2x2
Z
P r(X1 < X2 )
∞
−λ2x2
λ2 e
=
0
Z
dx2
x1 , x2 > 0
x2
λ1 e−λ1x1 dx1 =
0
λ1
λ1 + λ2
c) Calcular la función de densidad de la v.a. X =tiempo de llegada del primer mensaje. Si
el número total de mensajes en un segundo es P (λ1 + λ2 ), el tiempo de llegada del primer
mensaje (independientemente del canal) será una exponencial con el mismo parámetro,
por lo tanto:
f (x) = (λ1 + λ2 )e−(λ1 +λ2 )x
d ) Calcular la función de probabilidad del proceso N (t), número total de mensajes que llegan
en un intervalo de t segundos. ¿Es N (t) estacionario en sentido débil?. Si el número de
mensajes en un segundo es P (λ1 + λ2 ), el número total de mensajes que llegan en un
intervalo de t segundos N (T ) ∼ P ((λ1 + λ2 )t), por lo tanto su función de probabilidad
es:
P r(N (t) = k) =
e−(λ1 +λ2 )t (λ1 + λ2 )k tk
k!
No es estacionario en sentido débul, ya que por ejemplo: E[N (t)] = (λ1 + λ2 )t depende
del tiempo.
P2. El valor de una determinada señal s producida por un aparato sufre pequeñas perturbaciones
que consideramos aleatorias.
a) Supongamos que la distribución de los valores de s se puede aproximar por una distribución Normal con media 12 y desviación tı́pica 0.5. Entre los valores de la señal que son
mayores que 12.5, ¿cuál es la proporción de valores que son mayores que 13?.
13−12
P
r
Z
>
0,5
P r(S > 13)
P r(S > 12,5) ∩ P r(S > 13)
=
=
P r(S > 13|S > 12,5) =
12,5−12
P r(S > 12,5)
P r(S > 12,5)
Pr Z >
0,5
=
P r(Z > 2)
1 − P r(Z ≤ 2)
1 − 0,9772
=
=
= 0,143
P r(Z > 1)
1 − P r(Z ≤ 1)
1 − 0,8413
4
b) Queremos ahora medir la señal s con un aparato de medición. Sea X la v.a. valor proporcionado por el aparato al realizar una medición y la variable error cometido por
el aparato al realizar la medición. Suponiendo que sigue una distribución normal con
media 0 y desviación tı́pica 0.4, y es independiente de s. ¿Cuál es la relación entre s, X
y , ¿cuál es la distribución de X?
X
E[X]
V ar[X]
p
X ∼ N (12, 0,41)
= s+
= E[s] + E[] = 12 + 0 = 12
= V ar[s] + V ar[] = 0,52 + 0,42 = 0,41 (al ser independeintes)
c) Se planifica realizar varias mediciones y proporcionar su media para aproximar el valor
de la señal. ¿Cuántas mediciones habrá que tomar para que nos aseguremos con una
probabilidad mayor o igual a 0.95 que el valor proporcionado no se alejará en más de 0.1
unidades de la señal promedio? Si llamamos X a la media muestral de las mediciones
obtenidas, buscamos un n tal que:
P r(|X − 12| ≤ 0,1) ≥ 0,95
Puesto que X ∼ N (12, 0,41), sabemos que X ∼ N (12, 0,41/n), por lo tanto
P r(|X − 12| ≤ 0,1)
≥
0,95
P r(−0,1 ≤ X − 12 ≤ 0,1)
≥
0,95
!
−0,1
−0,1
Pr p
≤Z≤ p
≥
0,95
0,41/n
0,41/n
!
!
0,1
−0,1
Pr Z ≤ p
− Pr Z ≤ p
≥
0,95
0,41/n
0,41/n
!
0,1
−1
≥
0,95
2P r Z ≤ p
0,41/n
!
0,1
Pr Z ≤ p
≥ 0,975
0,41/n
0,1
p
≥
1,96
0,41/n
2
1,96 × 0,64
n≥
≥
157,5
0,1
Será necesario realizar 158 mediciones
1. Después de ser producida la señal entra en un dispositivo que la transforma en una señal
saliente con tres estado: -1, 0, 1. La señal sout toma el valor -1 si la señal entrante es menor
que 11.5, toma el valor 0 si la señal entrante está entre 11.5 y 12.5, y toma el valor 1 si la
señal entrante es mayor que 12.5. Calcula la función de probabilidad de sout . Si se toman 1124
valores de sout , ¿cuál es en promedio el número de valores no nulos de sout ? La variable sout
5
es discreta y toma los valore, -1, 0, 1, su función de probabilida es:
p(−1) = P r(sout =-1)
= P r(s ≤ 11,5) = P r(Z ≤ (11,5 − 12)/0,5) = P r(Z ≤ −1) = 1 − P r(Z ≤ 1)
=
p(0) = P r(sout =0)
= P r(11,5 ≤ s ≤ 12,5) = P r(−1 ≤ Z ≤ 1) = 2P r(Z ≤ 1) − 1 = 2 × 0,8413 − 1
=
p(1) = P r(sout =1)
1 − 0,8413 = 0,1587
0,6826
= P r(s ≥ 12,5) = P r(Z ≥ 1) = 1 − P r(Z ≤ 1) = 0,1587
Sea N = número de ceros observados en una secuencia de 1124 valores
N ∼ B(1124, 0,6826).
El número medio de valores nulos es E[N ] = 1124 × 0,6826 = 767,24. Por lo tanto el promedio de
valores no nulos es 1124 − 767,24 = 356,75
6