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Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad de Ingeniería Eléctrica DEPARTAMENTO ELECTROENERGÉTICA TRABAJO DE DIPLOMA “Materiales complementarios y aplicación del Matlab y Simulink para la solución de ejercicios de circuitos eléctricos con amplificadores operacionales ideales.” Autor: Dennis Ordaz Quintana Tutor: Dr. Avertano Hernández Stuart Tutor: MSc. Juan Curbelo Cancio Santa Clara, Cuba 2013 "Año 55 de la Revolución" Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad de Ingeniería Eléctrica Departamento de Circuitos Eléctricos TRABAJO DE DIPLOMA “Materiales complementarios y aplicación del Matlab y Simulink para la solución de ejercicios de circuitos eléctricos con amplificadores operacionales ideales.” Autor: Dennis Ordaz Quintana [email protected] Tutor: Dr. Avertano Hernández Stuart [email protected] Tutor: MSc. Juan Curbelo Cancio [email protected] Profesores de Circuitos Eléctricos de la facultad de Ing. Eléctrica Santa Clara, Cuba 2013 "Año 55 de la Revolución" Hago constar que el presente trabajo de diploma fue realizado en la Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas como parte de la culminación de estudios de la especialidad de Ingeniería Eléctrica, autorizando a que el mismo sea utilizado por la Institución, para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial como total y que además no podrá ser presentado en eventos, ni publicados sin autorización de la Universidad. Firma del Autor Los abajo firmantes certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdo de la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un trabajo de esta envergadura referido a la temática señalada. Firma del Autor Firma del Jefe de Departamento donde se defiende el trabajo Firma del Responsable de Información Científico-Técnica I PENSAMIENTO PENSAMIENTO “Para abrir nuevos caminos, hay que inventar; experimentar; crecer, correr riesgos, romper las reglas, equivocarse y divertirse”. Mary Lou Cook II DEDICATORIA DEDICATORIA A mi madre Marvy y a mis abuelas Tere y Melba por ser realmente las verdaderas protagonistas de este sueño. III AGAGRADECIMIENTOS AGRADECIMIENTOS Mis sinceros agradecimientos a Miguel Díaz-Canel Bermúdez por aprobar las resoluciones que renovaron la universidad, sin él hubiera sido imposible la realización de esta tesis en el presente año. A mis tutores Dr. Avertano Hernández Stuart y Msc. Juan Curbelo Cancio por sus valiosos consejos. A mí querida madre Marvy a quien agradezco con mucho amor todos los sacrificios y esfuerzos que ha hecho y hace por mí. A mi padre Denis por su constante preocupación y apoyo. A mis abuelas, Tere y Melba por su gran apoyo y amor desde siempre. A mi novia Yenisley que desde el principio se tomó esta tesis como una meta de ambos, por su amor y entrega, también a su familia por lo maravillosa que han sido conmigo durante todo este tiempo. A mis tíos Maité y Carlos que siempre han estado muy atentos de mí en todo momento. A mis primos Alejandro Y Ana Laura. A Orlando Ismael Ojeda por su dedicación y horas extras de estudios. A Luis Orlando Hernández que aún no sé qué fue lo que hice para ganarme un amigo tan valioso como él. Gracias por estar presente en los momentos más difíciles. A todos ustedes y sin que pierda el menor ápice su significado: Muchas Gracias IV TAREA TECNICA TAREA TECNICA Plan de Trabajo: Revisión y estudio de la bibliografía y preparación metodológica existente acerca de la solución de ejercicios de circuitos eléctricos con amplificadores operacionales ideales. Actualizar los contenidos teóricos usando textos básicos y materiales de estudio publicados en Internet. Estudiar los contenidos fundamentales del lenguaje de programación Matlab y el empleo de su simulador Simulink, que permitan elevar los conocimientos del estudiante en el área de la programación y simulación. Resolver, de forma analítica, ejercicios típicos, adecuadamente seleccionados, que ilustren de manera coherente el tratamiento de este tema en las asignaturas Circuitos Eléctricos I, II y III. Llevar a cabo la solución de los mismos, total o parcialmente, mediante programas elaborados en Matlab y finalmente obtener la solución elaborando modelos, utilizando el simulador Simulink. Organizar adecuadamente la estructura de la tesis basándose en un diseño metodológico estratégico según la didáctica de la asignatura y las orientaciones y normas aprobadas por el MES. Firma del Autor Firma del Tutor V RESUMEN RESUMEN Se propone un Material complementario para la solución de ejercicios de circuitos eléctricos con los amplificadores operacionales ideales a través de la aplicación del Matlab y Simulink. Se abordaron temáticas conceptuales acerca del análisis y solución de los amplificadores operacionales ideales utilizando la teoría de los circuitos eléctrico. Se profundizó en el estudio de los contenidos fundamentales del lenguaje de programación Matlab y Simulink, para su implicación en la solución de dichos ejercicios, estos fueron resueltos de forma analítica en los diferentes Circuitos Eléctricos, luego se solucionan dichos ejercicios, mediante el Matlab y finalmente se comprueban los mismos con el uso del simulador Simulink. VI TABLA DE CONTENIDO TABLA DE CONTENIDO PENSAMIENTO.................................................................................... I DEDICATORIA .................................................................................... II AGRADECIMIENTOS ........................................................................ III TAREA TECNICA............................................................................... IV RESUMEN ........................................................................................... V INTRODUCCIÓN ................................................................................. 1 CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA........................................ 5 1.1. Origen y evolución. ..................................................................... 5 1.2. Propiedades fundamentales. ..................................................... 7 1.3. Características técnicas del A.O. ............................................... 8 1.4. Características de un A.O ideal................................................ 10 1.5. El modelo equivalente del A.O. ............................................... 11 1.6. Diferentes configuraciones del amplificador operacional. .... 13 1.6.1. Comparador. ........................................................................... 13 1.6.2. Seguidor de voltaje. ............................................................... 14 1.6.3. Configuración inversora. ....................................................... 15 1.6.4. Amplificador no inversor. ...................................................... 16 1.6.5. Amplificador sumador. .......................................................... 17 1.6.6. Amplificador diferencial. ....................................................... 18 TABLA DE CONTENIDO VII 1.6.7. Convertidor de tensión a corriente y convertidor de corriente a tensión. .......................................................................... 19 1.6.7.1. Convertidor de tensión a corriente. ................................... 20 1.6.7.2. Convertidor de corriente a tensión. ................................... 20 1.6.8. Amplificador integrador......................................................... 21 1.6.8.1. Integrador inversor con condensador flotante. ................ 21 1.6.8.2. Amplificador Integrador no inversor. ................................ 22 1.6.9. Amplificador Derivador.......................................................... 23 1.6.9.1. Amplificador Derivador Inversor. ....................................... 24 1.6.9.2. Amplificador Derivador no Inversor. ................................. 25 CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. ......................................... 26 2.1. Introducción al MATLAB y Simulink. ....................................... 26 2.2. Ejercicios resueltos para la asignatura Circuitos Eléctricos I. .......................................................................................................... 27 2.2.1. Ejemplo 1. ............................................................................... 27 2.2.2. Ejemplo 2. ............................................................................... 30 2.2.3. Ejemplo 3. ............................................................................... 32 2.2.4. Ejemplo 4. ............................................................................... 34 2.3. Ejercicios resueltos para la asignatura Circuitos Eléctricos II. .......................................................................................................... 36 2.3.1. Ejemplo 1 ................................................................................ 36 2.3.2. Ejemplo 2. ............................................................................... 40 TABLA DE CONTENIDO VIII 2.3.3. Ejemplo 3. ............................................................................... 44 2.3.4. Ejemplo 4. ............................................................................... 49 2.4. Ejercicios resueltos para la asignatura Circuitos Eléctricos III. .......................................................................................................... 52 2.4.1. Ejemplo 1. ............................................................................... 52 2.4.2. Ejemplo 2. ............................................................................... 56 2.4.3. Ejemplo 3. ............................................................................... 61 2.4.4. Ejemplo 4. ............................................................................... 65 CONCLUSIONES .............................................................................. 69 RECOMENDACIONES ...................................................................... 70 BIBLIOGRAFÍA ................................................................................. 71 INTRODUCCIÓN 1 INTRODUCCIÓN La mayor parte del control y medida de los procesos industriales se realizan mediante circuitos electrónicos, en los cuales el amplificador operacional (A.O) es un módulo básico de dichos circuitos de control. Aunque cada vez más, el procesamiento de la información y la toma de decisiones del sistema se realiza con circuitos digitales o sistemas basados en microprocesadores, la conversión de las variables medidas (temperatura, presión, velocidad, etc.) en variables eléctricas: corriente o tensión (en los sensores), o la conversión inversa (en los actuadores analógicos), requiere de circuitos analógicos, donde el amplificador operacional juega un papel fundamental. Una de las razones de la popularidad del (A.O) es su versatilidad. Aún de mayor importancia, el (A.O) de circuito integrado (CI) presenta características que por muy poco alcanzan el que se considera ideal. Esto implica que es bastante fácil diseñar circuitos utilizando el (A.O) de (CI). Debido a la complejidad interna de un (A.O), una comprensión detallada de sus características de funcionamiento, potencialidades y limitaciones, requieren de un alto grado de habilidad, en técnicas de análisis de circuitos, reconocimiento de configuraciones funcionales típicas, técnicas específicas de realimentación, etc. Sin embargo, la gran mayoría de las aplicaciones pueden ser resueltas (ya sea tarea de análisis o un problema de diseño) en base a consideraciones simplificadas, traducidas en un “modelo ideal” Teniendo en cuenta la factibilidad del amplificador operacional dentro de los circuitos eléctricos se determinó crear un material complementario que recoja una serie de ejercicios de las asignaturas de Circuitos Eléctricos I, II y III con la aplicación del software Matlab y Simulink los cuales son utilizados en la Facultad de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central “Marta Abreu de las Villas” en varias de las asignaturas impartidas, entre ellas, las mencionadas con anterioridad. INTRODUCCIÓN 2 El uso del MATLAB y el Simulink, en la solución de ejercicios de circuitos eléctricos, ayuda al estudiante a una mejor comprensión de los contenidos estudiados en esta asignatura ya que a través de este, se optimizan recursos y se muestran soluciones gráficas que de otra forma serían difíciles de obtener. Además MATLAB posee un ambiente gráfico agradable, es fácil de utilizar y mediante él se puede obtener soluciones en tiempo real, lo cual es de vital importancia para estudiantes y profesionales que se dediquen al desarrollo de la solución de problemas de este tipo. Por tanto ya que no existe en la Facultad de Ingeniería Eléctrica, un material complementario para la solución de ejercicios de Circuitos Eléctricos con los amplificadores operacionales ideales a través de la aplicación del Matlab y Simulink, el problema que ocupa a la presente investigación es: ¿Cómo diseñar un material complementario para la solución de ejercicios de circuitos eléctricos con los amplificadores operacionales ideales a través de la aplicación del Matlab y Simulink? Partiendo del problema científico planteado, se puede establecer como objetivo general de la investigación el siguiente: Proponer un material complementario que contenga un conjunto de ejercicios resueltos que ilustren de manera coherente la aplicación del Matlab y Simulink en la asignatura de Circuitos Eléctricos con amplificadores operacionales ideales. Para el logro del objetivo general se dará cumplimiento durante el proceso investigativo a los siguientes objetivos específicos: 1. Determinar los referentes teóricos fundamentales, acerca del análisis y solución de los diferentes circuitos eléctricos con amplificadores operacionales ideales 2. Sistematizar los contenidos fundamentales del lenguaje de programación Matlab y Simulink, para su implicación en la solución de ejercicios de circuitos eléctricos con amplificadores operacionales ideales. INTRODUCCIÓN 3 3. Elaborar un material complementario que ilustre de forma analítica la solución de ejercicios de amplificadores operacionales ideales en los diferentes Circuitos Eléctricos, con la implicación del Matlab y finalmente comprobar los resultados haciendo uso del simulador Simulink. Dentro de la bibliografía consultada para la investigación se encontró una gran cantidad de artículos referentes a los amplificadores operacionales, en los cuales se hace énfasis en la importancia del estudio de este dispositivo por su versatilidad y gran utilidad práctica. Entre los aportes del presente trabajo de diploma, se pueden destacar el diseño de un material complementario que contenga soluciones de ejercicios de circuitos eléctricos con amplificadores operacionales ideales a través del empleo creativo del Matlab y Simulink. Se pretende que este estudio sirva como antecedente teórico para futuras investigaciones ya que consta de una recopilación de elementos teóricos sobre métodos de solución de los amplificadores operacionales en su primer capítulo. Además servirá de apoyo en la docencia de la asignatura Circuitos Eléctricos I, II y III que se imparte en la carrera, para contribuir a la formación del Ingeniero Eléctrico competente en esta rama al permitirles interactuar con una herramienta tan utilizada como el MATLAB. El trabajo de diploma quedó estructurado de la siguiente forma: Capítulo 1: Recoge los fundamentos teóricos que sustentan los aspectos relacionados con los métodos de solución de las diferentes configuraciones de los amplificadores operacionales a través de la teoría de los Circuitos Eléctricos. Capítulo 2: Muestra la solución de forma analítica de los ejercicios seleccionados con anterioridad, corroborando las soluciones a través del MATLAB y el Simulink. En su contenido se incluyen también las conclusiones, recomendaciones y referencias bibliográficas. INTRODUCCIÓN Organización del informe Este trabajo de diploma consta de las siguientes partes: Pensamiento Dedicatoria Agradecimientos Tarea técnica Resumen Introducción Capítulo 1 Revisión Bibliográfica. Capítulo 2 Ejemplos Resueltos. Conclusiones Recomendaciones Referencias bibliográficas 4 CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 5 CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 1.1. Origen y evolución. El amplificador operacional (A.O) surge por la necesidad de crear circuitos que fueran capaces de resolver operaciones matemáticas: suma, resta, multiplicación, integración y derivación lo cual era vital para las investigaciones de desarrollo en las áreas de computación analógica e instrumentación en la década del 40 durante la segunda guerra mundial.(Hayt et al., 2003) El término amplificador operacional (A.O), tiene su origen en su primitiva aplicación, la cuál era la de conformar circuitos que efectuaban operaciones matemáticas.(Hayt et al., 2003) Suele pensarse erróneamente, que el A.O nació con los circuitos integrados, sin embargo los conceptos básicos del amplificador operacional que manejamos hoy en día, tienen su origen en la época de las válvulas electrónicas. Se le atribuye su autoría a John R. Ragazzini en 1947.(Galiano, 2001) El primer A.O producido en masa lo introdujo George A. Philbrick en 1948, el K2W como el mostrado en la figura 1, su costo era en los años cincuenta de $22 USD.(Galiano, 2001) Figura 1: El Primer Amplificador Operacional “real”, el K2-W. CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 6 Estos A.O, formando parte de circuitos electrónicos, permitían la simulación de sistemas físicos y se usaron ampliamente, para la investigación y desarrollo de dichos sistemas. (Galiano, 2001) En ese entonces, su utilización estaba sumamente restringida a las áreas de computación analógica e instrumentación, que eran las únicas que justificaban el importante aumento en la cantidad de válvulas electrónicas, necesarias para operar bajo este principio.(Galiano, 2001) La aparición en el mercado de A.O moduladores en los comienzos de 1960, expande su uso por su bajo precio y resistencia, no obstante se trata siempre de módulos armados a base de componentes discretos. Hacia el final de 1960, la introducción de los circuitos integrados monolíticos, logra que se reduzcan notablemente los costos, y se inicia la etapa del desplazamiento de los circuitos discretos, el cual fue acentuándose a través del tiempo hasta nuestros días. El primer amplificador operacional monolítico data de los años 1960, era el Fairchild μA702 (1964), diseñado por Bob Widlar. Le siguió el Fairchild μA709 (1965), también de Widlar, y que constituyó un gran éxito comercial. Más tarde sería sustituido por el popular Fairchild μA741 (1968), de David Fullagar, y fabricado por numerosas empresas, basado en tecnología bipolar.(Galiano, 2001) Actualmente, los amplificadores operacionales son circuitos integrados que contienen transistores, diodos, resistencias y capacitores, fabricados sobre una pequeña pastilla de silicio. Las operaciones matemáticas señaladas anteriormente, se logran adicionando externamente diversos elementos como resistores, capacitores, etc.(Bogart, 1992) Con la posibilidad de producción en masa que proporcionan las técnicas de fabricación de circuitos integrados, los amplificadores operacionales integrados estuvieron disponibles en grandes cantidades, lo que, a su vez contribuyó a rebajar su costo. Hoy en día, el precio de un amplificador operacional integrado de propósito general, con una ganancia de 100 dB, un voltaje offset de entrada de 1 7 CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. mV, una corriente de entrada de 100 nA y un ancho de banda de 1 MHz. es inferior a 1 Euro. El amplificador, que era un sistema formado antiguamente por muchos componentes discretos, ha evolucionado para convertirse él mismo en un componente discreto, una realidad que ha cambiado por completo el panorama del diseño de circuitos lineales.(Galiano, 2001) Dentro de los usos específicos de los A.O, se pueden mencionar las siguientes aplicaciones: Amplificadores de Corriente Continua., Amplificadores de Corriente Alterna, Comparadores, Osciladores, Multivibradores, Filtros Activos, Amplificadores de Instrumentación, transmisión y acondicionadores de señal, etc. Por otro lado ente las aplicaciones más comunes están: las Operaciones matemáticas (procesamiento de señales): Sumadores, Integradores, Diferenciadores, Amplificadores Logarítmicos, etc. 1.2. Propiedades fundamentales. El A.O es un amplificador diferencial (amplifica la diferencia entre dos señales) de elevada ganancia, con dos entradas, una inversora y la otra no inversora y una salida.(Hayt et al., 2003) Uno de los símbolos más usado para representar el A.O, es el que se presenta en la figura 2: Figura 2: Símbolo del amplificador Operacional. Es costumbre en los diagramas de circuitos no indicar los terminales de alimentación por razones de simplicidad del dibujo, pero conviene recalcar aunque 8 CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. parezca obvio, que el A.O como cualquier circuito electrónico no funciona sin alimentación (sin polarización) y que en cualquier práctica su correcta conexión es lo primero que debiera verificarse. El A.O se alimenta de una fuente de corriente directa (CD), la cual le entrega dos voltajes referidos a tierra, uno de +V y otro de -V (generalmente los valores de los voltajes de alimentación son de +15 V y -15 V), lo que permite que la señal a la salida del A.O pueda variar de polaridad (entre +V y -V), sin que se requiera emplear acoplamiento capacitivo o inductivo entre el A.O y la carga conectada a su salida, tal como se muestra en la figura de la derecha. Los terminales de la fuente de alimentación de corriente directa (+V, -V), no siempre aparecen representados en el símbolo mostrado. También hay A.O que se alimentan entre + V y tierra.(Hernández, Nilsson and Riedel, 2011) El terminal de entrada identificado por el signo (-) es la entrada inversora y el voltaje V1 está definido entre la entrada inversora y tierra. El voltaje V2 se define entre la entrada no inversora (+) y tierra. A la salida se obtiene (entre el terminal de salida y tierra) el voltaje Vi = (V1 - V2) amplificado y desfasado 180º respecto a la entrada (Vo). Si V2 = 0, entonces V1 aparece amplificado y desfasado 180º a la salida. Si V1 = 0, entonces V2 aparece amplificado a la salida pero sin desfase. La ganancia o amplificación de este dispositivo está en el orden de diferentes tipos de A.O, siendo su valor típico de a para . Es conocida como ganancia de lazo abierto y se representa por Av.(Nilsson and Riedel, 2011) 1.3. Características técnicas del A.O. El número de características técnicas que definen a un amplificador operacional es muy amplio. En general, cada dispositivo se diseña con alguna de estas características optimizadas para un conjunto de aplicaciones específicas. Se agrupan en: características de entrada, de salida y de transferencia. Un conjunto de las más usuales que hay que tener en cuenta en el diseño de un circuito con este tipo de dispositivo es el siguiente: (Hayt et al., 2003) CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 9 Impedancia de entrada: Cuantifica que parte de la señal que proporciona la etapa anterior al amplificador operacional, en realidad llega a la entrada de éste. Cuanto mayor sea el valor de esta impedancia, mayor será la relación entre la señal proporcionada y la que llega a la entrada del amplificador. La más importante a efectos prácticos es la impedancia de entrada en modo diferencial, que es la que se puede medir entre los dos terminales de entrada del amplificador operacional cuando una de éstas se conecta a masa. Tensión diferencial máxima: Máxima diferencia de tensión que puede existir entre las dos entradas del amplificador operacional, sin que se produzca la saturación. Tensión de entrada en modo común: Es un rango de valores que delimita el margen de la media aritmética entre las dos tensiones de entrada para las cuales no se produce la saturación del amplificador. Tensión de compensación o tensión de offset: Es la diferencia de tensión que hay que aplicar a las entradas del amplificador operacional para que la tensión de salida sea nula. El parámetro correspondiente a la variación de la tensión de compensación en función de la tensión de alimentación se denomina relación de rechazo de la tensión de alimentación (SVRR). Corriente de compensación: Se define como la diferencia entre las intensidades de corriente continua que es necesario suministrar a los terminales de entrada de un amplificador operacional para obtener una tensión nula a la salida si la tensión de entrada es nula y la tensión de offset está compensada. Esta diferencia se incrementa con la temperatura, la tensión de alimentación y el tiempo de funcionamiento, y dicho incremento se denomina deriva de corriente de compensación. Impedancia de salida: Es la impedancia que puede medirse entre el terminal de salida y masa cuando la tensión y la corriente a la salida son nulas. Cuanto menor sea este valor, menor será la caída de tensión debido a la existencia de esa impedancia a la salida y, por tanto, mayor será el aprovechamiento de la ganancia del amplificador. CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 10 Slew-rate: Es el valor máximo de la relación que existe entre el cambio de tensión de salida y el tiempo necesario para realizar dicho cambio. Corriente de salida: Es el valor de la intensidad máxima de salida que puede proporcionar el amplificador operacional cuando su terminal de salida se conecta a masa. Este parámetro está estrechamente vinculado a la impedancia de salida. Ganancia en bucle abierto: Es la relación entre la tensión diferencial de entrada y la tensión de salida cuando el circuito no está realimentado. Para muchas aplicaciones es importante que este valor sea lo más elevado posible. Factor de rechazo en modo común: También expresado como CMRR, es un parámetro que indica cuánto más se amplifica la tensión diferencial de entrada que el nivel común de tensión (ruido) que llega a las entradas del amplificador operacional. Es muy importante tener en cuenta este parámetro en las aplicaciones en las que el amplificador operacional se usa básicamente como amplificador diferencial, con una de las dos señales de referencia. Ancho de banda: También expresado con las siglas BW (del inglés Band Width), se define como el valor de frecuencia para el cual la ganancia en bucle abierto del operacional se reduce en un factor raíz de dos. Este parámetro describe el margen de frecuencias para el cual las características del amplificador operacional se mantienen con una aceptable invariabilidad. Tiempo de respuesta: Es el tiempo que transcurre desde el momento en que se aplica una señal a los terminales de entrada del amplificador operacional hasta que se obtiene, a la salida, una respuesta de acuerdo a la señal aplicada. 1.4. Características de un A.O ideal. - Impedancia de entrada infinita, entre los dos terminales de entrada y entre cada terminal de entrada y masa. - Impedancia de salida nula. - Ganancia sin realimentación infinita. CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 11 - Factor de rechazo en modo común infinito. - Ancho de banda infinito. - Corrientes y tensiones de compensación nulas. - Derivas de temperatura nulas: sus propiedades deben mantenerse estables a cualquier temperatura. 1.5. El modelo equivalente del A.O. El modelo equivalente del A.O está compuesto básicamente por una fuente de voltaje dependiente de voltaje (AvVi) y resistores, tal como aparece en la figura 3. La fuente dependiente aparece en los terminales de salida del A.O y el voltaje de control (Vi) se aplica a los terminales de entrada.(Galiano, 2001) Figura 3: Circuito equivalente del A.O. El voltaje aplicado a la carga será: La curva de voltaje transferencial ideal es la que se muestra en la figura 4. La curva no está a escala, pues sería casi vertical, debido a la ganancia infinita de Av. 12 CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. Figura 4: Curva de transferencia de voltaje ideal El A.O presenta una resistencia de entrada (Ri) muy alta (de a ) por lo que idealmente Ri se representa por un circuito abierto. Una fuente de voltaje dependiente de voltaje, suministra un voltaje de salida igual a AvVi (el valor de Av es de alrededor de ), idealmente Av puede considerarse que tiende a infinito. La resistencia de salida (Ro) del A.O, es tan pequeña (alrededor de 75 Ω), que puede considerarse idealmente igual a cero.(Galiano, 2001) Por ejemplo, un AO típico, como el A741, presenta los siguientes parámetros: Ri = 2 M , Ro = 75 y Av = 2x La alta ganancia de lazo abierto del A.O determina que una señal de entrada de unas pocas decenas de µV (cuando el A.O está en lazo abierto), lo lleven a saturación, lo que significa que Vo sea +V o -V. Esta es la causa por la que generalmente se usa en combinación con componentes externos, para disminuir la ganancia de voltaje con realimentación (Avf) a valores razonables.(Galiano, 2001) Si en el análisis de los circuitos con amplificadores operacionales se emplean las suposiciones del amplificador ideal, surgen importantes simplificaciones. Al ser la impedancia de entrada infinita, cualquier corriente que circule en los terminales de entrada no puede penetrar en el amplificador, por lo que deberá seguir otro camino. Debido a que la ganancia en bucle abierto es infinita, para 13 CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. obtener cualquier tensión a la salida no se requiere diferencia de potencial entre los terminales de entrada. La tensión de offset nula implica que si la tensión de salida es cero, la tensión diferencial de entrada es nula. En estos casos, los efectos debidos a frecuencia y temperatura se ignoran, por lo que todas las características ideales de los amplificadores se cumplen independientemente de la frecuencia y de la temperatura a las cuales trabajen.(Boylestad, 2000) Las aplicaciones lineales utilizan el dispositivo retroalimentado en forma negativa (una muestra de la señal de salida se “retroalimenta” hacia la entrada inversora); esto se hace para que el amplificador operacional no esté saturado y podamos controlar la tensión de salida; en estas condiciones el funcionamiento del A.O. se resume en: (Hayt et al., 2003) I. La salida se ajusta (automáticamente) a un valor tal que hace nula la diferencia de voltaje entre ambas entradas; en consecuencia de asumir ganancia infinita, y demostrable en base a tal consideración. II. No circula corriente por las entradas (equivalente a la característica de impedancias infinitas en las entradas). 1.6. Diferentes configuraciones del amplificador operacional. 1.6.1. Comparador. En la figura 5 se muestra un amplificador operacional ideal como comparador. Figura 5: Amplificador operacional como comparador. CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 14 La salida del A.O será igual a +V, si la señal aplicada a la entrada no inversora, es más positiva que la señal aplicada a la entrada inversora y será igual a -V, si ocurre lo contrario (siempre que el producto AvVi sea mayor que V ).(Galiano, 2001) Este A.O permite comparar dos señales de voltaje, variando el voltaje de salida, entre +V (voltaje de saturación positivo) y -V (voltaje de saturación negativo), cuando las señales de entrada difieren entre sí. La salida de este circuito puede ser empleada para accionar una alarma, el punto de disparo puede ser establecido variando el cursor de la resistencia R. El Amplificador operacional como comparador también es usado en circuitos generadores de ondas cuadradas con ancho de pulso variable (modulador de ancho de pulso).(Galiano, 2001) 1.6.2. Seguidor de voltaje. El circuito seguidor de voltaje de la figura 6, se considera ideal. Se ha conectado directamente una señal de entrada Vent en el terminal no inversor, por ello V2 = Vent. Figura 6: Seguidor de voltaje. Un cortocircuito conecta directamente la salida con la entrada inversora (realimentación negativa) por lo que Vsal = V1. Como V1 = V2, entonces Vsal = Vent. Por eso se dice que el voltaje de salida “sigue” al voltaje de entrada CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 15 (seguidor de voltaje). La ganancia de voltaje con realimentación (Avf) del seguidor de voltaje es de 1. La ventaja de este amplificador de ganancia unitaria es que por la entrada existe una corriente y potencia despreciable (en un A.O real) suministrada desde Vs, mientras que puede entregarse a la carga conectada a la salida, corrientes razonables de 10 a 20 mA y potencias de 100 a 500 mW (esta potencia es entregada por la fuente de alimentación de corriente directa), de esta forma, la carga prácticamente no afecta a la fuente de señal. Por esta razón, el seguidor de voltaje es conocido como amplificador “Buffer” (Aislador). La resistencia de entrada (resistencia vista por la fuente de señal) es infinita y la resistencia de salida es cero, lo que permite acoplar circuitos que presentan resistencias de salida o de entrada diferentes, sirviendo de enlace (adaptador de resistencias) entre dichos circuitos.(Nilsson and Riedel, 2011) 1.6.3. Configuración inversora. En la figura 7 se muestra el esquema de un amplificador operacional en configuración inversora. Figura 7: Amplificador operacional en configuración inversora. La corriente en los terminales de entrada del amplificador operacional es cero, por lo que la corriente I que circula por R1 es la misma que pasa por Rf. 16 CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. Como el terminal no inversor está conectado directamente a tierra y V1 = V2, entonces V1 también está a potencial de tierra (tierra virtual) Aplicando el teorema de los nodos: Al ser: Quedaría: Despejando: Como se puede apreciar en la formula si: se dice que el circuito amplifica la tensión de entrada. De igual manera si: se dice que el circuito atenúa la señal de entrada. También se aprecia que la tensión de salida tiene un signo negativo de ahí su nombre “amplificador inversor”.(Boylestad, 2000) 1.6.4. Amplificador no inversor. En la figura 8 se muestra el esquema de un amplificador operacional en configuración no inversora. Figura 8: Amplificador operacional en configuración no inversora. CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 17 Una simple inspección a esta configuración hace denotar que la fuente está conectada a la parte no inversora del A.O. Aplicando el teorema de los nodos: Teniendo en cuenta que: Quedaría: Despejando: De lo antes desarrollado se deduce que se trata de un amplificador con Av > 0, la ganancia viene dada por la relación entre las resistencias de realimentación, la impedancia de entrada es teóricamente infinita, pues la corriente de entrada es cero y que al ser la ganancia independiente de la carga, la tensión de salida es independiente de la carga; por tanto, la impedancia de salida es cero.(Davis, 1998) 1.6.5. Amplificador sumador. En la figura 9 se muestra el esquema de un amplificador operacional sumador. Figura 9: Amplificador operacional sumador. 18 CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. Procedemos a su análisis a través del teorema de los nodos de la siguiente manera: Despejando la ecuación y teniendo en cuenta que 0; quedaría: De lo antes desarrollado se deduce que la salida es la inversa de la suma de las tensiones de entrada, de igual manera se aprecia que la entrada no inversora está a masa, por lo que al tener realimentación negativa la entrada inversora estará virtualmente a 0 voltios y que desde cada una de las entradas circula una corriente hacia la entrada inversora, que no tiene otro camino de salida que dirigirse a la salida del amplificador a través de la resistencia de realimentación.(Decarlo and Lin, 1995) 1.6.6. Amplificador diferencial. El circuito restador de tensión es denominado habitualmente amplificador diferencial en modo común. Este circuito es la combinación de un amplificador inversor con uno no inversor. El amplificador operacional se realimenta negativamente, alimentándose las entradas con tensiones diferentes. La tensión de salida corresponde a la diferencia entre las dos tensiones de entrada: la que se aplica a la entrada positiva, menos la que se aplica a la entrada negativa, multiplicada por un factor de ganancia que está determinado por la resistencia de realimentación y la conectada a la entrada inversora del amplificador. Toda diferencia de tensión entre las dos entradas será amplificada, mientras que cualquier señal común a los dos terminales de entrada no será amplificada; por esta razón, los amplificadores diferenciales son ampliamente utilizados en la instrumentación electrónica, como es el caso de los sensores de determinadas magnitudes físicas: termopares, galgas extensiométricas, etc.(Hayt et al., 2003) CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 19 En la figura 10 se muestra el esquema de un amplificador diferencial. Figura 10: Amplificador operacional diferencial. Procedemos a su análisis a través del teorema de los nodos de la siguiente manera: Despejando Vsal: Teniendo en cuenta que: por divisor de voltaje se tiene que: 1.6.7. Convertidor de tensión a corriente y convertidor de corriente a tensión. Los convertidores de corriente a tensión y de tensión a corriente también se suelen denominar fuente de tensión controlada por corriente y fuente de corriente controlada por tensión respectivamente. En el primer caso, la tensión de salida es 20 CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. directamente proporcional a la corriente de entrada y, en el segundo, la corriente de salida es directamente proporcional a la tensión de entrada.(Boylestad, 2000) 1.6.7.1. Convertidor de tensión a corriente. En la figura 11 se muestra el esquema de un amplificador convertidor de tensión a corriente diferencial.(Boylestad, 2000) Trataremos, mediante una tensión suministrada por una fuente de tensión, hacer que por una resistencia Rf circule una corriente independiente del valor de Rf. Figura 11: Amplificador convertidor de tensión a corriente diferencial. La intensidad I que circula por Rf será . Vemos que la intensidad que circula por Rf es independiente del valor de la misma. 1.6.7.2. Convertidor de corriente a tensión. En el convertidor de corriente a tensión que se muestra en la figura 12, en el cual mediante la corriente suministrada por una fuente de tensión se logra tener una tensión en bornes de la resistencia RL independiente del valor de dicha resistencia.(Boylestad, 2000) CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 21 Figura 12: Amplificador convertidor de corriente a tensión. Por la resistencia R1 no circula corriente y el voltaje de salida vendría siendo . Se puede apreciar que el valor de la tensión en RL no depende de la misma. 1.6.8. Amplificador integrador. El circuito integrador es capaz de obtener a la salida una tensión que es proporcional a la integral, con respecto al tiempo, de la tensión de entrada. Este circuito es igual al amplificador inversor, pero en este caso la realimentación negativa se realiza a través de un condensador y no a través de una resistencia. La principal aplicación de estos circuitos es generar rampas de tensión que se controlan mediante la tensión de entrada. El integrador presenta una configuración de amplificador inversor; por tanto, si la tensión de entrada es positiva, la rampa de salida tiene pendiente negativa, si la tensión de entrada es negativa, la rampa de salida tiene pendiente positiva, y si la tensión de entrada es cero, la salida será un valor de tensión constante.(Davis, 1998) 1.6.8.1. Integrador inversor con condensador flotante. En la figura 13 se muestra el esquema de un amplificador integrador con condensador flotante. CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 22 Figura 13: Amplificador integrador con condensador flotante. Para encontrar una expresión para el voltaje de salida, vemos que: ; Quedaría: para Despejando: 1.6.8.2. Amplificador Integrador no inversor. En la figura 14 se muestra el esquema de un amplificador integrador no inversor. CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 23 Figura 14: Amplificador integrador no inversor. Para encontrar una expresión para el voltaje de salida, vemos que: Donde: Finalmente: Su tensión de salida es proporcional a la integral en el tiempo de la tensión de entrada. Es útil en instrumentación, por ejemplo, un acelerómetro nos devuelve una señal proporcional a la aceleración de un objeto. Aplicada a un integrador, se obtiene la velocidad de dicho objeto. Volviendo a integrar se obtiene la posición.(Galiano, 2001) 1.6.9. Amplificador Derivador. La construcción de un circuito derivador es muy similar a la de un integrador. La realimentación negativa se realiza a través de una resistencia y la tensión de CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 24 entrada se aplica a la entrada inversora a través de un condensador, sustituyendo a la resistencia que aparece en el amplificador inversor. Este circuito obtiene a la salida la derivada de una tensión de entrada.(Galiano, 2001) Su análisis es similar al del inversor, únicamente que la intensidad de entrada es la correspondiente al condensador teniendo en cuenta que la diferencia de tensión a la que está sometido es la de entrada menos la tierra virtual. Su salida es proporcional a la derivada en el tiempo de la tensión de entrada.(Galiano, 2001) 1.6.9.1. Amplificador Derivador Inversor. En la figura 15 se muestra un amplificador derivador inversor. Figura 15: Amplificador Derivador Inversor. Para encontrar una expresión para el voltaje de salida, tenemos que: CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 1.6.9.2. Amplificador Derivador no Inversor. En la figura 16 se muestra un amplificador derivador no inversor. Figura 16: Amplificador Derivador no Inversor. Para encontrar una expresión para el voltaje de salida, tenemos que: Teniendo en cuenta que: Despejando 25 CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. 26 CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. 2.1. Introducción al MATLAB y Simulink. MATLAB es el nombre abreviado de “MATrix LABoratory”. MATLAB es un programa para realizar cálculos numéricos con vectores y matrices. Como caso particular puede también trabajar con números escalares tanto reales como complejos, con cadenas de caracteres y con otras estructuras de información más complejas. Una de las capacidades más atractivas es la de realizar una amplia variedad de gráficos en dos y tres dimensiones. MATLAB tiene también un lenguaje de programación propio. MATLAB es un gran programa de cálculo técnico y científico. Para ciertas operaciones es muy rápido, cuando puede ejecutar sus funciones en código nativo con los tamaños más adecuados para aprovechar sus capacidades de vectorización. En otras aplicaciones resulta bastante más lento que el código equivalente desarrollado en C/C++ o Fortran. En cualquier caso, el lenguaje de programación de MATLAB siempre es una magnífica herramienta de alto nivel para desarrollar aplicaciones técnicas, fácil de utilizar y que aumenta significativamente la productividad de los programadores respecto a otros entornos de desarrollo. MATLAB dispone de un código básico y de varias librerías especializadas (toolboxes). Aunque el origen de MATLAB estuvo íntimamente ligado a la manipulación y computación de y con matrices, durante los últimos años ha evolucionado de forma que hoy se puede considerar como un software de propósito general para todas las ramas de la matemática y la ingeniería desde el punto de vista numérico y computacional. También es posible el cálculo simbólico con MATLAB siempre que se disponga del toolbox apropiado; en este caso el Symbolic toolbox. Existen muchos otros toolboxes que, sobre la base del núcleo de MATLAB, proporcionan funciones específicas para el cálculo numérico de ciertas partes concretas de la matemática, la ingeniería y otras ciencias. MATLAB posee un simulador propio, el Simulink, el cual es una extensión gráfica de MATLAB, destinado a la modelación y simulación de sistemas lineales y no CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. 27 lineales. En el Simulink los sistemas se dibujan en la pantalla como diagramas de bloque. La construcción de un modelo, se simplifica, con el empleo los numerosos bloques pertenecientes a diferentes librerías. El Simulink está integrado con MATLAB y los datos pueden ser transferidos fácilmente entre los programas En los medios universitarios MATLAB se ha convertido en una herramienta básica, tanto para los profesionales e investigadores de centros docentes, como una importante herramienta para el dictado de cursos universitarios, tales como sistemas e ingeniería de control, álgebra lineal, procesamiento digital de imágenes, etc. En el mundo industrial MATLAB está siendo utilizado como herramienta de investigación para la resolución de complejos problemas planteados en la realización y aplicación de modelos matemáticos en ingeniería. 2.2. Ejercicios resueltos para la asignatura Circuitos Eléctricos I. 2.2.1. Ejemplo 1. Dado el circuito de la figura 17, hallar el voltaje de salida (Vsal) y su ganancia (Hv). Figura 17: Amplificador operacional ideal en configuración inversora. R: CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. R. MATLAB: >>M=solve('(V1-2.5)/(5*10^3)+(V1V3)/(10*10^3)=0','V1=0','V3/(10*10^3)+V3/(1*10^3)+((V3-Vsal))/(2*10^3 )=0','V1,V3,Vsal') M= V1: [1x1 sym] V3: [1x1 sym] Vsal: [1x1 sym] >> Vsal=M.Vsal Vsal = -16.0 >> Vent=2.5 Vent = 2.5000 >> Hv=Vsal/Vent Hv = -6.4 28 CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. R. SIMULINK: Figura 18: Archivo .mdl de un amplificador operacional ideal en configuración inversora. Figura 19: Circuito equivalente del amplificador operacional ideal. Figura 20: Parámetros generales para ejecutar la simulación. 29 CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. 30 Figura 21: Parámetros generales de la fuente de voltaje. 2.2.2. Ejemplo 2. Dado el circuito de la figura 22, hallar el voltaje de salida (Vsal) y su ganancia (Hv). Figura 22: Amplificador operacional ideal en configuración no inversora. R: ) CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. ( ) R. MATLAB: >> V=solve('(V3-10)/1+(V3-Vsal)/2+(V3-Vsal)/3=0','(Vsal-V3)/2+Vsal/4=0','V3,Vsal') V= V3: [1x1 sym] Vsal: [1x1 sym] >> Vsal=V.Vsal Vsal = 120/23 >> Vsal=120/23 Vsal = 5.2174 >> Vent=10 Vent = 10 31 CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. 32 >> Hv=Vsal/Vent Hv = 0.5217 R. SIMULINK: Figura 23: Archivo .mdl de un amplificador operacional ideal en configuración no inversora. 2.2.3. Ejemplo 3. Dado el circuito de la figura 24, hallar el voltaje de salida (Vsal). Figura 24: Amplificador operacional ideal sumador. CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. R: ) ) R. MATLAB: >> A=[41 -1;21 -1] A= 41 -1 21 -1 >> b=[80;0] b= 80 0 33 CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. 34 >> V=A\b V= 4.0000 84.0000 R. SIMULINK: Figura 25: Archivo .mdl de un amplificador operacional ideal sumador. 2.2.4. Ejemplo 4. Dado el circuito de la figura 26 hallar el voltaje de salida (Vsal) y su ganancia (Hv). Figura 26:Amplificador operacional ideal inversor junto a uno no inversor. CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. R: ( R.MATLAB: >> M=solve('V1=0','(V1-2.5)/1+((V1-V3))/2+(V1Vsal)/3=0','V4=4/(4+5)*Vsal','V3=V4','V3,V4,Vsal,V1') M= V1: [1x1 sym] V3: [1x1 sym] V4: [1x1 sym] Vsal: [1x1 sym] >> Vsal=M.Vsal Vsal = 35 36 CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. -4.5 >> Hv=Vsal/2.5 Hv = -1.8 R.SIMULINK: Figura 27: Archivo .mdl de un amplificador operacional ideal inversor junto a uno no inversor. 2.3. Ejercicios resueltos para la asignatura Circuitos Eléctricos II. 2.3.1. Ejemplo 1 En el circuito mostrado en la figura 28, considere ideal el amplificador operacional. Determine si . CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. Figura 28: Amplificador operacional ideal. Excitación sinusoidal. R: Representando la fuente en forma fasorial y los elementos por sus impedancias: Circuito equivalente en el dominio de la frecuencia: Figura 29: Circuito equivalente en el dominio de la frecuencia. Por LKC: Ordenando la ecuación: 37 CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. Por tanto: R. MATLAB: >> format >>Vo=solve('((-sqrt(-1)*6-Vo)/2+(-sqrt(-1)*6-Vo)/(-sqrt(-1)*2)+(-sqrt(1)*6)/1=0)','Vo') Vo = - 12*i - 6 >> Vo=-12*i-6 Vo = -6.0000 -12.0000i >> magnitudVo=abs(Vo) magnitudVo = 13.4164 >> anguloVo=angle(Vo)*180/pi anguloVo = -116.5651 R. SIMULINK: 38 CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. Figura 30: Archivo. mdl para el análisis del amplificador operacional ideal. Excitación sinusoidal. Figura 31: Parámetros generales para ejecutar la simulación. 39 40 CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. Figura 32: Parámetros de la fuente de voltaje sinusoidal. Figura 33: Señales de entrada y de salida v amplificador operacional. del circuito con 2.3.2. Ejemplo 2. El circuito mostrado en la figura 34 es un integrador con un resistor de realimentación. Calcular si . CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. Figura 34: Amplificador operacional como integrador. Excitación sinusoidal. R: Este circuito puede ser considerado también como un amplificador inversor. Representando la fuente en forma fasorial y los elementos por sus impedancias: Circuito equivalente en el dominio de la frecuencia: Figura 35: Circuito equivalente en el dominio de la frecuencia. 41 CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. Por tanto: R. MATLAB: >> Vs=2 Vs = 2 >> Zi=50*10^3 Zi = 50000 >> Zc=1/(j*4*10^4*10*10^-9) Zc = 0 -2.5000e+003i >> Zf=((100*10^3)*Zc)/(100*10^3+Zc) Zf = 6.2461e+001 -2.4984e+003i >> Vo=-Zf/Zi*Vs Vo = -0.0025 + 0.0999i >> magVo=abs(Vo) magVo = 0.1000 >> anguloVo=angle(Vo)*180/pi anguloVo = 91.4321 42 CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. R. SIMULINK: Figura 36: Archivo .mdl para el análisis del amplificador operacional como integrador. Excitación sinusoidal. Figura 37: Parámetros generales para ejecutar la simulación. 43 44 CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. Figura 38: Parámetros de la fuente de voltaje sinusoidal. Figura 39: Señales de entrada y de salida amplificador operacional. del circuito con 2.3.3. Ejemplo 3. En el circuito mostrado en la figura 40, considere ideal el amplificador operacional. Determine si . CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. Figura 40: Amplificador operacional ideal. Excitación sinusoidal. R: Representando la fuente en forma fasorial y los elementos por sus impedancias: Circuito equivalente en el dominio de la frecuencia: Figura 41: Circuito equivalente en el dominio de la frecuencia. En la entrada inversora: 45 CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. Ordenando la ecuación: (1) En el nodo V1: Ordenando la ecuación: Sustituyendo (1) en (2): Ordenando la ecuación: Por tanto: R. MATLAB: >> M=solve('V1/2+Vo/(-sqrt(-1)*2)=0','(V1-4*(cos(-30*pi/180)+sqrt(-1)*sin(30*pi/180)))/1+V1/(-sqrt(-1)/2)+V1/2+(V1-Vo)/2=0','V1,Vo') M= V1: [1x1 sym] Vo: [1x1 sym] >> Vo=M.Vo Vo = 46 CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. 3^(1/2)*((16*i)/25 + 12/25) + 16/25 - (12*i)/25 >> Vo=3^(1/2)*((16*i)/25 + 12/25) + 16/25 - (12*i)/25 Vo = 1.4714 + 0.6285i >> magnitudVo=abs(Vo) magnitudVo = 1.6000 >> anguloVo=angle(Vo)*180/pi anguloVo = 23.1301 R. SIMULINK: Figura 42: Archivo .mdl para el análisis del amplificador operacional ideal. Excitación sinusoidal. 47 48 CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. Figura 43: Parámetros generales para ejecutar la simulación. Figura 44: Parámetros de la fuente de voltaje sinusoidal. Figura 45: Señales de entrada y de salida amplificador operacional. del circuito con CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. 49 2.3.4. Ejemplo 4. En el circuito mostrado en la figura 46, considere ideal el amplificador operacional. Determine si . Figura 46: Amplificador operacional ideal. Excitación sinusoidal. R: Representando la fuente en forma fasorial y los elementos por sus impedancias: Circuito equivalente en el dominio de la frecuencia: Figura 47: Circuito equivalente en el dominio de la frecuencia. Por LKC en el nodo Vo: (1) Por LKC en el nodo V: CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. (2) Sustituyendo (1) en (2): V Por tanto: V R. MATLAB: >>M=solve('(Vo-V)/1+Vo/((-sqrt(-1)/5))=0','(V-3)/(1/2)+(V-Vo)/1+(V-Vo)/(-sqrt(1)/5)=0','V,Vo') M= V: [1x1 sym] Vo: [1x1 sym] >> Vo=M.Vo Vo = - (45*i)/377 - 69/377 >> Vo=- (45*i)/377 - 69/377 Vo = -0.1830 - 0.1194i >> magnitudVo=abs(Vo) magnitudVo = 0.2185 >> anguloVo=angle(Vo)*180/pi anguloVo = -146.8887 50 CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. R. SIMULINK: Figura 48: Archivo .mdl para el análisis del amplificador operacional ideal. Excitación sinusoidal. Figura 49: Parámetros generales para ejecutar la simulación. 51 52 CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. Figura 50: Parámetros de la fuente de voltaje sinusoidal. Figura 51: Señales de entrada y de salida amplificador operacional. del circuito con 2.4. Ejercicios resueltos para la asignatura Circuitos Eléctricos III. 2.4.1. Ejemplo 1. CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. Asumiendo que el amplificador operacional de la figura 52 es ideal, encontrar si . Figura 52: Circuito con amplificador operacional ideal. R: Transformando el circuito del dominio del tiempo al campo s: Figura 53: Circuito equivalente en el campo s. Aplicando LKC en la entrada inversora: Ordenando la ecuación: 53 CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. Aplicando LKC: Ordenando la ecuación: Sustituyendo (1) en (2): Despejando Donde: R. MATLAB: : 54 55 CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. >> M=solve('(Vc+Vo)/2+Vo/6=0','(Vc+Vo-1/s)/1+(Vc+Vo)/2+Vc/(8/s)=0','Vc,Vo') M= Vc: [1x1 sym] Vo: [1x1 sym] >> Vo=M.Vo Vo = -6/(s^2 + 3*s) >> Vo=ilaplace(Vo) Vo = 2/exp(3*t) - 2 Aunque la respuesta anterior es correcta, su forma difiere de la obtenida analíticamente. Mediante las siguientes transformaciones se obtiene la respuesta deseada: R. SIMULINK: Figura 54: Archivo .mdl para el análisis del circuito con amplificador operacional. . 56 CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. Figura 55: Circuito equivalente del amplificador operacional ideal. Figura 56: Parámetros generales para ejecutar la simulación. Figura 57: Gráficas de voltaje de entrada y voltaje de salida contra 2.4.2. Ejemplo 2. Asumiendo que el amplificador operacional de la figura 58 es ideal, encontrar si .Suponga que el voltaje en el capacitor inicialmente era de 4V. CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. Figura 58: Circuito con amplificador operacional ideal. R: Transformando el circuito del dominio del tiempo al campo s: Al ser se tiene que: Figura 59: Circuito equivalente en el campo s. Aplicando LKC en la entrada inversora: 57 CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. Sustituyendo (1) en (2): Ordenando la ecuación: Donde: De esta manera es: R. MATLAB: >> M=solve('Vs=1/(s+3)','Vs/2+1+Vo/(4/s)=0','Vs,Vo') M= Vo: [1x1 sym] Vs: [1x1 sym] >> Vo=M.Vo Vo = -(4*s + 14)/(s^2 + 3*s) >> Vo=ilaplace(Vo) Vo = 58 59 CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. 2/(3*exp(3*t)) - 14/3 Ajustando la expresión: R. SIMULINK: Figura 60: Archivo .mdl para el análisis del circuito con amplificador operacional. . Figura 61: Parámetros generales para ejecutar la simulación. 60 CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. Figura 62: Menu del Powergui y la herramienta de este para la introducción de las condiciones iniciales Figura 63: Gráficas de voltaje de entrada y voltaje de salida contra CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. 61 2.4.3. Ejemplo 3. Asumiendo que el amplificador operacional de la figura 64 es ideal, encuentre si . Figura 64: Circuito con amplificador operacional ideal. R: Transformando el circuito del dominio del tiempo al campo s: Figura 65: Circuito equivalente en el campo s. Aplicando divisor de voltaje: CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. Aplicando LKC en el nodo V: Ordenando la ecuación: Sustituyendo (1) en (2): Despejando : Donde: Finalmente : R. MATLAB: >> M=solve('Vo=(5/s)/(1+5/s)*V','(V-1/s)/1+(V-Vo)/1+(V-Vo)/(1/s)=0','V,Vo') 62 63 CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. M= V: [1x1 sym] Vo: [1x1 sym] >> Vo=M.Vo Vo = 5/(s^3 + 2*s^2 + 5*s) >> Vo=ilaplace(Vo) Vo = 1 - (cos(2*t) + sin(2*t)/2)/exp(t) Organizando la expresión: R. SIMULINK: Figura 66: Archivo .mdl para el análisis del circuito con amplificador operacional. . 64 CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. Figura 67: Parámetros generales para ejecutar la simulación. Figura 68: Gráficas de voltaje de entrada y voltaje de salida contra CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. 2.4.4. Ejemplo 4. Asumiendo que el amplificador operacional de la figura 69 es ideal, encontrar si . Figura 69: Circuito con amplificador operacional ideal. R: Transformando el circuito del dominio del tiempo al campo s: Al ser se tiene que: Figura 70: Circuito equivalente en el campo s. Aplicando LKC: 65 CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. Sustituyendo (1) en (2): Al ser: V Entonces: R. MATLAB: >> M=solve('Vs=1/(s+4)','Vc=8*Vs/(s+4)','Vo+Vc=0','Vc,Vs,Vo') M= Vc: [1x1 sym] Vo: [1x1 sym] Vs: [1x1 sym] >> Vo=M.Vo Vo = -8/(s^2 + 8*s + 16) >> Vo=ilaplace(Vo) Vo = -(8*t)/exp(4*t) Acomodando la expresión quedaría: Vo = 66 CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. 67 R. SIMULINK: Figura 71: Archivo .mdl para el análisis del circuito con amplificador operacional. Figura 72: Parámetros generales para ejecutar la simulación. 68 CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. Figura 73: Gráficas de voltaje de entrada y voltaje de salida contra 69 CONCLUSIONES CONCLUSIONES 1. El MATLAB y Simulink son software que están a la altura de la compresión de los usuarios para solucionar Circuitos Eléctricos con Amplificadores Operacionales Ideales, porque permiten un ambiente de resultados gráficos de fácil comprensión y análisis. 2. El material complementario diseñado constituye una guía eficaz para la solución de Circuitos Eléctricos con Amplificadores Operacionales Ideales en MATLAB y Simulink. 3. La utilización del MATLAB y el Simulink, en la solución de Circuitos Eléctricos con Amplificadores Operacionales Ideales, sirve de apoyo a otras investigaciones referentes al tema, donde se requiera resolver problemas de mayor complejidad. 70 RECOMENDACIONES RECOMENDACIONES 1. Hacer uso del material complementario diseñado, permitiendo la consulta del mismo a través de los sitios creados para este propósito. 2. Resolver, en futuros trabajos, ejercicios que abarquen los Amplificadores Operacionales Ideales y que permitan dar solución a las problemáticas de la práctica profesional. 71 BIBLIOGRAFÍA BIBLIOGRAFÍA Amplificador Operacional Ideal - Teoría. Available: [Accessed 25-6-2012]. Amplificadores Operacionales Y Circuitos Integrados Lineales. Available: www.books.google.com/ [Accessed 27-03-2013]. 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