Download topológico es

APÉNDICE B
TALLERES, EJERCICIOS RESUELTOS Y
PROPUESTOS.
CAPITULOS 1, 2 Y 3.
1. Hallar el voltaje, la corriente y la potencia en cada uno de
los cuatro elementos del circuito mostrado en la figura B.1
Colocar las respuestas en el circuito.
Figura B.1 Relaciones fundamentales de los circuitos.
2. Para el circuito de la figura B.2 hallar vx por voltajes de
nodo, usar el nodo de referencia mostrado.
Figura B.2.1 Ejercicio 2
3. En el circuito de la figura B.2 hallar vx, transformando
previamente el circuito a uno mas sencillo.
834
4. Para el circuito de la figura B.2: a) Verificar la ecuación r =
n – 1 + m. b) Dibujar un árbol. c) Dar nombres a los nodos y a
las ramas, y con base en la solución de vx ilustran el teorema
12.
5. Para el circuito mostrado en la figura B.5:
Figura B.5 Circuito no planar.
a) Dibujar el circuito topológico, es decir, el grafo
simplificado, y resolver el circuito por voltajes de nodo,
tomando como referencia el nodo 1, hallar todas las
corrientes de rama. b) A partir de un árbol
(construirlo) plantear las ecuaciones de malla y
resolverlo, hallar todas las corrientes de malla.
6. Para el circuito de la figura B.6 llenar la siguiente tabla,
para lo cual deben determinarse el voltaje, la corriente y la
potencia para cada elemento.
P (watts) Consume ó
Elemento: v (Voltios) i (Amp)
suministra.
1
5
2
100
835
3
4
5
6
200
100
5
4
Figura B.6 Relaciones de potencia por rama.
7. En el circuito de la figura B.7 hallar vx por dos métodos.
Los datos son : R1 = R2 = R3 = 10 Ω, R4 = 60 Ω, R5 = 15 Ω.
Métodos sugeridos: hacer transformaciones ∆-Y y un divisor
de voltaje.
a) Pasar la Y formada por R1, R2, R3 a una ∆, y hallar vq
mediante un divisor de tensión.
b) Pasar la Y formada por R2, R4, R5 a una ∆, y hallar vp
mediante un divisor de tensión.
Entonces la tensión pedida es vx = vp - vq
Figura B.7 Transformaciones delta estrella.
836
Respuesta: 2.67 voltios.
8. El interruptor K del circuito de la figura B.8 se cierra en t
= 0, hallar ix(t) por:
a) Divisor de corriente.
b) Transformación de fuente de corriente a fuente de
voltaje.
Figura B.8 Transformaciones de fuentes.
Respuesta: ix(t) = 2 - 2 e-60t A para t
0
9. Usando transformaciones ∆ - Y, transformaciones de
fuentes y otras transformaciones, hallar vc en el circuito de la
figura B.9.
Datos: El interruptor K se cierra en t = 0. R1 = R2 = R3 = 10
MΩ (10x106 Ω), R4 = 60 MΩ. C = 0.1 µ f, cargado a 40 voltios
respecto a la referencia (vc(0)=40 v).
Figura B.9 Transformaciones de circuitos y carga inicial de condensador.
Sugerencia: Considerar a R1, R2, R3 en Y, y pasar esa Y a ∆.
Tratar de resolverlo por otro método.
Respuesta: vc(t) = 10 e- ( t /3) + 30 v para t 0
837
10. Usando el operador Z(D) y transformaciones, hallar ix en
el circuito de la figura B.10. Primero para v = 15 voltios para
todo t (“corriente directa”); y luego para v = 15 Sen (10 t)
voltios (“corriente alterna”).
Figura B.10 Solución con voltaje constante y voltaje senoidal.
Respuestas: a) ix (t) = 1.5 –0.75 e-( 25 t). b) ix (t) = ?
EJERCICIOS CAPITULOS 4 Y 5.
11. Para el circuito mostrado en la figura B.11 hallar vx.
Hallando el equivalente de Thévenin ó el de Norton. Usando
el principio de superposición. Por transformaciones de
circuitos.
Figura B.11 Principio de superposición.
12.
Para el circuito mostrado en la figura B.12 hallar vx. Se
recomienda aplicar el principio de superposición. Hallar la
respuesta del circuito a los cinco estímulos por separado y
luego sumar esas respuestas. Comparar la solución con la
obtenida por otro método.
838
Figura B.12 Principio de superposición.
13. Simplificar el circuito de la figura B.13 y resolverlo
usando Thévenin y Norton.
Figura B.13 Thevenin y Norton.
TALLERES, EJERCICIOS PROPUESTOS Y RESUELTOS
CAPÍTULOS 6, 7, 8 Y 9.
CIRCUITOS LC.
14. Sabiendo que los circuitos L-C son un caso especial de los
R-L-C cuando α = 0 , siendo α el factor de amortiguamiento,
resolver el circuito de la figura B.14 tomándolo primero
como R - L – C.
839
Figura B.14 Circuitos L-C.
La ecuación del circuito es (dominio del tiempo):
t
1
di
i dt + L + R i = E
C −∞
dt
d 2i
di 1
dE
+R + i=
3
dt C
dt
dt
2
d i R di
1
dE
i=
+
+
3
L dt LC
dt
dt
L
La ecuación en forma operacional queda:
R
1
dE
D2 + D +
i=
L
LC
dt
Las raíces de la ecuación adjunta son:
R
r1 = −
+
2L
R
2L
2
1
R
−
; r2 = −
−
LC
2L
R
2L
Y la ecuación diferencial queda:
[D − r1 ][D − r2 ] i = dE = DE
dt
DE
AE
BE
=
+
i=
[D − r1 ][D − r2 ] [D − r1 ] [D − r2 ]
De modo que la solución es:
t
t
−∞
−∞
i = A e r1 E e − r1 dt + B e r2
Las expresiones para A y B son:
840
E e − r2 dt
2
−
1
LC
A=
r1
[r1 − r2 ]
B=
r2
[r2 − r1 ]
Por lo que:
i =
t
1
r e r1 t E e − r1 t dt − r2 e r2 t
[r1 − r2 ] 1 −∞
t
E e − r2 t dt
−∞
Pero esta respuesta es válida para r1 diferente de r2; si estas
raíces son iguales como en el caso:
R
r1 = −
+
2L
R
2L
2
−
R
2L
2
1
R
−
; r2 = −
−
LC
2L
R
2L
2
1
LC
−
1
R
R
= 0 ; ∴ r1 = −
= r2 = −
=r
LC
2L
2L
Como nos da como resultado un indeterminado ( 0 / 0 ) y
debemos aplicar L`Hopital:
i =
t
límite d
r1 → r2 dr1
1
r1 e r t1 E e − r1 t dt − r2 e r2 t
[r1 − r2 ]
−∞
t
t
−∞
−∞
t
E e − r2 t dt
−∞
i = (1 + r t ) e r t E e − r t dt − r e r t E t e − r t dt Amperios
Pero el caso del circuito
respuesta sería:
L-C corresponde a R = 0, y la
841
r1 = −
R
+
2L
R
2L
2
−
R = 0 ; ∴ r1 = +
∴
−
1
= jw
LC
y
t
1
i =
r1 e r1 t E e − r1 t dt − r2 e r2 t
[r1 − r2 ]
−∞
t
1
i=
[ j w − (− j w)]
i=
1
R
−
; r2 = −
LC
2L
jw
[2 j w]
j we
j wt
Ee
−j wt
R
2L
r2 = −
t
2
−
1
LC
−
1
= − jw
LC
E e − r t2 dt
−∞
dt − (− j w) e
−∞
−j wt
t
E e −(− j w t ) dt
−∞
t
t
−∞
−∞
e j w t E e − jw t dt + e − j w t
E e −(− j w t ) dt
Cuando la función E, que hasta ahora puede ser cualquier
función, es una función impulso E = Uo(t), la respuesta toma
la forma:
t
t
jw
e j w t E e − j w t dt + e − j w t E e −(− j w t ) dt
i=
[2 j w]
−∞
−∞
i=
1
2
∴ i=
∴ i=
t
e j w t Uo(t ) e − j w t dt + e − j w t
−∞
Uo(t ) e jw t dt
−∞
t
1
2
t
e j w t Uo(t ) e − j w 0 dt + e − j w t
−∞
[
t
Uo(t ) e jw 0 dt
−∞
]
1
e j w t1 + e− j w t1
2
= cos (w t ) Amperios
15. Ahora estudiaremos el circuito dual del anterior, el
circuito R-L-C en paralelo excitado con una fuente de
corriente ( Figura B.15).
842
Figura B.15 Circuito R- L - C en paralelo.
La ecuación de corrientes es:
I = i R + i L + iC .
En función del único voltaje:
t
1
dV V
Vdt + C
+ =I
L −∞
dt R
Diferenciando de nuevo:
d 2V 1 dV 1
dI
C 2 +
+ V =
R dt
L
dt
dt
Comparando esta ecuación con la del circuito serie::
d 2i
di 1
dE
L 3 +R
+ i=
dt C
dt
dt
Vemos que son idénticas con las usuales relaciones duales:
R = 1/R , L = C y V = I.
Por lo tanto sobra resolver esta ecuación pues su solución es
la misma del circuito anterior haciendo los reemplazos
duales.
16. Ejemplo numérico de un circuito L-C, figura B.16.1, con la
bobina cargada y el condensador descargado en t = 0.
Figura B.16.1 Circuito L-C
843
Remplacemos la bobina cargada por su equivalente: Una
bobina descargada en paralelo con una fuente de corriente
función paso, del valor de la corriente de carga inicial de la
bobina.
Figura B.16.2 Circuito L-C, con corriente inicial.
Aplicando el método de voltajes de nodo obtenemos la
ecuación diferencial del circuito.
1
1
+ CD v = Up (t )
LD
6
Diferenciando de nuevo:
1
1
1
1
D
+ CD v = D ( Up (t )) ∴
v + CD 2 v = D ( Up (t ))
6
LD
L
6
Ecuación que escrito de otra forma es:
1
1
D2 +
v = D ( Up (t ))
CL
6C
Factorizando el cuadrado perfecto:
D− j
1
CL
D+ j
1
1
v = D ( Up (t ))
CL
6C
Despejando v:
844
D(
v=
D− j
1
CL
A D− j
∴v =
1
Up (t ))
6C
1
CL
D+ j
1
CL
→ {D ( A + B ) = D(
B
+
D− j
1
CL
1
CL
1
CL
1
Up (t ))
6C
1
∴ A=(
Up (t ))
12C
1
Up (t )
∴ v = 12C
1
D+ j
CL
1
CL
D+ j
+B D+ j
D2 +
A
=
y
y
j
1
(− A + B ) = 0
CL
B=A
1
Up (t )
+ 12C
1
D− j
CL
Pero como, en forma general:
g (t )
g (t )
f (t ) =
=
= ert
D −r D −r
ya que : (D − r ) e r t
t
t
e − r t g (t ) dt
−∞
e − r t g (t ) dt = g (t )
−∞
t
pues : D e r t
e − r t g (t ) dt − r e r t
−∞
t
e − r t g (t ) dt = g (t )
−∞
Entonces, en nuestra caso:
845
∴ v=e
v=e
−j
1
t t
CL
−j
e
1
t
CL
j
−∞
1
t
CL
t
Up(t ) e
j
1
t t
CL
j
1
Up(t ) dt + e
12C
1
t
CL
0
j
1
dt + e
12C
1
t
CL
e
−j
1
t
CL
1
Up(t ) dt
12C
−∞
t
Up(t ) e
−j
1
t
CL
0
1
dt
12C
t
v=e
−j
1
t
CL
Up(t ) e
j
1
t
CL
1
12Cj
v=
Up(t )
1
12Cj
CL
v =
Up(t )
1
12Cj
CL
e
−j
1
t
CL
1− e
−j
e
j
1
t
CL
1
CL
1
t
CL
t
dt + e
j
1
t
CL
Up(t ) e
−j
1
t
CL
1
− 12Cj
0
−1 − e
− 1− e
j
j
1
t
CL
1
t
CL
=
e
−j
1
t
CL
1
CL
−1
Up(t )
1
12Cj
CL
e
j
1
t
CL
−e
−j
Por la relación de Euler:
Up(t )
1
Up(t ) L
1
v (t ) =
2 j sen (
t) =
sen (
t ) voltios
CL
6
C
CL
1
12Cj
CL
Con los valores C = 1/36 faradios y L = 4 henrios la respuesta
numérica es:
Up(t ) 36 x 4
36
v (t ) =
sen (
t ) = Up(t ) 2 sen (3 t ) voltios
6
1
4
Una buena comprobación de las respuestas de los circuitos es
el chequeo de los valores iniciales. Veamos el circuito tratado
en t = 0:
846
0
1
t
CL
Figura B.16.3 Circuito LC en t = 0.
En este instante la bobina descargada se comporta como un
circuito abierto y el condensador descargado como un
cortocircuito, por lo tanto v(0+)=0. Lo que coincide con el
valor de la respuesta evaluado para t = 0. Ahora miremos la
corriente en el condensador:
Recordemos que en un condensador
dv (t ) 1 d (2 sen (3 t ) ) 2 x3 x cos( 3 t )
1
ic = C
=
=
= Amp.
dt
36
dt
36
6
en t = 0
Y se comprueba que es correcto este valor también.
SOLUCIÓN DE CIRCUITOS y EL ESTUDIO DE SUS
CONDICIONES INICIALES.
17. Para el circuito de la figura B.17.1 hallar y graficar e(t) ,d
e(t) / dt y la corriente i(t).
Figura B.17.1 Solución de un circuito con estudio de sus valores
iniciales.
Como se trata de un impulso el tiempo inicial se debe tomar
como 0 - , pues un impulso transmite energía entre 0 – y 0 +.
En el instante inicial (t = 0 - ) el circuito es equivalente al de
la figura B.17.2, nótese que los condensadores descargados se
representan como cortocircuitos.
Por estar C1 en corto toda la corriente circula por él,
mientras que por C 2 no hay circulación de corriente pues
tiene una resistencia en serie.
847
Figura B.17.2 Evolución del circuito del problema 17 entre 0 “menos” y 0
“mas”, y de 0 “mas” en adelante.
Podemos entonces plantear las ecuaciones de tensión para
ambos condensadores, recordando que en un condensador:
1 t
vc (t ) =
i (t )dt
C0
0+
1
12
v1 (t ) =
12 Uo(t ) dt =
= 2 Voltios.
C 1 0−
C1
0+
1
v 2 (t ) =
0 dt = 0 Voltios.
C 2 0−
Esto significa que entre 0- y 0+ el impulso carga a C1 con un
voltaje de 2 voltios, y a partir de entonces comenzará a
circular una corriente que descargará este condensador. El
impulso de corriente se convierte en un circuito abierto. En la
figura B.17.3 se ve como este condensador inicialmente
cargado se reemplaza por una fuente de voltaje cuyo valor es
la carga inicial del condensador (2 v), en serie con un
condensador descargado de igual capacidad (6f). Si se quiere
calcular solamente la corriente, digamos, los dos
condensadores se puede sumar o reducir a uno equivalente
recordando que, como elemento dual de la inductancia, su
848
suma en serie se efectúa como una suma en paralelo de
resistencias.
C equivalente = (C 1 C 2 ) / ( C 1 + C 2 ) = 6x3/ ( 6 + 3 ) = 2
faradios.
Figura B.17.3 Solución final del circuito del problema 17.
La ecuación del circuito par t > t “mas” es:
t
1
i dt
2 Up (t ) = v R + vc = R i +
C0
2 Up (t ) = R C
∴ vc =
dvc
1
vc
+ vc = R C D +
dt
RC
t
2 Up (t )
2 −R C
e
=
RC
1
RC D+
RC
t
∴ vc
t
2 Up (t ) RC − R C R C
e
e
=
RC
vc = 2 Up (t ) 1 − e
t
−
RC
t
e
t
RC
Up (t ) dt
−∞
t
= 2 Up (t ) e
0
−
t
RC
e
t
RC
−1
+
voltios = 2 Up (t ) 1 − e
849
−
t
4
voltios
Para el circuito resultante la constante de tiempo es τ = RC =
2 Ω* 2f = 4seg. La respuesta obtenida representa el voltaje en
el condensador equivalente. Con ese voltaje calculamos el
voltaje en la resistencia:
v R (t ) = 2 Up (t ) − 2 Up (t ) 1 − e
v R (t ) = Up (t ) 2 − 2 + 2 e
−
t
4
−
t
4
voltios
= Up (t ) 2 e
−
t
4
voltios
Y la corriente se puede calcular de ese voltaje:
t
−
v
i R (t ) = R = Up (t ) e 4 Amperios
R
Para el instante inicial el condensador se comporta como un
cortocircuito pues esta inicialmente descargado. Después de
un tiempo, el condensador finalmente se carga totalmente
comportándose como un circuito abierto y deja de circular
corriente por el circuito.
Tenemos entonces las condiciones i ( 0 + ) = 1 Amperio e i(
∞ ) = 0 Amperios.
Evaluando ambas condiciones en para i(t), volvemos al
circuito para calcular las tensiones en los condensadores (
figura B.17.4).
Figura B.17.4 Circuito para calcular las tensiones en los condensadores.
Podemos encontrar las tensiones:
850
1
v 2 (t ) =
C2
∴ v 2 (t ) =
t
t
1
i (t )dt =
Up (t )
3 −∞
−∞
4
1− e
3
−t
4
1
v1 (t ) = 2 Up (t ) −
C1
t
−t t
− 4 Up (t ) 4
dt =
e
3
t
1
i (t )dt = 2 Up (t ) −
Up (t )
6 −∞
−∞
t
4 2
+ e
3 3
t
4
=
0
−t
−4 4
e − 1 Up (t )
3
Up (t ) voltios
Up (t ) 4 − 4
v1 (t ) = 2 Up (t ) +
e
6
v1 = Up (t )
e
−
t
−
4
t
e
−
t
4
dt
t
= Up (t ) 2 +
0
2 −4
e −1
3
voltios
Las formas de onda de los voltajes y corrientes pedidos se ven
en la figura B.17.5.
Figura B.17. 5 Formas de onda de las respuestas del capítulo 17.
SOLUCIÓN DE CIRCUITOS EMPLEANDO
TRANSFORMADA DE LAPLACE.
18. El circuito anterior se solucionará por el método de
transformadas de Laplace. El primer paso consiste en dibujar
el circuito en el dominio de Laplace (frecuencia),
procedimiento ilustrado en la figura B.18.1.
851
Figura B.18.1 Circuito en el dominio de la frecuencia
compleja.
Para proceder a resolver el circuito debe recordarse que todas
las impedancias se comportan como resistencias, hecho que
es el que facilita la solución de los mismos. Para hallar I(s)
podemos proceder de muchas maneras, una de ellas es hacer
un divisor de corriente, otra es hacer una transformación
circuital.
Transformando la fuente de corriente (I = 12A) en paralelo
con la impedancia ( Z = 1/(C1S)Ω ) en una fuente de voltaje (V
= IZ = I/(C1S) Voltios ) en serie con la misma impedancia,
reducimos el circuito a una malla, en la cual circula I(s). Esta
transformación
se
ilustra
en
la
figura
B.18.2.
Figura B.18.2. Transformación Norton a Thevenin.
Entonces:
852
12
I (S ) =
C1 S
∴ I (S ) =
∴ i (t ) =
12
=
1
1
+R+
C1 S
C2 S
C1 S
CS
+ RC1 S + 1
C1 S
C2 S
12
=
C1 S
CS
+ RC1 S + 1
C1 S
C2 S
−1
[I ( S )] =
Para hallar v2 (t):
V2 ( S ) = I ( S ) *
1
−1
1
S+
4
1
=
S C2
12
1 + 2 x6 xS +
=e
1 t
− t
4
u 0 (t ) e
6
3
1
t
4
1
=
S+
1
4
= u p (t ) e
1
− t
4
−∞
1
S+
1
4
*
1
=
3S
1
3S S +
1
4
Fracciones parciales :
1
+ B 3S
1
A
B
4
=
+
=
1
1
1
3S
S
+
3S S +
3S S +
4
4
4
Planteando las igualdades : S ( A + 3 B) = 0
y A/ 4 =1 ∴ A = 4 y B = − 4/3
A S+
∴ V2 ( s ) =
4
−
3S
4
3 S+
∴ v 2 (t ) =
1
4
4
3
−1
1
−
S
1
S+
1
4
1
− t
4
∴ v 2 (t ) = u −1 (t ) 1 − e 4 Voltios.
3
Mediante la ley de voltajes de Kirchhoff podemos encontrar
v1(t):
853
V1 ( S ) = I ( S ) R + V2 (t ) = 2
∴ v1 (t ) =
1
+
1
S+
4
4
−
3S
4
3 S+
1
4
=
4
+
3S
2
3 S+
1
4
t
−
2
2 + e 4 u −1 (t ) voltios
3
19. Ejercicios propuestos: Usando transformadas de Laplace,
hallar i(t) en el circuito mostrado en la figura B.19. Debe
dibujarse el circuito en el dominio de Laplace. Datos: E = 20
v, L1 = 1h, L2 = 1H, R = 1/4 Ω.
Figura B.19 Ejemplo de circuito resuelto por transformadas.
20. El interruptor S del circuito de la figura B.20 se cierra en t = 0,
hallar: i(0+), i(∞), di / dt(0+), di / dt (∞), d 2 / dt (∞), v(0+), v(∞),
dv /dt (0+), dv /dt (∞). Deben dibujarse los circuitos en t = 0+ y
t = ∞.
Figura B.20. Ejemplo de circuito resuelto por transformadas.
Datos: I(0) = 0, L = 2 h, C =1 f, R1 = 5 Ω, R2 = 3 Ω, E(0) = 10
v.
Además, plantear la ecuación diferencial para v(t), graficarla
y discutir si es amortiguada, amortiguada crítica, o
sobreamortiguada.
854
AMPLIFICADORES OPERACIONALES.
21. Encuentre ib en el circuito de la figura B.21.1, asumiendo
el amplificador operacional ideal.
Respuesta: ib = -1mA
Figura B.21.1 Ejemplo de circuito de amplificadores operacionales.
Para resolver el circuito reemplace el amplificador por su
circuito equivalente, como en la figura B.21.2.
Figura B.21.2. Amplificador operacional reemplazado por su circuito
equivalente.
22. El Amplificador operacional de la figura B.22 es ideal.
a)
Calcular vs cuando vg = 4 v.
b)
Hallar un intervalo de valores para vg , en el que el
A.O ideal trabaje en la zona lineal ( es decir, el intervalo de
855
valores entre los que debe estar al voltaje de entrada para
que el voltaje de salida no sobrepase el valor de la fuente ).
c)
Si vg = 2 vol y se cambia la resistencia de 63 KΩ por
una resistencia variable; hallar el valor de la resistencia
variable que ocasionará la saturación del A.O.
Respuestas: a) 10.54 v. b) -4.55v ≤ vg ≤ 4.55 v. c) 181.76 kΩ.
Figura B.22 Ejemplo de circuito con amplificador operacional
mostrando las fuentes de polarización.
23. El amplificador operacional inversor de la figura B.23
tiene una resistencia de entrada de 560 kΩ, una resistencia
de salida de 8 kΩ y una ganancia de lazo abierto do 50000.
Suponga que el A.O funciona en su zona lineal y calcule:
a) La ganancia (vs /vg).
b) Los voltajes de entrada inversora y no inversora, v1 y v2
(en milivoltios), si vg=1 v.
c) La diferencia v2 - v1 en microvoltios si vg=1 v.
d) El consumo de corriente en picoamperios de la fuente de
señal vg, cuando vg=1.
e) Repita lo anterior suponiendo un A.O ideal.
856
Figura B.23 Ejemplo de circuito de amplificadores operacionales.
a)
b)
c)
d)
e)
Respuestas:
13.49.
v1=999.45 mv, v2=999.83 mv.
387.78 µ v.
692.47 pA.
13.5, 1v,1v,0v, 0A.
24. La resistencia Rf del circuito se ajusta hasta que se
satura el A.O ideal de la figura B.24. Especificar el
valor de Rf en KΩ.
Figura B.24. Ejemplo de circuito de amplificadores operacionales.
Respuesta: R f = 2.24 KΩ.
857
25. La energía almacenada en el condensador es cero en el
instante en que se cierra el interruptor en la figura
B.25. El A.O es ideal y se satura al cabo de 15
milisegundos ¿Cual es el valor de R en KΩ ?
Figura B.25 Ejemplo de circuito de amplificadores operacionales.
Respuesta: 12KΩ
26. No hay carga en el condensador cuando el interruptor
hace contacto en a (siguiente figura). El interruptor
permanece en el terminal a durante 20 ms y luego se
cambia instantáneamente al terminal b, donde se
queda por tiempo indefinido.
Obtenga la ecuación que describe a vs (t) cuando el A.O
funciona en su zona lineal.
Figura B.26. Ejemplo de circuito de amplificadores operacionales.
858
Respuestas: Vs=500t voltios 0 ≤ t ≤ 20 ms. Vs=-270t +15
voltios 20 ≤ t ≤140 ms.
27. Ejercicio resuelto: En el instante en que se cierra el
interruptor el voltaje en el condensador es 56 v (figura
B.27.1). Si el A.O es ideal ¿Cuanto tiempo (en ms) han de
transcurrir después de cerrar el interruptor para que sea
nulo el voltaje de salida vo?
Figura B.27.1. Ejemplo resuelto de circuito de amplificadores
operacionales.
Solución:
Para la solución del problema se ha escogido el método de
transformadas de Laplace. Para esto pasamos el circuito
al dominio de la frecuencia. En la figura B.27.2 se
presenta el circuito en el dominio de Laplace, habiendo
reemplazado el amplificador operacional por su modelo
circuital: una fuente de voltaje cero y corriente cero, en
este circuito también aparece una fuente que representa
el voltaje V1 que se puso por el teorema que señala que un
elemento de voltaje conocido puede reemplazarse por una
fuente de voltaje del mismo valor. Este voltaje se obtiene
mediante un divisor de tensión:
859
V1 =
80 KΩ 45 36
*
=
100 KΩ S
S
Figura B.27.1 Circuito para resolver el problema 27.
Observe que este divisor de tensión se pudo efectuar por
que la corriente que circula por el A.O es cero. Observe
también como analizando el nodo a, se puede decir que la
corriente
I circula por las dos mallas del circuito.
Planteando la ecuación para la malla 1:
14 36 14
V1 +
+
5
S
S
S =
I=
=
A
80 K
80 K
8 × 10 3 S
Planteando la ecuación para la malla 2:
56
56 36
− V1 + Vs
−
+ Vs
20 + SVs
S
I= S
= S
=
400000
400000
400000
S
S
Igualando las dos ecuaciones:
860
20 + SVs
5
=
400000 8 × 10 − 3 S
250
∴ 20 + SVs =
S
250 20
∴ Vs = 2 −
S
S
I=
Ahora aplicamos antitransformada de Laplace para obtener
el voltaje de salida en el dominio del tiempo:
250 20
v s (t ) = L−1 {Vs ( S )} = L−1
−
= Up (t ) (250t − 20 ) voltios
S
S2
Para que el voltaje de salida de cero, vs = 0, t = 20/250= 80
milisegundos.:
28. Un amplificador operacional (A.O) tiene una resistencia
muy alta de entrada, por lo que un circuito con A.O es una
buena elección para construir un voltímetro como se ve en la
figura B.28.
El voltímetro esta representado por la resistencia Rm. Si el
medidor requiere una corriente de 0.1 mA para la deflexión
total de la aguja en la escala, hallar el resistor apropiado R
para que el medidor registre en el intervalo de 0 a 1 voltios,
cuando Rm=10KΩ . Suponga un modelo ideal para el A.O.
Respuesta Rm=10KΩ.
Figura B.28 Ejemplo de un voltímetro con amplificador operacional.
861
29. Hallar ( vs / vf ) en el circuito de la figura B.29, si los A.O
son ideales.
Figura B.29 Ejemplo con dos amplificadores operacionales.
30. El amplificador operacional se utiliza muchas veces como
integrador. Un ejemplo se ilustra en la figura B.30.1.
Figura B.30.1 Amplificador operacional como integrador.
Asumiendo que el condensador no tiene carga inicial, en la
figura B.30.2. se muestra como se resolvería este caso.
862
Figura B.30.2 .Amplificador operacional como integrador
Podemos trabajar en el dominio del tiempo o de la frecuencia.
En el dominio del tiempo:
i = ve / R
v s (t ) = −
1
C
Si RC = 1
t
0
i (t )dt = −
1
RC
t
0
ve (t )dt
v s (t ) = − ve (t ) dt
t
0
31. El amplificador operacional como inversor: En el ejemplo
anterior se consiguió un integrador, pero con la característica
que la integral de la entrada tenía signo contrario: eso es lo
que llama “invertir” la respuesta. Con el circuito de la figura
B.31 se busca una salida también invertida respecto a la
señal de entrada pero solo proporcional a esa misma señal de
entrada.
Figura B.31 Amplificador operacional como inversor.
863
vs = −
R2
ve
R1
32. Solución de ecuaciones diferenciales por medio de
circuitos con amplificadores operacionales. Supongamos que
d 2 v / dt 2 es el voltaje en algún punto arbitrario del circuito
que estamos implementando , por ejemplo en el punto A del
circuito de la figura B.32. Si a ese punto conectamos un A.O
configurado como integrador y con RC = 1, la salida del
amplificador debe ser v s = − dv / dt . Si ahora aplicamos ese
voltaje de salida a otro amplificador operacional, también
integrador e inversor, la salida de ese integrador será v s =
v(t),siempre que el condensador inicialmente esté descargado,
de manera que vs(0) = v(0) = 0.
En este punto basta multiplicar esta segunda salida v(t) por
la constante, digamos –9, y obtenemos el término –9 v(t),
término que debe verificar la igualdad d 2 v / dt 2 = −9 v ,
precisamente en el punto A, si interconectamos esos dos
puntos del circuito. Entonces, este circuito resolverá
precisamente esta ecuación diferencial.
Figura B.32 Ejemplo solución de una ecuación diferencial con
amplificadores operacionales.
864
El ejemplo anterior, a pesar de ser un caso particular,
presenta una técnica general para resolver cualquier
ecuación diferencial lineal homogénea.
33. Un generador de 250 voltios se utiliza para alimentar un
motor de 40 amperios; el interruptor tiene un disparo
automático que opera a una corriente de 2000 A. Si ocurre un
cortocircuito accidental en los terminales del interruptor,
¿cuanto tiempo tarda el interruptor en dispararse? La
resistencia del corto es 0.001Ω. El problema en estos casos es
la representación de los circuitos que son descritos solo en
forma esquemática por la terminología técnica. Pero ayuda
mucho tener siempre presente que cualquier circuito, por
complicado que sea se puede representar por su equivalente
Thevenin o su equivalente Norton. Precisamente, el
equivalente Thevenin es el que se ilustra en la figura B.33.
Respuesta
t
=
1.62
segundos.
Figura B.33 Ejemplo de circuito par calcular el tiempo de disparo de
un interruptor.
865
COMPORTAMIENTO DE LOS CIRCUITOS EN ESTADO
ESTABLE
.
Figura B.34 Ejemplo de circuitos en estado estable.
34. Hallar ix(t) y vab(t) en el circuito de la figura B.34
asumiendo estado estable y usando el método de la
transformada de Laplace bilateral ( Sugerencia: Hallar el
equivalente de Thevenin entre a – b, en el circuito
transformado). Hallar también esas funciones empleando
ecuaciones diferenciales en el dominio del tiempo (usar
corrientes de malla de tal manera que solo quede una
ecuación diferencial en ix; luego de hallar ix se puede usar
v ab = L d i x / dt
Respuestas: ix(t) en estado estable. = 10.5 Amperios; vab
estado estable = 0.
Figura B.35 Ejemplo de circuito en estado estable.
866
35. Hallar ix(t) y vab en estado estable en el circuito de la
figura B35. Usar los siguientes métodos: a) Fasores, usando
Teorema de Norton o Thevenin entre a y b. b) Usando la
transformada de Laplace bilateral y corrientes de malla. c)
Planteando la ecuación diferencial en la variable vab por el
método de los voltajes de nodo. d) Empleando fasores y
corrientes de malla.
POTENCIA Y FACTOR DE POTENCIA
36 A partir del circuito de la figura B.36.:
Figura B.36 Ejemplo de circuito en el dominio de la frecuencia.
a) Encontrar Z = f(w), ZR = ℜe{Z} = f(w), ZI = Im{Z} = f(w)
b) Graficar Z, Zr, ZI en función de w.
c) Encontrar la frecuencia de resonancia, y señarla en
las gráficas.
37. El circuito A en la figura B.37 es de naturaleza inductiva.
Hallar los fasores VA y VB.
Figura B.37 Ejemplo de circuito en el dominio fasorial.
867
38. En la fuente del circuito mostrado en la figura B.38 el factor de
potencia es 0.5 inductivo. Hallar Xc para que el factor de potencia
llegue a 0.95 capacitivo.
Figura B.38 Ejemplo de circuito de potencia y cálculo de factor de
potencia.
39. En el circuito mostrado en la figura 39, se conoce: El
ángulo del voltaje Vz3 ( - 9. 631º ); y las funciones en el
tiempo:
i s1 = 14.332 Amp Cos (377t – 88.204º); v s2 = 113.137
Volt Cos (377t + 90º);
las impedancias en el dominio de la frecuencia Z3 = 10 +
0j Ω, Z4 = 5 + 0j Ω, Z5 = 0 – 2j Ω ; y el consumo en Z6 : 600
vatios y 800 vars.
Figura B.39. Ejemplo de circuito de potencia y f.p.
Hallar:
Z6 = ______ + _______ j Ω . Hallar R y X para que
Z6 = R + J X Ω reciba del resto del circuito la máxima
potencia.
Llenar el cuadro de potencias:
ELEMENTO
P (VATIOS)
Q (VARS)
868
 S V - A
FP
FUENTE 1
FUENTE 2
Z3
Z4
Z5
Z6
99.982
0
99.982
1.0
40. En el mismo circuito de la figura B.39 corregir el factor de
potencia de las fuentes que suministren potencia llevándolos
a un valor de 0.9 inductivo, colocando elementos capacitivos
o inductivos en paralelo con las fuentes.
41 La magnitud de la potencia aparente en la fuente de la
figura B.41 es 1000 V-A
a)
Encontrar potencia real y reactiva en la carga.
b)
Dibujar el diagrama fasorial.
Figura B.41. Ejemplo de circuito de potencia y cálculo del factor de
potencia.
42. El generador mostrado en la figura B.42 está conectado a
la carga por medio de una línea de transmisión. El factor de
potencia de la carga es 0.8 y el factor de potencia del
generador es 0.5, sin la
capacitancia de terminales
punteados. Encuentre la reactancia capacitiva en terminales
del generador que lleve el fp del generador a la unida.
869
Figura B.42 Ejemplo de circuito de potencia y f.p.
POTENCIA
43. Encuentre el valor eficaz del voltaje periódico del circuito
que se muestra en la figura B.43.
Figura B.43 Ejemplo de cálculo de valor eficaz.
Si se aplica este voltaje a las terminales de una resistencia
de 2.25 Ω, ¿Cuál es la potencia media que se disipa en las
resistencia?
Respuestas: 1.1. 3 W
44. Un voltaje de corriente continua igual a Vcd volts, se
aplica a una resistencia de R ohms. Un voltaje sinusoidal de
vs volts también se aplica a una resistencia de R ohms.
Demuestre que el voltaje de corriente continua suministrará
en T segundos (donde T es el periodo del voltaje sinusoidal) la
misma cantidad de energía que el voltaje sinusoidal, con tal
que Vcd sea igual al valor eficaz de vs. (Sugerencia: Iguale
870
las dos expresiones para la energía suministrada a la
resistencia).
45. Encuentre la potencia media, la potencia reactiva y la
potencia compleja que absorbe la carga del circuito de la
figura B.45 si ig es igual a 30 Cos ( 100 t) mA.
Figura B.45 Ejemplo de circuito de potencia y f.p..
Respuestas: 56.25mW, -70.31mVar, (56.25 - j70.31)mVA
46. Encuentre la potencia media disipada en la resistencia de
40 Ω en el circuito que se presenta en la figura B.46 si ig =
4 Cos (105 t) A.
Figura B.46 Ejemplo de cálculo de potencia media.
Respuesta: 3200W
47. La impedancia de carga capacitiva de la figura B.47 tiene
una magnitud de 100 Ω y absorbe una potencia media de
6144W. La fuente de voltaje sinusoidal suministra una
potencia media de 6400W. Encuentre la reactancia inductiva
de la línea.
871
Figura B.47 Ejemplo de cálculos de potencia.
48 Se conectan tres cargas en paralelo a través de una
línea de 480 Vrms, como se muestra en la figura B.48. La
carga 1 absorbe 25 W y 25 kVAR; la carga 2 absorbe 15
kVA con un factor de potencia capacitivo de 0.8; la carga 3
absorbe 11kW con un factor de potencia de unidad.
Figura B.48 Ejemplo de suma de potencias de carga.
Encuentre la impedancia equivalente a las tres cargas
paralelas, y determine el factor de potencia de la carga
equivalente vista desde las terminales de entrada de la
línea.
49. Dos cargas de 250Vrms se conectan en paralelo. Las dos
cargas absorben una potencia media total de 19200 W con un
factor de potencia capacitivo de 0.80. Una de las cargas
absorbe 10kVA con un factor de potencia inductivo de 0.96.
¿Cuál es el factor de potencia de la otra carga?
TRANSFORMADORES E INDUCTANCIAS MUTUAS.
50. Hallar la inductancia equivalente para la conexión de
bobinas en paralelo con acople mutuo de la figura B.50.
872
Figura B.50 Inductancias mutuas.
51. Encontrar I1 e I2, usando factor de escala en el circuito de
la figura B.51..
Figura B.51 Factor de escala para transformadores.
52. Hallar los parámetros Z i j, de la red abcd mostrada en la
figura B.52..
Figura B.52 Parámetros Z.
53. Hallar IL el circuito de la figura B.53; hallar la potencia y
el factor de potencia de la fuente independiente.
Figura B.53 Ejemplo de circuito con transformadores y fuentes
dependientes.
54. En la figura B.54 aparece un circuito amplificador con la
salida acoplada del transformador. Se desea transferir la
873
máxima potencia al resistor R que es igual a 100Ω.
Seleccione la razón de vueltas n del transformador y la
impedancia de compensación Z. Después de hallar lo anterior,
calcule el factor de potencia de la fuente independiente. Se
puede usar factor de escala.
Figura B.48 Ejemplo de circuito de potencia y f.p.
55. En la figura B.55 se muestra un circuito con un
transformador. Determine el valor de Rab, la resistencia
vista en los terminales a y b. Determine la corriente
suministrada por la fuente de voltaje. Respuesta: Rab =
400Ω.
Figura B.55 Circuito con transformador.
56. La frecuencia angular del circuito de la figura B.56 es
105 rad/s. Determine la inductancia L y la razón de vueltas n
para alcanzar la máxima transferencia de potencia a la
carga.
Figura B.56 Transferencia de máxima potencia a una carga.
874
57. Determine los voltajes de nodo en el circuito de la figura
B.57 cuando n = 4.
Figura B.57 Voltajes de nodo con transformador.
58. En la figura B.58 aparece un circuito con dos
transformadores ideales, con una inductancia L = 2 mH y
una capacitancia C = 100 µF, que opera a una frecuencia
angular w = 1 krad/s. Elija la razón de vueltas de cada
transformador para entregar la máxima potencia a Rc. Con
esos valores determine la potencia entregada a Rc cuando vf
= 28 Cos (w t) V.
Figura B.58 Cálculo de relaciones de transformación para máxima
transferencia de potencia.
59. Seleccione la razón de vueltas, n, necesaria para
transferir la máxima potencia al resistor R del circuito
mostrado en la figura B.59. Suponga un transformador ideal.
Seleccione n cuando R = 4 y 8 Ω.
875
Figura B.59 Máxima transferencia de potencia.
SISTEMAS POLIFASICOS
60. La tensión entre las terminales del generador de la figura
B.60 es balanceada y de secuencia positiva y vale 220 voltios
línea a línea. El generador trabaja a un factor de potencia de
0.8 capacitivo. La magnitud de la corriente de línea es de 10
amperios. La impedancia Zj de cada línea es de 1 + j Ohmios.
Calcular la tensión entre las terminales de la carga
balanceada, su factor de potencia y la potencia activa y
reactiva que consume.
Figura B.60 Generador de potencia.
61. Un sistema 3Ø de tres conductores, balanceado, alimenta
a la conexión en paralelo de 2 cargas en “∆”; la carga
absorbe 30kW con un factor de potencia de 0.8 inductivo,
utiliza 24kVA con un factor de
mientras que la carga
potencia de 0.9 capacitivo. El voltaje de línea es de 660 Vrms
en las cargas y cada línea tiene una resistencia de 0.6Ω.
876
Hallar la impedancia por fase de cada carga trifásica y la
potencia total absorbida por las cargas.
62. La figura B.62 es un esquema físico balanceado de
tensión de línea 220 Vrms y secuencia ACB; cuando el
interruptor k está cerrado, los vatímetros leen: W1 = -2kW y
W2 = 2kW. Calcule el factor de potencia con el interruptor k
cerrado y el valor la impedancia Z (que tiene naturaleza
inductiva). Encuentre también la lectura de los cuatro
aparatos de medida con k abierto.
Figura B.62 Medición de potencia en sistemas trifásicos.
63. El esquema de la figura B.63 representa una red
trifásica balanceada. En el punto P la tensión es de 300
Vrms. La línea NP es resistiva pura con 0.5Ω en cada
conductor. M, es un motor 3Ø que trabaja con un fp = 0.6
inductivo y que, a 300 V, desarrolla una potencia mecánica de
12kW con un rendimiento en la conversión electromagnética
del 80% (η = 0.8). R, es una carga 3Ø, configuración ∆, con
impedancias por fase de 10 – 2j Ω. La línea con terminales
LN, representa una impedancia de 0.5 + 0.1j Ω por cada
conductor. Calcule: a) La tensión en el punto de conexión, L,
del generador 3Ø, G.b) Potencias Activa, Reactiva y Aparente
suministradas por G.
877
Figura B.63 Diagrama unificar de un sistema trifásico.
64. Una fuente de voltaje trifásico conectada en Y tiene
Vlínea neutro = 120 ∠ 240º V. Determinar las tensiones de
fase y línea.
65. Utilizando los siguientes datos: G1: Generador 3Ø:
13.2kVrms, secuencia RST, conectado en Y; G2: Generador
3Ø: 220Vrms, secuencia RST: conectado en ∆; T3Ø:
Transformador 3Ø, N1 : N2 es 60 : 1; Líneas: R1 = 1.8 kΩ;
R2 = 10jΩ; Fábrica: - 4 motores de 3HP, fp = 0.8 y η = 0.7 c/u
a un voltaje nominal de 220V; Alumbrado de 12kW a voltaje
nominal de 220V. Si ocurre una falla en el G2 y los voltajes
de línea quedan: VRS = 220 ∠ 45º V; VST = 200 ∠ -45º V y
VTR = 200 ∠180º V. Hallar la potencia consumida por la
fábrica antes de la falla y después de la falla. Respuestas:
19.5 kW y 18.8 kW. ( figura B.65).
Figura B.65 Ejemplo de circuito de potencia completo con falla.
66. Una carga trifásica balanceada conectada en ∆,
secuencia de fases ACB tiene VAB = 440 ∠ 0º V e IA = 2 ∠
75º A. Determinar las tensiones de fase y línea, corrientes
de fase y línea, y potencia total consumida por la carga.
878
67. Calcular la potencia activa y reactiva consumida por el
circuito del ejercicio anterior, por el método de los dos
instrumentos (Vatímetros o varsímetros, medidor de potencia
reactiva).
68. La corriente de línea en una carga trifásica balanceada es
de 24A. El voltaje de línea es de 450V y el factor de potencia de
la carga es 0.47 inductivo. Si se conectan dos vatímetros y dos
varsímetros con las bobinas de corriente en las fases a y b
respectivamente, determinar la lectura de cada uno y la potencia total
de la carga.
69. Un circuito trifásico tiene dos cargas en delta,
balanceadas, conectadas en paralelo, una con resistencia de
5Ω y la otra con resistores de 20Ω. Calcular las corrientes
totales de línea si el voltaje línea – línea es de 480V.
70. Un motor trifásico entrega una potencia de 20HP en
operación, a partir de un voltaje de línea de 480V. El motor
opera con una eficiencia del 85% y un factor de potencia de
0.8. Determine la magnitud y el ángulo de la corriente de
línea para la fase A.
71. En el circuito de la figura B71 la fuente ai(t), es una
fuente de corriente controlada por corriente. Si:
i ( 0) = 01
. A,
v ( 0) = 0v ,
e = 60v sen( 300t )
R1 = 300Ω
Ro = 100Ω ,
L = 1h ,
a=
2
,
2
C = 33.333µf
Figura B.71 Fuente de corriente controlada por corriente.
879
a. Calcular Vo(t)
b. Gráfica en el mismo plano e(t) y Vo(t).
c. (Verdadero ó falso).
Si la amplitud de e(t) se duplica, entonces la amplitud de
Vo(t) se reduce a la mitad. (Explique su respuesta).
RESPUESTA:
a. Vo ( t ) =
10
sen( 300t ) votios
2
72. Para el circuito de la figura B.72, hallar i, sabiendo que i
(0) = 0v.
Figura B.72 Circuito R-L.
e1 = 24v ,
L = 0.5h.
e2 = 12v ,
RESPUESTA:
R1 = R2 = 4Ω,
R3 = 3Ω,
R4 = 1Ω
i (t ) = 4(e −3t − 1) Amperios
a. Resolver el mismo problema con los métodos vistos en el
capítulo 2, realizando transformaciones de fuentes,
transformaciones ∆→Y.
b. Use la linealidad y la superposición ó el teorema de
Norton, para resolver este problema.
Compare los tres procedimientos para solucionar el problema.
880
73. Si en el circuito de la figura B.73 es = 10 Up(t) sen ( 5 t /
2), se debe hallar ix(t), considerando los capacitores
descargados (sus voltajes en t = 0 son 0 voltios).
Figura B.73 Solución de un circuito con fuente senoidal.
Figura B.74 Circuito para ser resuelto con ecuaciones diferenciales.
74. Plantear una ecuación diferencial para encontrar Vx(t),
usando los teoremas sobre la transformación de circuitos.
RESPUESTA:
dVx
1
19
+
Vx =
dt
3C
C
Usando el teorema de la dualidad, construya el circuito dual
al circuito de la figura B.74. En el circuito dual plantee la
ecuación diferencial para la corriente en el elemento dual al
condensador, usando los teoremas sobre transformación de
circuitos.
881
75. Usando el equivalente de Thevenin ó Norton para la
parte izquierda de los terminales a-b, del circuito de la figura
B.75, hallar Vo. Considere a E, R1, R2, Ro, a, n cantidades
reales conocidas
Figura B.75 Uso de los equivalentes de Norton y Thevenin para resolver un circuito.
RESPUESTA:
Vo (t ) =
aRo E
R1 ( Ro + R2 )
76. En el circuito de la figura B.76 calcular i, cuando b = 1 y
cuando b = 2.
Resuelva el problema, primero usando el equivalente de
Thevenin ó Norton, para el bloque indicado en la figura 14. Y
segundo, usando la linealidad y superposición.
Figura B.76 Ejercicio para ser resulto por equivalentes y superposición.
RESPUESTA:
882
i=
45
A
44
77. En el circuito de la figura B.77 sea e(t) = 10 sen (wt)
voltios e i(0) =0 amperios ; y el interruptor k se cierra en t =
0. Hallar i(t) usando el teorema de Thevenin ó Norton en a-b,
para simplificar la parte del circuito compuesto por la fuente
e y las cuatro resistencias. Asuma la frecuencia angular, w,
como 1 radian/segundo.
Figura B.77 Solución de un circuito en estado transitorio.
RESPUESTA:
12 − 67t
10
6
i( t ) = e −
sen wt + tan −1
;
17
7
85
t≥0
Resuelva el mismo problema usando el método de corrientes
de malla.
78. En la figura B.78, s se cierra en t = 0, se suponen las
bobinas descargadas. Hallar Vx y Vy.
883
Figura B.78 Solución en estado transitorio.
Sugerencia: Se simplifica el bloque A, mostrado en la figura
B.78, usando el teorema de Thevenin ó Norton y el bloque B
reduciéndolo a una sola resistencia; ya en el circuito
simplificado se calcula e y luego se aplica el teorema del
seccionamiento.
79. Resuelva los problemas propuestos del capítulo 2 y 4,
usando los teoremas sobre los circuitos lineales.
80. En el circuito de la figura B.80 hallar ix, iy.
Figura B.80 Simplificación de circuitos.
RESPUESTA:
ix ( t ) =
5 5 −2t
− e
u− 1 ( t )
9 9
iy ( t ) =
20 5 − 2 t
+ e
u− 1 ( t )
3 3
Sugerencia: Se debe simplificar el bloque A , usando el
teorema de Thevenin ; y simplificar el bloque B para hallar el
voltaje v y luego emplee el teorema de seccionamiento.
81. En la figura B.81 hallar y graficar v(t), Vc(t), ix(t).
884
Figura B.81 Ejercicio para graficar funciones del tiempo.
RESPUESTA:
t
V (t ) =
−
4
1 − e 4 u−1 (t )
3
−
t
ix (t ) = e 4 u−1 (t )
82. El interruptor S, de la figura B.82, se cierra en t = 0.
Encontrar las corrientes y los voltajes especificados en la
misma figura para t = 0+ y t = ∞.
Figura B.82 Ejercicio para hallar valores iniciales.
RESPUESTA:
t = 0+ → i1 = 5 A;
i2 = 2.5 A;
i3 = 2.5 A;
i4 = 0 A;
VL = 5v;
Vc = 0v
t = ∞ → i1 = 10 A;
i2 = 0 A;
i3 = 0 A;
i4 = 10 A;
VL = 0v
Vc = 0v
83. El interruptor s, de la figura B.83, se cierra en t = 0. Con
los parámetros R 1 = 4 Ω, R 2 = 2 Ω, L = 1h, C = (1/2) f.
Hallar :
885
i (0+ ),
v(0+ ),
i ′ (0+ ),
v′ (0+ ),
i ( ∞)
v(∞).
Figura B.83 Ejercicio para cálculo de valores iniciales y finales.
RESPUESTA:
i (0+ ) = 0 A, v (0+ ) = 0 A, i ′ (0+ ) = 20 A,
10
20
i ( ∞) =
A, v ( ∞) =
v
3
3
886
v ′ (0+ ) = 0v ,