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GUÍA 7: CORRIENTE ALTERNA
Electricidad y Magnetismo
Primer Cuatrimestre 2013
Docentes:
Dr. Alejandro Gronoskis
Lic. María Inés Auliel
Andrés Sabater
Universidad Nacional de Tres de febrero
Depto de Ingeniería
Universidad de Tres de Febrero
Sede Caseros II
Buenos Aires, Argentina
GUÍA 7: CIRCUITOS EN CORRIENTE ALTERNA
Primer Cuatrimestre 2013
Electricidad y Magnetismo
Guía 7
Problema 1
Considere el circuito que consta de una batería (fem), un inductor L, la resistencia R y el interruptor
S. Para tiempos t < 0 el interruptor está abierto y no hay corriente en el circuito. En t = 0 el interruptor
está cerrado.
a) Usando las reglas de Kirchhoff escriba una ecuación que relaciona la fem en la batería, la corriente
en el circuito y la derivada de la corriente en el circuito.
b) Relacione esta expresión I = A(X − exp(−t/τ )) en la ecuación diferencial que haya obtenido en
a) con el fin de confirmar que, efectivamente, es una solución y determinar que la constante de
tiempo τ y las constantes A y X. ¿ Cuál sería la mejor elección para A?
c) Determinar la caída de voltaje a través del resistor R y la fem generada por el inductor.
Resp: a) − IR − L dI
dt = 0, b) τ =
L
R,
−t
c) VL = − exp( −t
τ ), VR = (1 − exp( τ )).
Problema 2
Después de un largo tiempo T la corriente alcanzará un valor de equilibrio y el inductor estará
“completamente cargado”. En este momento se apaga la batería (f em = 0), lo que permite al inductor
estar en “Alta”, como muestra la imagen. Repita cada uno de los pasos a), b) y c) del problema 1, y
señale la solución.
Resp: a) IR + L dI
dt , b) τ =
L
R,
c) VR = VL = − exp( −t
τ ).
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Guía 7
Problema 3
El circuito LR se muestra en la figura contiene una resistencia R1 y una inductancia L en serie con
una batería de fem 0 . El interruptor S está cerrado inicialmente. En t = 0, el conmutador S se abre,
de manera que una resistencia muy grande R2 (con R2 R1 ) se encuentra en serie con la otros
elementos.
a) Si el interruptor ha estado cerrado por un largo tiempo antes de t = 0, ¿ cuál es la corriente
constante I0 en el circuito?
b) Mientras que esta corriente I0 está fluyendo, en el tiempo t = 0,la llave S se abre. Escriba la
ecuación diferencial para I(t) que describe el comportamiento del circuito en los instantes t ≥ 0.
Resolver esta ecuación (por integración) de I (t) en la aproximación de que 0 = 0. (Supongamos
que la fem de la batería es insignificante en comparación con la fem total de todo el circuito).
Exprese su respuesta en términos de la corriente inicial I0 , y R1 , R2 , y L.
c) Utilizando los resultados de b), hallar el valor de la fem total de todo el circuito (ley de Faraday)
justo después de que se abra el interruptor. Se supone que 0 puede ser ignorada para los tiempos
justo después de que se abre el interruptor.
d) ¿ Cuál es la magnitud de la caída de potencial a través de la resistencia R2 en los tiempos t > 0,
sólo después de haber abierto el interruptor? Exprese sus respuestas en términos de 0 , R1 y R2 .
Evalué la misma para el caso R2 = 100R1 .
Resp: a)
0
R1 ,
b) 0 − T (R1 + R2 ) − L dI
dt = 0. c) (1 +
R2
R1 )0 ,
d) 1000 .
Problema 4
Un circuito consta de una batería con fem(V ), un inductor con inductancia L, un condensador con
capacitancia C, y tres resistencias, cada una con la resistencia R, como se muestra en la figura. El
condensador está inicialmente sin cargar y no hay corriente que fluye en cualquier lugar en el circuito.
La llave S ha sido abierta por un largo tiempo, y luego se cierra, como se muestra en el diagrama.
Si esperamos mucho tiempo después de que el interruptor está cerrado, calcule las corrientes en el
circuito.
V
Resp: 2R
.
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Problema 5
Considere el circuito de la figura, que consiste en una función de CA del generador V (t) =
V0 sin(wt), con V0 = 5V , un inductor L = 8, 5 mH, la resistencia R = 5Ω, el condensador C = 100
mF. El circuito ha estado funcionando en equilibrio durante un largo tiempo. si sacamos el generador
(instantáneamente lo sustituimos por un cable).
a) Suponiendo que nuestro w es la frecuencia de excitación no necesariamente la de resonancia,
calcule la frecuencia de oscilación del sistema.
b) ¿ Cuál es la frecuencia f para que podamos conducir a máxima energía magnética en el inductor?
c) En este caso, si se apaga cuando la energía magnética tiene un picos en el inductor, ¿ después de
cuánto tiempo durará la energía eléctrica en el pico del condensador?
d) Aproximadamente ¿ cuánta energía se ha disipado en la resistencia durante este tiempo?
Resp: a) 1100 rad
seg , b) 175 Hz. c) 1,4 mseg, d) 3,6 mJ.
Problema 6
Un circuito RLC en serie con R = 10Ω, L = 400 mH y C = 2µF está conectado a un voltaje de la
fuente de CA V (t) = V 0 sin(wt)con V0 = 100 V. Calcular la frecuencia de resonancia, la corriente
eficaz en la resonancia y la frecuencia de excitación sabiendo que w = 4000 rad
s . Supongamos que la
respuesta de corriente está dada por I(t) = I0 sin(wt − Φ). Calcular la amplitud de la corriente y el
desplazamiento de fase entre la corriente y la tensión de excitación.
Resp: 6,8.10−2 A, 89,6 ◦ .
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Problema 7
El circuito que se muestra a continuación contiene un generador de CA que proporciona una fuente
de que varía con = 0 sin(wt), una resistencia R = 6Ω, y un elemento indeterminado, que contiene
ya sea un inductor o un condensador, o ambos. La amplitud de la fem 0 = 6V. Medimos la corriente en
el circuito a una frecuencia angular de w = 2 rad
s y encontramos que esta en fase con la fem. Medimos
la corriente en el circuito a una frecuencia angular w = 1 rad
s y encontramos que está fuera de fase con
la fem en exactamente π/4.
a) ¿ Cual es el elemento indeterminado? Explicar su razonamiento.
b) ¿ Cuál es el valor numérico de la capacidad o de la inductancia, o de ambos? Indique unidades.
rad
c) ¿ Cuál es la relación de las amplitudes de la corriente I0 con w = 2 rad
s e I0 con w = 1 s ?
Resp: L = 2H, C = 18 F.
Problema 8
Considere la posibilidad de un circuito que consta de una resistencia y un condensador con una
entrada sinusoidal de corriente alterna, Vin (t) = V0 sin(wt) y dos terminales de salida.
a) ¿ Cuál es la impedancia total de este circuito?
b) ¿ Cuál es la amplitud y fase de la corriente I(t) = I0 sin(wt − Φ) en el circuito?
c) ¿ Cuál es la amplitud y fase de la tensión de salida Vout (t) en la resistencia?
d) ¿ Cuál es la relación de las amplitudes de la señal de salida y la entrada de la señal Vout , Vin ?
e) Explique por qué este tipo de circuito se conoce como un filtro paso alto.
1 2 1/2
−1
Resp: a) ZT = (R2 + ( wC
) ) b) Vin /ZT , arctan( wCR
), c) Vout = RI0 , d) R/ZT .
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Problema 9
Calcular la potencia promedio en un resistor, inductor y capacitor, alimentado con un generador de
corriente alterna.
Problema 10
Trace el diagrama de impedancias para el circuito de la figura y encuentre la impedancia total.
Resp: 4Ω + j8Ω.
Problema 11
Indique el factor potencia de las siguientes cargas:
Resp:0,5, 1.
Problema 12
Calcule la impedancia total, la corriente, la caída de tensión en la resistencia y en el inductor en
la figura a). En la figura b) calcule la admitancia e impedancia, la corriente en la resistencia y el
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capacitor. Calcule la potencia total y la potencia disipada por el resistor, y el factor de potencia en las
dos figuras.
Resp: a) 4Ω + j8Ω, IR = IL = 20A, −53,13◦ , VR = 60V, −53,13◦ , VL = 80V, 36,8◦ , 0,6 en adelanto
b)ZT = 1Ω, −53,13◦ , IR = 6A, −53,13◦ , IC = 8A, 36,8◦ .
Problema 13
a) Calcule I, Vr , Vl , Vc en forma fasorial.
b) Calcule el factor de potencia total.
c) Calcule la potencia media entregada al circuito.
d) Trace el diagrama fasorial.
e) Obtenga la suma fasorial de Vr , Vl , Vc y muestre que es igual al voltaje de la fuente.
Resp: a) I = 1,33A, −48,16◦ , Vr = 13,30V, −48,16◦ , Vl = 50,14V, 41,84◦ , Vc = 35,28V, −138,16◦ , b)
0,66 en atraso, c) PT = 17,74 W.
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Problema 14
Para la red de la figura encuentre la admitancia y la impedancia total. Trace el diagrama fasorial.
Calcule la corriente en cada elemento. El factor de potencia y la potencia total disipada.
Resp: ZT = 2Ω, 53,13◦ , Ir = 30A, 53,136◦ , Ic = 30A, 143,13◦ , Il = 70A, −36,8◦ , FP = 0,6.
Problema 15
Para el circuito resonante de la figura encuentre las caídas de potencial en la resistencia, en la
inductancia y en el capacitor, la corriente cuando la frecuencia es la de resonancia. Calcule el factor
de calidad. Si la frecuencia de resonancia es de 5000 Hz encuentre el ancho de banda.
Resp:VL = 50V, 90◦ , VC = 50V, −90◦ , VR = 10V, 0◦ , I = 5A, Q = 5, BW = 1000 Hz.
Problema 16
En el circuito de la figura determine la frecuencia de resonancia, la impedancia de resonancia, el
factor de calidad, el ancho de banda y las dos frecuencias de corte del sistema. Encuentre el voltaje en
el capacitor y las corrientes en el capacitor y la inductancia en resonancia.
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Resp: 5,03 Hz, 10kΩ, 316,4, 15 Hz, f1 = 5,02 Hz. f2 = 5,04 Hz.
Problema 17
Para la red de la figura calcular la ZT , la corriente Is , VR y Vc .
Resp: ZT = 6,08Ω, −805◦ , Is = 19,74A, −80,5◦ , VR = 19,74V, −80,5◦ , VC = 118,44V, −9,46◦ .
Problema 18
Calcular la impedancia total y la corriente total si el sistema se alimenta con una fuente de 12V.
Resp: ZT = 33,15Ω, 61,14◦ , IT = 362mA, −61,14◦ .
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Problema 19
Un motor de 5HP con un factor de potencia atrasado de 0.6 y eficacia del 92 % esta conectado a
una fuente de 208 V a 60 Hz.
a) Dibuje el triangulo de potencia para la carga.
b) Determine el capacitor de factor de potencia que deberá colocarse en paralelo con la carga para
elevar el factor de potencia a la unidad.
c) Determine la red equivalente.
Resp: b) 331,6µF .
Problema 20
Una planta industrial posee una carga térmica de 10 kW y una carga aparente de 20 kVA, debido a un
bloque de motores de inducción. Los elementos térmicos se consideran puramente resistivos (Fp = 1)
y los motores tienen un factor de potencia atrasado de 0.7. Si la alimentación es de 1000 V a 60 Hz,
determine el elemento capacitivo requerido para que el factor de potencia sea de 0,95.
Resp: 16,9µF .