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APUNTES DE CLASE SOBRE
ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN CA
RESUMEN DE FÓRMULAS Y EJEMPLOS NUMÉRICOS EN
CIRCUITOS ELÉCTRICOS DE CORRIENTE ALTERNA
GENERACIÓN Y CARACTERÍSTICAS DE LA ONDA SENOIDAL
MODELOS MATEMÁTICOS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO Y EN FASORES
VALORES PROMEDIO Y EFICACES
POTENCIAS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO Y EN FORMA COMPLEJA
EJEMPLOS NUMÉRICOS – FORMULARIO DE TRIGONOMETRÍA - FACTORES DE CONVERSIÓN
PROFESOR: LUIS RODOLFO DÁVILA MÁRQUEZ
CÓDIGO: 00076 UFPS
DEPARTAMENTO: ELECTRICIDAD Y ELECTRÓNICA
UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER
UNIDAD 1 ADICIONAL
11/01/2010
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Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez
CÓDIGO: 00076 UFPS
GENERADOR ELEMENTAL
La figura representa el corte de una máquina bipolar (dos polos) considerado como generador elemental. El
conductor que se arrolla alrededor de los polos refuerza el campo magnético producido por estos cuando la
bobina es sometida a un voltaje continuo (estator, inductor). La espira que está horizontal gira en sentido
antihorario alrededor de un eje que no aparece en la figura y está aislado eléctricamente de este (rotor,
inducido). El generador representado aquí se le denomina generador elemental o de una sola espira. En un
generador comercial el número de espiras aumenta con una distribución adecuada alrededor del eje y teniendo
en cuenta los polos del estator, aumentando la magnitud del voltaje generado.
Vab
Vab = Va + Vb = Vmax Sen( wt )
Vmax
φ
v(t)
φ
Vb
Va
θ=wt
π/2
0°
π
3π/2
2π
a
Una revolución = 360° mecánicos
π/2
π
360° eléctricos
0°
v(t) = 2V1Sen (θ); v ( t ) = Vmáx Sen ( wt ) ,
3π/2
La posición inicial de la espira es la mostrada en la figura (horizontal) y empieza a girar en sentido antihorario
con una velocidad angular w . A medida que transcurre el tiempo adquiere un desplazamiento angular θ , luego
θ = w * t.
Para una máquina tetrapolar (cuatro polos), figura 2. Los lados de la espira que producen fuerza electromotriz o
voltaje pasan frente a un polo norte y a un polo sur dos veces por cada revolución del eje o de la espira, o sea
que, la onda representativa de la fuerza electromotriz o voltaje generado estará compuesta de dos ciclos por cada
revolución del eje.
v
360° Eléctricos
0°
π
0°
2π
3π
4π
1 Rev = 360° Mecánicos
π/2
3π / 2
π
w
720°
Eléctricos
v(t) = 2V1Sen (2θ)
A la derecha de la figura se encuentra el lugar geométrico o gráfico del voltaje de la espira con relación al
desplazamiento angular θ = w * t Finalmente el voltaje generado por una máquina de p pares de polos podrá ser
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representado por el modelo matemático siguiente:, en donde p es el número de pares de polos de la máquina.
v ( t ) = Vmáx Sen(pwt )
VELOCIDAD DE UNA MÁQUINA ELÉCTRICA
El número de ciclos es una medida de la frecuencia con que se presenta la onda de voltaje y esta es igual al
número de pares de polos, esto es:
f ciclos
por revolución
=
p pares
de polos
.
La frecuencia en ciclos por revolución, se le puede cambiar las unidades a ciclos por segundo o hertz, esto es:
1 ⎛ min uto ⎞
RPM ciclos
⎛ ciclos ⎞
⎛ revolución ⎞
⎜⎜
⎟⎟
f = p⎜
f= p
(
) o(hertz)
⎟ x RPM⎜
⎟x
60 segundo
⎝ min uto ⎠ 60 ⎝ segundo ⎠
⎝ revolución ⎠
La fórmula aquí obtenida relaciona la velocidad con la frecuencia de cualquier máquina eléctrica, ya sea
generador o motor.
Para un generador, en donde la energía que entra a la máquina es mecánica y la que sale es eléctrica, la fórmula
nos entrega la frecuencia de la onda de voltaje de salida en función del número de pares de polos en el estator y
la velocidad del generador en revoluciones por minuto. Lo anterior significa que si desea una sola frecuencia de
salida para todos los generadores, por ejemplo 60 hertz, debe existir una relación adecuada entre el número de
pares de polos del generador (que depende de la construcción) y la velocidad a la cual se debe girar el generador
dependiendo de la construcción de la máquina:
MÁQUINA
VELOCIDAD (RPM)
Bipolar
3600
Tetrapolar
1800
Exapolar
1200
Para un motor, en donde la energía que entra a la máquina es eléctrica y la que sale es mecánica, la fórmula nos
entrega la velocidad de salida del motor (RPM) en función del número de pares de polos en el estator y la
f * 60
, Como la frecuencia de la onda de voltaje
frecuencia de la onda del voltaje de entrada, o sea: N RPM =
p
del sistema de distribución de energía eléctrica en Colombia es 60 c/s, la fórmula que determina la velocidad de
3600
.
los motores eléctricos quedará expresada por: N RPM =
p
De la fórmula anterior se puede deducir que la velocidad para los motores de corriente alterna depende
principalmente de la construcción del estator (número de pares de polos) y que a medida que aumenta el número
de polos disminuye la velocidad.
Las diferentes velocidades a las cuales girará un motor dependiendo de la construcción del mismo, están
indicadas en la tabla anteriormente presentada para el generador, pues se rigen por la misma fórmula.
Para un motor de corriente alterna su velocidad se puede variar o cambiando el número de polos o variando la
frecuencia en el voltaje de aplicación.
N RPM =
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f * 60
;
p
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N RPM
= w ( rev
seg ) =
60
f
P
;
2πf
P
Para un par de polos : w = 2πf
w ( rad
seg ) =
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CARACTERÍSTICAS DE LA ONDA SENOIDAL
Modelo Matemático: v(t) = Vmáx Sen(wt) = Vmáx Sen(θ)
Donde: v(t) es el valor instantáneo del voltaje en voltios ; t es el tiempo en segundos
Vmáx es el valor máximo que toma la onda del voltaje en voltios ; θ = wt , es el desplazamiento angular
w es la velocidad angular o frecuencia angular (radianes / segundo)
v(t)
Vmax
π/2
π/2w
T/4
4.165ms.
π.
π/w
T/2
8.33ms.
3π/2
3π/2w
3T/2
12.495ms
2π
2π/w
T
θ = w t (radianes)
t = θ/w (segundos)
T = 2π/w (periodos)
16.66 ms. Para w = 60 Hz
VALOR MEDIO DE UNA FUNCIÓN DEL TIEMPO Y POTENCIA MEDIA
2
Δt
T
1
1
1
V medio =
f ( t ) dt =
f ( t ) dt
pm =
p ( t ) dt
Δ t ∫0
( t 2 − t 1 ) ∫1
T ∫0
Interpretación: El valor medio de una corriente eléctrica se asocia a la transferencia de carga. En los
procesos electromagnéticos está asociado a la transferencia de masa (Iones)
VALOR EFICAZ DE UNA CORRIENTE O VOLTAJE PERÍODICO
V efic =
1
T
T
∫ (v
(t)
) 2 dt
0
Interpretación: El valor eficaz de una corriente eléctrica se asocia a la transferencia de energía
EJEMPLO: Determinar la potencia media en un periodo para la siguiente forma de onda de potencia.
p(t)
T
p ( t ) = p máx Sen ( wt ) , para 0 ≤ t ≤ π / w
p ( t ) = 0 , para π / w ≤ t ≤ 2π / w
T = 2π / w
Pmax
0
pm
π/w
1
=
2π
2π/w
3π/w
t(seg)
π
w ⎡⎢ w
∫0 p ( t ) dt = 2 π ⎢ ∫0 p máx Sen ( wt ) dt +
w
⎣
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2π
w
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⎤
0
dt
∫ ⎥⎥ = p máx / π = 0.318p máx
π
w
⎦
2π
w
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RO
R1
ONDAS EN FASE
R2
RO: 0NDA MAYOR :
R1: 0NDA MAYOR :
R2: 0NDA MAYOR :
vA(t) = 150 Sen (377 t )
vA(t) = 150 Sen (377 t + 45º)
vA(t) = 150 Cos (377 t )
;
RO: ONDA MENOR:
;
R1: ONDA MENOR:
;
R2: ONDA MENOR:
vB(t) = 100 Sen (377 t )
vB(t) = 100 Sen (377 t + 45º)
vB(t) = 100 Cos (377 t )
ONDAS DESFASADAS
R0
R1
:
ONDA MENOR :
R2
R0 : ONDA MENOR
vB(t) = 100 Sen (377 t ) ;
R0 :
vB(t) = 100 Cos (377 t – 90º ) ; ONDA MAYOR : vA(t) = 150 Cos (377 t - 60º -90º)
R1: ONDA MAYOR:
vA(t) = 150 Sen (377 t ) ;
R2: ONDA MAYOR:
vA(t) = 150 Cos (377 t ) ;
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ONDA MAYOR :
:
ONDA MENOR :
ONDA MENOR
vA(t) = 150 Sen (377 t - 60º)
vB(t) = 100 Sen (377 t + 60º)
vB(t) = 100 Cos (377 t + 60º)
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EJEMPLOS DE ONDAS SENOIDALES EN FASE Y DESFASADAS
Para el ingreso de la característica ángulo de fase de una onda, en el programa de Multisim, solo acepta valores
positivos, sin embargo, en el modelo matemático que el programa considera es el valor negativo del ángulo de
fase.
XSC1
G
V1 = 100Sen(377t)
Referencia
A
V2 = 80Sen(377t-300°) = 80Sen(377t+60°)
Adelantada 60°, a la izquierda de V1
T
B
XMM1
XMM2
V1
100V
70.71V_rms
60Hz
0Deg
V2
80V
56.57V_rms
60Hz
300Deg
XSC2
V3 = 150Sen(377t-80°) = 150Sen(377t+280°)
Atrasada 80°, a la derecha de V1
G
A
B
T
V3
150V
106.07V_rms
60Hz
80Deg
XMM3
ONDAS Y VALORES EFICACES EN EL CIRCUITO RL EN SERIE
XMM5
XWM1
v
V4
120V
84.85V_rms
60Hz
0Deg
I
XSC3
L1
G
A
7mH
XMM4
B
T
R1
3ohm
Para la conexión presentada del circuito RL en serie y los respectivos medidores, estos cumplen con las siguientes funciones:
El vatímetro XWM1 mide y presenta la potencia activa o real producida por la fuente de voltaje, la cual es igual a la potencia activa o
real absorbida por la carga equivalente y específicamente la consumida por la resistencia.
El vatímetro también presenta el factor de potencia de la fuente o de la carga equivalente y es igual al coseno del ángulo de atraso entre
el voltaje y la corriente, este ángulo es el mismo que existe entre la onda del voltaje de la fuente y la onda del voltaje a través de la
resistencia, ya que el voltaje a través de la resistencia y la corriente que circula por ella están en fase
El osciloscopio XSC3 presenta las formas de onda del voltaje generado por la fuente y la forma de onda del voltaje a través de la
resistencia.
Los voltímetros XMM4 y XMM5 presentan el valor eficaz de los voltajes a través de la inductancia y de la resistencia
respectivamente.
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ONDAS DESFASADAS Y SUMA DE VOLTAJES
A continuación se presentan algunas fuentes de voltaje alterno, de diferente magnitud máxima, desfasadas y de
igual frecuencia (60 hz), interconectadas con algunos medidores y osciloscopios.
V2
80V
56.57V_rms
60Hz
60Deg
V1
100V
70.71V_rms
60Hz
0Deg
v1 = 100 Sen(377 t), v
v2 = 80 Sen(377 t – 60°), v
Interconecte las fuentes y los medidores como lo indica la siguiente figura, simule el circuito y determine las
lecturas de los voltímetros XMM1 y XMM2, trace las gráficas presentadas por el osciloscopio.
vA
XSC1
G
XMM1
V1
100V
70.71V_rms
60Hz
0Deg
V2
80V
56.57V_rms
60Hz
60Deg
A
B
T
XMM2
vB
Valores Leídos:
Canal A: VAmax = 99.999 v ; Canal B: VBmax = 91.6513 v ; Distancia entre cursores: Δx = 2,2300 ms
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DESARROLLO ANALÍTICO
Los modelos matemáticos de los voltajes presentados por las fuentes son:
v1 = 100 Sen(377 t) = 100 Cos(377 t – 90°), dominio del tiempo ; V1 = 100 ∠ - 90°, Fasor
v2 = 80 Sen(377 t – 60°) = 80 Cos(377 t – 150°), dominio del tiempo ; V2 = 80 ∠ - 150° , Fasor
Los voltajes leídos por el osciloscopio son: vA en el canal A y vB en el canal B
Aplicando LVK a un camino cerrado tendremos:
vA - v1 = 0 ; luego, vA = 100 Sen(377 t)
Aplicando LVK al otro camino cerrado tendremos:
vB + v2 - v1 = 0 , o sea, vB = v1 - v2 ; en fasores: VB = V1 – V2 , VB = 100 ∠ - 90° - 80 ∠ - 150°
VB = 69.28 + j 60 = 91.64 ∠ - 40.89°
Por lo tanto:
vB = 91.64 Cos(377 t – 40.89°) = 91.64 Sen(377 t + 49.10°)
Luego el osciloscopio traza las gráficas de: vA = 100 Sen(377 t) en el canal A y
vB = 91.64 Sen(377 t + 49.10°) en el canal B
Lo anterior significa que el trazo de vB está corrido hacia la izquierda de vA , lo que indica que vB está
adelantado 49.1° ( 2.23 ms) vA
LECTURAS DE LOS VOLTÍMETROS:
Voltímetro XMM1: V1 = 70.71 v
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;
Voltímetro XMM2: VA = 64.80 v
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FORMAS DE ONDA DE VOLTAJES CON EL OSCILOSCOPIO
Los resultados analíticos de los voltajes en el dominio del tiempo pueden ser comprobados con los trazos del osciloscopio, en donde se
puede comprobar la magnitud y el desfasamiento con respecto a cualquier referencia que se seleccione.
PRIMERA PRÁCTICA:
OSCILOSCOPIO XSC1: Canal A
Canal B
OSCILOSCOPIO XSC2: Canal A
Canal B
;
;
;
;
vBA = 169.7 Sen(377t) v
vCA = vBA – vDC = 87.83 Sen(377t + 75°) v
vFE = 169.7 Sen(377t – 60°) v
vDC = 169.7 en(377t – 30°) v
XSC1
XSC2
G
A
T
B
G
A
V1
V2
A
B
D
169.7V
120.00V_rms
60Hz
0Deg
SEGUNDA PRÁCTICA:
OSCILOSCOPIO XSC1: Canal A
Canal B
OSCILOSCOPIO XSC2: Canal A
Canal B
;
;
;
;
T
V3
C
E
169.7V
120.00V_rms
60Hz
30Deg
vDC =
vFE =
vAB =
vFD =
B
F
169.7V
120.00V_rms
60Hz
60Deg
169.7 Sen(377t – 30°) v
169.7 Sen(377t - 60°) v
-169.7 Sen(377t ) v = 169.7 Sen(377t – 180°) v
vFE – vDC = 87.84 Sen(377t – 135°) v
XSC1
XSC2
G
A
G
A
B
V2
B
169.7V
120.00V_rms
60Hz
0Deg
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T
T
V1
A
B
D
169.7V
120.00V_rms
60Hz
30Deg
V3
C
E
F
169.7V
120.00V_rms
60Hz
60Deg
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CÓDIGO: 00076 UFPS
PRÁCTICA DE ENSAYO CON EL OSCILOSCOPIO
Para el ensayo conectamos una fuente de corriente alterna a tres transformadores, con diferente relación de transformación, en
paralelo, de esa forma obtendremos formas de ondas de voltaje con diferentes magnitudes y con posibles desfasamientos de 180º.
DIFERENTES MAGNITUDES DE VOLTAJES EN FASE O DESFASADAS 180°
XMM1
COMPONENTES
XMM2
XSC1
SOURCE: AC_VOLTAGE_SOURCE
G
A
BASIC: TRANSFORMER_VIRTUAL
B
T
T1
A
A
B
2
V1
90V
63.64V_rms
60Hz
0Deg
T2
A
C
XSC2
G
A
2.5
A
T3
B
T
D
3
OBJETIVOS:
Tomar Lecturas de voltaje con el voltímetro (Valor eficaz)
Trazar formas de onda de voltaje con el osciloscopio (Dominio del tiempo)
Determinar de las formas de onda lo siguiente: Valor máximo, Frecuencia (frecuencia angular),
Tiempo (Periodo), Desplazamiento angular, Ángulo de fase o desfasamiento entre ondas.
Nota: si intercambiamos las conexiones de los medidores podremos presentar otras ondas.
Modelo Matemático: : v(t) = Vmáx Sen(wt) = Vmáx Sen(θ)
Donde: v(t) es el valor instantáneo del voltaje en voltios ; t es el tiempo en segundos
Vmáx es el valor máximo que toma la onda del voltaje en voltios ; θ = wt , es el desplazamiento angular
w es la velocidad angular o frecuencia angular (radianes / segundo)
v(t)
Sí: F = 60 Hz, C/Seg:
w = 377 rad./seg.
Periodo = 16.666 mseg.
Periodo = 360º eléctricos
1º = 0.046 mseg.
1 mseg. = 21.6º
Vmax
π/2
π/2w
T/4
4.165ms.
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π.
π/w
T/2
8.33ms.
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3π/2
3π/2w
3T/2
12.495ms
2π
2π/w
T
θ = w t (radianes)
t = θ/w (segundos)
T = 2π/w (periodos)
16.66 ms., para w = 60 Hz
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PRIMERA PRÁCTICA DE ENSAYO EN MULTISIM
AGRUPACIÓN DE FUENTES DE VOLTAJE EN SERIE
A continuación se presentan tres fuentes de voltaje en CA, debidamente marcadas con sus nombres, sus terminales y sus respectivos
ángulos de fase
B
A
D
V1
169.7V
120.00V_rms
60Hz
0Deg
F
V2
169.7V
120.00V_rms
60Hz
30Deg
C
V3
169.7V
120.00V_rms
60Hz
60Deg
E
La figura siguiente es la red o el esquema eléctrico de las tres fuentes interconectadas en serie. Determine analíticamente el valor y el
ángulo de los fasores de voltajes que se presentan entre dos puntos diferentes de la red.
V1
A
V2
B
D
169.7V
120.00V_rms
60Hz
0Deg
C
E
169.7V
120.00V_rms
60Hz
30Deg
VARIABLE
VBA , VCD
VFE
VBD A
VF BD
VF A
V3
F
169.7V
120.00V_rms
60Hz
60Deg
DOMINIO DEL TIEMPO
VALOR EFICAZ
VBA
VCD
VF E
VBD A
VF BD
VF A
La figura siguiente es la red dibujada en Multisim, a la cual se le han interconectado voltímetros entre dos puntos diferentes de la red
con el fin de medir sus voltajes y compararlos con los obtenidos en el proceso de desarrollo analítico
XMM4
A
XMM1
XMM2
XMM3
V1
V2
V3
B
169.7V
120.00V_rms
60Hz
0Deg
D
C
169.7V
120.00V_rms
60Hz
30Deg
XMM5
E
F
169.7V
120.00V_rms
60Hz
60Deg
XMM6
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INSTRUMENTO
LECTURA
XMM1
XMM2
XMM3
INSTRUMENTO
LECTURA
XMM4
XMM5
XMM6
DESARROLLO ANALÍTICO DE LAS PRÁCTICAS DE ENSAYO
NOTACIÓN CON DOS SUBÍNDICES
En la notación de voltaje con dos subíndices, la variable tiene como subíndices los nombres de los nodos a los
cuales hace referencia el voltaje indicado, colocando como primer subíndice el nodo al que se le considera como
positivo o hacia donde apunta la flecha de voltaje.
Modelos Matemáticos de las fuentes:
v1 = vBA = 169.7 Sen(377 t), v , con t en seg. = 169.7 Cos(377 t – 90º) ; VBA = 120 ∟- 90º
v2 = vDC = 169.7 Sen(377 t – 30º), v , con t en seg. = 169.7 Cos(377 t – 120º) ; VDC = 120 ∟- 120º
v3 = vFE = 169.7 Sen(377 t – 60º), v , con t en seg. = 169.7 Cos(377 t – 150º) ; VFE = 120 ∟- 150º
Modelos matemáticos negativos de los valores anteriores y con las mismas unidades:
169.7 Sen(377 t - 180º)
169.7 Sen(377 t - 210º)
169.7 Sen(377 t - 240º)
vAB = - vBA = 169.7 Sen(377 t + 180º) =
vCD = - vDC = 169.7 Sen(377 t + 160º) =
vEF = - vFE = 169.7 Sen(377 t + 120º) =
Determinación de voltajes:
Para determinar los voltajes desconocidos que se presentan, se aplica la ley de Kirchoff, a los caminos cerrados.
La suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier camino cerrado es igual a cero.
Para el caso no hay caminos cerrados, pero, en lo que se refiere a voltajes, si iniciamos en un nodo cualquiera,
sumamos algebraicamente todos los voltajes que se presentan en el camino recorrido terminando en el mismo
nodo que se inició, podremos considerar el camino como cerrado.
Ejemplo 1. : Seleccionamos el camino que encierra los voltajes: VCA , VCD , VBA
Aplicamos Kirchoff, iniciando en el nodo A, avanzando en sentido horario: VCA - VCD - VBA = 0,
Despejando VCA que es el voltaje desconocido, tendremos:
VCA = VBA + VCD = 120 ∟- 90º + 120 ∟- 120º.
VCA
Por lo tanto: VCA = 62.11 ∟- 15º , lo que significa en el dominio
VBA
VCD
del tiempo que el valor del voltaje entre los nodos C y A estará dado
por:
vCA = 87.83 Cos(377 t – 15º), v , con t en seg. = 87.83 Sen(377 t + 75º)
Ejemplo 2. : Seleccionamos el camino que encierra los voltajes: VFD , VFE , VDC
Aplicamos Kirchoff, iniciando en el nodo BD, avanzando en sentido antihorario: VFD - VFE + VDC = 0.
VDC
VFE
Despejando VFD que es el voltaje desconocido, tendremos: VFD =
VFE – VDC = 120 ∟- 150º - 120 ∟- 120º.
Por lo tanto: VFD = 62.11 ∟135º , lo que significa en el dominio
VFD
del tiempo que el valor del voltaje entre los nodos F y D estará dado
por:
vCA = 87.84 Cos(377 t + 135º), v , con t en seg. = 87.84 Sen(377 t - 135º)
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RELACIONES ENTRE LAS VARIABLES DEL CIRCUITO ELÉCTRICO, EN EL DOMINIO DEL
TIEMPO Y EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA, PARA ELEMENTOS GENERADORES Y
ELEMENTOS DE CARGA
La figura a continuación representa un generador de corriente alterna que le suministra energía a una
impedancia Z como carga, Z representa la impedancia equivalente del circuito
El voltaje instantáneo del generador o fuente es vf(t)
La corriente instantánea de la fuente es i(t)
El voltaje instantáneo de la carga es vz(t)
La corriente instantánea de la carga es i(t)
El generador está produciendo mientras que la carga o
impedancia está absorbiendo
vf (t) = vz (t) = Vm Cos(w t + θv) ; i(t) = Im Cos(w t + θi)
i(t)
vf (t)
Z
vz (t)
IMPEDANCIAS Y ADMITANCIAS (TERMINOS ESCLUSIVOS DEL DOMINIO DE LA FRECUENCIA)
En el dominio de la frecuencia, los fasores vienen expresados por:
Vf = Vz = Vm ∠ θv o Vefic ∠ θv ; If = Iz = Im ∠ θi o Iefic ∠ θi
Z(w) =
VZ ( w )
I Z(w)
Y(w) =
IZ( w )
VZ(w)
θz
= R + j X, en donde : R es resistencia(Ω) y X es reactancia (Ω)
θy
= G + j B, en donde : G es conductancia(S) y B es susceptancia (S)
= |Z| ∠ θz = |Z| e j
= |Y| ∠ θy = |Y| e j
Nota: Para el cálculo de las impedancias y admitancias, los fasores pueden estar expresados con los valores
máximos o con los valores eficaces.
POTENCIAS DE UN ELEMENTO GENERADOR EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
La potencia del elemento generador o del elemento carga en el dominio del tiempo, estará representada por:
p(t) = Vm Cos(w t + θv) * Im Cos(w t + θi) , Sí hacemos θz = θv - θi , la expresión se puede escribir como:
p(t) = Vm2I m Cos(θZ) + Vm2I m Cos(θZ) Cos(2 w t + 2 θi) - Vm2I m Sen(θZ) Sen(2 w t + 2 θi)
Vm
Sí Veff =
2
e
Im
Iefic =
, entonces la potencia se puede expresar como:
2
p(t) = Vefic * Iefic Cos(θZ) + Veff * Iefic Cos(θZ) Cos(2 w t + 2 θi) – Vefic * Iefic Sen(θZ) Sen(2 w t + 2 θi)
POTENCIA MEDIA (PROMEDIO, REAL, ACTIVA, CONSUMIDA, ABSORBIDA)
P=
Vm I m
2
Cos(θZ) =
Vm
Im
2
2
Cos(θZ) = Vefic * Iefic Cos(θZ). vatios (w)
POTENCIA REACTIVA
Q =
Vm I m
2
Sen(θZ) =
Vm
Im
2
2
Sen(θZ) = Vefic * Iefic Sen(θZ). Voltiamperios reactivos (VAR)
POTENCIA APARENTE
|S| =
Vm I m
2
=
Vm
Im
2
2
= Vefic * Iefic . Voltiamperios (VA)
p(t) = |S| Cos(θZ) + |S| Cos(θZ) Cos(2 w t + 2 θi) – |S| Sen(θZ) Sen(2 w t + 2 θi)
p(t) = P + P Cos(2 w t + 2 θi) – Q Sen(2 w t + 2 θi)
POTENCIAS DE UN ELEMENTO GENERADOR EN FORMA COMPLEJA
La potencia compleja entregada al elemento se define como: S = Vefic x Iefic * , donde: S es la potencia
aparente, Vefic es el fasor de voltaje e Iefic * es el conjugado del fasor de corriente.
S = Vefic ∠ θv x Iefic ∠ - θi = Vefic X Iefic ∠ θv - θi = Vefic X Iefic ∠ θz
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Por lo tanto, la fórmula de potencia compleja quedará:
S = Vefic X Iefic Cos(θZ ) + j Vefic X Iefic Sen(θZ)
En donde S es la potencia aparente en VA ; P = Vefic X Iefic Cos(θZ ) es la potencia real o activa
Q = Vefic X Iefic Sen(θZ) es la potencia reactiva.
En resumen:
S = Vefic X Iefic Cos(θv - θi) + j Vefic X Iefic Sen(θv - θi)
S=P+jQ
S = Vefic X Iefic Cos(θZ ) + j Vefic X Iefic Sen(θZ)
POTENCIAS DE UN ELEMENTO DE CARGA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
RESISTENCIA SOLA : θZ = 0 ;
pR(t) = VR * IR + VR * IR Cos(2 w t + 2 θi) = P + P Cos(2 w t + 2 θi)
2
2
V
I
P = VR * IR = R = IR 2 * R = VR2 * G = R (w) ; Q = 0 (VAR) ; |S| = VR * IR (VA)
R
G
En donde: VR e IR , son valores eficaces
INDUCTANCIA SOLA: Sí θv = 0,entonces, θi = - 90° y θz =θv - θi = 90° ; pL(t) = VL* IL Sen(2wt)
2
P = 0 (w) ;
Q = VL * IL =
VL
= IL2 * XL (VAR inductivos) ; |S| = VL* IL
XL
(VARL)
En donde: VL e IL, son valores eficaces y XL = 2 π f L
+90° y θz =θv - θi = - 90° ; pC(t) = -VC* IC Sen(2wt)
2
V
P = 0 (w) ; Q = - VC * IC = - C = - IC2 * XC (VAR capacitivos) ; |S| = - VC * IC (VARC)
XC
1
En donde: VC e IC, son valores eficaces y XC =
2πf L
CAPACITANCIA SOLA: Sí θv = 0, entonces, θi =
POTENCIAS DE UN ELEMENTO DE CARGA EN FORMA COMPLEJA
RESISTENCIA SOLA : θZ = 0
S = Vefic ∠ θv X Iefic ∠ -θi = Vefic X Iefic ∠ 0 = P + j Q = VR efic X IR efic + j 0
Sí θv = 0,entonces, θi = - 90° y θz =θv - θi = 90°
Iefic ∠ -θi = Vefic X Iefic ∠ 90° = P + j Q = 0 + j VLefic
INDUCTANCIA SOLA:
S = Vefic ∠ θv
X
X
ILefic
CAPACITANCIA SOLA: Sí θv = 0, entonces, θi =
S = Vefic ∠ θv
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X
+90° y θz =θv - θi = - 90°
Iefic ∠ -θi = Vefic X Iefic ∠ -90° = P - j Q = 0 - j VCefic X ICefic
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ECUACIONES DIFERENCIALES, SOLUCIONES Y POTENCIAS EN LOS CIRCUITOS
ELÉCTRICOS
CIRCUTO RL EN SERIE:
R
iR(t)
Dominio del tiempo:
v
R
i(t) = (t) ,
L
dt
L
Para un voltaje alterno, v(t) = Vo Cos(w t + θv), la ecuación diferencial
d i (t) R
V Cos(w t + θ V )
quedará:
+
i(t) = o
L
dt
L
Vo
- R
– 1 wL
L t
d i (t)
ECUACIÓN DIFERENCIAL GENERAL:
t=
vR(t)
vL(t)
iL(t)
L
v(t)
Io
i(t)
Cuya Solución es:
i(t) =
Cos(wt + θV- tan
+
(
R
R 2 + (wL) 2
Dominio de la frecuencia, o método fasorial para determinar la respuesta permanente:
Para un voltaje alterno, v(t) = Vo Cos(w t + θv), el fasor de voltaje con valor eficaz es: Vefic =
Impedancia total: Z∠ θz =
)) + K
V0
2
e
,
∠ θv
R 2 + (wL) 2 ∠ tan - 1 ( wRL ) ; por lo tanto, el fasor de la corriente será:
V
V0
0
Vefic
2
Iefic =
=
∠ θ v - tan - 1 ( wRL ) =
Z ∠θ z
Z
2 R + (wL)
2
permanente en el dominio del tiempo será:
i( t )
2
∠ θv – tan- 1( wRL ) y la solución de la corriente
V0
=
R + (wL)
2
2
Cos(w t + θ v - tan - 1 ( wRL ) )
POTENCIAS EN EL CIRCUITO RL EN SERIE:
EXPRESIONES COMPLEJAS:
SZ = Vefic x Iefic* = Vefic x Iefic Cos(θz) + j Vefic x Iefic Sen(θz)
Como Vefic = VR efic + VL efic e Iefic = IR efic = IL efic , entonces:
SZ = VR efic x IR efic* + VL efic x IL efic* = P + j Q ; P = VR efic x IR efic* ; j Q = VL efic x IL efic*
FÓRMULAS:
Potencia aparente: S =
S=
V0
2
*
2
-1 wL
2 R + (wL)
2
Potencia reactiva: Q =
V0
R
) =
V0
2
2 R + (wL)
2
2
-1 wL
2 R + (wL)
∠ tan- 1( wRL )
Sen(tan- 1( wRL ))
2
2
2
2
2 R + (wL)
Cos(tan (
R
)) = VR efic X IR efic
2
V
= Re fic
R
2
= IRefic 2 * R
2
-1 wL
2 R 2 + (wL) 2
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∠ tan (
2
2
V0
2
V0
Cos(tan- 1( wRL )) + j
Potencia real o activa: P =
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V0
2
2 R + (wL)
2
V0
Sen(tan (
R
)) = VLefic
X
ILefic
VLefic
=
= ILefic2 * XL
XL
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CIRCUTO RC EN SERIE:
iR(t)
Dominio del tiempo:
R
d i C( t )
1
1 d v(t)
iC(t) =
dt
RC
R dt
vR(t)
i
+ C(t)
t=0
v
=
V
Cos(w
t
+
θ
)
,
la
ecuación
diferencial
Para
un
voltaje
alterno,
(t)
o
v
vC(t) Vo C
d i C( t )
V
w
Sen(w
t + θV )
1
quedará:
+
iC(t) = o
. Cuya Solución es:
v(t)
dt
RC
R
Io
i(t)
1
Vo
t
1
iC(t) =
Cos(wt + θV- tan – 1( RwC
)) + K e RC
1 2
R2 + (
)
wC
Dominio de la frecuencia, o método fasorial para determinar la respuesta permanente:
V0
Para un voltaje alterno, v(t) = Vo Cos(w t + θv), el fasor de voltaje con valor eficaz es: Vefic =
∠ θv
2
1 2
Impedancia total: Z∠ θz = R 2 + (
) ∠ - tan - 1 ( w R1 C ) ; por lo tanto, el fasor de la corriente será:
wc
V0
V0
Vefic
2
1
Iefic =
=
∠ θ v + tan - 1 ( wRC
)=
∠ θv + tan- 1( w R1 C ) y la solución de la corriente
2
2
1
Z ∠θ z
Z
2 R +( )
ECUACIÓN DIFERENCIAL GENERAL:
+
w C
i( t )
permanente en el dominio del tiempo será:
V0
=
R2 + (
1 2
)
w C
Cos(w t + θ v + tan - 1 ( w R1 C ) )
POTENCIAS EN EL CIRCUITO RC EN SERIE:
EXPRESIONES COMPLEJAS:
SZ = Vefic x Iefic* = Vefic x Iefic Cos(θz) - j Vefic x Iefic Sen(θz)
Como Vefic = VR efic + VC efic e Iefic = IR efic = IC efic , entonces:
SZ = VR efic x IR efic* + VC efic x IC efic* = P - j Q ; P = VR efic x IR efic* ; - j Q = VC efic x IC efic*
FÓRMULAS:
Potencia aparente: S =
V0
S=
V0
2
*
V0
2 R +(
2
)
2
2 R2 + (
1 2
)
wC
V0
Cos( tan- 1( w R1 C )) - j
V0
Potencia reactiva: Q =
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1 2
)
wC
-1
1 2
)
wC
2
2 R2 + (
2
2 R +(
2
2
1
w C
Cos(tan (
-1
1 2
)
wC
Sen(tan (
)
∠ - tan- 1( w R1 C )
Sen( tan- 1( w R1 C ))
2
2 R2 + (
V0
V0
2
2 R2 + (
Potencia real o activa: P =
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2
1
w C
∠ - tan- 1( wRL ) =
1
wRC
1
wRC
)) = VR efic X IR efic
)) = VCefic
X
ICefic
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V
= Re fic
R
VCefic
=
Xc
2
= IRefic 2 * R
2
= Icefic2 * Xc
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CIRCUITO RLC EN SERIE:
Dominio del tiempo:
i
ECUACIÓN DIFERENCIAL GENERAL:
d 2 i (t)
vR
ve
vL
R d i (t)
1
1 d ve
+
i(t) =
2
L dt
LC
L dt
dt
Para un voltaje alterno, v(t) = Vo Cos(w t + θv), la ecuación
diferencial quedará:
d 2 i (t)
V w Cos(w t + θ V )
R d i (t)
1
+
+
i(t) = o
2
L
L dt
LC
dt
vC
Eo
i( t ) =
+
Cos( w t + θ v - tan - 1 (
wL - 1
wC
R
) ) + ihomg (t)
1 2
R + (wL )
wC
En donde la respuesta natural o de la homogénea correspondiente ihomg (t) se obtiene a partir de la tabla
Cuya solución es:
2
CASO
RESPUESTA NATURAL
FRECUENCIA NATURAL
ihomg (t)
SOBREAMORTIGUADO
1
L
S1 , S2 = - α ±
uando R < 2
C
CRÍTICMENTE AMORTIGUADO
1
En donde: α =
Wd
=
R
2L
,
wo 2 - α 2
L
C
S1 , S2 = - α ±
en rad/seg :
Coeficiente De Amortiguamiento ;
uando R > 2
(Wo )2 - (α )2
,
K1 e
2
S 1 , S2 = - α
L
Cuando R = 2
C
SUBAMORTIGUADO
1
2
α - wo
en rad/seg
= Wd =
S1 t
+ K2 e
S2 t
(K1 + K2 t ) e- α t
= - α +j
WO
=
e- α t (K1 Cos(wd t) + K2 Sen(wd t)
wd
1
LC
,
en rad/seg :
Frecuencia De Resonancia
( LC1 ) - ( 2LR )2 , en rad/seg : Frecuencia De Resonancia Amortiguada
Dominio de la frecuencia, o método fasorial para la respuesta permanente:
Para un voltaje alterno, v(t) = Vo Cos(w t + θv), el fasor de voltaje con valor eficaz es: Vefic =
V0
2
∠ θv
1
1 2
- 1 wL - w C
Impedancia total: Z∠ θz = R + (wL ) ∠ tan (
) ; por lo tanto, el fasor de la corriente será:
wc
R
V0
1
wL − wC
wL - w1C
V0
Vefic
2
=
)=
Iefic =
∠ θ v - tan - 1 (
∠ θv - tan - 1 (
) y la
Z ∠θ z
R
R
Z
1
2 R 2 + (wL )2
wC
solución de la corriente permanente en el dominio del tiempo será:
1
V0
- 1 wL - w C
i( t ) =
Cos(w t + θ v - tan (
))
R
1 2
2
R + (wL )
wC
2
POTENCIAS EN EL CIRCUITO RLC EN SERIE:
EXPRESIONES COMPLEJAS:
SZ = Vefic x Iefic* = Vefic x Iefic Cos(θz) - j Vefic x Iefic Sen(θz)
Como Vefic = VR efic + VL efic + VC efic e Iefic = IR efic = IL efic = IC efic, entonces:
SZ = VR efic x IR efic* + VL efic x IL efic* + VC efic x IC efic* = P + j (QL – QC) ; P = VR efic x IR efic*
j QL = VL efic x IL efic* ; - J QC = VC efic x IC efic*
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CÓDIGO: 00076 UFPS
Potencia aparente: S =
V0
S=
2
V0
2
2
V0
*
2 R 2 + (wL -
2
R 2 + (wL -
S=
V0
1 2
)
wC
R 2 + (wL -
1 2
)
wC
wL - w1C
)
R
Cos(tan - 1 (
wL - w1C
))
R
V0
Potencia real o activa: P =
1 2
)
wC
∠ tan - 1 (
2
∠ tan - 1 (
wL - w1C
)
R
V0
+j
2
2
R 2 + (wL -
2
Cos(tan - 1 (
1 2
)
wC
Sen(tan - 1 (
wL - w1C
))
R
wL - w1C
))
R
1 2
)
wC
2
VRe fic
P = VR efic X IR efic =
= IRefic 2 * R
R
2
wL - w1C
V0
Potencia reactiva: Q =
Sen(tan - 1 (
))
R
1
2 R 2 + (wL )2
wC
2
2
VLefic
VCefic
Q = (VLefic X ILefic - VCefic X ICefic) = Iefic (VLefic - ILefic ) = [
] = Iefic2 ( XL - Xc)
XL
Xc
2
R 2 + (wL -
EJEMPLOS NUMÉRICOS SOBRE POTENCIAS:
1. CIRCUITO RLC EN SERIE COMO CIRCUITO EQUIVALENTE DE CARGA:
Un circuito RLC en serie, en donde R = 3Ω , L = 18.56 mh , C = 884.1 uf , está conectado a un generador cuyo
voltaje en los terminales es v = 70.7 Cos(377 t) V. Realice un completo análisis de impedancias, voltajes,
corrientes y potencias del circuito.
DESARROLLO:
Sí v = 70.7 Cos(377 t) V.
V = 50 ∠ 0° V , w = 377 rad/seg , F = 60 hertz
Resistencia y Reactancias:
R = 3Ω ; XL = 377 * 18.56 x 10- 3 = 7Ω ; XC =
Impedancias:
ZR = 3 ∠ 0° Ω ; ZL = j 7 = 7 ∠ 90° Ω ; ZC =
3
−j
1
377 * 18.56 x 10 - 6
= 3Ω
= - j 3 = 3 ∠ -90° Ω
Impedancia Equivalente o Total:
ZT = Ze = 3 + j 7 + (- j 3) = 3 + j 4 = 5 ∠ 53.13° Ω ; [Z] = 5 ;
Corriente del circuito:
50∠0°
= 10 ∠ - 53.13° , luego la corriente en el dominio del tiempo
IT = IR= IL= IC =
5∠53.13°
será : i = 14.142 Cos(377 t – 53.13°) A .
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Potencia instantánea:
Sí v = 70.7 Cos(377 t) V, e i = 14.142 Cos(377 t – 53.13°) A , entonces θv = 0° ,
θi = - 53.13° , θz = 53.13°, por lo tanto, la potencia instantánea quedará expresada por:
p(t) = (50)(10)Cos(53.13°) + (50)(10)Cos(53.13°) Cos(754 t +106.26°) - (50)(10)Sen(53.13°) Sen(754 t +106.26°)
p(t) =500Cos(53.13°) +500Cos(53.13°) Cos(754 t +106.26°) - 500Sen(53.13°) Sen(754 t +106.26°)
en donde, la Potencia Aparente suministrada por el generador o absorbida por la carga es:
S = 500 VA, simplificando la expresión anterior, la potencia instantánea quedará:
p(t) = 300 +300 Cos(754 t +106.26°) - 400 Sen(754 t +106.26°)
en donde, la Potencia Reactiva total suministrada por el generador o absorbida por la carga es: QT = 400 VARL, y
la Potencia Media o Activa total suministrada por el generador o consumida por la carga es: P = 300 W
Potencia Compleja total:
Potencia aparente: S = V x I * = 50 ∠ 0° x 10 ∠ 53.13° = 500 ∠ 53.13° = 300 + j 400
Potencia real : P = 300 w ; Potencia reactiva : Q = 400 VARL ; Factor de potencia: FP = 0.6 en atraso
Potencia Compleja en la carga:
Resistencia: VR = IR x ZR = 10 ∠ - 53.13° x 3 ∠ 0 = 30 ∠ - 53.13°
S = 30 ∠ - 53.13° x 10 ∠ 53.13° = 300 ∠ 0º ; S = 300 VA ; P = 300 w ; Q = 0 VAR
Inductancia: VL = IL x ZL = 10 ∠ - 53.13° x 7 ∠ 90° = 70 ∠ 36.87°
S = 70 ∠ 36.87° x 10 ∠ 53.13° = 700 ∠ 90º ; S = 700 VA ; P = 0 w ; Q = 700 VARL
Capacitancia: VC = IC x ZC = 10 ∠ - 53.13° x 3 ∠ -90° = 30 ∠ - 143. 13°
S = 30 ∠ - 143.13° x 10 ∠ 53.13° = 300 ∠ - 90º ; S = 300 VA ; P = 0 w ; Q = 300 VARC
Potencia total en la carga:
S = 300 ∠ 0º + 700 ∠ 90º +300 ∠ - 90º = 300 + j 400 = 500 ∠ 53.13°
VA
= 300 + j 400
2. CIRCUITO RL EN SERIE COMO CIRCUITO EQUIVALENTE DE CARGA DEL CASO INMEDIATAMENTE
ANTERIOR
Un generador de voltaje alterno, presenta un voltaje entre sus terminales igual a: vg = 70.7 Cos(377 t) v, con t
en seg. A los terminales del generador está conectada una carga de 500 VA, con un factor de potencia de 0.6 en
atraso. Determine todas las características del circuito equivalente.
DESARROLLO:
Como el factor de potencia de la carga es de 0.6 en atraso, el circuito equivalente de la carga puede ser un
circuito RL en serie.
Datos del problema: vg = 70.7 Cos(377 t) v, Vg = 50 ∠ 0° ; S = 500 VA ; FP = 0.6 en atraso ; θZ = 53.13º
O sea que: S = 500 ∠ 53.13º = 300 + j 400 , por lo tanto, P = 300 w y Q = 400 VARL
Corriente en el circuito, corriente a través del generador o a través de la carga: iT = iz = ig
Sg
500 ∠ 53.13º
=
Como: Sg = Vg x IT* = Sz = Vz x IT*, ya que, Vg = Vz , entonces: IT* =
= 10 ∠ 53.13º
Vg
50 ∠ 0º
Eso significa que: IT = 10 ∠ - 53.13º. Por lo tanto, en el dominio del tiempo, la corriente total del circuito será:
ig = iz = 14.142 Cos (377 t – 53.13º)
CARACTERÍSTICAS DEL CIRCUITO EQUIVALENTE DE CARGA A PARTIR DEL VOLTAJE Y DE LA CORRIENTE:
Impedancia total de la carga: Zequiv =
XL = 4 Ω ; L =
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Vz
50 ∠ 0º
=
= 5 ∠ 53.13º Ω = 3 + j 4 ; R = 3 Ω ; ZL = j 4 Ω
I z 10 ∠ - 53.13º
4
= 10.61 mh
377
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CARACTERÍSTICAS DEL CIRCUITO EQUIVALENTE DE CARGA A PARTIR DE LAS POTENCIAS:
Los fasores de corrientes son: IR = IL = IT = 10 ∠ - 53.13º
RESISTENCIA:
Como P = VR x
ZR =
IR* ,
entonces, VR =
P
IR
*
300 ∠ 0 o
=
= 30 ∠ - 53.13º
10 ∠ 53.13º
VR
30 ∠ - 53.13º
=
= 3 ∠ 0º , luego R = 3 Ω
IR
10 ∠ - 53.13º
REACTANCIA INDUCTIVA:
Como Q = VL x IL* , entonces, VL =
ZL =
Q
IL
*
=
400 ∠ 90 o
= 40 ∠ 36.87º
10 ∠ 53.13º
VL
40 ∠ 36.87º
4
=
= 4 ∠ 90º = j 4, luego XL = 4 Ω ; L =
= 10.61 mh
IL
10 ∠ - 53.13º
377
3°. Un generador de voltaje alterno, presenta un voltaje entre sus terminales igual a: v = 179.6 Cos (377 t) v,
con t en seg. A los terminales del generador está conectado un sistema de carga compuesto por un motor de
inducción monofásico en paralelo con una estufa eléctrica.
Las características del motor son: Cuando se le conecta a un voltaje de 127 ∠ 0°, RMS, circula por él una
corriente de 22.04 A , con un factor de potencia de 0.82 en atraso.
Las características de la estufa son: Resistencia interna de la estufa igual a 13.44 Ω ; Inductancia interna de la
estufa igual a cero.
DESARROLLO: DETERMINACIÓN DE TODAS LAS CARACTERÍSTICAS DEL MOTOR
Angulo de desfasamiento Cos (θ) = 0.82; θ = 34.91°; Voltaje aplicado al motor Vm = 127 ∠ 0°, RMS.
Corriente que circula por el motor Im = 22.04 ∠ -34.91° ; im = 31.16 Cos(377 t – 34.91º) A
Cálculos: Impedancia equivalente del motor Zm = 5.762 ∠ 34.91° Ω = 4.725 + j 3.29
Resistencia equivalente del motor Rm = 4.725 Ω ; Reactancia equivalente del motor XLm = 3.290 Ω ( L = 8.746 mh)
Voltajes de los elementos equivalentes: VRm = R x Im = 4.725 x 22.04 ∠ -34.91° = 104.13 ∠ -34.91°
VLm = XL x Im = j 3.29 x 22.04 ∠ -34.91° = 72.51 ∠ 55.09°
Potencias:
*
Potencia real del motor: P = VRm x Im = 104.13 ∠ -34.91° x 22.04 ∠ 34.91° = 2296 ∠ 0° = 2296 w
*
Potencia reactiva del motor: Q = VLm x Im = 72.51 ∠ 55.09° x 22.04 ∠ 34.91° = 1600 ∠ 90° = 1600 VARL
*
Potencia aparente del motor: Sm = Vm x Im = 127 ∠ 0° x 22.04 ∠ 34.91° = 2800 ∠ 34.91° = 2296 + j 1602
Potencia real del motor Pm
Sm = 2800 VA;
= 2296 w : Potencia reactiva del motor Qm = 1602 VARL
= 0.82 en atraso
Factor de potencia FP
DETERMINACIÓN DE TODAS LAS CARACTERÍSTICAS DE LA ESTUFA ELÉCTRICA
Cos (θ) = 0 ; θ = 0° ; Voltaje aplicado a la estufa VE = 127 ∠ 0°, RMS.
Resistencia equivalente de la estufa RE = 13.44 Ω ; Reactancia equivalente de la estufa XE = 0 Ω ( L = 0h)
Cálculos: Impedancia equivalente de la estufa ZE = 13.44 ∠ 0° Ω
V
127 ∠ 0º
Corriente que circula por la estufa IE = E =
= 9.44 ∠ 0° v ; iE = 13.35 Cos(377 t ) A
ZE
13.44 ∠ 0º
*
Potencia aparente de la estufa: SE = VE x IE = 127 ∠ 0° x 9.44 ∠ 0° = 1200 ∠ 0° = 1200
Potencia real de la estufa PE = 1200 w : Potencia reactiva de la estufa QE = 0 VARL
SE = 1200 VA; Factor de potencia FP = 1.0
Angulo de desfasamiento
11/01/2010
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Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez
CÓDIGO: 00076 UFPS
DETERMINACIÓN DEL CIRCUITO EQUIVALENTE DE LA CARGA TOTAL
Voltaje aplicado a la carga V = 127 ∠ 0°, RMS. ; Potencia aparente de la carga ST = Sm + SE = 2800 ∠ 34.91° + 1200 ∠ 0°
ST = 2296 + j 1602 + 1200 = 3496 + j 1602 = 3845.5 ∠ 24.61° VA
ST = 3846 VA ; PT = 3496 w ; QT = 1200 VARL ; FP = 0.90 en atraso
Corriente total en el circuito, corriente a través del generador o a través de la carga total: iT = iz = ig
Sg
3845.5 ∠ 24.61º
Como: Sg = Vg x IT* = Sz = Vz x IT*, ya que, Vg = Vz , entonces: IT* =
= 30.3 ∠ - 24.61º
=
127 ∠ 0º
Vg
Eso significa que: IT = 30.3 ∠ - 24.61º. Por lo tanto, en el dominio del tiempo, la corriente total del circuito
será: ig = iz = 42.85 Cos (377 t – 24.61º) A
Comprobación de la Ley de Kirchhoff: ig = iz = iT = im + iE
42.85 Cos (377 t – 24.61º) A = 31.16 Cos(377 t – 34.91º) A + 13.35 Cos(377 t ) A
VZ
127 ∠ 0º
Impedancia equivalente de la carga Z =
=
= 4.191 ∠ 24.61° Ω = 3.810 + j 1.745
IZ
30.3 ∠ - .24.61º
Resistencia equivalente de la carga RT = 3.810 Ω
Reactancia equivalente de la carga XT = 1.745 Ω ( Le = 4.629 mh)
RESPUESTAS:
FUENTE:
v = 179.6 Cos (377 t) v, V = 127 ∠ 0°, RMS. F = 60 hertz
CARGA: RT = 3.810 Ω , LT = 4.629 mh ; XT = 1.745 Ω ; Zcarga = 3.810 + j 4.629 = 4.191 ∠ 24.61° Ω
CORRIENTE EN EL CIRCUITO: i(t) = 30.3
VOLTAJES EN EL CIRCUITO EQUIVALENTE:
2 Cos( 377 t – 24.58°) A = 42.85 Cos( 377 t – 24.58°)
A
Resistencia equivalente: VR = R x IR = 3.810 x 30.3 ∠ -24.61° = 115.44∠ -24.61° v, en el dominio del
tiempo: vR = 115.44 2 Cos( 377 t – 24.61°) = 163.25 Cos( 377 t – 24.61°) v
Inductancia equivalente: VL = j Xe x IL = j 1.745 x 30.3 ∠ -24.61° = 52.87∠ 65.39° v, en el dominio del
tiempo: vL = 52.87 2 Cos( 377 t + 65.39°) = 74.76 Cos( 377 t + 65.39°) v
Comprobación de la Ley de Kirchhoff: vfuente = vcarga = vR + vL
179.6 Cos (377 t) = 163.25 Cos (377 t – 24.61°) + 74.76 Cos (377 t + 65.39°)
POTENCIAS EN EL CIRCUITO:
Potencia aparente total producida por la fuente y absorbida por la carga:
ST = PT + j QT = 3846 ∠ 24.61° VA
Potencia de la resistencia equivalente: P = VR x IR* = 115.44∠ -24.61° x 30.3 ∠ 24.61° = 3498 ∠ 0° w
Potencia de la inductancia equivalente: P = VL x IL* = 52.87∠ 65.39° x 30.3 ∠ 24.61° = 1601 ∠ 90° VARL
Potencia aparente: S = 3498 ∠ 0° + 1601 ∠ 90° = 3498 + j 1601 = 3847 ∠ 24.61°
Clasificación de las potencias: Potencias de las cargas individuales:
Potencia real del motor:
Pm = 2296 w
;
Potencia reactiva del motor:
Qm = 1600 VAR
Potencia real de la estufa:
Pc = 1200 w
;
Potencia reactiva de la estufa:
Qc = 0 VAR
Potencia real de la carga total:
11/01/2010
PT = 3496 w
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;
Potencia reactiva de la carga total:
Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez
QT = 1600 VAR
CÓDIGO: 00076 UFPS
FORMULARIO DE TRIGONOMETRÍA
Sen (w t) = Sen (w t ± n 360º), en donde n es un número entero
Cos (w t) = Cos (w t ± n 360º), en donde n es un número entero
Cos ( wt ) = Sen( wt + 90°)
Sen ( wt ) = Cos( wt − 90°)
1 + Cos(2θ)
Cos 2 (θ) =
− Cos ( wt ) = Cos ( wt ± 180°) − Sen ( wt ) = Sen ( wt ± 180°)
2
1 − Cos(2θ)
Sen 2 (θ) =
Sen (α ± β) = Sen (α)Cos(β) ± Cos(α)Sen (β)
2
Cos(α ± β) = Cos(α)Cos(β) m Sen (α)Sen (β)
v ( t ) = Vm Sen ( wt + θ) = Vm Sen (θ)Cos( wt ) + Vm Cos(θ)Sen ( wt )
v ( t ) = Vm Sen ( wt + θ) = (Vm Sen (θ)) 2 + (Vm Cos(θ)) 2 Sen ( wt + tan −1 (θ))
A Cos(w t) + B Sen(w t) = A 2 + B 2 Cos(w t - δ) , en donde δ = tan - 1 ( B A )
A Cos(w t) + B Sen(w t) = A 2 + B2 Sen(w t + β) , en donde β = tan-1 (A B)
FACTORES DE CONVERSIÓN DE UNIDADES
LONGITUD
ANGULO
1 m = 102 cm = 39.37 pulg = 6.214x 10-4 mill
1 mill = 5280 pie = 1.60934 Km
1 pulg = 2.540 cm ; 1 pie = 0.3048 m
1 radián = 57.3º
1º = 1.74x10-2 rad
1´ = 2.91x10-4 rad ; 1´´ = 4.85x10-6 rad
ÁREA
VOLUMEN
1 m2 = 104 cm = 1.55x10-5 pulg2 10.76 pie2
1 pulg2 = 6.452 cm2
2
1 pie = 144 pulg2 = 9.29x10-2 m2
1 m = 10 cm = 103 litros = 35.3 pie3 = 6.1x104
pulg3
3
1 pie = 2.83x10-2 m3 = 28.32 litros
1 pulg3 = 16.39 cm3
VELOCIDAD
ACELERACIÓN
1 m/s = 102 cm/s = 3.281 pie/s
1 pie/s = 30.48 cm/s
1 Km/min = 60 Km/h = 16.67 m/s
1 m/s2 = 102 cm/s2 = 3.281 pie/s2
1 pie/s2 = 30.48 cm/s2
MASA
FUERZA
1 Kg m = 103 g = 2.205 lb m
1 lb m = 453.6 g = 0.4536 Kg m = 0.0311 slug
1 uma = 1.6604x10-27 Kg m
1 N = 105 dina = 0.2248 lb f = 0.102 Kg f
1 dina = 10-5 N = 2.248x10-6 lb f
1 lb f = 4.448 N = 4.448x105 dina
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