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Experiment
Spanish (Costa Rica)
Q1-1
Conductividad eléctrica en dos dimensiones (10 puntos)
Por favor asegúrese de leer las instrucciones generales contenidas en el sobre adjunto antes de comenzar a resolver este problema.
Introducción
Con el objetivo de desarrollar la próxima generación de dispositivos basados en tecnología de semiconductores (tales como microprocesadores o celdas solares), algunos investigadores están en constante
búsqueda de materiales que presenten propiedades de transporte excepcionales (como baja resistencia
eléctrica, por ejemplo). La medición de tales propiedades se llevan a cabo usando muestras de tamaño
finito, contactos con resistencia no nula, y en una disposición geométrica particular. Todos estos efectos
deben ser considerados para que las propiedades del material obtenidas sean certeras. Más todavía, una
capa fina del material puede tener un comportamiento diferente al de una muestra de mayor espesor.
En esta sección investigaremos la medición de propiedades eléctricas. Usaremos dos definiciones distintas:
• Resistencia 𝑅: La resistencia es la propiedad eléctrica de una muestra o dispositivo. Es la cantidad
que medimos en una muestra específica de dimensiones dadas.
• Resistividad 𝜌: La resistividad es la propiedad del material que determina la resistencia. Depende
del material en cuestión y de parámetros externos tales como la temperatura, pero no depende de
la geometría de la muestra.
En particular, vamos a medir la llamada resistividad laminar (superficial). Ésta es la resistividad dividida
por el espesor de la lámina delgada.
Exploraremos la influencia de los siguientes parámetros en la medición de la resistencia eléctrica de
láminas finas de material:
• el arreglo circuital de la medición,
• la geometría de la medición,
• y las dimensiones de la muestra.
Una lámina de papel conductor y una placa de silicio recubierta de metal servirán como muestras.
Q1-2
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Lista de materiales
(1)
(2)
(4)
(3)
(5)
Figura 1: Equipo adicional para este experimento.
1. Papel conductor recubierto de grafito
2. Una placa de silicio recubierta con una lámina fina de cromo (incluye el soporte de la placa)
3. Placa de Plexiglás (también llamado vidrio orgánico o acrylex) con 8 pines con resorte.
4. Un resistor óhmico
5. Etiquetas adhesivas de color
Precauciones importantes
• La placa de silicio provista puede romperse fácilmente al caerse o al ser doblada. No toque o rasguñe la superficie metálica brillante.
Instrucciones
• En el experimento, el generador de señales será usado como una fuente de voltaje DC (continuo).
En este modo, el generador de señales provee un voltaje constante entre la toma voltaje (5) y la
toma GND (7). Los números se refieren a la fotografía mostrada en las instrucciones generales.
• El voltaje puede ser ajustado en el potenciómetro izquierdo identificado bajo el nombre ajuste de
voltaje (3) usando el destornillador. El rango de voltaje de salida es de 0 a 5 V.
• A la hora de realizar este experimento, asegúrese de que la sección del generador de señales que
alimenta al altavoz está apagada usando el interruptor (8). Esto puede verificarse midiendo el voltaje entre el terminal amplitud del altavoz (6) y el terminal GND (7). Si la sección que alimenta al altavoz
está apagada, el voltaje entre estos dos terminales será cero.
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Q1-3
Parte A. Mediciones con la técnica de cuatro puntas (4PP) (1.2 puntos)
Para medir con precisión la resistividad de una muestra, los contactos usados para la determinación del
voltaje y los contactos usados para la inyección de corriente deben estar separados.
Esta técnica se denomina de 4 puntas debido a que son necesarios cuatro contactos para llevarla a cabo.
La abreviaremos de ahora en adelante como 4PP, por sus siglas en inglés. Los cuatro contactos son
dispuestos en un arreglo simétrico con la mayor simplicidad posible: La corriente 𝐼 fluye hacia la muestra
a través de uno de los contactos externos (llamado fuente), luego circula en todas las direcciones dentro
de la muestra, y sale finalmente a través del otro contacto (drenaje). Dentro de la muestra, el voltaje 𝑉
es medido a lo largo de una cierta trayectoria 𝑠.
Todo se simplifica más si se tiene un arreglo simétrico; es decir, si la distancia 𝑠 es la misma entre todos
los contactos y los contactos ubicados en el centro de la muestra, tal y como se muestra en el esquema
siguiente:
R contacto
Batería +
_
s
I
V
s
s
Muestra
R contacto
La curva de 𝐼 como función de 𝑉 representa las caraterísticas 𝐼 − 𝑉 de la muestra y permite determinar
la resistencia de este segmento de ella. En lo que sigue usaremos exclusivamente la técnica 4PP. Para
empezar, usaremos el arreglo lineal equidistante de cuatro de las ocho puntas (contactos) mostrados en
la fotografía.
Figura 2: Placa de cristal acrílico para mediciones con la técnica 4PP, con cuatro apoyos de
goma y los ocho contactos o puntos de prueba.
Q1-4
Experiment
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Para la medición siguiente, use toda la lámina de papel conductor.
Sugerencias importantes para todas las mediciones que siguen:
• El lado más largo de la lámina de papel es el lado de referencia. Las cuatro puntas deben ser alineadas paralelas a este lado.
• Asegúrese de usar la cara recubierta del papel de color negro, no el lado de color marrón. Puede
servirse de las etiquetas adhesivas de color para marcar la orientación correcta.
• Asegúrese de que no hayan agujeros o recortes en el papel.
• Para estas mediciones, ubique los contactos tan próximos al centro de la muestra como sea posible.
• Presione los contactos con suficiente fuerza para asegurar buen contacto para cada uno de ellos.
La base plástica debe tocar la superficie.
A.1
Medición de cuatro puntas (4PP): Mida la diferencia de potencial 𝑉 a lo largo
de un segmento de longitud 𝑠 como función de la corriente 𝐼 que atraviesa
ese segmento. Tome en total al menos 4 valores, haga una tabla y grafique la
diferencia de voltaje 𝑉 vs. la corriente 𝐼 en el gráfico Graph A.1.
0.6pt
A.2
Determine la resistencia eléctrica efectiva 𝑅 =
obtuvo del gráfico Graph A.1.
de la lámina completa que
0.2pt
A.3
Use el gráfico Graph A.1 para determinar la incertidumbre Δ𝑅 en la resistencia
𝑅 para la medición 4PP.
0.4pt
𝑉
𝐼
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Q1-5
Parte B. Resistividad laminar (0.3 puntos)
La resistividad 𝜌 representa una propiedad del material por medio de la cual se calcula la resistencia de
un conductor 3D de dimensiones y geometría definidas. Consideremos una barra de longitud 𝑙, ancho
𝑤, y grosor 𝑡:
t
l
I
w
ρ
La resistencia eléctrica R del conductor grueso de arriba está dada por:
𝑅 = 𝑅3D = 𝜌 ⋅
𝑙
𝑤⋅𝑡
(1)
De la misma forma podemos definir la resistencia del conductor 2D de grosor 𝑡 ≪ 𝑤 y 𝑡 ≪ 𝑙
l
w
t
ρ☐
𝑅 = 𝑅2D = 𝜌□ ⋅
𝑙
,
𝑤
(2)
utilizando la resistividad laminar 𝜌□ ≡ 𝜌/𝑡 (”rho box”). Su unidad está dada en Ohms: [𝜌□ ] = 1 Ω.
Importante: La ecuación 2 es válida sólo para una densidad de corriente homogénea y un potencial
constante en el plano de una sección transversal del conductor. En el caso de puntos de contacto sobre
la superficie no es válida. En cambio, se puede mostrar que en este caso la resistividad laminar está
relacionada con la resistencia por
𝜌□ =
𝜋
⋅𝑅
ln(2)
(3)
para 𝑙, 𝑤 ≫ 𝑡.
B.1
Calcule la resistividad laminar𝜌□ del papel a partir de la medición 4PP de la parte
A. Llamaremos a este valor particular𝜌∞ (y a la resistencia medida A 𝑅∞ ) pues
las dimensiones de la muestra de la lámina completa son mucho mayores que
el espaciamiento de los contactos 𝑠: 𝑙, 𝑤 ≫ 𝑠.
0.3pt
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Q1-6
Parte C. Mediciones para muestras con diferentes dimensiones (3.2 puntos)
Hasta ahora, las dimensiones finitas de la muestra 𝑤 y 𝑙 no se tomaron en cuenta. Si la muestra es menor,
puede transportar una corriente menor si se mantiene el voltaje constante: Si aplicamos un voltaje entre
los los dos puntos de contacto (círculos blancos), la corriente fluirá en todas las trayectorias posibles
que no se entrecrucen en la muestra como se visualiza en las líneas: cuanto más larga la línea, menor
es la corriente como se indica con el grosor del trazo. Para una muestra pequeña (b) y el mismo voltaje
aplicado, la corriente total decrece porque hay menos trayectorias disponibles. Entonces, la resistencia
medida aumentará:
(a)
(b)
La resistividad laminar no cambiará en función del tamaño de la muestra. Entonces, para convertir la resistencia medida a una resistividad usando la Ecuación 3, necesitamos introducir un factor de corrección
𝑓(𝑤/𝑠):
𝜌□ =
𝜋
𝑅(𝑤/𝑠)
⋅
.
ln(2) 𝑓(𝑤/𝑠)
(4)
Para una muestra de longitud 𝑙 ≫ 𝑠 el factor 𝑓 sólo depende del radio 𝑤/𝑠 y es mayor que 1: 𝑓(𝑤/𝑠) ≥ 1.
En la búsqueda de simplicidad nos enfocaremos en la dependencia de la anchura 𝑤 y nos aseguramos
únicamente de que la muestra sea suficientemente larga para realizar las mediciones. Asumimos que el
valor se aproxima al valor correcto 𝜌□ para dimensiones grandes:
𝑅(𝑤/𝑠) = 𝑅∞ ⋅ 𝑓(𝑤/𝑠)
with
(5)
𝑓(𝑤/𝑠 → ∞) → 1.0.
C.1
Usando el método 4PP, mida la resistencia 𝑅(𝑤, 𝑠) para 4 valores 𝑤/𝑠 en el rango 0.3 a 5.0 y registre sus resultados en la tabla Table C.1. Asegúrese de que
la longitud de la muestra sea mayor que cinco veces el espaciamiento de los
bornes : 𝑙 > 5𝑠 y que la longitud 𝑙 de las muestras se tome siempre a lo largo
del mismo lado (largo) de la hoja de papel.
Para cada valor de 𝑤/𝑠 mida el voltaje para 4 valores distintos de corriente y
calcule la resistencia media 𝑅(𝑤/𝑠) con esos 4 valores. Ingrese los resultados
en la tablaTable C.1.
3.0pt
C.2
Calcule 𝑓(𝑤/𝑠) para cada una de las mediciones.
0.2pt
Parte D. Factor de corrección geométrica: ley de escala (1.9 puntos)
Hemos visto en la parte C que la resistividad medida se escala con el radio del ancho y la distancia en-
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Q1-7
tre bornes 𝑤/𝑠. Comenzando con los datos adquiridos en la parte C elegimos the la siguiente función
genérica para describir los datos en el rango de las mediciones.
Generic fit function:
𝑤 𝑏
𝑓(𝑤/𝑠) = 1.0 + 𝑎 ⋅ ( )
𝑠
(6)
Note que para valores grandes de 𝑤/𝑠, 𝑓(𝑤/𝑠) debe ser 1.0.
D.1
Para ajustar una curva modelo usando la Ecuación 6 y los datos de𝑓(𝑤/𝑠) obtenidos en la parte C, escoja el papel para gráficas más adecuado (Graph E.1a
si la relación es lineal, Graph E.1b si es semi-logarítmica, o Graph E1.c si es
doble-logarítmica) para graficar los datos.
1.0pt
D.2
Deduzca los parámetros a y b de su línea de ajuste.
0.9pt
Q1-8
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Parte E. La placa de silicio y el método de van der Pauw (3.4 puntos)
En la industria de semiconductores es de gran importancia conocer la resistencia eléctrica laminar de
semiconductores y láminas delgadas de metal porque determina las propiedades de los dispositivos. En
lo que sigue usted trabajará con la lámina de silicio. La lámina semiconductora está rcubierta con una
capa fina de cromo (en el lado brillante).
E.1
Use el mismo arreglo 4PP de antes para medir el voltaje 𝑉 como función de la
corriente 𝐼.
Anote el número de referencia de su lámina en la Hoja de respuestas. Este número se encuentra en el contenedor plático de láminas.
0.4pt
E.2
Grafique los datos en el gráfico Graph E.2 y determine la resistencia 𝑅4PP .
0.4pt
E.3
Para determinar la corrección para una muestra circular como la lámina, aproximaremos el ancho 𝑤 de la muestra al valor de su diámetro 𝐷 = 100 mm. Bajo
esa suposición, calcule el radio 𝑤/𝑠. Use la función de ajuste de la Ecuación 6
y sus parámetros 𝑎 y 𝑏 para determinar el factor de corrección 𝑓(𝑤/𝑠) para la
medición de la lámina.
0.2pt
E.4
Calcule la resistividad laminar 𝜌□ (4𝑃 𝑃 ) de la capa de cromo usando la Ecuación
4.
0.1pt
Para medir la resistividad laminar con precisión sin necesidad de correcciones geométricas, el ingeniero
L.J. van der Pauw de la compañía Philips desarrolló un esquema simple de mediciones: Las cuatro puntas
son colocadas en la circunferencia de una muestra de forma arbitraria, tal y como se muestra en la
figura (numeradas de la 1 a la 4). La corriente fluye a través de dos puntas adyacentes: entre la 1 y la
2, por ejemplo, en cuyo caso el voltaje es medido entre las puntas 3 y 4. Esto da un valor de resistencia
𝑅𝐼,𝑉 = 𝑅21,34 .
I21
+
Battery _
1
2
Sample
3
4
V34
Por razones de simetría, 𝑅21,34 = 𝑅34,21 y 𝑅14,23 = 𝑅23,14 . Van der Pauw demostró que para una forma de
la muestra arbitraria pero simplemente conexa (sin agujeros) de la muestra y para contactos de punta,
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Q1-9
la siguiente ecuación se cumple:
(7)
𝑒−𝜋𝑅21,34 /𝜌□ + 𝑒−𝜋𝑅14,23 /𝜌□ ≡ 1.
Figura 3: Dispositivo 4PP sobre la placa de silicio recubierta de metal. Note el corte en el lado
derecho de la placa circular. Este corte es llamado corte plano.
Conecte los cuatro contactos con resorte de manera tal que las puntas de medición formen un cuadrado.
Conecte dos contactos adyacentes a la fuente de corriente con el amperímetro, y conecte los dos resortes
restantes con el voltímetro. Rote el cuadrado hasta que uno de sus lados sea pararelo al corte plano de
la placa.
E.5
Dibuje en un esquema la orientación de los contactos que portan corriente y la
orientación del corte plano de la placa. Mida el voltaje 𝑉 para por lo menos 6
valores distintos de la corriente 𝐼, a intervalos iguales. Introduzca los resultados
en la tabla Table E.5.
0.6pt
E.6
Repita el procedimiento disponiendo esta vez los contactos portadores de corriente perpendicularmente a los de la primera repetición. Introduzca sus resultados en la tabla Table E.6.
0.6pt
E.7
Grafique todos los datos juntos en un único gráfico Graph E.7 usando diferentes colores y/o símbolos. Determine el valor promedio ⟨𝑅⟩ a partir de las dos
curvas.
0.5pt
E.8
Reemplazando las resistencias 𝑅𝑘𝑙,𝑚𝑛 por ⟨𝑅⟩, resuelva la Ecuación 7 para 𝜌□ y
calcule la resistencia laminar 𝜌□ (vdP)de la capa de cromo.
0.4pt
E.9
Compare el resultado de la medida obtenida con el arreglo lineal (E.4) y el resultado del método de van der Pauw (E.8). Dé la diferencia de las dos mediciones
como error relativo en porcentaje.
0.1pt
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E.10
Q1-10
Las capas de cromo (Cr) tienen un grosor nominal de 8 nm. Use este valor y los
resultados finales del método de van der Pauw para calcular la resistividad del
Cr por medio de las Ecuaciones 1 y 2.
0.1pt