Download I Previo de Mecánica Cuántica

Universidad Industrial de Santander
Nombre
Profesor
Escuela de Física Previo II de Mecánica Cuántica II
Código
Ilia Mikhailov
Fecha 16.08.2012
Ry
2  n
3
; En , j  E n  2 
 
2
n
n  j 1 2 4
J  J  1  S  S  1  L  L  1
, L  S  1, L  S  ;  B  e 2me ; g  1 
;
2 J  J  1
 h / 2  1.055  1034 J  s; me  9.1  1031 kg ; a0  0.53 A; 1eV  1.6  10 19 J ; Ry  13.6eV ; En  
J  L  S; J   L  S , L  S  1,
,  J ; E  Ee  Ev  Er ; Ev     1 2  ; Er 
E  g  B BmJ ; mJ  0, 1,
2
r  r  1 2 I ;   0,1, 2,
; r  0,1, 2,
;
1. Un átomo de hidrogeno esta sumergido en un campo eléctrico   100 kV / cm homogéneo direccionado a lo largo de eje Z. 1)
Escríbase el Hamiltoniano de este sistema y explíquese ¿Por qué el campo eléctrico puede considerarse como perturbación pequeña?
(0.5pto) 2) Demuéstrese que el estado base no esta afectado campo eléctrico en la primera orden de la teoría de perturbaciones.
(0.2pto) 3) El primer estado excitado de átomo de hidrogeno es cuatro veces degenerado (¿Por qué y cuales son estos cuatro estados?).
¿En que forma se busca la solución de la ecuación de Schrödinger para estos estados en la teoría de perturbaciones para los estados
degenerados, que forma tiene la ecuación secular y en cuantos subniveles se desacopla el nivel inicial? (0.5pto) Define el valor del
desacoplamiento en eV (0.2ptos)
Solución:
2
e2
a) H  
(0.5pto)
ez ¨ e z  ea0  105  eV / cm  0.5 1010 cm  5 104 eV  1Ry 13.6eV
   ez ;
2m
r
 
b) Porque elemento matricial Vn.n  n ez n  e n z n  0 La función subintegral es un producto de un función par  n2
y otra par z
c) El primer estado excitado con la energía 0.25Ry
(0.2pto)
3.4eV es 4 veces degenerado y consiste de los estados 2s, 2px, 2py 2pz,
Bajo influencia del campo eléctrico los estados 2s, 2pz se mezclan y desacoplan, el valor de desacoplamiento es
3ea0  1..5 103 eV como lo muestra el esquema anexado
(0.7pto)
2.
En la figura se presenta esquema de molécula de hidrogeno y los valores
aproximados de los parámetros. Si las energías electronicas para el estados base y el
primer excitado son aproximadamente E1e  4eV , E2e  1eV . Calcúlese: energías
de (a) los primeros 3 niveles vibracionales (0.2pto) y b) tres primeros niveles
rotacionales (0.3pto). Presente el esquema de niveles energéticos usando los valores
calculados (0.3pto). Explíquese que forma tiene la línea de absorción y porque?
(0.2pto)
Solución:
E  Ee  Ev  Er ; Ev     1 2  ; Er  2 r  r  1 2I ;   0,1, 2, ; r  0,1, 2,
a) los primeros 3 niveles vibracionales
Ev  h  n  1 2  6.63 1034  2 1013  n  1 2  ( J )  0.08  n  1 2  (eV ); n  0,1, 2
Ev  0.04(eV ); 0.12(eV ); 0.20(eV )

I  2MR 2  2 1.6 1027 4 1011
b)
10 
r  r  1 2 I 
34

(0.2pto)
2
 5 1048 kg  m2 ;
2
r  r  1 ( J )  0.006r  r  1 (eV ); r  0,1, 2;
1047
Er  0, 0.012, 0.036 (eV )
(0.3pto)
a) El esquema de niveles energéticos usando los valores
Er 
2
(0.5pto)
3. En un dispositivo de RPE para analizar un átomo en el estado 3 D2 sometido en un campo magnético B  0.2T se observa la
resonancia. a) ¿En cuántos subniveles se desacopla este estado? (0.2pto) b) ¿Cuál es la brecha (en eV) entre subniveles? (0.6pto)
¿Cuál es la longitud de onda para que se observa la resonancia? (0.2pto)
Solución
a)
En este estado S=1, L=2, J=2 y el número de niveles es 2J+1=5
(0.2pto)
2   2  1  1 1  1  2   2  1 7
 ; g=1. Por eso
b)
coeficiente de Lande g  1 
6
2  2   2  1

  2  9.110   2 10
 3  10   2  10   1m
E  g B B  g e B 2me  7 / 6  1.6  1019  1.055  1034  0.2
c)

h res  h c   E    hc E  6.626  1034
31
9
24
( J )  1.4  105 (eV )
(0.6pto)
24
(0.2pto)
4)
Descríbase la estructura fina de las orbitas 3s y 3d de átomo de hidrogeno ¿Cuantas líneas aparecen en la estructura fina para
estas dos orbitas, cuales son sus energías y cuantas veces está degenerado cada de subniveles? (1pto)
Solución
 2 
2  3
3
  E3  E3 1 
Para órbita 3s n  3, l  0, j  1 2 E3,1 2  E3  2 
 , siendo E3   Ry 9 . Para órbita 3p
4 
3 1 2  1 2 4 

n  3, l  2, j  3 2 o j  5 2 En el primer caso el nivel E3,3 2  E3 
 3 2 
3
3

E

E
1 
 , y en el segundo
3
3


16 
22  3 2  1 2 4 

2 
 2 
3
3

E

E
1 
 ,.Cada subnivel esta degenerado 2j+1 veces, es decir el subnivel E3,1 2 dos veces,
3
3


36 
32  5 2  1 2 4 

subnivel E3,3 2 cuatro veces y subnivel E3,5 2 seis veces
(1pto)
E3,5 2  E3 
2 
5)
Considere el movimiento de 2 electrones en una placa muy delgada con el grosor L en la dirección perpendicular al plano de la
placa con alta polarizabilidad. Es adecuado en este caso el modelo de un pozo cuántico de barrera infinita y de ancho L con 2
partículas idénticas sin interacción de masa m y con espín 1 2 . Para este modelo a) Explíquese en que consiste el principio de
Pauli (0.2pto) y aplíquelo para encontrar las energías y funciones de ondas completas para; b) el estado base (¿Por qué este
estado no puede ser triplete?) (0.3pto); c) el primer estado excitado (singlete y triplete)(0.5pto) d) ¿Cuantas veces está
degenerado esto último estado y porque? (0.2pto)
Solución: a) Para una solo partícula en pozo las funciones de onda espaciales y las energías correspondientes para los estados base y
primer excitado son 1  z   2  cos  z L  ; 2  z   2  sin  2 z L  ; E1  2 2 2mL2 ; E2  4 2 2 2mL2 . Las funciones de


onda completas además incluyen como factores funciones de espín  n  z, sz   n  z    sz  ;   sz       ; n  1, 2 . Según el
,
,
principio de Pauli ningunas 2 partículas no pueden tener las mismas funciones de ondas  n  z, sz  , es decir simultáneamente las
mismas n  z  y   sz 
(0.2pto)
b) El estado base para 2 electrones sin interacción corresponde a la situación cuando ambos ocupan el primer nivel y la energía total es
1 
   s1     s2      s1     s2 
igual a 2E1  2 2 mL2 y la función de onda  0  z1 , s1z , z2 , s2 z   1  z1  1  z2 
2
Esto estado corresponde a la función simétrica espacial y antisimétrica de espín y es única (por eso singlete). El estado triplete
cuando espacial es antisimetrica es imposible ya que esta se anula
(0.3ptos)
c) El estado excitado para 2 electrones sin interacción corresponde a la situación cuando un electrón ocupa el primer nivel y el otro el
segundo con la energía total E1  E2  5 2 2 2mL2 y las funciones de onda posibles son una con la espacial simétrica (singlete y 3
con la función espacial antisimétrica (triplete:
1 
 1

singlete
 2 1  z1  2  z2   2  z1  1  z2   2     s1     s2      s1     s2  


 1 


 2     s1     s2      s1     s2  
 0  z1 , s1z , z2 , s2 z   
(0.5pto)

 1   z    z     z    z      s    s 
triplete
2 1 1 2 
1
2


 2 1 1 2 2


    s1     s2 



d) Esto último estado esta degenerado 4 veces (1 en singlete y 3 en triplete)
(0.2ptos)
6)
Un átomo tiene 2 electrones en la primera capa, ocho electrones en la segunda y tres electrones en la tercera y su configuración
es 4 P3/2 a) ¿Cuáles son valores S, L y J para este estado? (0.1pto). b) ¿Cuáles de las siguientes distribuciones capa por capa
1s 2 2s 2 2 p6 3s 2 3 p , 1s 2 2s 2 2 p6 3s3 p3d o 1s 2 2s 2 2 p6 3s3 p 2 son posibles y por qué? (0.3pto) c) ¿Cuantos electrones de valencia
tiene el átomo? (0.1pto)
Solución:
a) S=3/2, L=1 y J=3/2
(0.1pto)
b) La configuración 1s 2 2s 2 2 p6 3s 2 3 p no es posible ya que espín total para esta configuración es S=1/2. Otras dos configuraciones
son posibles, 1s 2 2s 2 2 p6 3s3 p3d y 1s 2 2s 2 2 p6 3s3 p 2 son posibles
c) Hay 3 electrones de valencia en el átomo?
(0.3pto)
(0.1pto)