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Instituto Raúl Scalabrini Ortiz
Matemática 2º año
Números Enteros:
En nuestro país tenemos un relieve montañoso al oeste y llano al este.
Esto da por resultado una pendiente general del terreno hacia el Océano
Atlántico. Pero la tierra se extiende bajo las aguas en una extensa plataforma
continental que ocupa más de un tercio de los fondos continentales.
Las dos magnitudes extremas son el cerro Aconcagua, de 6959 m , y la
Fosa de las Islas Sándwich, de 8259m. Entre ambos se encuentra el nivel del
mar, punto de partida de las mediciones de altitud y profundidad.
Para poder representar los distintos niveles de la tierra en nuestro país, en
la recta numérica, fue necesario usar los números enteros negativos, para poder
distinguirlos de los naturales.
En esta situación aparecen los números enteros negativos: - 25, -3, etc.
En la recta numérica los números negativos se ubican a la izquierda del 0.
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
se les coloca un signo menos delante del número para distinguirlos de los
números naturales, que son los enteros positivos.
Si nos fijamos en esa recta veremos que por ejemplo el 3 y el –3 están a
igual distancia del 0, diremos que son simétricos respectos de este, y en este
caso:
-3 es el opuesto de 3 y 3 es el opuesto de –3
A partir de todo esto diremos:
El conjunto de los números naturales es N = {1, 2, 3, .........}
El conjunto de los números enteros es Z = {....., -3, -2, -1, 0, 1, 2, ..........}
Z = N ∪ {0} ∪ {.......,-5, -4, -3, -2, -1}
Todos los números naturales son enteros : N ⊂ Z
El 0 es un número entero; no es positivo ni negativo.
Los números naturales son los enteros positivos
Los opuestos de los números naturales, son los enteros negativos.
Resolver los siguientes ejercicios:
(1) Ubicá en la recta numérica los siguientes números enteros, y sus opuestos
con otro color: 1, -2, 0, -4, -5, -7, 10.
(2) Escribí el número entero que corresponde a cada punto marcado:
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Comparación y Orden:
El termómetro marca -3ºC a la tarde y –7ºC a la noche, la temperatura, ¿bajó o
subió?
Ubiquemos esos valores en la recta numérica:
Un número entero a es menor que otro número entero b si a está a la
izquierda de b en la recta numérica.
Un número entero r es mayor que otro entero s si r está a la derecha de s
en la recta numérica.
Todos los enteros negativos son menores que 0.
Todos los enteros positivos son mayores que 0.
Resolvé los ejercicios
(1) a (5)
Valor absoluto:
En la recta numérica
1 y – 1 están a igual distancia del 0
3 y – 3 están a igual distancia del 0
La distancia de un número entero “a” al 0 es el valor absoluto de a y se indica | a |
Ejemplo: el valor absoluto de –2 es 2 :
el valor absoluto de 2 es 2 :
|2| =2
el valor absoluto de 0 es 0 :
|0| =0
| -2 | = 2
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Operaciones con números enteros:
Cuando operemos con números enteros, conviene escribir los números entre
paréntesis. Por ejemplo si a 5 le sumamos -3, debemos indicarlo:
5 + (-3)
Suma y Resta de números enteros:
La suma y la resta de dos números enteros tiene 8 posibilidades:
(+9) + (+6)
Suma de dos enteros positivos
(+9) - (+6)
Resta de dos enteros positivos
(+9) + (-6)
Suma de dos enteros de distinto signo
(-9) + (+6)
(+9) - (-6)
Resta de dos enteros de distinto signo
(-9) - (+6)
(-9) + (-6)
Suma de dos enteros negativos
(-9) - (-6)
Resta de dos enteros negativos
Regla práctica para sumar y restar números enteros:
Eliminar los paréntesis y luego operar.
Para eliminar un paréntesis hay que tener en cuenta el signo que lo precede:
1- si el signo que lo precede es +, el signo del o de los números encerrados
entre paréntesis no cambia.
(+9) + (+6) = 9 + 6 = + 15
(- 9) + (+6) = - 9 + 6 = - 3
(+9) + (- 6) = 9 - 6 = + 3
(- 9) + (- 6) = - 9 - 6 = - 15
2- Si el signo que lo precede es -, el signo del o de los números encerrados
entre paréntesis cambia.
(+9) - (+6) = 9 - 6 = + 3
(- 9) - (+6) = - 9 - 6 = - 15
(+9) - (- 6) = 9 + 6 = + 15
(- 9) - (- 6) = - 9 + 6 = - 3
Propiedades:
La suma de números enteros es conmutativa: a + b = b + a
La suma de un número y 0 es el mismo número a + 0 = 0 + a
La suma de un número y su opuesto es 0
La resta es sumar el opuesto
a + ( - a) = 0
a - b = a + (- b)
Suma algebraica:
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Se denomina así a una sucesión de sumas y restas:
9–5 +4–8+3+4–1=
Se agrupa todos los que suman y todos los que restan:
= ( 9 + 4 + 3 + 4) - ( 5 + 8 + 1) =
se resuelven los paréntesis:
= 20 – 14 = 6
Resolvé los ejercicios
(6) a (11)
Suprimir paréntesis, corchetes y llaves y resolver las sumas algebraicas:
(Recuerda la regla práctica para sumar y restar números
enteros)
La repasamos:
Todo paréntesis, corchete o llave precedido por el signo + puede
suprimirse conservando los signos de los términos que encierran.
Todo paréntesis, corchete o llave precedido por el signo - puede
suprimirse cambiando los signos de los términos que encierran.
Se suprime primero los paréntesis, luego los corchetes y luego las llaves.
Ejemplo:
1 - 7 - [ - 12 + ( - 2 + 1 ) + 1] =
Primero suprimimos el paréntesis. Como está precedido de un signo + los
números conservan su signo:
= 1 - 7 - [ - 12 – 2 + 1 + 1 ] =
Ahora suprimimos los corchetes. Como está precedido por un signo menos
cambiamos todos los signos de los términos que están dentro:
= 1 - 7 + 12 + 2 - 1 - 1 =
Ahora podemos resolver la suma algebraica:
= ( 1 + 12 + 2) - ( 7 + 1 + 1) = 15 - 9 = 6
Resolvé el ejercicio (12)
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Multiplicación y División de números enteros:
Para multiplicar y dividir números enteros hay que tener en cuenta los signos de
cada uno de los factores y aplicar la regla de los signos:
+
+
-
.
.
.
.
+=+:
- =+:
+= -:
- = -:
+=+
- = += - =+
Para multiplicar o dividir más de dos números enteros, se deben aplicar las reglas
anteriores y resolver las operaciones de izquierda a derecha.
Ejemplos:
(+ 4) . ( - 2) . ( - 8) =
( - 8 ) . ( - 8 ) = + 64
( -32) : (+ 4) : ( - 2) =
(- 8 ) : ( - 2) = + 4
( - 6 ) . ( - 4) : ( - 3) =
( + 24) : ( - 3) = - 8
( + 30) : ( - 6) . ( + 2) =
(- 5) . (+ 2 ) = - 10
Algunas propiedades para recordar:
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Todo número multiplicado por 0 da por resultado 0.
Todo número multiplicado o dividido por 1 da por resultado el mismo
número.
Todo número multiplicado o dividido por - 1 da por resultado el opuesto
del número.
El cociente entre dos números iguales siempre es 1.
El cociente entre dos números opuestos siempre es –1.
Resolvé el ejercicio (13)
Propiedad distributiva de la multiplicación y la división:
La multiplicación es distributiva respecto de la suma y de la resta.
(7 + 4) . 2 = 7 . 2 + 4 . 2
11 . 2 = 14 + 8
22 = 22
2 . ( 7 + 4) = 2 . 7 + 2 . 4
2 . 11 = 14 + 8
22 = 22
(7 - 4) . 2 = 7 . 2 - 4 . 2
3 . 2 = 14 - 8
6=6
2 . ( 7 - 4) = 2 . 7 - 2 . 4
2 . 3 = 14 - 8
6=6
La propiedad distributiva de la división respecto de la suma y de la resta se
cumple sólo a la derecha.
(35 + 15) : 5 = 35 : 5 + 15 : 5
(35 - 15) : 5 = 35 : 5 - 15 : 5
50 : 5 = 7 + 3
20 : 5 = 7 – 3
10 = 10
4=4
La propiedad se cumple.
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20 : (5 + 5) ≠ 20 : 5 + 20 : 5
40 : (10 – 2) ≠ 40 : 10 – 40 : 2
20 : 10 ≠ 4 + 4
40 : 8 ≠ 4
2≠ 8
5 ≠
-
2
2
La propiedad no se cumple.
Revolver aplicando propiedad distributiva:
1) ( 6 + 5) . 2 =
2) (-7) . (3 – 5) =
3) (21 + 6) : 3 =
4) (42 – 12) : (-6) =
Operaciones combinadas:
Para resolver un cálculo combinado debe respetarse el orden de resolución de las
operaciones.
1) los signos + y – separan los términos.
2) Deben resolverse las multiplicaciones y divisiones
3) Deben resolverse las sumas y restas.
4) Hay situaciones en las que se debe alterar el orden de resolución y para
ello se colocan paréntesis, corchetes y llaves.
Resolvé los ejercicios
(14) y (15)
POTENCIA DE NÚMEROS ENTEROS:
La potenciación es una forma abreviada de escribir una multiplicación de n
factores.
3 x 3 = 32 = 9
2 x 2 x 2 = 23 = 8
Lo visto en potenciación para Números Naturales, se sigue cumpliendo para los
Números Enteros, pero ahora además se puede presentar la posibilidad de que la
base sea positiva o negativa.
1- Si la base es positiva, es un número natural y ya vimos que el resultado es
siempre positivo.
2- Si la base es negativa, debemos analizar las posibles soluciones, según
que su exponente sea par o impar
(-2)2 = (-2) . (-2) = +4
(-2)3 = (-2) . (-2) . (-2) = -8
Entonces en este caso podremos decir que:
Si el exponente es un número par, el resultado de la potencia es un
número positivo.
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Si el exponente es un número impar, el resultado de la potencia es
negativo. Es decir que si el exponente es impar, el resultado queda con el
mismo signo que la base.
Analicemos estos ejemplos y decir si son verdaderos o falsos:
(-5)2 = - 52
(-3)4 = - 34
(- 4)3 = - 43
(-2)5 = - 25
(- a)n ≠ - an
si n es par
Como conclusión podremos decir que (- a)n ≠ - an si n es par.
Propiedades de la Potenciación:
am . an = an+m
El producto de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma
base, cuyo exponente es la suma de los exponentes dados.
am : an = am-n
El cociente de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma
base, cuyo exponente es la resta de los exponentes dados.
(am) n = an.m
La potencia de una potencia es otra potencia de la misma base, cuyo
exponente es igual al producto de los exponentes dados.
(a . b)n = an .bm
La potencia es distributiva respecto de la multiplicación y la división.
La potencia no es distributiva respecto de la suma y la resta.
(a + b)n ≠ an + bn
Resolvé los ejercicios
(16) a (18)
RADICACION DE NUMEROS ENTEROS:
Cuando el índice de una raíz es par tiene dos soluciones posibles:
36 = 6 porque 62 = 36
36 = −6 porque (-6)2 = 36
Pero generalmente para las raíces de índice par sólo se considera el resultado
positivo.
Como ahora estamos viendo la RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS, este
puede ser POSITIVO o NEGATIVO.
1- Si la base es un número positivo, es un número natural, y el resultado será
el número que verifique la definición de la operación. 64 = 8
4
3
125 = 5
16 = 2
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2- Si es negativo debemos hallar la posibilidad o imposibilidad de hallar el
resultado
3
− 8 = −2 porque (-2)3 = -8
−4
y
4
3
− 27 = −3 porque (-3)3 = -27
Las raíces de
índice par y
base negativa
no tienen
solución en el
conjunto de los
números
enteros
− 16 son raíces de base negativa e índice par y no tienen
solución, ya que ningún número entero elevado a un exponente par da por
resultado un número negativo.
Propiedades de la radicación:
Si dos raíces de igual índice son iguales, entonces sus bases son iguales.
3
27 = 3 33 ⇒ 27 = 33
La raíz de una raíz es otra raíz de la misma base cuyo índice es el
producto de los índices dados.
81 = 4 81 = 3
La radicación es distributiva respecto de la multiplicación y la división.
1000 : 125 = 3 1000 : 3 125
4 x9 = 4 x 9
36 = 2 x3
6=6
8 = 10 : 5
2=2
3
La radicación no es distributiva respecto de la suma y la resta.
36 + 64 ≠ 36 + 64
25 − 16 ≠ 25 − 16
100 ≠ 6 + 8
9 ≠ 5−4
10 ≠ 14
3 ≠1
Resolvé los ejercicios
(19) a (21)
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Ecuaciones con Números Enteros:
Una ecuación es una igualdad en la que hay, por lo menos, un dato desconocido,
es decir una incógnita.
2x+7=9
x : incógnita
Resolver una ecuación significa encontrar el o los valores de la incógnita que
hacen verdadera la igualdad.
En toda ecuación se distinguen dos miembros en la igualdad:
2 x + 7 + x – 1 = 12 – x + 2
Primer miembro
de la igualdad
Segundo miembro
de la igualdad
En cada uno de los miembros de una ecuación puede o no haber términos
semejantes, por ejemplo “2 x” y “x” son semejantes, así como “7” y “- 1”.
Si los hay se opera entre ellos:
En el primer miembro: 2 x + 7 +x - 1 = 3 x + 6
Son semejantes
En el segundo miembro: 12 - x + 2 = 14 – x
Son semejantes
La ecuación queda reducida de la siguiente manera:
3 x + 6 = 14 – x
Ahora si observamos los términos de la ecuación ya no son semejantes, por lo
que no puedo operar entre ellos; entonces debemos agrupar los términos
semejantes por lo tanto deberé hacer pasaje de términos para poder agruparlos y
luego resolver:
3 x + 6 = 14 – x
3 x + x = 14 – 6
4x=8
x = 8: 4
x=2
Una vez encontrado el valor para la incógnita debe verificarlo.
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Verificar una ecuación es reemplazar el valor obtenido en la misma y comprobar
que haga cierta la igualdad.
2 . (2) + 7 + (2) – 1 = 12 – (2) + 2
4 + 7 + 2 – 1= 12 – 2 + 2
12 = 12
Pasos a seguir para resolver una ecuación:
1. Separar en términos
2. Operar en cada miembro (siempre que sea posible entre los términos
semejantes)
3. Agrupar en el mismo miembro todos los términos semejantes.
4. Operar en cada miembro.
5. Despejar la incógnita.
6. Obtener el valor de la incógnita.
7. Verificar que el resultado obtenido haga cierta la igualdad.
Resolvé los ejercicios (22)
a (26) de las ecuaciones
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