1
Download Propedéutico de Matemática - URL
Document related concepts
Transcript
GUÍA DE ESTUDIO SEMIPRESENCIAL
Propedéutico de
Matemática
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales
Ingra. Claudia Elizabeth Chapas
Guía de estudio semipresencial
Propedeútico de Matemática
Editor
© 2012 Departamento de Procesos Académicos, Dirección
Académica para Campus y Sedes Regionales, Vicerrectoría
Académica.
© 2012 Universidad Rafael Landívar, Guatemala, Guatemala, C. A.
Compiladora
Claudia Elizabeth Chapas
Reservados todos los derechos por el editor, de conformidad con la ley. Este material no puede
ser reproducido total o parcialmente, por ningún medio mecánico o electrónico, sin expreso
consentimiento del editor.
ISBN
978-9929-575-20-2
Producción
© 2012 Departamento de Procesos Académicos y Facultad de
Ciencias Económicas y Empresariales de la Universidad Rafael
Landívar (Edición preliminar en proceso de validación)
Dirección
Juan Carlos Leonardo Barillas
Coordinación de Producción
Leslie Quiñónez de Clayton
Coordinación de Edición
Amparo Valenzuela Pineda - Jennifer Luther de León
Editora
Amparo Valenzuela Pineda
Los contenidos de este material se publican con la debida autorización de Facultad.
PRESENTACIÓN
Estimado Estudiante:
La presente guía de estudio ha sido elaborada por un profesional
especialista en la materia, pensando en usted y fundamentalmente para
apoyar su proceso de formación en la carrera universitaria que ha elegido.
El éxito en sus estudios requiere de dedicación, esfuerzo y constancia, los
cuales se generan por medio del trabajo en el aula y el desarrollo de otras
actividades fuera de ella.
En este sentido, tiene en sus manos una
herramienta de apoyo didáctico para la organización y retroalimentación
de los contenidos del curso.
La guía del curso Propedéutico de Matemática elaborada por la
Ingeniera Claudia Elizabeth Chapas, está diseñada a partir de los
contenidos que se desarrollarán en el curso y
plantea actividades de
reflexión, análisis y ejercitación, con el fin de afianzar y ampliar los
conocimientos obtenidos.
Es por ello que le motivamos a realizar con mucho entusiasmo cada una
de las actividades diseñadas, lo redundará en un mejor desempeño
académico.
M.A. Rosemary Méndez de Herrera
Directora
Departamento Sedes Regionales
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales
-1-
Propedéutico de Matemática
INTRODUCCIÓN
La presente guía de estudio tiene como objetivo principal reforzar el
trabajo práctico, analítico y autodidacta, para el curso de Propedéutico de
Matemática de la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de esta
Universidad.
Como puede observarse en la metodología que se utiliza en el desarrollo
de cada una de las unidades del curso, el énfasis es lograr que el estudiante
investigue, estudie, analice cada uno de los temas. Se empieza cada sección
con una
lectura previa de conocimiento general y ejercicios prácticos que
deberán realizar con la ayuda del libro de texto o textos recomendados.
Al final de cada hoja de trabajo se colocan las respuestas de algunos
ejercicios seleccionados para que el estudiante pueda verificar que
sus
procedimientos son correctos.
Esta propuesta es una guía no sólo para uso del alumno, sino también,
para el profesor para que pueda desarrollar el curso de forma eficiente. Su
presencia en la modalidad a distancia es estratégica, pero se pretende lograr,
que también sea para la educación presencial
un instrumento que pueda
colaborar a mejorar notoriamente los resultados de aprendizaje.
-2-
Propedéutico de Matemática
PROGRAMA DE PROPEDEUTICO DE MATEMÁTICA
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Información general
Nombre del curso: Propedéutico de Matemática
Ciclo académico: Primer ciclo 2008
Prerrequisito: ninguno
Créditos: 4
Objetivo General:
Que el estudiante adquiera los conocimientos de la aritmética y el
álgebra
que le permitan cursar eficientemente las asignaturas del área de
Matemática de su pensum.
CONTENIDO
1. ARITMÉTICA
1.1
Breve introducción al conjunto de los números enteros.
1.2
Números racionales
Definición de número racional.
Suma, diferencia, producto y cociente, incluyendo sus propiedades.
Transformación de una fracción a un denominador dado.
Simplificación de una fracción.
-3-
Propedéutico de Matemática
2. ÁLGEBRA
2.1
Los números reales
Los números irracionales: definición y ejemplos.
La recta numérica y los números reales.
La relación de orden.
Intervalos.
Valor absoluto.
2.2
Expresiones algebraicas
Término algebraico.
Simplificación de términos semejantes.
Signos de agrupación y jerarquía de las operaciones.
Suma y diferencia de expresiones algebraicas.
2.3
Exponentes y radicales
Exponentes enteros.
Leyes de los exponentes.
Exponentes fraccionarios y radicales.
Leyes de los radicales.
Racionalización de expresiones que contienen raíces cuadradas.
2.4
Productos y expresiones racionales
Productos notables.
Factorización.
División de polinomios.
Definición de expresión racional.
Simplificación de expresiones racionales.
-4-
Propedéutico de Matemática
3.
ECUACIONES
3.1
Definición de ecuación.
3.2
Conjunto referencial. Condición. Conjunto Solución.
3.3
Ecuación lineal. Problemas cuyo planteamiento conduce a una
ecuación lineal.
3.4
Cálculo de porcentajes.
3.5
Ecuación cuadrática. Fórmula general cuadrática. Métodos de
resolución.
3.6
4.
Problemas cuyo planteamiento conduce a una ecuación cuadrática.
DESIGUALDADES
4.1
Orden y desigualdades en el conjunto de los números reales.
4.2
Intervalos. Definición. Representación gráfica y expresión por
comprensión.
4.3
Operaciones con intervalos: Unión, Intersección y Diferencia.
4.4
Desigualdades lineales de una variable.
4.5
Valor absoluto. Definición y propiedades.
4.6
Problemas cuyo planteamiento conduce a una desigualdad.
4.7
Desigualdades cuadráticas en una variable.
-5-
Propedéutico de Matemática
CRONOGRAMA DEL DESARROLLO DE LA GUÍA DE ESTUDIO
NUMERO DE SEMANAS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
PRIMERA UNIDAD
SEGUNDA UNIDAD
TERCERA UNIDAD
CUARTA UNIDAD
BIBLIOGRAFÍA
La bibliografía presentada a continuación tiene como objetivo ser una guía de
consulta donde los estudiantes puedan investigar y profundizar sobre los
temas del curso.
•
Arya - Jagdish. (1993). Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la
Economía. Tercera Edición. Editorial Prentice Hall. Hispanoamérica, S.A.
•
(TEXTO) Echeverría, Ortiz y Rodríguez. (2005). Temas de Matemática
Preuniversitaria. Segunda Edición. URL - Guatemala.
•
Haeussler,
Ernest
F.
(2003).
Matemáticas
para
Administración,
Economía, Ciencias Sociales y de la Vida. Traducción al español de la
décima edición en inglés. Prentice Hall Hispanoamericana S.A.
•
Miller, Charles. (1999). Matemática: Razonamiento y Aplicaciones. Octava
Edición. Editorial Pearson.
•
Sandoval, Dennisse de. (1994). Matemática I. Primera Edición. PROFASR,
URL. Guatemala.
•
Spiegel. (1991). Algebra Superior. Serie de compendios Schaum. Editorial
Mc- Graw Hill.
-6-
Estimado Estudiante
Lea las siguientes orientaciones que le ayudarán a obtener un mejor aprovechamiento
del curso.
Antes de iniciar cada Módulo…
Dentro de la corriente constructivista se hace énfasis en que, para lograr el aprendizaje
significativo, se debe partir de los aprendizajes previos –presaberes- del estudiante. Inicie
usted su nueva unidad verificando qué sabe de ella, qué actitudes manejará respecto del
contenido y qué habilidades y destrezas ya posee. Esto contribuirá, indudablemente, a
lograr un mejor nivel de aprendizaje.
Antes de realizar cada Actividad…
Para la realización de estas actividades es necesario combinar el trabajo en grupo e
individual. De acuerdo al constructivismo social de Vygotsky, es preferible iniciar el trabajo
en grupo –aprendizaje cooperativo-, y, luego, pasar a las actividades individuales. Su
docente organizará grupos (de 3-5 estudiantes) para que realicen las actividades grupales
y, luego de la puesta en común de las respuestas, trabajarán individualmente las
actividades.
Antes de realizar cada Autoevaluación…
La Autoevaluación es una fase indispensable en todo proceso de aprendizaje, y con mayor
razón en este curso. Las preguntas que usted conteste le permitirán analizar qué tanto ha
asimilado de los principales temas y en cuáles necesita reforzar.
Al finalizar el estudio de esta Guía ingrese al portal de la Universidad Rafael
Landívar y realice la evaluación que se le solicita de este material.
Propedéutico de Matemática
”El
mundo es en todas sus partes, una Aritmética en su
desarrollo y una Geometría realizada en su reposo”. (BordasDesmoulin).
I. PRIMERA UNIDAD
Objetivo:
Al finalizar la unidad de Aritmética el estudiante estará en capacidad de:
•
Diferenciar números irracionales de racionales y enteros
•
Operar eficientemente números racionales.
1. ARITMÉTICA
1.1.
Breve introducción al conjunto de los números enteros.
1.2.
Números racionales
Definición de número racional.
Suma, diferencia, producto y cociente, incluyendo sus propiedades.
Transformación de una fracción a un denominador dado.
Simplificación de una fracción.
-7-
Propedéutico de Matemática
PRIMERA SEMANA
¿Qué es la Aritmética y cuál es su historia?
En la prehistoria, la aritmética se limita al uso de números enteros,
encontrados inscritos en objetos que indican una clara concepción de la suma y
resta; el más conocido es el hueso Ishango de África central, que se data entre
18000 y 20000 a. C.
Hay evidencias de que los babilonios tenían sólidos conocimientos de casi
todos los aspectos de la aritmética elemental en 1800 a. C., aunque los
historiadores sólo pueden especular sobre los métodos utilizados para generar
los resultados aritméticos - tal y como se muestra, por ejemplo, en la tablilla
de arcilla Plimpton 322, que parece ser una lista de Pitágoras triples, pero sin
mostrar cómo se haya generado la lista. Del mismo modo, el egipcio Papiro de
Ahmes (que data de ca. 1650 a. C., aunque es una copia de un antiguo texto de
ca. 1850 a. C.) muestra sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, utilizando
un sistema de fracciones.
Nicomachus de Gerasa (ca. 60 - 120 a. C.) resume la filosofía de
Pitágoras enfocada a los números, y sus relaciones, en su Introducción a la
Aritmética. En esa época, las operaciones aritméticas básicas eran muy
complicadas, hasta que comenzó a utilizarse el método conocido como "Método
de los indios" (en latín "Modus Indorum") que se convirtió en la aritmética que
hoy conocemos. La aritmética india era mucho más simple que la aritmética
griega, debido a la simplicidad del sistema numérico indio que, además poseía el
-8-
Propedéutico de Matemática
cero y una notación con valor numérico posicional. En el siglo VII, el obispo sirio
Severo Sebhokt menciona este método con admiración, indicando no obstante
que el método indio iba más allá de esa descripción. Los árabes aprendieron ese
nuevo método y lo llamaron hesab. Fibonacci (también conocido como Leonardo
de Pisa) presenta el "Método de los indios" en Europa en 1202; en su tratado
Liber Abaci, Fibonacci dice que, comparado con este nuevo método, todos los
demás habían sido erróneos. En la Edad Media, la aritmética es una de las siete
artes liberales enseñada en las universidades.
Los modernos algoritmos de cálculo fueron posibles gracias a la
introducción de los números árabes y la notación decimal posicional. Los
números árabes, basados en la aritmética, fueron desarrollados por los grandes
matemáticos indios Aryabhatta, Brahmagupta y Bhaskara I. Aryabhatta ideó la
notación posicional, dando diferente valor a un número dependiendo del lugar
ocupado, y Brahmagupta añadido el cero al sistema numérico indio.
Brahmagupta desarrolló la moderna suma, resta, multiplicación y división,
basadas en los números arábigos. A pesar de que ahora se considera elemental,
su sencillez es la culminación de miles de años de desarrollo matemático. Por el
contrario, el antiguo matemático Arquímedes dedicó todo un tratado para la
elaboración de una notación con determinados números. El florecimiento del
álgebra en el mundo medieval islámico y en el renacimiento europeo fue fruto
de la enorme simplificación de las operaciones mediante la notación decimal
posicional.
-9-
Propedéutico de Matemática
La Aritmética, hoy por hoy,
es una rama de las matemáticas que se
encarga de estudiar las estructuras numéricas elementales, así como las
propiedades de las operaciones y los números en sí mismos en su concepto más
profundo, construyendo lo que se conoce como teoría de números.
Para ti es más sencillo encontrar la aritmética dentro de tu vida cuando:
vas a la tienda a comprar algo, y te ves en la necesidad de calcular por
medio de una resta, el cambio que dará el tendero.
cuando estás a punto de a abordar el servicio público y cuántas
rápidamente la cantidad de dinero necesaria para pagar el valor del
pasaje.
también cuando haces la cuenta o inventario de tus cosas.
Se piensa que la Aritmética nace con la necesidad de contar los objetos y
animales que el ser humano primitivo poseía.
Fuente: Aritmética. http://docente.ucol.mx/grios/Aritmetica.htm
Aritmética. Historia
http://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica
REFLEXIÓN:
•
Describa tres actividades diarias en donde apliques la aritmética.
•
Realice un ensayo con base en la lectura anterior.
•
Enumere tres razones del porqué es importante la aritmética en la vida
diaria.
- 10 -
Propedéutico de Matemática
SEGUNDA SEMANA
LECTURA OBLIGATORIA
Números Naturales
Número natural, es el que sirve para designar
la cantidad de elementos que tiene un cierto
conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.
Los
números
naturales
son
infinitos.
El
conjunto de todos ellos se designa por N: N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}
El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales. Los
números naturales, son usados para dos propósitos fundamentalmente: para
describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada, como se
generaliza con el concepto de ordinal, y para especificar el tamaño de un
conjunto finito, que a su vez se generaliza en el concepto de [cardinal]. En el
mundo de lo finito, estos dos conceptos son coincidentes: los ordinales finitos
son iguales a N así como los cardinales finitos. Cuando nos movemos más allá de
lo finito, ambos conceptos no son el mismo.
- 11 -
Propedéutico de Matemática
Números Enteros y su Historia
Los números históricos encontraron por primera
vez una aplicación en los balances contables. A veces
cuando la cantidad adeudada o pasivo, superaba a la
cantidad poseída o activo, se decía que el banquero
estaba en "números rojos". Esta expresión venía del hecho que lo que hoy
llamamos números negativos se representaban escritos en tinta roja así: "30"
podía representar un balance positivo de 30 sueldos, mientras que "3" escrito
con tinta roja podía representar, 3 sueldos, es decir, una deuda neta de 3
sueldos. El nombre de enteros se justifica porque estos números ya positivos o
negativos, siempre representaban idealmente una cantidad de unidades no
divididas (debidas o poseídas pero siempre cantidades indivisibles).
Tal vez por el hecho de que los números negativos podían ser
representados como naturales, aunque escritos con tinta de color diferente,
históricamente fueron rechazados como entidades "no existentes" realmente,
sino sólo como artificios contables. No fue sino hasta el siglo XVII que
tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos, aunque matemáticos
italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido
en sus trabajos acerca de solución de ecuaciones de tercer grado. Sin
embargo, la regla de los signos ya era conocida previamente por los
matemáticos de la India.
- 12 -
Propedéutico de Matemática
Número entero, es
cualquier elemento del conjunto formado por los
números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se
designa por Z: Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}
Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades
(como los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto
elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados,
los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo…).
Números racionales
En sentido amplio, se llama número racional o
fracción
común,
a
todo
número
que
puede
representarse como el cociente de dos enteros con
denominador distinto de cero –el término "racional"
alude a "ración" o parte de un todo, y no al pensamiento o actitud racional, para
no confundir este término con un atributo del pensamiento humano.
En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las
fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como
representante canónico del número racional en cuestión a la fracción
irreducible, la de términos más sencillos. Las fracciones equivalentes entre sí –
número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de
una relación de equivalencia al conjunto de números fraccionarios.
- 13 -
Propedéutico de Matemática
El número racional permite resolver ecuaciones del tipo ax = b, cuando a
y b son números enteros.
El conjunto de los racionales se denota por
, que significa quotient,
"cuociente" en varios idiomas europeos. Este conjunto de números incluye a los
números enteros y es un subconjunto de los números reales.
Los números racionales cumplen la propiedad arquimediana o de
densidad, esto es, para cualquier pareja de números racionales existe otro
número racional situado entre ellos, propiedad que no estaba presente en los
números enteros, por lo que los números racionales son densos en la recta de
los números reales.
Los números racionales son los que se pueden representar por medio de
fracciones. Los números racionales representan partes de algo que se ha
dividido en partes iguales. Por ejemplo, si cortamos una tarta en 4 trozos
iguales y nos tomamos tres trozos de la tarta nos hemos comido 3/4 de la
tarta.
Son números racionales 1/2, 3/4, 11/5, 2535/3.
Fuente: Aritmética. http://docente.ucol.mx/grios/Aritmetica.htm
Aritmética. http://personal.redestb.es/javfuetub/aritmintro.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional
- 14 -
Propedéutico de Matemática
ANÁLISIS:
•
¿Un número entero puede ser a la vez un número racional? Justifique su
respuesta.
•
Dados los siguientes conjuntos: A={ x x es mayor que1 y x ∈ N },
B= { x x es mayor que 1 }
a.
Explique la diferencia entre A y B.
b.
Liste los elementos del conjunto A.
c.
¿Puede escribir el conjunto B en forma de lista? Explique su
respuesta.
•
Dados los siguientes conjuntos: A={ x x está comprendido entre 2 y 6 y
x ∈ N }, B={ x x está comprendido entre 2 y 6 }
a.
Explique la diferencia entre A y B.
b.
Liste los elementos del conjunto A.
c.
¿Puede escribir el conjunto B en forma de lista? Explique su
respuesta.
- 15 -
Propedéutico de Matemática
TERCERA SEMANA
ACTIVIDAD FINAL
Utilizando su libro de texto realice lo que se le indica:
1.
Considere el conjunto {-3, 4,
1 5
, , 0,
2 9
2,
8 , − 1.23,
99
}.
100
Liste los elementos que son:
2.
a.
números naturales,
b.
números enteros no negativos,
c.
números enteros,
d.
números racionales,
e.
números irracionales,
f.
números reales.
Considere el conjunto {2, 4, -5.33,
9
,
2
7,
2 , -100, -7, 4.7}.
Liste los elementos que son:
a.
números enteros no negativos,
b.
números naturales,
c.
números racionales,
d.
números enteros,
e.
números irracionales,
f.
números reales.
3.
Construya un conjunto que contenga 5 números racionales entre 1 y 2
4.
Construya un conjunto que contenga 5 números racionales entre 0 y 1
- 16 -
Propedéutico de Matemática
5.
Construya un conjunto que contenga 5 números racionales entre -1 y 0
6.
Construya un conjunto que contenga cinco números racionales entre
y -1
7.
Escriba el procedimiento que usa para:
a.
Reducir una fracción a su mínima expresión.
b.
Convertir un número mixto en una fracción impropia.
c.
Multiplicar dos fracciones.
d.
Dividir dos fracciones.
e.
Sumar dos fracciones con el mismo denominador.
f.
Sumar dos fracciones con denominador diferente.
8.
Escriba el número dado como fracción:
a.
28
b.
93
c.
-42
d.
-86
e.
0
f.
1
g.
-1
h.
-17
9.
Reduzca la fracción a su mínima expresión:
a.
15
12
b.
30
28
c.
13
52
d.
27
54
e.
56
24
f.
56
21
g.
22
33
h.
0
12
- 17 -
-2
Propedéutico de Matemática
10.
Realice las operaciones indicadas y reduzca su respuesta a la mínima
expresión:
a.
2 7
⋅
3 3
b.
2 5
⋅
5 3
c.
7⋅
8
7
d.
10 ⋅ 1
e.
1 1
2 ⋅4
3 2
f.
5÷
2
3
g.
3 9
÷
5 10
h.
3 3
÷
4 4
i.
1 3
1 ÷
5 8
j.
1
1
2 ÷6
2
4
k.
1 1
+
3 3
l.
7 3
+
8 4
m.
3+
2
5
n.
1 1
2 +1
3 2
o.
1
9
+2+
5
10
p.
1
1
1
3 +1 + 2
2
7
4
q.
5 2
−
8 8
r.
5 1
−
12 4
s.
8
2
−
15 25
t.
1 3
2 −1
5 4
u.
1
1
4 −2
2
3
v.
5 1 1
+ −
6 9 3
w.
1
1 1
1 + 2 − 1 x.
3
3 5
11.
Escriba la fracción dada como decimal:
a.
1
8
12.
Encuentre el MCD de cada par de números:
a.
30 y 105
b.
4
9
b.
c.
90 y 189
- 18 -
5
11
d.
c.
1
5
1
1
1
3 +1 − 2
2
7
4
11
9
144 y 216
Propedéutico de Matemática
13.
Encuentre el mcm de cada par de números:
a.
8 y 18
b.
72 y 84
c.
63 y 90
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
A continuación encontrará respuestas sólo de
algunos
ejercicios
seleccionados para que sirva de guía y verificación en la correcta resolución de
los ejercicios de la actividad final.
1.
a.
4, 0
c.
-3, 4, 0
e.
2.
a
2, 4
c.
2, 4, -5.33,
9
, -100, -7, 4.7
2
2,
8
e.
7,
2
Incisos 3 a 6: recuerde que puede representar un número racional en
forma de fracción o en forma decimal.
8.
9.
a.
28
1
c.
− 42
42 42
=−
=
1
1
−1
e.
0 0
= , a≠0
1 a
g.
−1 1
1
=
=−
1
−1
1
a.
5
1
=1
4
4
d.
1
2
h.
0
- 19 -
f.
8
2
=2
3
3
Propedéutico de Matemática
a.
14
9
c.
8
e.
10
i.
3
1
5
k.
2
3
m.
3
q.
3
8
s.
34
75
u.
2
11.
a.
0.125
c.
0.454545…
12.
a.
15
c.
72
13.
a.
72
c.
630
10.
1
2
g
2
3
2
5
o.
3
1
10
1
6
w.
2
7
15
CUARTA SEMANA
LECTURA OBLIGATORIA
Valor Absoluto y su definición
Se llama valor absoluto de un número entero a, a un
número natural que se designa |a| y que es igual al propio
a si es positivo o cero, y a -a si es negativo. Es decir:
• Si a > 0, |a| = a; por ejemplo, |5| = 5;
• Si a < 0, |a| = -a ; por ejemplo, |-5| = -(-5) = 5.
- 20 -
Propedéutico de Matemática
El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo.
El valor absoluto de un número real es su valor después de quitarle su
eventual signo negativo. Si el número es positivo, su valor absoluto es él mismo;
mientras que si es negativo, el valor absoluto es el número opuesto.
Se nota |x| el valor absoluto de x; En las calculadoras y los ordenadores
se utilizan las letras abs.
Por ejemplo: | - 4,5 | = 4,5 (se quita su signo negativo) y | 3,14 | = 3,14
(no se modifica).
Visto como función, el valor absoluto se define distinguiendo según el
signo del número:
Su representación gráfica coincide con la recta y = - x cuando x es
negativo, y con la diagonal y = x cuando es positivo.
Cuando se está ya familiarizados con el tema de valor absoluto, se
identifican los números positivos con los naturales, es decir, que se quitan el
signo positivo y los paréntesis: (+5) vuelve a escribirse 5, y (-7) se escribe -7,
pues (+5) + (-7) y (+5) - (+7) dan el mismo resultado, que se conviene escribir 5
- 7; y la noción de valor absoluto ya no tiene la misma visibilidad.
- 21 -
Propedéutico de Matemática
La necesidad de hablar de nuevo de valor absoluto surge cuando se toca
el tema de las distancias entre puntos en una recta graduada. Esto se hace
considerando sus abscisas y observando que el valor absoluto de un número
cualquiera es naturalmente la distancia entre el punto correspondiente y el
origen: d (0, x) = |x|
Luego se calcula la distancia entre dos puntos cualesquiera de la recta
así:
_____
(dist ) AB = B − A
Fuente: Aritmética. http://docente.ucol.mx/grios/Aritmetica.htm
Aritmética. http://personal.redestb.es/javfuetub/aritmintro.htm
Valor Absoluto. http://enciclopedia.us.es/index.php/Valor_absoluto
- 22 -
Propedéutico de Matemática
ANÁLISIS
1. Calcule el valor absoluto de un número entero
2. ¿Cuál es el valor absoluto de cero?
3. ¿Qué signo tiene el valor absoluto de un número negativo? ¿Y de uno
positivo?
4. ¿El valor absoluto de un número puede ser negativo?
QUINTA SEMANA
ACTIVIDAD FINAL:
1. Determine el valor absoluto de cada expresión:
a.
5
b.
−4
c.
1.3
d.
−
7
8
d.
− 9.34
e.
0
f.
−1
g.
− −7
h.
−
2. Liste los valores de menor a mayor:
a.
-1, -2, − 3 , 4, − 5
b.
π, - π, − 3 , − − 3 , -2, − 2
c.
-32, − 7 , 15, − 4 , 4
d.
-8, -12, − 9 , − 20 , − − 18
e.
-2.1, -2, -2.4, − 2.8 , − 2.9
f.
-6.1, − 6.3 , − − 6.5 , 6.8, 6.4
- 23 -
5
9
Propedéutico de Matemática
g.
1
1
3
3
, − , -2,
, −
3
2
5
4
h.
−
5 3
5
2
, −3 , − , −
,
2 5
3
3
3. Opere y simplifique. Exprese el resultado sin símbolos de valor
absoluto:
a.
| -3-2|
b.
| -5| -| 2|
c.
| 7| +| -4|
d.
| 11+1|
e.
| 6| -| -3|
f.
| 8| +| -9|
g.
(-5)| 3-6|
h.
| -6|÷| -2|
i.
| -7| +| 4|
j.
(4)| 6-7|
k.
| 5| ÷| -2|
l.
| -1| +| -9|
m.
| 4-π|
n.
| π -4|
o.
|
1 1
− |
5 3
4. Operar y simplificar, exprese el resultado sin símbolos de valor
absoluto:
a.
c.
3 | 5-9 | +| -2 | × | -2- 4 |
b.
2+3 − −4 × 3−7
d.
− 2 − 6× 6 − 2
- 24 -
-4| -6| × | -7+3| +2| -5| × | -3|
− 2 − 3 − 4 + 3− 5
4−7 − 4−3
Propedéutico de Matemática
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
A continuación encontrará respuestas sólo de
algunos
ejercicios
seleccionados para que sirva de guía y verificación en la correcta resolución de
los ejercicios de la actividad final.
1.
2.
3.
4.
a.
5
c.
1.3
g.
-1
i.
-
a.
-5, -2, -1, 3, 4
c.
-32, -4, 4, 7, 15
e.
-2.9, -2.4, -2.1, -2, 2.8
g.
-2,
1 1 3 3
, , ,
3 2 5 4
a.
5
c.
11
e.
3
g.
-15
i.
11
k.
5
2
m.
0.8584
o.
2
15
a.
24
c.
1
2
- 25 -
e.
9.34
5
9
Propedéutico de Matemática
“Si una persona es perseverante, aunque sea dura de
entendimiento, se hará inteligente; y aunque sea débil se transformará en
fuerte.” (Leonardo Da Vinci)
II. SEGUNDA UNIDAD
Objetivo:
Al finalizar la unidad de Algebra el estudiante estará en capacidad de:
•
Reconocer, dibujar y escribir intervalos.
•
Operar y simplificar eficientemente expresiones algebraicas.
•
Operar
y
simplificar
eficientemente
expresiones
exponentes racionales.
•
Aplicar las leyes de exponentes.
•
Factorizar y dividir polinomios.
2. ÁLGEBRA
2.1
Los números reales
Los números irracionales: definición y ejemplos.
La recta numérica y los números reales.
La relación de orden.
Intervalos.
Valor absoluto.
- 26 -
que
contengan
Propedéutico de Matemática
2.2
Expresiones algebraicas
Término algebraico.
Simplificación de términos semejantes.
Signos de agrupación y jerarquía de las operaciones.
Suma y diferencia de expresiones algebraicas.
2.3
Exponentes y radicales
Exponentes enteros.
Leyes de los exponentes.
Exponentes fraccionarios y radicales.
Leyes de los radicales.
Racionalización de expresiones que contienen raíces cuadradas.
2.4
Productos y expresiones racionales
Productos notables.
Factorización.
División de polinomios.
Definición de expresión racional.
Simplificación de expresiones racionales.
- 27 -
Propedéutico de Matemática
PRIMERA SEMANA
¿Qué es el Álgebra y cuál es su Origen?
El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras,
relaciones y cantidades. Junto a la geometría, el análisis matemático, la
combinatoria y la teoría de números, el álgebra es una de las principales ramas
de la matemática.
La palabra «álgebra» deriva del tratado escrito por el matemático persa
Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala
(que significa "Compendio de cálculo por el método de completado y
balanceado"), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución
sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. Etimológicamente, la palabra
«álgebra» (también nombrado por los árabes Amucabala), proviene por lo tanto
del árabe y significa "reducción", operación de cirugía por la cual se reducen
los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de
huesos).
A diferencia de la aritmética, en donde sólo se usan los números y sus
operaciones aritméticas (como +, −, ×, ÷), en álgebra los números son
representados por símbolos (usualmente letras como: a, b, x, y), llamados
variables y números reales llamados coeficientes. Esto es útil porque:
•
Permite la formulación general de leyes de aritmética (como a + b = b +
a), y esto es el primer paso para una exploración sistemática de las
propiedades de los números reales.
- 28 -
Propedéutico de Matemática
•
Permite referirse a números "desconocidos", formular ecuaciones y el
estudio de cómo resolverlas.
•
Permite la formulación de relaciones funcionales.
Fuente: Álgebra y Álgebra elemental. http://es.wikipedia.org/wiki/Algebra
ANÁLISIS:
Después de entender cuál es el objetivo del álgebra y su estructura, con la
lectura anterior conteste lo siguiente:
1. ¿Qué es una expresión algebraica?
2. ¿Cuál es el objetivo principal del álgebra?
3. ¿Cuáles son los elementos principales de una expresión algebraica?
LECTURA OBLIGATORIA
Números reales
Los números reales son los números que se puede
escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que
necesitan una expansión decimal infinita.
- 29 -
Propedéutico de Matemática
El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros,
positivos y negativos; todas las fracciones; y todos los números irracionales -aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten. Ejemplos de números
irracionales son
2 = 1.4142135623730951 . . .
π = 3.141592653589793 . . .
e = 2.718281828459045 . . .
Es muy útil representar a los números reales como puntos en la recta
real, como mostrado aquí.
Observe que los números más mayores aparecen a la derecha: Si a < b
entonces el punto corresponde a b estará a la derecha del punto que
corresponde a.
Intervalos
Ciertos subconjuntos del conjunto de los números reales, llamados
intervalos, se encuentra frecuentemente, por lo que tenemos una notación
compacta para representarlos.
Fuente: Números reales. Intervalos.
http://www.zweigmedia.com/MundoReal/tut_alg_review/framesA_1.html
- 30 -
Propedéutico de Matemática
SEGUNDA SEMANA
ACTIVIDAD FINAL
Con la ayuda de su libro de texto resuelva lo que se le indica:
1.
Exprese el enunciado en forma de desigualdad:
a.
x es negativo
b.
h es positivo.
c.
y es no negativo
d.
s es no positivo.
e.
q es menor o igual que π
f.
d está entre 4 y 2.
g.
t no es menor que 5.
h. El negativo de z no es menor que 3.
i.
El cociente de p y q es, cuando mucho 7.
j.
El recíproco de w es, cuando menos, 9.
k.
El valor absoluto de x es mayor que 7.
l.
w es mayor que o igual a -4.
m.
c está entre
o.
El negativo de m no es menor que -2
p.
El cociente de r y s es por lo menos
q.
El recíproco de f es, cuando mucho, 14.
r.
El valor de x es menor que 4
s.
El mínimo valor que puede tomar n es 125.
1
1
y
5
3
n.
- 31 -
p no es mayor que -2.
1
5
Propedéutico de Matemática
2. Exprese cada una de las siguientes desigualdades, en forma gráfica y en
forma intervalo:
a.
-66 ≤ c ≤ -5
b.
x>0
c.
33 > t ≥ 2
d.
5≤y
3. Exprese cada uno de los siguientes intervalos en forma gráfica y en forma
de desigualdad:
a.
[-22, -10]
b.
(- ∞, 17]
c.
[44, 76 )
4. Utilice el concepto de valor absoluto para encontrar la distancia entre los
siguientes pares de números:
a.
35 y 78
b.
-19 y -49
c.
76 y -24
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
A continuación encontrará respuestas sólo de
algunos
ejercicios
seleccionados para que sirva de guía y verificación en la correcta resolución de
los ejercicios de la actividad final.
1.
a.
x<0
c.
y≥0
i.
p
≤7
q
k.
x >7
q.
1
≤ 14
f
s.
n≥125
- 32 -
e.
q≤π
g.
t≥5
m.
1
1
<c<
5
3
o.
-m≥-2
Propedéutico de Matemática
2.
a.
c.
[− 66,−5]
3.
[2,33)
a.
c.
− 22 ≤ x ≤ −10
4.
a.
43
c.
44 ≤ z < 76
100
LECTURA OBLIGATORIA
Expresión algebraica
Expresión algebraica es un conjunto de cantidades
numéricas y literales relacionadas entre sí por los signos
de las operaciones aritméticas. Las partes de una
expresión algebraica separadas por los signos + (más) o –
(menos) se llaman términos de la expresión. Término es entonces una cantidad
aislada o separada de otras por el signo + o -.
- 33 -
Propedéutico de Matemática
En un término hay que distinguir los siguientes elementos:
El factor literal, que es la letra con su exponente. En el término 6a2 el factor
literal es a2.
El coeficiente, que es el factor numérico, indica las veces que el factor
literal se repite como sumando. En el término 6a2 el coeficiente es 6.
El signo, que precede al término, que puede ser + o -.
Una expresión que contiene un término se llama monomio, si contiene dos
términos se habla de binomio, de trinomio si contiene tres términos y si
contiene más términos se habla de polinomio.
Término semejante son dos o más expresiones algebraicas que tienen la
misma variable o literal elevada al mismo exponente y coeficientes distintos.
Fuente: Propia
- 34 -
Propedéutico de Matemática
ACTIVIDAD FINAL
1.
Determine el coeficiente de cada uno de los términos que componen cada
expresión:
a.
x2 y5
b.
− a 3b7
c.
−
a
5
d.
x+ y
4
e.
-(x+3)
f.
−
3( x + 2 )
5
2.
¿Qué son los términos semejantes?
3.
a.
¿Los términos 3x y 3x2 son semejantes? Explique.
b.
¿Los términos 5xy y –xy son semejantes? Explique
c.
¿Los términos -2x3y2
d.
¿Los términos 4pn y -2np son semejantes? Explique
4.
6x2y3 son semejantes? Explique
y
Simplifique cada expresión. Si una expresión no puede simplificarse,
indíquelo:
b.
3x2+4x+5
a.
7r+3b-11x+12y
c.
5x2-3x+2x-5
e.
10.6c2-2.3c+5.9c-1.9c2
f.
7y+3x-7+4x-2y
g.
b+b2-4b+b2+3b
h.
6pq-7pq+p+q
d.
- 35 -
11a-12b-4c+5a
Propedéutico de Matemática
5.
i.
7x3y2 + 11y3x2
j.
1 d
12 + − d
6 4
k.
4.3-3.2x-2(x-2)
l.
1 1
3 x + − x + 5
2 3
m.
6n+0.6(n-3) - 5(n+0.7)
n.
4 -[6(3x+2)-x]+4
o.
3(x+y) - 4(x+y) - 3
p.
4x - [3x - (5x - 4y)]+y
q.
-2[3x - (2y - 1) - 5x]+y
s.
-{[2rs - 3(r+2s)] - 2(2r2- s)}
r.
5b - {7[2(3b-2) - (4b+9)] - 2}
t.
p2q+4pq-[-(pq+4p2q)+pq]
Escriba una expresión algebraica en cada caso:
a.
x más 32
b.
18.24 veces un número
c.
Un número disminuido en 16
d.
Dos veces t menos 9
e.
La edad de Ana, si Ana tiene dos años mas que Juan
f.
Un tercio de w
g.
El doble de la suma de b y 1
h.
Cinco tercios mas la mitad de x
i.
La edad de Ramón si Ramón es 4 años menor que Irma
j.
La edad de Juan, si Ana tiene dos años mas que Juan
- 36 -
Propedéutico de Matemática
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
A continuación encontrará respuestas sólo de
algunos
ejercicios
seleccionados para que sirva de guía y verificación en la correcta resolución de
la actividad final.
1.c.
−1
5
1. a
1
4. a
NO puede simplificarse porque no hay términos semejantes
1.e.
-1, -3
4. d. 11a-12b-4c+5a=16a-12b-4c
4. g
b+b2-4b+b2+3b=2b2
4. j
1 d
12 + − d = 2+3d-d = 2+2d
6 4
4. l
3x +
4. n
4 -[6(3x+2)-x]+4 = 4 - 18x – 12 + x + 4 = - 4 - 17x
4.p
4 x − [3 x − 5 x + 4 y ] + y = 4 x − [− 2 x + 4 y ] + y = 4 x + 2 x − 4 y + y = 6 x − 3 y
4.r
5b − {7[6b − 4 − 4b − 9] − 2} = 5b − {7[2b − 13] − 2} = 5b − {14b − 91 − 2}
3 1
9
3 1
10 8
13
− x+5 = x+ − x+
= x+
2 3
3
2 3
2 3
2
5b − {14b − 93} = 5b − 14b + 93 = −9b + 93
4.t
p2q+4pq - [-(pq+4p2q)+pq] = p2q+4pq - [-pq - 4p2q+pq] = p2q+4pq+4 p2q
=5p2q+4pq
5.a
x+32
5.c
Sea y el número. La expresión es y-16
5.e
Sea j la edad de Juan & a la edad de Ana: a= j+2
5.h
5 1
+ x
3 2
5.j
Sea j la edad de Juan & a la edad de Ana:
- 37 -
j=a-2
Propedéutico de Matemática
TERCERA SEMANA
LECTURA OBLIGATORIA
Exponentes y sus propiedades
Si n es un entero positivo, la notación exponencial an
que se define en la tabla, representa el producto del número
real a multiplicado n veces por sí mismo. La expresión an se lee a a la enésima
potencia o simplemente a a la n. El entero positivo se llama exponente y el
número real a, base.
Caso general
(n es cualquier entero
Casos especiales
positivo)
Ejemplo:
54 = 5 * 5 * 5 * 5 = 625
4
1 1 1 1 1 1 1 1
− = − − − − = =
3 3 3 3 3 9 9 81
Nota: Es importante observar que si n es un entero positivo, entonces
una expresión como 3an significa 3(an) pero no (3a)n. El número real 3 se llama
coeficiente de an en la expresión 3an.
- 38 -
Propedéutico de Matemática
Ejemplo:
− 5 * 23 = −5 * 8 = −40
Ahora ampliamos la definición de an a exponentes no positivos.
Entero cero y negativo
Definición
(a diferente de 0)
Si m y n son enteros positivos, entonces
aman =
a*a*a*
a * a * a * ...a
....
m − factores n − factores
En vista de que el número total de factores de a a la derecha es m+n,
esta expresión es igual a a m+n ; es decir,
ama n = am+ n
- 39 -
Propedéutico de Matemática
Exponentes fraccionarios
Los exponentes fraccionarios obedecen a las mismas leyes que los
exponentes
enteros.
Por
1
2
ejemplo,
1
2
4 *4 = 4
1 1
+
2 2
2
2
= 4 = 41 = 4
Otra forma de expresar esto sería:
2
*2
12
4 * 4 = 4 = 4 2 = 41 = 4
1
2
1
2
1
Advierta que el número 41/2, cuando se lo eleva al cuadrado en el ejemplo
anterior, produce el número 4 como respuesta. Recordando que la raíz
cuadrada de un número N es un número x tal que x 2= N, deducimos que 41/2 es
equivalente a
. Entonces tenemos una definición como esta: Un exponente
fraccionario de la forma l/r indica una raíz cuyo índice es r. Esto se ilustra en
los siguientes ejemplos:
- 40 -
Propedéutico de Matemática
Note que en una expresión tal como 82/3 podemos determinar primero la
raíz cúbica de 8 o elevar primero 8 al cuadrado, según se muestra en el
siguiente ejemplo:
1
3
(8 ) 2 = 2 2 = 4
2
(8 )
1
3
3
=
64 = 4
Todos los números en el cálculo de 82/3 siguen siendo pequeños si se
determina antes la raíz cúbica elevando el número a la segunda potencia. Este
orden de operación es particularmente deseable al calcular un número como
645/6. Si se elevara primero 64 a la quinta potencia resultaría un número
grande. Podría requerir una cantidad grande e innecesaria de esfuerzo para
determinar la sexta raíz de 645 El resultado se obtiene fácilmente si
escribimos
5
6
1
6 5
64 = (64 ) = 25 = 32
- 41 -
Propedéutico de Matemática
Si aparece una fracción impropia en un exponente tal como 7/3 en la
expresión 27/3, es costumbre mantener la fracción en esa forma en vez de
expresarla como número mixto. En forma fraccionaria un exponente muestra
de inmediato qué potencia y qué raíz intervienen. Sin embargo, 27/3 puede
expresarse en otra forma y es factible simplificarlo cambiando la fracción
impropia a número mixto y escribiendo la parte fraccional en la forma radical,
como sigue:
7
3
2 =2
2+
1
3
2
1
3
= 2 * 2 = 43 2
Fuente: Exponentes.
http://www.nexus.uanl.mx/tic/TIC3/archivos_frontpage/TiposDeArchivos/Ex
ponentes%20y%20Radicales.htm
ANÁLISIS
2
a. ¿Por qué la regla del producto de potencias no se aplica a x y
2
3
b. ¿Por qué la regla del producto de potencias no se aplica a x + y
3
c. ¿Cuál es la diferencia entre la regla del producto de potencias y la regla
de potencia de potencias?
−2
d. ¿Es correcta la expresión x
−2
+ y − 2 = (x + y ) ? Explique su repuesta.
e. ¿Es correcta la expresión x
−1
+ y −1 =
- 42 -
1
? Explique su repuesta
x+ y
Propedéutico de Matemática
(− 2)2
f. ¿Por qué
g. ¿Por qué
3
(− 2)3
no es -2?
= −2 ?
h. Suponga que p es un número primo.
¿ p es racional o irracional?
¿Está
p en forma simplificada?
ACTIVIDAD FINAL (Exponentes y radicales)
Con la ayuda de su libro de texto resuelva los siguientes ejercicios:
1)
Encontrar cada una de las siguientes raíces:
3
1.
(-32)3/5
2.
-91/2
3.
4 2
9
4.
53/2.51/2
5.
(3)
6.
3
7.
1 4
16
8.
(32)-2/5
9.
10.
(0.09)-1/2
−8
27
5
2)
0.04
Calcule:
1.
27
−2
3
2
3
+ 5 .5
1
3
2.
4(1/2)0 +2-1 -16-1/2 .4. 30
4.
64 3 .16 4 .20
2
3.
−2
1
8 3 + 3− 2 − (10)0
9
- 43 -
5
.
( 3)
4
Propedéutico de Matemática
5.
82/3.16-3/4.20 - 82/3
7.
(0.125) 3
−2
1/2
3)
+
3
2 + 2−1
3−2 + 5(20 )
3 − 4(3) −1
8.
256 + 0.251/2 - 81/3.4-
+0.0271/3
Simplifique:
a.
4 + 36
8
12 x 4
d.
3x 2
b.
− 6 − 72
2
3
e.
16a 5
3
2a 3
9m3n 7 3mn 4
h.
3
2 3 28
i.
k.
4
8 x 4 yz 3 4 2 x 2 y 3 z 7
l.
3
n.
(r + 3)5
3
(r + 3)5
(a + 2b )4
3
(a + 2b )2
5
m.
3
o.
4)
6.
r 2s 4
rs
3
c.
500
2
3
f.
20 y 4 z 3
3 xy − 2
j.
( 2x y )
3
3
4
9 x 7 y10 3 6 x 4 y 3
6
p.
5
x4 y6
3
(xy )2
Realice las operaciones indicadas y simplifique:
a.
64 − 121
b.
63 5 − 83 5
c.
3 5 − 3 x + 4 5 + 33 x
d.
3 5 −4 y +3 x +2 y − x
e.
7 18 + 5 2 − 7 8
f.
3 45 x 3 + 5 x
4r 7 s 5 + 3r 2 r 3 s 5 − 2rs r 5 s 3
g.
h.
3
128 x9 y10 − 2 x 2 y 3 16 x3 y 7
- 44 -
2
Propedéutico de Matemática
5)
Racionalice el denominador, suponga que todas las variables son números
reales positivos:
6)
a.
3
7
b.
x6
10
c.
x
2
d.
x3
20
e.
17
q
f.
2n
18n
g.
18 x 4 y 5
2z3
h.
75 x 6 y 5
3z 3
Escriba en forma de radical:
a.
7)
ab5 / 2
b.
(9 x y )
3
2 7/4
c.
(7 x
2
+ 2 y3
)
−1 / 6
Simplifique:
a.
(a )
d.
81z1 / 4 y 3
1/ 4
9z
−1 / 3 −1 / 2
2/3
2x3 / 8
b.
4x
e.
x3 / 4 y − 2
1 / 2 2
x y
1/ 2
x5
c.
4
- 45 -
f.
x −1 / 2
250a −3 / 4b5
−2 2
2a b
2/3
Propedéutico de Matemática
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
A continuación encontrará respuestas sólo de
algunos
ejercicios
seleccionados para que sirva de guía y verificación en la correcta resolución de
los ejercicios de la actividad final.
1.
1.
−8
9.
0.2
2.
1.
16
3
3.
a.
5
4
i.
3m 2 n5 3n
p.
x 2 / 15 y 8 / 15
3.
8
27
5.
3
3.
4
5.
−
c.
f.
53 2
1
32
7.
26
5
2 y 3 z 15 xz
3x
j.
x2 y2
)
l.
3x 3 y 4 2 x 2 y
n.
7 5 + 23 x
e.
12 2
h.
e.
17q
q
f.
4.
a.
-3
c.
5.
a.
3 7
7
c.
(
7
2
7.
3
2y
2
2x
2
- 46 -
1
5
(r + 3) 6
0
2n
3
Propedéutico de Matemática
h.
5x 3 y 2
z2
6.
a.
a b5
7.
a.
a1/ 6
yz
c.
b.
1
6
2
7x + 2 y 3
(8 x )x1 / 24
e.
x
y 16
CUARTA SEMANA
Un poco de historia (Factorización y Productos Notables)
LECTURA OBLIGATORIA
La factorización ha sido un tema del cual han tratado
numerosos matemáticos importantes, haciendo un recorrido
por la historia de las matemáticas, específicamente con la
solución
de
ecuaciones
polinómicas
con
coeficientes
racionales.
La factorización es una de las herramientas más empleadas en el trabajo
matemático
para
“transformar”
una
conveniente, para resolver algún problema.
- 47 -
expresión
algebraica
de
manera
Propedéutico de Matemática
Tiene una importancia apreciable a través de la historia, es la solución de
ecuaciones algebraicas; de hecho, en un primer momento, la factorización surge
ante la necesidad de solucionar ecuaciones de segundo grado.
Los babilonios,
fueron los primeros que resolvieron, ecuaciones
cuadráticas.
En unas tablillas descifradas por Neugebaveren 1930, cuya antigüedad
es de unos 4000 años, se encontraron soluciones a varias de estas ecuaciones,
empleando el método conocido actualmente como “completar el cuadrado”.
Hace unos 4.000 años, los babilonios conocían la manera de encontrar la
solución positiva de ciertos tipos de ecuaciones cuadráticas.
El trabajo de los babilonios constituyó un logro notable, teniendo en
cuenta que no contaban con la notación moderna y por su alto nivel de
abstracción,
al
considerar
las
ecuaciones
cuárticas
como
ecuaciones
cuadráticas “disfrazadas” y resolverlas como tales.
Más adelante, matemáticos griegos, hindúes, árabes y europeos se
dedicaron al estudio de estas ecuaciones y lograron avanzar a través del
tiempo hasta encontrar la fórmula para resolver cualquier ecuación de segundo
grado, es decir, una ecuación de la forma
ax 2 + bx + c = 0 ,
donde
a, b
y
c pueden ser números cualesquiera, en cuyo desarrollo, los babilonios se
valieron de factorizaciones simples que ya conocían. Posteriormente, los
griegos y los árabes consiguieron resolver ecuaciones de segundo grado
utilizando, también, el método de completar el cuadrado con aplicación de
- 48 -
Propedéutico de Matemática
áreas; ambas civilizaciones se valieron de representaciones geométricas para
mostrar hechos algebraicos, como se evidencia en el II libro de los Elementos
de Euclides.
La fórmula que permite encontrar las soluciones de cualquier ecuación de
tercer grado (o ecuación cúbica) no se encontró sino hasta el siglo XVI en
Italia. Lo que tienen todas estas ecuaciones en especial, y que las hace ser de
tercer grado, o cúbicas, es que la incógnita aparece elevada al exponente 3, y
ese es el mayor exponente de la incógnita.
Por muchos siglos, antes del siglo XVI, los matemáticos intentaron
encontrar la fórmula que sirviera para determinar las soluciones de cualquier
ecuación cúbica, sin lograrlo.
La gran proeza matemática de descubrir la fórmula, fue realizada por el
matemático italiano Scipione del Ferro, en primer lugar, y más adelante por
Nicolo Tartaglia quien la obtuvo por su cuenta, sin conocer el trabajo de
Scipione. Sin embargo, la fórmula es conocida con el nombre de "fórmula de
Cardano", porque otro matemático llamado Girolamo Cardano, quien estudió
cuidadosamente las soluciones de Tartaglia y del Ferro, luego fue quien publicó
la fórmula por primera vez en un gran tratado sobre resolución de ecuaciones
titulado "Ars Magna".
- 49 -
Propedéutico de Matemática
Estas ecuaciones nos permiten encontrar las soluciones de las ecuaciones
polinómicas de tercer grado y por tanto factorizar en los números complejos y
en los reales, que es nuestro propósito. Es sabido que existen fórmulas
similares para polinomios de grado cuatro pero no para grado superior a éste;
es más, Abel demostró que no existen tales fórmulas para estos grados
superiores lo que nos lleva a pensar en la imposibilidad de encontrar métodos
generales para factorizar tales polinomios.
Fuente: Factorización real. Un poco de historia
http://www.uam.es/departamentos/ciencias/matematicas/premioUAM/premia
dos1/factorizaci%F3n%20real.pdf
ANÁLISIS
Falacia binomial.
Una falacia común cuando se multiplican binomios, consiste en suponer que:
( x + y )2
= x2 + y2
A continuación encontrará algunos argumentos que deberían convencerlo de que
esto no es cierto.
a.
Sea x=1, y=2
•
¿Qué es (x+y)2?
•
¿Qué es x2+y2
•
¿Es ( x + y ) = x 2 + y 2 ?
2
- 50 -
Propedéutico de Matemática
b.
c.
Sea x=2, y=1
•
¿Qué es (x-y)2?
•
¿Qué es x2-y2
•
¿Es ( x − y ) = x 2 − y 2 ?
2
Observe el cuadrado grande. Su área es de (x+y)2. El cuadrado se
divide en cuatro pequeñas áreas, designadas con las letras A, B, C
y D. ¿Cuál es el área de ….
• Cuadrado A?
x
A
B
C
D
• Rectángulo B?
• Rectángulo C?
• Cuadrado D?
y
x
d.
y
El área total del cuadrado es (x+y)2 y también es la suma de las
cuatro áreas A, B, C y D. ¿Cuál es la suma de estas cuatro áreas?
(Simplifique su respuesta)
e.
Con base en la respuesta anterior, ¿Qué puede decir acerca de
x2+2xy +y2 y (x+y)2?
f.
La suma de las áreas de los cuadrados A y D es x2+y2. ¿ Es x2+y2 =
(x+y)2?
- 51 -
Propedéutico de Matemática
ACTIVIDAD FINAL (Productos Notables)
Con la ayuda de su libro de texto resuelva en forma clara y ordenada lo
que se le indica:
1.
Clasifique las siguientes expresiones como: Monomio (M), binomio (B),
trinomio (T) o polinomio (P):
2.
a.
-5x+7
b.
8+9x3
c.
7x
d.
-3x4
e.
-2x+7x2 +9
f.
-x+x3-2x2
g.
18
h.
0
i.
9x3 -2x
4.
-7x+8x6+3x5+9
Encuentre el resultado de los productos:
a.
3.
j.
(5x3)(9x2)
b.
(-2x)(5x2)
c.
(-2y2)(-3y)
Elimine paréntesis (simplifique):
a.
3(x+y)
b.
5(2x-y)
c.
-4x(2x-3)
d.
(x2 +4x)x3
e.
(x-x2)4x
f.
(2x-3y)(-4y2)
Multiplique:
a.
(x+7)(x-3)
b.
(x-2)(x+8)
c.
(3x+4)(3x-1)
d.
(4x+3y)(3x+2y)
e.
(5x-2y)(2x-3y)
f.
((x-L)(x-3L).
- 52 -
Propedéutico de Matemática
5.
6.
7.
Expanda cada suma o diferencia de binomios:
a.
(x+1)2
b.
(2x+1)2
d.
(x-1)2
e.
(2x-1)2
g.
(6x-5y)2
h.
(2x-7y)2
c.
(3x+2y)2
f.
i.
(3x-y)2
(3x-5y)2
Calcule los siguientes productos:
a. (x + 5)(x + 3)
b. (u + v)(u2 + 2v)
c. (2x + 5)(3x – 1)
d. (u2 + 3u – 2)(u – 2)
e. (v2 - 5)(v + 2)
f. (2y2 +3y –4)(y3 + 3)
g. ( x + 1)(2x2 – 2)(x3 + 5)
h. (y – 2x)(x2 – 4y)(x3 – y)
i. (2x2 + 5y)2
j. (x – 1)2 (x + 3)2
k. (rs – 1)(r2s2 + rs + 1)
l. (2x + 5)(4x2 + 10x + 25)
Factorice los siguientes polinomios:
a. x3y2 + 2xy2 – 3x2y
b. 11r3s4t2 – 33r4s2t2 + 44r2s3t4
c. 4x2 – 1
d. 9x2y4 – 16x4y2
e. x2 – x – 6
f. 2x2 + 9x –5
g. x3 – 25x
h. r2 + 25
i. 27m3 + 8
j. x3 – 125
k.
l. 4x2 – 20x +25
x2
+ 3x + 9
4
- 53 -
Propedéutico de Matemática
8. Utilice productos notables para calcular los siguientes productos:
a. (5x + 4y)(5x – 4y)
b. (rs – 1)(r2s2 + rs +1)
c. (2x + 5)(4x2 -10x +25)
d. (x2 – 3y2 )2
e. (x - 9)(x + 4)
f. (3x + 1)(2x - 3)
g. (x2 + 5y)3
h. (2u2 – 3v)3
i. (3x + 2y)2
j. (x2 + 1)(x2 - 16)
k. (x + y + z)2
l. (x – y – z)
RESPUESTA A EJERCICIOS SELECCIONADOS
A continuación encontrará respuestas sólo de
algunos
ejercicios
seleccionados para que sirva de guía y verificación en la correcta resolución de
los ejercicios de la actividad final (Productos Notables).
1.
a.
(B)
c. (M)
e. (T)
2.
a.
45 x 5
c. 6y3
3.
a. 3x+3y
c. -8x2+12x
e. 4x2-4x3
4.
a. x2+4x-21
c. 9x2+9x-4
e. 10x2-19xy+6y2
5.
a. x2+2x+1
c. 9x2 +12xy+4y2
e. 4x2-4x+1
j. (P)
g.36x2-60xy+25y2 i. 9x2-30xy+25y2
6.
a. x2+8x+15
c. 6x2+13x-5
g. 2x6+2x5-2x4+8x3+10x2-10x-10
k. r3s3-1
- 54 -
e. v3+2v2-5v-10
i.
4x4+20x2y+25y2
Propedéutico de Matemática
7.
a. xy(x2y+2y-3x) c.
(2x+1)(2x-1)
e. (x-3)(x+2)
g. x(x+5)(x-5)
8.
2
i. (3m+2)(9m -6m+4)
x
k. + 3
2
a. 25x2 -16y2
e. x2-5x-36
2
c. 8x3+125
g. x6 + 15x4y + 75x2y2 + 125y3
i.
9x2+12xy+4y2
k. x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz
ACTIVIDAD FINAL (Factorización)
Con la ayuda de su libro de texto realice lo que se le indica a continuación:
1.
2.
Factorice:
a.
3x3-6x2 –x+2
b.
6x4-9x2+2x2-3
d.
6x3-9x2 –2x+3
e.
2 2 3
1
x − x+
5
5
5
f.
3x6-6x5+12x4+27x2
g.
7x3+14x2 –49x
h.
12x2+6xy-10xy+5y2
i.
6x+48
k.
4x2-32x3
l.
3x+7y-12x2-28xy
c.
2x3 +2x2 +3x+3
j.
-3y+21
Factorice los siguientes trinomios:
a.
x2+7x+12
b.
x2-5x+6
c.
p2+2p-80
d.
5x2-2x+2
e.
3x2-4-4x
f.
2x2-11x+5
g.
2x2-xy-6y2
h.
3x2+5x+2
i.
16x2+4x-2
j.
3x3+7x2+2x
- 55 -
Propedéutico de Matemática
3.
4.
Factorice, si es posible:
a.
x2-1
b.
9x2-16
d.
x2-6x+9
e.
9x2-24xy+16y2
f.
9x2-12x+4
g.
16x2+24xy+9y2
h.
x2+4x+4
i.
9x2+30x+25
j.
4x2-20xy+25y2
k.
9x2+4
l.
1 2 1
x −
36
49
m.
1 1 2
− x
81 4
n.
12m3-3mn2
o.
18x3-50xy2
p.
9x3+25xy2
c.
9x2-25y2
Determine si la expresión es el cuadrado de un binomio. Si así es,
factorícela:
5.
a.
x2+6x+9
b.
x2+8x+64
d.
x2+8x-64
e.
4x2-20xy+25y2
c.
x2+6x-9
Factorice por completo:
a.
8x2-16x-24
b.
5x4-10x3+20x2
c.
3x3+12x2+x+4
d.
6x2-x-35
e.
2x4+7x3-15x2
f.
27t3-64
g.
x4-81
h.
-x2-10x-25
i.
-9x2-30xy-25y2
j.
-9x2+30xy-25y2
k.
64y3+27x3
l.
-9x4+4x2
m.
-x5-x2y3
- 56 -
Propedéutico de Matemática
6.
Factorice los siguientes polinomios:
a. x3y2 + 2xy2 – 3x2y
b. 11r3s4t2 – 33r4s2t2 + 44r2s3t4
c. 4x2 – 1
d. 9x2y4 – 16x4y2
e. x2 – x – 6
f. 2x2 + 9x –5
g. x3 – 25x
h. r2 + 25
i. 27m3 + 8
j. x3 – 125
k.
l. 4x2 – 20x +25
x2
+ 3x + 9
4
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
A continuación encontrará respuestas sólo de
algunos
ejercicios
seleccionados para que sirva de guía y verificación en la correcta resolución de
los ejercicios de la actividad final (factorización).
1.
2.
a.
(x-2)(3x2-1)
c.
(x+1)(2x2+3)
e.
g.
7x(x2+2x-7)
i.
6(x+8)
k.
4x2(1-8x)
a.
(x+3)(x+4)
c.
(p+10)(p-8)
e.
(3x+2)(x-2)
g.
(2x+3y)(x-2y)
i.
2(2x+1)(4x-1)
- 57 -
1
(2 x − 1 )( x − 1 )
5
Propedéutico de Matemática
3.
e.
(3x-4y)2
no
e.
(2x-5y)2
c.
(3x2+1)(x+4)
e.
x2(x+5)(2x-3)
i.
-(3x+5y)2
a.
(x+1)(x-1)
c.
(3x-5y)(3x+5y)
g.
(4x+3y)2
i.
(3x+5)2
k.
no es factorizable
m.
1 1
1
1
x +
x
−
9
2
9
2
o.
2x(3x+5y)(3x-5y)
4.
a.
(x+3)2
c.
5.
a.
8(x-3)(x+1)
g.
(x-3)(x+3)(x2+9)
k.
(4y+3x)(16y2-12xy+9x2)
m.
-x2(x+y)(x2-xy+y2)
a.
xy(x2y+2y-3x)
e.
(x-3)(x+2)
g.
x(x+5)(x-5)
k.
x
+ 3
2
6.
c.
(2x+1)(2x-1)
i.
(3m+2)(9m2-6m+4)
2
- 58 -
Propedéutico de Matemática
QUINTA SEMANA
TAREA ESPECIAL:
Factorice completamente en forma clara y dejando constancia de su
procedimiento las siguientes expresiones algebraicas con la ayuda de su libro
te texto:
2. 25 y 2 − 4
3. 24a 3 b 2 − 30a 3 b
4. 36w 2 − 49n 4
5. 6 x 3 − 18 x 2 − 3 x
6. x 3 y − xy 3
7. 6 xy 2 − 15 x 2 y − 30 x 2 y 3
8. 64 w 2 − 81 y 6
9. x 2 − 9
10. 2 x 2 − 72
11. 1 − y 2
12. a − a 3
13. 27 y 3 − 3 y
14. x 2 − 2 x − 35
15. a 2 − 2ab + b 2
16. y 2 + 5 y − 24
17. 9a 2 + 6ab + b 2
18. a 2 − 4a + 3
19. 25 x 2 − 20 xy + 4 y 2
20. b 2 − 8b + 12
21. y 2 + 18 y + 81
22. w 2 + 7 w − 18
23. 49 w 2 − 14 w + 1
24. x 2 − 17 x − 60
25. x 2 − 5 x − 36
26. y 2 + 7 y − 30
27. x 2 + 7 x + 10
28. ab 2 − 2b 2 − 4a + 8
29. a 2 + 5a − 14
30. x 2 − y 2 − w 4
31. x 2 + 15 x + 56
32. 9ab − 21b + 6a − 14
33. m 2 + 13m + 40
34. nx 2 − ny 2
35. ma − mb + ax − bx
36. a 2 − 2ab + b 2 − x 4
37. 5ax − 5a − 3bx + 3b
38. 2mn − 4m 2 + 3n − 6m
39. 9 x 2 + 6 xy + y 2 − n 6
40. a 2 + 2ab + b 2 − y 2
41. 1 − 64a 3
43. 16 x 3 + 2
44. 8 x 3 − 27 y 3
1.
8 x 2 y − 24 x 3 y 4
- 59 -
42. 250 − 2 y 3
Propedéutico de Matemática
RESPUESTAS DE LA TAREA ESPECIAL
1.
4.
7.
(
)
2. ( y − 2)( y + 2)
− 8 x 2 y 3xy 3 − 1
(6w − 7n )(6w + 7n )
3xy (10 xy + 5 x − 2 y )
2
3. 6a 3 b(ab − 5)
(
2
)
6. xy ( x − y )( x + y )
5. 3x 2 x 2 − 6 x − 1
(
2
)(
8. 9 y 3 − 8w 9 y 3 + 8w
)
9. ( x − 3)( x + 3)
10. 2( x − 6 )( x + 6 )
11. (1 − y )(1 + y )
12. a(1 − a )(1 + a )
13. 3 y (3 y − 1)(3 y + 1)
14. ( x − 7 )( x + 5)
15. (a − b )
16. ( y − 3)( y + 8)
17. (3a + b )
19. (5 x − 2 y )
2
2
2
18. (a − 3)(a − 1)
20. (b − 6)(b − 2 )
21. ( y + 9 )
2
2
22. (w − 2)(w + 9 )
23. (7 w − 1)
25. ( x − 9)( x + 4)
26. ( y − 10)( y + 3)
27. ( x + 2 )( x + 5)
28. (b − 2 )(b + 2 )(a − 2 )
29. (a − 2 )(a + 7 )
30. x 2 − y 2 − w 4
31. ( x + 8)( x + 7 )
32. (3b + 2 )(3a − 7 )
33. (m + 8)(m + 5)
34. n( x − y )( x + y )
35. (m + x )(a − b )
(
)(
36. − x 2 − a + b x 2 + a − b
24. ( x − 20)( x + 3)
)
37. (5a − 3b )( x − 1)
)
40. − ( y − a − b )( y + a + b )
38. − (2m + 3)(2m − n )
(
)(
39. 3x + y − n 3 3x + y + n 3
(
43. 2(2 x + 1)(4 x
)
41. − (4a − 1) 16a 2 + 4a + 1
2
)
− 2x + 1
(
44. (2 x − 3 y )(4 x
42. − ( y − 5) y 2 + 5 y + 25
- 60 -
2
)
+ 6 xy + 9 y 2
)
Propedéutico de Matemática
ACTIVIDAD FINAL (División de polinomios y expresiones racionales)
1.
2.
Encuentre el resultado de las siguientes divisiones de polinomios:
a.
8x3 y
− 2 xy
b.
− 18b 7c 3
bc 2
c.
2m 2 n − 6mn
2m
d.
4 pq 3 + 8 p 2 q 2 − 16 pq 5
4 pq 2
e.
3a ( x + y )b 2 − ( x + y )
a( x + y)
f.
x 2 − 3x + 2
x−2
g.
2 x3 − 3x 2 + 8 x − 2
x2 − x + 2
h.
2x2 − 5x − 7
x +1
i.
3x 3 + 19 x 2 + 16 x − 12
3x − 2
j.
x 3 + 3 x 2 − 4 x − 12
x+2
Simplifique las siguientes expresiones:
b.
4 x 2 y + 12 xy + 18 x3 y 3
8 xy 2
c.
x+4
2
x + 9 x + 20
d.
4x2 − 9
2x2 − x − 3
e.
x3 − y 3
x2 − y2
f.
x2 + 2x − 3
x 3 + 27
a.
5 x 2 − 10 xy
25 x
- 61 -
Propedéutico de Matemática
3.
g.
x ( x − 1) + x( x − 4)
2x − 5
i.
xy − yw + xz − zw
xy + yw + xz + zw
4 − x2
x 2 − 7 x + 10
h.
Efectúe las operaciones y simplifique:
a.
5
12 x 4 y
b.
x+2
x + x−2
c.
3
1
−
x−2 2− x
d.
2x
2x
36
−
+ 2
x−3 x+3 x −9
e.
3( x − 3)
2( x + 1)
+ 2
2
x + 2 x − 8 x − 3x + 2
f.
x2 + 2
1
x
+
−
2
x − x − 2 x +1 x − 2
g.
16 x 2 5 x 2
⋅
y4 4 y2
h.
(2 x + 3) ⋅
i.
x 2 + 7 x + 12 1
⋅
x+4
x+3
j.
x − 3 2 x 2 + 10 x
⋅
x + 5 2x − 6
k.
6 x 2 − 14 x − 12
x+3
⋅ 2
6x + 4
2 x − 2 x − 12
l.
x2 − y 2
4x − 4 y
⋅
2
2
8 x − 16 xy + 8 y
x+ y
m.
8x 2 − 8 y 4
2x
⋅
2
x+ y
8 x − y2
n.
2 xz ÷
(
)
- 62 -
2
1
4 x + 10
4 xy
z
Propedéutico de Matemática
p.
2a + 2b a 2 − b 2
÷
3
a−b
q.
1
1
÷ 2
2
x − 7 x + 30 x + 7 x − 1
r.
(x
(x
s.
x 2 − 12 x + 32 x 2 − x − 12
÷
x 2 − 6 x − 16 x 2 − 5 x − 24
t.
8a 3 − 1
a −1
÷
2
4a + 2a + 1 (a − 1)2
u.
x2 y
4
2
x
x.
1 2
+
x x2
1
2+ 2
x
o.
9 y 3 xy
÷
7 z3 4z
v.
15a
b2
b3
5
y.
a +1 a −1
+
a −1 a +1
a +1 a −1
−
a −1 a +1
- 63 -
2
2
− y2 )
2
− y2 )
3
÷
x2 + y 2
x4 − y4
w.
x 1
−
4 x
x+4
1+
x
z.
1
+1
x −1
1
−1
x +1
Propedéutico de Matemática
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS
A continuación encontrará respuestas sólo de
algunos
ejercicios
seleccionados para que sirva de guía y verificación en la correcta resolución de
los ejercicios de la actividad final (División de polinomios y expresiones
racionales).
1
2.
3.
a.
-4x2
g.
2x – 1 +
i.
x2 + 7x + 10 +
a.
x − 2y
5
c.
1
x+5
g.
x
i.
x−w
x+w
a.
5
12 x 4 y
c.
g.
20 x 4
y6
m.
2x
s.
x−8
x+2
y.
a2 +1
2a
c.
nm-3n;
e.
3b 2 −
1
a
3x
, cociente: 2x-1 y residuo: 3x
x −x+2
2
8
, cociente: x2 + 7x + 10 y residuo 8
3x − 2
e.
x 2 + xy + y 2
x+ y
4
x−2
e.
5 x 2 − 2 x + 17
(x + 4)(x − 2)(x − 1)
i.
1
k.
x+3
2( x + 2)
o.
12
7 xz 2
q.
x2 + 7x −1
x 2 − 7 x + 30
u.
x3 y
8
w.
x−2
8
- 64 -
Propedéutico de Matemática
“No vayas por donde el camino te lleve. Ve en cambio
por donde no
hay camino y deja rastro”. (Ralph
Waldo Emerson).
III TERCERA UNIDAD
Objetivo:
Al finalizar la unidad de Ecuaciones el estudiante estará en capacidad de:
•
Resolver ecuaciones de grado 1 y 2.
•
Aplicar los conceptos de porcentaje y proporción a situaciones de la vida
cotidiana.
•
Plantear y resolver problemas que requieran ecuaciones lineales y
cuadráticas.
3. ECUACIONES
3.5
Definición de ecuación
3.6
Conjunto referencial. Condición. Conjunto Solución.
3.7
Ecuación lineal. Problemas cuyo planteamiento conduce a una
ecuación lineal.
3.8
Cálculo de porcentajes.
3.9
Ecuación cuadrática. Fórmula general cuadrática. Métodos de
resolución.
3.10
Problemas cuyo planteamiento conduce a una ecuación cuadrática.
- 65 -
Propedéutico de Matemática
PRIMERA SEMANA
ASPECTO HISTÓRICO DE ECUACIONES
La resolución de ecuaciones es una de las actividades matemáticas más
antiguas, y los esfuerzos para sistematizar esta actividad determinan en gran
medida el estado de las matemáticas modernas.
Considere el siguiente problema y su solución usando sólo palabras: resuelva
el problema de cuántas manzanas tiene Jim, puesto que:
“Las cinco manzanas de Bob y las manzanas de Jim suman doce” piensa
“Las manzanas de Jim son las doce manzanas menos las cinco de Bob” y luego se
concluye, “Jim tiene siete manzanas”.
Los pasos mentales traducidos en álgebra son:
5 + x = 12
x = 12 − 5
x=7
La solución de este problema usando sólo palabras es la forma de los inicios
del álgebra.
Estos problemas se resolvían exactamente de esta manera en
Babilonia en 1800 A.C. Casi no se conoce el trabajo matemático antes de esta
época, aunque la mayor parte de los estudiosos creen que la sofisticación de los
primeros libros indica que seguramente hubo un largo período de desarrollo
anterior.
El método de escribir ecuaciones son palabras persistió miles de
años y, aunque ahora parece en extremo enfadoso, se usó de manera muy
- 66 -
Propedéutico de Matemática
efectiva durante muchas generaciones de matemáticos. Los árabes crearon
una buena parte de la teoría de ecuaciones cúbicas escribiendo todas las
ecuaciones en palabras.
Alrededor de 1500 D.C.., la tendencia a abreviar
palabras en las ecuaciones escritas marcó la dirección de la notación moderna,
por ejemplo, la palabra en latín et (que significa y) se desarrolló en el álgebra
como el signo mas, +. Aunque el uso fue ocasional de letras para representar
variables data de 1200 D.C., la práctica no se generalizó hasta los años 1600
DC. En adelante, el desarrollo fue rápido, y para 1632 la notación algebraica no
difería, en esencia, de la que se usa ahora.
Fuente: Fleming, Walter y Varberg Dale. Aspecto Histórico. Pág. 93. Algebra y
Trigonometría. Séptima Edición.
ANÁLISIS
Explique:
a.
¿Qué se entiende por solución de una ecuación?
b.
¿Bajo qué condiciones se dice que dos ecuaciones son
equivalentes?
2.
Plantee una ecuación que:
a.
no tenga solución
b.
tenga solución única
c.
tenga infinitas soluciones
- 67 -
Propedéutico de Matemática
3.
¿Cuál es la diferencia entre?
a.
b.
4.
Una expresión y una ecuación.
Simplificar una expresión y resolver una ecuación.
Una ecuación lineal en la variable x es siempre equivalente a la ecuación
ax+b=0, donde a≠ 0.
¿Por qué a no debe tomar el valor cero?
5.
La simplificación de una ecuación conduce al siguiente resultado
3x=2x
Si divide ambos lados entre x, obtiene 3=2, lo que indica que la ecuación
no tiene solución. ¿Qué está equivocado en este razonamiento?
SEGUNDA SEMANA
ACTIVIDAD FINAL
Con la ayuda de su libro de texto resuelva lo que se le indica:
1. Determine si el valor dado de la variable, es solución de la ecuación. NO
RESUELVA:
a.
16x–25=55, x=5
b.
16–2x=5,
x=6
c.
6–4y=2,
y=1.5
d.
5a–2=3a+4
a=3
e.
2x–6=4–3x, x=-2
f.
(t–2)(t–4)=21,
g.
24 − r
= 3,
r
h.
2x − 8
= 2 x , x=–3
7
i.
3(2x–5)+4(3–6x)= –21, x=1
r=6
- 68 -
t=–2
Propedéutico de Matemática
2.
j.
16 − 2 x
+ 2 x = −11 , x=–10
4
k.
3.4=2c–1.4, c=2.3
l.
4.6=11.9–3a, a=2.1
m.
2
d +1 = 3,
5
n.
7
1
− 5 x = 0.2 , x=
10
10
d=10
Resuelva las ecuaciones y compruebe la solución:
a.
5+4(x+1)=3+4x
c.
x−
e.
2x+6–x+2=12
g.
− 5x +
i.
1 3
=
5 5
2
4 5
+ 6x − =
9
9 9
b.
2+3(x+1)=5x+3
d.
x−
f.
1 1
=
7 4
3x+5–2x+3=7
h.
0=4(z-3)+5-2z
2– (4x+1)=1–4x
j.
3(x+2)+3=2-(1–3x)
k.
x + 2 x −1
+
=3
4
5
l.
x+3 x−2
−
=5
2
3
m.
y y
+
=8
6 10
n.
y y
− =3
4 7
ñ.
4
y=8
5
o.
−
p.
x
= −7
2
q.
−y
= −3
4
r.
7 x x
= +
12 4 3
s.
1 x 8( x + 2)
− =
3 5
15
t.
10(x+2)=6(x+1)+18
u.
–5(x+2)= –3(x+1) –9
v.
7r + 2 1 r
+ =
6
2 4
w.
8 x − 23 1 5
+ = x
6
3 2
x.
x +1 x + 2 x + 4
+
+
= −8
2
3
4
y.
x−5 x−4 x−3
−
=
− ( x − 2)
2
3
2
- 69 -
3
y=6
4
Propedéutico de Matemática
3.
Resuelva las ecuaciones y compruebe la solución:
a.
4.
5.
6 − 2x + 5 = 0
b.
x
2
+1 =
2
3
c.
5 + 2x = 4x − 2
d.
z 2 + 2z − z = 3
e.
y + y+2 =3
f.
x − x +1 = 1
Resuelva las ecuaciones siguientes para las variables que se indican:
a.
ax+by=cz,
(A) para x
(B) para b
b.
S=
a − rl
,
1− r
(A) para r
(B) para l
c.
1 1 1
+ = ,
x y t
(A) para x
(B) para t
d.
2 3
+
= 1,
x xy
(A) para x
(B) para y
e.
I=
E
,
R + nr
(A) para R
(B) para r
Traduzca las palabras en símbolos:
a.
18 disminuido por el doble de x.
b.
La diferencia de 3a y 2b.
c.
El producto de 8 y el doble de x.
d.
La mitad de un número x más 7.
e.
El cociente de x y la suma de a y b.
f.
El cociente cuando la suma de p y q se divide entre la diferencia
de p y q
g.
El tiempo más cuatro horas.
h.
El salario de un empleado menos los impuestos.
- 70 -
Propedéutico de Matemática
i.
Cinco veces mi edad dentro de cinco años.
j.
La mitad de los empleados más veinticinco.
k.
La suma de dos enteros consecutivos.
l.
Dos terceras partes de la población de una cárcel.
m.
El precio menos el 10 por ciento de descuento.
n.
La fracción cuyo numerador es tres unidades menor que cuatro
veces el denominador.
o.
La diferencia entre los cuadrados de dos enteros consecutivos
pares.
6.
Exprese las frases siguientes en forma de ecuaciones:
a.
La utilidad total (UT) es igual al ingreso total (IT) menos el costo
total (CT)
b.
El número a supera en 6 unidades al número b
c.
El número a es 10 unidades menor que el número b.
d.
Cinco es siete unidades menor que cuatro veces cierto número
e.
Diecisiete es mayor en cinco unidades que tres veces cierto
número
f.
Cuatro veces cierto número más tres, es igual a diecinueve.
g.
El perímetro y el área de un rectángulo si un lado mide cuatro pies
más que el doble del otro lado.
- 71 -
Propedéutico de Matemática
TERCERA SEMANA
Para resolver problemas de aplicación, usted puede usar los
siguientes 6 pasos:
(L) Lea el problema hasta comprenderlo bien, busque lo que es necesario
encontrar (la incógnita)
(E) Elija una variable para representar esta incógnita
(P) Piense en un plan que le ayude a escribir una ecuación.
(P) Plantee su ecuación. Pasar del lenguaje verbal al algebraico
(U) Utilice el algebra para resolver la ecuación
(V) Verifique la solución de la ecuación en el problema
7.
Plantee la ecuación que resuelve cada problema y encuentre la solución al
problema.
a.
La suma de tres números consecutivos impares es 249. Encuentre los
enteros.
b.
Tres menos que 4 veces un número es lo mismo que el número
incrementado por 9. Encuentre el número.
c.
Un hombre tiene 7 años más que su esposa. Hace 10 años tenía el
doble de la edad de ella. ¿Cuántos años tiene ahora?
d.
Un padre es tres veces mayor que su hijo. En doce años tendrá el
doble de la edad de su vástago. ¿Qué edad tienen el padre e hijo
ahora?
- 72 -
Propedéutico de Matemática
e.
En una clase de matemática para Administración, hay 52 estudiantes.
El número de varones es 7 más que el doble de las mujeres.
Determine el número de mujeres en el salón.
f.
Si come una rebanada de una pizza de champiñones de 16 pulgadas y
un pedazo de chocolate de 10 onzas, consume 530 calorías. Si el
pedazo de chocolate tiene 70 calorías más que la pizza, ¿Cuántas
calorías hay en cada alimento?
g.
Un estudiante tiene Q1.60, constituidos por números iguales de
monedas de 5, 10 y 25 centavos, ¿Cuántas monedas de cada tipo
tiene?
h.
Yo tengo el doble de monedas de diez centavos en mi bolsillo que de
monedas de veinticinco centavos. Si tuviera 4 monedas menos de diez
centavos y tres monedas más de veinticinco centavos, tendría Q2.60
¿Cuántas monedas de diez centavos y de veinticinco centavos tengo?
i.
Un tendero mezcla 40 libras de una marca de café que se vende a Q8
la libra con cierta cantidad de café que se vende a Q12 la libra. Si la
mezcla debe venderse a Q10 la libra. ¿Cuántas libras de café de Q12
deben emplearse?
j.
En una obra se les cobró a los niños Q0.75 y a los adultos Q1.50. Se
vendieron 400 boletos menos de adultos que de niños. Si la
recaudación total alcanzó Q3000. ¿Cuántos boletos de cada admisión
se vendieron?
k.
¿Cuántas libras de nuez de Q0.60 y cuántas de Q0.50 deben
mezclarse para constituir 120 libras que se vendan a Q0.55 cada una?
- 73 -
Propedéutico de Matemática
l.
Supongamos que desea rentar un automóvil que cuesta $30 por día,
más $0.15 por cada milla recorrida. Escriba una ecuación para el
costo C basada en el recorrido de m millas.
m.
¿Cuántas millas tiene que recorrer de modo que el costo C de la
tarifa por millas, en el problema anterior, sea el mismo que la tarifa
todo incluido, que es de $40 por día?
n.
Si planeara viajar 300 millas durante la semana, ¿contrataría la tarifa
por milla o la tarifa todo-incluido, dadas en los dos problemas
anteriores?
o.
El ganador de la lotería nacional quiere invertir su premio de
Q100,000 en dos inversiones, al 8% y al 10% ¿Cuánto debería invertir
en cada una de ellas si desea obtener ingresos anuales de Q8500?
p.
Una vendedora gana Q600 por mes más una comisión de 10% de las
ventas que haga. Descubre que en promedio, le toma 11/2 horas
realizar ventas por un valor de Q100. ¿Cuántas horas deberá
trabajar en promedio cada mes para que sus ingresos sean de
Q2000?
q.
Un empresario ha determinado que producir cierto tipo de reloj le
cuesta Q4.20 en materiales y mano de obra y que además tiene
costos adicionales semanales de Q960. ¿Cuántos relojes deberá
hacer y vender cada semana si desea una utilidad semanal de Q3000,
si cada reloj lo puede vender a Q15.00?
r.
Una persona invierte el doble de la cantidad que destina al 8%, al 5
%. Su ingreso total anual por las dos inversiones es de Q840. ¿Cuánto
invirtió a cada tasa?
- 74 -
Propedéutico de Matemática
s.
El ingreso mensual de una guardería por el cuidado de x niños, está
dado por 450x y sus costos mensuales están dados por 380x+3500.
t.
¿Cuántos niños necesita cuidar mensualmente para llegar al punto de
equilibrio (Es decir para que sus ingresos igualen sus costos?
8.
Ecuación de Diofanto.
Uno de los mejores algebristas de todos los tiempos fue Diofanto. De
acuerdo con una leyenda el siguiente problema se encuentra en la
inscripción de su tumba:
“Un sexto de su vida. Dios le concedió su juventud. Después de un
duodécimo más, le creció la barba. Después de un séptimo adicional, se
casó, y cinco años más tarde, tuvo un hijo. ¡Ay! El trecho de la
infortunada vida de su hijo sólo alcanzó la mitad de la de su padre, quien
consoló su pena durante los cuatro años restantes de su vida.”
¿Cuántos años vivió Diofanto?
- 75 -
Propedéutico de Matemática
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
A continuación encontrará respuestas sólo de
algunos
ejercicios
seleccionados para que sirva de guía y verificación en la correcta resolución de
los ejercicios de la actividad final.
1.
2.
a.
si
c.
no
k.
no
m.
no
a. no tiene solución
7
9
e.
no
g.
c.
x=
i.
si
4
5
e.
x=4
i. Infinitas soluciones
k.
x=6
t.
x=1
e.
y=
g.
x=
m.
y=30
ñ.
y=10
p.
x = −14
r.
x=1
v.
r=−
10
11
x.
x=
3.
a.
x=
c.
x=
4.
b.
A.
r=
d.
A.
x = 2+
31
2
si
− 122
13
7
2
S −a
S +l
B.
l=
3
y
B.
y=
- 76 -
a − S (1 − r )
r
3
x−2
49
36
Propedéutico de Matemática
5.
e.
x
a+b
t: el tiempo, t+4
i.
e: mi edad actual, 5(e+5)
k.
n: un entero, n+(n+1)
m.
p: el precio, p-0.10p
o.
2n: el entero menor (2n para garantizar que sea par),
a.
18-2x
g.
c.
8(2x)
(2n )2 − (2n + 2)2
6.
7.
a.
UT=IT–CT
g.
a: un lado, 2a+4: otro lado, p=2a+2(2a+4) y A= a(2a+4)
a
81, 83 y 85 c.
g.
c.
a = b − 10
24 años
e.
x: cierto número, 17=3x+5
e.
15 mujeres
4 monedas de cada tipo
i.
40 libras
k.
60 libras
m.
66.7 millas aprox
o.
Q75,000 al 8% y 25,000 al 10%q.
s.
50 niños.
- 77 -
367 relojes
Propedéutico de Matemática
CUARTA SEMANA
Ecuaciones cuadráticas y su historia
Los problemas que usan ecuaciones cuadráticas se
encuentran en la literatura de matemáticas más antigua.
La gente de Babilonia y Egipto resolvía problemas de
este
tipo
antes
de
1800
A.C.
Euclides
resolvió
ecuaciones cuadráticas de manera geométrica en su Data (300 A.C.)., y en la
India y Arabia se daban reglas para resolver cualquier ecuación cuadrática con
raíces reales.
Puesto que los números negativos no se usaban con libertad
antes de 1500 D.C., había varios tipos de ecuaciones cuadráticas, cada uno con
sus propias reglas. Thomas Harriot (1540-1603) introdujo un método que en
esencias es completar el cuadrado.
Hasta los tiempos modernos era usual despreciar las raíces negativas (si
las había), y las ecuaciones que involucraban raíces cuadradas de cantidades
negativas se veían como sin solución hasta los años 1500.
- 78 -
Propedéutico de Matemática
ANÁLISIS
Explique:
a.
¿Por qué la ecuación x2 +6=0 no tiene solución real?
b.
¿Por qué la ecuación (x+1)2 +3=0 no tiene solución real?
c.
¿Qué puede decir de A si la ecuación x2 =A no tiene solución?
d.
¿Qué puede decir de A si la ecuación x2 =A tiene exactamente una
solución?
e.
¿Qué puede decir de A si la ecuación x2 =A tiene dos soluciones?
ACTIVIDAD FINAL
Con la ayuda de su libro de texto resuelva lo siguiente:
1.
Resuelva utilizando factorización:
a.
x2 – 7x + 6 = 0
b.
x2 – x – 2 = 0
c.
x2 – 3x – 40 = 0
d.
x2 – 2x + 1 = 0
e.
x2 + 7x – 60 = 0
f.
x2 – 3x – 28 = 0
g.
2x2 + 7x + 6 = 0
h.
x2 – 16x – 36 = 0
i.
2x2 – 13x – 7 = 0
j.
3x2 – 11x + 6 = 0
k.
3x2 – 13x – 10 = 0
l.
12x2 – 21x – 6 = 0
m.
12 + 5x – 2x2 = 0
n.
3x2 – 13x – 10 = 0
- 79 -
Propedéutico de Matemática
2.
Encuentre el término faltante para hacer de la expresión un cuadrado
perfecto:
3.
a.
x2 + 18x +
b.
x2 + 2x +
c.
x2 – 16x +
d.
x2 – 4x +
e.
x2 + 7x +
f.
x2 + 9x +
g.
x2 – 3x +
h.
x2 – 7x +
i.
x2 + x +
j.
x2 – x +
Escriba en la posición del cuadro, el término faltante para hacer de la
expresión un cuadrado perfecto y al lado derecho el cuadrado perfecto
resultante:
4.
a.
x2+4x+
=(
)2
b.
x2+6x+
=(
)2
c.
x2+3x+
=(
)2
d.
x2+9x+
=(
)2
e.
x2–6x+
=(
)2
f.
x2–24x+
=(
)2
g.
x2–5x+
=(
)2
h.
x2–11x+
=(
)2
i.
x2– 3 x+
=(
)2
j.
x2– 5 x+
=(
)2
2
2
Utilice completación del cuadrado para resolver las ecuaciones:
a.
x2 + 2x + 7 = 0
b.
x2 + 4x + 1 = 0
c.
x2 + x – 1 = 0
d.
x2 + 2x – 1 = 0
e.
x2 + 3x – 1= 0
f.
x2 – 3x – 4 = 0
g.
x2 – 3x – 3 = 0
h.
x2 – 3x – 1 = 0
i.
4x2 + 4x – 3 = 0
j.
2x2 + 10x – 1 = 0
k.
4x2 – 16x = 15
l.
25x2 – 25x = –6
m.
4x2 – 7 = 4x
n.
2x2 – 18 = – 9x
- 80 -
Propedéutico de Matemática
5.
o.
2x2 + 1 = 4x
p.
2x2 + 3 = 6x
q.
(x + 3)(x – 2) = –4
r.
(x + 4)(x – 1) = –6
s.
2x(x + 5) – 1 = 0
t.
2x(x – 4) = 2(9 – 8x) – x
Escriba la ecuación dada en la forma estándar ax2+ bx+c=0; luego
resuélvala con la fórmula cuadrática:
a.
x2 + 3x + 2 = 0
b.
x2 + 4x + 3 = 0
c.
x2 + x – 2 = 0
d.
x2 + x – 6=0
e.
2x2 + x – 2 = 0
f.
2x2 + 7x + 3 = 0
g.
3x2 + x = 2
h.
3x2 + 2x = 5
i.
2x2 + 7x = – 6
j.
2x2 – 7x = – 6
k.
7x2 = 12x – 5
l.
–5x2 = 16x + 8
m.
5x2 = 11x – 4
n.
7x2 = 12x – 3
o.
x2 x − 3
− =
5 2 10
p.
x2 x − 3
+ =
7
2
4
q.
x 2 3x 1
=
−
2
4 8
r.
x2
x 3
= +
10
5 2
s.
x2
x 1
=− −
8
4 8
t.
x2 − x 1
=
−
3
3 12
u.
6x = 4x2 + 1
v.
6x = 9x2 – 4
w.
3x = 1 – 3x2
x.
3x = 2x2 – 5
y.
6x(x + 5) = (x + 15)2
z.
(x – 4)2 = 4x(x – 2)
- 81 -
Propedéutico de Matemática
6.
Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones con el método de su
elección:
a.
x2 = 144
b.
x2 –17 = 0
c.
x2 –2x = –1
d.
x2 +4x = –4
e.
x2 –x–1 = 0
f.
y2 – y = 0
g.
y2 +5y –6 = 0
i.
5y2 = 6y – 1
j.
(z + 2)(z + 4) = 8
k.
(y – 3)(y + 4) = 18
l.
y2 = 1– 8 y
m.
x2 = 3 x + 1
n.
1 x2 – 1 x = 1
2
2
4
2
h.
3z2 + 1 = z
3
QUINTA SEMANA
7.
Para cada uno de los siguientes problemas, defina la variable que le
ayudará a la solución, plantee la ecuación y resuelva. La ecuación que se
plantee podría no ser cuadrática. No olvide verificar su resultado en el
problema.
a.
Una malla de alambre se colocará alrededor de un terreno
rectangular de modo que el área cercada sea de 800 pies2 y el largo del
terreno sea el doble de su ancho. ¿Cuántos pies de malla se utilizarán?
b.
El perímetro de un rectángulo es de 200 pies y su largo es tres
veces el ancho. Determine las dimensiones del rectángulo.
- 82 -
Propedéutico de Matemática
c.
Una vieja receta de la abuela para preparar un buen aceite para el
acabado de muebles de madera contiene 2 partes de aceite de linaza y 1
parte de trementina. Si usted necesita preparar una pinta (16 onzas
líquidas) de este aceite, ¿cuántas onzas líquidas de trementina se
necesitan?
d.
Un terreno rectangular de 4×8m se usa como jardín. Se decide
poner una vereda en toda la orilla interior de modo que 12m2 del terreno
se dejan para flores ¿Cuál debe ser el ancho de la vereda?
e.
Una compañía de refinación de, maíz produce gluten de maíz para
alimento de ganado, con un costo variable de Q76 por tonelada. Si los
costos fijos son Q110,000 por mes y el alimento se vende en Q126 por
tonelada, ¿Cuántas toneladas deben venderse para que la compañía tenga
una utilidad mensual de Q540,000?
f.
La directiva de una compañía quiere saber cuántas unidades de su
producto necesita vender para obtener una utilidad de Q100,000. Para
este caso se cuenta con la siguiente información: precio de venta por
unidad, Q20; costo variable por unidad, Q15; costo fijo total, Q600,000.
A partir de estos datos determine las unidades que deben venderse.
g.
Usted es el asesor financiero de una compañía que posee un
edificio con 50 oficinas. Cada una puede rentarse en Q400 semanales.
Sin embargo, por cada incremento de Q20 semanales se quedarán dos
vacantes sin posibilidad de que sean ocupadas. La compañía quiere
obtener un total de Q20,240 semanales de rentas del edificio. Se le
pide determinar la renta que debe cobrarse por cada oficina. ¿Cuál es su
respuesta a sus asesorados?
- 83 -
Propedéutico de Matemática
h.
Una compañía está diseñando un empaque para su producto. Una
parte del empaque será una caja abierta fabricada a partir de una pieza
cuadrada de aluminio, de la que se cortará un cuadrado de 2 pulgadas de
cada esquina para así doblar hacia arriba los lados. La caja es para
contener 50 pulg3. ¿Cuáles son las dimensiones de la pieza cuadrada de
aluminio que debe utilizarse?
i.
Una compañía de dulces fabrica una popular barra de forma
rectangular con 10 cm de largo, por 5 cm de ancho y 2 cm de grosor. A
causa de un incremento en los costos, la compañía ha decidido reducir el
volumen de la barra en un drástico 28%, el grosor no va a cambiar, pero
el largo y el ancho se reducirán en la misma cantidad. ¿Cuál será el largo
y el ancho de la nueva barra?
j.
Un saldo compensatorio se refiere a aquella práctica en la cual un
banco requiere a quien solicita un crédito, mantenga en depósito una
cierta parte de un préstamo durante el plazo del mismo. Por ejemplo, si
una compañía obtiene un préstamo de Q100,000, el cual requiere de un
saldo compensatorio del 20%, tendría que dejar Q20,000 en depósito y
usar sólo Q80,000. Para satisfacer los gastos de renovación de sus
herramientas la empresa que usted dirige, necesita Q95,000. El banco,
con el que no han tenido tratos previos, requiere de un saldo
compensatorio del 15%. Aproximando a la unidad de millar en quetzales
más cercana, diga, ¿Cuál debe ser el monto total del préstamo para
obtener los fondos necesarios?
k.
Una compañía fraccionaria compra una parcela en $7200. Después
de vender todo, excepto 20 acres, con una ganancia de $30 por acre
- 84 -
Propedéutico de Matemática
sobre su costo original, el costo total de la parcela se recuperó.
¿Cuántos acres se vendieron?
l.
El margen de utilidad de una compañía es su ingreso neto dividido
entre sus ventas totales. El margen de utilidad en cierta compañía
aumentó en 0.02 con respecto al año anterior. El año anterior vendió su
producto en Q3.00 cada uno y tuvo un ingreso neto de Q4500. Este año
incrementó el precio de su producto en Q0.50 por unidad, vendió 200
más y tuvo un ingreso neto de Q7140. La compañía nunca ha tenido un
margen de utilidad mayor que 0.15. ¿Cuántos de sus productos vendió la
compañía el año pasado y cuántos vendió este año?
m.
Una compañía fabrica los productos A y B. El costo de producir
cada unidad de A es Q2 más que el de B. Los costos de producción de A
y B son Q1500 y Q1000, respectivamente, y se hacen 25 unidades más
de A que de B. ¿Cuántas unidades de cada producto se fabrican?
- 85 -
Propedéutico de Matemática
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
A continuación encontrará respuestas sólo de
algunos
ejercicios
seleccionados para que sirva de guía y verificación en la correcta resolución de
los ejercicios de la actividad final.
1.
a. x=6 o x=1
c. x=8 o x= –5
e. x= –12 o x=5
g. x= –3/2 o x= –2
i. x=7 o x = − 1/2
k. x= –2/3 o x=5
m. x= –3/2 o x=4
2.
a. 81
c. 64
e.
g.
49
4
i. 1/4
3.
a. 4, (x+2)2
g.
4.
9 3
, x -
16 4
c.
2
2
9,
3
x+
4
2
3
i. 9/16, x −
4
a. No hay solución real
c.
−
g.
i.
1 3
,2 2
3
21
±
2
2
m. 1 ± 2
2
s.
o.
1
5
±
2 2
1±
e. 9, ( x − 3)2
2
e.
−
k.
2±
3
13
±
2
2
31
2
2
2
−5±3 3
2
- 86 -
q. 1,−2
9
4
Propedéutico de Matemática
5.
g.
m.
a. -1,-2
2
3
, −1
11 ±
41
10
s. -1
6.
7.
− 1± 17
4
c. 1, − 2
e.
i.
k. 1,
−3
,−2
2
7
o.
3
,1
q.
u.
3± 5
w.
2
4
5
3± 5
4
− 3 ± 21
6
y.
±3 5
b.
± 17
d. -2
f. 0,1
h.
{}
j. -6,0
l. -3, 1
n.
1± 3
3
2
a. 120 pies
c. 5 1/3
d. 1 m
e. 13,000
g. Q440 o Q460
i. 9 cm de largo y 4 cm de ancho
j. Q112,000 k. 60
m. 125 unidades de A y 100 de B, o bien 150 unidades de A y 125 de B.
- 87 -
Propedéutico de Matemática
"El pesimista se queja del viento; el optimista espera que
cambie; el realista ajusta las velas" (W.G. Ward)
VI. CUARTA UNIDAD
Objetivo:
Al finalizar la unidad de Desigualdades el estudiante estará en capacidad
de:
•
Operar intervalos.
•
Resolver desigualdades lineales y cuadráticas.
•
Expresar la solución de una desigualdad cuadrática con intervalos.
•
Plantear y resolver problemas que involucren desigualdades lineales y
cuadráticas.
4. DESIGUALDADES
4.1
Orden y desigualdades en el conjunto de los números reales.
4.2
Intervalos. Definición. Representación gráfica y expresión por
comprensión.
4.3
Operaciones con intervalos: Unión, Intersección y Diferencia.
4.4
Desigualdades lineales de una variable.
4.5
Valor absoluto. Definición y propiedades.
4.6
Problemas cuyo planteamiento conduce a una desigualdad.
4.7
Desigualdades cuadráticas en una variable.
- 88 -
Propedéutico de Matemática
PRIMERA SEMANA
¿Qué es una Inecuación?
Una inecuación es una desigualdad en la que aparece
una incógnita. Si el grado de la inecuación es uno, se dice que
la inecuación es lineal. Resolver una inecuación es encontrar
los valores de la incónita para los cuales se cumple la
desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una
unión de intervalos de números reales. El método para resolver una inecuación
es similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero teniendo presente las
propiedades de las desigualdades. Es conveniente ilustrar la solución de una
inecuación con una gráfica
Fuente: Desigualdades e inecuaciones. http://usuarios.lycos.es/calculo
- 89 -
Propedéutico de Matemática
ACTIVIDAD FINAL
Con la ayuda de su libro de texto resuelva los siguientes problemas de
desigualdades:
1.
Llene los espacios en blanco con > o < de modo que la proposición
resultante sea verdadera:
a.
5
7
b.
–2
–1
c.
–4
d.
1
3
–3
e.
–4
5
f.
−
2.
Escriba usando notación de intervalos:
3.
1
3
–5
3
a.
{x ∈ R − 4 < v < 4 }
b.
4
< z ≤ 9
z ∈ R
3
c.
{a ∈ R − 8 . 74
≤ a}
d.
1
b ∈ R b <
2
e.
{w ∈ R − 21
≤ w < − 7}
f.
12
25
≤ y ≤
y∈ R
11
3
Calcule el resultado de las siguientes operaciones de intervalos:
a.
(− 8,5) ∩ [− 3,6]
b.
− 11
− ∞,
∩ (− 2, ∞ )
5
c.
(− 21,0) ∩ φ
d.
(5,9) ∪ (− 2,8)
e.
(− ∞,−2) ∪ (− 4, ∞ )
f.
(− ∞,−2) ∪ (2, ∞ )
g.
(7, ∞ ) ∩ (− ∞,−1)
h.
(− 3 , ∞ ) ∩ 9 , ∞
i.
(− ∞,−5) ∩ (9, ∞ )
j.
(− ∞ ,1 ) ∩ − 3 ,1
k.
(− ∞,−7.9) ∩ (− ∞,−9.7)
l.
3
,6 ∪ φ
4
2
- 90 -
5
Propedéutico de Matemática
m.
(5, ∞ ) ∩ ((1, ∞ ) ∩ (21, ∞ ))
o.
(− 3 ,10 ) ∪ − ∞ , − 1 ∪ (6 , ∞ )
n.
2
−9
(− 8 , − 7 ) ∪
, ∞ ∩ (− 9 , 2 )
2
p.
3
− ∞ , 4 ∩ (− ∞ ,6 ) ∪ (− 2, 4 )
q.
−1
3
− ∞,
∩ − ∞ , ∩ (− ∞ , − 1)
2
4
r.
1
7
, ∞ ∩ − 3 , ∪ φ
2
5
SEGUNDA SEMANA
4.
Explique:
a.
Las semejanzas y diferencias entre los procedimientos para
resolver ecuaciones y desigualdades.
b.
A medida que resuelve una desigualdad, ¿Cuándo tiene que
cambiar el sentido de la desigualdad?
c.
Un estudiante escribió “2<x<–5” para indicar que x estaba entre 2
y -5 ¿Por qué está equivocado?
d.
Escriba los pasos que emplearía para resolver la desigualdad 3x<15.
- 91 -
Propedéutico de Matemática
5.
Resuelva cada desigualdad, dé su respuesta en notación de intervalo y
represéntela en forma geométrica sobre la recta de los números reales:
6.
a.
3x > 12
b.
4x–13 ≤ 7
c.
–4x ≥ 2
d.
5–7s > 3
e.
3 < 2y+3
f.
2x–3 ≤ 4+7x
g.
3(2–3x) > 4(1–4x)
h.
2(3x – 2) > 3(2x–1)
i.
x+2 <
j.
5
6
k.
9y +1
4
l.
4x-1 ≥ 4(x-2) + 7
m.
1 − t 3t − 7
<
2
3
n.
2x+13 ≥
o.
2
5
r< r
3
6
p.
y y
y
+ > y+
2 3
5
q.
0.1(0.03x + 4) ≥ 0.02x + 0.434
r.
8a + 11 7 − 2a
≤
2
−3
s.
2(r – 5) – 8 ≤ 7 – 3(r + 2)
3 –x
x < 40
≤ 2y–1
1x
2
–4
Resuelva las siguientes desigualdades y dé su respuesta en notación de
intervalo:
a.
1 < 8a < 12
b.
12 < –6t < 24
c.
–9 ≤ 2b ≤ –2
d.
–1 < – 4s < 1
e.
– 5 < 3x < 11
f.
8 > 5r > 3
g.
– 6< 7z – 9 < – 4
h.
–7 < 3y + 5 < 5
i.
15 < 8 – 3t < 25
j.
5x – 1 < 7x + 8 < 20
k.
5 < 2w + 6 < 11
l.
–13 ≤ 6 – 7c ≤ –4
- 92 -
Propedéutico de Matemática
TERCERA SEMANA
7.
Resuelva los siguientes problemas:
a.
Cada mes del año pasado una compañía tuvo utilidades mayores que
Q37,000, pero menores que
Q53,000. Si s representa los ingresos
totales del año, describa S utilizando desigualdades.
b.
Una estudiante tiene Q360 para gastar en un unas bocinas y
algunos discos compactos. Si ella compra unas bocinas que cuestan Q219
y el costo de los discos es de Q18.95 cada uno, determine el mayor
número de discos que ella puede comprar.
c.
Una compañía fabrica un producto que tiene un precio unitario de
venta de Q20 y un costo unitario de Q15. Si los costos fijos son de
Q600,000, determine el número mínimo de unidades que deben venderse
para que la compañía tenga utilidades.
d.
Una fábrica de camisetas produce N camisetas con un costo de
mano de obra total (en dólares) de 1.2N y un costo total por material de
0.3N. Los gastos generales para la planta son de $6,000. Si cada
camiseta se vende en $3, ¿Cuántas camisetas deben venderse para que
la compañía obtenga utilidades?
e.
El costo unitario de publicación de una revista es de Q0.65. Cada
una se vende al distribuidor en Q0.60, y la cantidad que se recibe por
publicidad es el 10% de la cantidad recibida por todas las revistas
vendidas arriba de las 10,000. Encuentre el menor número de revistas
que pueden publicarse sin pérdida, esto es, que utilidad sea mayor o igual
a cero. (Suponga que toda la emisión se venderá).
- 93 -
Propedéutico de Matemática
CUARTA SEMANA
f.
Una compañía invierte Q30,000 de sus fondos excedentes a dos
tasas de interés anual: 5 y 6 ¾ %. Desea un rendimiento anual que no sea
menor al 6 ½ %. ¿Cuál es la cantidad mínima que debe invertir a la tasa
de 6 ¾ %?
g.
Actualmente, un fabricante tiene 2,500 unidades de un producto
en inventario. Hoy el precio unitario del producto es de Q4 por unidad. El
próximo mes el precio por unidad se incrementará en Q0.50. El
fabricante quiere que el ingreso total recibido por la venta de las 2,500
unidades no sea menor que Q10,750. ¿Cuál es el número máximo de
unidades que pueden venderse este mes?
h.
A los pintores con frecuencia se les paga por hora o por obra
terminada. El salario que reciben puede afectar la velocidad de trabajo.
Por ejemplo, suponga que unos pintores pueden trabajar por Q8.50 la
hora, o por Q300 más Q3 por cada hora por debajo de 40, si completan
el trabajo en menos de 40 horas. Suponga que el trabajo les toma t
horas. Si t ≥ 40, claramente el sueldo por hora es mejor. Si t < 40, ¿para
qué valores de t el salario por hora es mejor?
- 94 -
Propedéutico de Matemática
i.
La razón de la prueba de ácido (o razón rápida) de un negocio es el
cociente entre la liquidez de sus activos –efectivo y valores más cuentas
por cobrar – y sus obligaciones actuales. La mínima razón para que una
compañía tenga unas finanzas sólidas es alrededor de 1.0, peor, por lo
común, esto varía un poco de industria a industria. Si una compañía tiene
Q450,000 en efectivo y valores, y tiene Q398,000 en obligaciones
actuales. ¿Cuánto necesita tener en cuentas por cobrar para mantener la
razón en o por arriba de 1.3?
QUINTA SEMANA
8.
9.
Resuelva las desigualdades:
a.
x − 10 < 6
b.
z + 12 ≤ 8
c.
x − 13 < 2 . 5
d.
z + 4 > 9
e.
3a + 7 ≥ 9
f.
3 z − (− 4 ) < 6
g.
b − 4 < 10
h.
6 x − 11 ≤ 5
i.
4z +1 < 2
j.
6 − 10 z <
8
5
Resuelva los siguientes problemas:
a.
Encuentre todos los números enteros cuya distancia al 5 sea
menor o igual a 2.
- 95 -
Propedéutico de Matemática
b.
El dueño de una fábrica debe entregar a uno de sus compradores
1,700 tubos metálicos cuyo costo de fabricación es Q3.75 cada uno.
Cada tubo será vendido en Q4.10. Como únicamente tiene 1,200 piezas
listas para entregar, decide comprar las piezas faltantes a otra fábrica,
que se las ofrece a Q3.75 cada una. Al recibir los tubos, observa que no
todos tienen el mismo tamaño. Le habla al comprador y le explica la falla,
y este último le dice: solicité que cada uno midiera 17 cm., pero si la
diferencia no excede 3mm, está bien. ¿Qué medida pueden tener los
tubos? ¿Cuál será la ganancia si entrega los 1,700 tubos?
c.
Sofía pide a Ramón que se encargue de vender el sillón de la sala
que ya no ocupará y le dice: Aunque creo que su valor es mayor,
considero que un precio justo sería Q900. Ponle el precio que consideres,
después llega a un acuerdo de tal manera que la diferencia entre el
precio en el que lo vendas y el que yo te sugiero no sea mayor a Q36. ¿En
cuanto debe vender Ramón el sillón?
10.
Resuelva las desigualdades:
a.
x2 − x − 6 < 0
b.
x 2 − 2x − 5 > 3
c.
x(2 x + 3) ≥ 5
d.
6x − 8 > x 2
e.
25 x 2 − 9 < 0
f.
x 4 + 5 x 2 ≥ 36
g.
x 4 + 15 x 2 < 16
h.
x 3 + 2x 2 − 4x − 8 ≥ 0
i.
2 x 3 − 3x 2 − 2 x + 3 ≤ 0
j.
l.
x−2
2
x − 3 x − 10
≥0
m.
(x
2
)
+ 1 (x − 3)
x2 − 9
x +1
>2
2x − 3
- 96 -
≥0
k.
n.
x2 − x
x 2 + 2x
≥0
1
3
≥
x − 2 x +1
Propedéutico de Matemática
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
A continuación encontrará respuestas sólo de
algunos
ejercicios
seleccionados para que sirva de guía y verificación en la correcta resolución de
los ejercicios de la actividad final.
1.
a.
5<7
c.
− 4 > −5
e.
−4<5
2.
a.
(− 4,4)
c.
[− 8.74, ∞ )
e.
[− 21,−7 )
3.
a.
[− 3,5)
c. Ø
e.
(− ∞, ∞ )
g. Ø
m.
(21, ∞ )
o.
i. Ø
q.
k.
(− ∞,−9.7 )
(− ∞,−1)
4
5.
a.
(4, ∞ )
∞
−∞
−1 / 2
c.
(− ∞,−1 / 2]
∞
−∞
0
e.
(0, ∞ )
∞
−∞
−2 / 7
g.
(− 2 / 7, ∞ )
∞
−∞
- 97 -
(− ∞, ∞ )
Propedéutico de Matemática
−0.13
i.
(− ∞,−0.13)
∞
−∞
−5
k.
(− ∞,−5]
∞
−∞
17 / 9
m.
(17 / 9, ∞ )
∞
−∞
0
o.
(0, ∞ )
∞
−∞
−2
q.
(− ∞,−2]
∞
−∞
19 / 5
6.
s.
(− ∞,19 / 5]
−∞
∞
a.
1 3
,
8 2
c.
2
− 9 ,−1
i.
17 7
− ,−
3 3
k.
(− ∞,−5]
e.
- 98 -
5 11
− ,
3 3
g.
3 5
,
7 7
Propedéutico de Matemática
7.
a.
37,000 < s < 53,000
c. Deben venderse más de 120,000 unidades (por lo menos, 120,001)
e. Deben publicarse y venderse 60,000 revistas o más
g. El número máximo de unidades que deben venderse este mes es 1000
i.
Las cuentas por cobrar deberán ser mayores o iguales a Q 67,400
a.
(4,16)
c.
(10.5,15.5)
g.
(− 6,14)
i.
3 1
− ,
4 4
9.
a.
[3,7]
c.
[864,936]
10.
a.
(− 2,3)
c.
i.
(− ∞,−1] ∪ 1, 3
k.
8.
2
e.
16 2
− ∞, − ∪ , ∞
3 3
5
− ∞,− ∪ [1, ∞ )
2
e.
3 3
− ,
5 5
(− ∞,−2) ∪ [1, ∞ )
m.
3 7
,
2 3
- 99 -
g.
(− 1,1)
Propedéutico de Matemática
BIBLIOGRAFIA
•
Echeverría,
Ortiz
y
Rodríguez.
(2005).
Temas
de
Matemática
Preuniversitaria. Segunda Edición. URL - Guatemala.
•
Fleming, Walter y Varberg, Dale. Álgebra y Trigonometría con Geometría
Analítica. Tercera Edición. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A.
•
Harshbarger, Reynolds.
Matemáticas Aplicadas a la Administración,
Economía y Ciencias Sociales. Séptima Edición. Mc-Graw Hill
- 100 -
