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8. ECUACIONES
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 Ecuaciones de primer grado
 Ecuaciones de segundo grado
 Sistemas de ecuaciones
 Inecuaciones
Página 2
1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO.

DESCUENTOS
a) En unos grandes almacenes hacen una rebaja del 20%. Un empleado de estos almacenes tiene
además un 10% de descuento sobre el precio rebajado. Si en otros grandes almacenes hacen una
rebaja del 30%, ¿dónde le conviene comprar?.
b) En unos grandes almacenes hacen el 20% de descuento, pero hay que pagar un 15% de IVA. ¿Qué
prefieres que te calculen primero, el descuento o el impuesto?.

COMPRAVENTA I
Una persona compró un coche por 17000 euros. Lo vendió por 18000 euros. Lo volvió a comprar por
19000 euros y de nuevo lo vendió por 20000 euros. ¿Crees que ha hecho un buen negocio?.

COMPRAVENTA II
Un comerciante norteamericano tiene una tienda de compra y venta. Un cliente le compra un objeto por
10 dólares. Pasados unos días, el cliente se da cuenta de que ese objeto no es de su agrado y decide
volver a la tienda para devolverlo. El comerciante se lo compra, pero no le da más que 8 dólares. Una
semana más tarde otro cliente va a la tienda y compra el objeto por 9 dólares. ¿Qué beneficio ha
obtenido en total el comerciante?.

REFRESCO
Una botella de refresco cuesta 100 céntimos de euro. El refresco vale 90 céntimos más que la botella.
¿Cuánto vale la botella?.

GALLETAS Y ANIMALES
Un criador tiene 10 animales. Cada animal es un perro o un gato. Ha comprado 56 galletas y las
distribuye así: 5 galletas para cada gato y 6 para cada perro. ¿Cuántos gatos y cuántos perros hay?.

EMPAREJANDO
Empareja cada una de las expresiones de la izquierda con cada una de las de la derecha:
3b  15
a 4
2
p  220  500

Dentro de 5 años, la edad del padre será tres veces la edad del hijo.
La mitad de una herencia, más la tercera parte, más la quinta parte,
más nueve millones, es igual a toda la herencia.
El coste de 3 cuadernos es de 15 euros.
x 3  27
2x  2y  10
El área de un cuadrado de lado a es igual a 4.
x x x
   9000000 x
2 3 5
y  3x  10
El volumen de un cubo de arista x es igual a 27.
He pagado 500 ptas por 1 kg de peras y me han devuelto 220 ptas.
El perímetro de un rectángulo es igual a 10.
PLANTEA ECUACIONES
En las siguientes situaciones, elige la incógnita y escribe una ecuación para conjeturar una solución.
a) Triplico un número, a lo que da le resto 7 y el resultado es 5. ¿De qué número se trata?.
b) Juan da la mitad de sus monedas (todas iguales) a Luis, éste da una tercera parte de las suyas a
María. Ésta da la cuarta parte de sus monedas a Julia. Si Julia tiene 9 monedas, ¿cuántas tenía
Juan al principio?.
c) Un virus dobla su población cada 4 horas, después de un día completo hay 1600 virus en cierto
cultivo. ¿Cuántos había al principio?.
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
VOLVER AL PRINCIPIO
En las siguientes secuencias de teclas de la calculadora, escribe ordenadamente todos los pasos
necesarios para, partiendo del resultado final, A, volver al principio, N:
a)
N

2
+
5
=
b)
N
+
3

2

4

c)
N

2

3

1
=
d)
N

3
+
5
x
2
 4
A
5
=
A
A
=
A
¿Es posible que en las secuencias anteriores A y N sean, los dos, números enteros?. Investiga.

TIPOS DE ECUACIONES
a) Halla los números situados en los vértices de estos triángulos, sabiendo que los números que
aparecen en las casillas centrales de cada lado son suma de los dos vértices correspondientes.
Inventa otros casos, comprueba que son correctos y propónselos a tus compañeros:
b) Halla los números que deben situarse en los vértices de cada uno de los siguientes cuadrados, si
conoces las sumas de cada dos de ellos situadas en las casillas centrales de sus correspondientes
lados. Razona que ocurre en cada caso:
Hay ecuaciones que solamente tienen una solución. Se dice que son compatibles determinadas o de
solución única.
Hay ecuaciones que tienen infinitas soluciones. Se dice que son compatibles indeterminadas.
Hay ecuaciones que no tienen solución. Se dice que son incompatibles.
Las ecuaciones de grados 2, 3, 4, ... pueden tener solamente 2, 3, 4, ... soluciones. Se dice, en
ese caso, que son compatibles.

ECUACIONES EQUIVALENTES
a) Escribe dos ecuaciones equivalentes a la dada en cada uno de los casos siguientes:
x x
  3  2x
1) 2p  12  18
2) 3x  1  x  1  1
3)
3 5
b) Escribe, para cada uno de los siguientes números, tres ecuaciones de las que sean solución:
3
a) 0
b) 1’ 7
c)
2
Página 4
c) Encuentra entre las ecuaciones del segundo grupo las que sean equivalentes a alguna de las del
primer grupo:
Primer grupo
Segundo grupo
a) 4  x  1
d) 3x  2  x  6
b) x  2x  1
e) 2x  1  3x  4
c) 3x  x  4 f) x  2x  1
x 1
 x 1
g)
2
3

h) 2x  1  5  x  1 
5

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Para obtener una ecuación
equivalente a una dada podemos:
 Sumar o restar en ambos miembros la misma cantidad o expresión.
 Multiplicar los dos miembros de la igualdad por un mismo número distinto de cero.
Esto se traduce en las siguientes normas de actuación:
 Lo que en un miembro está sumando, pasa al otro restando.
 Lo que en un miembro está multiplicando (y es distinto de cero), pasa al otro miembro
dividiendo.

ECUACIONES RUTINARIAS
Resolver una ecuación es encontrar todas sus soluciones, para lo que puedes utilizar diversas
técnicas y procedimientos.
Resolver una ecuación algebraicamente es encontrar todas sus soluciones, aplicando las mismas
técnicas que para obtener ecuaciones equivalentes. El principio más general para resolver
ecuaciones es éste:
Si haces algo en un miembro de la igualdad, hazlo también en el otro para que la igualdad se siga
conservando. Ves desembarazándote de lo que te molesta hasta que consigas aislar la incógnita.
Si en este proceso vas a repetir muchas veces la misma cosa, merece la pena que busques un
atajo. Por ejemplo, si tienes que multiplicar los dos miembros de la igualdad primero por 3, luego
por 5 y luego por 7, podrías adelantar trabajo si directamente multiplicas toda la ecuación por el
mínimo común múltiplo.
Otro atajo, más aburrido, consiste en usar la llamada regla de los cuatro pasos:
 Quitar denominadores.
 Quitar paréntesis.
 Agrupar y transponer.
 Despejar la incógnita.
Utiliza alguna técnica que domines para resolver las siguientes ecuaciones:
2x  3
 3x  7
a) 3x  7   1  2x  13
b)
5
d)
x
x x
 34  x  
2
3 5
e)
x  9 3x  4 x  3


3
4
3
g)
5x  1 x  4 2x  3


1
3
2
5
h)
3x  1 x  1 27x  19 2x  1



2
4
20
5

c)
x x
  12
3 5
f)
x 3 x 5 x 1


4
6
9
LOS DISCÍPULOS DE PITÁGORAS
Se cuenta que al preguntarle a Pitágoras el número de sus discípulos, contestó con el siguiente acertijo:
“Tres son mujeres. La mitad de los hombres estudia matemáticas, una cuarta parte física y una séptima
parte guarda silencio”. ¿Cuántos discípulos tenía Pitágoras?.
Página 5

DIOFANTO DE ALEJANDRÍA
En la tumba del matemático griego Diofanto figuraba el siguiente epitafio:
¡Caminante!. Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡oh, milagro!,
cuán larga fue su vida, cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia. Había transcurrido además una
duodécima parte de su vida, cuando de vello cubrióse su barbilla. Y la séptima parte de su existencia
transcurrió en un matrimonio estéril. Pasó un quiquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su
precioso primogénito, que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, a la tierra, que duró tan sólo la
mitad de la de su padre. Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro
años al deceso de su hijo.
¿Cuántos años vivió Diofanto?. ¿Qué más datos de su vida puedes conocer?.

CUADRADOS MÁGICOS
En un cuadrado mágico todas las líneas (filas, columnas y diagonales) dan la misma suma. Por ejemplo:
2
9
4
7
5
3
6
1
8
a) Calcula un valor de x que sustituido en las casillas del cuadrado adjunto haga de éste un cuadrado
mágico. Para ello plantea las ecuaciones que consideres necesarias:
2x  2
x 2
3x  3
x
x 2
2x  1
x 1
5x  6
x 1
b) Simplifica las sumas de cada una de las ocho líneas de este cuadrado.

BALANZAS
Para conservar el equilibrio en la balanza 4, ¿cuántos círculos necesitas?.

LOS CUATRO HERMANOS
Cuatro hermanos tenían 4500 euros entre todos. El tercero de ellos soñaba: “Si al primero le diesen
200, al segundo le quitasen 200, a mi me doblasen lo que tengo y al cuarto se lo redujesen a la mitad,
todos tendríamos al final lo mismo”. ¿Cuántos euros tenía cada hermano al principio?.
2. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

ECUACIONES INCOMPLETAS
a) Si sigues el proceso que se indica a continuación, ¿qué número tendrías que pensar para que el
resultado fuese 48?.




Piensa un número.
Elévalo al cuadrado.
Multiplícalo por 3.
Anota el resultado
b) Si al cuadrado de un número le sumas 10, el resultado es 35. ¿De qué número se trata?.
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c) El área coloreada de estas dos figuras es de 4 cm2 en cada caso.
1) ¿Cuánto mide el lado del cuadrado?.
2) ¿Cuánto miden los lados del rectángulo?.
d) ¿En qué puntos corta al eje OX la parábola y  4x 2  100 ?.
En las actividades anteriores habrás obtenido ecuaciones de segundo grado de la forma
ax 2  c  0 . Se llaman ecuaciones incompletas y pueden resolverse fácilmente. Así:

c
x   
c
a

ax 2  c  0  ax 2  c  x 2    
a
c

 x    a
c
Como ves, la ecuación tiene solución siempre que   0 .
a
e) Resuelve las siguientes ecuaciones, indicando cuántas soluciones hay comprobándolas en
cada caso:
1) 5x 2  3  2x 2  3

2) 5x 2  6  2x 2
3)
x2
 x2  6
2
4) 2x 2 
x2
5
3
APROXIMACIONES
Un procedimiento que puedes utilizar para resolver ecuaciones de grado 2, 3, 4, ... es utilizar la
calculadora para obtener, por ensayo y error, sucesivas aproximaciones de la solución, que puedes
dar con la precisión que desees.
Ejemplo: Hallar x sabiendo que x 3  7 .
Probamos x=1  13 = 1 Falta;
Probamos x=2  23 = 8 Sobra; Luego la solución está entre 1 y 2.
Probamos x=1’5  1’53 = 3’375 Falta; Luego x está entre 1’5 y 2.
Probamos x=1’7  1’73 = 4’913 Falta; Luego x está entre 1’7 y 2.
Probamos x=1’9  1’93 = 6’859 Falta; Luego x está entre 1’9 y 2.
Probamos x=1’95  1’953= 7’41487... Sobra; Luego x está entre 1’9 y 1’95.
Probamos x=1’93  1’933 = 7’18905.. Sobra. Luego x está entre 1’9 y 1’93.
Probamos x=1’92  1’923 = 7’0778... Sobra. Luego x está entre 1’9 y 1’92
Probamos x=1’91  1’913 = 6’96787... Falta. Luego x está entre 1’91 y 1’92, pero ya podemos
asegurar que x = 1’91..., es decir, hemos obtenido dos cifras decimales exactas. Este proceso
podríamos continuarlo hasta obtener las cifras exactas deseadas.
Utiliza la calculadora para resolver por ensayo y error las siguientes ecuaciones:
a) x 4  12
b) x 3  3  9
c) x2  x  3  0
Página 7

MÉTODO ITERATIVO
Para resolver la ecuación de segundo grado x 2  3x  3  0 , sigue los siguientes pasos:
 Deja en un miembro todo lo que tenga x  x 2  3x  3
 Saca factor común x  x  x  3  3
3
 Despeja x  x 
x 3
 Da un valor cualquiera a x, por ejemplo, x = 5, y sustitúyelo en el segundo miembro. Obtienes
así un nuevo valor para x. Toma, por ejemplo, dos cifras decimales y redondea.
 Sustituye este valor otra vez en el segundo miembro y así hazlo sucesivamente hasta que
3
obtengas el mismo valor dos veces seguidas. Se dice entonces que la expresión x 
tiene
x 3
un punto fijo, y habrás conseguido una solución aproximada de la ecuación.
Primera (valor inicial)
5
Aproximaciones de x
Segunda Tercera Cuarta
0’38
0’89
0’77
Para hallar la segunda solución de la ecuación,
 en el paso 3 en lugar de despejar x, despeja x + 3  x  3 
Quinta Sexta Séptima
0’80
0’79
0’79
3
.
x
3
3.
x
 Repetimos el proceso anterior, dando a x como valor inicial un valor alejado de la solución
encontrada, por ejemplo, x = 5.
 Ahora despeja la x del primer miembro  x 
Primera (valor inicial)
5
Aproximaciones de x
Segunda Tercera Cuarta
3’6
3’83
3’78
Por tanto, 3’79 es un punto fijo de la expresión x 
ecuación inicial son 3’79 y 0’79.
Quinta
3’79
Sexta
3’79
3
 3 . Las dos soluciones aproximadas de la
x
a) Resuelve por el método de iteración las siguientes ecuaciones de segundo grado, dando las
soluciones con tres cifras decimales exactas:
x 2  2x  5  0 ;
x2  x  4  0 .
b) El número áureo, símbolo de la antigüedad clásica, se puede obtener resolviendo la ecuación
1x
1
x
o bien x 
. Aplica el método de iteración para obtener las tres primeras cifras

x
x x 1
decimales de dicho número.

MÉTODO GRÁFICO
La gráfica de la función x  x 2  2x  14 , ¿corta al eje de abcisas?. ¿En qué puntos?. El problema
es equivalente a resolver la ecuación de segundo grado x 2  2x  14  0 , ya que en el eje OX los
valores de y se anulan. Despejando obtenemos: x 2  2x  14 . Luego el problema se transforma
en averiguar cuáles son los puntos de corte de las gráficas x  x 2 , x  2x  14 , las cuales
podemos dibujar en un papel milimetrado, determinando así, de manera aproximada, las
soluciones.
Página 8
Generalmente este método suele combinarse con el método de aproximaciones o el iterativo: el
método gráfico da una idea de cuál es el intervalo de búsqueda y, una vez localizado éste se
puede utilizar el método de aproximaciones para obtener la solución con la precisión deseada.
Utiliza conjuntamente el método gráfico y el de aproximaciones para obtener, con dos cifras decimales
exactas, los puntos de corte con el eje OX de las siguientes gráficas:
a) y  x 2  4x  5

b) y  x2  4x  11
c) y  x 3  x  7
d) y  x 3  x 2  3
ECUACIONES FACTORIZADAS
a) Halla los puntos de corte con el eje OX de las siguientes funciones:
1) y  x  2  x  4
2) y  5xx  2
3) y  2xx  1  x  2
4) y  3x 2  6x
¿Son todas ellas funciones de segundo grado?. ¿Es necesario dibujar sus gráficas para hallar los
puntos de corte?.
Si una ecuación está factorizada, es decir, está expresada de la forma ax  m  x  n  0 es
muy fácil resolverla, ya que basta tener en cuenta que si un producto vale cero, debe anularse, al
menos, uno de los factores. Así:
x  m  0  x  m
a x  m    x  n   0  
x  n  0  x  n
Las soluciones de la ecuación son x  m y x  n .
b) Halla los puntos de corte con los ejes coordenados de las siguientes funciones:

1) y  2x  3  x  2
2) y  x  12
4) y  x 2  9
5) y  2x  1  x2  16
3) y  3x  22




6) y  x2  1  x2  9

COMPLETANDO CUADRADOS
Queremos hallar los puntos de corte con el eje OX de la parábola y  x 2  4 x  3 . Para ello,
hemos de resolver la ecuación de segundo grado x 2  4 x  3  0 .
Si esta ecuación de segundo grado fuese del tipo ax  p   q  0 sería fácil hallar las
2
soluciones. Bastaría despejar x  p tal y como hemos hecho en las ecuaciones incompletas.
Posteriormente, despejaríamos x..
Podemos hallar las soluciones de x 2  4 x  3  0 si la comparamos con la ecuación anterior. En


ax  p   q  a x 2  2 px  p 2  q  a x 2  2apx  ap 2  q . De donde, comparando
los coeficientes de las dos ecuaciones, deducimos que:
efecto:
2
Página 9
a  1

 2ap  4   2p  4  p  2
 2
ap  q  3  4  q  3  q  1
Luego la ecuación dada se puede escribir de la forma x  2  1  0 .
2
3
2
Despejando:  x  2   1  x  2  1  x  2  1   .
1
Las soluciones de la ecuación son x1  3 y x2  1 . Los puntos de corte con el eje OX son
3, 0  y 1,0  . La abcisa del vértice de la parábola es media aritmética de las soluciones obtenidas:
p
x1  x 2 3  1

2.
2
2
La ordenada del vértice se obtiene sustituyendo este valor de p en la fórmula de la parábola:
q  2 2  4  2  3  1 . Por lo tanto, concluimos que: El vértice es el punto 2,  1
Utilizando el procedimiento anterior, halla los puntos de corte con el eje OX y determina el vértice de
cada una de las siguientes parábolas:
a) y  x 2  6x  7
b) y  x 2  7x  12
c) y  3x 2  12x  12
d) y  3x 2  2x  5
Explica razonadamente tus conclusiones.

DISCRIMINANTE
Una fórmula clásica que permite hallar las soluciones de la ecuación de segundo grado
a x 2  bx  c  0 y que se puede obtener con el mismo procedimiento que has utilizado
anteriormente es la siguiente:
 b  b 2  4 ac
2a
2
La expresión D  b  4ac se llama discriminante de la ecuación.
x
 Si D<0, la ecuación no tiene solución. La parábola no corta al eje OX.
 Si D=0, la ecuación solo tiene una solución, x 
b
. La parábola corta al eje OX en el punto
2a
b 
, 0  , que es el vértice de la parábola.

 2a 
Página 10
 b  b 2  4 ac
 b  b 2  4 ac
y x2 
. La
2a
2a
parábola corta al eje OX en dos puntos: x1 , 0  y  x 2 , 0  . En este caso, la abcisa del vértice de
x  x2  b
la parábola se obtiene como media aritmética de x 1 y x2 , es decir: p  1
.

2
2a
 Si D>0, la ecuación tiene dos soluciones: x1 
Averigua cuántos puntos de corte con el eje OX tienen cada una de las siguientes parábolas:
2) y  x2  4x  21
1) y  x2  11x  12

3) y  2x 2  4x  2
SUMA Y PRODUCTO
a) Utilizando la fórmula clásica resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado. En cada una halla
la suma y el producto de las raíces. ¿Observas algo interesante?.
1) x 2  3x  2  0
2) x 2  5x  6  0
3) x 2  2x  3  0
4) 3x 2  4x  1  0
5) 2x 2  3x  1  0
6) 2x 2  x  3  0
Si x1 y x 2 son las soluciones de la ecuación de segundo grado a x 2  bx  c  0 , se cumple que:
b
.
a
c
 El producto de las raíces es P  x1  x 2  .
a
 La suma de las raíces es S  x1  x2  
Por lo tanto, si dividimos por a la ecuación de segundo grado a x 2  bx  c  0 obtenemos
b
c
x   0 . Es decir: x 2  S x  P  0 , lo que permite, con un poco de agilidad, resolver
a
a
mentalmente ecuaciones de segundo grado.
x2 
b) Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones de segundo grado:
1) x 2  3x  4  0
2) x2  4x  3  0
3) x2  3x  2  0
4) x2  x  6  0
c) Escribe ecuaciones de segundo grado que tengan como soluciones:
1) 2 y 3

2) 4 y 5
3)
1
y 1
2
4)
1 2
y
3 3
VARIACIÓN DE UN CUADRADO
Si a la medida de dos lados paralelos de un cuadrado le aumentas el 25% y a la medida de los otros dos
le quitas el 40%, ¿qué ocurre con su área?.
x
0’25 x
Página 11

VALLAR UN CAMPO
Un agricultor tiene un campo como el de la siguiente figura, cuya superficie total es de 30 Ha. Desea
vallarlo con una cerca de madera que le cuesta 12 euros el metro. Sabemos que un lado del rectángulo
es doble que uno de los catetos del triángulo y el lado coincidente de ambos mide 100 metros más que
dicho cateto. ¿Cuál será el precio total que tendrá que pagar?.
Sugerencia: Utiliza una sola incógnita, x, para
todas las medidas que necesitas, y expresa
con ellas la suma de las áreas del triángulo y
del rectángulo.
x
3. SISTEMAS DE ECUACIONES.

CON DOS INCÓGNITAS
a) ¿Cuántos chicos y chicas hay en un grupo de 8 amigos?.
b) Si divides un segmento de 10 cm en dos partes, ¿cuál es la longitud de cada una de las partes?.
En las actividades anteriores tienes que utilizar ecuaciones con dos variables desconocidas, es
decir, con dos incógnitas. Por ejemplo, en la primera debe ser x  y  8 , siendo x = número de
chicas, y = número de chicos. Las soluciones se expresan mediante puntos de una recta o en una
tabla de valores:
Nº chicas
Nº chicos
X
Y
0
8
1
7
2
6
3
5
4
4
5
3
6
2
7
1
8
0
Como x e y son números naturales, hay una cantidad finita de soluciones, que son las indicadas en
la tabla. En la actividad (b), en cambio, hay infinitas soluciones, ya que las variables x e y pueden
ser números cualesquiera.
c) Divide un segmento de 6 cm en tres partes de forma que la primera sea de doble longitud que la
segunda. Representa gráficamente las soluciones y escribe una tabla con algunas de ellas.
d) La suma de tres números desconocidos es 15. El segundo es 3 unidades mayor que el primero.
Representa gráficamente las soluciones y construye una tabla con algunas de ellas. Distingue tres
casos, según que los números buscados sean: 1) naturales; 2) enteros; 3) números cualesquiera.

AUTOBUSES
a) Una empresa tiene 10 autobuses grandes y 5 pequeños. Cada uno de los grandes tiene 22 asientos
más que cada uno de los pequeños. El total de plazas de la empresa es de 700. ¿Cuántos asientos
tiene cada autobús?.
Página 12
Sea x = número de asientos de un autobús grande. Sea y = número de asientos de un autobús
10 x  5 y  700
pequeño. El enunciado expresado en ecuaciones es:
.
x  y  22

A un conjunto de varias ecuaciones que deben verificarse simultáneamente, lo llamaremos sistema
de ecuaciones. El anterior es un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, pero
pueden haber sistemas de tres o más incógnitas y ecuaciones, e incluso, puede que sean de grado
2 o superior.
Resolver un sistema es encontrar los valores de las incógnitas que verifican todas las ecuaciones.
Existen tres métodos para resolver un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos
incógnitas:
 Método de reducción.
Consiste en multiplicar las ecuaciones por números adecuados y después sumarlas con el objetivo
de eliminar una incógnita:
10 x  5 y  700
 . Multiplicamos la primera por 1, y la segunda por 10.
x  y  22

10 x  5 y  700 
480
 32 .
 . Restamos las dos igualdades, obteniendo: 15 y = 480, de donde y 
10 x  10 y  220
15
Para hallar el valor de x, sustituimos el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones dadas, o
volvemos a aplicar el método de reducción para eliminar la incógnita y. Comprueba que x = 54.
 Método de sustitución.
Consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir el valor obtenido
en la otra ecuación para obtener el valor de la otra incógnita.
10 x  5 y  700
 . Despejamos x en la segunda ecuación:
x  y  22

x = y + 22
10 y  22  5 y  700
10 y  220  5 y  700 . De donde: 15 y = 480
Sustituimos esta expresión de x en la primera ecuación:
Resolvemos esta ecuación. Quitando paréntesis:
Luego: y 
480
 32 . Sustituimos este valor de y en la ecuación x = y + 22, obteniendo: x = 54
15
 Método de igualación.
Consiste en despejar una misma incógnita en las dos ecuaciones y después igualar las expresiones
obtenidas. De esta forma se obtiene una ecuación en la otra incógnita que podemos resolver.
1 
10 x  5 y  700
x  70   y 
2 
 . Despejamos x en las dos ecuaciones:
x  y  22

x  22  y 
1
3
 y  22  y . De donde:  y  48 . Luego: y = 32
2
2
Sustituyendo este valor de y en cualquiera de las ecuaciones obtenemos x = 54.
Igualando las dos expresiones obtenidas: 70 
b) Otra empresa de la competencia dispone de 12 autobuses grandes y 6 pequeños, de tal manera que
cada uno de los grandes tiene 18 asientos más que cada uno de los pequeños. Si el número total de
plazas es de 756, ¿cuál es la capacidad de cada tipo de autobús?. ¿Con qué empresa se viajará más
cómodamente?.
Página 13

MÉTODO GRÁFICO
Una ecuación de primer grado con dos incógnitas a x + b y = c representa una recta. Luego cada
una de las ecuaciones de un sistema de primer grado con dos incógnitas representa una recta:
ax  by  c  recta r 

dx  ey  f  recta s
Por lo tanto, un método que puedes usar para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas consiste en dibujar, en unos mismos ejes, las gráficas de las rectas r y s que
representan las dos ecuaciones. Se pueden presentar tres casos:
r y s se cortan en un punto
r y s son coincidentes
r y s son paralelas
sistema con solución única
infinitas soluciones
sistema sin solución
Un sistema con solución única se dice que es compatible determinado.
Un sistema con infinitas soluciones se dice compatible indeterminado.
Un sistema sin solución se dice que es incompatible.
Utiliza el método gráfico para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones, indicando si son
compatibles o incompatibles, determinados o indeterminados:
a)
2x  5y  16

x  3y  3 
6x  y  5 
d)

3x  3y  15

b)
5x  y  3 

15x  3y  2
3x  2y  8

e) x y

 5 
2 3

c)
x  2y  3


 2x  4y  6
f)
3x  9y  6 

4x  12y  8
VARIANDO LADOS
a) El perímetro de un rectángulo es 16 cm. Si el lado mayor se disminuye en 2 cm y el lado menor
aumenta en 1 cm, el nuevo perímetro es de 14 cm. ¿Cuál es la medida de los lados?.
2 cm
1 cm
x
x
b) El perímetro de un triángulo isósceles es de 15 cm. Si duplicamos el lado desigual, el nuevo triángulo
es equilátero. ¿Cuánto miden los lados del primer triángulo?.

PASTELES
Marisa compró 4 merengues y 6 lionesas. Pagó 1280 céntimos de euro. Ángel compró 1 merengue y 12
lionesas. Pagó 1160 céntimos de euro. ¿Cuál era el precio de cada merengue y el precio de cada lionesa?.

JAULAS Y CONEJOS
Un granjero dispone de cierto número de jaulas y de conejos. Si introduce 4 conejos en cada jaula,
quedan tres conejos libres. Si introduce 5 conejos en cada una, queda una jaula con dos conejos menos.
¿Cuántos conejos y cuántas jaulas hay?.
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
HEXÁGONOS MÁGICOS
Las parejas de números que ocupan los vértices opuestos del hexágono de la figura adjunta (unidos
mediante las diagonales) suman lo mismo. Hállalos en cada uno de los siguientes casos y comprueba si
cumplen la condición pedida:

MACETAS
Una empresa de productos plásticos recibe el encargo de preparar cierto número de macetas en un
plazo fijo. Si fabricara 250 macetas cada día, faltarían 150 macetas al finalizar el plazo. Si fabricara
260, sobrarían 80 macetas al final del plazo. ¿Cuál era el plazo y cuántas las macetas encargadas?.

LA PISTA DE CARRERAS
Una pista de carreras está dividida en tres secciones. La longitud de la primera y la segunda juntas es
de 632 m; la longitud de la segunda y tercera juntas es de 537 m, y la de la tercera y primera juntas
919 m. ¿Cuál es la longitud de la pista?.

EDADES
Invirtiendo los dígitos de la edad de Carmen se obtiene la de su abuela. La diferencia de sus edades es
de 45 años. Si la suma de los dígitos es 7, halla la edad de cada una de ellas.

PÁJAROS
Una tienda de pájaros los tiene clasificados en dos tipos: grandes y pequeños. Los grandes cuestan el
doble que los pequeños. Una señora entró a comprar 5 pájaros grandes y 3 pequeños. No sabemos lo que
se gastó, pero podemos darte una información algo enrevesada: Si hubiese comprado 3 pájaros grandes
y 5 pequeños se hubiese gastado 2000 pesetas menos. ¿Cuánto vale un pájaro grande y uno pequeño?.

VIAJE A LA LUNA
En un viaje de la Tierra a la Luna un astronauta le cuenta a otro algo curioso que acaba de sucederle: Al
dirigir su mirada a la Tierra y a la Luna, ambas se le aparecen como dos bolas de igual tamaño. ¿A qué
distancia de la Tierra se encuentra la nave de los astronautas?.
Datos: La distancia entre la Tierra y la Luna es de 378000 km; el
diámetro de la Luna es de 3480 km y el de la Tierra de 12760 km.

NAVEGANDO POR EL RÍO
Un bote navega entre dos puntos A y B de un río a favor de la corriente a 25 km/h. Al volver de B a A
sólo alcanza 8 km/h. Halla la velocidad desarrollada por el bote en aguas tranquilas y la velocidad de la
corriente.
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
ENCUENTRO
Un automovilista sale de Alicante a las 8 h 30 m con destino a Peñíscola. Piensa llevar una velocidad
media de 90 km/h. A la misma hora un motociclista sale de Peñíscola con destino a Alicante; su
velocidad media estimada será de 80 km/h. La distancia entre Peñíscola y Alicante es de 340 km. ¿A
qué hora y a qué distancia de cada ciudad se cruzarán?.

EXTRAÑAS CONDICIONES
Intenta encontrar un número de dos cifras en cada uno de los siguientes casos:
a) La cifra de las decenas debe ser 4 unidades inferior a la cifra de las unidades. Si el número se
escribe invirtiendo el lugar de sus cifras y se le resta el número buscado, se obtiene 27.
b) La cifra de las decenas debe ser inferior en 3 unidades a la cifra de las unidades. Se cumple
también la segunda condición del caso (a).

HISTORIAS PARA FÓRMULAS
Elige algunas de las expresiones que siguen a continuación e inventa una historia comercial, geométrica,
numérica, ..., que se adapte a cada una de ellas.
a)
2
3
A  B
3
7
b)
x5 x3

5
6
d) a  1  a  a  1  36
e) a 2  b2  c2
g) 6x  3y  120
h)
2n  3b  40 
j)

3n  b  25 
c  3b  2 
k)

c  4b  2

c)
a bcd
x
4
f) a  b  a  b  a2  b2
m m
  15  m
2 4
i) x2  2x  1  x  12
x y 5 

l) y  z  23 
x  z  22
MUCHAS LETRAS
Sabiendo que se trata de sumas horizontales y verticales, averigua qué dígito corresponde de cada
letra. Ten en cuenta que cada letra representa un solo valor.
A
C
B
E
J
F
B
D
C
H
G
I
C
B
I
E
D
A
D
G
J
H
C
J
E
E
E
E
E
E
F
H
B
E
J
C
G
B
F
H
D
D
B
F
I
H
G
B
21
27
26
20
24
19
22
27
29
27
31
40
27
32
4. INECUACIONES.

RELACIONES
a) ¿Qué relación existe entre el número de veces que te puede tocar la lotería nacional en un año y el
número de semanas del mismo ?.
b) No es fácil contar el número de pelos que hay en la cabeza de una persona, pero puedes dar una
relación que debe cumplir dicho número. Intenta escribirla.
c) No con todas las ternas de segmentos pueden construirse triángulos. Si dos lados de un triángulo
miden 6 y 10 decímetros respectivamente, ¿qué relaciones debe verificar el otro lado ?.
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
DESIGUALDADES
a) ¿Qué relación deben cumplir los puntos de la semirrecta más gruesa incluido el punto 2 ?.
b) Los puntos de la región rayada verifican una relación ; los de la blanca, otra ; y los de la recta
frontera, otra. ¿Qué relaciones ?:
En las cuestiones anteriores has utilizado la relación “ser menor que”. Se escribe así :
a < b y expresa que b-a es un número real positivo.
Se suelen utilizar otros símbolos de desigualdad :
a  b, significa a < b ó a = b ; se lee “a menor o igual que b”.
b > a, significa a < b ; se lee “b mayor que a”.
b  a, significa b > a ó b = a ; se lee “b mayor o igual que a”.

¿CIERTO O FALSO?
¿Cuáles de las siguientes desigualdades son ciertas y cuáles son falsas ? :

1) 5  1
2) 5  1
3) 1 < 5
4) 2 <  3
5) 2/5 < 3/5
6) 3/5 < 5/6
7) 1/5 > 3/4
8) 2  3
9) 3 5  3
INECUACIONES
Cuando en cualquier miembro de una desigualdad aparece una (o varias) variables, se dice que es
una inecuación y que la variable es la incógnita.
Así, x > 1,5 es una inecuación en la que la variable x puede tomar valores mayores que 1,5. (Es
decir, los puntos de la semirecta gruesa excluyendo 1,5). Todos estos puntos son soluciones de la
inecuación, de forma que la inecuación tiene infinitas soluciones.
a) Describe mediante inecuaciones las siguientes regiones de la recta numérica :
b) Dadas las siguientes inecuaciones, señala la región de la recta numérica que les corresponde :
1) x < 2
2) x > 1 ó x < 1
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3) x  1 y x 1

MANIPULANDO DESIGUALDADES
En cada una de las desigualdades:
3<5;
3<5 ;
3<2 :
a) suma el mismo número positivo a cada miembro ;
b) suma el mismo número negativo a cada miembro ;
c) multiplica por el mismo número positivo cada miembro ;
d) multiplica por el mismo negativo cada miembro.
Comenta los resultados obtenidos.
Habrás comprobado las siguientes propiedades :
1) Si a < b, entonces a + c < b + c, para todo número real c.
a  c < b  c, si c > 0
2) Si a < b, entonces 
a  c > b  c, si c < 0

Con estas propiedades podemos despejar la incógnita de una inecuación siguiendo el mismo
procedimiento que para resolver una ecuación.
Resuelve cada una de las inecuaciones que siguen y representa el conjunto de soluciones, en cada caso,
sobre la recta :
1) 2  x < 3

2) 4 x  2  6
3) 1 / x < 1 / 2
4)
x  3 2x + 1 2


2
5
3
5)
1
2

x 2 3
SOFTWARE INFORMÁTICO
Cierta empresa de software informático cobra por sus servicios 100 euros, más 7,50 euros. por hora de
programación. Otra de la competencia establece sus honorarios en 1000 euros, cualquiera que sean las
horas de programación. ¿En qué condiciones interesará una u otra?.

ZUMOS
Queremos mezclar zumo de 3 euros / litro con zumo de 4 euros / litro, para obtener zumo de precio
inferior a 3'60 euros / litro. ¿Cuántos litros de cada tipo de zumo podemos mezclar por cada 100
litros ?.

CAMISAS
Una empresa textil ha fabricado 1500 camisas con un coste de producción de 3 euros. por unidad. Si
vendiendo todas las camisas obtiene un beneficio de más de 6000 euros, ¿a qué precio vende cada
unidad?.
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
REGIONES
En la región adjunta, la recta que pasa por los puntos (1, 0) y (0, 1) divide al plano en dos
semiplanos : el rayado y el blanco.
¿Qué relación debe cumplir un punto (x, y) del plano para pertenecer a
uno de dichos semiplanos ?.
Los puntos (x, y) que pertenecen a la recta frontera de los semiplanos
cumplirán la igualdad:
y=x+1
Cualquier punto (x, y) del semiplano rayado tiene una ordenada mayor
que la del punto de la recta con igual abcisa, luego :
y>x+1
Cualquier punto (x, y) del semiplano blanco tiene una ordenada menor
que la del punto de la recta con igual abcisa, luego:
y<x+1
En la figura adjunta se indican los resultados anteriores.
En cada uno de los casos que siguen, indica la relación que deben verificar los puntos de cada
uno de los semiplanos y los de la recta frontera:

DIBUJA REGIONES
Dibuja las regiones del plano cartesiano que representan cada una de las inecuaciones que siguen:
1) x + y < 3
2) 2 x  3 y  4
3) 2 x > y  6
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4) x  3 y  6
5) x + 5 y = 6