Download INTERVALOS Y SEMIRRECTAS. INECUACIONES Inecuaciones de

el blog de mate de aida CSI: Inecuaciones
pág. 1
INTERVALOS Y SEMIRRECTAS.
La ordenación de números permite definir algunos conjuntos de números que tienen una representación
geométrica en la recta real.
Los intervalos están determinados por dos números que se llaman extremos; en un intervalo se
encuentran todos los números comprendidos entre ambos y también pueden entrar los extremos.
Gráficamente se indica con un círculo negro si el extremo se considera del intervalo y un círculo blanco
si el extremo no se considera del intervalo. Por supuesto, se escribe y representa siempre a la izquierda
el menor de los extremos del intervalo.
Se tienen los siguientes casos:
3x5
[3,5]
[a,b]
Cerrado
3<x<5
(3,5)
(a,b)
Abierto
3x<5
[3,5)
[a,b)
abierto por
la derecha
3<x5
(3,5]
(a,b]
abierto por
la izquierda
Las semirrectas están determinadas por un número; en una semirrecta se encuentran todos los números
mayores (o menores) que él. Según que entre o no el origen de la semirrecta, se tienen los siguientes
casos:
3x
[3,+)
[a,+ )
3<x
(3,+ )
(a,+ )
x3
(- ,3]
(- ,a]
x<3
(-,3)
(-,a)
INECUACIONES
Una inecuación es una desigualdad en la que aparece alguna incógnita en uno o en los dos miembros de la
desigualdad. Se cumple para algunos valores de la incógnita.
Las expresiones que aparecen a cada lado de la desigualdad se llaman miembros de la inecuación y el
conjunto de números que satisfacen la desigualdad es la solución.
Resolver una inecuación es obtener el conjunto de todos los valores que la verifican. El proceso consiste
en buscar inecuaciones equivalentes a la dada, cada vez más sencillas.
 Inecuaciones de primer grado
Si en algún miembro de la desigualdad aparece un polinomio de primer grado, y no hay ninguno de grado
superior, se dice que es una inecuación lineal o de primer grado.
Ejemplo:
Una solución de la inecuación de primer grado 5x  15 es, por ejemplo, x=-2, pues 5·(-2) = -10  15.
Dos inecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones.
Las siguientes reglas permiten pasar a inecuaciones equivalentes:
 Regla de la suma:
Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o resta un mismo número o una misma
expresión algebraica, se obtiene otra inecuación equivalente a la dada.
el blog de mate de aida CSI: Inecuaciones
pág. 2
P(x)  Q(x) equivale a P(x) + c  Q(x) + c
Regla del producto:
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un número:
 mayor que cero: se obtiene otra inecuación equivalente a la dada.
c · P(x)  c · Q(x), c > 0
 menor que cero: se obtiene otra inecuación equivalente a la dada cambiando el sentido de la
desigualdad.
c · P(x)  c · Q(x), c < 0
Dicho de otra forma, las siguientes operaciones dan lugar a inecuaciones equivalentes a P(x)  Q(x):
 Sumar el mismo número en ambos miembros de la inecuación:
P(x)  Q(x) equivale a P(x) + c  Q(x) + c
 Multiplicar por el mismo número positivo en ambos miembros:
c · P(x)  c · Q(x), c > 0
 Multiplicar por el mismo número negativo en ambos miembros de la inecuación y cambiar el
sentido de la desigualdad:
c · P(x)  c · Q(x), c < 0
Las expresiones P(x)=x-a toman siempre valores negativos a la izquierda de x=a y positivos a la derecha.
Ejemplo: Las inecuaciones 5x + 4 < 8x + 9
y
5x – 8x < 9 – 4 son equivalentes porque la segunda
se ha obtenido de la primera sumando a los dos miembros –8x – 4.

Una inecuación se resuelve transformándola en otra equivalente en la que aparezca la incógnita aislada
en un miembro.
Ejemplo:
Para resolver la inecuación 8x - 4 < 5x - 10
se agrupan los términos en x en el primer miembro y las
constantes en el segundo:
8x – 5x < - 10 + 4, es decir, 3x < -6. Dividiendo ahora cada miembro por 3 se obtiene x < -2.
Por tanto, la solución de la inecuación es la semirrecta (-,-2).
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Si P(x) es un polinomio de segundo grado, las inecuaciones de segundo grado son de la forma P(x) < 0,
P(x) > 0, P(x)  0 y P(x)  0.
Resolver la inecuación es hallar los valores de la incógnita para los que se verifica la desigualdad.
Para obtener la solución se factoriza el polinomio y se estudia el signo de los factores.
Ejemplo:
x 2  4x  3  0 se factoriza el primer miembro hallando las soluciones de
x 2  4x  3  0 , que son x=1 y x=3. Así, la inecuación se escribe: x  1x  3  0 .
Para resolver:
El diagrama de signos de la figura sirve para conocer el signo del producto.
Por tanto, la inecuación se verifica para los valores de x en el intervalo (1,3).
el blog de mate de aida CSI: Inecuaciones
Resolución gráfica y analítica:
Se
trata
de
resolver
la
pág. 3
inecuación:
x  6x  8  0 .
2
La gráfica de esta figura representa los valores
numéricos de P ( x )  x  6 x  8 . Observando
2
la gráfica se ve claramente dónde P(x) es
positivo o negativo.
Analíticamente se descompone en factores P(x):
x  2x  4  0 . Esta inecuación es cierta cuando los
dos factores son positivos o los dos negativos. Por tanto, hay que estudiar el signo de cada factor.
 Puede ocurrir que el polinomio tenga una raíz doble en vez de dos distintas.
Ejemplo:
3x 2  6x  3  0 , se resuelve primero la ecuación 3x 2  6x  3  0 , cuya solución es x=-1. El polinomio
2
2
2
se puede factorizar de la forma: 3x  6 x  3  3·x  1 , con lo que la inecuación queda: 3x  1  0 .
Como 3 es positivo y el cuadrado de una expresión es siempre positivo, la inecuación se cumple para
todos los valores de x, y no es necesario hacer un diagrama de signos.
Ejemplo:
Si la inecuación es de sentido contrario,
forma:
3x 2  6x  3  0 , razonando análogamente se escribe de la
3x  1  0 . Como 3 es positivo y el cuadrado de una expresión es siempre positivo, no hay
2
ningún valor de x que cumpla la desigualdad, es decir, la inecuación no tiene solución.
 Al resolver una inecuación de segundo grado pueden darse los siguientes casos:


ax2  bx  c  0 tiene dos soluciones reales distintas, x1 y x 2 , con x1  x2 ,
2
entonces el signo del polinomio ax  bx  c coincide con el signo de “a” en los intervalos  , x1 
y x 2 ,  y es su opuesto en el intervalo x1 , x2  .
2
Si la ecuación ax  bx  c  0 tiene solución doble, x1 , entonces el signo del polinomio
ax2  bx  c coincide con el signo de “a” en toda la recta real excepto en x1 , donde el polinomio es
Si la ecuación
igual a cero.

Si la ecuación
ax2  bx  c  0 no tiene soluciones reales, entonces el signo del polinomio
ax2  bx  c coincide siempre con el signo de “a”.
INECUACIONES RACIONALES (CON COCIENTES DE POLINOMIOS)
Para resolver inecuaciones con cocientes de polinomios se factorizan el numerador y el denominador y
se estudian los signos de todos los factores.
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. Álgebra III: Inecuaciones
Ejemplo:
pág. 4
x5
0
x4
Utilizando el diagrama de signos:
La solución es el intervalo (-4,5); es decir, si –4
< x < 5, se cumple la desigualdad.
SISTEMAS DE INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA
Las soluciones de un sistema de inecuaciones son las soluciones comunes a todas las inecuaciones que
forman el sistema.
Pasos para resolver un sistema de inecuaciones:
1º.- Se resuelve cada inecuación por separado.
2º.- Se representan gráficamente las soluciones.
3º.- Se buscan las soluciones comunes.
Ejemplo:
2 x  4  0


x
 2 x  7  2  3
La soluciones de este sistema son los puntos del intervalo (-2,4], que es la intersección (lo que tienen en
común) los intervalos (-2,) y (-,4], soluciones de ambas inecuaciones.
INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
Llamamos inecuación lineal con dos incógnitas a toda inecuación equivalente a una de las siguientes:
ax + by + c > 0
ax + by + c  0
ax + by + c < 0
ax + by + c  0
es decir, cuando después de reducirla, tiene dos incógnitas de grado 1.
Los valores que cumplen la ecuación ax + by + c = 0 son los puntos situados sobre una recta. Esta recta
divide al plano en dos semiplanos, que van a ser las soluciones de las inecuaciones asociadas a la ecuación
ax + by + c = 0.
Las soluciones de una inecuación lineal con dos incógnitas forman un semiplano.
Los pasos a seguir para encontrar las soluciones son los siguientes:
1º.- Se despeja la y:
y
 ax  c
.
b
2º.- Se considera la función:
a
c
y   x  . Se dibuja su gráfica, que es una recta.
b
b
3º.- Las soluciones buscadas son los infinitos puntos de uno de los dos semiplanos que determina esa
recta. Para decidir cuál de los dos semiplanos es la solución, se toma un punto P cualquiera que no
pertenezca a la recta, y se sustituyen sus coordenadas en la inecuación; si la verifican, el semiplano al
que pertenece P es la solución. En caso contrario la solución será el otro semiplano.
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. Álgebra III: Inecuaciones
pág. 5
Ejemplo: Resolvamos la inecuación: x + y < 2
Representemos la ecuación asociada x + y = 2 
y = 2 – x.
Todo punto de esta recta puede escribirse de
la forma (x,2-x). Puntos de la recta son: (-2,4),
(-1,3) (0,2), (1,1) y (2,0).
Si tomamos los puntos (-1,4), (0,3), (0,4), (1,2),
…, que están situados por encima de la recta,
ninguno de ellos cumple la inecuación x + y < 2.
Los puntos (-1,1), (0,0), (0,1), (1,0) (1,-1), …,
situados por debajo de la recta x + y = 2,
cumplen todos ellos la inecuación x + y < 2.
Por tanto, las soluciones de la inecuación x + y <
2 son todos los puntos del semiplano situado por
debajo de la recta.
EJERCICIOS
13.- Dibuja el conjunto de soluciones de cada una de las siguientes inecuaciones lineales con dos
incógnitas:
a) 2x - y - 4 < 0
b) x + y + 1 > 0
c) 2x + 3y < 6
Solución:
INECUACIONES LINEALES RACIONALES CON DOS INCÓGNITAS
ax  b
0.
cy  d
3x  6
Ejemplo: Resolvamos la inecuación:
 0.
y2
Son expresiones de la forma:
Las posibilidades son:
 Numerador no negativo
positivo:

3 x  6  0  x  2
.
y20 y  2 
Numerador
negativo:
y denominador
no
positivo
y
denominador
3 x  6  0  x  2
.
y20 y  2 
(La ralla continua indica los puntos de la recta que se incluyen en la solución, mientras que la ralla
discontinua indica los puntos que no se incluyen en la solución).
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. Álgebra III: Inecuaciones
pág. 6
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON DOS INCÓGNITAS
Son inecuaciones de la forma: ax  bx  c  y .
2
Su resolución se basa en el análisis de la
parábola asociada:
Ejemplo: Resolver la inecuación: x  1  y .
2
Representamos
la
parábola
asociada:
y  x 1.
2
Sustituimos un punto del interior de la parábola
en la inecuación inicial. Si se cumple, esta es la
región solución. Si no se cumple la desigualdad,
la solución será la región exterior a la parábola.
Recuerda que para representar una parábola se realiza una tabla de valores calculando el vértice, el (o
los) puntos de corte con el eje OX y el punto de corte con el eje OY.
SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS
Un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es el conjunto de dos o más inecuaciones, que
debe satisfacerse a la vez. Para su resolución, se procede de la manera siguiente:
- Se resuelve cada inecuación por separado.
- El conjunto solución del sistema, también llamado región factible, está formado por las
soluciones comunes a todas las inecuaciones.

SISTEMAS LINEALES DE DOS INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS:
Ejemplo: resolvamos el sistema lineal con dos incógnitas:


4 y  3 x  0

5 x  y  10 
3x
. El semiplano solución es el marcado arriba y a la izquierda.
4
5x  y  10  y  5x  10 . El semiplano solución es el marcado a la derecha.
4 y  3x  0  y 
La intersección de ambos semiplanos es la solución del sistema.
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. Álgebra III: Inecuaciones
pág. 7
SISTEMAS DE INECUACIONES LINEAL Y DE SEGUNDO GRADO CON DOS
INCÓGNITAS:
Ejemplo: Resuelve el sistema:
Representamos
x  y  2  0  y  x  2.
x  y  2  0
.
x2  4  y 
la
recta:
Marcamos la región solución de la inecuación lineal.
Representamos la parábola: y  x  4 .
2
Marcamos la solución de la inecuación de segundo
grado.
La intersección de las dos áreas es la solución.
yx0

.
 x  2  y
Representamos la recta: y  x .
Ejemplo: Resuelve el sistema:
2
Marcamos la región solución de la inecuación
lineal.
Representamos la parábola: y   x  2 .
2
Marcamos la solución de la inecuación de
segundo grado.
La intersección de las dos áreas es la solución.

SISTEMAS DE DOS INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON DOS INCÓGNITAS:
Los sistemas de inecuaciones de segundo grado con dos incógnitas son los que se pueden reducir a las
a1 x 2  b1 x  c1  0
, con cualquiera de los signos de la desigualdad.
a 2 x 2  b2 x  c 2  0
formas 
La resolución de este tipo de sistemas se hace siguiendo estos pasos:
1º.- Se calculan los posibles puntos de corte de las dos parábolas asociadas a las inecuaciones del
sistema.
2º.- Se representan estas parábolas.
3º.- Se indica el posible recinto solución del sistema.
 x 2  1  y 
Ejemplo: Resuelve el sistema:
.
x  12  y 
Los puntos de corte de las parábolas asociadas son se obtienen resolviendo el sistema formado por
ambas curvas:
y   x 2  1
 x1  0
2
2
2
2






x

1

x

1


x

1

x

2
x

1

2
x
·
x

1

0

.


2
y   x  1 
 x2  1
Las parábolas se cortan en los puntos A(0,1) y B(1,0).
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. Álgebra III: Inecuaciones
pág. 8
Para representar la curva se realiza una tabla de valores calculando el vértice, el (o los) puntos de corte
con el eje OX y el punto de corte con el eje OY.

SISTEMAS DE VARIAS INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS:
Los procedimientos desarrollados en las actividades anteriores se hacen extensivos a sistemas con
mayor número de inecuaciones. Son lo que se llama restricciones en los problemas de programación
lineal.
Ejemplo: Encuentra la región factible del
x  0
y  0

sistema: 
6 x  5 y  30
 x  2 y  8
Representamos cada una de las rectas: x = 0, y
= 0, 6x + 5y = 30, x + 2y = 8.
Buscamos para cada una de las inecuaciones su
semiplano de soluciones y, por último, la región
común a todos los semiplanos.
En la representación gráfica puede verse la
región factible o región de soluciones del
sistema.
Ejemplo: Determina el recinto solución del
siguiente
sistema
de
inecuaciones:
x  0
y  0

.

y

x

 y  6  2 x